TURBULENCJA â OD LOSOWOÅCI DO DETERMINIZMU
TURBULENCJA â OD LOSOWOÅCI DO DETERMINIZMU
TURBULENCJA â OD LOSOWOÅCI DO DETERMINIZMU
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
M<strong>OD</strong>ELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X<br />
36, s. 41-48, Gliwice 2008<br />
<strong>TURBULENCJA</strong> – <strong>OD</strong> LOSOWOŚCI <strong>DO</strong> <strong>DETERMINIZMU</strong><br />
ANDRZEJ BOGUSŁAWSKI, STANISŁAW DROBNIAK, ARTUR TYLISZCZAK<br />
Instytut Maszyn Cieplnych, Politechnika Częstochowska<br />
e-mail: abogus@ imc.pcz.czest.pl, drobniak@imc.pcz.czest.pl, atyl@ imc.pcz.czest.pl<br />
Streszczenie. Praca poświęcona jest omówieniu aktualnych tendencji<br />
w matematycznym modelowaniu przepływów turbulentnych. Przedstawiono<br />
obecny stan wiedzy w dziedzinie modelowania turbulencji, który stanowi<br />
podstawę wykorzystywanych obecnie kodów CFD, naleŜących do klasy RANS.<br />
Scharakteryzowano ograniczenia modeli RANS i omówiono załoŜenia metod<br />
DNS stanowiących wzorzec rozwiązań dla problematyki turbulencji. Szczególną<br />
uwagę poświęcono omówieniu metod LES, które stanowią przyszłościowe<br />
rozwiązanie problemu modelowania przepływów turbulentnych.<br />
1. WSTĘP<br />
Turbulencja przepływów, mimo półtora wieku prowadzonych w tej dziedzinie badań,<br />
stanowi wciąŜ aktualny i daleki od rozwiązania problem poznawczy, czego powodem jest<br />
przede wszystkim wieloskalowy charakter zjawiska. Skale turbulentnych wirów pokrywają<br />
w sposób ciągły zakres rozciągający się od 10 -6 [m] (skala procesów dysypatywnych<br />
stanowiących jedną z istotnych cech turbulencji) do metrów (aplikacje techniczne) lub nawet<br />
setek i tysięcy kilometrów (turbulencja geofizyczna). Przedmiotem modelowania turbulencji<br />
jest zatem nieskończona liczba interakcji pomiędzy poszczególnymi skalami, których efektem<br />
są procesy turbulentnego transportu masy, pędu czy wielkości skalarnych (energii, ciepła).<br />
Interakcje te są zazwyczaj utoŜsamiane z wirową strukturą turbulencji, która przedstawiana<br />
jest jako nieskończona kaskada wirów realizujących procesy transportu w sposób<br />
charakterystyczny dla przepływu turbulentnego, co oznacza, Ŝe intensywność transportu masy,<br />
pędu i energii jest o kilka rzędów wielkości większa niŜ w przepływie laminarnym.<br />
Uwzględnienie w modelu złoŜonej struktury turbulencji przepływu jest zatem konieczne ze<br />
względu na istotną intensyfikację wszystkich procesów transportu zachodzących<br />
w przepływach turbulentnych, co z kolei stanowi podstawę aplikacji technicznych zjawiska<br />
turbulencji.<br />
2. ANALIZA STANU WIEDZY O KLASYCZNYM M<strong>OD</strong>ELOWANIU TURBULENCJI<br />
Klasyczne modelowanie turbulencji oparte jest na koncepcji O. Reynoldsa [1], zgodnie<br />
z którą kaŜda wielkość U opisująca przepływ turbulentny moŜe być traktowana jako suma<br />
___<br />
wielkości uśrednionej w czasie U oraz składowej fluktuacyjnej u , która to wielkość jest<br />
losową funkcją czasu i przestrzeni. Zastosowanie tej koncepcji do równań Naviera – Stokesa
42 A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK<br />
