projektiranje osno-upogibno obremenjenih armirano betonskih ...

a
zs
ez
h
z's
a'
3. vaja: PROJEKTIRANJE OSNO-
UPOGIBNO OBREMENJENIH ARMIRANO
BETONSKIH ELEMENTOV
Zunanji vplivi in vsiljene deformacije povzročajo v konstrukciji napetostno stanje. Seštevek
normalnih napetosti po prečnem prerezu je osna sila, katere prijemališče je lahko izmaknjeno iz
težišča prereza. Tedaj govorimo o osno upogibno obremenjenem prerezu. Oddaljenost prijemališča
osne sile od težišča prereza imenujemo ekscentričnost.
Napetosti so
N M
x y N
x
ez
N
x
N
x
A
1 e
z . (3.1)
A W
y
A Wy
A Wy
rob jedra prereza - NATEG
rob jedra prereza - TLAK
A's
M y
y
T c
N x
N x
As
b
z
Slika 1
Osno-upogibno obremenjen armiranobetonski prečni prerez.
Kadar osna sila deluje v težišču prereza imamo opravka s čistim tlakom v primeru tlačnih napetosti
oziroma čistim nategom v primeru nateznih napetosti. Osna sila v obremenjenem prečnem prerezu
je lahko enaka nič, seštevek napetosti pomnoženih z razdaljo do težišča prečnega prereza pa
povzroča upogibni moment. Tedaj govorimo o čistem upogibu.
Kadar je celoten prečni prerez konstrukcije obremenjen s tlačnimi normalnimi napetostmi – tlačno
oziroma celoten z nateznimi normalnimi napetostmi – natezno, deluje osna sila znotraj jedra
prereza. Tedaj govorimo o mali ekscentričnosti.
Rob jedra prereza določimo iz pogoja napetosti na robu σ=0
W
j y
z
A
. (3.2)

BK I: 3. vaja
Kadar pa rezultanta napetosti seštetih po prečnem prerezu pade izven jedra le-tega, imamo opravka
z veliko ekscentričnostjo. V tem primeru imamo po prerezu tako tlačne kot tudi natezne napetosti.
Ekscentričnost e je enaka razmerju upogibnega momenta M in osne sile N
M M
y
e , ez
.
(3.3)
N N
x
V tlačno obremenjenem pravokotnem prečnem prerezu je mala ekscentričnost, če prijemališče
rezultante napetosti ustreza pogoju
e
z
M
y h
,
(3.4)
N 6
x
pri čemer smo pri izračunu geometrijskih karakteristik upoštevali brutto betonski prerez in smo
zanemarili povečanje nosilnosti na mestu armature
Es
A Ac
As
b h . (3.5)
E
c
Prijemališče rezultante napetosti v natezno obremenjenem pravokotnem prečnem prerezu pa mora
ustrezati pogoju
zs
M
y
0
e
z
, (3.6)
z'
s
M
y
0
pri čemer smo zanemarili nosilnost betona v nategu. Prijemališče rezultante napetosti pade v
prečnem prerezu znotraj težišč zgornje in spodnje armature.
PREDPOSTAVKE
Pri računu statičnih količin v prečnih prerezih obremenjenih elementov upoštevamo, da velja
Bernoullijeva hipoteza o ravnih prerezih. Prerez elementa, ki je bil pred nanosom obtežbe raven, se
ob nanosu obtežbe pomakne in zasuka kot toga šipa v deformirano lego elementa.
Poznamo konstitutivne zakone materialov, betona in armature, iz katerih sestojijo elementi.
Nosilnost betona v nategu zanemarimo. Konstitutivni zakon betona v tlaku je nelinearen.
Upoštevamo lahko poenostavljene zveze s parabolo in linearno funkcijo ali pa bilinearno zvezo, ki
je grob približek. Konstitutivni zakon armature je tudi nelinearen. Pri računu mejne nosilnosti lahko
upoštevamo poenostavljen bilinearni konstitutivni zakon jekla brez utrditve, to je s horizontalno
zgornjo vejo delovnega diagrama, pri čemer mejna deformacija ni omejena.
Privzamemo, da je adhezijski stik med armaturo in betonom popoln vse do porušitve.
~ 2 ~

