Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił - rama

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
1
OBLICZANIE UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
METODĄ SIŁ.
Zadana rama wygląda następująco:
Siły wewnętrzne od obciążenia zewnętrznego. Dobieram układ podstawowy w ten sposób
aby zachować symetrię:
Zapisuję układ równań kanonicznych:
⎧δ
11
⋅ X
1
+ δ12
⋅ X
2
+ δ13
⋅ X
3
+ ∆1P
= 0
⎪
⎨δ
21
⋅ X
1
+ δ
22
⋅ X
2
+ δ
23
⋅ X
3
+ ∆
2P
= 0
⎪
⎩δ
31
⋅ X
1
+ δ
32
⋅ X
2
+ δ
33
⋅ X
3
+ ∆
3P
= 0
M
i
⋅ M
k
M
P
⋅ M
i
δ
ik
= ∫ ds ∆
iP
=
EI ∫ ds
EI
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
2
Rysuję wykresy momentów od poszczególnych sił jednostkowych:
M 1
M 2
M 3
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
3
M P
M S
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®
4
Korzystając z metody Wereszczegina- Mohra całkowania iloczynu dwóch funkcji (w tym
jednej prostoliniowej) otrzymuje się:
[ ]
[ ]
0
504
10
48
1
12
3
2
6
12
2
1
1
6
6
6
2
2
1
6
3
2
6
10
2
2
1
2
1
0
3
2
23
2
2
22
1
2
21
=
⋅
=
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
∫
∫
∫
ds
EI
M
M
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
δ
δ
δ
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
+
=
⋅
=
∫
∫
∫
42
10
3
4
1
1
3
1
4
3
2
4
6
2
1
4
3
1
1
3
2
1
6
2
1
2
2
1
1
3
2
10
2
2
1
2
1
0
90
10
8
1
3
3
33
2
3
32
1
3
31
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
EI
ds
EI
M
M
δ
δ
δ
[ ]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
= −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
⋅
=
∆
=
⋅
=
∆
+
= −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
⋅
=
∆
∫
∫
∫
1668
10
3
232
1
2
5
8
6
4
6
3
2
1
3
1
4
3
2
6
128
2
1
4
3
1
1
3
2
6
56
2
1
2
2
1
1
2
1
8
2
4
10
2
3
2
1
3
2
56
10
2
2
1
2
1
0
3744
10
464
1
6
8
12
4
12
3
2
6
56
12
1
6
2
1
8
2
4
10
2
3
2
6
3
2
56
10
2
2
1
2
1
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
P
P
P
P
P
P
Sprawdzenie globalne delt:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
⋅
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∑∑
∫
∑∑
∫
942
10
3
340
1
942
10
3
340
1
12
3
2
6
12
2
1
1
4
3
1
1
3
2
6
1
2
1
1
3
1
4
3
2
6
4
2
1
2
1
13
3
1
16
3
2
16
6
2
1
16
3
1
13
3
2
13
6
2
1
2
1
13
3
2
10
2
13
2
1
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
2
2
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
ds
EI
M
i
k
ik
S
i
k
ik
S
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®
5
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
⋅
= −
+ ∆
+ ∆
= ∆
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
⋅
= −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
⋅
∆
=
⋅
∑
∫
∑
∫
5412
10
3
1624
1
5412
10
3
1624
1
2
1
8
2
4
2
3
2
1
3
2
10
2
56
2
1
1
2
5
8
6
4
6
3
2
1
3
1
4
3
2
6
128
2
1
1
3
2
4
3
1
6
56
2
1
2
1
2
39
8
6
4
6
3
2
13
3
1
16
3
2
6
128
2
1
16
3
1
13
3
2
6
56
2
1
2
1
13
2
1
8
2
4
10
2
3
2
13
3
2
10
2
56
2
1
1
3
2
1
2
2
2
2
EI
EI
EI
EI
EI
EI
ds
EI
M
M
ds
EI
M
M
P
P
P
iP
S
P
iP
S
P
Mając dane wszystkie wielkości podstawiam je do układu równań i rozwiązuje go:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+ ∆
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+ ∆
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+ ∆
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
X
X
X
X
X
X
X
X
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
( ) ( ) ( )
( )
( )
]
27,687978[
0
]
5,489344[
0
1668
10
3
232
42
10
3
4
0
90
10
8
0
0
0
504
10
48
0
0
3744
10
464
90
10
8
0
216
10
48
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
kN
X
X
kN
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
=
=
=
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
+
⎟ ⋅
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
M P

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
6
T P
N P
Sprawdzenie kinematyczne:
M P
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
7
M i
u
u
i
i
M
n
⋅ M
i
= ∫ ds
EI
1 ⎡ 2 4 ⋅ 2
= ⋅ ⎢−
⋅ 40 ⋅
EI ⎣ 3 8
2
⋅ 3 +
1
2
⋅
⎤ 1
40 ⋅ 4,623⋅
4⎥
+
⎦ EI
2
⎡4,623
+ 15,687 2 4 ⋅ 6
⋅ ⎢
⋅ 6 ⋅ 6 − ⋅ 6 ⋅
⎣ 2
3 8
⎤ 0,031
⋅ 6⎥
=
⎦ EI
Dobieram odpowiedni przekrój dwuteowy:
1,2 ⋅ M
≤ σ dop
W
1,2 ⋅1567kNcm
kN
≤ 19,5
2
W
cm
W ≥ 96,43
Dwuteownik 120:
4
I = 328cm
W = 54,7cm
h = 12,0cm
3
EI
= 672,4
2
[ kNm ]
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
8
Siły wewnętrzne od osiadania podpór.