(N-S) przekształca je do postaci znanej jako równanie Reynoldsa, które dla przepływu<br />
nieściśliwego zapisane być moŜe w postaci:<br />
⎛<br />
⎜<br />
∂U<br />
ρ<br />
⎝ ∂t<br />
i<br />
+ U<br />
j<br />
∂U<br />
∂x<br />
j<br />
i<br />
⎞<br />
⎟<br />
∂<br />
=<br />
⎠ ∂x<br />
j<br />
( σ<br />
ij<br />
) + Fi<br />
(1)<br />
w którym U ; p; ρ ; oraz F oznaczają odpowiednio prędkość, ciśnienie, gęstość płynu i siłę<br />
masową, natomiast tensor napręŜeń:<br />
⎛ U U ⎞<br />
i j<br />
σ<br />
ij<br />
p δ<br />
ij<br />
νρ ⎜<br />
∂ ∂<br />
= − + + ⎟ − ρuiu<br />
j<br />
(2)<br />
x<br />
j<br />
x<br />
⎝<br />
∂ ∂<br />
i ⎠<br />
zawiera dodatkowy, niewystępujący w równaniu Naviera – Stokesa człon, nazywany tensorem<br />
napręŜeń Reynoldsa:<br />
σ = − ρ u u<br />
(3)<br />
(<br />
T<br />
)<br />
i j<br />
ij<br />
JeŜeli w równaniach (N-S) pojawia się dodatkowa wielkość, oznacza to, Ŝe układ równań (N-<br />
S) staje się niezamknięty i problem jego domknięcia jest domeną modeli turbulencji<br />
(nazywanych teŜ często hipotezami zamykającymi). Historycznie pierwszym modelem<br />
turbulencji była propozycja zamknięcia układu równań (N-S) sformułowana w r. 1925 przez<br />
L. Prandtla [2], znana dziś jako koncepcja „drogi mieszania”. Kilkadziesiąt lat intensywnych<br />
badań doprowadziło do stworzenia dziesiątek róŜnych modeli, których klasyfikację pokazano<br />
Rys.1. Klasyfikacja klasycznych modeli turbulencji (modele RANS)<br />
na rys. 1. Najliczniejszą grupę stanowią wśród nich modele oparte na koncepcji Boussinesqa<br />
[1], zakładającej istnienie tzw. lepkości wirowej ν T , będącej analogią współczynnika lepkości<br />
molekularnej płynu. Hipoteza Prandtla naleŜy do pierwszej grupy modeli „lepkościowych”,<br />
nazywanej powszechnie klasą modeli zerorównaniowych (patrz rys.1)), które do zamknięcia<br />
układu równań (N-S) nie wymagają wprowadzenia dodatkowych równań róŜniczkowych.
<strong>TURBULENCJA</strong> – <strong>OD</strong> LOSOWOŚCI <strong>DO</strong> <strong>DETERMINIZMU</strong> 43<br />
Mimo iŜ od opublikowania propozycji Prandtla minął juŜ prawie wiek, to nadal modele tej<br />
klasy są rozwijane, wystarczy tu wspomnieć opracowany w r. 1978 model Baldwina –<br />
Lomaxa [3], który jest obecnie powszechnie stosowany w analizie aerodynamiki maszyn<br />
przepływowych. Kolejna grupa modeli lepkościowych wykorzystuje do zamknięcia równań<br />
(N-S) równanie transportu energii kinetycznej turbulencji „k”, pierwszy model tej klasy został<br />
zaproponowany takŜe przez L. Prandtla [4] w r. 1945. Modele te reprezentują klasę modeli<br />
jednorównaniowych (patrz rys.1), które dzięki włączeniu równania transportu energii<br />
kinetycznej turbulencji uwzględniają specyfikę procesu przekazywania energii przez kaskadę<br />
turbulentnych wirów. Prawdziwym przełomem w tej dziedzinie stało się jednak<br />
opublikowanie w r. 1968 propozycji Harlowa i Nakayamy [5], która znana jest dziś jako<br />
model „ k – ε”. W koncepcji tego modelu wykorzystano zamknięcie układu równań (N-S)<br />
dwoma dodatkowymi równaniami róŜniczkowymi transportu, przy czym do znanego juŜ<br />
