Vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlađenje ...

UNIVERZITET U SARAJEVU 

MAŠINSKI FAKULTET U ZENICI 

SAMIR LEMEŠ, dipl.inž. 

VIBRACIJE CENTRIFUGALNIH PUMPI 

U SISTEMIMA ZA HLAĐENJE 

AUTOMOBILSKIH MOTORA 

- magistarski rad - 

Zenica, februara 2002.

UNIVERZITET U SARAJEVU 

MAŠINSKI FAKULTET U ZENICI 

KLJUČNE DOKUMENTACIJSKE INFORMACIJE 

Vrsta rada: Magistarski rad 

Autor: Samir Lemeš, dipl.inž. 

Index br. 90/95 

Mentor: 

V.prof.dr. Nermina Zaimović-Uzunović 

Naslov rada: "Vibracije centrifugalnih pumpi 

u sistemima za hlađenje automobilskih motora" 

Jezik publikacije: bosanski 

Jezik rezimea: bosanski/engleski 

Zemlja publikovanja: Bosna i Hercegovina 

Bliže geografsko područje: Zeničko-dobojski kanton 

Godina izdanja: 2002. 

Izdavač: 

Mašinski fakultet u Zenici 

Univerzitet u Sarajevu 

Adresa: 72000 Zenica, Fakultetska br.1 

E-mail: mf@mf-ze.unsa.ba 

Fizički opis rada: 

Broj poglavlja 12 

Broj strana 110 

Broj tabela 22 

Broj slika 73 

Broj priloga - 

Broj dijagrama - 

Naučna oblast: dinamika i teorija oscilacija, metod konačnih elemenata 

Ključne riječi: vibracije, hlađenje 

UDK: 534/621.6 

Mjesto čuvanja rada: Biblioteka Mašinskog fakulteta u Zenici 

Vrijeme odbrane rada: 15.02.2002. 

Napomena: Ovaj rad i njegovi rezultati su isključivo vlasništvo Katedre za mehaniku 

Mašinskog fakulteta u Zenici i bez saglasnosti rukovodioca ove katedre ne mogu se 

koristiti izvan domena magistarskog rada. 

Identifikacioni broj: 

Tip dokumentacije: 

I

Lemeš Samir, dipl.inž. 

VIBRACIJE CENTRIFUGALNIH PUMPI U SISTEMIMA ZA HLAĐENJE 

AUTOMOBILSKIH MOTORA 

REZIME 

U ovom radu istraživanje je usmjereno na identifikaciju vibracionih karakteristika i mogućih 

uzroka pojave neželjenih vibracija u eksploataciji centrifugalne pumpe iz proizvodnog 

programa preduzeća "Pobjeda" Tešanj. Pumpa koja je predmet istraživanja se koristi u 

sistemima za hlađenje automobilskih motora. 

Prvi dio rada obuhvata pregled dosadašnjih istraživanja, te detaljnu klasifikaciju vibracija 

centrifugalnih pumpi. Na osnovu toga, istraživanje je usmjereno na vibracije usljed 

hidrauličkih uzroka. Metodom konačnih elemenata izvršena je analiza vibracija pokretnih 

dijelova reprezentativne pumpe, te je zaključeno da istraživanje treba ograničiti na radno kolo 

pumpe. U drugom dijelu rada je uspostavljena funkcionalna zavisnost između materijala od 

kojeg se izrađuje radno kolo i vlastitih frekvencija slobodnih vibracija pumpe. Variranjem 

konstruktivnih parametara radnog kola (broj i oblik lopatica, debljina radnog kola, debljina 

lopatica, zakrivljenost lopatica) metodom konačnih elemenata izvršen je proračun vlastitih 

frekvencija, te uspostavljena funkcionalna zavisnost između ovih veličina. Na osnovu 

frekventnog opsega u kojem se nalaze vlastite frekvencije radnog kola, zaključeno je da je 

osnovni uzrok vibracija u ovoj pumpi kavitacija. Dobijeni rezultati mogu poslužiti kao 

preporuke i smjernice za dizajn automobilskih vodenih pumpi sa najpovoljnijim vibracionim 

karakteristikama u eksploataciji. 

KLJUČNE RIJEČI: vibracije, hlađenje 

Lemeš Samir, dipl.inž. 

VIBRATIONS OF CENTRIFUGAL PUMPS USED IN AUTOMOTIVE COOLING 

SYSTEMS 

SUMMARY 

Research performed in this paper is focused on identification of vibration characteristics and 

possible causes of unwanted vibration in exploatation of centrifugal pump produced by 

company "Pobjeda" Tešanj. The pump being investigated is being used in cooling systems for 

automobile motors. 

The first part of this paper gives survey of researches performed recently, as well as in-depth 

classification of centrifugal pump vibration. According to these results, research is focused on 

vibration due to hydraulic causes. Vibration analysis of moving parts of the representative 

pump is performed by Finite Element Method. Results obtained have shown that further 

research should be focused on pump impeller. Functional dependency between the impeller 

material and its natural frequencies is established in the second part of this paper. Finite 

Element Method is used to calculate natural frequencies, by varying constructive parameters 

of the impeller (number and shape of vanes, impeller thickness, vane thickness, curvature of 

vanes), and functional dependence between these parameters is established. According to 

frequency range where all natural frequencies lie, conclusion was made that the main cause of 

vibration in this pump is cavitation. Results obtained can be used as recommendations and 

directives for design of automobile water pumps with the best vibration characteristics in 

exploatation. 

KEY WORDS: vibration, cooling 

II

IZJAVA O SAMOSTALNOJ IZRADI RADA 

Nastavno-naučno vijeće Mašinskog fakulteta u Zenici mi je odlukom broj 

05-612-997/99 od 9.12.1999. godine odobrilo izradu magistarskog rada pod naslovom 

"Vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlađenje automobilskih motora" i za 

mentora je imenovana v.prof.dr. Nermina Zaimović-Uzunović. 

Izjavljujem pod punom odgovornošću da sam ovaj magistarski rad uradio 

samostalno. 

Numerički dio proračuna u magistarskom radu uradio sam pomoću software-a 

"I-deas Master Series 8", koji je vlasništvo Mašinskog fakulteta u Zenici. 

Samir Lemeš, dipl.inž. 

III

Vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlađenje automobilskih motora 

SADRŽAJ 

Strana 

1. UVOD .........................................................................................................1 

1.1. Cilj rada........................................................................................................1 

1.2. Struktura rada...............................................................................................1 

1.3. Osnovna hipoteza.........................................................................................2 

2. PREGLED DOSADAŠNJIH ISTRAŽIVANJA VIBRACIJA 

PUMPI.........................................................................................................3 

2.1. Uzroci vibracija pumpi.................................................................................3 

2.1.1. Klasifikacija uzroka vibracija pumpi ...........................................................3 

2.1.2. Hidraulički uzroci vibracija pumpi ..............................................................5 

2.1.3. Kavitacija / recirkulacija ..............................................................................7 

2.1.4. Mehanički uzroci vibracija pumpi ...............................................................9 

2.1.5. Ostali uzroci vibracija pumpi.......................................................................9 

2.1.6. Identifikacija uzroka problema vibracija pumpi ..........................................9 

2.2. Posljedice vibracija pumpi .........................................................................11 

2.2.1. Rezonanca ..................................................................................................12 

2.3. Metode mjerenja vibracija .........................................................................12 

2.3.1. Parametri vibracija .....................................................................................13 

2.3.2. Vremenski i frekventni domen...................................................................14 

2.3.3. Mjerni lanac za mjerenje vibracija.............................................................16 

2.3.4. Osnovna oprema za mjerenje vibracija......................................................16 

2.3.5. Mjerna mjesta.............................................................................................17 

2.3.6. Filtriranje....................................................................................................19 

2.3.7. Prikaz rezultata mjerenja............................................................................20 

2.4. Metode analize vibracija ............................................................................24 

2.4.1. Rotordinamička analiza..............................................................................25 

2.4.2. Metod konačnih elemenata ........................................................................28 

2.4.3. Modalna analiza .........................................................................................30 

2.4.4. Modalna analiza sa vremenskim prosjekom ..............................................33 

2.5. Kriteriji za ocjenu problema ......................................................................35 

2.5.1. Standardi i normativi za interpretaciju nivoa vibracija..............................36 

2.6. Rješavanje problema vibracija pumpi........................................................38 

2.6.1. Modifikacije konstrukcije pumpe ..............................................................39 

2.6.2. Preventivno održavanje..............................................................................41 

2.6.3. Primjeri iz prakse .......................................................................................42 

3. VIBRACIJE SKLOPA VRATILA I RADNOG KOLA PUMPE .......47 

3.1. Opis centrifugalne pumpe koja je predmet istraživanja.............................47 

3.2. Vibracije sklopa vratila i radnog kola pumpe ............................................49 

3.2.1. Modeliranje pokretnih dijelova centrifugalne pumpe................................49 

3.2.2. Proračun krutosti ležajeva..........................................................................49 

3.2.3. Rezultati proračuna MKE ..........................................................................54 

3.2.4. Zaključak....................................................................................................57 

4. POPREČNE VIBRACIJE PLOČA........................................................58 

4.1. Uvod...........................................................................................................58 

4.2. Diferencijalna jednačina poprečnih vibracija ploča...................................58 

4.3. Metode rješavanja diferencijalne jednačine poprečnih vibracija ploča .....61 

4.3.1. Tačno rješenje ............................................................................................61 

IV


4.3.2. Približne metode ........................................................................................64 

4.4. Oblici oscilovanja okruglih ploča ..............................................................65 

4.5. Uticaj centrifugalne sile .............................................................................67 

5. PRIMJENA METODE KONAČNIH ELEMENATA ZA 

ODREĐIVANJE VLASTITIH FREKVENCIJA SLOBODNIH 

NEPRIGUŠENIH VIBRACIJA..............................................................73 

5.1. Lanczos metoda za određivanje vlastitih frekvencija i oblika 

oscilovanja .................................................................................................75 

5.2. Konačni elementi za analizu vibracija .......................................................76 

5.2.1. Prostorni linearni element oblika kvadra ...................................................77 

5.2.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra ..........................................77 

5.3. Izbor vrste i broja konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola 

centrifugalne pumpe...................................................................................77 

6. UTICAJ VRSTE MATERIJALA NA VIBRACIJE RADNOG 

KOLA PUMPE.........................................................................................82 

7. UTICAJ DEBLJINE DISKA NA VIBRACIJE RADNOG KOLA 

PUMPE .....................................................................................................84 

7.1. Vibracije okruglog diska konstantne debljine............................................84 

7.2. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama............85 

7.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim 

lopaticama ..................................................................................................86 

8. UTICAJ BROJA I OBLIKA LOPATICA NA VIBRACIJE 

RADNOG KOLA PUMPE......................................................................91 

8.1. Vibracije pojednostavljenog okruglog diska sa ravnim lopaticama ..........91 

8.2. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa različitim brojem 

ravnih lopatica............................................................................................92 


zakrivljenih lopatica...................................................................................94 

8.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa lopaticama različitog 

radijusa zakrivljenosti ................................................................................96 

8.4. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama 

nagnutih pod različitim uglom u odnosu na disk radnog kola ...................97 

8.5. Vibracije pojednostavljenog modela diska sa zakrivljenim 

lopaticama različite visine..........................................................................98 

9. ZAKLJUČCI ..........................................................................................101 

CONCLUSIONS ....................................................................................103 

10. NEDOSTACI VLASTITIH ISTRAŽIVANJA....................................105 

11. PRAVCI DALJIH ISTRAŽIVANJA ...................................................105 

12. LITERATURA .......................................................................................106 

12.1. Citirana literatura .....................................................................................106 

12.2. Šira literatura............................................................................................109 

SPISAK SLIKA......................................................................................111 

SPISAK TABELA .................................................................................114 

SPISAK KORIŠTENIH OZNAKA I SIMBOLA ...............................115 

V


SPISAK SLIKA 

Slika 2.1. Recirkulacija u radnom kolu...............................................................8 

Slika 2.2. Određivanje vlastitih frekvencija, približno, podizanjem 

vibracija niskog nivoa na donjoj granici šuma iz ukupnog 

signala: (a) Linearni dijagram; (b) Logaritamski ili dB 

dijagram, koji pokazuje više detalja. ..................................................9 

Slika 2.3. Utvrđivanje vlastite frekvencije udaranjem kućišta ležaja 

pumpe (a) Sila u odnosu na vrijeme za tipičan udarac 

(b) Spektar frekvencija višestrukih slučajnih udaraca 

(c) Efekat pravilno raspoređenih ili dvostrukih udaraca...................11 

Slika 2.4. Načini mjerenja odziva (a) pomjeranje (b) brzina (c) ubrzanje........13 

Slika 2.5. Relacija između vremenske i frekventne domene ............................15 

Slika 2.6. Veza između amplitude, frekvencije i glavnih oblika 

oscilovanja, prikazana na primjeru vibrirajuće grede.......................15 

Slika 2.7. Koraci pri mjerenju vibracija............................................................16 

Slika 2.8. Vibracije kućišta u odnosu na vratilo (zasnovano na podacima 

u radnim uslovima sa 25 pumpi identične konstrukcije i 

primjene)...........................................................................................18 

Slika 2.9. Format mjerenja odziva na vibracije: (a) originalni vremenski 

zapis, (b) nefiltrirani ili ukupni frekventni odziv, 

(c) filtrirani frekventni odziv. ...........................................................19 

Slika 2.10. Mjerenje efektivnih i maksimalnih frekvencija................................20 

Slika 2.11. Bodeov dijagram...............................................................................21 

Slika 2.12. Nyquistov dijagram ..........................................................................21 

Slika 2.13. Primjer vibracione karakteristike pumpe, sa rotorom koji struže 

po naslagama na zaptivaču: (a) Orbita vratila, (b) Grafikon 

linearnih vibracija u odnosu na frekvenciju, (c) Vremenska 

funkcija, (d) Grafikon vibracija u odnosu na frekvenciju. ...............21 

Slika 2.14. Brza Fourierova transformacija (FFT) .............................................22 

Slika 2.15. "Kaskadni grafikon", koji pokazuje kritične brzine 

kompresora. ......................................................................................22 

Slika 2.16. Campbellov dijagram .......................................................................23 

Slika 2.17. Pojednostavljeni rotordinamički model............................................25 

Slika 2.18. Dejstvo poremećajne sile za modalnu analizu pomoću 

(a) velikog broja individualnih vibratora sa različitim 

frekvencijama i (b) jednog udarca čekićem......................................30 

Slika 2.19. Odziv na jedan udar, u (a) vremenskom i (b) frekventnom 

domenu .............................................................................................31 

Slika 2.20. Princip rada modalne analize sa vremenskim prosjekom 

poremećaja (TAME).........................................................................33 

Slika 2.21. Tok fluida sa radnog kola na volutu sa visokim, niskim i 

optimalnim protokom ......................................................................40 

Slika 2.22. Skica za modifikaciju jezička volute ...............................................40 

Slika 3.1. Vertikalni presjek centrifugalne pumpe za vodu..............................47 

Slika 3.2. Prikaz sklopljene i rastavljene centrifugalne pumpe za vodu 

(proizvođač "Pobjeda" Tešanj).........................................................48 

Slika 3.3. Radno kolo centrifugalne pumpe (postojeća konstrukcija) ..............48 

Slika 3.4. Prostorni model pokretnih dijelova centrifugalne pumpe ................49 

VI


Slika 3.5. Opterećenje jedne kuglice u kugličnom ležaju.................................50 

Slika 3.6. Radijusi zakrivljenosti površina u kontaktu .....................................50 

Slika 3.7. Sile koje djeluju na vratilo................................................................53 

Slika 3.8. Oblici oscilovanja modela sa remenicom.........................................55 

Slika 3.9. Oblici oscilovanja modela sa remenicom.........................................55 

Slika 3.10. Oblici oscilovanja modela bez remenice, modelirani 

elementima oblika kvadra.................................................................56 

Slika 3.11. Oblici oscilovanja modela bez remenice, modelirani 

elementima oblika tetraedra..............................................................56 

Slika 4.1. Kinematika deformacije tanke ploče ................................................58 

Slika 4.2. Oblici oscilovanja kružne ploče ukliještene po rubu........................64 

Slika 4.3. Nodalne linije i nodalne kružnice.....................................................66 

Slika 4.4. Chladnijeve figure – oblici oscilovanja okrugle ploče .....................66 

Slika 4.5. Chladnijeva figura nastala vibracijom frekvencije vokala "A" ........67 

Slika 4.6. Chladnijeve figure nastale vibracijom radnog kola 

centrifugalne pumpe .........................................................................67 

Slika 4.7. Naprezanja u rotirajućem disku........................................................68 

Slika 4.8. Raspodjela naprezanja u rotirajućem disku .....................................71 

Slika 5.1. Prostorni linearni element oblika kvadra..........................................77 

Slika 5.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra.................................77 

Slika 5.3. Okrugla ploča – model za izbor potrebnog broja konačnih 

elemenata ..........................................................................................78 

Slika 5.4. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po četvrtini 

obima diska.......................................................................................78 

Slika 5.5. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po radijusu 

diska..................................................................................................79 

Slika 5.6. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po debljini 

diska..................................................................................................79 

Slika 5.7. Particioniranje diska radi generisanja mapirane mreže 

konačnih elemenata ..........................................................................80 

Slika 5.8. Mapirana (MAPPED) mreža konačnih elemenata ...........................81 

Slika 5.9. Slobodna (FREE) mreža konačnih elemenata ..................................81 

Slika 7.1. Model kružnog diska debljine "h" ....................................................84 

Slika 7.2. Zavisnost vlastite frekvencije od debljine diska...............................85 

Slika 7.3. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 ravnih lopatica .....................85 

Slika 7.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola sa 

5 ravnih lopatica ...............................................................................86 

Slika 7.5. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 zakrivljenih lopatica ............87 


5 zakrivljenih lopatica ......................................................................87 


11 zakrivljenih lopatica ....................................................................88 

Slika 7.8. Oblik oscilovanja idealiziranog kružnog diska u poređenju sa 

istim oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (1 nodalni 

prečnik, 0 nodalnih kružnica) ...........................................................89 


istim oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (2 nodalna 

prečnika, 0 nodalnih kružnica) .........................................................89 

VII



istim oblikom radnog kola centrifugalne pumpe (3 nodalna 

prečnika, 0 nodalnih kružnica) .........................................................90 

Slika 7.11. Oblik oscilovanja radnog kola centrifugalne pumpe kod 

torzionih vibracija.............................................................................90 

Slika 8.1. Pojednostavljeni model okruglog diska sa ravnim lopaticama ........91 

Slika 8.2. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica za 

pojednostavljeni disk ........................................................................92 

Slika 8.3. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama.......92 

Slika 8.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od broja lopatica 

za radno kolo centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama ...............93 

Slika 8.5. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim 

lopaticama.........................................................................................94 


za radno kolo centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama ......95 

Slika 8.7. Pojednostavljeni model diska 

sa lopaticama različitog radijusa zakrivljenosti................................96 

Slika 8.8. Zavisnost vlastitih frekvencija od radijusa zakrivljenosti 

lopatica..............................................................................................97 


sa lopaticama različitog ugla nagiba u odnosu na radno kolo ..........97 

Slika 8.10. Zavisnost vlastitih frekvencija od ugla nagiba lopatica....................98 

Slika 8.11. Pojednostavljeni model diska sa lopaticama različite visine............99 

Slika 8.12. Zavisnost vlastitih frekvencija od visine lopatica...........................100 

VIII


SPISAK TABELA 

Tabela 2.1. Uzroci vibracija u zavisnosti od frekvencije .....................................3 

Tabela 2.2. Problemi vibracija tipični za pumpe ..................................................4 

Tabela 2.3. Ispitivanja vibracija s ciljem identifikacije specifičnih 

problema. ..........................................................................................36 

Tabela 2.4. Spisak standarda koji tretiraju vibracije pumpi: ...............................36 

Tabela 2.5. Lista za identifikaciju uzroka problema rotirajućih mašina. ............45 

Tabela 3.1. Proračun vlastite težine i sila u osloncima:.......................................53 

Tabela 3.2. Statički proračun:..............................................................................54 

Tabela 3.3. Podaci o ležajevima:.........................................................................54 

Tabela 3.4. Vlastite frekvencije sklopa pokretnih dijelova pumpe .....................55 

Tabela 5.1. Izbor vrste konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola 

pumpe ...............................................................................................80 

Tabela 6.1. Karakteristike tipičnih materijala za izradu radnog kola pumpe......83 

Tabela 6.2. Uticaj materijala na prve četiri vlastite frekvencije 

radnog kola centrifugalne pumpe .....................................................83 

Tabela 7.1. Vlastite frekvencije [Hz] za kružni disk debljine "h".......................84 

Tabela 7.2. Vlastite frekvencije [Hz] za radno kolo centrifugalne pumpe 

sa 5 ravnih lopatica, debljine "h"......................................................86 


sa 5 zakrivljenih lopatica, debljine "h".............................................87 


sa 11 zakrivljenih lopatica, debljine "h"...........................................88 

Tabela 8.1. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni kružni disk sa 

lopaticama.........................................................................................91 


sa ravnim lopaticama ........................................................................93 


sa zakrivljenim lopaticama ...............................................................94 

Tabela 8.4. Vlastite frekvencije [Hz] za pojednostavljeni model diska 

sa zakrivljenim lopaticama za različite radijuse zakrivljenosti ........96 


sa 5 ravnih lopatica različitih nagiba u odnosu na disk radnog 

kola ...................................................................................................98 


sa 11 zakrivljenih lopatica u zavisnosti od visine lopatica...............99 

IX


SPISAK KORIŠTENIH OZNAKA I SIMBOLA 

a = trenutno ubrzanje 

a mn = numerička konstanta 

a pk = maksimalno ubrzanje 

A = integraciona konstanta 

B = integraciona konstanta 

c = konstanta 

c = matrica prigušenja 

C ω = konstanta promjene vlastite frekvencije zavisno od materijala 

C f = sila inercije 

d = prečnik kuglice kugličnog ležaja 

D = savojna krutost 

E = Youngov modul elastičnosti 

E k = kinetička energija 

E p = potencijalna energija 

f = frekvencija 

f i = i-ta vlastita frekvencija 

F = sila 

F = vektor sila 

G = modul smicanja 

h = debljina ploče 

I = moment inercije 

k = krutost 

k = matrica krutosti 

L = diferencijalni operator 

L = dužina 

m = broj nodalnih prečnika 

m = matrica masa 

n = broj nodalnih kružnica 

R = rad spoljnih sila 

r = radijus 

r 1 = unutrašnji prečnik kotrljajnog ležaja 

r 2 = vanjski prečnik kotrljajnog ležaja 

R i = rezidual 

t = vrijeme 

u = translacija u smjeru x-ose 

v = tangencijalna komponenta vektora pomjeranja 

v = translacija u smjeru y-ose 

v = trenutna brzina 

v pk = maksimalna brzina 

w = funkcija dinamički deformisane površine ploče 

w = radijalna komponenta vektora pomjeranja 

w = translacija u smjeru z-ose 

W = pretpostavljena funkcija dinamički deformisane površine ploče 

x = pomjeranje 

X = amplituda pomjeranja 

X pp = maksimalno pomjeranje 

Y m = Besselova funkcija druge vrste 

z = broj kuglica u kugličnom ležaju 

X


{ q} = vektor generalisanih pomjeranja 

{} q& = vektor generalisanih brzina 

{} q& & = vektor generalisanih ubrzanja 

= Besselova funkcija prve vrste 

I m 

[ H )] n × n 

(λ = matrica dinamičke krutosti 

ε = deformacija 

γ = deformacija 

δ = deformacija kuglice kugličnog ležaja 

Ω = frekvencija poremećajne sile 

∆ = Laplaceov operator 

π = Ludolfov broj 

σ = naprezanje 

σ = pomak vlastite vrijednosti 

ν = Poissonov koeficijent 

ρ = specifična masa 

ϕ = ugao 

α = ugao 

θ = ugao 

λ = vlastita vrijednost 

δ = vektor pomjeranja 

ω = vlastita frekvencija 

ω ij = vlastita frekvencija sa i nodalnih prečnika i j nodalnih kružnica 

σ r = radijalna komponenta naprezanja 

δ st = statički ugib 

σ t = tangencijalna komponenta naprezanja 

[C] = matrica prigušenja 

[K] = matrica krutosti 

[M] = matrica masa 

2πf = kružna frekvencija 

XI

1. Uvod 

1. UVOD 

Proizvodni program preduzeća "Pobjeda" Tešanj obuhvata i centrifugalne pumpe koje 

se koriste u rashladnim sistemima automobila. U eksploataciji centrifugalnih pumpi 

javljaju se vibracije čiji su uzroci nedovoljno istraženi. Uzroci neželjenih vibracija su 

različitog porijekla, a najčešćei su debalans rotirajućih elemenata ili kavitacija. 

Razvoj savremenih CAD metoda i software-a za inženjersku analizu konstrukcija 

omogućava da se izvrši detaljna analiza dinamičkih karakteristika čak i najsloženijih 

mašinskih elemenata i sklopova, pa tako i centrifugalnih pumpi, koje su specifične 

zbog složene geometrije. Ovo istraživanje je usmjereno na identifikaciju vibracionih 

karakteristika i mogućih uzroka pojave neželjenih vibracija u eksploataciji 

centrifugalne pumpe koja se koristi u sistemima za hlađenje automobilskih motora. 

Tendencije u savremenoj automobilskoj industriji su povećanje čvrstoće, 

eksploatacionih karakteristika i trajnosti dijelova, uz istovremeno smanjenje mase i 

troškova izrade. S obzirom da se zbog toga uvode novi materijali, potrebno je ispitati 

ponašanje ugrađenih materijala ne samo statički nego i dinamički, odnosno sa 

stanovišta vibracija. 

Uzroci vibracija centrifugalnih pumpi se mogu podijeliti na mehaničke, hidrauličke i 

ostale. Mehanički uzroci su obično stohastičke prirode i javljaju se usljed grešaka pri 

proizvodnji, te nesavršenosti materijala i ugrađenih komponenti. Hidraulički uzroci su 

posebno interesantni i nedovoljno istraženi, te će se ovo istraživanje usmjeriti na 

detaljniju analizu vibracija pumpi usljed hidrauličkih uzroka. 

1.1. Cilj rada 

Ciljevi ovog rada su sljedeći: 

• Rasvjetljavanje mogućih uzroka pojave vibracija u pumpi. 

• Ispitivanje uticaja vrste materijala radnog kola na dinamičke karakteristike. 

• Definisanje smjernica i preporuka za dizajn automobilskih vodenih pumpi sa 

najpovoljnijim vibracionim karakteristikama u eksploataciji. 

1.2. Struktura rada 

Ovaj rad se sastoji iz 12 poglavlja. Prvo poglavlje je uvod sa opisom ciljeva rada, 

strukturom rada i postavljene hipoteze. 

Drugo poglavlje daje pregled dosadašnjih istraživanja na polju vibracija 

centrifugalnih pumpi, te detaljnu klasifikaciju uzroka vibracija. 

U trećem poglavlju je opisana izabrana reprezentativna pumpa koja je predmet 

istraživanja, te su opisane vibracije pumpe kao sklopa. Obzirom da se pumpa sastoji 

od pokretnih i nepokretnih dijelova, u ovom poglavlju su izračunate vlastite 

frekvencije i oblici oscilovanja pokretnih dijelova pumpe. Dobijeni rezultati pokazali 

1

1. Uvod 

su da se te frekvencije ne poklapaju niti sa jednom od frekvencija poznatih 

poremećajnih sila, te je zaključeno da se dalje istraživanje fokusira na ponašanje 

samog radnog kola pumpe. 

Četvrto poglavlje opisuje teoretske postavke vibracija okruglih ploča, budući da se 

radno kolo ponaša u određenoj mjeri kao okrugla ploča. Dati su načini izvođenja 

diferencijalnih jednačina koje opisuju vibracije ploča i navedeni su načini rješavanja 

tih jednačina. Takođe je opisano i uzimanje u obzir dejstva centrifugalne sile jer se 

radi o rotacionoj strukturi. Detaljno su opisani oblici oscilovanja okruglih ploča, što 

predstavlja važan osnov za dalju analizu, jer se pokazalo da identifikacija oblika 

oscilovanja radnog kola centrifugalnih pumpi nije nimalo jednostavna, i neophodno je 

poznavanje oblika oscilovanja i pojmova nodalnih prečnika i nodalnih kružnica, koje 

su opisane u ovom poglavlju. 

Peto poglavlje opisuje primjenu metode konačnih elemenata u proračunu vibracija. U 

ovom poglavlju izvršen je i proračun da bi se izvršio pravilan izbor tipa i veličine 

konačnih elemenata za dalju analizu. 

U šestom poglavlju obrađen je uticaj materijala od kojeg se izrađuje radno kolo na 

vibracije. Zavisnost je izvedena i analitički i numerički, metodom konačnih 

elemenata. Rezultati su se poklopili sa odstupanjem od ± 1 %. 

U sedmom poglavlju je metodom konačnih elemenata izvršen proračun vlastitih 

frekvencija i oblika oscilovanja za okrugle diskove i za radno kolo centrifugalne 

pumpe za različite debljine diska. Vrijednosti dobijene proračunom su prikazane 

odgovarajućim dijagramima. 

U osmom poglavlju je metodom konačnih elemenata izvršen proračun vlastitih 

frekvencija i oblika oscilovanja za radno kolo centrifugalne pumpe sa različitim 

oblicima lopatica, te sa različitim brojem lopatica. Vrijednosti dobijene proračunom 

su prikazane odgovarajućim dijagramima. 

Deveto poglavlje sadrži zaključna razmatranja, deseto daje nedostatke provedenih 

istraživanja, a jedanaesto pravce mogućih daljih istraživanja. 

1.3. Osnovna hipoteza 

Osnovna hipoteza ovog rada jeste da se modifikacijom geometrijskih karakteristika 

radnog kola centrifugalne pumpe mogu kompenzirati promjene vibracionih 

karakteristika usljed promjene materijala koji se koristi za izradu radnog kola. 

2

2. Pregled dosadašnjih istraživanja vibracija pumpi 

2. PREGLED DOSADAŠNJIH ISTRAŽIVANJA VIBRACIJA 

PUMPI 

2.1. Uzroci vibracija pumpi 

Jedan od najčešćih problema kod novih konstrukcija pumpi su vibracije [30]. Ti su 

problemi posebno izraženi ako je pumpa postavljena vertikalno, ako je brzina pumpe 

promjenljiva ili ako pumpa mora raditi ravnomjerno sa protokom ispod 

projektovanog. Problemi vibracija koji se u literaturi najčešće pominju su radijalne 

vibracije vratila, odnosno rotordinamičko kretanje okomito na osu pumpe. Međutim, 

problematične vibracije se mogu pojaviti i u stacionarnim dijelovima pumpe, posebno 

kod vertikalnih pumpi. Pored radijalnih, mogu se javiti i aksijalne i torzione vibracije. 

Criqui [17] tvrdi da je veliki broj problema vibracija kod rotirajućih mašina 

uzrokovan malim brojem uzroka, od kojih su najčešći debalans, nesaosnost i 

rezonanca. Međutim, praćenje rada rotacionih mašina često dovodi do zaključka da se 

radi o vibracijama, a u stvari se radi o nekim sasvim drugim vanjskim poremećajima. 

Treba uvijek imati na umu da vibracije same po sebi ne predstavljaju problem, nego 

su one "simptom", odnosno indikator da postoji neki problem, pa samim tim i 

rješenje. Mjeri se odziv mašine na dinamičku silu, a ne sama sila. Osim toga, treba 

voditi računa o tome da se vibracije gotovo uvijek mjere indirektno, tako da su 

rezultati mjerenja podložniji vanjskim uticajima i manje su precizni. 

2.1.1. Klasifikacija uzroka vibracija pumpi 

Detaljnu klasifikaciju uzroka vibracija centrifugalnih pumpi dao je McNally [41]. On 

je sve uzroke svrstao u tri grupe: 

1. Mehanički uzroci vibracija 

2. Hidraulički uzroci vibracija 

3. Ostali uzroci 

Japikse, Furst i Marcher [30] su dali nekoliko osnovnih uzroka vibracija 

centrifugalnih pumpi, bez stroge klasifikacije na mehaničke i hidrauličke uzroke. Data 

je podjela uzroka vibracija u zavisnosti od odnosa frekvencije poremećajne sile i 

ugaone brzine pumpe: 

Tabela 2.1. Uzroci vibracija u zavisnosti od frekvencije [30] 

Odnos frekvencije i ugaone brzine Uzrok 

0.1 zaustavljanje toka u difuzoru 

0.8 zaustavljanje toka u radnom kolu 

1 debalans 

1-2 nesaosnost 

broj lopatica 

zazor između lopatice i kućišta 

Na statičku strukturu centrifugalnih pumpi bitan uticaj ima rezonantno pojačanje 

normalnih poremećajnih sila [29]. Uobičajene poremećajne sile se sastoje od: 

3


- zaostalog debalansa 

- zaostale nesaosnosti 

- broja lopatica 

- postrojenja u neposrednoj blizini 

- električnih i hidrauličkih uzroka. 

Pored uobičajenih problema koji se javljaju kod turbomašina, kao što su debalans ili 

nesaosnost, pumpe imaju sebi svojstven set problema [16]. Neki od tih problema se 

javljaju zbog prirode fluida koji se pumpa, kao što je kavitacija i hidraulička 

opterećenja. Drugi problemi, kao što su rezonanca ili kritične brzine mogu teoretski 

biti slične onima kod drugih vrsta turbomašina, iako se mogu manifestovati na 

neočekivane načine u pumpama. 

Debalans ili nesaosnost su jako dobro i detaljno obrađeni u literaturi, tako da o njima 

ovdje neće biti riječi. Naglasak će se staviti na probleme koji su jedinstveni za 

centrifugalne pumpe ili mogu predstavljati teškoće pri analizi. U tabeli 2.2. navedeni 

su ti problemi. 