BK I: 3. vaja
KONSTITUTIVNI ZAKONI MATERIALOV
Poenostavljen konstitutivni zakon betona za računanje mejne nosilnosti oziroma za dimenzioniranje
betonskih konstrukcij je podan z izrazom
f
c
f cd
f
0
c
1 1
c2
1
0
n
0
0
c2
c
c
cu 2
c
c2
c
cu 2
, (3.7)
ck
cd
. (3.8)
c
c
cu2 c2
c
f cd
f ck
Slika 2
Konstitutivni zakon betona.
Poenostavljen konstitutivni zakon armature za računanje mejne nosilnosti oziroma za
dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij je podan z izrazom ob upoštevanju utrditve
0
f
yd
s
ud
0
k
1 f
k
1
yd
in izrazom, če utrditev zanemarimo
yd
ud
2
yd
1
yd
uk
yd
yd
1
yd
1
ud
f
yd
ud
yd
s
2 , (3.10)
yd
1
yd
1
f
yd
yd
, (3.11)
Es
f
f
yk
yd
. (3.12)
s
ud
ud
ud
(3.9)
~ 3 ~

BK I: 3. vaja
k f yk
f yk
f yd
s
k f yd
k f yk
f yk
f yd
s
uk ud
yd
s
uk ud
yd
s
yd
ud uk
yd
ud uk
k f yd
f yd
f yk
k f yk
f yd
f yk
k f yk
Slika 3
Konstitutivni zakon armature.
MEJNE DEFORMACIJE
Mejna deformacijska ravnina je tista ravnina, ki se mejnega deformacijskega območja dotika vsaj v
eni točki.
~ 4 ~

a
h
x
a'
a
h
a'
BK I: 3. vaja
A's
M y
y
T c
N x TLAK
N x NATEG
x
As
z
b
h …
b …
a' …
a …
višina prečnega prereza
širina prečnega prereza
oddaljenost težišča zgornje armature od
zgornjega robu prereza
oddaljenost težišča spodnje armature od
spodnjega robu prereza
T c …
A s' …
A s …
težišče homogenega prečnega prereza
površina zgornje armature
površina spodnje armature
Slika 4
Rezultante napetosti po prečnem prerezu pri upogibno-osni obremenitvi prereza.
MALA EKSCENTRIČNOST - NATEG
ε c2 ε cu2
B
A's
y
T c
C
As
ε 1 …
ε s' …
ε s …
ε 2 …
B …
C …
b
z
ε ud
VELIKA EKSCENTRIČNOST
deformacija na spodnjem robu betonskega
prereza
deformacija v težišču zgornje tlačene oziroma
manj tegnjene armature
deformacija v težišču spodnje tegnjene oziroma
manj tlačene armature
deformacija na zgornjem robu betonskega
prereza
točka v diagramu deformacij, do katere se lahko
deformira najbolj tlačeni del prereza
točka v diagramu deformacij, v kateri se vrtijo
vse deformacijske ravnine male ekscentričnosti
v tlaku
MALA EKSCENTRIČNOST - TLAK
ε c2 … deformacija pri največji doseženi napetosti
betona
ε cu2 … mejna deformacija betona
ε ud … deformacija na meji elastičnosti armature
ε yd … mejna deformacija armature
x … oddaljenost točke C od zgornjega roba prereza
ε yd
Slika 5
Definicijsko območje mejnih deformacijskih ravnin pri upogibno-osni mejni
nosilnosti prereza.
~ 5 ~

BK I: 3. vaja
~ 6 ~
nateg spodaj
MALA EKSCENTRIČNOST – NATEG
ud
ud
s
s
0
,
1
'
2
(3.13)
VELIKA EKSCENTRIČNOST
ud
cu
s
s
2
1
'
2 ,
0
(3.14)
yd
ud
cu
s
s
,
2
1
'
2
(3.15)
,0
2
1
'
2
yd
cu
s
s
(3.16)
MALA EKSCENTRIČNOST – TLAK
h
x
cu
c
2
2
1
. (3.17)
2
2
2
1
'
2
0,
,
c
cu
c
s
s
(3.18)
A
A

a
x
h
a'
a
h
a'
BK I: 3. vaja
A's
y
T c
N x TLAK
N x NATEG
x
As
M y
z
b
h …
b …
a' …
a …
višina prečnega prereza
širina prečnega prereza
oddaljenost težišča zgornje armature od
zgornjega robu prereza
oddaljenost težišča spodnje armature od
spodnjega robu prereza
T c …
A s' …
A s …
težišče homogenega prečnega prereza
površina zgornje armature
površina spodnje armature
Slika 6
Rezultante napetosti po prečnem prerezu pri upogibno-osni obremenitvi prereza.
VELIKA EKSCENTRIČNOST
ε ud
MALA EKSCENTRIČNOST - TLAK
ε yd
A's
y
T c
C
ε 1 …
ε s' …
ε s …
ε 2 …
B …
C …
As
b
z
deformacija na spodnjem robu betonskega
prereza
deformacija v težišču zgornje tlačene oziroma
manj tegnjene armature
deformacija v težišču spodnje tegnjene oziroma
manj tlačene armature
deformacija na zgornjem robu betonskega
prereza
točka v diagramu deformacij, do katere se lahko
deformira najbolj tlačeni del prereza
točka v diagramu deformacij, v kateri se vrtijo
vse deformacijske ravnine male ekscentričnosti
v tlaku
ε ud …
ε yd …
ε c2 …
MALA EKSCENTRIČNOST - NATEG
deformacija na meji elastičnosti armature
mejna deformacija armature
deformacija pri največji doseženi napetosti
betona
ε cu2 … mejna deformacija betona
x … oddaljenost točke C od zgornjega roba prereza
B
ε c2 ε cu2
Slika 7
Definicijsko območje mejnih deformacijskih ravnin pri upogibno-osni mejni
nosilnosti prereza.
~ 7 ~