wcześniej równania transportu „k” dodano równanie transportu szybkości dyssypacji energii<br />
kinetycznej turbulencji „ε”, która to wielkość mogła być oszacowana z wykorzystaniem<br />
hipotezy Kołmogorowa [1]:<br />
ε =<br />
k 3 / 2<br />
l<br />
(4)<br />
w której powiązana jest makroskopowa struktura przepływu (wyraŜona poprzez skalę liniową<br />
przepływu „l”) z dyssypacją, charakteryzującą najdrobniejsze skale wirowe. W krótkim<br />
czasie powstały kolejne modele dwurównaniowe, spośród których największą popularność<br />
zyskały hipotezy „ k – kl” oraz „ k – ω” autorstwa Rodi i Spaldinga [6,7]. Mimo wielu<br />
spektakularnych nieraz sukcesów w zastosowaniach do modelowania przepływów<br />
turbulentnych, uzyskanych z zastosowaniem modeli dwurównaniowych, powszechna była<br />
takŜe świadomość ich ograniczeń. Istnieje bowiem wiele typów przepływów, dla których<br />
modelowanie z uŜyciem dwurównaniowych hipotez zamykających nie daje zadowalająco<br />
dokładnych rozwiązań, a przyczyny niepowodzeń upatrywano w nieodłącznym dla tych<br />
modeli załoŜeniu o skalarnym charakterze lepkości wirowej. Dlatego teŜ juŜ na początku<br />
„ery” modelowania turbulencji pojawiła się zupełnie odmienna koncepcja zamykania równań<br />
(N-S) zaproponowana przez Hanjalica [8], która nie wykorzystuje pojęcia lepkości wirowej.<br />
W koncepcji tej zakłada się zamykanie równań (N-S) układem równań transportu napręŜeń<br />
Reynoldsa, których ideę przedstawia prawa gałąź modeli na rys.1, znanych jako modele<br />
transportu napręŜeń Reynoldsa RSM (Reynolds Stress Models).<br />
Obydwie te grupy modeli, tzn. modele lepkościowe i modele RSM, są podstawą<br />
wszystkich pakietów numerycznych CFD (Computational Fluid Dynamics) uŜywanych<br />
obecnie do modelowania przepływów, przy czym w wielu potocznych opiniach modelowanie<br />
CFD jest utoŜsamiane z modelami typu RANS. Opinia ta jest w pewnym stopniu uzasadniona,<br />
gdyŜ dojrzałość aplikacyjna i uniwersalność kodów CFD jest w duŜym stopniu zasługą modeli<br />
turbulencji, które w okresie kilkudziesięciu lat zostały przetestowane i udoskonalone<br />
w zastosowaniach do wielu typów przepływów turbulentnych. Dzięki tym badaniom<br />
ograniczono arbitralność w doborze współczynników i skal modeli RANS, co w sposób<br />
niewątpliwy zwiększyło ich uniwersalność, udoskonalono równieŜ zdolność modeli RANS do<br />
opisu procesów transportu masy, pędu i energii realizowanych przez turbulencję przepływów.<br />
Przykład dojrzałości aplikacyjnej modelowania RANS znaleźć moŜna na rys. 2,<br />
przedstawiającym przeprowadzone w IMC PCz [11] porównanie wyników obliczeń rozkładu<br />
ciśnienia na powierzchni łopatki turbinowej N3-60 z eksperymentem. Obliczenia wykonano<br />
przy pomocy kodu unNEWTPUIM opracowanego w Cambridge University, w którym
44 A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK<br />
zastosowano model typu URANS (Unsteady RANS – szczegóły implementacji numerycznej<br />
kodu unNEWTPUIM znaleźć moŜna w [12]). ZauwaŜyć naleŜy doskonałą zgodność<br />
rezultatów numerycznych z eksperymentem, uzyskaną w przepływie o złoŜonej strukturze<br />
