drgania swobodne układu sprężyście poÅ‚Ä czonych belek o stałych ...

XLVI Sympozjon „Modelowanie w mechanice”
Izabela ZAMOJSKA, Stanisław KUKLA, Mariusz SZEWCZYK, Instytut Matematyki
i Informatyki, Politechnika Częstochowska
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU SPRĘŻYŚCIE POŁĄCZONYCH
BELEK O STAŁYCH LUB ZMIENNYCH PRZEKROJACH
POPRZECZNYCH
Zagadnienie drgań własnych układu zbudowanego z belek połączonych warstwami
sprężystymi lub sprężynami translacyjnymi przedstawione jest w literaturze np. w pracach
[1-4]. Publikacja [1] przedstawia zagadnienie drgań poprzecznych układu dwóch belek z
dołączonymi dodatkowymi elementami dyskretnymi w postaci układów masa-sprężyna.
Autor pracy [2] prezentuje rozwiązanie zagadnienia drgań układu wielu belek połączonych
sprężynami translacyjnymi. W pracy tej przedstawione jest rozwiązanie zagadnienia drgań
dwóch płyt o stałej grubości połączonych warstwą niejednorodną. Drgania belek, które łączy
warstwa jednorodna opisane s± w pracach [3] i [4]. We wszystkich cytowanych powyżej
publikacjach autorzy rozpatruj± jednak tylko belki o stałych polach przekroju. Celem
prezentowanej pracy jest przedstawienie zagadnienia drgań swobodnych układu
zbudowanego z wielu belek o stałych oraz lub o zmiennych przekrojach poprzecznych
połączonych warstwami sprężystymi. Sformułowanie zagadnienia tworzą równania
różniczkowe opisujące ruch belek oraz zadane warunki brzegowe odpowiadające różnym
sposobom zamocowania końców belek. W celu wyznaczenia rozwiązania rozpatrywanego
zagadnienia zastosowana jest metoda funkcji Greena. W pracy przedstawione są
postacie funkcji Greena odpowiadające operatorom różniczkowym występującym w opisie
drgań belek. Funkcja, odpowiadająca opisowi drgań belki o zmiennym polu przekroju jest
przedstawiona za pomocą funkcji Bessela. Funkcje Greena odpowiadające opisowi drgań
belki jednorodnej przedstawione są w postaci macierzowej. Równanie częstości drgań ma
postać wyznacznika przyrównanego do zera. Aby wyznaczyć równanie częstości układu
zbudowanego z belek połaczonych warstwa sprężystą, zastosowano kwadratury Newtona-
Cotesa. Warunki brzegowe przyjęte w pracy, odpowiadają belce swobodnej i belce
wspornikowej. W pracy przedstawione są wyniki badań numerycznych pokazujące wpływ
wybranych parametrów charakteryzujacych układ na drgania swobodne dwóch sprężyście
połączonych belek.
Literatura:
1. Inceoglu S., Gürgöze M., Bending vibrations of beams coupled by several double springmass
systems, Journal of Sound and Vibration, 2001, 243(2), 370-379.
2. Kukla S., Dynamiczne funkcje Greena w analizie drgań własnych ciągłych i dyskretnociągłych
układów mechanicznych, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej,
Monografie 64, 1999.
3. Kukla S., Skalmierski B., Free vibration of a system composed of two beams separated by
an elastic layer, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 1994, 3, 32, 581-590.
4. Oniszczuk Z., Free transverse vibrations of elastically connected simply supported doublebeam
complex system, Journal of Sound and Vibration, 2000, 232(2), 387-403.

XLVI Sympozjon „Modelowanie w mechanice”
FREE VIBRATIONS OF A SYSTEM OF ELASTICALLY
CONNECTED UNIFORM OR NON-UNIFORM BEAMS
The free vibration problem of systems composed of beams coupled by elastic layers or
translational springs has been studied in literature for example in the references [1-4].The
paper [1] concerns a problem of the natural transverse vibrations of a system consisting of
two clamped-free beams with several double spring-mass systems attached. Author of the
reference [2] presents vibration problem of a system of many beams connected by
translational springs. There is also presented a solution to vibration problem of two uniform
plates coupled by non-homogeneous layer. The vibration of beams connected by
homogeneous elastic layers are described by the authors of the papers [3] and [4]. In all this
presented references authors consider uniform beams only. The purpose of this paper is free
vibration problem of a system of many uniform and or non-uniform beams coupled by elastic
layers. The formulation of the problem establish the differential equations of motion of the
beams and the boundary conditions corresponding to attachments of the beam’s ends. To
obtain the solution of the considering problem, the Green’s function method is used. The
Green’s functions corresponding to a differential operators occurring in differential
description of the beam vibration are presented. Function which corresponds to a differential
description of the non-uniform beam vibration is expressed by Bessel functions of the first
and second kind. The Green’s functions corresponding to description of vibration of uniform
beam are presented in a matrix form. A free vibration frequency equation has the form of a
determinant equated to zero. For a system of beams connected by elastic layers, to obtain the
frequency equation, a quadrature of a Newton-Cotes type is used. Boundary conditions,
assumed in the analysis, corresponds to a free-free and clamped-free beams. The paper
presents the results of numerical investigations aimed at showing the influence of certain
parameters characterising the system on free vibrations of the two elastically connected
beams.
References:
1. Inceolu S., Gürgöze M., Bending vibrations of beams coupled by several double springmass
systems, Journal of Sound and Vibration, 2001, 243(2), 370-379.
2. Kukla S., Dynamiczne funkcje Greena w analizie drgań własnych ciągłych i dyskretnociągłych
układów mechanicznych, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej,
Monografie 64, 1999.
3. Kukla S., Skalmierski B., Free vibration of a system composed of two beams separated by
an elastic layer, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 1994, 3, 32, 581-590.
4. Oniszczuk Z., Free transverse vibrations of elastically connected simply supported doublebeam
complex system, Journal of Sound and Vibration, 2000, 232(2), 387-403.