Tabela 2.2. Problemi vibracija tipični za pumpe [16] 

1. Frekvencija prolaza lopatica Hidrauličko opterećenje vezano za broj lopatica 

radnog kola 

2. Kavitacija Štetni fenomen izazvan niskim pritiskom 

pumpanja 

3. Recirkulacija Povratni tok unutar radnog kola pri niskom 

protoku može dovesti do kavitacije i vibracija 

4. Rezonanca Čest problem na vertikalnim pumpama ali rijedak 

na horizontalnim pumpama 

5. Subsinhrona nestabilnost Problem koji se javlja rijetko ali se teško rješava 

Bolleter [8] jasno razdavaja sinhrone, subsinhrone i nadsinhrone vibracije pumpi. 

Uzroci sinhronih vibracija (sa frekvencijom približno jednakom ugaonoj brzini 

pumpe) su: 

- Mehanički debalans, 

- Hidraulični debalans (odstupanje od rotacione simetrije toka fluida kroz radno 

kolo), 

- Zakrivljenost vratila (izraženije kod jednostepenih nego kod višestepenih pumpi; 

Kod višestepenih pumpi ima više oslonaca, a kod jednostepene pumpe je vratilo 

oslonjeno kao konzola), 

- Odstupanja i nesavršenost oblika i dimenzija komponenti pumpe. 

Od nabrojanih uzroka, dominantan je hidraulički debalans, koji je prema provedenim 

istraživanjima [8] čak 3 do 5 puta veći od ostalih uzroka. 

Subsinhrone vibracije (frekvencija manja od ugaone brzine) se javljaju usljed: 

- Nestabilnosti rotora, 

- Hidrauličkih sila (isto je utvrdio i France [23]). 

Nadsinhrone vibracije (frekvencija veća od ugaone brzine pumpe) se javljaju usljed: 

4


- Međusobnog trenja komponenti pumpe, 

- Nelinearnosti vratila, 

- Nesaosnosti vratila i pogonskog sklopa, 

- Uzajamnog dejstva lopatica pumpe. 

France [23] navodi sljedeće uzroke vibracija pumpi: 

- Pobuda vlastitih frekvencija rotora pumpe, 

- Trenje između fluida i površine lopatice pumpe, što izaziva vrtložno strujanje 

(posljedica toga su subsinhrone vibracije), 

- Akustička rezonanca cjevovoda, 

- Nestabilnost ležajeva i zaptivki, 

- Hidrauličke poremećajne sile. 

2.1.2. Hidraulički uzroci vibracija pumpi 

Hidraulički uzroci vibracija pumpi su [41]: 

- Rad pumpe brzinama različitim od BEP (Tačka najvećeg stepena iskorištenja) 

- Isparavanje fluida 

- Brzina rotacije radnog kola preblizu kritičnoj brzini 

- Unutrašnja recirkulacija 

- Ulazak zraka u sistem, naprimjer kroz vrtloge 

- Turbulencije u sistemu (nelaminarni tok fluida) 

- Vodeni udar 

Kako su pumpe hidrauličke mašine, njihovo rotordinamičko ponašanje se znatno 

razlikuje od ponašanja pneumatskih turbomašina, kao što su kompresori ili turbine 

[13]. Masa fluida koji se nalazi u hidrauličkim mašinama je značajna u poređenju sa 

masom rotora. Kritične brzine pumpe ispunjene fluidom se znatno razlikuju od 

kritičnih brzina "suhe" pumpe. Osnovni razlog za tu razliku su uski zazori ispunjeni 

fluidom, kod kojih se javljaju značajne sile interakcije između fluida i čvrstog tijela, 

kao što su dinamička krutost, prigušenje ili koeficijenti mase. Osim toga, fluid koji se 

nalazi u radnom kolu može proizvesti "hidraulički debalans" koji je često veći od 

mehaničkog debalansa. Rotori uronjeni u fluid su izloženi sprezanju fluida sa 

kućištem pumpe, što se zanemaruje prilikom klasičnih proračuna pumpi. 

Poremećajne sile u pumpi se mogu podijeliti na aksijalne i radijalne. Radijalne sile u 

konvencionalnim centrifugalnim pumpama se povećavaju ako protok znatno odstupa 

od tačke najvećeg stepena iskorištenja pumpe. Ta pojava je najizraženija kod pumpi 

sa jednostrukom spiralom [51]. Aksijalne sile najviše zavise od diferencijalnog 

pritiska pumpe. 

Nestabilnosti toka se mogu svrstati u dvije glavne kategorije: oni koji su vezani za 

nedovoljan usisni pritisak da bi se izbjegla kavitacija i oni koji se javljaju usljed 

neravnomjerne raspodjele pritiska pri nižim vrijednostima protoka. Kavitacija se 

javlja obično kada padne usisni pritisak, kada poraste temperatura fluida ili kad protok 

poraste iznad normalne vrijednosti. 

5


Recirkulacija na ulazu i/ili izlazu pumpe se javlja kad protok padne ispod 80% od 

tačke najboljeg stepena iskorištenja, i tada dolazi do povećanog nivoa vibracija. 

R. V. Uy je detaljno obradio rotordinamičke sile koje nastaju u turbomašinama usljed 

toka fluida [55]. Po njemu su najvažnije sile koje se javljaju usljed isticanja fluida 

kroz procjep između radnog kola i izlaznog otvora. Što je taj zazor manji, 

destabilizirajuće sile su manje, ali se takođe smanjuju i dopuštene deformacije vratila. 

Veliki uticaj na dinamičku stabilnost turbomašine imaju ležajevi i zaptivači. Vrtlog 

koji se stvara u fluidu usljed savijenog vratila takođe izaziva destabilizirajuće 

radijalne sile. 

Chen [11] obrađuje vibracije lopatica turbine. Zaključak je da je potrebno povećati 

debljinu lopatica turbine, jer su iste izložene ciklički promjenljivom opterećenju, što 

je za nosače tipa konzole (kao što su lopatice turbine) jako nepovoljno. 

Inače, vibracije uzrokovane tokom fluida su detaljno obrađene od strane velikog broja 

autora, iako se najčešće ilustruju primjerima kao što je tok fluida oko cilindra ili 

mreže cilindričnih cijevi (kao kod ekranskih izmjenjivača topline u termoenergetskim 

postrojenjima). Tu temu su obradili Blevins [5], Pettigrew [45], Allison [1], Gossain 

[26], Gattulli i Ghanem [24]. 

Kako se radno kolo kreće unutar spirale kućišta pumpe, javljaju se reaktivne sile zbog 

nesimetrične statičke distribucije pritiska po periferiji radnog kola [30]. Te sile se 

obično predstavljaju linearnim koeficijentima, a mogu biti destabilizirajuće za rad 

pumpe. 

Osim tih reaktivnih sila, mogu se javiti i aktivne sile koje postoje nezavisno od 

kretanja radnog kola, tako da to kretanje ne utiče na njih. Te sile se javljaju usljed 

vrtložnih strujanja unutar radnog kola i usljed recirkulacije. Te sile obično imaju 

subsinhrone frekvencije, odnosno frekvencija im je manja od frekvencije prolaza 

lopatica (brzina vrtnje radnog kola puta broj lopatica). Ako pumpa ne radi dovoljno 

blizu tačke najvećeg stepena iskorištenja, ugao toka fluida se ne poklapa sa uglom 

lopatica, što dovodi do hidrauličkih udara na radno kolo. 

Geometrija volute i difuzora uzrokuje asimetriju toka fluida, što dovodi do pojave 

sila koje djeluju na radno kolo centrifugalne pumpe [33]. Za centrifugalne pumpe koje 

imaju manje specifične brzine karakteristično je područje u kojem se mogu javiti 

vibracije vratila usljed hidrodinamičkih sila ako je radna brzina dovoljno veća od prve 

kritične brzine [33]. 

Iako je u praksi često dolazilo do otkaza energetskih pumpi i pumpi visokog pritiska u 

hemijskoj industriji, relativno malo je istražen fenomen prepoznavanja i korekcije 

destruktivnih vibracija izazvanih hidrauličkim uzrocima [44]. 

Većina problema vibracija centrifugalnih pumpi se javlja usljed sinhronog fenomena 

kao što je frekvencija broja lopatica pomnoženog sa brzinom vrtnje, te frekvencija 

brzine vrtnje [52]. Asinhroni fenomeni, kao što su recirkulacija ili nestabilnost vratila, 

takođe mogu dovesti do neželjenih vibracija. Ti problemi se teže otkrivaju jer 

mehanizmi pobude vibracija u tim slučajevima nisu lako uočljivi. 

6


Black je 1979. uporedio pumpu sa kliznim ležajem [3]. Fluid koji se pumpa ima 

relativno nizak viskozitet u poređenju sa uljem za podmazivanje, a zazori kod pumpi 

su znatno manji od onih kod kliznih ležajeva. Rejnoldsov broj toka fluida u zazorima 

pumpi je veoma visok, što dovodi do turbulencije fluida. To znatno povećava 

efektivnu viskoznost. U centrifugalnim pumpama unutrašnji zazori istovremeno i 

povećavaju i prigušuju kritične brzine i poboljšavaju margine stabilnosti. Samo u 

posebnim slučajevima ti zazori postaju destabilizirajući faktor. 

Pulsacije pritiska i vibracije pumpi sa frekvencijom jednakoj broju lopatica radnog 

kola pomnoženim brzinom vrtnje rotora predstavljaju jedan od najvažnijih problema u 

radu pumpe [47]. Do danas nisu poznate metode za pouzdano predviđanje amplituda 

pulsacije pritiska niti mehanizmi kojima se te pulsacije pretvaraju u vibracije pumpi. 

Ti problemi se zasada rješavaju isključivo eksperimentalnim putem. Za centrifugalne 

pumpe, međutim, nisu karakteristične velike pulsacije pritiska, kao što je to slučaj sa 

drugim vrstama pumpi – zupčaste, krilne, klipne, zavojne pumpe [56, 57]. Čak se i 

odgovarajućom konstrukcijom zupčaste pumpe može izbjeći ova pojava – ako 

poprečni presjek nije cilindričan nego zavojni, te pulsacije se mogu znatno smanjiti. 

Može se zaključiti da je konstrukcija centrifugalne pumpe takva da je protok prilično 

homogen i nema pulsacija koje bi dovele do vibracija pumpe. Inače, te pulsacije imaju 

bitan uticaj na vibracije cjevovoda kojim se fluid dovodi ili odvodi iz pumpe. Mnogo 

važniji problem kod centrifugalnih pumpi je kavitacija 

Vjerovatno najčešći uzrok vibracija u centrifugalnim pumpama dolazi od sila koje 

uzrokuje hidraulika fluida [16]. Tu je poznato kao "prolaz lopatica", jer frekvencija 

vibracija odgovara proizvodu brzine i broja lopatica radnog kola pumpe. Te vibracije 

generiše trenutno parcijalno blokiranje kanala u radnom kolu stacionarnim difuzorom 

ili volutom. To blokiranje usporava tok i proizvodi radijalnu silu na vratilu. Utvrđeno 

je da je uzrok tih vibracija jedan od dva faktora: rad sa protokom različitim od 

konstruktivnog ili nedovoljan zazor između radnog kola i volute. 

Prije nego što se pokuša utvrditi stvarni uzrok problema vibracija pumpe, treba prvo 

identificirati porijeklo frekvencija u spektru. I površan pregled spektra nekad može 

pokazati da se ekstremne vrijednosti na spektru javljaju na frekvenciji jednakoj 

proizvodu brzine vrtnje i broja lopatica radnog kola. 

Međutim, kod pumpi koje imaju lopatice i po difuzoru, određivanje frekvencije 

prolaza lopatica nije jednostavno i očigledno. Potrebno je koristiti grafički ili 

numerički metod određivanja frekvencije, koji se zasnivaju na poređenju uglova 

između lopatica. 

2.1.3. Kavitacija / recirkulacija 

Kavitacija se javlja kada pritisak fluida koji se pumpa padne ispod tačke isparavanja 

fluida. Često se minimalni pritisak javlja neposredno iza ruba lopatice radnog kola 

gdje tok fluida ubrzava. Kad se to desi, u fluidu koji teče se javljaju mjehurići pare, 

koji sami po sebi ne predstavljaju problem. Štetno dejstvo tih mjehurića se očituje 

kada oni budu uvučeni u područje višeg pritiska u pumpi, obično oko sredine lopatice, 

gdje lokalni pritisak raste iznad tačke isparavanja fluida. Tada se dešava implozija tih 

mjehurića, pri čemu se javljaju ekstremno veliki pritisci u tačkama kolapsa mjehurića. 

7


Analiza mehanike fluida pokazuje da je pritisak u mjehuriću obrnuto proporcionalna 

trećem stepenu radijusa mjehurića. Na taj način, kada radijus mjehurića padne na 

nulu, u okolnom fluidu se javlja udarni talas koji može dostići desetine MPa. Već i 

vizuelni pregled lopatica oštećenih kavitacijom pokazuje da je pritisak dovoljno visok 

da sa lakoćom skida čestice materijala i sa najtvrđih materijala. 

Normalni protok 

Protok sa 

recirkulacijom 

Slika 2.1. Recirkulacija u radnom kolu 

Recirkulacija je distorzija toka fluida u pumpi koja se javlja kad dinamički pritisak 

koji proizvodi pumpa ne prelazi statički pritisak. Kao rezultat toga, tok fluida u 

kanalima lopatica mijenja smjer. Taj fenomen se može javiti pri niskim vrijednostima 

protoka i može izazvati kavitaciju čak i kad je pritisak koji proizvodi pumpa daleko 

ispod projektovanog pritiska pume. Slika 2.1. pokazuje normalan tok i tok fluida sa 

recirkulacijom u radnom kolu. Recirkulacijska polja se mogu javiti i u ulaznom i u 

izlaznom kanalu pumpe. 

Simptomi kavitacijom izazvanih vibracija pumpe se ogledaju frekvencijom prolaza 

lopatica sa svojim harmonicima, te vibracijama širokog spektra sa stohastičkom 

raspodjelom. Kad postoji frekvencija prolaza lopatica, viši harmonici (dvostruka, 

trostruka frekvencija) mogu biti prilično jaki, ili čak dominantni. Stohastičke 

frekvencije se mogu javiti u rasponu od 250 Hz do 1500 Hz. Kad se mjere na pumpi, 

te frekvencije nemaju velike amplitude, tako da se teško uočavaju na spektru, zato što 

vratilo pumpe ili kućište ležaja ne reaguju bitno na više frekvencije. Te stohastičke, 

visoke frekvencije se u spektru uočavaju kao vibracije širokog pojasa, sa malom 

amplitudom. Međutim, kad se mjerenje vibracija vrši na cjevovodu, visoke 

stohastičke frekvencije mogu dominirati spektrom. Razlog za to je geometrija 

cjevovoda, za koju su dominantni oblici oscilovanja oni sa višim frekvencijama. 

Wowk [58] navodi da se frekvencije vibracija izazvanih kavitacijom kreću od 3000 do 

5000 Hz. 

8


2.1.4. Mehanički uzroci vibracija pumpi 

Mehanički uzroci vibracija obuhvataju [41]: 

- Debalans rotirajućih komponenti (oštećeni radna kola, loše postavljeni ležajevi) 

- Savijeno ili uvrnuto vratilo (male deformacije) 

- Mimoilaženje osa pumpe i pogonskog člana 

- Deformacije cjevovoda (usljed konstrukcije ili temperature) 

- Nedovoljno velika masa postolja pumpe 

- Temperaturno širenje komponenti, posebno vratila 

- Trenje između dijelova 

- Istrošeni ili olabavljeni ležajevi (u eksploataciji) 

- Olabavljene navrtke za spoj pumpe i postolja 

- Olabavljeni dijelovi pumpe 

- Taloženje materijala iz fluida na rotirajuće komponente pumpe 

- Oštećeni dijelovi pumpe 

2.1.5. Ostali uzroci vibracija pumpi 

Ostali uzroci, koji se ne mogu svrstati ni u hidrauličke ni u mehaničke, su: 

- Harmonijske vibracije susjednih komponenti pumpe 

- Rad pumpe kritičnom brzinom 

- Začepljenje maziva na zaptivki (posebno kod pumpanja gasa ili suhe tvari) 

- Propuštanje fluida kroz zaptivku. 

2.1.6. Identifikacija uzroka vibracija pumpi 

3 

mils 

(a) 

10 

dB 

(b) 

2 

-10 

1 

-30 

0 

-50 

0 1x 2x 3x 4x 5x 

0 1x 2x 3x 4x 5x 

Slika 2.2. Određivanje vlastitih frekvencija, približno, podizanjem vibracija 

niskog nivoa na donjoj granici šuma iz ukupnog signala 

(a) Linearni dijagram 

(b) Logaritamski ili dB dijagram, koji pokazuje više detalja. 

Ispitivanje vibracija pumpi bi uvijek trebalo početi sa mjerenjem slobodnih vibracija, 

barem na kućištima ležajeva, te na vratilu, ako je vratilo pristupačno. Kod 

identifikacije uzroka problema, treba obezbijediti i nefiltrirana i filtrirana očitanja, sa 

filtriranjem najmanje za frekvencije jednake jednostrukoj, dvostrukoj brzini vrtnje i 

9


frekvenciji prolaza lopatica (brzina vrtnje puta broj lopatica). Poželjno je da se dobije 

cijeli spektar frekvencija u rasponu od 0 do 400 Hz za pumpe koje se okreću sa 3600 

o/min ili manje, i od 0 do 800 Hz za pumpe većih brzina. U svakom slučaju, poželjno 

je prikazati vibracije logaritamski, tj. u dB, u rasponu od 0 do 60 ili od 0 do 80 dB. To 

omogućuje bolji uvid u "donju granicu šuma" u spektru, ekstremne vrijednosti 

funkcije, u kojima bi mogle postojati vlastite frekvencije. 

Bez obzira da li se na donjoj granici šuma mogu uočiti ekstremne vrijednosti, ako 

oprema za modalnu analizu (dvokanalni analizator spektra, davač vibracija i impulsni 

čekić sa davačem sile) nije na raspolaganju, moguće je pažljivo udariti na kućište 

ležaja pumpe drvenom ili bronzanom cjevčicom i posmatrati spektar za vrijeme 

udarca. Važno je da se ne održava konstantna kadenca (spuštanje tona), jer to može 

dati lažne ekstremne vrijednosti, kao na slici 2.3. 

Većina savremenih tehnika za ispitivanje vibracija se zasniva na nekoj vrsti "analize 

odziva", odnosno poređenje dijagrama vibracija u odnosu na frekvenciju dobijenih 

pod reprezentativnim radnim uslovima sa dijagramima dobijenim na tipičnoj 

ispravnoj mašini (ili možda na toj, problematičnoj mašini dok je bila ispravna). Da li 

je pumpa ispravna ili ima neki problem, to se određuje poređenjem stvarnih nivoa 

vibracija sa maksimalnim nivoima koji se mogu očekivati na ključnim frekvencijama 

na koje utiču određene sile unutar pumpe. U nekim slučajevima ekstremne vrijednosti 

će se javiti samo u slučaju problema sa komponentama, npr. pikovi na niskim 

frekvencijama usljed kavitacije. U drugim slučajevima, ekstremna vrijednost na datoj 

frekvenciji se uvijek očekuje, ali njen nivo pokazuje da li neka sila postaje prevelika. 

To je slučaj, naprimjer, sa ekstremnim vrijednostima koje se javljaju na frekvenciji 

jednakoj brzini vrtnje, usljed zaostalog debalansa, ili onim koje se javljaju pri 

frekvenciji prolaza lopatica koje se javljaju usljed varijacija izlaznog pritiska na 

jezičku volute. Ispitivanje mašina s ciljem poređenja nivoa vibracija sa utvrđenim 

kriterijima, a prema konzistentnom, repetitivnom vremenskom rasporedu, naziva se 

"praćenje stanja". 

Ovaj pristup analizi odziva vibracija se može formalizirati (ili čak kompjuterizirati) da 

bi se ekstrapoliralo trenutno ponašanje mašine i da bi se projektovalo kada će se 

pojedine komponente istrošiti ili će im trebati podešavanje. To omogućuje 

preventivno održavanje. Da bi preventivno održavanje bilo efikasno, ulazni podaci 

moraju obuhvatati ne samo podatke o vibracijama, nego i podatke o učinku mašine ili 

buci, a poželjno je obezbijediti i druge dijagnostičke informacije, kao što su 

temperature ležajeva ili analiza čestica koje nastaju habanjem i koje se odnose 

sredstvom za podmazivanje. 

Kod identifikacije uzroka vibracija, mogu se koristiti generalizirani grafikoni poznatih 

simptoma s ciljem rješavanja tipičnih ili jednostavnih problema. Ipak, ne treba se 

pretjerano oslanjati na te liste problema, posebno ako njihova primjena ne vodi 

direktno do rješenja problema. Perzistentni problemi vibracija pumpi se javljaju 

obično usljed neočekivane kombinacije faktora, od kojih su neki specifični za 

određeni pumpni sistem, kao što su mehaničke ili akustične rezonance cjevovoda, ili 

nesaosnost pumpe u pogonu usljed temperaturnih distorzija cjevovoda ili postolja. 

10


(a) 

F 

500# 

5 ms 

t 

(b) 

F 

10# 

15000 o/min 

f 

(c) 

F 

Slika 2.3. Utvrđivanje vlastite frekvencije udaranjem kućišta ležaja pumpe (a) 

Sila u odnosu na vrijeme za tipičan udarac 

(b) Spektar frekvencija višestrukih slučajnih udaraca 

(c) Efekat pravilno raspoređenih ili dvostrukih udaraca. 

f 

2.2. Posljedice vibracija pumpi 

Najmanje šest komponenti može biti ozbiljno ugroženo vibracijama [41]: 

- Vijek trajanja mehaničkog zaptivača je direktno vezan za kretanje vratila. 

Vibracije mogu dovesti do intenzivnog habanja zaptivača, što kasnije samo 

povećava amplitudu vibracija. 

- Zaptivke su osjetljive na radijalno kretanje vratila. To dovodi do isticanja fluida, 

ali i do habanja vratila ili ležaja. Pri tome se razvija toplota koja dovodi do drugih 

negativnih pojava. 

- Ležajevi su konstruisani da podnose radijalno i aksijalno opterećenje, ali nisu 

konstruisani da podnose vibracije koje mogu dovesti do rupičenja staza ležajeva. 

- Kritične dimenzije i tolerancije, ako što su zazor ležaja i radnog kola jako zavise 

od vibracija. Unutrašnji zazori ležajeva se mjere u mikrometrima [µm]. 

11


- Komponente pumpe se mogu oštetiti vibracijama; primjeri tih komponenti su 

klizni ležajevi, zaptivke i radna kola. 

- Zaptivke na ležajevima su jako osjetljive na radijalno kretanje vratila. Kako imaju 

uske tolerancije, i vrlo mala oštećenja dovode do prijevremenog trošenja i 

otkazivanja. 

- Navrtke kojima su pričvršćeni pumpa i motor se usljed vibracija mogu olabaviti. 

2.2.1. Rezonanca 

Za razliku od turbina i kompresora, problemi rezonance kod horizontalnih pumpi su 

prilično rijetki. Pumpe rade manjim brzinama, a prigušenje i krutost su veći usljed 

prisustva fluida, koji prigušuje vibracije i pomjera rezonancu izvan radnog područja 

pumpe. Mnogi proizvođači pumpi tvrde da njihove pumpe nemaju kritičnu brzinu 

koja se može postići. Ipak, ima slučajeva kad se rezonanca može pojaviti i čak 

uzrokovati ozbiljne probleme. 

Problemi rezonance su više vezani za drugi, nego za prvi glavni oblik oscilovanja. 

Kod prvog glavnog oblika oscilovanja, kretanje vratila je najveće u centru vratila, 

gdje je i prigušenje najveće. Međutim, za drugi oblik oscilovanja je karakteristično da 

u centru nema kretanja (tačka pregiba), tako da eventualne poremećajne sile mogu 

izazvati rezonancu koju zaptivači ne prigušuju. 

Najčešća poremećajna sila kod turbomašina je mehanički debalans. Kako većina 

pumpi radi na manje od 3600 min -1 , brzina vrtnje ne dostiže kritičnu brzinu, koja je 

opet povišena usljed krutosti ležajeva i zaptivača. Problemi se javljaju samo kod jako 

velikih pumpi koje rade na višim brzinama. Drugi važan izvor poremećajnih sila je 

frekvencija prolaza lopatica. Taj problem je čest i kod manjih pumpi i veoma se teško 

otkriva. 

Dok su problemi rezonance kod horizontalnih pumpi rijetki, isto se ne može reći i za 

vertikalne pumpe. Najčešći oblik oscilovanja pri kojem se javlja rezonanca je 

konzolna rezonanca. Problem strukturalnih vibracija pumpi se teško rješava, jer za 

razliku od lako rješivog problema rezonance vratila, rezonanca cijelog pumpnog 

sistema se teško prigušuje. Moguća rješenja su dodavanje mase na kućište pumpe, ili 

instalacija dinamičkog apsorbera. Dinamički apsorber mijenja dinamičku 

karakteristiku sistema, tako da sistem dobija još jedan stepen slobode kretanja. Za 

probleme čiji se uzroci teško identificiraju, jedino rješenje je precizno balansiranje 

sistema, odnosno eliminacija poremećajne sile. 

2.3. Metode mjerenja vibracija 

Vibracije su normalna pojava kod mašina. Ako su vibracije unutar određenih granica, 

onda su one znak da mašina normalno funkcioniše. Da bi se ustanovilo da li su 

vibracije unutar dopuštenih granica, potrebno je dijagnostičko ispitivanje. Kad se u 

praksi pojave problemi sa vibracijama, vrši se ispitivanje vibracija poredeći amplitudu 

i frekvenciju dobijenu mjerenjem sa normiranim vrijednostima. Proizvođači pumpi su 

za svoje potrebe razvijali vlastite metode i tehnike ispitivanja. 

12


2.3.1. Parametri vibracija 

Vibracije se mogu mjeriti preko raznih veličina: frekvencija, amplituda, brzina, 

ubrzanje, energija, emisija zvuka, ugib [41]. Najčešće se vibracije mjere preko 

ubrzanja. Problem kod takvog mjerenja je, ako se ne zna frekvencija, očitanja 

ubrzanja nisu od velike koristi. Zbog toga se obično mjeri prosječna vrijednost svih 

frekvencija, a pažnja se poklanja onima koje imaju vrijednost dvostruko veću od 

prosjeka. Ako se ispituju samo vibracije ležajeva, koriste se filteri kako bi se dobile 

samo interesantne frekvencije (naprimjer između 55 i 2500 Hz). 

Nažalost, vrlo je malo podataka o oblicima oscilovanja mehaničkih zaptivača (kao što 

su lavirintski zaptivači). Problem se dalje usložnjava zbog: 

- velikog broja različitih materijala koji se koriste za zaptivače 

- velikih razlika između mnogobrojnih tipova zaptivača različitih proizvođača 

- raspoloživosti prigušenja vibracija u tim konstrukcijama zaptivača 

- široke upotrebe kontrole zagađenja okoline 

- velikog broja različitih fluida koji okružuju zaptivač. 

Pojava vibracija obično znači da je pumpa počela da propada. Većina proizvođača 

pokušava prikupiti dovoljno podataka da bi se predvidio vijek trajanja pumpe. 

Logično rješenje koje se nameće je izbor adekvatnog načina održavanja kako bi se 

izbjegli uzroci vibracija. Mjerenje vibracija ima smisla tek ako je održavanje 

odgovarajuće. 

Slika 2.4. Načini mjerenja odziva (a) pomjeranje (b) brzina (c) ubrzanje. 

Na slici 2.4. su prikazane tri osnovne forme u kojima se obično posmatraju vibracije. 

Važno je imati na umu da je, bez obzira na formu, brojčani rezultat mjerenja uvijek 

slika istog kretanja i frekvencije, odnosno istih vibracija. Pomjeranje (ukupni put koji 

tokom jednog ciklusa pređe komponenta koja vibrira), brzina (najveća brzina koju 

komponenta postigne prilikom kretanja) i ubrzanje (najveće vrijednosti ubrzanja koje 

13


se očitaju na mjernom uređaju za vrijeme vibriranja komponente) su u stvari samo 

različiti načini gledanja na isti fenomen. 

Za vibracije prikazane na slici 2.4., koje predstavljaju sinusni talas konstantne 

frekvencije, pomjeranje x u bilo kojem trenutku je funkcija amplitude pomjeranja X i 

frekvencije f: 

x = X sin 2πft (2.1) 

Veličina koja se obično prati je maksimalno pomjeranje (od vrha do vrha funkcije) 

X pp = 2X [mm]. Trenutna brzina je: 

v = dx/dt = 2πfX cos 2πft (2.2) 

iz čega slijedi da je maksimalna brzina [mm/s]: 

v pk = konstanta × ∆x pp × f (2.3) 

Konačno, trenutno ubrzanje je: 

a = dv/dt = d 2 x/dt 2 = -(2πf) 2 X sin 2πft (2.4) 

Maksimalno ubrzanje [g] je: 

a pk = konstanta × ∆X pp × f 2 (2.5) 

Prikazane forme mjerenja daju različitu sliku kod visokofrekventnih i 

niskofrekventnih dijelova spektra vibracija. Za isto pomjeranje, kad se pomjeranje 

dešava brže (tj. sa višom frekvencijom), brzina je veća a ubrzanje je dosta veće. To se 

reflektuje preko kružne frekvencije 2πf u jednačini (2.2) i na kvadrat kružne 

frekvencije u jednačini (2.4). 

2.3.2. Vremenski i frekventni domen 

Da bi se razumio pojam "spektra", potrebno je koristiti trodimenzionalni koordinatni 

sistem, čije ose prikazuju vrijeme, amplitudu i frekvenciju. Spektar je pogled (b) na 

koordinatni sistem i prikazuje zavisnost amplitude od frekvencije. Pogled (a) na 

koordinatni sistem daje krivulju zavisnosti pomjeranja (amplitude) od vremena. Za 

svaku frekvenciju, ta krivulja je različita. U svakom slučaju, radi se o istim podacima, 

kao što se vidi sa slike 2.5, samo što se podaci posmatraju sa različitih strana (u 

različitim domenima). 

Na slici 2.6 je na primjeru grede koja vibrira data ilustracija značenja frekventne 

funkcije. Pikovi (ekstremne vrijednosti) krivulje koja daje sliku vibracija u 

frekventnom domenu predstavljaju vlastite frekvencije, odnosno frekvencije pri 

kojima greda vibrira po jasno definisanim oblicima. Na slici su prikazana prva tri 

glavna oblika oscilovanja, odnosno fizički položaji koje zauzimaju tačke grede koja 

vibrira. Zavisno od toga u kojoj tački se vrši mjerenje, dobije se različita frekventna 

funkcija. Spajanjem pikova za više tačaka, dobiju se oblici oscilovanja grede. Za 

14


složenije oblike, kao što je radno kolo pumpe, oblici oscilovanja nisu linije (kao na 

slici 2.6), nego trodimenzionalni oblici koje je teže ilustrovati na ovakav način. 

(a) 

(b) 

Slika 2.5. Relacija između vremenske i frekventne domene 

Slika 2.6. Veza između amplitude, frekvencije i glavnih oblika oscilovanja, 

prikazana na primjeru vibrirajuće grede 

15


2.3.3. Mjerni lanac za mjerenje vibracija 

Na slici 2.7. su prikazani koraci koje treba izvršiti prilikom mjerenja vibracija. 

Koraci: 

Vibracije 

Parametri 

Mjerena veličina 

Rezultat mjerenja 

Ocjena rezultata 

Mjerni lanac: 

1. Mjerni davač 

2. Mjerni pretvarač 

3. Pojačanje i obrada signala 

4. Zapisivanje i analiza rezultata 

Slika 2.7. Koraci pri mjerenju vibracija 

Kako se pomjeranje, brzina, ubrzanje ili sila ne mogu mjeriti direktno, prvi korak kod 

mjerenja je da mjerni davač registruje mehaničku veličinu. 

U drugom koraku vrši se pretvaranje registrovane mehaničke veličine u neki 

električni parametar (otpor, kapacitet, napon, struju ili induktivitet). 

Treći korak je potreban da bi se izvršilo pohranjivanje podataka u međumemoriju, 

filtriranje, pojačanje, demodulacija, integracija, dodavanje ili oduzimanje signala da 

bi se dobila izlazna veličina koja je direktno proporcionalna originalno mjerenoj 

veličini. 

Sljedeći korak je pohranjivanje podataka s ciljem dalje analize ili prikazivanja na 

odgovarajući način. 

2.3.4. Osnovna oprema za mjerenje vibracija 

Savremena oprema za ispitivanje vibracija se prema sofisticiranosti može podijeliti na 

tri nivoa: 

1. Ručni senzori / mjerni uređaji. Ti uređaji se sastoje od malog portabl uređaja koji 

se napaja pomoću baterija, sa senzorom u obliku štapa. Senzor je obično davač 

brzine, koji radi tako što mjeri tok električne struje koji nastaje kretanjem između 

dva ugrađena elektromagneta, od kojih je jedan čvrsto a drugi fleksibilno vezan za 

kućište. Uređaj je obično mjerač koji se može podesiti tako da očitava samo 

filtrirane vibracije u određenom frekventnom opsegu (taj opseg se može proširiti 

tako da pokriva cijeli spektar), ili se radi o spektralnom analizatoru niske 

rezolucije koji može crtati približne nivoe vibracija u funkciji frekvencije. 

Prednost ovakvih uređaja je u tome što su prenosivi, lagani za korištenje i jeftini, a 

senzor je relativno lagan i robustan. Nedostaci su: 

16


- Informacije o frekvencijama koje se dobiju na ovakvom uređaju nisu precizne 

i teško je razlučiti hidraulične sile i mehaničke rezonancije od harmonika 

poremećaja koji se javljaju kao multiplikatori brzine vrtnje usljed debalansa i 

nesaosnosti. 

