analiza statyczna belek żelbetowych metodÄ sztywnych elementów ...

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X43, s. 211-218, Gliwice 2012ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCHMETODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCHMICHAŁ MUSIAŁKatedra Konstrukcji Betonowych, Politechnika Wrocławskae-mail: michal.musial@pwr.wroc.plStreszczenie. W pracy opisano metodę obliczania ugięć belek żelbetowychz uwzględnieniem dyskretnego modelu rysy. Prezentowane podejście opiera sięna metodzie sztywnych elementów skończonych. Wyprowadzono zależności,pozwalające obliczyć sztywność więzi obrotowej (rotacyjnej) elementówskończonych wmiejscu pojawienia się rysy. Wyniki analiz numerycznych,przeprowadzonych własnym programem obliczeniowym, porównano z wynikamieksperymentu.1. WSTĘPZnamiennym zjawiskiem, dotyczącym zginanych belek żelbetowych,jest zarysowanie.Rysy prostopadłe do osi elementu powstają, gdy naprężenia przekroczą wytrzymałość betonuna rozciąganie. Dla elementu zginanego można określić tzw. moment rysujący M cr , któregoprzekroczenie wiąże się z pojawieniem rys. Należy zaznaczyć, że większość zginanychkonstrukcji żelbetowych pracuje w stanie zarysowania (zwykle moment rysujący jest nawetkilkakrotnie mniejszy niż nośność elementu). Są to jednak rysy o niewielkiej rozwartości.Wytyczne normowe nakazują ograniczać je na etapie projektowania do 0,1 –0,3 mm.Zjawisko występowania rys wiąże się z degradacją sztywności elementu. Wpływa zatemna uogólnione przemieszczenia oraz redystrybucję sił wewnętrznych w ustrojachhiperstatycznych. W związku z tym obliczanie konstrukcji żelbetowych wymagaspecjalistycznego podejścia, uwzględniającego interakcję dwóch materiałów (betonu i stali)oraz zarysowanie. Zagadnieniami tymi zajmowało się wielu badaczy w Polsce [4] orazzagranicą [2]. Można przytoczyć prace, które opisują zjawisko za pomocą sztywnościzmiennej liniowo bądź nieliniowo po długości elementu [2, 6]. Istnieją teorie stosującesztywność stałą odcinkami [10]. Mniej popularny jest natomiast opis zjawiska za pomocąrachunku dystrybucyjnego [1].W niniejszym artykule zaprezentowano własne podejście do problemu obliczania ugięćbelek żelbetowych. Opiera się ono na metodzie sztywnych elementów skończonych [5], któramimo swojej popularności w dziedzinie mechaniki maszyn [3, 8] nie znalazła szerokiegozastosowania w analizie konstrukcji budowlanych. W pracy zastosowano wariantprezentowany przez J. Langera [7] dla konstrukcji jednorodnych. Zaproponowano sposóbbudowy macierzy transformacji współrzędnych uogólnionych na dyslokacje względneelementów, dający się łatwo zautomatyzować w obliczeniach numerycznych. Ponadtowyprowadzono zależności na sztywność więzi obrotowych w miejscu pojawienia się rys.

212 M. MUSIAŁ2.MODEL KONSTRUKCJI JEDNORODNEJW metodzie sztywnych elementów skończonych modelem konstrukcji prętowej są sztywnetarcze masowe połączone więziami sprężystymi. Każdej z tarcz odpowiadają trzywspółrzędne uogólnione (dwie przemieszczeniowe/translacyjne i jedna obrotowa/rotacyjna).Cechy sprężyste ustroju reprezentowane są przez więzi łączące tarcze. Podobnie jakw przypadku współrzędnych uogólnionych są dwie więzi przemieszczeniowe (translacyjne)i jedna obrotowa (rotacyjna). W przypadku zagadnienia zginania statycznego zadanieogranicza się,nie uwzględnia się bowiem sił bezwładności oraz współrzędnych uogólnionychi więzi sprężystych związanych z odkształcalnością osiową. Równanie statyki w metodziesztywnych elementów skończonych jest zatem postaci:Kq P , (1)gdzie: K – macierz sztywności, q – wektor współrzędnych uogólnionych, P – wektorobciążenia.Na rys. 1 pokazano przykładowy model konstrukcji bez warunków brzegowych. Prętpodzielono na cztery elementy skończone o długości l e . Przez q i oznaczono współrzędneuogólnione, odpowiadające poszczególnym masom skupionym. Masy są połączone więziamisprężystymi o sztywności obrotowejk oraz przemieszczeniowejk .Rys. 1. Schemat i model numeryczny pręta jednorodnegoSztywności poszczególnych więzi można obliczyć, porównując energię potencjalną elementusztywnego i elementu sprężystego. Modele elementów pokazano na rys. 2 [7].Rys. 2. Modele elementarne do wyprowadzenia sztywności więzi [7]

ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW… 213Przez r oraz r oznaczono wzajemne przemieszczenia sąsiednich elementów. W zależnościod nich podano wzory na ugięcie elementu w (funkcje kształtu). Tok postępowania przywyprowadzaniu zależności na sztywności więzi pokazano za [7] równaniami (2) i (3).l1 2 12 112EI2 12EIEpk r EI ( w'')dx r k 332 2 20l , (2) e leEp1 k2r2 12gdzie:EI – sztywność giętna elementu.l0EI ( w'')21dx 2EI 2rle kEIle, (3)Sztywności poszczególnych więzi należy zgrupować w macierz diagonalną {k}. Macierz tadla pręta, jak na rys. 1, ma postać:{k} diag{k , k,k, k,k, k,k, k }. (4)Energia potencjalna odkształcenia ustroju wyraża się wzorem:1E Tpr { k}r2, (5)gdzie: r – wektor dyslokacji względnych.Wektor współrzędnych uogólnionych q można transformować na wektor r wg zależności:gdzie: A k – macierz transformacji.r A q , (6)kNa podstawie zależności (5) oraz (6) można zapisać wzór na energię potencjalną całegoustroju w postaci:Macierz sztywności całego ustroju K ma zatem postać:1 T T 1 TE p q Ak{ k}Akq q Kq . (7)22TK A k{k}A k. (8)Proces tworzenia macierzy transformacji A k w realizacji numerycznej możnazautomatyzować. Wiedząc, że transformacja współrzędnych uogólnionych na dyslokacjewzględne dla pojedynczego elementu wyraża się wzorem:rr A kUqqqq1234 1 le 2011le2q0 q1 q q1234 , (9)

214 M. MUSIAŁłatwo jest zbudować macierz transformacji A k o strukturze pasmowej dla całego ustrojubelkowego. Dla schematu, jak na rys. 1, jest ona postaci:(10)W celu realizacji numerycznych można zapisać wyrażenie ogólne na niezerowe wartości i-tego wiersza, j-tej kolumny macierzy transformacji A k o wymiarach 2n el ×n q (n el – liczbaelementów skończonych, n q – liczba współrzędnych uogólnionych):1,gdy j i dla i 1, 2,...,2nel1,gdy j i 2 dla i 1, 2,..., 2nelA lek,ij , j i 1dlai 2, 4,..., 2n. (11)el 2 le, j i 1dlai 2, 4,..., 2nel 2W prezentowanym podejściu warunki brzegowe wprowadzane są przez usunięcieodpowiednich wierszy lub kolumn z macierzy transformacji A k oraz wektora współrzędnychuogólnionych q. Numery wierszy i kolumn odpowiadają numerowi współrzędnejuogólnionej, w której miejscu wprowadza się więź (obrotowąi/lub przemieszczeniową).Proces dekompozycji macierzy dla pręta, jak na rys. 1, przedstawiono schematycznie poniżej(12). Zadano podparcie przegubowe na obu końcach.(12)3.MODEL BELKI Z RYSAMI3.1.Podstawy teoretyczne metodyPrezentowana metoda sztywnych elementów skończonych pozwala uwzględnić zarysowanieelementu żelbetowego w sposób dyskretny. Jak pokazano w punkcie 2., jednym z elementów,prowadzących do rozwiązania, jest sformułowanie macierzy diagonalnej {k} wg (4).W macierzy na diagonali zgrupowane są sztywności więzi, łączących tarcze masowe.Odpowiedni podział na elementy skończone (taki, aby rysa znajdowała się w połowieodległości między tarczami masowymi) umożliwia wprowadzenie efektu zarysowania doobliczeń poprzez redukcję sztywności więzi obrotowej w miejscu pojawienia się rysy.Schemat oraz model numeryczny pręta żelbetowego z rysami pokazano na rys. 3.

ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW… 215Wprowadzono następujące oznaczenia:l , l ,..., l – długości elementów i, j,…, m;iejei j mk , k,...,k– sztywności więzi przemieszczeniowych elementów i, j,…, m, obliczone napodstawie sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowanego (w I fazie pracy) –j mEI I ; k , k– sztywności więzi obrotowych elementów j, m, obliczone na podstawiesprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowanego (w I fazie pracy) – EI I ;cricrkcrlk , k k – sztywności więzi obrotowych elementów i, k, l z uwzględnieniem rysy. ,meRys. 3. Schemat i model numeryczny zarysowanego pręta żelbetowegoOdstępy między rysami są różne. Skutkuje to tym, że elementy skończone są różnejdługości. W praktyce propagacji rys w konstrukcjach żelbetowych towarzyszy pewnaregularność i pojawiają się one w podobnych rozstawach. W dalszych rozważaniach przyjętouśredniony rozstaw rysy dla całej belki. Pozwala to znacznie uprościć obliczenia. Elementyskończone mają wtedy stałą długość l e .Parametrem pozostającym do określenia jest sztywność obrotowa elementu z rysą. Jeżeliprzyjąć, że podatność obrotowa elementu z rysą jest sumą podatności, jaka wynikaz odkształcalności giętnej oraz z faktu wystąpienia rysy, to można napisać:gdzie:cr id d d d – podatność obrotowai-tego elementu z rysą,elementu w fazie I (bez rysy),elemencie.Odwrotnością sztywności jest podatność, a zatem:gdzie:crii i cr, (13)id – podatność obrotowai-tegoidcr– podatność obrotowa, wynikająca z rysy w i-tymki 1di . (14)ik – sztywność więzi obrotowej w i-tym elemencie, obliczona z zależności (5.1), dlasprowadzonej sztywności giętnej w fazie I – EI I .Dla znanej podatności, wynikającej z faktu wystąpienia rysy, można zapisać zależność nasztywność więzi obrotowej elementu, pracującego w fazie II (z rysą):cri1k . (15)i 1ik dObliczona na podstawie zależności (15) sztywność obrotowa może być elementem macierzydiagonalnej {k}, zawierającym wpływ wystąpienia rysy.cr

216 M. MUSIAŁ3.2.Podatność obrotowa wynikająca z rysyPodatność obrotową rysy określono na podstawie elementarnych zależnościgeometrycznych oraz wytrzymałości materiałów. Rozpatrzono schemat jak na rys. 4.Oznaczenia:d – wysokość użyteczna przekrojus rm – średni rozstaw rysw k – rozwartość rysyx II – wysokość strefy ściskanej po zarysowaniu– kąt rozwarcia rysyRys. 4. Schemat do obliczenia podatności obrotowej rysySiły działające w przekroju przez rysę (A-A), dla trójkątnego rozkładu naprężeń w betonie,pokazano na rys. 5.Oznaczenia:A s1 – pole przekroju zbrojeniab– szerokość przekroju belkiF c – siła w betonie, F s – siła w staliM – moment zginający c – naprężenia w betonie s – naprężenia w stali w przekroju przez rysęRys. 5. Siły w przekroju przez rysęNa podstawie rys. 5 zapisano równanie równowagi momentów względem punktu P:M Fs xIId 3 xII xII s As1d s M 13Asd 3 . (16) 1Wzór na średnią rozwartość rys ma postać:wksm smcmsrm sm srm srm, (17)Egdzie: sm – średnie odkształcenie stali między rysami, cm – średnie odkształcenie betonumiędzy rysami, sm – średnie naprężenie w zbrojeniu między rysami, E s – moduł Youngastali.Średnie naprężenia w stali między rysami z naprężeniami w przekroju przez rysę wiążewspółczynnik z – według zależności (18).Mcrz1,3 s , (18)Mgdzie: s – współczynnik, wynoszący odpowiednio:1,1 – przy obciążeniu krótkotrwałym,0,8 –przy obciążeniu długotrwałym, M cr – moment rysujący.Zależność na średnie naprężenie w stali ma zatem postać:smzss . (19)