(zmienny gradient ciśnienia, lokalne oderwanie za krawędzią natarcia), co dowodzi<br />
dojrzałości<br />
Rys.2. Porównanie wyników obliczeń rozkładu ciśnienia na profilu N3-60 z zastosowaniem<br />
modelu RANS z eksperymentem [11]<br />
aplikacyjnej kodów CFD opartych na hipotezach zamykających RANS. Szczególnie waŜną<br />
rolę w poprawie wiarygodności rozwiązań uzyskiwanych z pomocą metod CFD odegrały<br />
dwie inicjatywy ERCOFTAC. Pierwszą z tych inicjatyw było opracowanie skodyfikowanych<br />
reguł uŜytkowania kodów CFD oraz weryfikacji i walidacji uzyskiwanych rozwiązań, które<br />
wydano jako ERCOFTAC Best Practise Guideliness for CFD (informacje o tej inicjatywie<br />
znaleźć moŜna min. w [9]). Drugą inicjatywą było stworzenie Bazy Wiedzy CFD, która<br />
powstała dzięki europejskiemu projektowi QNET – CFD, realizowanemu w latach 2000 –<br />
2004 przez kilkadziesiąt zespołów badawczych z uczelni, ośrodków badawczych i przemysłu<br />
[10]. Dzięki skoordynowanym wysiłkom uczestników projektu powstała powszechnie<br />
dostępna Baza Wiedzy CFD [12], zawierająca opis doświadczeń zebranych przez<br />
uŜytkowników CFD, zbiory danych testowych, przykładowe wyniki obliczeń oraz zbiory<br />
zaleceń i procedur opracowane dla zastosowań CFD w modelowaniu przepływów<br />
praktycznych (przemysłowych).<br />
Mimo iŜ kody CFD oparte na modelach RANS są stosowane powszechnie do<br />
modelowania najbardziej nawet złoŜonych aplikacji technicznych, to jednak ograniczenia tej<br />
klasy metod są oczywiste od chwili ich stworzenia. Podstawowym ograniczeniem jest<br />
datujące się od czasu Reynoldsa uśrednianie równań zamiast uśredniania realizacji procesu<br />
losowego. MoŜna się spodziewać, Ŝe jest to przyczyna, dla której pomimo dziesiątków lat<br />
badań nie stworzono uniwersalnego modelu turbulencji. Kolejnym ograniczeniem modeli<br />
RANS jest fakt, Ŝe analiza stosowalności modeli turbulencji jest nadal niezbędna dla oceny<br />
wiarygodności rozwiązań uzyskiwanych z pomocą kodów CFD, gdyŜ ograniczenia<br />
opracowanych dotychczas modeli nie są znane „ a priori”. W rezultacie, odkrycia na miarę<br />
modeli Baldwina – Lomaxa [3] czy Spalarta – Almarasa [14] są wydarzeniami wyjątkowymi<br />
i ponadto stanowią rozwiązania odpowiednie tylko dla pewnych klas przepływów<br />
turbulentnych. Z kolei najbardziej znaczące i uŜyteczne dla wielu typów przepływów nowe<br />
propozycje modeli „k-ω SST” czy „SST-SAS” [15] opracowane przez F. Mentera są jednak<br />
tylko modyfikacjami opracowanych wcześniej koncepcji. NaleŜy więc zgodzić się<br />
z wyraŜoną juŜ pod koniec lat 70. [16] i powtórzoną pod koniec lat 90. [17] opinią Ferzigera,
<strong>TURBULENCJA</strong> – <strong>OD</strong> LOSOWOŚCI <strong>DO</strong> <strong>DETERMINIZMU</strong> 45<br />
Ŝe niemoŜliwe jest stworzenie w pełni uniwersalnego modelu turbulencji i konieczne jest<br />
zatem poszukiwanie innego niŜ modele RANS rozwiązania problemu turbulencji<br />
przepływów.<br />
3. PERSPEKTYWY DETERMINISTYCZNEGO OPISU TURBULENCJI<br />
Pierwsze doniesienia, Ŝe moŜliwe jest uzyskanie poprawnego jakościowo opisu turbulencji<br />
przepływu wprost z równań (N-S) bez stosowania uśredniania Reynoldsa pochodzą z lat 80.<br />