- Može se vršiti samo jedno po jedno mjerenje, tako da se modalna analiza ne 

može vršiti na osnovu tih podataka. 

- Senzori brzine imaju veoma slabu preciznost izvan raspona od 600 do 10000 

o/min. Zbog toga, ova vrsta opreme je korisna za utvrđivanje činjenice da li 

problem vibracija stvarno postoji ili ne, ali ne može dati dovoljno podataka o 

izvorima problema niti o načinima njihovog rješavanja. 

2. Jednokanalni FFT (Fast Fourier Trasform) analizatori. Ovi uređaji pretvaraju 

podatke vibracije-vrijeme u podatke vibracije-frekvencija, koji se lakše mogu 

interpretirati s ciljem otkrivanja potencijalnih problema. Ovakvi uređaji su 

kompaktni i prenosivi, iako su dosta komplikovani za podešavanje i korištenje. 

Mogu se koristiti sa senzorima brzine, ali se češće koriste akcelerometri, jer oni 

imaju pouzdan, linearni raspon (100 do milion min -1 , ako su čvrsto pričvršćeni) 

koji je širi od onog kod senzora brzine, a savremeni akcelerometri su prilično 

robusni. Ako su temperature više od 70°C, ručna mjerenja pomoću 

akcelerometara imaju normalnu pouzdanost u rasponu od 300 do 60000 min -1 . 

FFT može koristiti ulazni signal i sa induktivnih senzora za mjerenje pomjeranja 

rotirajućeg vratila relativno na neku stacionarnu tačku na kućištu pumpe. 

Prednost jednokanalnih FFT analizatora je u tome što se za umjerenu cijenu dobije 

pouzdana slika vibracija u odnosu na frekvenciju, što omogućuje da se razluče 

široki rasponi frekvencija hidrauličkih sila i rezonancije od relativno uskih 

frekvencijskih raspona mehaničkih poremećaja. Oni takođe obezbjeđuju dovoljnu 

rezoluciju frekvencija da bi se razlikovale male, ali važne razlike frekvencija 

rezonancija, mehaničkih i hidrauličkih sila. Važan nedostatak jednokanalnih FFT 

analizatora je u to što se ne može vršiti modalna analiza i snimanje položaja 

vratila u odnosu na vremenske cikluse. Takođe, ne može se dobiti vremenska 

zavisnost ili korelacija frekvencija između pulsacija pritiska ili vibracija u 

mogućim područjima izvora problema i područjima pojave simptoma. Te 

procedure obično igraju važnu ulogu u rješavanju problema. 

3. Dvokanalni FFT analizatori. Ti uređaji dozvoljavaju da se provedu mjerenja na 

dva simultana kanala, tako da se može provesti modalna analiza i korelacija. Kao i 

kod jednokanalnih analizatora, mogu se koristiti sve vrste senzora sa naponskim 

izlazom, uključujući i senzore brzine, ali se preferiraju pouzdaniji akcelerometri i 

neposredni davači pomjeranja. 

2.3.5. Mjerna mjesta 

Pored pitanja o tome koja forma numerički iskazanih vibracija najbolje predstavlja 

unutrašnju mehaničku ispravnost mašine, takođe se postavljaju pitanja i o tome gdje i 

kako treba vršiti mjerenja. Ispravan izbor mjernog mjesta za postavljanje mjernih 

davača će se diskutovati u dvije grupe: privremeni davači koji se koriste kod 

identifikacije uzroka problema i permanentni davači koji se koriste za kontinuirano 

praćenje stanja i preventivno održavanje. 

17


Kod identifikacije uzroka problema, tipična mjerna mjesta za mjerenje vibracija 

obuhvataju kućišta ležajeva u tri okomita pravca, obično vertikalno, horizontalno i 

aksijalno (tj. horizontalno u pravcu ose rotora); debele stjenke kućišta pumpe; kućišta 

ležajeva motora ili turbine; postolje u blizini vijaka kojima je pumpa pričvršćena na 

postolje; postolje pumpe; cjevovodi u blizini prirubnica pumpe i na nekoliko mjesta u 

cijevnim sklopovima; te bilo koji već mjereni ili izloženi dio vratila pumpe 

uključujući i spojku pogona. Obično su mjerenja koja nabolje reflektuju stanje pumpe 

ona na kućištima ležajeva i na vratilu pumpe. Ipak, najbolje bi bilo ne oslanjati se 

isključivo na ta očitanja. 

Ekonomičnost diktira da se broj permanentnih davača smanji na minimum, te iz 

praktičnih razloga, i oni moraju biti lako dostupni za održavanje, te ne smiju dovoditi 

u pitanje funkciju pumpe. Sile koje se javljaju usljed relativnih vibracija između 

stacionarnih i pokretnih dijelova pumpe su dominantne u blizini ležajeva. Istraživanja 

koja su proveli Childs [12] i Black [3] pokazuju da prstenasti zaptivači pumpi često 

podnose značajna opterećenja, što dovodi do zaključka da samo vibracije vratila i 

kućišta ležajeva nisu tako globalno reprezentativne za relativne vibracije rotora u 

odnosu na kućište kao što se to prije smatralo. Takođe, pouzdanost mjerenja ubrzanja 

ili pomjeranja vratila u odnosu na kućište ležaja dosta zavisi od konstrukcije pumpe. 

Ima slučajeva kada nijedno mjerenje ne daje sliku vibracija u centralnom dijelu 

mašine, kao što je to slučaj kod izrazito krutih uležištenja. Poređenje očitanja vibracija 

na kućištima i vratilu 25 identičnih aksijalnih pumpi je prikazano na slici 2.8., što 

pokazuje slabu korelaciju i visok stepen rasipanja. 

Slika 2.8. Vibracije kućišta u odnosu na vratilo (zasnovano na podacima u 

radnim uslovima sa 25 pumpi identične konstrukcije i primjene) 

Jednostavna analiza sa tri stepena slobode koja uzima u obzir vratilo, uljni film u 

ležaju i kućište ležaja kao nezavisne serijski vezane opruge, može se koristiti s ciljem 

kvalitativnog predstavljanja osjetljivosti vibracija ležaja i kućišta na krutost ležaja i 

kućišta. U takvom modelu, povećanjem krutosti kućišta ležaja tako da ona postane 

mnogo veća od krutosti vratila i ležaja, nivo vibracija kućišta se može spustiti do 

18


nivoa vibracija postolja, bez obzira da li su vibracije rotora dovoljno velike da bi 

predstavljale problem. Ipak, prikazani model takođe pokazuje da ne treba zanemariti 

ni vibracije vratila relativno u odnosu na kućište, jer se u principu krutost ležaja može 

povećati i/ili krutost kućišta ležaja smanjiti da bi se smanjila očitanja sa davača 

pomjeranja na željeni nivo. 

Jedini relativno pouzdan metod izbora tipa i lokacije mjerenja koji će obezbijediti 

očitanja koja stvarno prikazuju vjerovatnoću oštećenja mašine, je rotordinamička 

analiza sa elastičnim osloncima na više nivoa da bi se nezavisno prikazale barem 

krutosti ležaja i kućišta ležaja. Takva analiza se, ako je potvrđena eksperimentom za 

sličnu klasu pumpi, može koristiti za predviđanje sila u ležajevima i iskorištenje 

kritičnih unutrašnjih zazora kao funkcije očitanja kućišta ležaja ili vratila/ležaja, i kao 

funkcija brzine i opterećenja pumpe. 

2.3.6. Filtriranje 

Na slici 2.9 je prikazan važan aspekt o tome kako se predstavljaju i interpretiraju 

podaci o vibracijama. Može se uzeti u obzir cijeli frekventni spektar vibracija ili talas 

tokom cijelog vremenskog perioda, i to se naziva "nefiltrirane vibracije". To daje 

najveću moguću količinu informacija o tome koliko brzo se dio kreće, te koliko brzo 

se to dešava. Ako se to gleda na spektralnom analizatoru, to je najbolji mogući način 

očitavanja vibracija s ciljem identifikacije potencijalnih problema. Ipak, za to je 

potreban spektralni analizator, koji nije uvijek na raspolaganju, ili je potrebno 

posmatrati samo vibracije na jednoj frekvenciji, kao što je naprimjer frekvencija 

jednaka brzini vrtnje rotora. Signal vibracija se tada može filtrirati, tako da se uklone 

svi signali osim uskog pojasa u neposrednoj okolini frekvencije koja se traži. To su 

"filtrirane vibracije". 

Slika 2.9. Format mjerenja odziva na vibracije 

(a) originalni vremenski zapis (b) nefiltrirani ili ukupni frekventni odziv 

(c) filtrirani frekventni odziv. 

19


Slika 2.10. Mjerenje efektivnih i maksimalnih frekvencija 

Još jedan faktor u prikazu očitanja vibracija i u pisanju specifikacija je u tome da li su 

podaci prikazani kao efektivne ili maksimalne veličine. Efektivna veličina je 

prosječna veličina vibracija tokom jednog ciklusa, zanemarujući to da li su vibracije 

negativne ili pozitivne u odnosu na polazno stanje (slika 2.10). Efektivna veličina je 

obično oko 2/3 (tačno 0,707 za sinusne vibracije jedne frekvencije) maksimalne 

veličine, koja može biti maksimalno pomjeranje, brzina ili ubrzanje. Definicija 

maksimalne vrijesnosti može biti malo nejasna, jer se može uzeti kao apsolutno 

najveća vrijednost vibracija u odnosu na vrijeme u periodu za koji se pumpa posmatra 

(što uključuje kratka "zastajkivanja" tipična za većinu pumpi i drugih mašina, a koja 

se obično javljaju u nepravilnim vremenskim razmacima), ili se može zasnivati na 

inverznom proračunu pomoću efektivne vrijednosti, tj. 1,41 x efektivna. Prvi način se 

naziva "stvarni maksimum" i često ga je teško definisati u praksi jer se on mijenja 

svaki put kad se uzimaju podaci, osim kod vrlo mirnih sistema. Drugi način se naziva 

"izvedeni maksimum", i dosta je konzistentniji, ali obično daje pogrešan dojam da su 

vrijednosti manje nego što jesu. Većina uređaja za mjerenje vibracija daje izvedeni 

maksimum, i većina specifikacija koristi upravo izvedeni maksimum. 

2.3.7. Prikaz rezultata mjerenja 

Podaci dobijeni mjerenjem vibracija se mogu prikazati na različite načine: Bodeov 

dijagram, Nyquistov dijagram, vremenska funkcija, kaskadni dijagram, orbita, 

dijagram interferencije, Nicholsov dijagram, itd. 

Kartezijski grafikon amplitude vibracija u odnosu na frekvenciju (spektar) se ponekad 

može kombinovati sa grafikonom faznog pomaka (ugao zaostajanja odziva u odnosu 

na poremećajnu silu) u odnosu na frekvenciju, i to se onda naziva "Bodeov 

dijagram". 

20


Slika 2.11. Bodeov dijagram 

Polarni grafikon amplitude vibracija u odnosu na fazni ugao poremećaja / odziva za 

sve frekvencije koje se ispituju se naziva"Nyquistov dijagram". 

Slika 2.12. Nyquistov dijagram 

Slika 2.13. Primjer vibracione karakteristike pumpe, 

sa rotorom koji struže po naslagama na zaptivaču. 

(a) Orbita vratila (b) Grafikon linearnih vibracija u odnosu na frekvenciju 

(c) Vremenska funkcija (d) Grafikon vibracija u odnosu na frekvenciju. 

21


Kartezijski grafikon amplitude vibracija u odnosu na vrijeme, slično tipičnoj slici sa 

osciloskopa se naziva "vremenska funkcija". Primjeri vremenskih funkcija su dati na 

slikama 2.13 i 2.14 Brzom Fourierovom transformacijom se vremenska funkcija 

pretvara u frekventni odziv. 

. 

Slika 2.14. Brza Fourierova transformacija (FFT) 

Nekad se koriste polarni grafikoni vibracija u odnosu na vrijeme u ravni okomitoj na 

osu vratila ("orbita"). 

Slika 2.15. "Kaskadni grafikon", koji pokazuje kritične brzine kompresora. 

Skale frekvencija na grafikonima vibracija u odnosu na frekvenciju su najčešće 

linearne, imaju vrijednosti od nule do neke maksimalne vrijednosti i prikazane su na 

lijevoj strani slike vibracija na većini FFT analizatora. Skale amplituda mogu biti 

22


linearne ili logaritamske sa bazom 10 (dB). Logaritamske skale se često koriste da bi 

se poboljšala rezolucija ekstremnih vrijednosti (pikova) vlastitih frekvencija. Skale 

amplituda obično predstavljaju stvarne vrijednosti veličine od nule do vrha krivulje. 

Brzine pri kojima su vibracije pumpi najveće, i koje su, na osnovu iskustva, dovoljno 

jake da dovedu u pitanje pouzdanost pumpe, nazivaju se "kritične brzine". Kritične 

brzine kod pumpi se obično određuju "kaskadnim grafikonom", koji se sastoji od 

spektra amplituda vibracija u odnosu na frekvencije za vrijeme ubrzanja ili usporenja 

između statičkog stanja i rada pri najvećoj brzini mašine, kao što je to pokazano na 

slici 2.15 za kompresor. Na takvim grafikonima, individualni spektri vibracija u 

odnosu na frekvencije pri progresivno većim brzinama se crtaju direktno jedan iza 

drugog, tako da 1 x brzina vrtnje, 2 x brzina vrtnje, itd. formiraju pravolinijske 

"nabore" na dijagramu, koji liče na vodopad ili kaskade. Kritične brzine su tada očite 

na tim "naborima" odnosno harmonicima brzina vrtnje, gdje spektar lokalno poprima 

ekstremne vrijednosti. Međutim, takav kaskadni grafikon može sadržati značajnu 

grešku, jer se vrijednosti krutosti k i prigušenja c ležajeva i zaptivača za vrijeme 

prelaznih perioda pokretanja i zaustavljanja pumpe mogu znatno razlikovati od 

vrijednosti pri stabilnom režimu rada pumpe. To se dešava uglavnom usljed 

Lomakinovog efekta. 

Slika 2.16. Campbellov dijagram 

Analitički ekvivalent kaskadnog grafikona je Campbellov dijagram, u kojem se crta 

frekvencija vibracija u odnosu na brzinu vrtnje. Budući da se najjače vibracije kod 

pumpi javljaju pri brzinama koje su cjelobrojni multiplikati brzine vrtnje, na 

dijagramu se crtaju linije koje predstavljaju te brzine vrtnje. 

Grafikon zavisnosti frekvencije i nodalnog prečnika, na kojem su nacrtane tačke koje 

predstavljaju sve poznate potencijalne poremećaje, naziva se dijagram 

interferencije. Tada kriterij postojanja značajne rezonance postaje: 

a) nodalni prečnik i nodalna kružnica mora biti manja od 30 (ako je veća od 30, 

vjerovatno taj oblik oscilovanja ima kritično prigušenje), i 

23


b) tačka poremećaja na datom nodalnom prečniku je bliža vlastitoj frekvenciji pri 

istom nodalnom prečniku nego pojas faktora sigurnosnosti (obično 10 % 

frekvencije poremećaja). 

Ako su oba ova uslova zadovoljena, problem rezonancije se može javiti, osim ako je 

izvor poremećaja jako slab. Ako barem jedan od ova dva uslova nije ispunjen, teško 

da će doći do rezonancije, podrazumijevajući da su uzeti u obzir svi značajni izvori 

poremećaja. 

2.4. Metode analize vibracija 

Analiza vibracija se često provodi da bi se odgovorilo na sljedeća pitanja: 

1. Ima li vlastitih frekvencija u vratilu pumpe, kućištima ležajeva, kućištu, 

cjevovodu ili nosaču pumpe koje su bliske frekvencijama pri kojima se javljaju 

povećane vibracije? 

2. Ako postoje potencijalno problematične vlastite frekvencije, da li će one davati 

dodatnu pobudu pumpe, ili su bezopasne jer je prigušenje visoko ili zato što imaju 

nodalne tačke (tačke koje se malo ili nikako ne kreću) u blizini izvora 

poremećajnih sila? 

3. Jesu li poremećajne sile iznad normale, bez obzira da li postoje ili ne postoje 

rezonantne vlastite frekvencije? 

Kao dodatak eksperimentu, detaljna post-eksperimentalna numerička analiza može 

pomoći oko odgovora na pitanja 2 i 3, kombinujući podatke o fazi i amplitudi sa 

velikog broja mjernih mjesta (obično 20 do 50). Analizom pomoću MKE mogu se 

izbjeći nepotrebne višestruke modifikacije pumpe, tako što se modifikacije vrše na 

numeričkom modelu. Prednost modalne analize je u tome što se numerička analiza ne 

temelji na pretpostavkama nego na rezultatima mjerenja. 

Da bi se dobili pouzdani podaci za pomenutu analizu, potrebno je odrediti kolike 

vibracije se javljaju pod uticajem poznatog intenziteta vještački izazvane sile. Ako se 

koriste testovi koji daju odgovor samo na pitanje vibracija pumpe uzrokovanih 

unutrašnjim silama u pumpi, na kraju iz tih rezultata nije moguće razdvojiti vibracije 

koje se javljaju usljed rezonancije od vibracija koje uzrokuju poremećajne unutrašnje 

sile u pumpi, kao što je debalans. Metode koje se koriste za ispitivanje turbina i 

kompresora (nanošenjem poznatog debalansa) ne daju dobre rezultate kod pumpi, jer 

se vlastite frekvencije previše mijenjaju sa promjenom uslova rada pumpe. 

Oprema za ispitivanje pomenutom metodom se sastoji od troosnih akcelerometara 

postavljenih na raznim lokacijama pumpe, čekića sa dinamometrom za apliciranje 

udarne sile, FFT analizatora sa najmanje 2 kanala te od računara sa softverom za 

modalnu analizu. 

Važno je napomenuti da se testiranje vrši dok pumpa radi, jer zbog Lomakinovog 

efekta [36] krutost pumpe nije ista dok pumpa radi i dok miruje. To je posebno 

izraženo kod pumpi sa fleksibilnijim vratilom. 

24


Krutost i prigušenje prstenastog zaptivača se obezbjeđuje djelimično preko uljnog 

filma i efekta hidrodinamičkog klina. Međutim, zbog visokog odnosa aksijalnog 

prema redijalnom protoku u prstenastim tečnim zaptivačima u odnosu na ležajeve, 

mogu se razviti velike sile u uljnom prstenu usljed radijalno promjenljivog pada 

Bernulijevog pritiska koji raste sa povećanjem ekscentriciteta rotora. Ta pojava je 

poznata kao Lomakinov efekat i predstavlja najveći izvor krutosti i prigušenja u 

prstenastim zaptivačima pumpe. Marscher [30] ilustruje Lomakinov efekat uporednim 

dijagramom na kojem su prikazane vibracije pumpe sa i bez vode. Pumpa ispunjena 

vodom ima drugu vlastitu frekvenciju skoro tri puta veću od prve, dok "suha" pumpa 

ima prvu vlastitu frekvenciju za 50% veću od druge. 

Lomakinov efekat je u principu pozitivan, jer smanjuje osjetljivost rotora na vibracije, 

ali može izazvati probleme tako što zazori oko rotora moraju biti širi. Taj problem se 

rješava konstruktivno, tako što se povećava prečnik vratila. 

2.4.1. Rotordinamička analiza 

Rotordinamička analiza je jedan od aspekta dinamičke analize konstrukcija, koji se 

odnosi na rotore (vratila) i ležajeve. Osim rotora, dinamička analiza treba da obuhvati 

i vibracije kućišta i oslonca, kao i radnog kola, zupčanika i drugih dijelova pumpe. 

F(t) 

m 

k 

c 

Slika 2.17. Pojednostavljeni rotordinamički model 

Na slici 2.17 je prikazan pojednostavljeni model koji se obično koristi kod 

rotordinamičke analize. Rotor je predstavljen kao masa m i svaki ležaj ima krutost k i 

koeficijent prigušenja c. Polazi se od sljedećih pretpostavki: 

1. Linearni koeficijenti ležajeva, koji ostaju konstantni sa ugibom rotora. To može 

predstavljati znatnu grešku za velike orbite rotora. 

2. Linearni, monolitni oslonci ležajeva. 

3. Savršeno uklapanje radnog kola i rukavca, osim kad se uzima najgori slučaj 

debalansa. 

4. Ako se koristi elastično sprezanje, koeficijenti sprezanja vratila su zanemarljivi 

kod glavnih oblika oscilovanja radijalnog ugiba i savijanja vratila, sa konačnom 

krutošću samo kod torzije. 

5. Pretpostavlja se da nema povratnog dejstva između vibracija i rezultujućih 

reaktivnih sila, osim kod analize stabilnosti. 

25


Strukturalna dinamika se nadovezuje na linearnu elastično-statičku analizu, i obično 

se izvodi pojednostavljenim formulama kao što su one koje je dao Blevins [6] ili 

koristeći MKE programe opšte namjene. Rotordinamička analiza zahtijeva nešto više 

specijaliziran kompjuterski program koji uzima u obzir efekte kao što su: 

1. Trodimenzionalna krutost i prigušenje u ležajevima, radnim kolima i zaptivačima 

kao funkcije brzine i opterećenja, 

2. Sile djelovanja fluida na radno kolo i sile za poprečni balans, i 

3. Žiroskopski efekat. 

Dokazano je da se takva specijalizirana analiza najefikasnije provodi metodom koja 

se bazira na transferu matrica, kao što su detaljno opisali Gunter i Li [27]. 

Metod transfera matrica se sastoji od modeliranja sistema rotora kao niza štapova i 

tačaka sa matematički ispravnom krutošću, prigušenjem i inercijom. Rješenje 

podrazumijeva numeričko rješavanje sistema diferencijalnih jednačina koje izražavaju 

odnos pojedinih ugiba i sila koje djeluju na model. U matričnom obliku, ta jednačina 

glasi: 

F = mδ& 

+ c & δ + kδ 

& (2.6) 

gdje su F – vektor sila, m – matrica masa, c – matrica prigušenja, k – matrica krutosti, 

δ - vektor pomjeranja. 

Postoji približna metoda za procjenu prve vlastite frekvencije za rotore i druge 

strukture (oblik oscilovanja je jednak statičkom ugibu strukture): 

f n 

946 

1 

δ 

1 

= (2.7) 

st 

gdje je f n1 prva vlastita frekvencija u obrtajima u minuti, a δ st statički ugib vratila 

usljed vlastite težine komponenti vratila, izražen u milimetrima. Istu formulu daje i 

McNally [41]. 

Često se za provjeravanje mogućnosti pojave rezonance koristi Campbellov dijagram, 

koji prikazuje vlastite frekvencije u funkciji brzine obrtanja. Linije poremećajnih sila 

su prave linije koje prolaze kroz koordinatni početak. Linija u kojoj je brzina vrtnje 

jednaka frekvenciji je pod uglom od 45°. Područja u kojima se linije poremećajnih 

sila sijeku sa linijama vlastitih frekvencija predstavljaju moguće rezonance, što 

sugeriše promjenu konstrukcije da bi se izbjegli problemi. 

Rotordinamička stabilnost je vjerovatno najvažniji aspekt u velikom broju 

konstrukcija visokobrzinskih pumpi [30, 55]. Odnosi se na fenomen gdje može doći 

do samopobude rotora i pripadajućeg sistema reaktivnih sila, što može dovesti do 

katastrofalnih vibracija sa velikim amplitudama, čak iako su aktivne poremećajne sile 

dosta niske. 

26


Primjer takve samopobude je vrtlog koji uzrokuje statički pritisak fluida na lopatice 

radnog kola, odnosno fluid koji rotira oko radnog kola ili u zazorima ležajeva. Statički 

pritisak djeluje pod određenim uglom, što izaziva jake kombinovane komponente 

opterećenja (xy, yx). Drugi prilog je tzv. vitlanje vratila, koje se javlja usljed faznog 

pomaka između poremećajne sile i vlastite frekvencije, a to je samopojačavajući 

proces. Oba ova procesa se javljaju kod pumpi sa kliznim ležajevima, radi 

neravnomjerne raspodjele pritiska maziva po obimu ležaja. 

Ti procesi se mogu ublažiti povećanjem prigušenja sistema, koje umanjuje uticaj 

poremećajnih sila. Prigušenje se povećava adekvatnim izborom ležajeva. 

Proračun aksijalnih vlastitih frekvencija rotora je prilično jednostavan i lako se izvodi 

pomoću MKE. Treba paziti na harmonike frekvencije prolaza lopatica (brzina vrtnje x 

broj lopatica) koji pobuđuju aksijalne oblike oscilovanje višeg reda, koji često nisu 

odgovarajuće prigušeni, što može dovesti do brzog oštećenja vratila i radnog kola pri 

neočekivanim brzinama vrtnje. 

Torziona analiza se može uraditi pomoću MKE, ali se češće koriste specijalizirani 

programi zasnovani na metodi transfera matrica ili Holzerovoj metodi. Pri tome je 

važno posmatrati sistem u cjelini, kao sklop, jer analiza pojedinih elemenata nema 

smisla. Torzione vibracije nisu karakteristične za pumpe, ali se javljaju kod složenijih 

sistema sa više komponenti: motor, mjenjač, reduktori, prenosnici, pumpa. 

Za oslanjanje vratila pumpe koriste se razne vrste kliznih ležajeva ili kotrljajućih 

ležajeva. Kotrljajući ležajevi imaju veću krutost od kliznih ležajeva, iako razlika nije 

toliko velika kao što bi se to očekivalo. 

Od konstrukcije ležajeva zavisi i eventualna pojava žiroskopskog efekta. Ako je 

precesija istog smjera kao i rotacija, povećava se krutost sistema, a ako je suprotnog 

smjera, krustost se smanjuje. 

Ako se za spajanje pogonskog motora i pumpe koriste krute spojke, potrebno je u 

proračun uzeti u obzir cijeli sistem motor-spojka-pumpa. Ako se koriste elastične 

spojke, koje omogućuju fleksibilnost u pogledu nepodudaranja osa, onda je uticaj 

motora na vibracije pumpe zanemarljiv [30]. 

Približnu formulu za izračunavanje krutosti kućišta ležaja dali su Roark i Young [46]: 

k = 3EI / L 3 (2.8) 

gdje je L dužina konzole ležaja od zida kućišta, I je moment inercije metalnog 

poprečnog presjeka. Krutost kućišta se mora serijski kombinovati sa krutošću ležaja: 

1 / k ukupno = 1 / k kućišta +1 / k ležaja (2.9) 

Potrebno je izračunati prvih deset vlastitih frekvencija i glavnih oblika oscilovanja 

pomoću provjerenog MKE programa, metodom transfera matrica ili nekom drugom 

pouzdanom metodom. Takođe treba dobiti i amplitude najgoreg slučaja vibracija u 

zadatom radnom režimu pumpe. 

27


1. Treba uzeti u obzir mase svih rotirajućih komponenti i efektivnu fleksibilnost 

cijelog sklopa rotora pumpe, spojke sa motorom i rotora pogonskog motora. Treba 

takođe uzeti u obzir i masu fluida unutar pumpe [38]. 

2. Treba uzeti u obzir krutost i prigušenje svih kućišta, vratila, motora, ležajeva i 

zaptivača (Lomakinov efekat). Inače nije moguće precizno odrediti ove 

vrijednosti, ali se mogu dati približne procjene. Treba provesti posebne proračune 

vlastitih frekvencija i amplituda vibracija za najmanje tri karakteristična slučaja: 

minimalnu, najvjerovatniju i maksimalnu krutost kod svih ležajeva i zaptivača. 

3. Treba uzeti u obzir krutost oslonaca u odnosu na podnožje pumpe. 

4. Treba provesti analizu sa prinudnim odzivom i analizu tranzijentne stabilnosti, 

koristeći kao minimum ulaznih podataka izračunate glavne oblike oscilovanja i 

vlastite frekvencije za prvih deset oblika oscilovanja. Kod proračuna prinudnog 

odziva treba uzeti u obzir barem najgori slučaj debalansa radnog kola, najgori 

slučaj nesaosnosti i najgori slučaj rotirajućih hidrauličnih sila u radnom kolu. 

5. U sve analize treba uključiti i torzione, aksijalne, poprečne i mješovite oblike 

oscilovanja. 

2.4.2. Metod konačnih elemenata 

U suštini, analiza vibracija vertikalnih pumpi bi se trebala vršiti pomoću MKE, 

uzimajući u obzir stacionarne dijelove pumpe, vratila, te rotore pumpe i motora. Cilj 

takve analize je da se odrede glavni oblici oscilovanja i vlastite frekvencije prvih 

deset oblika oscilovanja koji podrazumijevaju značajanije kretanje bilo kojeg od 

elemenata pumpe: ne-rotirajućih dijelova, kućišta direktno spregnutog motora ili 

reduktora (ako postoji), postolja pumpe, itd. Komponente takvog modela pumpe bi se 

trebale matematički interpretirati sa dovoljno detalja, kako slijedi: 

a) Treba uzeti u obzir masu i krutost postolja unutar radijalnog odstojanja (mjereno 

od centra rotacije pumpe) većeg ili jednakog visini vrha motora mjereno od 

postolja. 

b) Treba uzeti u obzir detalje cjevovoda koji imaju uticaja na modalnu masu i 

krutost, kao što su oslonci, pregrade i prirubnice, te sve cijevi i fluid koji sadrže 

unutar zone oblika lopte, sa centrom u težištu sklopa pumpa-motor i sa radijusom 

jednakim dvostrukoj visini vrha motora mjereno od postolja. 

c) Treba uzeti u obzir efektivnu krutost sklopa koji čine kućište pumpe i rezervoar, 

od jedne do druge prirubnice, masu i lokaciju težišta direktno spregnutog motora 

ili reduktora (ako postoji), te ispusne glave ili postolja motora. 

d) Treba uzeti u obzir sve varijacije krutosti postolja, ispusnog dijela kućišta i 

motora, u smjerovima paralelnim i okomitim na cjevovode, posebno uzimajući u 

obzir uticaje sprezanja. 

e) Treba uzeti u obzir masu svih radnih kola pumpe i pretpostaviti da se oni ponašaju 

kao da su kruto vezani za kućište pumpe u svom težištu. 

Da bi se imalo dovoljno informacija za takvu analizu sa adekvatnom preciznošću, 

potrebne su informacije koje daje proizvođač pumpe, a koje bi najmanje morale da 

obuhvataju masu i položaj težišta motora, prenosnog sklopa tijela pumpe ili 

rezervoara, te (za vertikalne turbopumpe) cjevovoda i vrijednosti savojne krutosti 

komponenti koje se koriste za povezivanje tih masa međusobno i sa postoljem. 

28


Vibracione karakteristike radnog kola centrifugalne pumpe su slične karakteristikama 

kružne ploče [35]. Kao takav, disk radnog kola ima beskonačan broj vlastitih 

frekvencija, svaka sa vlastitim jedinstvenim oblikom oscilovanja. Ako se disk 

posmatra u aksijalnom pravcu, ti glavni oblici oscilovanja formiraju mrežu linija. 

Susjedne površine se kreću u suprotnim smjerovima u aksijalnom smislu. Linije koje 

dijele te površine su takozvane nodalne linije, koje obuhvataju tačke na disku koje se 

ne kreću. Radijalne nodalne linije se nazivaju "nodalni prečnici", a kružne nodalne 

linije se nazivaju "nodalne kružnice". Svaka moguća kombinacija nodalnih prečnika i 

nodalnih kružnica čini jedinstveni oblik oscilovanja sa jednom i samo jednom 

vlastitom frekvencijom. Uopšte, kako se disk više savija sa povećanjem broja 

nodalnih kružnica i/ili prečnika, vlastite frekvencije koje su u relaciji sa tim 

kombinacijama kružnica/prečnik postaju više. Izuzetak predstavlja nekoliko najnižih 

vlastitih frekvencija. Kako su naprezanja po obimu kružnice veća nego naprezanja na 

savijanje kod malog broja nodalnih prečnika, drugi glavni oblik oscilovanja jednog 

nodalnog prečnika i treći glavni oblik oscilovanja dva nodalna prečnika obično imaju 

niže vlastite frekvencije nego prvi glavni oblik oscilovanja nultog nodalnog prečnika. 

Oblici oscilovanja kružnih ploča detaljnije će biti opisani u poglavlju 4.3. 

Aksisimetrična analiza i trodimenzionalna analiza po segmentima se koriste za 

proračun oblika oscilovanja tipa "kišobran". Zbog ograničenja simetrije po obimu, 

nijedan od ovih modela ne bi dozvolio da se proračunaju nodalni prečnici osim 

nultog. Takvih ograničenja nema na nodalnim kružnicama, pa se ti modeli mogu 

koristiti za proračun vlastite frekvencije za svaku nodalnu kružnicu, ali samo u 

kombinaciji sa nultim nodalnim prečnicima. 

Ipak, nema fizičkog razloga da kombinacije sa prečnicima različitim od nultog takođe 

ne budu razlog za pojavu problema rezonancije. Ustvari, slučajevi sa dva ili četiri 

nodalna prečnika su češći problem od nultih nodalnih prečnika, kao što je diskutovao 

Bolleter [7] i što je Jay [31] predstavio kao praktični problem. Dakle, aksisimetrični i 

čak relativno sofisticirani 3D segmentni modeli nisu prikladni za predviđanje 

potencijalnih problema vibracija kod konstrukcije radnog kola. Iz tog razloga, 

potrebno je izgraditi puni model radnog kola, sa svim lopaticama i fleksibilnim 

dijelom glavčine, sa dovoljno detalja da bi se moglo sa dovoljnom preciznošću 

izračunati prvih deset vlastitih frekvencija nodalnih prečnika za bilo koji dati broj 

nodalnih kružnica. To je u principu dovoljno da se uspostavi mreža koja se može 

ekstrapolirati u vlastite frekvencije iznad raspona značajnih frekvencija poremećajnih 

opterećenja. 