Układ podstawowy przyjmuję podobnie jak w poprzednio:
∆
[ 1⋅
( 0,01) −1⋅
( 0,01)
] 0
1 ∆
= −∑ R
i∆ = ∆1
∆
= −
=
∆
[ 1⋅
( 0,01) + 1⋅( 0,01) − 2 ⋅ ( 0,012)
] 0, 004
2 ∆
= −∑ R
i∆ = ∆
2∆
= −
=
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
9
⎡1
1
⎤
∆
3 ∆
= −∑ R
i∆ = ∆
2∆
= −
⎢
⋅ ( 0,01) − ⋅ ( 0,01) + 1⋅
0 = 0
⎣2
2
⎥
⎦
Delty wykorzystuję z obliczonego wcześniej układu podstawowego:
⎧δ
11
⋅ X
1
+ δ12
⋅ X
2
+ δ13
⋅ X
3
+ ∆1
∆
= 0
⎪
⎨δ
21
⋅ X
1
+ δ
22
⋅ X
2
+ δ
23
⋅ X
3
+ ∆
2∆
= 0
⎪
⎩δ
31
⋅ X
1
+ δ
32
⋅ X
2
+ δ
33
⋅ X
3
+ ∆
3∆
= 0
⎧
⎪( 48⋅
10 + 216) ⋅ X
1
+ 0 ⋅ X
2
+ ( 8⋅
10 + 90) ⋅ X
3
+ EI ⋅ () 0 = 0
⎪
⎨0
⋅ X
1
+ ( 48⋅
10 + 504) ⋅ X
2
+ 0 ⋅ X
3
+ EI ⋅( 0,004)
= 0
⎪
⎪
⎛ 4 ⎞
( 8⋅
10 + 90) ⋅ X
1
+ 0 ⋅ X
2
+ ⎜ ⋅ 10 + 42⎟ ⋅ X
3
+ EI ⋅()
0 = 0
⎪⎩
⎝ 3 ⎠
X = 0 kN
X
X
1
2
3
n
M ∆
= 0
[ ]
= −0,0041
[ kN]
[ kN]
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
10
Sprawdzenie:
M
∆
⋅ M
i
1⋅VK
+ ∑ Ri∆ = ∫ ds
EI
1 ⎡1
⎛ 2 ⎞⎤
1
1⋅VK
− 0,012 = − ⋅ 40 0,0246 6 −
EI
⎢ ⋅ ⋅ ⋅⎜
⋅ ⎟
2
3
⎥
⎣
⎝ ⎠⎦
2 ⋅ EI
V = 0,01000074
K
n
[ m] ≈ 0,01[ m]
⋅
[ 0,0246 ⋅ 6 ⋅ 6]
1
−
EI
⎡1
⎛ 2 ⎞⎤
⋅ ⎢ ⋅ 0,0492 ⋅ 6 ⋅ ⎜ ⋅ 6⎟
2
3
⎥
⎣
⎝ ⎠⎦
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
11
Siły wewnętrzne od wpływu temperatur:
Schemat podstawowy przyjęto jak w poprzednim zadaniu:
0
0
−5
t = 30 C
∆t'
= 40 C α = 1,2 ⋅10
t
t
d
g
m
= −10
= 10
0
0
C
C
∆t"
= 0
2
0
[ kNm ] t " = 20 C
EI = 672,4
0
Delty od temperatur obliczam według wzoru:
α
t∆t
∆
it
= ∫ M
i
ds + ∫ N
iα
tt0ds
h
M 1
t
0
' = 0
0
0
C
C
t
h = 0,12m
N 1
4397893
∆
it
=
∫
α
t∆t
M
i
ds +
h
∫
⎡ ⎛ 1
N
iα
tt
ds = −⎢2
⋅⎜
⋅
⎣ ⎝ 2
40
40 ⋅ 6 ⋅ ⋅12
⋅10
0,12
⎞ ⎛ 40
⎟ + ⎜6
⋅12
⋅ ⋅12
⋅10
⎠ ⎝ 0,12
−6
−6
0 ⎟ = −
⎞⎤
⎥
⎠⎦
0,
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
12
M 2
N 2
( ) 0
∆
it
=
∫
α
t
∆t
M
i
ds +
h
∫
N α t
i
ds
symetria i ∆t
= 0
t 0
=
=
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
13
M 3
N 3
[ ] 146738
∆
it
=
∫
M
i
α
t
∆t
ds +
h
∫
⎡ ⎛ 1 40
−6
⎞ ⎛ 5 40
−6
⎞⎤
−5
N
iα
tt
0ds
= −⎢2⋅⎜
⋅ 40 ⋅1⋅
⋅12⋅10
⎟ − 2⋅⎜
⋅6⋅
⋅12⋅10
⎟⎥
− 1⋅6⋅1,2
⋅10
⋅ 20 = −0,
⎣ ⎝ 2 0,12 ⎠ ⎝ 2 0,12 ⎠⎦