M [kNm]M [kNm]M [kNm]ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW… 217Na podstawie rys. 4 można zapisać wyrażenie na kąt rozwarcia rysy:wk . (20)d xIIZgodnie z wzorami (16) – (20) zapisano poniżej zależność na podatność obrotową,wynikającą z rysy:dcrE Asz srmxII(d ) (d x3s1 II. (21))4. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA METODYW doświadczeniu przebadano trzy serie belek (rys. 6). Strzałkę ugięcia rejestrowanoczujnikami indukcyjnymi. Po każdym kroku obciążenia inwentaryzowano makroskopoworysy w elemencie. Szerszy opis metodologii badań oraz właściwości materiałów (betonui stali) podano w [9].Na wykresach poniżej (rys. 7) zestawiono wyniki pomiarów i analiz numerycznych.Obliczenia przeprowadzono własnym programem numerycznym [11] dla każdego z krokówobciążenia.Rys. 6. Stanowisko badawcze (a) i przekroje badanych belek (b) – wymiary w mma) b)303025201510pomiar5MSES__0Serie40 1 2 3 4 5 6 7 8 9B-I-310 11ugięcie [mm]Serie62520151050pomiarMSES__Serie40 1 2 3B-III-34 5 6 7 8 9 10ugięcie [mm]Serie6116050403020pomiar10MSES__0Serie40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19B-IV-320 21 22 23ugięcie [mm]Serie6Rys. 7. Wyniki pomiarów i analiz numerycznych dla poszczególnych serii:a) B-I, b) B-II, c) B-III

218 M. MUSIAŁ5.PODSUMOWANIEUzyskano dużą zgodność wyników, szczególnie w zakresie do 50 % zaawansowaniaobciążenia w przypadku belek słabo zbrojonych (serie B-I i B-II) oraz do 30 % w przypadkubelek silnie zbrojonych (seria B-III). Wyniki spoza tego zakresu charakteryzują się większymiróżnicami (około 30 %). Przeszacowania ugięć można upatrywać w tym, że w obliczeniachuwzględniono każdą, makroskopowo zaobserwowaną w trakcie eksperymentu, rysę. Rysypowstałe w wyższych krokach obciążenia (bliżej podpór) nie są tak głębokie jak te, którepowstały w początkowych krokach. W prezentowanym modelu numerycznym zakłada sięnatomiast, że każda rysa sięga osi obojętnej belki.Wyniki obliczeń potwierdziły zatem przydatność prezentowanej metody do obliczaniaugięć zarysowanych belek żelbetowych. Różnice między rezultatami eksperymentua analizami numerycznymi nie są znaczne. Tym bardziej, że w pracy [4] wykazano, że ugięciaobliczone różnymi metodami mogą różnić się nawet o przeszło 50 %.LITERATURA1. Borcz A.: Teoria konstrukcji żelbetowych: wybrane zagadnienia. Cz. I. Wrocław: Wyd.Pol. Wrocł., 1973.2. Branson D. E.: Deformations of concrete structures. New York: McGraw-Hill BookCompany, 1977.3. Gancarczyk T., Harlecki A.: Analiza drgań elementów rurowych parownikawywołanychcyklicznymi uderzeniami. „Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 79-86.4. Kamiński M., Szechiński M., Ubysz A.: Teoretyczne i praktyczne podstawy obliczaniaugięć elementów żelbetowych. Wrocław: DWE, 1998.5. Kruszewski J., Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S.: Metoda sztywnychelementów skończonych. Warszawa: Arkady, 1975.6. Kuczyński W.: Konstrukcje betonowe : kontynualna teoria zginania żelbetu.Warszawa:Wyd. Nauk. PWN, 1971.7. Langer J.: Dynamika budowli. Wrocław: Wyd. Pol. Wrocł., 1980.8. Lipiński K.: Sztywne elementy skończone w modelowaniu drgań wirującej belkinapędzanej silnikiem prądu stałego zasilanym z prostownika tyrystorowego.„Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 231-220.9. Musiał M.: Drgania belek żelbetowych z uwzględnieniem dyskretnego modelu rysy.Praca doktorska. Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 2010.10. Ryżynski A., Wołowicki W.: Propozycja obliczania ugięć belki żelbetowejz uwzględnieniem niegładkości jej odkształconej. „Archiwum Inżynierii Lądowej” 1968,z. 2, s. 329-347.11. Wolfram S.: The mathematica book. Champaign: Wolfram Media and CambridgeUniversity Press, 1999.STATIC ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAMSWITH RIGID FINITE ELEMENTS METHODSummary. In the paper the method of calculation of deflections of RC beamswith a consideration of discrete crack modelwas presented. Described attitudeappliedRFEM. The numerical resultswere compared with the experimental ones.