Ogroman uticaj krutosti ležajeva na vlastite frekvencije i glavne oblike oscilovanja 

vratila ilustrovan je rezultatima proračuna po MKE [30]. Ako se ležajevi ponašaju 

konzistentno i linearno, MKE se može koristiti da pouzdano predvidi glavne oblike 

oscilovanja vratila. Međutim, ležajevi koji su nedovoljno opterećeni, izazivaju brzi, 

nelinearni porast krutosti ležajeva, tim više što se vratilo približava zidu ležaja. Ako je 

data elastičnost vratila i slab oslonac koji obezbjeđuje kućište pumpe, te ako su date 

relativno velike složene tolerancije uležištenja ovih mašina, uticaj svakog pojedinog 

ležaja na ukupnu rotordinamičku krutost je skoro slučajnog karaktera , kao što je 

detaljno objasnio Marscher [40]. Praktični rezultat je u tome da ne postoji jedinstvena 

vrijednost za svaku od teoretski izračunatih vrijednosti vlastitih frekvencija, nego se 

vlastite frekvencije vratila moraju posmatrati na bazi vremenskih prosjeka ili 

položajnih prosjeka, konstantno varirajući između dva granična stanja. 

29


2.4.3. Modalna analiza 

Eksperimentalna modalna analiza (EMA) je metod za ispitivanje vibracija po kojem 

se poznatom silom (konstantnom za sve frekvencije unutar raspona frekvencija koji se 

ispituje) djeluje na pumpu, a zatim se posmatra i analizira vibracijski odziv pumpe na 

tu silu. EMA se može koristiti da bi se odredile vibracione karakteristike pumpe, bilo 

na ispitnom stolu ili na mjestu ugradnje. Mogu se dobiti stvarne vlastite frekvencije 

cijelog sklopa, uključujući kućište, cjevovode i postolje pumpe, a ako se koriste 

posebne metode prikupljanja podataka, EMA takođe može odrediti vlastite 

frekvencije rotora pri radnim uslovima rada pumpe. Neovisno od toga, frekvencije 

jakih poremećajnih sila unutar pumpe se mogu odrediti poređenjem spektra vibracija 

pumpe u odnosu na frekvenciju kao odziv na silu kojom se djelovalo na pumpu za 

potrebe EMA, sa spektrom frekventne analize odziva pumpe na sile koje se javljaju 

spontano unutar pumpe (slobodne vibracije), iz sistema koji je vezan za pumpu, te iz 

okruženja. 

Osnovni alat za provođenje EMA je dvokanalni FFT analizator frekvencija, računar sa 

posebnim softverom, set davača za mjerenje vibracija (npr. akcelerometri ili davači 

pomjeranja), te čekić za aplikaciju udarne sile. Čekić za aplikaciju udarne sile je 

konstruisan tako da se efekat njegovog dejstva prostire kroz frekventni opseg koji se 

ispituje, tako da se dobije isti efekat kao da se koristi kombinacija velikog broja 

vibratora sa različitim konstantnim frekvencijama. 

Slika 2.18. Dejstvo poremećajne sile za modalnu analizu pomoću 

(a) velikog broja individualnih vibratora sa različitim frekvencijama i 

(b) jednog udarca čekićem 

Odziv na jedan udarac je prikazan na slici 2.19. kao funkcija vremena i frekvencije. U 

vremenu, odziv je vrlo kratak, što za posljedicu ima široko polje frekvencija čija 

širina zavisi obrnuto proporcionalno trajanju udara (to je posljedica transformacije 

vrijeme-frekvencija u Fourierovoj analizi). 

Impulsni čekić ima na sebi akcelerometar koji je kalibrisan tako da mjeri silu udara. 

Tokom EMA ispitivanja, signal sa akcelerometra se šalje na jedan kanal analizatora 

spektra, a signal sa akcelerometra koji mjeri vibracije odziva se šalje na drugi kanal. 

Dijeljenje drugog sa prvim kanalom, za svaku frekvenciju posebno, daje "funkciju 

30


frekventnog odziva (FRF, Frequency Response Function) pumpe i sistema koji je za 

nju vezan. Pikovi - ekstremne vrijednosti FRF funkcije su nekritično prigušene 

vlastite frekvencije, a širina i visina pikova daju prigušenje svake vlastite frekvencije i 

osjetljivost vibracija na datoj lokaciji na sile koje se javljaju u okolini mjesta udara 

čekićem na frekvencijama bliskim datoj vlastitoj frekvenciji. 

Slika 2.19. Odziv na jedan udar, u (a) vremenskom i (b) frekventnom domenu 

Modalna analiza pokušava odrediti fundamentalni izvor i opštu prirodu vibracija 

unutar sistema pumpe, te predvidjeti efekat modifikacija sistema. Veliki broj 

praktičnih problema ograničava upotrebu modalne analize kod pumpi. Pumpe u radu 

imaju visok nivo šuma, odnosno vibracije koje se jave kao posljedica udara čekićem 

su znatno manje nego vibracije koje već postoje u pumpi. Alternativno rješenje – 

EMA provedena na zaustavljenoj pumpi ne daje pravu sliku stanja, jer su nepoznate 

krutosti ležajeva, postoji mogućnost kontakta nosivog prstena u radu i nema 

Lomakinove krutosti kad pumpa ne radi. Osim toga, nema dovoljno energije za odziv 

pri niskim frekvencijama, pa ispitivanja mogu trajati dugo i biti komplikovana. 

Nekoliko je prednosti korištenja metoda modalne analize u odnosu na starije metode 

pobuđivanja vibratorom za svaku frekvenciju posebno. Tipično EMA ispitivanje s 

ciljem utvrđivanja položaja vlastitih frekvencija u zahtijevanom rasponu frekvencija 

traje od 2 do 5 minuta, dok isto ispitivanje sa pobuđivanjem vibratorom traje preko 

dva sata. Potrebno je 100 ili više testova da bi se riješio veliki broj različitih tipova 

problema vibracija u stvarnim uslovima. Druge važne prednosti su: 

1. EMA je pouzdanija 

2. Nema nagađanja o tome koji pikovi su vlastite frekvencije a koji su poremećajne 

sile. 

3. EMA može dati animirane sekvence vibracione slike. 

4. EMA može pouzdano predvidjeti mjesto i veličinu ukrućivača i masa koje treba 

dodati da bi se riješili složeni problemi vibracija. 

Ako se provede u potpunosti, EMA može sortirati podatke iz komplikovanog skupa 

podataka o FRF dijagramima vibracija odziva na različitim lokacijama. Lokacije se 

biraju na osnovu procjene mogućih problematičnih tačaka gdje bi se mogle pojaviti 

veće sile odziva. Rezultat tog sortiranja je precizno predviđanje frekvencije i 

prigušenja svake vlastite frekvencije unutar raspona frekvencija koji se ispituje, te 

animirane sekvence glavnog oblika oscilovanja. U nekim računarskim programima za 

31


EMA, te informacije se mogu koristiti za automatsko predviđanje najboljih lokacija za 

dodavanje masa, prigušivača ili ukrućenja s ciljem rješavanja problema vibracija 

vezanih za dati oblik oscilovanja. 

Da bi se provelo detaljno istraživanje vibracija na licu mjesta, treba provesti još dva 

tipa ispitivanja koji u sebi uključuju izazivanje poremećaja vlastitim frekvencijama u 

kombinaciji sa ovom procedurom vještački izazvanih vibracija: 

1. Analiza odziva vibracija pri normalnom radu pumpe. Ta ispitivanja se vrše 

sakupljanjem podataka sa parova mjernih davača na važnim lokacijama pri 

normalnom radu pumpe, s ciljem utvrđivanja spektra amplitude vibracija u odnosu 

na frekvenciju i orbita komponenti (pozicije u vremenu u ravni okomitoj na osu 

vratila) izazvanih silama koje se javljaju pri normalnom radu pumpnog sistema. 

2. Slike prelaznih perioda (pokretanje i zaustavljanje). Pumpa se pokreće i zaustavlja 

što je moguće sporije, i pri tome se snimaju promjene u spektru frekvencija usljed 

poremećaja i nestabilnosti koje se javljaju u pumpnom sistemu kroz oba prelazna 

perioda. To je slično kaskadnom dijagramu, ali se provodi pomoću jednog 

kumulativnog spektra, tehnikom koja postoji na većini analizatora, a koja se 

naziva "utvrđivanje prosjeka ekstremnih vrijednosti" (peak averaging). 

"Utvrđivanje prosjeka ekstremnih vrijednosti" pamti najveću vrijednost amplitude 

vibracija postignutu pri svakoj frekvenciji tokom perioda za koji se računa 

prosjek. 

Može se desiti da se, uprkos kompetentnoj analizi vibracija izvedenoj prije instalacije, 

ipak jave složeni problemi vibracija u konačnoj instalaciji, usljed, naprimjer 

specifičnog ponašanja materijala postolja ili ponašanja vijčanih spojeva, nedovoljnih 

informacija o motoru ili pogonu, ili slučajnih defekata u materijalu ili izradi. Ako 

standardne procedure ispitivanja na mjestu ugradnje koje propisuje proizvođač pumpe 

ne daju efekte unutar razumnog perioda vremena, treba koristiti modalnu analizu da bi 

se ti problemi otkrili i eliminisali brzo i permanentno uz razumne troškove. Osim 

toga, treba koristiti neku formu modalne analize, kao što je ona pomoću kalibrisanog 

impulsnog čekića, nakon što se pumpa postavi i spoji sa instalacijama, s ciljem 

provjere da li frekvencija i prigušenje prvih pet glavnih strukturalnih oblika 

oscilovanja zadovoljavaju vrijednosti propisane standardom. Ako problemi postoje, 

treba koristiti mogućnosti većine softverskih paketa za modalnu analizu da prošire 

eksperimentalni model sa predloženim modifikacijama (modifikacije strukturalne 

dinamike) da bi se brzo došlo do praktičnih rješenja. 

Ispitivanje modalnom analizom bi trebalo obuhvatiti oko 50 kombinovanih lokacija i 

smjerova ispitnih proba, uključujući uglove podnožja i postolja, ključne segmente 

prirubnica, vrh i dno motora, instalacije i cjevovode koji su spojeni na pumpu, te 

druge važne strukturalne detalje u krugu radijusa jednakog dvostrukoj razdaljini 

između postolja i vrha motora. 

Ispitivanje bi trebalo obuhvatiti sredstva za razlučivanje prividnog modalnog odziva 

uzrokovanog nedokumentiranim radnim silama koje djeluju na pumpu i vibracijama 

okruženja pumpe, od stvarnog modalnog odziva usljed dokumentiranih vještački 

izazvanih sila modalnog ispitivanja. 

32


U 14. izdanju standarda "Hydraulic Institute" (1983.) stoji da je "rezonancija 

instalirane jedinice u odgovornosti konstruktora sistema", ali da je "neophodna 

koordinacija između proizvođača pumpe i konstruktora sistema da bi se izbjegao rad 

pumpe blizu kritične frekvencije". Proizvođač pumpe može zadovoljiti zahtjeve 

koordinacije HI standarda tako što će na zahtjev pružiti informacije o masi i 

elastičnosti pumpe, pogona i motora, i tako što će dati komentare analize vibracija i 

rezultata ispitivanja sistema. 

2.4.4. Modalna analiza sa vremenskim prosjekom 

Američka firma Mechanical Solutions Inc. je razvila novi postupak ispitivanja, koji 

predstavlja modifikovanu eksperimentalnu modalnu analizu. Metoda je pogodna jer se 

može koristiti i bez demontaže pumpe, a razvijena je da bi se ti problemi prevazišli 

unutar vremenskih i operacionih granica stvarnih ispitivanja na licu mjesta. Ta tehnika 

je poznata kao "Modalna analiza sa vremenskim prosjekom poremećaja" (TAME – 

Time averaged modal excitation) [40]. TAME metod se zasniva na seriji udara 

izvedenih čekićem u istu tačku, ali po nepravilnim vremenskim intervalima. Računa 

se vremenski prosjek odziva sistema na sve te udare, što statistički smanjuje količinu 

signala odziva sistema na nepoznati zaostali debalans, nesaosnost i hidrauličke sile, 

relativno u odnosu na odziv na sile udara čekićem. 

Slika 2.20. Princip rada modalne analize sa vremenskim prosjekom poremećaja 

(TAME) 

Na slici 2.20 se vidi da je odziv na velike unutrašnje sile pojednostavljeno prikazan 

kao velika sinusoida. Na sinusoidi su po nepravilnim vremenskim intervalima 

33


raspoređeni odzivi na udar čekićem, nezavisni od frekvencije velike sinusoide. 

Računanjem vremenskog prosjeka velikog broja takvih udara, uticaj mašine se 

smanjuje, ostavljajući samo odziv na udar. 

Na taj način, podaci dobijeni modalnom analizom se obrađuju tako da se mogu 

pouzdano odrediti strukturalne vlastite frekvencije i glavni oblici oscilovanja, lokacije 

i frekvencije rezonantnih sila, kao i kritične brzine rotora, sve to dok se pumpa nalazi 

u realnim radnim uslovima. TAME zatim koristi klasične tehnike za obradu rezultata 

modalne analize kako bi se dobio animirani model vibracione slike za svaku vlastitu 

frekvenciju, te da bi se predvidjeli efekti predviđenih promjena u konstrukciji pumpe, 

kao što su ležajevi veće krutosti, novi oslonci za cjevovode ili postolje veće debljine. 

Većina problema sa vibracijama pumpi se javlja usljed debalansa rotora ili 

nepodudaranja osa pumpe i pogonskog motora [39]. Najčešće se problemi javljaju 

usljed rezonancije, koja nastaje kad se neka od rotirajućih karakteristika pumpe, kao 

što je mehanički debalans "1x" ili hidraulički "broj lopatica" poklope sa nekom od 

vlastitih frekvencija pumpe. U rasponu frekvencija u kojima se pumpa vrti postoji 

mnogo vlastitih frekvencija, od kojih su neke koncentrisane u vratilu, a neke u kućištu 

ili ležajevima. Često se dešava da metodama preventivnog održavanja nije moguće 

odrediti koja od ovih frekvencija je uzrok problema, nego se ispitivanje vrši 

višestrukim isprobavanjem. Rezultat takve prakse često ne rješava problem, nego čak 

može izazvati i veće probleme jer se može desiti da neke druge frekvencije postanu 

rezonantne. 

Opisana TAME procedura se može koristiti za utvrđivanje kritičnih brzina rotora 

pumpe kad je pumpa u pogonu pod željenim uslovima rada. Često se kritične brzine 

određuju na osnovu pikova sa kaskadnih dijagrama spektra dobijenih za vrijeme 

pokretanja ili zaustavljanja pumpe. Ta metoda je u širokoj upotrebi, a TAME 

predstavlja alternativu toj metodi. Kaskadni dijagrami prilično slabo predstavljaju 

rotordinamičke karakteristike stabilnog rada pumpe, zato što je krutost i prigušenje 

prstenastih zaptivača jako osjetljivo na promjenu uslova rada pumpe. Primarni uzrok 

toga je takozvani Lomakinov efekat [38], koji može znatno promijeniti krutost i 

prigušenje oslonaca, zavisno od brzine i opterećenja pumpe. Veliki procenat krutosti 

oslonaca rotora jako zavisi od brzine, a to dovodi do razlika između frekvencija 

pikova na tranzijentnom kaskadnom dijagramu i stvarnih vlastitih frekvencija pri 

stabilnom radu pumpe. Ta razlika je mnogo veća kod pumpi nego kod kompresora i 

gasnih turbina, gdje varijacije statičkog pritiska po obimu zaptivača nisu tako velike, 

pa se kaskadni dijagrami mogu uspješno koristiti. Prednosti korištenja TAME u 

odnosu na druge metode ispitivanja vibracija, kao što je standardna modalna analiza 

na stacionarnoj pumpi ili kaskadni dijagram su: 

- Modalna analiza se može provesti pomoću vremenskog prosjeka višestrukih 

udarnih opterećenja. 

- Modalna analiza sa vremenskim prosjekom poremećaja može: 

- Utvrditi vrijednosti vlastitih frekvencija rotora i ležajeva, 

- Utvrditi koje dijelove pumpe treba modificirati i na koji način, 

- Utvrditi da li debalans, nesaosnost ili hidrauličke sile prelaze dozvoljene 

vrijednosti. 

- Ova metoda se može koristiti dok je pumpa u pogonu, pri bilo kojem opterećenju: 

34


- Ležajevi i zaptivke kod kojih se javlja "Lomakinov efekat" imaju stvarnu 

vrijednost koeficijenata krutosti i prigušenja, 

- Kritične brzine "pokretne mete" ne predstavljaju problem kao kod kaskadnih 

testova ili ispitivanja prelaznih režima, 

- Ispitivanje vibracija ne ometa normalno funkcionisanje pumpe. 

Ekstremne vrijednosti TAME FRF (funkcije frekventnog odziva) uzete sa vratila 

odgovaraju vlastitim frekvencijama sklopa vratila ili strukture oslonaca. Kritične 

brzine se mogu identificirati kao one radne brzine pri kojima se javljaju značajna 

odstupanja frekvencije na FRF dijagramu u blizini posmatranih ili očekivanih 

poremećajnih frekvencija, kao što su frekvencija sile debalansa jednaka brzini vrtnje 

vratila. 

2.5. Kriteriji za ocjenu problema 

Iznad najniže vlastite frekvencije (obično dva nodalna prečnika, nula nodalnih 

krugova), problematična je upotreba Campbellovog dijagrama frekvencija – brzina za 

procjenu potencijalne rezonance. Kako su vlastite frekvencije dosta blizu krivulje u 

obliku udice, a svaka krivulja nastavlja da raste u beskonačnost od svog minimuma, 

sigurno se javlja podudaranje ispod ± 10% na Campbellovom dijagramu za svaku 

poremećajnu silu, pogotovo za harmonike brzine kao što je broj lopatica. Ipak, praksa 

je pokazala da ovi oblici oscilovanja obično nisu dovodili do rezonancije. Razlog za 

to je u tome što presjek na Campbellovom dijagramu predstavlja potreban ali ne i 

dovoljan uslov za pojavu značajne rezonancije. Drugim riječima, da bi se javio 

problem rezonancije, nije dovoljno da se poklope vlastita frekvencija i frekvencija 

poremećajne sile. Dodatni uslov je da prigušenje mora biti dovoljno nisko da bi se 

desilo značajno pojačanje naprezanja prije nego što energija prigušenja po obrtaju 

dostigne ravnotežu sa ulaznom energijom po obrtaju. Ipak, proračun prigušenja 

pomoću energetskih jednačina i podataka o apsorpciji energije koji je dao Blevins [6], 

pokazuje da savijajući oblici oscilovanja postaju kritično prigušeni tek sa nodalnim 

prečnicima reda većeg od 30. 

Konačni uslov za pojavu značajne rezonancije je taj da se oblik oscilovanja u prostoru 

raspodjele poremećajnih sila mora dovoljno poklopiti sa oblikom prinudnih oscilacija. 

Taj uslov se može procijeniti istovremeno sa Campbellovim presjekom na jednom 

grafikonu koji se naziva dijagram interferencije. Taj dijagram je jednostavno grafikon 

vlastite frekvencije u funkciji karakterističnih linija nodalnih prečnika, sa tačkama 

koje obilježavaju bilo koju poremećajnu frekvenciju (y-koordinata tačke) i broj 

nodalnih prelomnih tačaka (koje su jednake broju nodalnih prečnika i koje 

predstavljaju x-koordinatu tačke) u relaciji sa distribucijom izvora poremećaja po 

obimu. Naprimjer, poremećaj lopatice difuzora bi se nacrtao kao tačka sa 

frekvencijom jednakom proizvodu broja lopatica difuzora i brzine vrtnje, a sa brojem 

nodalnih prečnika jednakim broju lopatica, jer postoji jedna "vršna tačka" statičkog 

pritiska u polju pritiska oko difuzora u blizini vrha svake lopatice difuzora. Jedan od 

najmanje očekivanih, ali snažnih poremećajnih oblika oscilovanja je takozvani 

diferencijalni oblik oscilovanja, kao što je to obradio Jay [31], uključujući i praktični 

problem za jedan aksijalni disk. Taj poremećaj se javlja zbog amplitudne modulacije 

koja se javlja usljed značajnog procenta sile interakcije lopatice/krilca uzrokovane 

množenjem polja pritiska n lopatica, proporcionalnog sa sin(nθ), sa poljem pritiska m 

35


krilaca, proporcionalnim sa sin(mθ). Rezultat toga su jake komponente prostorne 

raspodjele pritiska od sin((n-m)θ) i sin((n+m)θ), koje su u stanju pobuditi oblike 

oscilovanja od (n-m) i (n+m) nodalnih prečnika. Frekvencija kojom se ova polja kreću 

relativno u odnosu na koordinatni sistem koji rotira zajedno sa radnim kolom, još 

uvijek je frekvencija broja lopatica. Zbog toga se ti poremećaji crtaju kao tačke sa 

n-tostrukom brzinom vrtnje i (n-m) i (n+m) nodalnim prečnicima. Frekvencija zbira 

(n+m) se obično javlja na krajnoj desnoj strani dijagrama, daleko od svih vlastitih 

frekvencija. Zbog toga, to nema praktični značaj [7]. 

Tabela 2.3. Ispitivanja vibracija s ciljem identifikacije specifičnih problema. 

Problemi 

Dijagnostika 

Slobodne vibracije pumpe 

- Šta vibrira i kako to nije u skladu sa 

specifikacijama? 

- Šta bi moglo izazvati vibracije na 

posmatranim frekvencijama? 

Vještački izazvana modalna pobuda 

- Koje su vrijednosti vlastitih 

frekvencija? 

- Čime bi se mogle pomjeriti 

posmatrane kritične brzine (relativno 

u odnosu na prethodna iskustva ili 

rezultate modela)? 

- Ukupni nivoi vibracija. 

- Vibracije u odnosu na vrijeme. 

- Vibracije u odnosu na frekvenciju. 

- Izlazak iz dozvoljenih granica. 

- Oblik orbite ose vratila. 

- Radne vibracije u odnosu na spektar 

frekvencija. 

- Kaskadni ili dijagrami tipa 

"vodopada" 

- Vibracije u odnosu na frekvenciju. 

- Faza u odnosu na frekvenciju. 

- Vibrator u odnosu na impulsni čekić. 

- Spektar frekvencija u odnosu na 

vrijeme sa prosječnim odzivom. 

2.5.1. Standardi i normativi za interpretaciju nivoa vibracija 

Standardi i normativi na osnovu kojih se mjere i interpretiraju podaci o mjerenju 

vibracija pumpi se razlikuju kod različitih autora i u različitim izdanjima standarda. 

Tabela 2.4. Spisak standarda koji tretiraju vibracije pumpi: 

ISO 2372:1974 Mechanical vibration of machines with operating speeds from 10 to 

200 rev/s -- Basis for specifying evaluation standards (povučen 1995) 

ISO 10816-1:1995 Mechanical vibration -- Evaluation of machine vibration by 

measurements on non-rotating parts -- Part 1: General guidelines (Ed. 1, 19 p, K) 

Centrifugal Pumps (ANSI/HI 1.1-1.5-1994) 

Centrifugal Pump Tests (ANSI/HI 1.6 - 1994) 

Centrifugal/Vertical Pumps - Allowable Operating Region (ANSI/HI 9.6.3 -1997) 

HI 9.6.4 Allowable Vibration Limits 

API-610 Centrifugal Pumps 

ASME-B73.1 Centrifugal (Chemical) 

AWWA-E101 Water Pumps 

ASHRAE-HVAC Pump 

36


Rotordinamička analiza indicira da je nivo vibracija prihvatljiv ako je nefiltrirano 

pomjeranje izmjereno u blizini ležajeva ispod određenog nivoa, ako je frekvencija 

vibracija dovoljno ispod prve kritične brzine savijanja. Za frekvencije vibracija iznad 

te brzine, kriterij postaje kompleksniji, ali ako poremećaji nisu blizu rezonance, 

kriterij zasnovan na pomjeranju vratila u blizini ležaja najbolje opisuje sile u 

ležajevima i iskorištenje zazora u kritičnim zaptivkama [40]. 

Saglasno predviđanjima rotordinamičke analize, u inicijalnim američkim 

specifikacijama vibracija centrifugalnih pumpi (API-610, 1975.) pretpostavljalo se da 

će do oštećenja usljed vibracija doći kad amplituda vibracija pređe nivo koji je 

relativno neosjetljiv na brzinu pumpe ili na frekvenciju poremećaja. U novijim 

američkim specifikacijama (API-610, 1981., HI Standards 1983. i MIL-STD-167-1, 

1974.) brzina vibracija u odnosu na frekvenciju više nije kriterij za ocjenu početnog 

oštećenja pumpe usljed dejstva vibracija. Upotreba brzine vibracija kao kriterija za 

dopuštene vibracije mašine postavlja nerazumne uslove za vibracije pumpi koje se 

javljaju pri višestrukim vrijednostima brzine vrtnje. Naprimjer, radno kolo sa 6 

lopatica koji se vrti sa 3600 min -1 će imati frekvenciju prolaza lopatica 21600 ciklusa 

u minuti. Neke važne specifikacije dozvoljavaju samo 5 mm/s za nivo vibracija 

filtriran na ovoj frekvenciji, što je ekvivalentno maksimalnom pomjeranju od samo 

0,005 mm. Sve dok se mjerenje ne vrši u blizini nodalne tačke vibracija, takve 

amplitude nemaju uticaj na vijek trajanja zazora, rotirajućih ili stacionarnih 

komponenti. 

S izuzetkom nekih podataka koje su dali Blake [4] i Hancock [28], ranija istraživanja 

su davala preporuke u obliku dijagrama zasnovanih isključivo na subjektivnoj 

percepciji stepena ozbiljnosti vibracija, a ne na stvarnom trošenju ili otkazivanju 

mašine. Hancock je dao preporuke zasnovane na maksimalnoj brzini iznad koje se 

znatno povećavala vjerovatnoća pojave triboloških problema. Doduše, većina tih 

podataka se odnosila na procesne pumpe, koje su sve radile istom brzinom. Ti podaci 

nisu dokazivali da je upotreba brzine kao kriterija opravdana. 

Postoje teoretski argumenti da ozbiljnost vibracija zavisi od pomjeranja (amplituda) 

na nižim frekvencijama, a od ubrzanja na višim frekvencijama. Koeficijenti u 

diferencijalnoj jednačini koja opisuje kretanje su veći ispred pomjeranja nego ispred 

brzine i ubrzanja pri niskim frekvencijama. Fizički, to se dešava jer je relativna 

frekvencija dovoljno niska da situacija ima statički karakter, a masa se nikad ne ubrza 

dovoljno da bi proizvela inercijalnu silu kompatibilnu poremećajnoj sili. 

Slično tome, postoji dobar razlog da se tvrdi da nivo štetnih vibracija zavisi od brzine 

vrtnje. Ako se mašine brže vrte, takođe moraju biti i manjih dimenzija, ili će ih u 

suprotnom naprezanja u rotoru ili kavitacija učiniti nepouzdanim. Sa smanjenjem 

dimenzija mašine, moraju se smanjiti i zazori, da ne bi došlo do opadanja efikasnosti. 

Sa smanjenjem zazora, nivo vibracija pri kojem se javlja štetno djelovanje opada, jer 

se struganje javlja pri manjim amplitudama vibracija. 

Postoji raspon frekvencija pri kojem brzina (odnosno prigušenje) dominira, što je 

analitički dokazano. Taj raspon je na ±15% od prve kritične brzine. U tom rasponu, 

vektori sile ubrzanja i pomjeranja su približno istog intenziteta, ali suprotnog smjera, 

sa tendencijom međusobnog poništavanja. Jedina važna sila koja je u stanju oduprijeti 

se poremećajnim silama je prigušenje pomnoženo brzinom vibracija. Ali rad pumpe 

37


na ovim frekvencijama dovodi do rezonance, tako da ovaj jedini raspon u kojem 

brzina dominira ne ulazi u dozvoljeno područje rada pumpe. 

2.6. Rješavanje problema vibracija pumpi 

Vjerovatno se 90% svih problema sa vibracijama pumpi može riješiti pažljivim 

balansiranjem sklopa rotora, dovođenjem u osu spojeva kad se sistem nalazi u radnim 

uslovima, posebno ako je postignuta radna temperatura, te ako se pumpa pogoni u 

granicama zadate krivulje pritisak/kapacitet. Preostali problemi vibracija se javljaju 

uglavnom usljed rezonance vlastite frekvencije sistema sa nekom od poremećajnih 

sila koja je zajednička za sve pumpe, kao što je zaostali debalans. Često je potrebno 

ispitivanje da bi se ovo riješilo, jer uzrok problema može biti u pogrešnim 

pretpostavkama prilikom analize, a što se može potvrditi isključivo eksperimentalnim 

ispitivanjem. 

Za vrijeme rezonance, vibracije rotora mogu prerasti veličinu unutrašnjih zazora ili se 

mogu javiti prekomjerna opterećenja ležajeva, čak i ako su debalans, nesaosnost i 

hidraulička opterećenja unutar dozvoljenih granica. U tom slučaju, jednostavna 

metoda probanja na mjestu ugradnje, kao što je dodavanje mase ili ukrućenja dijelova 

strukture, može riješiti nastale probleme. Ipak, ako ta rješenja samo pomjeraju 

problem na neku drugu blisku frekvenciju, a ne mogu biti dovoljno trajna (reda 

veličine sati umjesto sedmica), treba odustati od te metode a zatim odgovoriti na 

sljedeća pitanja: 

1. Jesu li poremećajne sile unutar dopuštenih granica? 

2. Koje su vlastite frekvencije rotirajućih i stacionarnih dijelova pumpe i pripadajuće 

opreme kad su oni sklopljeni u sistem? 

3. Koje su frekvencije poremećajnih sila u stvarnoj instalaciji i da li se poklapaju sa 

bilo kojom od vlastitih frekvencija pumpnog sistema? 

4. Ako postoji problem vibracija usljed jake poremećajne sile ili rezonance, kako se 

najlakše pumpa ili pripadajući pristroj mogu modifikovati da bi se najlakše riješio 

problem? 

Na ova pitanja se može odgovoriti kombinovanjem ispitivanja vlastitih frekvencija 

(utvrđujući kako pumpa slobodno vibrira) sa ispitivanjem vještački izazvanom 

pobudom (kao modalna ispitivanja, da bi se vidjelo kako će pumpa vibrirati u odzivu 

na poznatu silu kojom se na nju djeluje). 

S ciljem rješavanja problema rezonance, može se koristiti jedna od sljedeće četiri 

tehnike: 

1. Promjena krutosti rezonantne komponente i/ili načina njenog vezivanja za 

postolje. U slučaju povećanja krutosti, to će podići vlastitu frekvenciju, i može se 

uspješno koristiti kod izbjegavanja rezonance. 

2. Dodavanje mase na mjestima gdje se javlja izražajnije kretanje u glavnom obliku 

oscilovanja vlastite frekvencije. To će težiti da spusti vlastitu frekvenciju, moguće 

i izvan radnog područja. 

38


3. Obezbijediti izolator vibracija između izvora vibracija i mjesta koje vibrira. To se 

postiže obezbjeđenjem elastične veze između pojedinih komponenti sistema. Ovo 

se često ne može primijeniti u praksi. 

4. U slučaju problema vibracija koje nemaju veze ni sa debalansom, ni sa 

neasaosnošću, ni sa rezonancom, vjerovatno su tada uzrok vibracija jake 

hidrauličke sile. Ako se te sile javljaju usljed kavitacije zbog nedovoljnog pritiska 

u pumpi, treba podići pritisak pumpe do vrijednosti koje preporučuje proizvođač. 

Ako je uzrok vibracija interakcija prolaza lopatica, tada je moguće da je zazor 

između radnog kola i volute premalen, odnosno da se dijametralni zazor treba 

povećati na oko 10% prečnika radnog kola. Ako centrifugalna pumpa radi sa 

relativno niskim protokom, moguće je da je uzrok vibracija recirkulacija na ulazu 

ili izlazu iz pumpe. U tom slučaju, ako se protok ne može povećavati, može se 

postaviti bajpas linija između izlaza i ulaza u pumpu, i to dužine najmanje 5 puta 

veće od prečnika ulaznog otvora. Alernativa za to je instalacija novog radnog kola 

koji je manje osjetljiv na nizak nivo protoka. 

2.6.1. Modifikacije konstrukcije pumpe 

Najbolje bi bilo ako bi se mogući problemi vibracija mogli predvidjeti u ranim fazama 

konstruisanja, prije izrade. Savremene numeričke metode, kao što su MKE ili transfer 

matrica, mogu provesti takvu analizu pouzdano, uz pretpostavku da se obezbijede 

pouzdane informacije o graničnim uslovima. Za specifične instalacije, gdje se desi da 

granični uslovi odstupaju od onih koji su uzeti u obzir prilikom proračuna, 

frekventnom analizom sistema mogu se kvantificirati svi problemi vibracija koji se 

mogu pojaviti. Frekventnom analizom se mogu odrediti frekvencije koje imaju 

najjaču amplitudu, ukazujući tako na moguće uzroke vibracija. Preduslov za to je 

dobro poznavanje vibracionih karakteristika unutrašnjih komponenti pumpe i sistema 

na koje je pumpa spojena. Frekventna analiza se pokazala kao uspješna metoda u 

kombinaciji sa eksperimentalnom modalnom analizom za brzo rješavanje problema 

vibracija, tako što se odvojeno određuju poremećajne sile i vlastite frekvencije 

komponenti sistema pumpe. 