Układ równań kanonicznych:
⎧δ
11
⋅ X
1
⎪
⎨δ
21
⋅ X
1
⎪
⎩δ
31
⋅ X
1
+ δ
+ δ
+ δ
12
22
32
⋅ X
⋅ X
⋅ X
2
2
2
+ δ
+ δ
+ δ
13
23
33
⋅ X
3
⋅ X
⋅ X
3
3
+ ∆
+ ∆
+ ∆
1t
2t
3t
= 0
= 0
= 0
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
14
Podstawiamy obliczone delty od wpływu temperatur:
⎧
⎪( 48 ⋅ 10 + 216) ⋅ X
1
+ 0 ⋅ X
2
+ ( 8 ⋅ 10 + 90) ⋅ X
3
− EI ⋅( 0,439789)
= 0
⎪
⎨0
⋅ X
1
+ ( 48⋅
10 + 504) ⋅ X
2
+ 0 ⋅ X
3
+ EI ⋅ () 0 = 0
⎪
⎪
⎛ 4 ⎞
( 8⋅
10 + 90) ⋅ X
1
+ 0 ⋅ X
2
+ ⎜ ⋅ 10 + 42⎟ ⋅ X
3
− EI ⋅( 0,146738)
= 0
⎪⎩
⎝ 3 ⎠
X = 0,6184 kN
X
X
1
2
3
= 0
[ ]
[ kN]
[ kN]
= 0,5921
Wykres końcowy od wpływu temperatury:
M t
T t
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
15
T t
M i
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
16
N i
V
V
V
V
k
k
k
k
= M
t
⋅ M
i
α
t
∆t
∫ ds + M
i
ds N
i tt
ds
EI
∫
+
h
∫ α
0
= 0
1 ⎡1
⎤ 1 ⎡6,0784
+ 4,3024 ⎤ α
t
⋅ ∆t
⎡1
= ⋅ 2 ⋅ 40 4,3024 4 2
6 6
EI ⎢ ⋅ ⋅ ⋅
2
⎥ + ⋅ ⋅
2EI
⎢
⋅ ⋅
2
⎥ − ⋅
h ⎢ ⋅
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣2
1 ⎡1
⎤ 1 ⎡6,0784
+ 4,3024 ⎤ ⎡1
= ⋅ 2 ⋅ 40 4,3024 4 + ⋅
6 6 − 0,004 ⋅
672,4 ⎢ ⋅ ⋅ ⋅
2
⎥ 672,4 ⎢
⋅ ⋅
2
⎥ ⎢ ⋅
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣2
= 0,000025099
[ m]
⎤
40 ⋅ 6 + 12 ⋅ 6⎥
⎦
⎤
40 ⋅ 6 + 12 ⋅ 6⎥
⎦
Obliczam zadane przemieszczenie
Korzystam z twierdzenia redukcyjnego. Wykorzystuję końcowy wykres momentów dla
układu statycznie niewyznaczalnego i rysuję wykres momentów od przyłożonej jednostkowej
siły wirtualnej dla schematu zastępczego.
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®
17
]
0,0093[
2
0,3952
8
2
4
40
3
2
0,3952
3
2
4,63
40
2
1
1
2
0,3952
1,5808
8
6
4
6
3
2
0,3952
3
2
1,5808
3
1
6
4,63
2
1
0,3952
3
1
1,5808
3
2
6
15,67
2
1
2
1
2
4,1116
2,9251
8
6
4
6
3
2
4,1116
3
2
2,9251
3
1
6
15,67
2
1
4,1116
3
1
2,9251
3
2
6
4,63
2
1
2
1
0,1185
3
1
2,9251
3
2
40
2
1
4,63
2
1
2,9251
3
1
0,1185
3
2
2,315
40
2
1
2
1
2,9251
8
3
0,1185
8
5
8
2
4
3
2
2
1
0,1185
3
2
2,315
40
2
1
2
1
0,1185
8
5
8
2
4
40
3
2
2
1
1
2
2
2
2
2
m
EI
EI
EI
EI
V
ds
EI
M
M
V
k
n
u
= −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
= ∫