Klasifikace shodností v E2 a E3.

(%i48) R2:ev(RovTr,res[2]);
( x1=
3 y
(%o48)
5 − 4 x
5 +8 )
y1 = 4 y
5 + 3 x
5 − 6
Samodružné body najdeme řešením rovnice X = A · X + B, pro snazší zpracování
programem přepsané do tvaru A · X + B − X =0.
(%i49) RovSB2:A2.[x,y]+B2-[x,y]; solve([RovSB2[1,1],RovSB2[2,1]],[x,y]);
( 3 y
(%o49) 5 − 9 x
5 +8 )
− y 5 + 3 x
5 − 6
(%o50) []
Uvažované shodné zobrazení tedy nemá žádný samodružný bod.
Pro určení samodružných směrů řešíme charakteristickou rovnici (35) homomorfismu
asociovaného s daným shodným zobrazením.
(%i51) CharA2:A2-%lambda*ident(2);
CharR2:expand(determinant(CharA2))=0;
solve(CharR2,%lambda);
( −λ −
4
(%o51)
3
5
5
)
3
5
4
5 − λ
(%o52) λ 2 − 1=0
(%o53) [λ = −1,λ=1]
Charakteristická rovnice má dva reálné kořeny (vlastní čísla). Každému z nich odpovídá
jeden vlastní (charakteristický) vektor určující samodružný směr. Postupně
dosadíme získaná vlastní čísla λ do soustavy (její matice) (34) a řešíme.
(%i54) RovSS2:A2.[u,v]-[%lambda*u,%lambda*v];
( 3 v
(%o54)
5 − λu− )
4 u
5
−λv+ 4 v
5 + 3 u
5
(%i55) RovSS21:ev(RovSS2,%lambda=-1);
solve([RovSS21[1,1],RovSS21[2,1]],[u,v]);
( 3 v
5 + u 5
(%o55)
9 v
5 + 3 u
5
)
solve : dependentequationseliminated : (2)
(%o56) [[u = −3%r3,v=%r3]]
První samodružný směr je určen vektorem ⃗u 1 =(−3, 1).
46