Najčešći uzrok pojave vibracija sa frekvencijom prolaza lopatica na pumpama je rad 

sa protokom različitim od protoka za koji je pumpa konstruisana [16]. Nekoliko 

elemenata doprinosi tom problemu. Za razliku od kompresora, koji moraju imati 

bajpas kanal za obezbjeđenje minimalnog protoka, pumpe ga najčešće nemaju. 

Proizvođači često koriste prevenciju pregrijavanja fluida pri niskom protoku kao 

konstruktivni kriterij za utvrđivanje minimalnog protoka. Dinamički efekti ili uticaj 

vibracija se ne koriste. 

Ako se prilikom konstruisanja pumpe i instalacaija uzimaju kao kriteriji najgori 

mogući slučajevi, pumpni sistem će biti predimenzionisan. To dovodi do rada pumpe 

koji je daleko ispod tačke maksimalnog iskorištenja i efikasnosti pumpe, a što za 

posljedicu ima visok nivo vibracija pri frekvenciji prolaza lopatica. 

Pumpe se konstruišu tako da postoji samo jedan nivo protoka pri kojem će pumpa 

raditi najbolje. To se dešava na tački maksimalnog stepena iskorištenja pumpe, 

odnosno kada fluid napušta lopaticu radnog kola pod istim uglom pod kojim ulazi na 

39


lopaticu difuzora. Ako se ti uglovi razlikuju (slika 2.21), generišu se hidrauličke sile 

koje izazivaju vibracije frekvencijom prolaza lopatica. 

Slika 2.21. Tok fluida sa radnog kola na volutu sa visokim, niskim i optimalnim 

protokom [16] 

Još jedan čest uzrok problematičnih vibracija pumpe je nedovoljan zazor između 

izlaznog kanala radnog kola i lopatica difuzora ili jezička volute. To je konstruktivni 

problem koji se javlja kada konstruktor upotrijebi radno kolo koji zadovoljava 

zahtjeve performansi pumpe, ali koji je prevelikih dimenzija za dato kućište. Kad 

rotirajuće lopatice prolaze preblizu stacionarnim lopaticama, mogu se javiti jake 

hidrauličke sile koje djeluju na vratilo i kućište, što za posljedicu ima neprihvatljivo 

visok nivo vibracija. 

Stepanoff [53] i Corley [16] preporučuju da zazor između jezička volute i lopatica 

radnog kola kod pumpi sa volutom treba biti u funkciji specifične brzine pumpe. Veća 

specifična brzina zahtijeva veći zazor. Za većinu konstrukcija pumpi, može se uzeti 

kao pravilo da zazor od najmanje 10% od prečnika radnog kola daje zadovoljavajuće 

rezultate. Za pumpe sa difuzorom, zazor može biti manji, ali najmanje 5% od prečnika 

radnog kola. 

Slika 2.22. Skica za modifikaciju jezička volute [16] 

40


Interesantno rješenje za pumpe koje nemaju dovoljno velik zazor, a rade sa većim 

brzinama, je zasijecanje jezička volute u obliku slova "V" (slika 2.22). Taj zahvat 

povećava efektivni zazor, ali i distribuira opterećenje na veću površinu, što smanjuje 

udarna opterećenja koja izazivaju problem vibracija. Kod pumpi sa malim uglom 

nagiba volute ovaj zahvat ne daje zadovoljavajuće rezultate. 

2.6.2. Preventivno održavanje 

Praćenje stanja je ispitivanje mašine da bi se uporedili nivoi vibracija sa utvrđenim 

kriterijima prema konzistentnom, repetitivnom vremenskom rasporedu. Ispitivanje 

ispravne mašine s ciljem predviđanja kada će biti potrebna popravka se naziva 

preventivno održavanje. Ako su se međutim, problemi na pumpi već pojavili, pa se 

vrši mjerenje vibracija s ciljem utvrđivanja uzroka, to se naziva identifikacija uzroka 

vibracija. 

Predlažu se sljedeća mjerenja kao minimum za praćenje stanja, preventivno 

održavanje ili identifikaciju uzroka vibracija za bilo koju vrstu pumpe: 

1. Nivo vibracija na oba kućišta ležajeva pumpe, te na kućištu ležaja pogonskog 

sistema na strani na kojoj se nalazi pumpa, u vertikalnom, horizontalnom i 

aksijalnom pravcu. 

2. Kakav je odnos hidrauličkih performansi pumpe prema konstrukciji? Drugim 

riječima, za datu brzinu i kapacitet (odnosno protok), koliko su blizu temperaturno 

kompenzirani pritisak pumpe i krivulja koju daje proizvođač, posebno u blizini 

BEP (tačke najvećeg stepena iskorištenja)? Da li su pritisak i kapacitet stabilni kad 

se pumpa pokušava pogoniti konstantnom brzinom? Da li bi pogonski motor ili 

turbina morali obezbijediti veću snagu nego što se to očekuje? 

3. Temperatura maziva u ležaju, barem približno. 

4. Da li je usisni pritisak stabilan na datoj radnoj tački, i da li je dovoljan? 

5. Da li se javlja neuobičajena buka pod određenim radnim uslovima, i ako se javlja, 

koje su joj glavne frekvencije? 

Za pumpe koje se okreću brzinama ispod 3600 min -1 , za velike pumpe sa izlaznim 

prečnikom većim od 300 mm, te za bilo koju vrstu pumpe na kritičnim mjestima 

ugradnje, preporučuju se i sljedeća mjerenja: 

1. Vibracije vratila u odnosu na kućište u blizini svakog ležaja, pomoću davača 

pomjeranja permanentno instaliranih na svako kućište ležaja, postavljenih tako da 

mjere vertikalno, horizontalno i aksijalno pomjeranje. 

2. Stabilna aksijalna pozicija vratila u odnosu na kućište u blizini aksiradijalnog 

ležaja (za ovo se može koristiti davač aksijalnih pomjeranja). 

3. Da li se javlja isticanje fluida koji se pumpa ili maziva u ležaju, u kojem obimu i 

na kojoj temperaturi? 

4. Da li su vidljive ikakve čestice koje nastaju habanjem u uzorku maziva koji se 

redovno uzima? 

5. Koje su vlastite frekvencije vratila i kućišta pumpe, te kakav je odziv vibracija na 

jedinično opterećenje u blizini ležajeva na tim frekvencijama, kao što je određeno 

eksperimentalnom modalnom analizom, ako je to moguće? 

41


Kod očitavanja listi za identifikaciju problema vibracija, često se koristi pojam 

"bacanje", koji predstavlja lažne vibracije koje registruje davač pomjeranja, a koje u 

stvari reflektuju ogrebotine na vratilu, žlijebove, valovitost, itd.; statička savijanja ili 

nesaosnost vratila ("mehaničko bacanje"); varijacije osjetljivosti usljed vrtložnih 

struja duž površine vratila; ili šum instrumenata ("električko bacanje"). 

Veoma često su problemi sa cjevovodom uzroci problematičnog rada pumpi: 

1. Stacionarna opterećenja na mlaznicama 

- Nedovoljno pričvršćena ekspanzivna spojka (sila = pritisak x površina) 

- Ispravljanje "Bourdonove cijevi" 

- Termalna ekspanzija / odstupanje 

2. Pulsirajuća opterećenja 

- Nedovoljno pričvršćene veze 

- Bourdon 

- Reakcija lakata 

- Akustika 

- Strukturalne vlastite frekvencije 

Najbolji pristup za minimiziranje problema kod primjene preventivnog održavanja je 

da se slijede dva jednostavna pravila: 

1. Pojednostaviti održavanje. Treba preventivno djelovati samo na one otkaze koji su 

relevantni na osnovu prethodnog iskustva (npr. ako se nikad nije javila pukotina u 

kućištu, ne treba uključiti ispitivanje na puktine kućišta). 

2. Uklopiti održavanje u rutinski posao. Odluke o održavanju treba držati 

konzistentnim i, koliko god je moguće, automatskim. 

Važna pitanja na koja treba odgovoriti prilikom usvajanja pravila za donošenje odluka 

za održavanje su: 

1. Koje vrste otkaza su se najčešće javljale ili su bile najskuplje? 

2. Koji su kriteriji najpouzdaniji kod dijagnosticiranja tih otkaza? Upravo ti kriteriji 

trebaju obuhvatiti mjerenja vrijednosti vibracija kućišta ležajeva u vertikalnom, 

horizontalnom i aksijalnom pravcu. Za visoku pouzdanost mehaničke ispravnosti 

pumpe, treba ipak vršiti i druga mjerenja, kao što su performanse pumpe, 

temperature ležajeva i nivoi vibracija vratila u odnosu na kućište. 

3. Kolike su granice prihvatljivosti kriterija? Hidrauličke performanse, buka, 

temperatura ležajeva, itd. rasponi prihvatljivosti i interpretacija tendencija su 

specifični za datu mašinu i njih treba da definiše proizvođač. 

2.6.3. Primjeri iz prakse 

Da bi se izbjegla ili umanjila pojava vibracija usljed mehaničkih uzroka, potrebno je 

[41]: 

- Balansirati sve rotirajuće komponente. To je posebno izraženo kod pumpi koje 

transportuju i čvrste čestice u fluidu, te kod visokobrzinskih pumpi. 

42


- Savijena vratila predstavljaju poseban problem. Najčešće se savijeno vratilo ne 

može ispraviti, nego ga je porebno zamijeniti novim. 

- Potrebno je dovesti pumpu i motor u osu. Ako je to neizvodljivo, onda treba 

koristiti takvu spojku koja će absorbirati temperaturne varijacije. 

- Cjevovod se uvijek vodi od pumpe do rezervoara, a ne obratno. 

- Dužina cijevi od izlaza iz pumpe do prvog koljena na cjevovodu treba biti barem 

deset puta veća od prečnika cijevi. 

- Oslonci cjevovoda bi trebali biti raspoređeni na nejednakim rastojanjima. 

- Treba koristiti dosta oslonaca za cjevovod. 

- Ako je radno kolo od ugljeničnog čelika, imaće 30% manja temperaturna širenja 

nego ako je od nerđajućeg čelika. 

- Kod montaže ležajeva, treba koristiti indukciono zagrijavanje, kako bi se izbjeglo 

unošenje nečistoća u ležaj prilikom montaže. 

Da bi se izbjegla ili umanjila pojava vibracija usljed hidrauličkih uzroka, potrebno je 

[41]: 

- Povećati ili smanjiti prečnik radnog kola da bi se što više približilo tački najvećeg 

stepena korisnosti pumpe. Ako to nije moguće, treba koristiti puno vratilo ili 

povećati prečnik vratila sa pogonske strane. U nekim slučajevima može se 

postaviti dodatni ležaj na dnu zaptivke, i postaviti mehaničku zaptivku bliže 

ležajevima. Dvodijelne zaptivke su idealne za ovu konverziju. 

- Treba provjeriti da li je energija pumpe dovoljna za traženu aplikaciju, tj. hoće li 

se javiti kavitacija. 

- Zazor između radnog kola i kućišta treba biti 4% prečnika (za manje radna kola – 

do 355 mm) odnosno 6% prečnika (za veće radna kola). 

- Unutrašnja recirkulacija se može riješiti korištenjem zatvorenog tipa radnog kola. 

- Da bi se izbjeglo ulaženje zraka i stvaranje vrtloga u pumpi i cjevovodu, treba 

koristiti O- prstenove za zaptivanje. 

- Treba paziti da ne dođe do hidrauličkog udara. 

- Dobro je koristiti usisni cjevovod koji je za jedan broj veći, a spojiti ga sa 

pumpom preko reduktora. Za redukciju prečnika treba koristiti ekscentrične 

umjesto koncentričnih reduktora poprečnog presjeka. 

Florjancic, Clother i Chavez [21] su pokazali da se izmjenom konstrukcije pumpe 

može riješiti problem vibracija pumpi. Upotrebom zakrivljenih lopatica radnog kola 

značajno je smanjen nivo vibracija, a poboljšana je i kavitaciona karakteristika 

pumpe. Isti autor tvrdi da kad mehaničko opterećenje postane znatno manje od 

hidrauličkog, sužavanje tolerancija u proizvodnji pumpi više nema uticaja na ukupne 

vibracione karakteristike pumpe. 

Smith, Prize i Kunz [52] su ponudili modifikaciju konstrukcije radnog kola 

postavljanjem lopatica i sa zadnje strane diska radnog kola, kako bi se riješio problem 

vibracija i nestabilnosti vratila. 

Corley [14] je riješio problem vibracija velike centrifugalne pumpe uzrokovanih 

pulsacijama pritiska fluida tako što je promijenio oblik promjene presjeka cjevovoda 

na ulazu i na izlazu iz pumpe. 

Da bi se izbjegla ili umanjila pojava vibracija usljed ostalih uzroka, potrebno je [41]: 

43


- Ako susjedna oprema prenosi vibracije na pumpu, treba koristiti prigušivače 

odnosno elastične spojeve. 

- Kritična brzina ne predstavlja problem ako pumpa radi sa konstantnim brojem 

obrtaja. Međutim, ako se broj obrtaja često mijenja u radu pumpe, treba ili 

promijeniti brzinu pumpe ili mijenjati prečnik radnog kola. 

- Zaptivači oblika O-prstena su idealni prigušivači vibracija. Metalni zaptivači 

zahtijevaju dodatne prigušivače, obično u formi metalnih komponenti koje 

vibriraju i kližu duž vratila. 

- Promjena materijala vratila neće mnogo uticati na vibracije pumpi, jer module 

elastičnosti materijala koji se obično koriste za vratila ne varira mnogo (0,196 do 

0,210 x 10 6 N/mm 2 . 

Kod problema sa rezonancom, pojačanje poremećajne sile u centrifugalnim pumpama 

se može zanemariti ako se prva kritična brzina izbjegne za 25%. Izbjegavanje n-te 

kritične brzine za 25% nije ni potrebno a ni moguće. Dovoljno je koristiti n-ti korijen 

od 1.25 za n-tu kritičnu brzinu. 

Hawkins [29] predlaže 5 mogućih intervencija da bi se riješio problem vibracija: 

1. Povećanje krutosti. Dodavanjem rebara povećava se krutost sistema, osim ako 

rebra nisu postavljena u "nodalnim čvorovima", tj. tačkama koje ne osciluju. 

2. Smanjenje krutosti. Tanka podloška ispod navrtke koja služi za pričvršćenje 

motora za podlogu se ponaša kao opruga kod visokih opterećenja. Mogu se 

koristiti čak i prave opruge, kao i kontrategovi. 

3. Dinamički apsorber. To je jeftini uređaj montiran u seriji sa rezonatorom i 

podešen tako da daje najjači efekat. Rezonator i absorber moraju biti u fazi. Kad 

rezonator dostigne drugu kritičnu brzinu, faza se mijenja, tako da je potreban 

poseban absorber za drugu kritičnu brzinu, odnosno više absorbera za 

poremećajne sile u različitim ravnima. 

4. Promjena frekvencije poremećajne sile. Kad je uzrok poremećaja zaostali 

debalans, može se mijenjati prečnik radnog kola ili broj obrtaja. Ako je uzrok 

poremećaja broj lopatica, treba zamijeniti radno kolo sa nekim koji ima različit 

broj lopatica. 

5. Izbjegavanje rezonantne frekvencije. 

Najraširenija vrsta vertikalnih pumpi su vertikalne turbopumpe (VTP) i pumpe za 

vodu koje se koriste u sistemima za prečišćavanje otpadnih voda. VTP se dosta 

razlikuje od ostalih vrsta pumpi jer ne mora biti strogo izbalansirana, vratilo ne mora 

biti suviše ravno, tolerancije spoja vratila sa motorom mogu biti šire, jer ta pumpa ima 

dugačko, fleksibilno kućište koje je elastično oslonjeno na podlogu. Ipak, kao i kod 

drugih vrsta pumpi, problemi se najčešće javljaju kod opterećenja na ležajevima i oko 

zazora ležajeva i zaptivača. Problemi vibracija VTP se obično rješavaju pomoću 

standardnih test tehnika i standardnim inženjerskim metodama [37, 15, 42]. 

Korištenje tradicionalnog pristupa može biti dugotrajno i skupo, ako sistem rotora ili 

cjevovodi značajnije učestvuju u problemu [10, 50], a rješenja se obično svode na 

višestruke uzastopne probe [43]. 

44


Tabela 2.5. Lista za identifikaciju uzroka problema rotirajućih mašina. 

Frekvencija Drugi simptomi 

vibracija 

(faktor 

množenja 

brzine) 

0,05 – 0,4 x Vibracije su nestabilne i pokrivaju široki spektar 

frekvencija 

Tačno 1/2 x, Moguće dramatično povećanje vibracija 

1/3 x itd. 

0,42 – 0,48 x Orbita pulsira: vibracije naglo rastu kod brzina 

približno dvostruko većih od vlastite frekvencije, a 

rast se zaustavlja na vlastitoj frekvenciji uprkos 

daljem povećanju brzine. 

0,6 – 0,93 x Manje ekstremne vrijednosti na (1-f)x i na ±(1-f) od 

prvih nekoliko harmonika brzine vrtnje; moguća 

pojava buke; dešava se kod djelimično opterećnog 

protoka; ne zavisi od brzine i protoka. 

Manje od 1 x Povećani nivo vibracija i buke širokog spektra ispod 

brzine vrtnje kod opadanja pritiska, posebno pri 

visokim protocima; često, povećana buka > 20 kHz. 

1 x 1. Jače na vratilu nego na kućištu; performanse i 

uslovi na ulazu normalni; aksijalne vibracije 

unutar normalnih granica, vibracije se 

povećavaju približno sa kvadratom brzine. 

a. Vibracije najveće na kućištu ležaja sa 

pogonske strane pumpe 

b. Vibracije najveće na kućištu ležaja 

pogonskog motora 

c. Vibracije najveće na kućištu ležaja pumpe, a 

male na ležaju pogona 

d. Vlastita frekvencija blizu 1 x 

2. Aksijalne vibracije su preko 1/2 H ili V 

vibracija, i povećavaju se dosta sporije od 

kvadrata brzine; visoka temperatura ulja u ležaju. 

3. Pulsacije pritiska na izlazu su jake na 1x ali ne i 

na frekvenciji prolaza lopatica 

4. Isto kao (3), ali sa jakim vibracijama na 

frekvenciji prolaza lopatica, posebno pri protoku 

dosta različitom od konstruktivnog 

2 x 1. Aksijalne vibracije male. 

a. Vibracije i vratila i kućišta jake, pulsacije 

izlaznog pritiska jake, ali male vibracije 

radnog kola pri frekvenciji prolaza lopatica 

b. Isto kao (a) ali sa jakim pulsacijama 

izlaznog pritiska i vibracijama radnog kola 

pri frekvenciji prolaza lopatica 

c. Vibracije na vratilu dosta jače nego na 

kućištu; opadanje prve vlastite frekvencije 

vratila 

d. Vibracije jednog kućišta ležaja jake, a 

vratilo relativno mirno. 

e. Vibracije vratila jače od vibracija kućišta i 

torzionog pulsiranja pogona 

2. Aksijalne vibracije su preko 1/2 H ili V; 1x 

vibracije takođe velike i visoka temperatura ulja 

iz ležaja 

Mogući uzrok 

Zastoji u difuzoru 

Struganje rotora 

Rotordinamička nestabilnost 

usljed vrtloženja fluida u 

uskom zazoru ("bacanje 

ulja") 

Zastoji rotacije usljed 

nepoklapanja ugla toka i 

lopatice; u pumpama može 

obuhvatati recirkulaciju toka. 

Kavitacija 

Debalans sklopa rotora. 

Debalans sprezanja 

Debalans rotora pogonskog 

motora 

Debalans rotora pumpe 

Rezonanca 

Nesaosnost sprezanja pogona 

Zapriječeni ili oštećeni kanali 

radnog kola 

Jezičak volute konstruisan 

preblizu radnom kolu ili 

ekscentricitet radnog kola 

Zapriječeni ili oštećeni kanali 

radnog kola 

Jezičak volute konstruisan 

preblizu radnom kolu ili 

ekscentricitet radnog kola 

Olabavljen ležaj ili pukotina 

u vratilu 

Olabavljeno ili napuknuto 

kućište ležaja 

Torziono opterećenje, 

asimetrija radijalne krutosti 

rotora 

Nesaosnost pumpe i pogona 

45


Frekvencija 

vibracija 

(faktor 

množenja 

brzine) 

Broj lopatica 

radnog kola 

Višestruka 

brzina vrtnje: 

1 x, 2 x, 3 x, 

... 

> 1 x, ali bez 

relacije sa 

brzinom 

vrtnje 

Drugi simptomi 

1. Pulsacije izlaznog pritiska niske, ali jake 

vibracije i vratila i kućišta. 

2. Isto kao (1), ali sa dosta jačim vibracijama 

kućišta nego vratila. 

3. Pulsacije izlaznog pritiska velike na frekvenciji 

prolaza lopatica, ali male pulsacije ulaznog 

pritiska. 

4. Visoke pulsacije pritiska na ulazu. 

5. Vlastita frekvencija rotora ili kućišta blizu 

frekvenciji prolaza lopatica. 

1. Orbita pokazuje oštre uglove ili pokazuje tragove 

"zvonjenja"; promjene u brzini i pojava buke. 

2. Orbita je raspršena ali ne pulsira niti "zvoni"; tok 

rashladnog sredstva zaptivača je neočekivano 

visok ili nizak i ima visoku temperaturu 

3. Orbita pulsira, obično u jednom smjeru više nego 

u drugom, a vratilo vibrira više od površine 

kućišta. 

4. Orbita vratila uglavnom stabilna, i kućište vibrira 

više od vratila; često u kombinaciji sa odzivom 

preko širokog spektra frekvencija ispod brzine 

vrtnje; jake vibracije sredine kućišta, slično 

kućištu ležaja. 

1. Vibracije jače na problematičnoj frekvenciji na 

određenim tačkama cjevovoda ili na postolju 

nego na pumpi. 

2. Vibracije jake u cjevovodu, ali ne na postolju; 

dominantne pulsacije ulaznog i izlaznog pritiska 

3. Male vibracije u cjevovodu i na postolju, i 

jednake vlastitoj frekvenciji mašine. 

4. Vibracije jake u aksijalnom pravcu, a aksijalni 

položaj vratila se naglo mijenja. 

a. Relativno stabilan preliv balansirajućeg 

bubnja 

b. Nestabilan preliv balansirajućeg bubnja 

Mogući uzrok 

Zazor između radnog kola i 

volute premalen ili veliki 

ekscentricitet 

Rezonanca cjevovoda ili 

kućišta ležaja 

Akustička rezonanca u 

izlaznom cjevovodu 

Akustička rezonanca u 

ulaznom cjevovodu 

Rezonanca 

Unutrašnje struganje, 

nesaosnost ležajeva, 

olabavljenost ili slabo 

podmazivanje spojke 

Zaptivka struže ili zapinje. 

Olabavljeni nosači ležajeva 

ili rezonanca vratila. 

Olabavljenost kućišta ili 

postolja mašine, 

olabavljenost ili rezonanca 

kućišta ležaja 

Strukturalna rezonanca 

sistema 

Akustika cjevovoda 

Rezonanca pumpe usljed 

turbulencije 

Rezonanca pumpe usljed 

turbulencije 

Problem sa zazorom 

rotor/stator 

Blokiranje u dotoku 

balansirajućeg preliva 

46

3. Vibracije sklopa vratila i radnog kola pumpe 

3. VIBRACIJE SKLOPA VRATILA I RADNOG KOLA PUMPE 

3.1. Opis centrifugalne pumpe koja je predmet istraživanja 

Pumpa koja je predmet ovog rada je centrifugalna pumpa za vodu, tip "100 58 100 1", 

proizvođač Fabrika pumpi i prečistača "Pobjeda" Tešanj. Pumpa se ugrađuje u sistem 

za hlađenje automobilskog motora teretnih vozila "Mercedes". Radne karakteristike 

pumpe su: 

- Brzina vrtnje: 3000 min -1 

- Protok: 238 l/min 

- Napor pumpe: 0,6 bara 

Slika 3.1. Vertikalni presjek centrifugalne pumpe za vodu 

Na slici 3.1. prikazan je presjek pumpe, na kojem se vidi oblik vratila i način 

oslanjanja vratila (preko dva kuglična ležaja). 

Na slici 3.2. prikazana je pumpa sa sastavnim dijelovima. Sa desne strane je prikazan 

radno kolo pumpe sa 11 zakrivljenih lopatica. U sredini sklopnog crteža se vidi vratilo 

pumpe izrađeno u stepenastoj izvedbi, kuglični ležajevi i zaptivke. Na lijevom kraju 

vratila pričvršćena je prirubnica na koju se montira remenica za pogon pumpe sa 

ventilatorom. 

47


Slika 3.2. Prikaz sklopljene i rastavljene centrifugalne pumpe za vodu 

(proizvođač "Pobjeda" Tešanj) 

Slika 3.3. prikazuje detaljnije oblik i dimenzije radnog kola pumpe. Geometrija 

radnog kola je veoma složena, a materijal od kojeg je napravljena postojeća 

konstrukcija pumpe je čelični liv oznake DIN 1691-GG25. 

Slika 3.3. Radno kolo centrifugalne pumpe (postojeća konstrukcija) 

48


3.2. Vibracije sklopa vratila i radnog kola pumpe 

3.2.1. Modeliranje pokretnih dijelova centrifugalne pumpe 

Da bi se ispitale vibracije centrifugalne pumpe, pomoću softvera I-DEAS Master 

Series izrađen je prostorni model svih pokretnih dijelova pumpe: prirubnice, vratila i 

radnog kola. Ležajevi preko kojih je vratilo oslonjeno na kućište pumpe simulirano je 

oprugama ekvivalentne krutosti. 

Slika 3.4. Prostorni model pokretnih dijelova centrifugalne pumpe 

3.2.2. Proračun krutosti ležajeva 

Da bi se što tačnije dobio model vratila sa radnim kolom za dinamičku analizu, 

potrebno je odrediti krutost oslonaca. Centrifugalna pumpa koja je predmet ovog 

istraživanja je oslonjena na kućište preko dva kotrljajna ležaja, čiju krutost je 

potrebno odrediti da bi se oslonci zamijenili oprugama ekvivalentne krutosti. 

Krutost kugličnog ležaja se računa na osnovu odnosa između napadne sile i 

deformacije ležaja. 

Deformacija kuglice u ležaju: 

Da bi se odredio odnos između sile i deformacije kugličnog ležaja [34], potrebno je 

prvo izračunati deformaciju jedne kuglice iz ležaja pod djelovanjem radijalne sile F 

(slika 3.5). 

49


F 

Slika 3.5. Opterećenje jedne kuglice u kugličnom ležaju 

Uz pretpostavke da je materijal kuglice linearno elastičan, da je tangencijalni napon 

na kontaktnoj površini zanemarljivo mali te da je deformacija mala u odnosu na 

dimenzije kuglice, može se koristiti Hertzova formula: 

δ = 

2 

( −ν 

) 

2 

2,25 1 

3 2 

F 

2 

E 

R 

[mm] ........................................................................... (3.1) 

gdje su: 

E – Modul elastičnosti materijala kuglice 

ν - Poissonov koeficijent 

r1 

r2 

R = 

r2 

− r1 

........................................................................................................ (3.2) 

r 2 

r 1 

Slika 3.6. Radijusi zakrivljenosti površina u kontaktu 

Navedena formula važi za prosti slučaj kontakta kuglice sa konkavnom površinom. 

Ako se svi parametri osim sile F skupe u funkciju C K , može se pisati: 

δ = C K 

ν 

2 / 3 

( E, , r r ) F 

1, 

2 

[mm] ........................................................................... (3.3) 

Za radijalni kuglični ležaj kontaktne površine su nešto složenije. Kontakti se ostvaruju 

između površine kuglice i površina staza unutrašnjeg i vanjskog prstena ležaja. 

Kontaktne površine imaju različitu zakrivljenost. Na osnovu radijusa prstenova ležaja, 

te za E = 20,6 ⋅ 10 4 N/mm 2 i ν = 0,3 za standardne kuglične ležajeve dobije se 

formula: 

50


δ = 

4,37⋅10 

−4 

F 

d 

2 / 3 

1/ 3 

[ mm] 

.............................................................................. (3.4) 

gdje je d prečnik kuglice [mm]. Sila F se unosi u [N]. 

Krutost kugličnih ležajeva: 

Na osnovu poznavanja odnosa između sile i deformacije za jednu kuglicu, ista relacija 

se može izračunati i za cijeli ležaj sa z kuglica. Kontaktna sila F i za jednu kuglicu koja 

ima deformaciju δ i iznosi: 

F 

i 

⎡ δ 

⎢ 

⎣4,37 

⋅10 

i 

= − 4 −1/ 

3 

d 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

3/ 2 

[N]........................................................................... (3.5) 

Ugao između dvije nesusjedne kuglice je ϕ i = i⋅ϕ 1 . Ugao između susjednih kuglica je 

ϕ 1 = 2π/z. 

Komponente sile F i u pravcima koordinatnih osa x i y (sila F djeluje u pravcu ose x) 

su: 

F xi = F i cos ϕ i 

F yi = F i sin ϕ i 

Ako se pretpostavi da su pomjeranja x > 0 i y = 0, komponente sile u pravcu ose y se 

međusobno poništavaju zbog suprotnih predznaka, a suma komponenti u pravcu ose x 

daje silu: 

F = 

∑ 

F 

xi 

3/ 2 

⎞ 

⎟ + 

− −1/ 

3 

n+ 

1 

[ 1 2∑ 

ϕ1 

] 

⎛ x 

= ⎜ 

cos 

4 

⎝ 4,37 ⋅10 

d ⎠ 

[N].................................... (3.6) 

Upotrebom konkretnih vrijednosti za standardne ležajeve dobije se da je izraz u 

zagradi proporcionalan broju kuglica u ležaju z: 

1+ 2∑cosϕ 

n+1 

1 

= S ⋅ z 

...................................................................................... (3.7) 

Iz toga slijedi da je sila koja djeluje na ležaj: 

F 

⎛ x 

⎝ 4,37 ⋅10 

= S ⋅ z⎜ 

− 4 −1/ 

3 

d 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3/ 2 

[N]..................................................................... (3.8) 

a pomjeranje (deformacija) ležaja: 

51


x = 

2 / 3 

−4 

− 1/ 3⎛ 

F ⎞ 

4,37 

10 d ⎟ 

⎠ 

⋅ 

⎜ 

⎝ S ⋅ z 

[mm] .................................................................. (3.9) 

Krutost se odredi diferenciranjem izraza za silu u odnosu na pomjeranje x: 

3/ 

2 

3/ 2−1 

S ⋅ z ⋅ 

3/ 2 

dF 

k = = 

x 

dx 

−4 

− 3 

( 4,37⋅10 

d 

1/ ) 

[N/µm] ............................................ (3.10) 

Krutost dakle zavisi od opterećenja ležaja i jednaka je nuli kad je ležaj neopterećen. 

Konstanta S za kuglične ležajeve iznosi 0,23, pa je deformacija ležaja: 

2 / 3 

− F 

x d 

1/ 3⎛ 

⎞ 

= 1,2 

⋅ ⎜ ⎟ µ 

⎝ z ⎠ 

[ m] 

Krutost kugličnog ležaja je: 

.............................................................................. (3.11) 

3 3 3 

k = 1,3 ⋅ z 

2 / ⋅d 

1/ ⋅ F 

1/ [ N / µ m] ..................................................................... (3.12) 

Proračun vlastite težine i sila u osloncima: 

Budući da krutost kugličnih ležajeva preko kojih je vratilo pumpe oslonjeno na 

kućište zavisi od sila koje djeluju na ležajeve, potrebno je odrediti vrijednost sila za 

oba ležaja. Polazi se od pretpostavke da na ležajeve djeluju samo sile od vlastite 

težine pokretnih dijelova pumpe (vratilo, radno kolo i pogonska remenica). 

Vrijednosti masa pojedinih dijelova su izračunate pomoću softvera I-DEAS, na 

osnovu izračunatog volumena i specifične mase ρ = 7.82⋅10 -6 kg/mm 3 . 

52


Pogonska remenica 

Lijevi dio vratila 

Sredina vratila 

Desni dio vratila 

Lopatice 

Kolo 

x 

Sila u lijevom ležaju 

Sila u desnom ležaju 

Slika 3.7. Sile koje djeluju na vratilo 

Tabela 3.1. Proračun vlastite težine i sila u osloncima: 

Naziv x [mm] m [kg] V [mm 3 ] F=9,81⋅m [N] 

Prirubnica 17,5576 0,222228 28417,9 2,180057 

Lijevi dio vratila 19,3291 0,18555 23727,6 1,820246 

Srednji dio vratila 54,9874 0,179871 23001,4 1,764535 

Desni dio vratila 104,467 0,0783327 10017 0,768444 

Lopatice 118,004 0,19698 25189,2 1,932374 

Kolo 125,394 0,47488 60726,3 4,658573 

53


Tabela 3.2. Statički proračun: 

Naziv Sila [N] Rastojanje od lijevog 

oslonca [mm] 

Rastojanje od desnog 

oslonca [mm] 

P 2,180057 37-17,5576=19,4424 80-17,5576=62,4424 

LDV 1,820246 37-19,3291=17,6709 80-19,3291=60,6709 

SDV 1,764535 54,9874-37=17,9874 80-54,9874=25,0126 

DDV 0,768444 104,467-37=67,467 104,467-80=24,467 

K 4,658573 125,394-37=88,394 125,394-80=45,394 

L 1,932374 118,004-37=81,004 118,004-80=38,004 

suma 13,12423 

ΣM L = 0 

F D ⋅43 + F P ⋅19,44 + F LDV ⋅17,67 – F SDV ⋅17,99 – F DDV ⋅67,48 – F K ⋅88,39 – F L ⋅81 = 0 

F D = 577,3531/43 = 13,42682 [N] 

ΣM D = 0 

F L ⋅43 – F P ⋅62,44 - F LDV ⋅60,67 – F SDV ⋅25,01 + F DDV ⋅24,48 + F K ⋅45,39 + F L ⋅38 = 0 

F L = -13,0109 / 43 = -0,30258 [N] 

Tabela 3.3. Podaci o ležajevima: 

Lijevi ležaj 

Desni ležaj 

Oznaka ležaja: DIN 6206 DIN 6203 

Prečnik kuglice: d = 9,525 [mm] d = 6,75 [mm] 

Broj kuglica: z = 9 z = 8 

Sila koja djeluje na ležaj: F = 0,303 [N] F = 13,427 [N] 

2 / 3 1/ 3 1/ 3 

k = 1,3 ⋅ z ⋅ d ⋅ F 

2 / 3 1/ 3 

k = 1,3 ⋅ z ⋅ d ⋅ F 

Krutost ležaja: 

k = 1,3 ⋅9 

k = 8,01 

2 / 3 

k = 8.008.310 

⋅9,525 

1/ 3 

⋅0,303 

1/ 3 

k = 1,3 ⋅8 

2 / 3 

⋅6,75 

1/ 3 

1/ 3 

⋅13,427 

[ N / µ m] 

k = 23,35 [ N / µ m] 

[ mN / mm] 

k = 23.357.746 [ mN / mm] 

Podaci za krutost ležajeva su izraženi u jedinici [mN/mm] jer se u toj jedinici unose 

kao ulazni podatak za softver I-DEAS. 