[18], jednak dopiero w latach 90. uzyskano wystarczającą liczbę dowodów, Ŝe równania (N-<br />
S) mogą w sposób wiarygodny odtwarzać strukturę turbulencji dla liczb Reynoldsa i Macha,<br />
które są interesujące dla praktycznych, inŜynierskich zastosowań. Jak pokazał to M. Lesieur<br />
[19], juŜ w latach 90. opublikowano poprawne nie tylko jakościowo lecz takŜe ilościowo<br />
rozwiązania równań (N-S) dla bardzo duŜych liczb Macha (M ≈ 15), które uzyskano na<br />
siatkach numerycznych o oczkach mniejszych niŜ mikroskala Kołmogorowa, lecz nadal<br />
znacznie większych niŜ swobodna droga molekuł. Oznaczało to, Ŝe moŜliwe jest uzyskanie<br />
poprawnego opisu turbulencji modelem ośrodka ciągłego, co w połączeniu z wynikami prac<br />
Ruelle i Takensa [20] pozwalało M. Lesieurowi sformułować następujące stwierdzenie:<br />
„„…rozwiązanie N-S dla 3D istnieje tylko dla skończonego czasu ale obecność lepkości<br />
„wygładzać" będzie rozwiązanie na tyle silnie, aby zapobiegać pojawianiu się osobliwości<br />
i bifurkacji do innego rozwiązania… "<br />
PowyŜsze stwierdzenie potwierdza moŜliwość deterministycznego opisu turbulencji jako<br />
zbioru kolejnych realizacji będących rozwiązaniami równań (N-S), nawet jeŜeli nieliniowe<br />
oddziaływania między skalami ruchu turbulentnego prowadzą do bardzo złoŜonego<br />
i nieprzewidywalnego zachowania rozwiązań. Okazało się zatem, Ŝe wbrew dotychczasowym<br />
poglądom równania (N-S) poprawnie opisują strukturę turbulencji pod warunkiem, Ŝe<br />
w rozwiązaniu numerycznym uzyskiwanym w dziedzinie czasu uwzględnione zostaną<br />
wszystkie skale istotne dla dynamiki przepływu turbulentnego. Powstała w ten sposób nowa<br />
klasa rozwiązań, znana jako DNS (Direct Numerical Simulation), traktuje turbulencję<br />
w sposób deterministyczny, uzyskując rozwiązanie równań (N-S) w dziedzinie czasu na<br />
bardzo gęstych siatkach, których oczka muszą być mniejsze niŜ najdrobniejsze skale<br />
turbulencji (skale lepkie – mikroskale Kołmogorowa), przy czym poszczególne rozwiązania<br />
są równowaŜne kolejnym realizacjom przepływu turbulentnego. W rozwiązaniu DNS unika<br />
się zatem uśredniania równań, co zastąpione jest przez uśrednianie rozwiązań, pozwalające<br />
uzyskać miary statystyczne charakteryzujące turbulencję przepływu. Kolejną zaletą metod<br />
DNS jest moŜliwość prawidłowego odtworzenia w uzyskanym rozwiązaniu dynamiki<br />
wszystkich skal liniowych i czasowych turbulencji, które w odróŜnieniu od metod RANS nie<br />
są modelowane, lecz są wynikiem numerycznego rozwiązania.<br />
To, co stanowi zaletę metod DNS, tzn. uwzględnianie w rozwiązaniu wszystkich skal<br />
turbulencji, sprawia, Ŝe wymagają one jednak olbrzymich nakładów obliczeniowych. JeŜeli<br />
największe skale turbulencji są rzędu „l” (patrz wz. 4), co określa wielkość domeny<br />
obliczeniowej, to najdrobniejsze skale istotne dla prawidłowego odtworzenia dynamiki<br />
turbulencji są rzędu mikroskali Kołmogorowa:<br />
3<br />
ν<br />
η =<br />
ε<br />
gdzie „ν” jest lepkością kinematyczną analizowanego płynu.<br />
(5)
46 A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK<br />