BK I: 3. vaja
~ 8 ~
nateg zgoraj
MALA EKSCENTRIČNOST – NATEG
,0
1
'
2
ud
ud
s
s
(3.19)
VELIKA EKSCENTRIČNOST
2
1
'
2
,
0 cu
ud
s
s
(3.20)
2
1
'
2
,
cu
yd
ud
s
s
(3.21)
2
1
'
2
,0
cu
yd
s
s
(3.22)
MALA EKSCENTRIČNOST – TLAK
h
x
cu
c
2
2
1
. (3.23)
2
2
2
1
'
2
,
0,
cu
c
c
s
s
(3.24)
A
A

-0,8MNm
-0,6MNm
-0,4MNm
-0,2MNm
0MNm
0,2MNm
0,4MNm
0,6MNm
0,8MNm
BK I: 3. vaja
POSTOPEK DIMENZIONIRANJA PO METODI MEJNIH STANJ
Znana projektna obremenitev ne sme presegati mejne nosilnosti prečnega prereza
d
G, Q,
g,
q,...
E N
, M
R C,
S,
geometrija ,... R N
M
E , , (3.25)
d
pri čemer je
E d ... mejna obremenitev prečnega prereza,
R d ... mejna nosilnost prečnega prereza.
N
M
Rd
Rd
Ed
Ed
d
dA dA , (3.26)
A
c
c A s
s
zdA zdA . (3.27)
A
c
c A s
s
d
Rd
Rd
-10MN
-8MN
-6MN
2 / 1 = c2 / c2
2 / 1 = cu2 /0
-4MN
2 / 1 = 0/ cu2
' s / 2 = ' yd / cu2
' s / 2 = ' ud / cu2
-2MN
s / 1 = yd / cu2
' s / 2 = ' ud /0
0MN
s /' s = ud /' ud
s / 1 = ud /0
s / 1 = ud / cu2
M Ed
2MN
N Ed
4MN
mejna nosilnost izbranega prereza
mejna nosilnost betona
mejna nosilnost prereza z minimalno armaturo
mejna nosilnost prereza z maksimalno armaturo
mejna zunanja obremenitev
Slika 8 Mejna nosilnost prereza.
~ 9 ~

a
zs
h
z
d
x
a'
BK I: 3. vaja
1
's
N'x,s,Rd
A's
nevtralna os
N x,c,Rd
y
T c
M y,Ed
N x,Ed
M y,Eds
As
s
N x,s,Rd
N x,Ed
b
z
Slika 9
Deformacijsko in napetostno stanje v prečnem prerezu.
Upogibni moment na težišče natezne armature je
M
y, Eds
M
y,
Ed
Nx,
Ed
zs
. (3.28)
~ 10 ~

BK I: 3. vaja
1.1 Velika ekscentričnost
1.1.1 Čisti upogib
Dimenzionirajte prerez a-a za armiranobetonsko konstrukcijo, iz betona C30/37 in armature S500,
na sliki 35.
a
qk
gk
a
2,50 m 7,00 m 2,50 m
Slika 10
Geometrijske karakteristike obravnavanega nosilca in obtežba nanj.
Stalna obtežba:
Spremenljiva
g k = 30 kN/m
q k = 25 kN/m
V prvi vaji smo izračunali projektno obremenitev v prerezu a-a.
Največji projektni upogibni moment je
M 351,2kNm , pripadajoča osna sila v prerezu a-a je N 0kN
.
Ed,max
Najmanjši projektni upogibni moment v prerezu a-a je
M 27,2kNm , pripadajoča osna sila v prerezu a-a je N 0kN
.
Ed,min
Ed
Ed
~ 11 ~

BK I: 3. vaja
1.2 Mala ekscetričnost
1.3 Čisti tlak
1.4 Čisti nateg
~ 12 ~