1/ 3 

3.2.3. Rezultati proračuna MKE 

Urađena su dva različita pojednostavljena modela pokretnih dijelova pumpe, jedan 

prema poznatim podacima o dimenzijama dijelova pumpe, a drugi sa cilindrom na 

lijevom kraju vratila, koji simulira prisustvo remenice i ventilatora. Oba modela su 

simulirana pomoću dvije vrste konačnih elemenata, prostorni parabolični elementi 

oblika tetraedra i prostorni linearni elementi oblika kvadra. 

U tabeli 3.4. su prikazani najzanimljiviji rezultati proračuna. Oblici oscilovanja su 

prikazani na slikama 3.8 do 3.10. 

54


Tabela 3.4. Vlastite frekvencije sklopa pokretnih dijelova pumpe 

R. Model Oblik Frekvencija Oblik oscilovanja 

br. 

konačnih 

elemenata 

[Hz] 

1 sa remenicom tetraedar 737 torzija (slika 3.8) 

2 sa remenicom tetraedar 973 savijanje vratila (slika 3.9) 

3 bez remenice kvadar 752 savijanje vratila (slika 3.10) 

4 bez remenice kvadar 999 savijanje vratila (slika 3.10) 

5 bez remenice kvadar 4434 savijanje radnog kola (slika 3.10) 

6 bez remenice tetraedar 1339 savijanje vratila (slika 3.11) 

7 bez remenice tetraedar 10180 savijanje radnog kola (slika 3.11) 

8 bez remenice tetraedar 5334 2. savijanje vratila (slika 3.11) 

Slika 3.8. Oblici oscilovanja modela sa remenicom 

Slika 3.9. Oblici oscilovanja modela sa remenicom 

55


Slika 3.10. Oblici oscilovanja modela bez remenice, 

modelirani elementima oblika kvadra 

Slika 3.11. Oblici oscilovanja modela bez remenice, 

modelirani elementima oblika tetraedra 

56


3.2.4. Zaključak 

Osnovni nedostatak provedene analize sklopa vratilo/radno kolo je u tome što 

proizvođaču pumpe nisu dostupni ostali mašinski elementi i sklopovi koji su kruto 

vezani na vratilo na stvarnom mjestu ugradnje. Obzirom da se radi o pogonskoj 

remenici i ventilatoru relativno velikih dimenzija, koji znatno utiču na vlastite 

frekvencije i oblike oscilovanja vratila, bilo bi poželjno ispitati ponašanje pumpe na 

stvarnom mjestu ugradnje. 

Rezultati provedenog proračuna pokazuju da sklop vratilo/radno kolo ima vlastite 

frekvencije koje ne mogu doći u rezonanciju sa poznatim poremećajnim silama 

(frekvencija debalansa f 1 = Ω = 3000 [min -1 ] = 50 [Hz], frekvencija prolaza lopatica 

f 2 = 11 x f 1 = 11 x 50 = 550 [Hz]). To znači da je potrebno detaljnije ispitati ponašanje 

samog radnog kola. 

57

4. Poprečne vibracije ploča 

4. POPREČNE VIBRACIJE PLOČA 

4.1. Uvod 

Radno kolo centrifugalne pumpe se ponaša u određenoj mjeri kao okrugla ploča [35], 

tako da se može pretpostaviti da se vlastite frekvencije radnog kola mogu izvesti 

sličnim postupkom koji se koristi za vibracije ploča. 

Diferencijalne jednačine koje opisuju kretanje okrugle ploče su veoma složene za 

rješavanje, tako da su u ovom poglavlju samo navedeni principi na kojima se te 

jednačine zasnivaju (dati su izrazi za kinetičku i potencijalnu energiju), te primjeri 

rješenja slučajeva kod kojih se javlja singularitet, pa su rješenja jednostavnija. Tačno 

rješenje se u principu i ne izvodi, jer nema praktični značaj – disk je samo 

aproksimacija radnog kola, tako da je daleko povoljnije koristiti približne metode, kao 

što je metoda konačnih elemenata. 

4.2. Diferencijalna jednačina poprečnih vibracija ploča 

Posmatra se ploča koja leži u ravni Oxy, sa malom debljinom u smjeru z-ose i sa 

srednjom površinom na z = 0. Slobodne neprigušene vibracije takve ploče se 

analiziraju uz Kirchoffove pretpostavke [25]. 

z,w 

∂w 

u = −z 

∂x 

h 

∂w 

− 

∂x 

x,u 

Slika 4.1. Kinematika deformacije tanke ploče 

Kinematske pretpostavke od kojih se polazi mogu se generalisati na dvodimenzionalni 

problem savijanja konzolne grede sa zanemarljivim tangencijalnim deformacijama. 

Te pretpostavke glase: 

1. Ploča je tanka sa debljinom "h" i ima srednju površinu na polovini debljine. 

Koordinatni sistem je Oxyz, sa centrom u sredini ploče. 

2. Posmatra se samo translacija "w" u smjeru z-ose. 

3. Naprezanje σ z u transverzalnom pravcu je jednako nuli. Kako to naprezanje 

stvarno iščezava na vanjskim slojevima ploče, a ploča je male debljine, može se 

smatrati da ono iščezava po cijeloj debljini ploče. 

4. Poprečni presjeci koji su normalni na glavnu ravan, ostaju ravni i ortogonalni na 

glavnu ravan, što znači da se transverzalno smičuće naprezanje zanemaruje. 

5. Polje pomjeranja usljed rotacije poprečnog presjeka se može izraziti preko: 

58


∂w 

u = −z 

∂x 

∂w 

v = −z 

...................................................................................................... (4.1) 

∂y 

w = w( x, 

y) 

Pod uslovom da se srednja površina ne deformiše, deformacije u ploči su [19]: 

2 

∂ w 

ε 

x 

= −z 

2 

∂x 

2 

∂ w 

ε 

y 

= −z 

2 

∂y 

γ 

xy 

2 

∂ w 

= −2z 

∂x∂y 

................................................................................................ (4.2) 

Naprezanja u linearnom i izotropnom materijalu se računaju prema Hooke-ovom 

zakonu: 

E 

σ 

x 

= 

2 

(1 −ν 

) 

E 

σ 

y 

= 

2 

(1 −ν 

) 

τ 

xy 

= Gγ 

xy 

( ε + νε ) 

x 

( ε + νε ) 

y 

2 

Ez ∂ w 

= − 

(1 + ν ) ∂x∂y 

y 

x 

2 

2 

Ez ⎛ ∂ w ∂ w ⎞ 

= − 

⎜ + ν 

x y 

⎟ 

2 2 

2 

(1 −ν 

) ⎝ ∂ ∂ ⎠ 

2 

2 

Ez ⎛ ∂ w ∂ w ⎞ 

= − 

⎜ + ν 

y x 

⎟ 

2 2 

2 

(1 −ν 

) ⎝ ∂ ∂ ⎠ 

......................................... (4.3) 

gdje je: 

E - modul elastičnosti 

ν - Poissonov koeficijent 

E 

G = - modul smicanja 

2(1 

+ ν ) 

Potencijalna energija elastične deformacije elementa dxdydz iznosi: 

dE 

p 

⎛ ε 

x 

= 

⎜ 

⎝ 2 

ε 

y 

+ 

2 

γ 

xyτ 

+ 

2 

xy 

⎟ ⎞ 

dxdydz 

⎠ 

................................................................... (4.4) 

Integriranjem (4.4) po zapremini V ili po površini S ploče i uvrštavanjem (4.3) dobije 

se potencijalna energija elastične deformacije cijele ploče: 

E 

E 

p 

p 

∫∫∫ 

= dV 

V 

⎡ 2 

2 

D ⎡⎛ 

∂ w ⎞ ⎛ ∂ w ⎞⎤ 

= ∫∫ 

⎢⎢ 

+ ⎥ 

⎢ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

S 2 

2 

2 

⎣⎣⎝ 

∂x 

⎠ ⎝ ∂y 

⎠⎦ 

2 

⎡ 2 2 

2 

∂ w ∂ w ⎛ ∂ w ⎞ 

− 2(1 −ν 

) ⎢ − 

⎜ 

⎟ 

2 2 

⎢ ∂x 

∂y 

⎣ ⎝ ∂x∂y 

⎠ 

2 

⎤⎤ 

........ (4.5) 

⎥⎥dxdy 

⎥⎦ 

⎥ 

⎦ 

59


gdje je 

3 

Eh 

D = - savojna krutost ploče debljine h. 

2 

12(1 −ν ) 

Kinetička energija je: 

E 

k 

ρh 

= 

2 

∫ 

S 

2 

w& 

dxdy ........................................................................................... (4.6) 

Za slučaj okrugle ploče, pogodnija je upotreba polarno-cilindričnog koordinatnog 

sistema. 

x = r cosθ 

........................................................................................................ (4.7) 

y = r sinθ 

Za transformaciju derivacija iz pravougaonog u polarno-cilindrični koordinatni sistem 

koriste se izrazi: 

∂ 

∂x 

∂ 

∂y 

∂ 1 ∂ 

= cosθ 

− sinθ 

∂r 

r ∂θ 

............................................................................... (4.8) 

∂ 1 ∂ 

= sinθ 

+ cosθ 

∂r 

r ∂θ 

Jednačine za potencijalnu (4.5) i kinetičku energiju (4.6) u polarno-cilindričnim 

koordinatama glase: 

E 

E 

p 

k 

D ⎪⎧ 

2 

2 

2 

⎛ ∂ w 1 ∂w 

1 ∂ w ⎞ 

= ∫∫ ⎨ 

S 

⎜ + + 

r r r r θ 

⎟ 

2 

2 2 

2 ⎪⎩ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ 

................ (4.9) 

⎡ 2 

2 

2 

∂ w ⎛ 1 ∂w 

1 ∂ w ⎞ ⎛ ∂ ⎛ 1 ∂w 

⎞⎞ 

⎤⎪ 

⎫ 

− 2(1 −ν 

) ⎢ 

− ⎜ ⎜ ⎟⎟ 

⎥⎬rdrdθ 

⎢⎣ 

r 

⎜ + 

r r r θ 

⎟ 

2 

2 2 

∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂r 

⎝ r ∂θ 

⎠⎠ 

⎥⎦ 

⎪⎭ 

ρh 

2 

= ∫ w& rdrdθ 

......................................................................................... (4.10) 

2 

S 

Diferencijalna jednačina poprečnih vibracija ploče izvodi se pomoću Hamiltonovog 

principa za male vibracije elastičnog tijela, koji glasi: "Integral Lagrangeove funkcije 

(razlika potencijalne i kinetičke energije) po vremenu t 1 do t 2 kod stvarnog kretanja je 

minimalan": 

t1 

t1 

δ ∫ ( Ek 

− E 

p 

) dt = ∫δRdt 

.................................................................................. (4.11) 

t0 

t0 

gdje je: 

E p – deformacioni rad (potencijalna energija deformacije) 

E k – kinetička energija 

60


δR – varijacija rada spoljnih sila 

∫ 

δ R = q( r, 

θ , z) 

δwdS 

...................................................................................... (4.12) 

S 

U slučaju slobodnih harmonijskih vibracija ploča na koje ne djeluju spoljne sile, 

Hamiltonov princip glasi: 

t1 

∫ 

δ ( E − E ) dt = 0 .......................................................................................... (4.13) 

t0 

k 

p 

Uvrštavanjem izraza za kinetičku (4.10) i potencijalnu energiju (4.9) u (4.13), te 

određenih transformacija, dobije se diferencijalna jednačina slobodnih vibracija 

okrugle ploče u cilindričnim koordinatama: 

D ∆∆w 

− ρ hw& 

= 0 ............................................................................................. (4.14) 

Gdje je ∆ Laplace-ov operator: 

2 2 

2 

2 

∆ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ 1 ∂ 1 ∂ 

= 

⎜ + 

⎟ = 

⎜ + + 

2 2 

2 

2 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ⎝ ∂r 

r ∂r 

r ∂θ 

2 

Granični uslovi za kruto ukliještenu konturu ploče glase: 

⎞ 

⎟ .................................................... (4.15) 

⎠ 

w = 0 

∂w 

............................................................................................................. (4.16) 

= 0 

∂r 

Granični uslovi za slobodnu konturu ploče glase: 

w = 0 

............................................................................................................. (4.17) 

∆w 

= 0 

4.3. Metode rješavanja diferencijalne jednačine poprečnih vibracija ploča 

Tanka ploča je dvodimenzionalna analogija Euler-Beronullijeve grede (kada su 

zanemarena tangencijalna naprezanja). Dvodimenzionalna analogija Timoshenkove 

grede (kada se uzimaju u obzir tangencijalna naprezanja i inercione sile usljed 

rotacije) je poznata u literaturi kao Mindlin-Timoshenkova teorija. Za rješavanje ovih 

problema postoje tačne i približne metode, od kojih će neke biti prikazane u ovom 

radu. 

4.3.1. Tačno rješenje 

Potrebno je odrediti uslove pod kojima će sve tačke ploče izvoditi harmonijske 

vibracije istom frekvencijom i istom fazom. Pretpostavi se oblik funkcije w: 

61


w 

iνt 

( r, 

ϕ , t) 

= W ( r, 

ϕ, 

t) 

e ................................................................................... (4.18) 

Ako se uvede konstanta c: 

c 

2 

= 

D 

ρh 

........................................................................................................... (4.19) 

Jednačina (4.14) se može napisati u obliku: 

2 

c ∆∆w 

− w& = 0 ................................................................................................. (4.20) 

Uvrštavanjem (4.18) u (4.19) dobije se: 

2 

2 

c ∆∆W 

( r, 

ϕ) 

−ω 

W ( r, 

ϕ) 

= 0 ......................................................................... (4.21) 

ili 

∆∆W 

4 

2 

2 

− λ W = ( ∆ − λ )( ∆ + λ ) W = 0 ............................................................ (4.22) 

gdje je: 

2 ω 

λ = ............................................................................................................. (4.23) 

c 

Rješenje jednačine 

∆ − λ 

2 = 0 

je: 

cos 

W ( r, 

ϕ ) = ( mϕ) 

[ AIm 

( λr) 

+ BYm 

( λr) 

]........................................................ (4.24) 

sin 

Rješenje jednačine 

∆ + λ 

2 = 0 

je: 

cos 

W ( r, 

ϕ ) = ( mϕ) 

[ CIm 

( iλr) 

+ DYm 

( iλr) 

]..................................................... (4.25) 

sin 

Opšte rješenje jednačine (4.21) glasi: 

cos 

W ( r, 

ϕ ) = ( mϕ) 

[ AIm 

( λr) 

+ BYm 

( λr) 

+ CIm 

( iλr) 

+ DYm 

( iλr) 

]................. (4.26) 

sin 

gdje su I 

m 

( λr) 

i I 

m 

( iλr) 

Besselove funkcije prve vrste, a Y 

m 

( λ r) 

i Y 

m 

( iλ 

r) 

Besselove funkcije druge vrste. 

Kako se radi o punoj ploči, može se staviti da je B = D = 0, jer funkcije Y 

m 

( λ r) 

i 

Y m 

( iλ r) imaju u centru ploče singularitete. Argument funkcije I 

m 

( iλr) 

je imaginaran 

broj. Uvodi se oznaka 

62


I 

m 

m 

( z) 

= i 

− I ( iz) 

gdje funkcija 

I 

m−1 

d 

dz 

∫ 

∫ 

0 

1 

I 

( z) 

− I 

m 

m+ 

1 

1 

( z) 

= 

2 

I ( z) 

dz = I 

m 

I ( z) 

dz = zI 

I m 

(z) 

2m 

( z) 

= I 

z 

ima sljedeće osobine: 

[ I ( z) 

+ I ( z) 

] 

0 

1 

m−1 

( z) 

( z) 

m 

( z) 

m+ 

1 

....................................................................... (4.27) 

Prema (4.27), za punu kružnu ploču dopuštena su sljedeća rješenja: 

cos 

W ( r, 

ϕ ) = ( mϕ) 

[ A1 Im 

( λr) 

+ B1I 

m 

( λr) 

]...................................................... (4.28) 

sin 

Za slobodno oslonjenu ploču (vanjski poluprečnik r = R) važe granični uslovi: 

W ( R, 

ϕ) 

= 0 

∆W 

( R, 

ϕ) 

= 0; 

2 

⎡∂ 

W 

⎢ 2 

⎣ ∂r 

⎛ 1 ∂W 

+ ν 

⎜ 

⎝ r ∂r 

1 

+ 

2 

r 

2 

∂ W ⎞⎤ 

2 

⎟⎥ 

∂ϕ 

⎠⎦ 

r=R 

................................... (4.29) 

= 0 

Uvrštavanjem (4.28) u (4.29), dobiju se dvije homogene jednačine čijim se 

rješavanjem dolazi do frekventne jednačine. 

Za ukliještenu ploču navedenim postupkom se dobiju sljedeće vrijednosti za prve tri 

vlastite kružne frekvencije: 

ω 

ω 

ω 

10 

11 

02 

⎛ π ⎞ 

= ⎜ 1,015⎟ 

⎝ R ⎠ 

⎛ π ⎞ 

= ⎜ 1,468⎟ 

⎝ R ⎠ 

2 

2 

⎛ π ⎞ 

= ⎜ 2,007⎟ 

⎝ R ⎠ 

2 

D 

ρh 

D 

ρh 

D 

ρh 

.................................................................................... (4.30) 

Indeksi uz ω predstavljaju nodalni prečnik, odnosno nodalnu kružnicu, respektivno. 

(ω 10 predstavlja vlastitu frekvenciju sa 0 nodalnih prečnika i 1 nodalnom kružnicom). 

Formula za izračunavanje vlastite frekvencije kružne ploče ima opšti oblik [18]: 

D 

ω mn 

= a mn 

[Hz].................................................................................... (4.31) 

ρ 

4 

hr 

63


gdje su: 

3 

Eh 

D = - savojna krutost ploče debljine h. 

2 

12(1 −ν ) 

ρ - specifična masa 

r - poluprečnik ploče 

m - broj nodalnih prečnika 

n - broj nodalnih kružnica 

a mn - numerička konstanta koja zavisi od oblika oscilovanja, te od oblika oslanjanja 

ploče (graničnih uslova): 

• Za slobodno oslonjene rubove a 20 = 5,25 

• Za slobodno oslonjene rubove a 01 = 9,07 

• Za ukliještene rubove a 01 = 10,21 

• Za slobodno oslonjene rubove, ukliješteno u središtu: a 01 = 3,75 

Slika 4.2. Oblici oscilovanja kružne ploče ukliještene po rubu 

4.3.2. Približne metode 

Tačna rješenja problema dinamike konstrukcija, konkretno vibracija ploča, vezano je 

sa značajnim teškoćama. To se odnosi na rješavanje diferencijalnih jednačina u 

polarnim ili pravouglim koordinatama u slučajevima promjenljivog poprečnog 

presjeka, analizi u neelastičnoj oblasti, kod visokoelastičnim materijala, složenih 

spoljnih opterećenja, itd. Iz tih razloga uvode se razne približne metode. 

Za specijalne slučajeve vibracija ploča može se koristiti Ritz-Galerkinova metoda da 

bi se izračunale kinetička i potencijalna energija. 

Kako dinamički deformisana površina ploče nije unaprijed poznata (funkcija w(x,y), 

odnosno w(r,θ)), potrebno je pretpostaviti oblik te funkcije tako da zadovoljava 

postavljene granične uslove. Funkcije se biraju u formi: 

64


n 

∑ 

w( x, 

y) 

= c w ( x, 

y) 

..................................................................................... (4.32) 

i= 

1 

i 

i 

gdje su: 

c i – konstante 

w i (x,y) – diferencijabilne funkcije koje zadovoljavaju samo geometrijske granične 

uslove (pomjeranja i ugibi), a ne i dinamičke granične uslove (sile i momenti). 

Ritz-Galerkinova metoda se razlikuje od Rayleigh-Ritzove metode po tome što se 

najbolja aproksimacija postiže minimiziranjem greške tako što se zadovolji 

diferencijalna jednačina preko cijelog raspona funkcija. 

Rayleigh-Ritzova metoda služi za određivanje konstanti c i tako što se traži prva 

vlastita frekvencija, odnosno traži se minimum Rayleighovog količnika ω 2 . Polazi se 

od principa o konzervaciji energije, po kojem je zbir potencijalne i kinetičke energije 

konstantan. Iz toga se može izvesti jednakost maksimuma potencijalne i kinetičke 

energije, a na osnovu te jednakosti dobije se izraz za Rayleighov količnik ω 2 . 

Kod Ritz-Galerkinove metode polazi se od diferencijalne jednačine 

L ( w) 

= 0 .......................................................................................................... (4.33) 

gdje je "L" diferencijalni operator, a funkcija w(x,y) predstavlja rješenje 

diferencijalne jednačine (4.33). Primjer operatora "L" je: 

L = D 

4 

[ ∆∆ − λ ] 

2 

4 ω ρh 

λ = 

D 

Uvrštavanje (4.32) u (4.33) dovodi do toga da lijeva strana diferencijalne jednačine 

(4.33) ne bude jednaka nuli, nego je potrebno izračunati njeno odstupanje (rezidual): 

i 

∫ 

R w L( w) 

dxdy .......................................................................................... (4.34) 

= 

S 

i 

za svaku od pretpostavljenih funkcija w i . Izjednačavanjem reziduala za svaku funkciju 

w i sa nulom daće sistem od n linearnih jednačina iz kojih se izračunaju vrijednosti 

konstanti c i . 

4.4. Oblici oscilovanja okruglih ploča 

Oblici oscilovanja (modovi, tonovi) okruglih ploča se mogu prikazati pomoću 

nodalnih linija. To su geometrijska mjesta tačaka koje se ne pomjeraju za određeni 

oblik oscilovanja. 

Njemački fizičar Ernst Chladni je 1787. godine odredio oblike tih linija 

eksperimentalno, sipanjem pijeska na vibrirajuće ploče (za pobudu vibracija koristio 

je violinsko gudalo). Pijesak se zadržavao samo na mjestima na kojima je amplituda 

vibracija bila najmanja, odnosno na nodalnim linijama. Švicarski fizičar Walter Ritz 

je 1904. razvio analitički metod da bi reprodukovao Chladnijeve eksperimente. 

65


Slika 4.3. Nodalne linije i nodalne kružnice 

Slika 4.4. Chladnijeve figure – oblici oscilovanja okrugle ploče 

Isti eksperiment je 1967. ponovio švicarski naučnik Hans Jenny, ali je ovaj put za 

pobudu vibracija koristio uređaj vlastite izrade pod nazivom "tonoskop" [32]. To je 

bio kristalni oscilator pomoću kojeg su se frekvencija i amplituda vibracija dale 

preciznije kontrolisati. Potvrdio je rezultate koje je dobio Chladni, i proširio ih je na 

ploče sa pijeskom, željeznim prahom, srebrom, polenom, gasovima, vodom, 

plastičnim supstancama i viskoznim tečnostima. Došao je do zaključka da fluid (voda) 

prianja na bijele površine Chladnijevih figura, a da se na crnim površinama (nodalne 

linije) fluid odvaja od površine ploče. Takođe je zaključio da samo frekvencija utiče 

na oblik figura (broj nodalnih linija), a da amplituda utiče samo na intenzitet 

turbulencija i brzinu kojom se materijal kreće po ploči. Takođe je utvrdio da vibracije 

mogu izazvati antigravitacijski efekat, tj. ako se vibrirajuća ploča na kojoj se nalazi 

fluid izvede iz horizontalnog položaja, oblik Chladnijevih figura, tj. oblik oscilovanja 

se uopšte ne mijenja. 

66


Slika 4.5. Chladnijeva figura nastala vibracijom frekvencije vokala "A" [32] 

Slika 4.6. Chladnijeve figure nastale vibracijom radnog kola centrifugalne 

pumpe 

4.5. Uticaj centrifugalne sile 

Ako se kružna ploča kao simplificirani oblik radnog kola pumpe obrće oko ose 

okomite na ravan ploče, koja prolazi kroz centar ploče, na ploču djeluje još i 

centrifugalna sila usljed rotacije. Potencijalna energija deformacije se u tom slučaju 

sastoji iz dva dijela, jedan od savijanja, a drugi od centrifugalnog efekta. Da bi se 

skratio postupak računanja vlastite frekvencije, koristi se sljedeća teorema: 

Southwellova teorema: Ako se u nekom elastičnom sistemu restitucione sile mogu 

podijeliti u dva dijela, tako da je ukupna potencijalna energija jednaka zbiru 

parcijalnih potencijalnih energija, tada se vlastita frekvencija ovakvog sistema može 

približno odrediti prema obrascu [18]: 

2 2 

ω ω1 

+ 

= ω .................................................................................................. (4.35) 

2 

2 

67


gdje je: 

ω 1 – vlastita frekvencija ploče u stanju mirovanja 

ω 2 – vlastita frekvencija ploče usljed dejstva centrifugalne sile 

Važi opšta jednačina: 

2 2 2 

ω = ω1 

+ aΩ 

................................................................................................ (4.36) 

gdje je: 

Ω - brzina obrtanja (rotacije) 

a – numerička konstanta koja zavisi od oblika oscilovanja 

Da bi se tačno odredile deformacije usljed centrifugalnog efekta, posmatra se 

beskonačno mali element između dvije ravnine koje zatvaraju ugao dα i dvije 

koncentrične cilindrične površine radijusa "r" i "r + dr" [2], prema slici 4.7. 

Slika 4.7. Naprezanja u rotirajućem disku [2] 

Pretpostavi se da je debljina elementa jednaka jedinici. Pri rotaciji diska na element 

djeluju radijalne i tangencijalne komponente naprezanja σ r i σ t , koje su funkcije 

radijusa r. Aksijalno naprezanje σ z = 0. 

Pri konstantnoj ugaonoj brzini rotacije Ω na element djeluje još i elementarna sila 

inercije 

dC f 

= dm 

r 

2 

2 

ρ Ω = ( ρrdαdr 

⋅1) 

⋅ Ω .................................................................. (4.37) 

Budući da sve sile djeluju u istoj ravni, radi se o dvoosnom napregnutom stanju. 

Uslov dinamičke ravnoteže elementa glasi: 

dα 

( σ + )( + ) ⋅1− 

⋅1− 

2 ⋅1⋅sin 

+ rd dr ⋅1⋅ 

rΩ 2 r 

dσ 

r 

r dr dα 

σ 

rrdα 

σ 

tdr 

ρ α = 0 .. (4.38) 

2 

68


dα dα 

Kako je sin ≅ i ako se zanemare male veličine drugog reda, dobije se 

2 2 

jednačina ravnoteže u obliku: 

2 2 

dσ r + σ dr + dσ 

dr − σ dr + ρr 

Ω dr = 0 .................................................. (4.39) 

r 

odnosno 

r 

dσ 

dr 

r 

t 

σ − + r 

= − r 

2 Ω 2 

r 

σ 

t 

ρ ρ ............................................................................. (4.40) 

Uslov identičnosti deformacija glasi: 

dσ 

t 

dσ 

r 

2 

= − − ( 1+ 

ν ) ρΩ 

r 

dr dr 

............................................................................. (4.41) 

Deriviranje jednačine (4.40) po r i koristeći (4.41) dobije se: 

2 

d σ 

r 

3 dσ 

r 

2 

+ = −(3 

+ ν ) Ω ρ .......................................................................... (4.42) 

2 

dr r dr 

Opšti integral te jednačine 

σ 

B 

r 

3 + ν 

8 

ρ 

2 2 

r 

= A + − Ω r ................................................................................ (4.43) 

2 

Iz jednačine (4.40) 

dσ 

dr 

σ = + r 

+ r 

2 Ω 2 

t 

σ 

r 

ρ ρ ............................................................................... (4.44) 

Deriviranjem (4.43) po r dobije se: 

dσ 

r 2B 

1+ 

3ν 

ρ 

dr r 8 

2 2 

= − − Ω r ............................................................................ (4.45) 

3 

Kada se uvrsti (4.45) u (4.44), dobije se nakon potrebnih transformacija 

σ 

B 

r 

1+ 

3ν 

8 

ρ 

2 2 

t 

= A − − Ω r ............................................................................. (4.46) 

2 

Integracione konstante A i B se određuju iz graničnih uslova. Za šuplji disk 

unutrašnjeg radijusa r 1 i vanjskog r 2 , granični uslovi glase: 

za r = r 1 : 

69


B 3 + ν 2 2 

σ 

t 

= A − − Ω ρr1 

= 0 ....................................................................... (4.47) 

2 

r 8 

za r = r 2 : 

1 

B 3 + ν 2 2 

σ 

t 

= A − − Ω ρr2 

= 0 ....................................................................... (4.48) 

2 

r 8 

2 

Iz jednačina (4.47) i (4.48) dobije se: 

3 + ν 2 2 

A = ρΩ 

( r1 

+ r 

8 

3 + ν 2 2 2 

B = − ρΩ 

r1 

r2 

8 

2 

2 

) 

................................................................................... (4.49) 

Prema tome, jednačine (4.43) i (4.46) dobivaju oblik: 

3 + ν 2⎛ 

2 

σ = Ω 

⎜ 

r 

ρ r1 

8 ⎝ 

ρΩ 

σ 

t 

= 

8 

2 

⎡ ⎛ 

⎢(3 

+ ν ) 

⎜r 

⎢⎣ 

⎝ 

+ r 

2 

1 

2 

2 

+ r 

− r 

2 

2 

2 

2 

r1 

r 

− 

r 

2 

r1 

r 

+ 

r 

2 

2 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ − (1 + 3ν 

) r 

⎠ 

Za sve vrijednosti r naprezanja σ r i σ t su pozitivna. 

2 

............................................ (4.50) 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

Deriviranjem jednačina (4.50) po r može se odrediti položaj elemenata diska na koje 

djeluju maksimalne komponente i tangencijalna naprezanja. Najveća vrijednost 

naprezanja σ r dobiva se za r = r r . 1 2 

( ) 

3 + ν 

⎛ r 

⎜ − 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

2 2 1 

σ 

r 

= ρ 

max Ω r2 

1 

8 ⎜ r ⎟ ...................................................................... (4.51) 

2 

Najveća vrijednost naprezanja σ t dobiva se za r = r . 1 

2 

3 + ν 2 2 

⎡ ⎛ 1+ 

3ν 

⎞ r ⎤ 

1 

( ) ρΩ 

r 2 + 1− 

⎥ 

⎦ 

σ 

t 

= 

2 ⎢ ⎜ ⎟ .................................................... (4.52) 

max 

2 

8 ⎣ ⎝ 3 + ν ⎠ r2 

Na slici 4.8. prikazana je raspodjela radijalnih i tangencijalnih naprezanja prema 

jednačinama (4.50) u zavisnosti od radijusa r. Slučaj (a) predstavlja disk sa otvorom 

radijusa r 1 , slučaj (b) puni disk i slučaj (c) disk sa relativno malim otvorom. 

70


Slika 4.8. Raspodjela naprezanja u rotirajućem disku [2] 

Potencijalna energija elastične deformacije (izračunata ranije prema (4.5) i (4.9)), ovaj 

puta uzimajući u obzir dejstva centrifugalne sile, iznosi: 

E 

p 

E ⎧ 1−ν 

2 2 2 

= ∫ ( ε + ε + ε ) − ( ε ε + ε ε + ε ε ) 

2(1 + ν ) 

⎨ 

rr θθ 

⎩1 

− 2ν 

2 2 2 

+ ( ε + ε + ε )}dV 

V 

rθ 

rz 

θz 

zz 

rr 

θθ 

θθ 

zz 

zz 

rr 

+ 

.............. (4.53) 

gdje su ε ij (i = r, θ, z; j = r, θ, z) komponente Greenovog tenzora naprezanja. Za ravno 

stanje naprezanja komponente tenzora naprezanja su: 

ε = ε = ε = ε 

ε 

ε 

rz 

zr 

θθ 

θz 

zr 

zθ 

2 2 

∂w 

1 ⎛ ∂ w ∂ v ⎞ 

= + 

⎜ + 

⎟ 

2 2 

∂r 

2 ⎝ ∂r 

∂r 

⎠ 

1 ⎪⎧ 

⎛ ∂v 

⎞ 1 ⎪⎧ 

⎛ ∂w 

⎞ 

= ⎨⎜ 

w + ⎟ + ⎨⎜ 

− v⎟ 

r ⎪⎩ ⎝ ∂θ 

⎠ 2r 

⎪⎩ ⎝ ∂θ 

⎠ 

⎛ ∂v 

⎞ 

+ ⎜ + w⎟ 

⎝ ∂θ 

⎠ 

⎪⎫ 

⎪⎫ 

⎬⎬ 

⎪⎭ ⎪⎭ 

∂v 

1 ⎧⎛ 

∂w 

⎞ ∂w 

⎛ ∂w 

⎞ ∂v 

⎛ ∂v 

⎞⎫ 

ε 

rθ 

= + ⎨⎜ 

− v⎟ + ⎜ − v⎟ + ⎜ + w⎟⎬ 

∂r 

r ⎩⎝ 

∂θ 

⎠ ∂r 

⎝ ∂θ 

⎠ ∂r 

⎝ ∂θ 

⎠⎭ 

ν 

ε 

zz 

= ( ε 

rr 

+ εθθ 

) 

1−ν 

Uvrštavanjem (4.54) u (4.53), dobije se potencijalna energija: 

2 

2 

................................... (4.54) 

71


θ 

θ 

θ 

θ 

ν 

θ 

θ 

θ 

ν 

θ 

θ 

θ 

ν 

π 

rdrd 

w 

v 

r 

v 

v 

w 

r 

w 

v 

w 

r 

r 

v 

w 

v 

v 

w 

r 

v 

w 

r 

v 

r 

w 

r 

w 

w 

v 

v 

w 

r 

v 

w 

r 

r 

v 

r 

w 

r 

w 

Eh 

E 

r 

r 

p 

⎪⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

∂ 

∂ 

∂ 

∂ 

+ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

∂ 

∂ 

∂ 

∂ 

+ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

− 

+ 

+ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

⋅ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

∂ 

∂ 

+ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

+ 

⎪⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

+ 

∂ 

∂ 

− 

= ∫ ∫ 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

0 2 

2 

2 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

2 

1 

1 

2 

1 

) 

2(1 

2 

1 

...... (4.55) 

gdje su: 

w – radijalna komponenta vektora pomjeranja, 

v – tangencijalna komponenta vektora pomjeranja. 