Turbulencja jest zawsze zjawiskiem 3D, zatem uwzględnienie zal. (4) i (5) prowadzi do<br />
następującego oszacowania liczby węzłów siatki obliczeniowej, niezbędnej dla uzyskania<br />
wiarygodnego rozwiązania DNS dla przepływu turbulentnego:<br />
3<br />
⎛ l ⎞<br />
N ( ) 9/ 4<br />
DNS<br />
= ⎜ ⎟ ≈ Re Λ<br />
(6)<br />
gdzie „Re Λ ” jest turbulentną liczbą Reynoldsa ⎝ η ⎠ opartą na makroskali turbulencji. Największe<br />
obecnie wieloprocesorowe komputery umoŜliwiają symulację DNS dla przepływów<br />
charakteryzujących się liczbą Re Λ rzędu 10 3 – 10 4 , podczas gdy przepływy w skali<br />
technicznej charakteryzują się liczbą Reynoldsa rzędu Re Λ ≈ 10 5 – 10 6 , natomiast przepływy<br />
geofizyczne to Re Λ ≈ 10 7 – 10 9 . Wedle oszacowań zawartych w [19], co 6 lat następuje<br />
podwajanie liczby węzłów siatki numerycznej w obliczeniach DNS w kaŜdym z kierunków,<br />
co oznacza, Ŝe obliczenia DNS dla przepływów geofizycznych moŜliwe będą nie wcześniej<br />
niŜ za 50 lat, pod warunkiem, Ŝe utrzymane zostanie obecnie obserwowane tempo przyrostu<br />
mocy obliczeniowej komputerów.<br />
4. P<strong>OD</strong>SUMOWANIE - MET<strong>OD</strong>A LES JAKO PERSPEKTYWICZNE NARZĘDZIE<br />
ANALIZY TURBULENCJI<br />
Przedstawiona powyŜej analiza wskazuje, Ŝe DNS jest niewątpliwie przyszłościowym<br />
narzędziem opisu turbulencji przepływów, chociaŜ perspektywa zastosowań tej metody do<br />
analizy przepływów w skali technicznej jest bardzo odległa. Dlatego teŜ w ostatnich latach<br />
intensywnie rozwijane są metody LES (Large Eddy Simulation), stanowiące kompromis<br />
między wymogami rozwiązania narzucanymi przez złoŜoną strukturę przepływu<br />
turbulentnego i dostępnymi obecnie moŜliwościami obliczeniowymi. Metoda LES<br />
opracowana w r. 1963 jako narzędzie do modelowania przepływów atmosferycznych [21], juŜ<br />
na początku lat 70. została zastosowana do analizy struktury turbulencji w przepływie w<br />
kanale [22]. Podstawową ideą metody LES jest separacja ciągłego widma energii<br />
turbulentnych fluktuacji na część rozwiązywaną (numerycznie) i modelowaną (analitycznie).<br />
Wymaga to zastosowania filtru G(x), który przekształca dowolną wielkość F(x)<br />
charakteryzującą pole turbulencji przepływu na jej składową odfiltrowaną, która jest<br />
wyznaczana w trakcie numerycznego rozwiązywania układu równań ruchu turbulentnego.<br />
Procedura filtracji zapisana być moŜe jako operacja splotu, która dla prostego przypadku 1D<br />
przybiera postać:<br />
=<br />
F ( x)<br />
= G(<br />
x)<br />
∗ F(<br />
x)<br />
= ∫ G(<br />
x −ξ<br />
) F(<br />
ξ ) dξ<br />
gdzie symbole (=) oraz (*) oznaczają odpowiednio operatory filtracji i splotu.Zastosowanie<br />
powyŜszej procedury do równań (N-S) przekształca je do postaci:<br />
+∞<br />
−∞<br />
(7)<br />
==<br />
∂U<br />
∂t<br />
i<br />
== ==<br />
⎛<br />
∂⎜U<br />
i ⋅U<br />
+<br />
⎝<br />
∂x<br />
j<br />
j<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 ∂P<br />
= − +<br />
ρ ∂x<br />
i<br />
∂<br />
∂x<br />
j<br />
⎧ ⎡<br />
⎪<br />
⎨ν<br />
⎢<br />
⎪ ⎢<br />
⎩ ⎣<br />
==<br />
∂U<br />
∂x<br />
j<br />
i<br />
+<br />
==<br />
∂U<br />
∂x<br />
i<br />
j<br />
⎤ ⎫<br />
⎥ ⎪<br />
−τ<br />
ij ⎬<br />
⎥<br />
⎦ ⎪ ⎭<br />
(8)<br />
w której pojawia się nowa wielkość:<br />
τ<br />
ij<br />
====== == ==<br />
= U<br />
iU<br />
j − U<br />
i<br />
U<br />
j<br />
(9)
<strong>TURBULENCJA</strong> – <strong>OD</strong> LOSOWOŚCI <strong>DO</strong> <strong>DETERMINIZMU</strong> 47<br />
nazywana tensorem napręŜeń podsiatkowych, dla której naleŜy stworzyć odpowiedni model.<br />
Rola tego modelu (nazywanego modelem podsiatkowym) jest bardzo istotna, gdyŜ, jak<br />
wskazują to min. badania Vremana [23], w prawidłowo modelowanych napręŜeniach<br />
podsiatkowych winno być zawarte ok. 20 % energii turbulentnych fluktuacji. Metoda LES<br />
wykorzystuje jedną z waŜnych cech charakterystycznych turbulencji, modelując skale drobne<br />
wykazujące izotropowość struktury wirów i rozwiązując numerycznie pola wirów duŜych,<br />
których anizotropia nie pozwala znaleźć odpowiednich modeli. NajwaŜniejszą jednak zaletą<br />
metody LES jest istotna redukcja nakładów obliczeniowych, która wg [24] oszacowana być<br />
moŜe jako:<br />
⎧ 0.4 ⎫<br />
N LES<br />
= ⎨ ⎬N 1 4 DNS<br />
(10)<br />
⎩Reτ<br />
⎭<br />
co oznacza, Ŝe LES moŜe być realną perspektywą opisu turbulencji w zastosowaniach<br />
inŜynierskich. NiemoŜliwe jest jednak podanie nawet pobieŜnej charakterystyki<br />
współczesnego stanu badań w tej dziedzinie, gdyŜ nawet nowe monografie [25] stają się<br />
nieaktualne po kilku zaledwie latach. Warto natomiast podkreślić, Ŝe zastosowania metody<br />
LES do opisu zagadnień przemysłowych są obecnie jednym z priorytetów EU i COST, a prof.<br />
A. Bogusławski jest zastępcą koordynatora akcji COST - AID [26].<br />
LITERATURA<br />
Praca wykonana w ramach projektu COST /258/2006<br />
1. Elsner J.W.: Turbulencja przepływów. Warszawa: PWN, 1987.<br />
2. Prandtl L.: Bericht uber Untersuchungen zur Ausgebildeten Turbulenz. Z. Angew. Math.<br />
Mech. 1925, N 0 5, S. 136-169 (cyt. za [19]).<br />
3. Baldwin B.S., Lomax H.: Thin-layer approximation and algebraic model for separated<br />
turbulent flows. AIAA 1978, paper 78-257.<br />
4. Prandtl L.: Uber ein neues Formelsystem fur die Ausgebildeten Turbulenz. Nachr. Der<br />
Akad. Wiss.1945, Goettingen ( cyt. za [1]).<br />
5. Harlow F.H., Nakayama P.I.: Transport of turbulence energy decay rat.University of<br />
California 1968, Rep. LA-3854.<br />
6. Rodi W., Spalding D.B.: A two – parameter model of turbulence and its application to<br />
free jets. ”Warme und Stoffubertragung” 1970, Vol. 3, p. 85<br />
7. Spalding D.B.: The prediction of two – dimensional steady turbulent flows. Imperial<br />
college 1969, Rep. EF/TN/A/16.<br />
8. Hanjalic K.: Two – dimensional asymmetric turbulent flow in ducts. PhD Thesis, Univ. of<br />
London 1970.<br />
9. Hutton A.G.: The ERCOFTAC Best Practise Guideliness for Industrial CFD,<br />
ERCOFTAC Bulletin, N 0 70, Sept. 2006,p.52<br />
10. QNET – CFD Network Newsletter, 2004, Vol.2, N 0 2<br />
11. Elsner W., Drobniak S.: Experimental and numerical simulation of flow around highly<br />
loaded blade profiles applied in steam and gas turbines. “Archiwum Energetyki“ 2006, T.<br />