72

5. Primjena metode konačnih elemenata za određivanje vlastitih frekvencija slobodnih neprigušenih vibracija 

5. Primjena metode konačnih elemenata za određivanje 

vlastitih frekvencija slobodnih neprigušenih vibracija 

Metoda konačnih elemenata (MKE) je tehnika za približno rješavanje fizičkih ili 

matematičkih problema koja se zasniva na diskretizaciji kontinuuma (podjelom 

domena na poddomene konačnih dimenzija – konačne elemente), tako da se umjesto 

diferencijalnih jednačina rješavaju sistemi algebarskih jednačina. Diskretizacija realne 

strukture svodi sistem sa beskonačno mnogo stepeni slobode kretanja na sistem sa 

konačnim brojem stepeni slobode. Analiza, odnosno rješenje stanja konačnog 

elementa se izvodi matematičkim putem, na osnovu neke poznate funkcionalne 

zavisnosti između veličina koje postoje u problemu. Rješenje cjelokupnog sistema se 

dobije kombinacijom rješenja pojedinih elemenata, uz upotrebu matričnog računa. 

U inženjerskoj praksi, MKE se koristi za određivanje napona i deformacija u statički i 

dinamički napregnutim konstrukcijama, za proračun raspodjele i toka toplote u 

termički opterećenim konstrukcijama, za modalnu analizu, analizu vibracija, 

optimizaciju konstrukcija, itd. 

Proračun metodom konačnih elemenata podrazumijeva rješavanje matričnih 

jednačina, a svodi se na rješavanje sistema jednačina sa velikim brojem nepoznatih 

veličina. Klasičnim putem se mogu riješiti krajnje jednostavni problemi (od nekoliko 

konačnih elemenata), dok se za iole složeniji problem moraju koristiti računari. 

Razvoj računarske opreme u posljednjih nekoliko godina izmijenio je koncept 

rješavanja problema metodom konačnih elemenata. Naime, veliki broj operacija koje 

su zahtijevale dosta vremena (diskretizacija modela, definisanje graničnih uslova) su 

danas automatizirane i te operacije su implementirane u software za grafički prikaz 

modela. Takođe, proces rješavanja modela je znatno brži, jer su danas na raspolaganju 

veoma brzi računari (umjesto da traje nekoliko sati, sada proces rješavanja složenih 

modela traje samo nekoliko minuta). 

Na tržištu postoji veliki broj komercijalnih softverskih paketa opšte namjene koji se 

zasnivaju na MKE, od kojih su najpoznatiji ALGOR, ANSYS, I-DEAS, NASTRAN, 

itd. MKE se može koristiti za veliki broj fizičkih fenomena, ali će se ovdje posmatrati 

samo primjena MKE na problem vibracija struktura. 

Za određivanje vlastitih frekvencija i oblika oscilovanja za slučaj slobodnih vibracija 

pomoću MKE polazi se od matrične jednačine kretanja diskretizirane strukture sa n 

stepeni slobode kretanja: 

[ M ]{} q& 

+ [ C]{} q& 

+ [ K]{} q = 0 

& .............................................................................. (5.1) 

gdje su: 

[M] – matrica masa 

[C] – matrica prigušenja 

[K] – matrica krutosti 

q & , q& 

, q - vektori generalisanih ubrzanja, brzina i pomjeranja 

{}{}{} 

73


Rješenja jednačine (5.1) se pretpostave u obliku: 

λ 

{} q {} u e 

t 

= ....................................................................................................... (5.2) 

tako da se problem (5.1) svodi na problem vlastitih vrijednosti: 

2 

( [ M ] + λ[ C] + [ K ]){ u} = {} 0 

λ ........................................................................... (5.3) 

odnosno 

[ H ( λ) 

] 

n× 

n{} u = {} 0 

{} v 

T 

[ H ( λ) 

] = {} 0 

T 

............................................................................................ (5.4) 

Rješavanjem (5.4) dobivaju se vlastite vrijednosti λ i i vlastiti vektori { u i 

},{ v i 

} 

i=1,2,...,2n. To znači da za matricu dinamičke krutosti [ )] n n 

rješenja. 

H 

× 

, za 

(λ postoji 2n vlastitih 

Problemi (5.4) su problemi drugog reda po λ. 

Za slučaj neprigušenih slobodnih vibracija pretpostavlja se rješenje u obliku: 

iωt 

{ q t) 

} = { u} e 

( .................................................................................................. (5.5) 

pa se dobija: 

2 

iωt 

[ K ] − [ M ]]{ u} e = {} 0 

odnosno: 

ω ................................................................................ (5.6) 

2 

[ ] − [ M ]]{ u} = { 0} 

K ω ...................................................................................... (5.7) 

Da rješenje ne bi bilo trivijalno, mora biti determinanta matrice: 

det[ K ω ] = 0 ........................................................................................ (5.8) 

2 

[ ] − [ M ] 

Iz ove algebarske jednačine dobija se niz od n pozitivnih realnih vrijednosti ω 2 koje 

predstavljaju vlastite vrijednosti datog problema. Vrijednosti ω i , i=1,2,...,n 

predstavljaju neprigušene vlastite frekvencije sistema. Kada se te vrijednosti uvrste u 

(5.7), dobije se n vektorskih rješenja koja predstavljaju oblike oscilovanja sistema 

(modove). 

Rezultati koji se dobiju MKE su dati u čvorovima konačnog elementa. Vrijednosti 

traženih veličina u ostalim tačkama se dobiju preko određenih interpolacionih 

funkcija. Rješenja dobivena metodom konačnih elemenata su u opštem slučaju 

74


približna, te se postavlja pitanje tačnosti, stabilnosti i konvergencije rješenja. Tačnost 

rješenja po MKE je bliskost približnog rješenja tačnom. Konvergencija je stabilnost u 

numeričkom (proračunskom) procesu kod određivanja rješenja. Konvergencija 

rješenja analogna je konvergenciji rješenja kod iterativnih postupaka, gdje se rezultati 

iz prethodnog rješenja koriste kao osnova za dobijanje sljedećeg rješenja. Ako se 

razlika između uzastopnih rješenja sukcesivno smanjuje, postupak je konvergentan. O 

konvergenciji MKE se zaključuje na osnovu analize rezultata u zavisnosti od 

promjene određenih parametara: veličina i broj konačnih elemenata, broj čvorova, 

izbor interpolacijskih funkcija. 

I-DEAS Master Series softver koji je korišten pri izradi ovog rada je složeni 

softverski paket koji se sastoji iz više aplikacija. Jedna od njih je "Normal Mode 

Dynamics Analysis", koja služi za određivanje neprigušenih oblika oscilovanja i 

vlastitih frekvencija struktura. Softver pruža mogućnost izbora tri metode za rješenje 

problema neprigušenih oblika oscilovanja i vlastitih frekvencija struktura: Simultana 

iteracija vektora (SVI), Lanczos, i Guyan redukciju. Za problem ovog rada 

najpogodnija je Lanczos metoda rješavanja. 

5.1. Lanczos metoda za određivanje vlastitih frekvencija i oblika 

oscilovanja 

Lanczos metoda izračunava relativno malo parova vlastitih vrijednosti i vlastitih 

vektora za model definisan sa velikim brojem stepeni slobode kretanja. Izolovane 

vlastite vrijednosti se aproksimiraju pouzdano nakon relativno malog broja koraka u 

proračunu. Obično se traže najmanje vlastite vrijednosti. Lanczos algoritam brzo 

konvergira. Generalisani problem vlastitih vrijednosti je prikazan matričnom 

jednačinom: 

Kx = λMx ........................................................................................................ (5.9) 

gdje su: 

K – matrica krutosti 

M – matrica masa 

λ - vlastita vrijednost 

Lanczos algoritam koristi sljedeću jednačinu: 

Kx 

= νMx 

......................................................................................................... (5.10) 

gdje je: 

σ - pomak vlastite vrijednosti 

K 

= K −σM 

.................................................................................................... (5.11) 

Spektar generalisanog problema (5.9) je vezan za spektar sa pomaknutom vrijednosti 

(5.10) sljedećom relacijom: 

75


1 

λ = ........................................................................................................ (5.12) 

ν − σ 

Lanczos metoda konstruiše set ortogonalnih vektora (Lanczos vektora) za Rayleigh- 

Ritzovu proceduru. Algoritam je u uskoj vezi sa metodama inverzne iteracije za 

izračunavanje jednog para vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora. 

Za dati par matrica 

sekvencu vektora: 

K 

= K −σM 

i M, te za početni vektor r, ove metode generišu 

−1 

−1 

−1 

{ r, 

K Mr, 

( K M ) 2r,..., 

( K M ) jr} 

................................................................ (5.13) 

tokom j iteracija. Ti se vektori nazivaju sekvenca Krylova, koja, kad j teži 

beskonačnosti, konvergira vlastitom vektoru koji odgovara vlastitoj vrijednosti λ, koja 

je najbliža pomaku σ. 

Lanczos metod formira set M-ortonormalnih vektora (Lanczos vektori) koji se koriste 

u Rayleigh-Ritzovoj proceduri da bi se smanjile dimenzije problema vlastitih 

vrijednosti. To vodi do standardnog problema vlastitih vrijednosti sa tri-dijagonalnom 

matricom. 

5.2. Konačni elementi za analizu vibracija 

I-DEAS ima automatski generator mreže, za koji treba samo definisati prosječnu 

veličinu konačnog elementa, te tip elementa, a sve ostalo se vrši automatski. Ako je 

potrebno da na pojedinim dijelovima modela mreža konačnih elemenata bude gušća, 

kako bi se dobili precizniji rezultati (naprimjer na mjestima nagle promjene 

geometrije, tj. gdje je moguća koncentracija naprezanja), može se definisati tačan broj 

elemenata na određenom rubu ili površini. Generator mreže se tako podvrgava 

zadatim ograničenjima za generisanje mreže. 

Mreža konačnih elemenata može biti generisana kao mapirana (MAPPED - sa 

pravilnom simetričnom distribucijom), slobodna (FREE - sa nepravilnim, slobodnim 

rasporedom čvorova i elemenata) ili kombinacija ove dvije vrste. 

Diskretiziranje radnog kola pumpe ili rotirajućeg diska može se obaviti različitim 

vrstama konačnih elemenata. I-DEAS Master Series raspolaže sa velikim brojem 

različitih konačnih elemenata, štapnih, površinskih, prostornih, specijalnih, itd. Za 

analizu vibracija radnog kola pumpe korištene su dvije vrste konačnih elemenata, i to 

prostorni linearni elementi oblika kvadra i prostorni parabolični elementi oblika 

tetraedra. Pojam linearni i parabolični odnosi se na red jednačina koje se koriste za 

interpolaciju stanja naprezanja ili pomjeranja između čvorova. 

Materijal modela je generički izotropni materijal sa osobinama čelika. 

76


5.2.1. Prostorni linearni element oblika kvadra 

Slika 5.1. Prostorni linearni element oblika kvadra 

Prostorni linearni element oblika kvadra (Brick) ima 6 strana i 8 čvorova. Svaki čvor 

ima po tri translacijska, 1 temperaturni i 3 rotacijska stepena slobode kretanja. 

5.2.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra 

Slika 5.2. Prostorni parabolični element oblika tetraedra 

Prostorni linearni element oblika kvadra (Brick) ima 4 strane i 10 čvorova. Svaki čvor 

ima po tri translacijska, 1 temperaturni i 3 rotacijska stepena slobode kretanja. 

5.3. Izbor vrste i broja konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola 

centrifugalne pumpe 

Proračunu vlastitih frekvencija radnog kola pumpe prethodi izrada prostornog modela, 

te njegova diskretizacija (podjela na konačne elemente). Izbor broja konačnih 

elemenata (gustoće mreže) zavisi od željene preciznosti rezultata. Ako se žele 

rezultati koji bolje aproksimiraju stvarno ponašanje modela, mreža mora biti gušća, tj. 

elemenata mora biti više. Međutim, povećanje broja elemenata direktno utiče na broj 

stepeni slobode modela, odnosno broj algebarskih jednačina koje se moraju riješiti, 

što nepotrebno pove'ava vrijeme proračuna. Takođe, prevelik broj elemenata 

povećava zahtjeve softvera za radnom memorijom računara (za model sa 10000 

konačnih elemenata potrebno je više od 1 GB RAM memorije). 

77


1 

10 

50 

Slika 5.3. Okrugla ploča – model za izbor potrebnog broja konačnih elemenata 

Za proračun vlastitih frekvencija okrugle ploče dimenzija sličnih dimenzijama radnog 

kola centrifugalne pumpe, diskretizacija je vršena za različit broj konačnih elemenata. 

Na slikama 5.4. do 5.6. prikazani su rezultati proračuna za različit broj konačnih 

elemenata. 

Iz dijagrama na slikama 5.4 do 5.6 može se zaključiti da je za proračun modela sa 

slike 5.3 dovoljna mreža od 240 konačnih elemenata oblika kvadra (1 po debljini, 6 

po radijusu i 4 x 10 po obimu diska). 

4000 

3500 

3000 

Vlastite frekvencije 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

6 8 10 12 14 16 18 

Broj elemenata po četvrtini obima diska 

Slika 5.4. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata 

po četvrtini obima diska 

78


3500 

3000 

2500 


2000 

1500 

1000 

500 

0 

4 5 6 7 8 9 

Broj elemenata po radijusu diska 

10 

Slika 5.5. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po radijusu diska 

9000 

8000 

7000 

6000 


5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

0 1 2 3 

Broj elemenata po debljini diska 

4 

Slika 5.6. Zavisnost vlastite frekvencije od broja elemenata po debljini diska 

Na izbor vrste konačnih elemenata utiče i način generisanja mreže, tj. diskretizacije 

modela. Model u obliku pravilnog diska se lako diskretizira mapiranim konačnim 

elementima, samo što je prethodno potrebno izvršiti particioniranje (Partitioning) 

podjelom diska na četiri identična dijela pomoću dva okomita prečnika (slika 5.7). 

79


Slika 5.7. Particioniranje diska radi generisanja 

mapirane mreže konačnih elemenata 

Mapiranom mrežom se dobiju isključivo linearni ili parabolični elementi oblika 

kvadra, koji daju zadovoljavajuće rezultate prilikom proračuna vlastitih frekvencija. 

Za diskretizaciju radnog kola s lopaticama se takođe može koristiti mapirana mreža, 

ali tako formirani elementi imaju dosta veliku distorziju, tako da rezultati nisu 

pouzdani. Da bi se mogla formirati mapirana mreža, mora se kreirati takav model 

radnog kola koji će biti pogodan za formiranje mapirane mreže. Radno kolo se 

podijeli na onoliko segmenata koliko ima lopatica, a zatim se generiše mreža za jedan 

segment. I generisanje mreže za taj segment obavezno podrazumijeva particioniranje 

po površinama dodira lopatica i diska radnog kola. Nakon toga se segment rotacijom 

oko ose imepelera iskopira onoliko puta koliko ima lopatica. Taj postupak je dosta 

složen i zahtijeva dosta vremena, tako da je uzet u obzir slobodni način generisanja 

mreže. Slobodna mreža se može generisati sa više tipova elemenata, te je potrebno 

izvršiti provjeru koji od njih daje najbolje rezultate. Pokazalo se da su parabolični 

tetraedri najpovoljniji, jer se sa relativno malo konačnih elemenata (elementi većih 

dimenzija) dobije zadovoljavajući rezultat. To smanjuje i vrijeme potrebno za 

diskretizaciju (diskretizacija je automatska i bez particioniranja) i vrijeme proračuna, 

jer elemenata ima manje, te je i broj algebarskih jednačina koje treba riješiti manji. 

Tabela 5.1. Izbor vrste konačnih elemenata za diskretizaciju radnog kola pumpe 

Način 

diskretizacije 

Veličina 

elementa 

[mm] 

Oblik elementa Broj 

čvorova 

Prva vlastita 

frekvencija 

[Hz] 

Odstupanje 

rezultata 

[Hz] 

mapirani 1,0 linearni kvadar 8 3686 0 

mapirani 1,0 parabolični kvadar 20 3671 -15 

mapirani 2,0 linearni kvadar 8 3672 -14 


slobodni 2,0 parabolični tetraedar 8 3691 +5 

slobodni 4,2 parabolični tetraedar 8 3716 +30 

mapirani 4,2 linearni kvadar 8 2903 -783 


80


Slika 5.8. Mapirana (MAPPED) mreža konačnih elemenata 

Slika 5.9. Slobodna (FREE) mreža konačnih elemenata 

81

6. Uticaj vrste materijala na vibracije radnog kola pumpe 


Radno kolo centrifugalne pumpe se ponaša slično okrugloj ploči [35], tako da se može 

pretpostaviti da se vlastite frekvencije radnog kola mogu izvesti sličnim postupkom 

koji se koristi za vibracije ploča. 

Formula za izračunavanje vlastite frekvencije kružne ploče ima opšti oblik [18]: 

D 

ω mn 

= a mn 

............................................................................................ (6.1) 

ρ 

4 

hr 

gdje su: 

3 

Eh 

D = - krutost savijanja ploče debljine h. 

2 

12(1 −ν ) 

ρ - 

r - 

m - 

n - 

a mn - 

specifična masa 

poluprečnik ploče 

broj nodalnih prečnika 

broj nodalnih kružnica 

numerička konstanta koja zavisi od oblika oscilovanja, 

te od oblika oslanjanja ploče (graničnih uslova) 

Numerička konstanta a mn , poluprečnik (r) i visina ploče (h) ne zavise od materijala, 

tako da se može uvesti konstanta C: 

2 

h 

C = amn 

................................................................................................ (6.2) 

4 

12r 

Vlastita frekvencija okrugle ploče iznosi: 

2 

Eh 

E 

ω mn 

= a mn 

= C ..................................................... (6.3) 

2 4 

2 

12(1 −ν 

) ρr 

(1 −ν 

) ρ 

Ako su date dvije ploče, istog oblika i dimenzija, napravljene od različitih materijala, 

te ako se izračunaju vlastite frekvencije jedne ploče, koristeći samo vrijednosti 

modula elastičnosti, specifične mase i Poissonovog koeficijenta, mogu se izračunati 

odgovarajuće vlastite frekvencije druge ploče. 

Ako se sa ω 1 označi vlastita frekvencija jednog oblika oscilovanja diska od jednog 

materijala (naprimjer od čelika), a sa sa ω 2 vlastita frekvencija istog oblika 

oscilovanja diska istih dimenzija i graničnih uslova, ali od drugog materijala, njihov 

odnos je, prema (6.3): 

ω = C 

C 

1 

ω 

= 

ω 

⋅ω 

1 

2 

2 

E (1 −ν 

) ρ 

2 

2 

2 

1 

2 

E (1 −ν 

) ρ 

1 

....................................................................................... (6.4) 

82


U jednačini (6.4) indeks "1" se odnosi na čelik, a "2" na alternativni materijal. C ω 

zavisi samo od vrste materijala i predstavlja faktor promjene vlastite frekvencije u 

odnosu na vlastitu frekvenciju istog geometrijskog oblika od čelika. U tabeli 6.1. date 

su vrijednosti konstante C ω za materijale od kojih se izrađuju radna kola 

centrifugalnih pumpi. Konstanta C ω za druge materijale može se izračunati prema 

(6.4). 

Tabela 6.1. Karakteristike tipičnih materijala za izradu radnog kola pumpe 

Materijal Čelik Aluminij Plastična masa 

(Vynil ester) 

Modul elastičnosti E [N/m 2 ] 2,068 x 10 11 7,86 x 10 10 7,58 x 10 9 

Poissonov koeficijent ν 0,29 0,33 0,32 

Specifična masa ρ [kg/m 3 ] 7820 2685 1328 

Konstanta C ω 1 0,938 2,131 

Obrazac (6.4) se može primijeniti i na radna kola centrifugalnih pumpi, što se može 

provjeriti modeliranjem radnog kola od različitih materijala. Rezultati proračuna 

metodom konačnih elemenata navedeni u tabeli 6.2. pokazuju da vrijednosti konstante 

C ω odstupaju za manje od 2% od vrijednosti dobijene obrascem (6.4). 

Tabela 6.2. Uticaj materijala na prve četiri vlastite frekvencije 

radnog kola centrifugalne pumpe 

Vlastita 

Čelik Aluminij C ω (Č/Al) Plastična C ω (Č/P) 

frekvencija [Hz] 

masa 

ω 1 4525,3 4774,3 0,948 2104,5 2,150 

ω 2 4577,7 4825,4 0,949 2127,6 2,152 

ω 3 5127,7 5418,4 0,946 2387,5 2,148 

ω 4 8738,5 9189,4 0,951 4054,6 2,155 

83

7. Uticaj debljine diska na vibracije radnog kola pumpe 


7.1. Vibracije okruglog diska konstantne debljine 

Da bi se ispitao uticaj debljine diska, formiran je model okruglog diska konstantne 

debljine prema slici 7.1, a zatim je izveden proračun za različite debljine diska. 

h 

10 

50 

Slika 7.1. Model kružnog diska debljine "h" 

Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 7.1. i na slici 7.2. Bitno je napomenuti da 

poseban problem predstavlja identifikacija oblika oscilovanja, jer MKE daje vlastite 

frekvencije složene samo po veličini, te ih naknadno treba razvrstati po nodalnim 

prečnicima i nodalnim krugovima. Frekvencije su označene sa "f mn ", gdje prvi indeks 

(m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa 

"f 00 " su označene torzione vibracije. 

Tabela 7.1. Vlastite frekvencije [Hz] za kružni disk debljine "h" 

Debljina "h" [mm] 

Vlastite frekvencije [Hz] 1 2 3 4 

f 00 6060,16 6060,16 6060,16 6060,16 

f 01 513,78 1021,58 1525,18 2021,70 

f 10 474,64 941,42 1399,83 1845,74 

f 20 636,41 1254,17 1860,49 2449,44 

f 30 1259,63 2469,84 3661,69 4819,98 

f 40 2198,16 4274,25 6302,72 8245,72 

Dobijeni rezultati pokazuju da debljina diska nema uticaja na torzione vibracije, a da 

poprečne vibracije linearno rastu sa povećanjem debljine, bez obzira na oblik 

oscilovanja. 

84


Vlastita frekvencija [Hz] 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 

Debljina diska h [mm] 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

Slika 7.2. Zavisnost vlastite frekvencije od debljine diska 


Modeliran je radno kolo sa 5 ravnih lopatica, a zatim je izvršen proračun vlastitih 

frekvencija za različite debljine diska h, od 5 do 9 mm. Na slici 7.3. prikazani su 

modeli sa debljinama h = 5 mm i h = 9 mm. 

a) Debljina h = 5 mm b) Debljina h = 9 mm 

Slika 7.3. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 ravnih lopatica 

Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 7.2. i na slici 7.4. Iz prikazanih rezultata se 

vidi da sa povećanjem debljine diska radnog kola, vlastite frekvencije torzionih 

vibracija (f 00 ) blago opadaju, a da vlastite frekvencije poprečnih vibracija rastu. 

85



sa 5 ravnih lopatica, debljine "h" 



f 00 5773 5499 5402 5134 

f 01 4852 5175 5519 6076 

f 10 4135 4312 4661 5061 

f 20 4058 4588 5138 5927 

f 30 6053 6654 7397 8876 

f 40 7685 8861 9965 11101 

12000 


10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

0 

5 6 7 8 9 


Slika 7.4. Zavisnost vlastitih frekvencija od debljine diska radnog kola 

sa 5 ravnih lopatica 

7.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim 

lopaticama 

Modeliran je radno kolo sa 5 zakrivljenih lopatica, a zatim je izvršen proračun 

vlastitih frekvencija za različite debljine diska h, od 5 do 9 mm. Na slici 7.5. prikazani 

su modeli sa debljinama h = 5 mm i h = 9 mm. 

Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 7.3. i na slici 7.6. Iz prikazanih rezultata se 

vidi da sa povećanjem debljine diska radnog kola, vlastite frekvencije torzionih 

vibracija (f 00 ) blago opadaju, a da vlastite frekvencije poprečnih vibracija rastu. U 

odnosu na isti radno kolo sa ravnim lopaticama, promjena frekvencija ima nešto blaži 

karakter, što znači da je radno kolo sa ravnim lopaticama osjetljiviji na promjenu 

debljine u odnosu na radno kolo sa zakrivljenim lopaticama. 

86


a) Debljina h = 5 mm b) Debljina h = 9 mm 

Slika 7.5. Radno kolo centrifugalne pumpe sa 5 zakrivljenih lopatica 


sa 5 zakrivljenih lopatica, debljine "h" 



f 00 5174 5070 4974 4797 

f 01 3912 4364 4764 5490 

f 10 3429 3762 4053 4555 

f 20 3687 4143 4566 5356 

f 30 5555 6252 6927 8174 

f 40 7705 8496 9037 9493 

12000 


10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

0 

5 6 7 8 9 



sa 5 zakrivljenih lopatica 

87


Da bi se ispitao i uticaj broja lopatica, modeliran je i radno kolo sa 11 zakrivljenih 

lopatica, a zatim je izvršen proračun vlastitih frekvencija za različite debljine diska h, 

od 5 do 9 mm. 

Rezultati proračuna su prikazani u tabeli 7.4. i na slici 7.7. Rezultati se veoma malo 

razlikuju od rezultata dobijenih za radno kolo sa 5 lopatica. To znači da debljina diska 

ima veći uticaj nego broj lopatica. 


sa 11 zakrivljenih lopatica, debljine "h" 



f 00 4870 4488 4106 4301 

f 01 4052 4279 4636 5270 

f 10 3422 3619 3793 4249 

f 20 3806 4021 4372 5051 

f 30 5652 6086 6642 7742 

f 40 7792 8324 8856 9461 

12000 


10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

0 

5 6 7 8 9 



sa 11 zakrivljenih lopatica 

88


Slika 7.8. Oblik oscilovanja idealiziranog kružnog diska u poređenju sa istim 

oblikom radnog kola centrifugalne pumpe 

(1 nodalni prečnik, 0 nodalnih kružnica) 



(2 nodalna prečnika, 0 nodalnih kružnica) 

89




(3 nodalna prečnika, 0 nodalnih kružnica) 

Slika 7.11. Oblik oscilovanja radnog kola centrifugalne pumpe 

kod torzionih vibracija 

90

8. Uticaj broja i oblika lopatica na vibracije radnog kola pumpe 


8.1. Vibracije pojednostavljenog okruglog diska sa ravnim lopaticama 

Da bi se ispitao uticaj broja lopatica na vlastite frekvencije, formiran je 

pojednostavljeni model okruglog diska konstantne debljine prema slici 8.1, a zatim je 

izveden proračun za različit broj lopatica. Na slici 8.1. prikazani su modeli sa 7 i sa 11 

lopatica, a izrađeni su modeli sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i 12 lopatica. 

a) Disk sa 7 lopatica b) Disk sa 11 lopatica 

Slika 8.1. Pojednostavljeni model okruglog diska sa ravnim lopaticama 

Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli 8.1. i na slici 8.2. Vlastite frekvencije su 

označene sa "f mn ", gdje prvi indeks (m) predstavlja broj nodalnih prečnika, a drugi 

indeks (n) broj nodalnih kružnica. Sa "f 00 " su označene torzione vibracije. 

Tabela 8.1. Vlastite frekvencije za pojednostavljeni kružni disk sa lopaticama 

f mn 

Broj lopatica 

[Hz] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

f 00 4629 4568 4536 4504 4475 4449 4421 4399 4377 4356 

f 01 2363 3366 4100 4618 4989 5270 5484 5665 5815 5942 

f 10 1695 2752 3702 4290 4652 4899 5075 5218 5333 5427 

f 20 

4061 2096 3078 4062 4674 5037 5273 5451 5589 5700 

5077 

f 30 

3788 5376 5974 3932 4924 5568 5923 6153 6315 6437 

5905 

6696 

f 40 

6762 6343 6928 7328 7828 6048 6817 7201 7407 7532 

7691 

8613 

Treba napomenuti da su se neki oblici oscilovanja javljali sa po dvije različite vlastite 

frekvencije, i to samo u slučajevima kad se broj lopatica poklapa sa brojem nodalnih 

prečnika ili predstavlja njegov cjelobrojni proizvod. 

91


Torzione vibracije se i u ovom slučaju ponašaju različito od poprečnih, tako da sa 

povećanjem broja lopatica, vlastite frekvencije torzionih vibracija blago opadaju. 

Vlastite frekvencije svih ostalih oblika oscilovanja, pogotovo niže frekvencije, rastu 

sa povećanjem broja lopatica. 

Vlastite frekvencije [Hz] 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 

Broj lopatica 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 


za pojednostavljeni disk 


ravnih lopatica 

Nakon pojednostavljenog modela, formiran je model radnog kola centrifugalne 

pumpe s ravnim lopaticama, a zatim je izveden proračun za različit broj lopatica. Na 

slici 8.3. prikazani su modeli sa 7 i sa 12 lopatica, a izrađeni su modeli sa 3, 4, 5, 6, 7, 

8, 9, 10, 11 i 12 lopatica. 


Slika 8.3. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama 

92






sa ravnim lopaticama 

f mn 

Broj lopatica 

[Hz] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

f 00 5682 5651 5499 5504 5433 5368 5292 5243 5183 5125 

f 01 4535 4927 5175 5396 5519 5604 5678 5692 5710 5718 

f 10 3826 4188 4312 4563 4642 4689 4707 4723 4721 4712 

f 20 

4786 4114 4588 4950 5104 5197 5241 5282 5296 5302 

5197 

f 30 

6083 6472 6654 6008 6696 6941 7078 7143 7190 7220 

7409 

f 40 

8975 8839 8861 8991 9263 8382 8891 9017 9061 9073 

9441 10067 

Kao i kod pojednostavljenog diska, neki oblici oscilovanja su se javljali sa po dvije 

različite vlastite frekvencije, u slučajevima kad se broj lopatica poklapa sa brojem 

nodalnih prečnika ili predstavlja njegov cjelobrojni proizvod. 


11000 

10000 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 

Broj lopatica 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 


za radno kolo centrifugalne pumpe sa ravnim lopaticama 

Sa povećanjem broja lopatica, vlastite frekvencije torzionih vibracija blago opadaju, 

kao i kod pojednostavljenog modela. Vlastite frekvencije poprečnih vibracija rastu sa 

povećanjem broja lopatica, ali u manjem obimu nego kod pojednostavljenog modela 

(diska konstantne debljine). 

93


Treba obratiti pažnju na to da se vlastite frekvencije oblika oscilovanja sa jednim 

nodalnim prečnikom sve nalaze u području od 3000 do 5000 Hz koje je kritično u 

slučaju pojave kavitacije. Bez obzira na povećanje broja lopatica, ovo područje se ne 

može izbjeći, tako da treba pristupiti nekim drugim modifikacijama konstrukcije. 


zakrivljenih lopatica 

Sljedeći model koji je formiran je model radnog kola centrifugalne pumpe sa 

zakrivljenim lopaticama, a zatim je izveden proračun za različit broj lopatica. Na slici 

8.5. prikazani su modeli sa 6 i sa 11 lopatica, a izrađeni su modeli sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 

10, 11 i 12 lopatica. 


Slika 8.5. Model radnog kola centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama 





sa zakrivljenim lopaticama 

f mn 

Broj lopatica 

[Hz] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

f 00 5303 5206 5070 4940 4817 4715 4623 4548 4488 4440 

f 01 4261 4324 4364 4393 4335 4398 4376 4334 4279 4214 

f 10 3694 3751 3762 3758 3745 3717 3689 3655 3619 3582 

f 20 

4233 3933 4143 4153 4147 4110 4081 4053 4021 3990 

4416 

f 30 

6236 6252 6252 5984 6202 6171 6144 6119 6086 6050 

6480 

f 40 

8761 8513 8496 8597 8582 8211 8376 8354 8324 8284 

9198 8903 

94


I u ovom slučaju su se neki oblici oscilovanja javljali sa po dvije različite vlastite 

frekvencije, u slučajevima kad se broj lopatica poklapa sa brojem nodalnih prečnika 

ili predstavlja njegov cjelobrojni proizvod. 

10000 


9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 

Broj lopatica 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 


za radno kolo centrifugalne pumpe sa zakrivljenim lopaticama 

Iz dobijenih rezultata se vidi da zakrivljenost lopatica snižava vlastite frekvencije, 

tako da sada više oblika oscilovanja ulazi u kritično područje između 3000 i 5000 Hz. 

Za razliku od ravnih, s povećanjem broja lopatica se vlastite frekvencije radnog kola 

sa zakrivljenim lopaticama čak smanjuju, iako u manjoj mjeri. 

Broj lopatica ima veoma mali uticaj na promjenu vlastitih frekvencija, što pokazuje da 

je pretpostavka o ponašanju radnog kola slično okrugloj ploči nije bez osnova. Jedino 

torzione vibracije pokazuju nešto veću osjetljivost na broj lopatica, iako se karakter 

zavisnosti (obrnuta proporcionalnost) ne razlikuje od modela radnog kola sa ravnim 

lopatica i pojednostavljenog modela, tj. vlastite frekvencije torzionih vibracija 

opadaju sa povećanjem broja lopatica. 

Rezultati proračuna pokazuju da je uzrok vibracija radnog kola u centrifugalnoj 

pumpi najvjerovatnije kavitacija, a ne fenomen "prolaza lopatica". Kavitacija se javlja 

kada pritisak tečnosti opadne ispod pritiska zasićenja vodene pare pri datoj 

temperaturi [88], što dovodi do pojave mjehurića ispunjenih vodenom parom u struji 

tečnosti. Ti kavitacioni mjehurići dolaze u područje višeg pritiska, gdje se narušava 

ravnotežno stanje, te se mjehurići rasprskavaju, što dovodi do vibracija širokog 

spektra frekvencija 3000 do 5000 Hz [58]. Kavitacija u tom slučaju stvara prinudne 

vibracije sa oblicima oscilovanja i vlastitim frekvencijama istim kao kod slobodnih 

vibracija, za koje je proračun vršen u ovom istraživanju. Na mjestima nodalnih 

prečnika i nodalnih kružnica fluid se odvaja od površine radnog kola [32], što 

pogoduje stvaranju uslova za dalje povećanje kavitacije, tako da osim abrazivnog 

dejstva koje je smatrano za najvažniju posljedicu kavitacije, kavitacija dovodi do još 

jedne neželjene pojave – vibracija radnog kola pumpe. 

95


8.3. Vibracije radnog kola centrifugalne pumpe sa lopaticama različitog 

radijusa zakrivljenosti 

Sljedeći model koji je formiran je pojednsotavljeni model diska sa zakrivljenim 

lopaticama, a zatim je izveden proračun za različit radijus zakrivljenja lopatica. Na 

slici 8.7. prikazani su modeli sa radijusom od 30 i 50 mm, a izvršen je proračun za 

modele sa radijusom 30, 35, 40, 50 i 80 mm. 

a) Disk sa radijusom zakrivljenosti 

lopatica R = 30 mm 

b) Disk sa radijusom zakrivljenosti 

lopatica R = 50 mm 


sa lopaticama različitog radijusa zakrivljenosti 





sa zakrivljenim lopaticama za različite radijuse zakrivljenosti 

Radijus zakrivljenosti [mm] 

f mn [Hz] 30 35 40 50 80 

f 00 3734 3953 4080 4215 4340 

f 01 4784 4962 5084 5254 5486 

f 10 4080 4361 4544 4769 5034 

f 20 4263 4543 4731 4967 5252 

f 30 5098 5304 5466 5685 5962 

f 40 6650 6712 6802 6942 7114 

Sa povećanjem radijusa zakrivljenosti lopatice, vlastite frekvencije rastu, ali se kod 

relativno malog radijusa (50 mm) taj rast ublažava. Najveći uticaj imaju relativno 

mali radijusi (oko 30 mm). Granični slučaj predstavljaju ravne lopatice, kod kojih je 

radijus zakrivljenja praktično beskonačan. 

96



7500 

7000 

6500 

6000 

5500 

5000 

4500 

4000 

3500 

30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 

Radijus zakrivljenja lopatice [mm] 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

Slika 8.8. Zavisnost vlastitih frekvencija od radijusa zakrivljenosti lopatica 


nagnutih pod različitim uglom u odnosu na disk radnog kola 

Da bi se izbjegao efekat "prolaza lopatica", nekad se lopatice izrađuju tako da nisu 

okomite na disk radnog kola, nego su nagnute pod određenim uglom. Ovo predstavlja 

problem kod izrade, jer je onda livenje radnog kola složenije. Ispitan je uticaj ugla 

zakrivljenosti lopatica u odnosu na disk radnog kola. Na slici 8.9. prikazani su modeli 

sa nagibom u odnosima 2:1 i 4:1. 

a) Disk sa nagibom lopatica 2:1 (63,4°) b) Disk sa nagibom lopatica 4:1 (76°) 


sa lopaticama različitog ugla nagiba u odnosu na radno kolo 

97






sa 5 ravnih lopatica različitih nagiba u odnosu na disk radnog kola 

Ugao nagiba 

f mn [Hz] 90° 76° (4:1) 63,4° (2:1) 

f 00 5499 5576 5583 

f 01 5175 5178 5106 

f 10 4312 4405 4375 

f 20 4588 4638 4596 

f 30 6654 6670 6637 

f 40 8861 8786 8362 

Sa smanjenjem ugla nagiba lopatice, samo vlastite frekvencije viših oblika 

oscilovanja (4 nodalna prečnika) rastu, dok kod ostalih oblika skoro da i nema uticaja. 

Obzirom da u kritičnom području (3000 do 5000 Hz) nema uticaja, ova modifikacija 

se ne može koristiti za otklanjanje problema vibracija radnog kola centrifugalne 

pumpe. 

10000 


9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

60 65 70 75 80 85 90 95 

Ugao nagiba lopatice 

Slika 8.10. Zavisnost vlastitih frekvencija od ugla nagiba lopatica 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

8.5. Vibracije pojednostavljenog modela diska sa zakrivljenim 

lopaticama različite visine 

Radno kolo centrifugalne pumpe, posebno ako ima zakrivljene lopatice, ponaša se 

slično ravnoj okrugloj ploči bez lopatica. Naredni modeli služe za ispitivanje uticaja 

visine lopatice na vlastite frekvencije pojednostavljenog modela diska sa zakrivljenim 

98


lopaticama visine 8, 12, 16 i 24 mm. Na slici 8.11. prikazani su modeli sa lopaticama 

visine 16 i 24 mm. 

a) Disk sa lopaticama visine 16 mm b) Disk sa lopaticama visine 24 mm 

Slika 8.11. Pojednostavljeni model diska sa lopaticama različite visine 





sa 11 zakrivljenih lopatica u zavisnosti od visine lopatica 

Visina lopatica [mm] 

f mn [Hz] 8 12 16 24 

f 00 3702 3734 3751 3489 

f 01 4708 4784 4872 4797 

f 10 3348 4080 4497 4628 

f 20 3608 4263 4587 4483 

f 30 4810 5098 5117 4528 

f 40 6982 6650 6108 4737 

Sa povećanjem visine lopatice do određene visine (16 mm), vlastite frekvencije rastu, 

osim vlastitih frekvencija viših oblika oscilovanja (4 nodalna prečnika) koje opadaju. 

Nakon te visine, sve vlastite frekvencije blago opadaju, ali se zatim javljaju novi 

oblici oscilovanja – vibracije lopatica, koje mijenjaju ponašanje modela. 

99



7500 

7000 

6500 

6000 

5500 

5000 

4500 

4000 

3500 

3000 

8 10 12 14 16 18 20 22 24 

Visina lopatica [mm] 

f00 

f01 

f10 

f20 

f30 

f40 

Slika 8.12. Zavisnost vlastitih frekvencija od visine lopatica 

100


9. ZAKLJUČCI 

Istraživanja provedena u ovom radu nisu u potpunosti rasvijetlila problem vibracija 

centrifugalnih pumpi koje se koriste u sistemima za hlađenje automobilskih motora, 

ali su ipak dala odgovore na neka važna pitanja vezana za ovaj konkretan problem. 

Uvidom u dosadašnja istraživanja, koja su najvećim dijelom vršena nad 

centrifugalnim pumpama većih gabarita nego što su to automobilske pumpe za vodu, 

izvršena je klasifikacija uzroka vibracija centrifugalnih pumpi, prema više kriterija. 

Prema fizikalnom karakteru, uzroci vibracija se mogu podijeliti na hidrauličke, 

mehaničke i ostale. Prema odnosu frekvencija vibracija i broja okretaja rotora pumpe, 

vibracije se mogu podijeliti na subsihrone, sinhrone i nadsinhrone vibracije. Od 

nadsinhronih vibracija usljed hidrauličkih uzroka u praksi se najčešće javljaju 

vibracije "prolaza lopatica". To su vibracije čija je frekvencija jednaka proizvodu 

broja lopatica i broja okretaja rotora pumpe U istu grupu ubrajaju se i vibracije usljed 

kavitacije, koje su istovremeno i najmanje istražene. Frekvencije tih vibracija su dosta 

visoke i kreću se od 3000 do 5000 Hz. 

Ispitivanjem vibracija sklopa pokretnih dijelova reprezentativne pumpe došlo se do 

zaključka da vlastite frekvencije tog sklopa, za izabranu pumpu, daleko odstupaju od 

pomenuta dva uzroka vibracija. Stoga je zaključeno da se dalje istraživanje usmjeri na 

ispitivanje ponašanja radnog kola pumpe. 

Ovo istraživanje je pokazalo da se vibracione karakteristike radnog kola centrifugalne 

pumpe uz određene pretpoostavke mogu aproksimirati modeliranjem jednostavnijeg 

geometrijskog oblika, okrugle ploče (diska). Do određene visine lopatica, oblici 

oscilovanja radnog kola se poklapaju sa oblicima oscilovanja diska, kao da na radnom 

kolu i nema lopatica. 

Diferencijalne jednačine koje opisuju kretanje okrugle ploče su veoma složene za 

rješavanje, tako da su u radu samo navedeni principi na kojima se te jednačine 

zasnivaju (dati su izrazi za kinetičku i potencijalnu energiju), te primjeri rješenja 

slučajeva kod kojih se javlja singularitet, pa su rješenja jednostavnija. Tačno rješenje 

se u principu i ne izvodi, jer nema praktični značaj – disk je samo aproksimacija 

radnog kola, tako da je daleko povoljnije koristiti približne metode, kao što je metoda 

konačnih elemenata. 

Za proračun vlastitih frekvencija konstrukcija složene geometrije, kao što je radno 

kolo centrifugalne pumpe, najpogodniji tip konačnih elemenata su prostorni 

parabolični elementi oblika tetraedra. Kako su oni pogodni i za automatsko 

generisanje mreže, ostvaruje se velika ušteda u vremenu diskretizacije i proračuna. 

Potrebno je samo voditi računa da elementi budu dovoljno malih dimenzija. 

Materijal od kojeg se izrađuje radno kolo pumpe linearno utiče na vlastite frekvencije, 

i u radu je naveden obrazac za izračunavanje promjene frekvencija u zavisnosti od 

promjene materijala. U obrascu figurišu modul elastičnosti, specifična masa i 

Poissonov koeficijent. Zbog toga, nije potrebno modelirati i proračunavati radna kola 

od različitih materijala, nego je dovoljno modelirati radno kolo od jednog materijala, a 

zatim na osnovu karakteristika materijala izračunati frekvencije za bilo koji drugi 

101


materijal. Drugim riječima, zakonima mehanike sličnosti može se razviti familija 

radnih kola. 

Na osnovu proračuna metodom konačnih elemenata izvedeni su sljedeći zaključci: 

- U velikom broju slučajeva vlastite frekvencije postojeće konstrukcije radnog kola 

ulaze u područje u kojem se javljaju vibracije usljed kavitacije, tako da je 

potrebno ili izmijeniti geometriju radnog kola, ili promijeniti parametre koji 

dovode do pojave kavitacije (režim pritiska fluida u cijelom sistemu za hlađenje 

motora). 

- Debljina diska linearno povećava vlastite frekvencije poprečnih vibracija, dok na 

torzione vibracije ima mali uticaj. 

- Broj lopatica ima mali uticaj na vlastite frekvencije, pogotovu kod nižih oblika 

oscilovanja, tako da se promjena broja lopatica ne može koristiti za izmjenu 

vibracionih karakteristika radnog kola. 

- S povećanjem radijusa zakrivljenosti lopatica, povećavaju se vlastite frekvencije, 

tako da radna kola sa ravnim lopaticama imaju više vlastite frekvencije nego radna 

kola sa zakrivljenim lopaticama. 

- Ugao nagiba lopatica u odnosu na disk radnog kola ima mali uticaj na dinamičke 

karakteristike, a znatno poskupljuje izradu radnog kola. 

- Visina lopatica znatno utiče na vlastite frekvencije, ali dovodi i do novih oblika 

oscilovanja (vibracije samih lopatica), tako da je to parametar koji najviše utiče na 

frekvencije vibracija radnog kola centrifugalne pumpe. 

Osnovna hipoteza ovog rada je potvrđena, što znači da se modifikacijom 

geometrijskih karakteristika radnog kola centrifugalne pumpe mogu kompenzirati 

promjene vibracionih karakteristika usljed promjene materijala koji se koristi za 

izradu radnog kola. 

102


CONCLUSIONS 

Researches performed in this paper did not uncovered completely the problem of 

centrifugal pump vibrations in automobile cooling systems, but they did answered 

some important questions related to this particular problem. 

Having in mind recent researches, mostly performed with larger pumps, causes of 

centrifugal pump vibrations are classified according to several criteria. According to 

physical character, causes of vibrations can be divided to hydraulic, mechanical and 

other. According to ratio between vibration frequency and the pump rotary speed, 

vibrations can be divided to subsynchronous, synchronous and supersynchronous 

vibrations. The most common supersynchronous hydraulic vibrations are those with 

"vane pass" frequency. These are vibrations whose frequency equals product of vane 

number and number of revolutions of the pump rotor. The least explored vibrations of 

the same type are those caused by cavitation. Their frequencies are rather high, 

between 3000 and 5000 Hz. 

By analyzing vibrations of moving parts of representative pump, it was concluded that 

natural frequencies of that assembly, for the chosen pump, are far from above 

mentioned two causes of vibration. Therefore it was concluded that research should 

be focused to pump impeller. 

This research showed that vibration characteristics of centrifugal pump impeller could 

be approximated with some assumptions by modeling more simple geometric shape, 

circular plate (disc). Up to certain height of the vanes, vibration mode shapes of 

impeller are very similar to those of disc, just like there are no vanes on the impeller. 

Solution of differential equations which describe movement of circular plate is very 

complex, therefore this paper gives only principles upon which these equations are 

based (there are formulas for kinetic and potential energy), along with examples of 

solution for cases where singularities make solution less complex. The exact solution 

should not be derived, because it has no practical use – the disc is only an 

approximation of impeller, therefore it is far more convenient to use approximate 

methods, such as finite element method. 

To calculate natural frequencies of constructions with complex geometry, such as 

centrifugal pump impeller, the most convenient finite element type is solid parabolic 

tetrahedron. As these are also convenient for automatic meshing, it saves a lot of time 

for discretization and calculation. It is only important to have elements that are small 

enough. 

The material of centrifugal pump impeller linearly influences natural frequencies, and 

there is a formula in this paper to calculate change in the frequency when material 

changes. This formula includes modulus of elasticity, specific mass and Poison's 

coefficient. Therefore, it is not necessary to model and calculate impellers made of 

various materials; it is enough to model impeller made of one material, and then 

calculate frequencies for any other material according to material characteristics. In 

other words, laws of mechanical similarity can be used to develop the family of 

impellers. 

103


Finite element method calculation lead to following conclusions: 

- In most cases natural frequencies of current construction of impeller are in the 

area of vibrations caused by cavitation, therefore it is necessary to either change 

the impeller geometry or to change parameters which influence process of 

cavitation (regime of fluid pressure within the complete automobile cooling 

system). 

- Disc thickness linearly increases natural frequencies of lateral vibrations, while it 

has minor influence on torsional vibrations. 

- The number of vanes has minor influence on natural frequencies, especially at 

lower mode shapes. Therefore, variation in number of vanes can not be used to 

change vibration characteristics of the impeller. 

- Increase in curvature radius of vanes, causes increase in natural frequencies, 

therefore impellers with straight vanes have higher natural frequencies then 

impellers with curvilinear vanes. 

- The angle between vanes and impeller disc has minor influence on dynamic 

characteristics, and it makes impeller production much more expensive. 

- The vane height strongly influences natural frequencies, but also causes new mode 

shapes (vane vibrations). Therefore, this is the parameter with major influence on 

natural frequencies of centrifugal pump impeller. 

The main hypothesis of this paper is confirmed, which means that modification of 

geometric characteristics of centrifugal pump impeller can compensate change in 

vibration characteristics because of change in material used for impeller production. 

104


10. NEDOSTACI VLASTITIH ISTRAŽIVANJA 

Krutost kotrljajnih ležajeva je nelinearna, jer zavisi od radijalne sile koja djeluje na 

ležaj. U ovom istraživanju je ta krutost smatrana linearnom, što je dovelo do 

odstupanja rezultata od stvarnog stanja. Međutim, obzirom da su dobijeni rezultati 

pokazali veliko odstupanje od kritičnih frekvencija, linearizacija krutosti ležajeva ne 

dovodi u sumnju izvedene zaključke. 

Kod analize naponsko-deformacionog stanja korišten je pojednostavljeni model 

centrifugalne pumpe u vidu ravne okrugle ploče, koji ne može dati pouzdane 

odgovore na postavljene zahtjeve pri dimenzionisanju radnog kola u stvarnim 

uslovima eksploatacije. 

Dinamičke karakteristike sklopa pokretnih dijelova pumpe nisu iste kada se pumpa 

ispituje na kraju procesa proizvodnje, i na mjestu stvarne ugradnje, jer se na rotor 

pumpe direktno vežu elementi koji drastično mijenjaju dinamičko ponašanje 

(remenica i ventilator). Kako pumpa na stvarnom mjestu ugradnje nije bila dostupna u 

ovom istraživanju, taj aspekt vibracija pumpe je ostao neistražen. Osim elemenata 

direktno vezanih za rotor pumpe, treba uzeti u obzir i ostale elemente sistema za 

hlađenje automobilskog motora (kao što su cjevovodi za dovođenje vode u pumpu, jer 

i oni imaju veliki uticaj na vibracije, a njihove vlastite frekvencije su relativno niske). 

U radu su posmatrane neprigušene slobodne vibracije. Vlastite frekvencije prinudnih 

vibracija se ne razlikuju od slobodnih, ali zato prigušenje smanjuje vlastite 

frekvencije. Kako je pumpa ispunjena vodom, to prigušenje je znatno. Obzirom da 

korišteni software ne može uzeti u obzir prigušenje, a i kvantifikacija tog prigušenja je 

nepoznata, bilo bi potrebno izvršiti eksperimentalna mjerenja i na osnovu toga 

izračunati prigušenje. 

11. PRAVCI DALJIH ISTRAŽIVANJA 

Dalja istraživanja vibracija centrifugalnih pumpi treba usmjeriti na: 

- Analizu prigušenih vibracija radnog kola centrifugalne pumpe. 

- Ispitivanje vibracije kompletnog sistema za hlađenje automobilskog motora. 

- Ispitivanje uzroka pojave kavitacije, te definisanje metoda za eliminisanje te 

štetne pojave. 

- Ispitivanje uticaja temperature fluida na vibracije centrifugalne pumpe, i 

posmatranje kavitacije kao posljedice složenog termodinamičkog procesa. 

- Izvršiti optimiziranje geometrijskih karakteristika centrifugalne pumpe sa aspekta 

mehaničke izdržljivosti materijala. 

105


12. LITERATURA 

12.1. Citirana literatura 

1. Allison A.M.E.: "Analytical Investigation of a Semi-Empirical Flow-Induced 

Vibration Model (Bifurcation)", Dissertation, The University of Western Ontario 

(Canada), 1998. 

2. Bazjanac D.: "Nauka o čvrstoći", Tehnička knjiga Zagreb, 1973. 

3. Black H.: "Effects of Fluid-Filled Clearance Spaces On Centrifugal Pump and 

Submerged Motor Vibrations", 8 th International Turbomachinery Symposium, 

TAMU, Texas, 1979. 

4. Blake M.: "New vibration standards for maintenance", Hydrocarbon processing 

and petroleum refining, 1964. 

5. Blevins R.D.: "Flow Induced Vibration", Van Nostrand Reinhold, NY 1990. 

6. Blevins R.D.: "Formulas for natural frequency and mode shape, Robert Krieger 

Publishing Co., Malabar, FL., 1984. 

7. Bolleter U.: "Blade passage tones of centrifugal pumps", Vibrations 4(3), 1988. 

8. Bolleter U., Frei A.: "Causes and control of synchronous vibrations of multi-stage 

pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 1990. 

9. Brčić V.: Dinamika konstrukcija, Građevinska knjiga Beograd, 1978. 

10. Chang C.M. et al.: "Vibration of a vertical multi-stage cryogenic pump", Proc. 

ASME WAM Symposium on Troubleshooting Methods and Technology, 

Anaheim, Cal., 1986. 

11. Chen J.J.: "Prediction of Periodic Forced Response of Frictionally Constrained 

Turbine Blades (Turbine Vibration)", Dissertation, The Ohio State University 

(USA), 1999. 

12. Childs D.W.: "Finite length solutions for rotordynamic coefficients of turbulent 

annular seals", ASME 82-LUB-42, 1982. 

13. Corbo M.A., Malanoski S.B.: "Pump Rotordynamic Made Simple", 15 th 

International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1998. 

14. Corley J.E.: "Subsynchronous Vibration in a Large Water Flood Pump", 7 th 

International Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1978. 

15. Corley J.E.: "Vibrational problems of large vertical pumps and motors", Proc. 9 th 

turbomachinery Symposium, Texas, 1980. 

16. Corley J.E.: "The Vibration Analysis of Pumps - a Tutorial", TAMU, Texas, 1990. 

17. Criqui A.F.: "False and Misleading Sources of Vibration", 23 rd International 

Turbomachinery Symposium, TAMU, Texas, 1994. 

18. Den Hartog J.P.: "Vibracije u mašinstvu", prevod, Građevinska knjiga Beograd, 

1972. 

19. Dimargonas A.: "Vibration for Engineers", Prentice-Hall, 1996. 

20. Downham E.: "Theory of shaft whirling No. 5 – The influence of plain bearings 

on shaft whirling", The Engineer, 1957. 

106


21. Florjancic S., Clother A.D., Chavez F.J.L., "A Case Histry – Improved Hydraulic 

Design Lowers Cavitation Erosion and Vibrations of a Water Transport Pump", 

10 th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1993. 

22. Florjancic S., Frei A., "Dynamic Loading on Pumps – Causes for Vibrations", 10 th 

International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1993. 

23. France D., Taylor P.W.: "Near running speed subsynchronous vibration in 

centrifugal pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 

1990. 

24. Gattulli V., Ghanem R.: "Adaptive control of flow-induced oscillations including 

vortex effects", International Journal of Non-linear Mechanics 34 (1999) 853-868 

25. Geradin M, Rixen D.: "Mechanical Vibrations; Theory and application to 

structural dynamics", John Wiley & Sons, 1997. 

26. Gossain S.R.: "Analysis of flow-induced vibrations using the finite elements 

method", Imperial College London, 1988. 

27. Gunter E.J., Li D.F.: "Unbalance response analysis of dual rotor systems", Univ. 

of Virginia report No. UVA/643092/MAE8i138, Charlottesville, 1972. 

28. Hancock W.P.: "How to control pump vibration", Hydrocarbon processing, 1974. 

29. Hawkins K.: "Analysing Resonance in Centrifugal Pumps", Pumps & Systems 

Magazine, 1998. 

30. Japikse D., Furst R., Marscher W.D.: "Centrifugal Pump Design and 

Performance", Wilder, 1997. 

31. Jay R.L., MacBain J.C., Burns D.W.: "Structural response due to blade vane 

interaction", ASME paper No. 83-GT-133, 1983. 

32. Jenny H.: "Kymatik: Wellen und Schwingungen mit ihrer Struktur und Dynamik", 

Basilius Press, 1967. 

33. Jery B., Brennen C.E., Caughey T.K., Acosta A.: "Forces on Centrifugal Pump 

Impellers", 2 nd International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1985. 

34. Kramer E.: "Dynamics of Rotors and Foundations", Springer-Werlag Berlin, 

1993. 

35. Kushner F.: "Disc vibration-rotating blade and stationary vane interaction", 

ASME paper No. 79-DET-83, 1979. 

36. Lomakin A.A., Bedger F.S.: "Determination of critical speeds of a pump rotor 

with reference to forces arising in the seal gaps", Steam and gas turbine Eng. 5: 1- 

4, 1957. 

37. Marenco G. et al.: "Elastic solution for vibration trouble on vertical pumps", 

Energ. Ellettr., Italy 59., 1982. 

38. Marscher W.D.: "Analysis and test of multistage pump wet critical speeds", 

STLE/ASME Joint Tribology Conf., Ft. Lauderdale, 1989. 

39. Marscher W.D.: "How to use impact testing to solve pump vibration problems", 

EPRI Power Pump Symposium, Tampa, 1995 

40. Marscher W.D.: "The effect of fluid forces at various operation conditions on the 

vibrations of vertical turbine pumps", Proc. I Mech. E. Radial Loads and Axial 

Thrusts on Centrifugal Pumps, 1986. 

41. McNally B.: "Centrifugal Pump & Mechanical Seal Reference Manual", McNally 

Institute, 1998. 

107


42. Meyer R.J.: "Solve vertical pump vibration problems", Hydrocarbon Processing, 

56., 1977. 

43. Mondy R.E. et al.: "Pump modifications solve complex vibration problems", 

Power, 1985. 

44. Nelson W.E., Dufour J.W., "Pump Vibrations", 9 th International Pump Users 

Symposium, TAMU, Texas, 1992. 

45. Pettigrew M.J. et al.: "Flow-induced vibration: recent findings and open 

questions", Nuclear Engineering and Design 185 (1998) 249-276. 

46. Roark R.J., Young W.C.: "Formulas for stress and strain", McGraw Hill, 1975. 

47. Robinett F.L., Gülich J.F., Kaiser T.: "Vane Pass Vibration – Source, Assessment 

and Correction – A Practical Guide for Centrifugal Pumps", 16 th International 

Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1999. 

48. Schiffer D., Singh M.: "Vibrational characteristics of a packeted bladed disc", 

ASME Paper No. 82-DET-1137, 1982. 

49. Schmalzriedt D.: "Verification of vibrational behaviour of high energy pumps by 

measurements in the test bed and site", I.Mech.E. Seminar, Vibration in 

Centrifugal Pumps, London, 1990. 

50. Sherman I. et al.: "Balancing a simulated vertical pump rotor", University of 

Virginia Report UVA/643092/mae83/205, 1983. 

51. Shiels S.: "How centrifugal pump hydraulics affect rolling element bearing life", 

World pumps, (32-35) December 1998. 

52. Smith D., Price S.M., Kunz F.K., "Centrifugal Pump Vibration Caused By 

Supersynchronous Shaft Instabuility, Use of Pumpout Vanes To Increase Pump 

Stability", 13 th International Pump Users Symposium, TAMU, Texas, 1996. 

53. Stepanoff A.J.: "Centrifugal and Axial Flow Pumps", John Villey and Sons, NY , 

1992. 

54. Thomson W.T.: "Theory of vibration with applications", Prentice-Hall, 1981. 

55. Uy R.V.: "Studies of Rotordynamic Forces Generated by Annular Flows 

(Vorticity, Inlet Swirl), Dissertation, California Institute of Technology (USA), 

1998. 

56. Vetter G., Kozmiensky R.: "Pulsation and NPSHA in rotary positive displacement 

pumps", World pumps (37-42), February 1999. 

57. Vogelsang H. et al.: "Pulsation problems in rotary lobe pumps", World pumps 

(45-52) February 1999. 

58. Wowk V.: "Machinery vibration: Measurement and analysis", McGraw Hill, 

1991. 

59. Yamamoto T.: "On the critical speeds of a shaft. Memoirs of the Faculty of 

Engineering", Nagoya Univ., Japan, 1954. 

108


12.2. Šira literatura 

60. Addlesee A.J., Altiparmak D.: "Factors influencing whirl at entry to balance drum 

seals in pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal Pumps, London, 

1990. 

61. Bermudez A., Duran R., Muschietti M.A., Rodriguez R., Solomin J.: "Finite 

Element Vibration Analysis of Fluid-Solid Systems without Spurious Modes", 

SIAM Journal on Numerical Analysis. 32(4):1280-1295, 1995 

62. Brown R.D., Ismail M., Abdulrazzak M.: "Fluid forces in the annular seals of high 

performance centrifugal pumps", I.Mech.E. Seminar, Vibration in Centrifugal 

Pumps, London, 1990. 

63. Corbo M.A., Malanoski S.B.: "Practical Design Against Torsional Vibration", 25 th 


64. Cornman R.E., "Analytical and Experimental Techniques for Solving Pump 

Structural Resonance Problem", 3 rd International Pump Users Symposium, 


65. Doolin J.H.: "Hi Standards Rising to New Level of Understanding", World 

Pumps, jan. 1999. 

66. Drača K., Salai I., Cigić A.: "Oscilacije", Mašinski fakultet Mostar, 1991. 

67. Ellison L.F., Partridge J.M.: "Vane Vibration in Radial Flow Turbochargers", 

Mechanical Engineering Publications Ltd., 1976. 

68. Ewins D.J.: "Modal analysis for rotating machinery", IFToMM 5 th International 

Conference on Rotor Dynamics, Darmstadt, 1998. 

69. Ewins D.J.: "Modal testing: Theory and practice", Research Studies Press Viley 

NY, 1984. 

70. Granger S., Paidoussis M.P.: "An Improvement to the Quasi-Steady Model with 

Application to Cross-Flow-Induced Vibration of Tube Arrays", Journal of Fluid 

Mechanics. 320:163-184, 1996. 

71. Grinsted B.: "Nodal pattern analysis", Proc Mech E 166 series A: 309-326, 1952. 

72. Hover F.S., Techet A.H., Triantafyllou M.S.: "Forces on Oscillating Uniform and 

Tapered Cylinders in Crossflow", Journal of Fluid Mechanics. 363:97-114, 1998. 

73. Irwine T.: "Structural dynamics testing using an impulse force", Sound and 

Vibration, 1999 

74. Ječmenica M.: "Analiza uticaja prisutnih poremećaja i konstruktivnih parametara 

na poprečno oscilatorno kretanje rotirajućih sistema", disertacija, Mašinski 

fakultet u Zenici, 1990. 

75. Jungbauer D.E., Eckhardt L.L.: "Flow-Induced Turbocompressor and Piping 

Noise and Vibration Problems – Identification, Diagnosis and Solution", 26 th 


76. Khitrik V.L.: "On the Propagation of Sound in the Rotating Duct of a Turbine 

Pump", Acoustical Physics. 43(1):96-100, 1997. 

77. Kovats A.: "Vibration of vertical pumps", Trans. ASME Journal Engineering for 

Power" 84., 1962. 

78. Krivchenko G.I.: "Hydraulic Machines – Turbines and Pumps", Mir Publishers 

Moscow, 1986. 

109


79. Lawry M.H.: "SDRC I-DEAS Master Series Student Guide", Structural Dynamics 

Research Corporation, 1997. 

80. Leissa A.: "Vibration of plates", NTIS No70-18461, 1969. 

81. Li Z.Y., Chen X.Z.: "A Study of the Complete Dynamic Balance of the Rotor 

Inertial Forces in the Rotary Piston Vacuum Pump", Vacuum. 51(3):427-431, 

1998. 

82. Marscher W.D., Campbell J.S., "Methods of Investigation and Solution of Stress, 

Vibration and Noise Problems in Pumps", 15 th International Pump Users 

Symposium, TAMU, Texas, 1998. 

83. Marscher W.D.: "Vibration test and analysis of a barrel boiler feed pump 

exhibiting nonsynchronous vibration", I.Mech.E. Seminar, Vibration in 

Centrifugal Pumps, London, 1990. 

84. Migulin V.: "Basic Theory of Oscillations", Mir Publishers Moscow, 1983. 

85. Pohlenz W.: "Pumpen für Flüssigkeiten", Veb Verlag Technik Berlin, 1970. 

86. Richardson M.H.: "Is It a Mode Shape or an Operating Deflection Shape?", Sound 

and Vibration, jan. 1997. 

87. Richardson M.H.: "Measurement and Analysis of the Dynamics of Mechanical 

Structures", Hewlet Packard Conference for Automotive and Related Industries, 

Detroit, Mi., 1978. 

88. Ristić B.: "Pumpe i pumpne stanice", Naučna knjiga Beograd, 1991. 

89. Ristić B.: "Pumpe i ventilatori", Naučna knjiga Beograd, 1987. 

90. Sanchezjacome JR., Chicharro R., Peraltafabi R.: "Fountain Effect in a 

Centrifugal Pump", Revista Mexicana de Fisica. 42(5):900-908, 1996. 

91. Smith J.D.: "Vibration Measurement & Analysis", Butterworths 1989. 

92. Steyer G., Lim T.C.: "System simulation methods for solving noise and vibration 

problems", SDRC 1995. 

93. Volkering O.F., Schewe L.G.: "A Dynamical System Approach to Flutter 

Instabilities", Helvetica Physica Acta. 68(2):215-216, 1995. 

94. Vukojević D.: "Teorija oscilacija", Mašinski fakultet u Zenici, 1997. 

95. Wang Q., Bartos J.C., Houston R.A.: "Methodology of Open Bladed Impeller 

Resonance Identification", 28 th International Turbomachinery Symposium, 


96. White F.M.: "Fluid Mechanics", McGraw Hill, 1979. 

110

Vibracije centrifugalnih pumpi u sistemima za hlađenje ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?