XXXVI p.75-86.<br />
12. Elsner W., Vilmin S., Drobniak S., Piotrowski W.: Experimental analysis and prediction<br />
of wake-induced transition in turbomachinery. Proc. ASME TURBO EXPO 2004,<br />
13. http://www.qnet-cfd.net
48 A. BOGUSŁAWSKI, S. DROBNIAK, A. TYLISZCZAK<br />
14. Spalart P.R., Almaras S.R.: A one-equation turbulence model for aerodynamic flows.<br />
“Recherche Aerospatiale” 1994, N 0 1, p.5-21.<br />
15. Menter F.: Model deficiencies for reattaching flows. Mat. WALLTURB Workshop,<br />
Viterbo, March 2007, http://ftp.univ-lille1.fr/stan/Wallturb_Viterbo_07.zip<br />
16. Ferziger J.H.: Large eddy simulation of turbulent flow. AIAA J. 1977, Vol. 15, No 9,<br />
17. Shah K.B., Ferziger J.H.: A fluid mechanicians view of wind engineering. Large Eddy<br />
Simulation of Flow Past a Cubic Obstacle, 1997, J. of Wind Eng. and Ind. Aerodyn.,<br />
Vol.61, 68,<br />
18. Kim H., Moin P., Moser R.: Turbulence statistics in fully developed channel flow at low<br />
Reynolds number. “J. Fluid Mech.” 1987, Vol. 177, p. 133-166.<br />
19. Lesieur M.: Turbulence in fluid. “Fluid Mechanics and Its Applications” 1997, Vol. 40,<br />
Kluwer Academic Publishers.<br />
20. Ruelle D., Takens R.: On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys.1971, Vol.20 i 23,<br />
p. 167-19, 343-344 (cyt. za Holmes P., Can Dynamical Systems Approach Turbulence,<br />
1990, Whither Turbulence, Turbulence at Crossroads, Lecture Notes In Physics, vol.<br />
357, Springer).<br />
21. Smagorinsky J.: General circulation experimentswith the primitive equations. ”Mon.<br />
Weather Rev” 1963, Vol. 91, p. 99 – 164.<br />
22. Deardorff J.W.: A numerical study of three dimensional turbulent channel flow at large<br />
Reynolds number. “J.Fluid Mech.” 1970, Vol. 41,<br />
23. Vreman B., Geurts B.: Kuerten H: Large eddy simulation of turbulent mixing layer.<br />
1997, “J. Fluid Mech.” 1997, Vol. 339, p. 357 – 390.<br />
24. Wilcox D.: Turbulence modelling for CFD. DW Industries Inc. 1993, La Canada,<br />
California.<br />
25. Geurts B.: Elements of direct and large-eddy simulation. R.T. Edwards 2004.<br />
26. Boguslawski A.: Udział Instytutu Maszyn Cieplnych Politechniki Częstochowskiej w<br />
międzynarodowej sieci w ramach Akcji COST P20 – LES-AID Large Eddy Simulation<br />
for Advanced Industrial Design, 2006, Politechnika Częstochowska, Pismo Środowiska<br />
Akademickiego, wyd. PCz<br />
TURBULENCE – FROM RAN<strong>DO</strong>M TO DETERMINISTIC APPROACH<br />
Summary. The paper presents contemporary developments in numerical<br />
modelling of turbulence with special reference to Large Eddy Simulation (LES)<br />
methods. The limitations of conventional turbulence models based on stochastic<br />
methodology have been discussed and reasons for development of deterministic<br />
approach were outlined. It was shown that even the fastest available computers<br />
restrict the possible DNS (Direct Numerical Simulation) solutions to small<br />
Reynolds numbers. Finally the basic assumptions have been formulated for the<br />
LES formalism, that seems to offer the possibility for industrial flow modelling.