modelowanie propagacji fal w płytach kompozytowych

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X32, s. 323-330, Gliwice 2006MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACHKOMPOZYTOWYCHPAWEŁ KUDELAInstytut Maszyn Przepływowych PAN w GdańskuWIESŁAW OSTACHOWICZInstytut Maszyn Przepływowych PAN w GdańskuWydział Nawigacyjny, Akademia Morska w GdyniStreszczenie. W pracy przedstawiano wyniki symulacji propagacji poprzecznejfali sprężystej w płycie kompozytowej. Zagadnienie to rozwiązywane jest zapomocą zaproponowanych w pracy modeli zbudowanych na podstawie metodyspektralnych elementów skończonych. Badano wpływ kąta ułożenia włókienwzmacniających oraz ich procentowej zawartości na propagację fali. Zwróconouwagę na możliwości wykorzystania zmian w propagującej się fali do wykrywaniauszkodzeń w płytach.1. WSTĘPW ostatnich dwóch dekadach obserwuje się stały wzrost zainteresowania zastosowaniemmateriałów kompozytowych w różnych elementach konstrukcyjnych. Spowodowane to jestfaktem, iż materiały kompozytowe cechują znakomite własności mechaniczne. Podobnie jak wprzypadku materiałów izotropowych, elementy konstrukcyjne wykonane z materiałówkompozytowych narażone są na różnego rodzaju uszkodzenia (delaminacja, pęknięcie włókien,etc.). Ważnym zagadnieniem jest relatywnie szybkie i trafne wykrycie ewentualnych defektów.W tym celu wykorzystuje się zmiany różnorodnych wielkości fizycznych określających stankonstrukcji. Najnowsze metody wykrywania uszkodzeń wykorzystują zmiany w propagującejsię fali sprężystej.Aby poprawnie zamodelować zachowanie propagującej się fali sprężystej, istotne jestzbudowanie dokładnego modelu numerycznego. Z uwagi na stosunkowe wysokieczęstotliwości propagujących się fal oraz ich na duże prędkości propagacji istotną trudnośćstanowi dyskretyzacja modelu numerycznego. Oczywistym jest, że siatka klasycznychelementów skończonych musi być w takim przypadku bardzo gęsta, a czas obliczeń bardzodługi. Alternatywą jest zastosowanie metody spektralnych elementów skończonych [1–3],która, dzięki odpowiedniemu doborowi funkcji bazowych i punktów całkowanianumerycznego, pozwala rozprzęgnąć równania i znacznie skrócić czas symulacji.Obliczenia numeryczne przeprowadzono dla różnych parametrów materiałukompozytowego. Jako materiał przyjęto żywicę epoksydową wzmacnianą włóknami szklanymilub grafitowymi. W pierwszej kolejności analizowano płytę jednowarstwową. Z obliczeń

324 P. KUDELA, W. OSTACHOWICZnumerycznych wynika, że prędkość oraz kierunek propagacji fali są funkcjami orientacjiwłókien oraz ich względnej zawartości. W przypadku wielowarstwowych płyt kompozytowychzachowanie propagującej fali jest bardziej skomplikowane niż dla jednowarstwowej płytykompozytowej. W płycie wielowarstwowej kształt propagującej fali stanowi wyniksuperpozycji, rozumianej w sensie homogenizacji fal wytworzonych przez poszczególnewarstwy kompozytu.2. PŁYTOWY SPEKTRALNY ELEMENT SKOŃCZONY2.1. Zdefiniowanie węzłów elementuWęzły płytowego spektralnego elementu skończonego zdefiniowane są w lokalnym układziewspółrzędnych elementu ξη jako pierwiastki następującego wyrażenia:⎧(1− ξ )⎨⎩(1−η)22P′N( ξ ) = 0P′( η)= 0N(1)gdzie ξ, η∈[–1, 1], P ’ N oznacza pierwszą pochodną wielomianu Legendre’a rzędu N. W tensposób węzły elementu mogą zostać określone w lokalnym układzie współrzędnych elementu.W bieżącym sformułowaniu wybrano wielomian Legendre’a 5 rzędu. Stąd można otrzymać 36węzłów w układzie współrzędnych ξη jako:( ξξmm, η, ηnn), m,n = 1,2,...,6∈{−1,−1 2 1 2 1 2 1 2+ , − − , −33, +3 3 73 7 3 7 3 3 7,1}(2)Na rysunku 1 można zauważyć, że wynikiem takiej definicji węzłów elementu jest ichnierównomierny rozkład wewnątrz elementu.η=1ηξ=-1 ξ=1ξη=-1Rys. 1. Rozkład węzłów w lokalnym układzie współrzędnych elementu

MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH KOMPOZYTOWYCH 3252.2. Funkcje kształtu w elemencieNa podstawie tak zdefiniowanych węzłów można zbudować zbiór funkcji kształtuaproksymujących poprzeczne i kątowe przemieszczenia wewnątrz elementu. W tym celuzastosowano dyskretnie ortogonalną aproksymację Lagrange’a opartą na węzłach elementu.2.3. Macierze sztywności i masKompozytowy element płytowy opracowano na podstawie teorii Mindlina [4, 5].Umożliwia to dokładne modelowanie zjawiska propagacji fali (w przeciwieństwie doklasycznej teorii płyt laminowanych). Obliczenie charakterystycznych macierzy sztywności [K]i bezwładności [M] skończonego płytowego elementu spektralnego przebiega w sposóbidentyczny z klasycznym sformułowaniem metody elementów skończonych. Proces ten możebyć opisany w postaci związków:T[ M ] = ρ w [ N ] [ N ]det[ J ] (3)[ K]=+ 1 + 16 6T∫∫ [ N][ N]det[J]dηdξ= ρ∑∑w−1−1m n mnm= 1 n=1+ 1 + 16 6T∫∫ [ B][ D][B]det[J]d dξ= ∑∑wmwn[mn−1−1m= 1 n=1Tη B ] [ D][B ]det[ J ] (4)gdzie [N] jest macierzą funkcji kształtu, [J] jest macierzą Jakobianów, [D] oznacza macierzstałych sprężystości materiału kompozytowego, natomiast wmi wnsą wagami Gaussa–Lobatto, które obliczono w węzłach elementu m i n za pomocą wzoru [6]:1wm, n= , m,n = 1, K,6. (5)15P( ξ )5m,nZ uwagi na ortogonalność funkcji kształtu i zastosowanie reguły całkowania Gaussa–Lobattomacierz bezwładności elementu [M] jest diagonalna. Własność ta wynika bezpośrednio zdefinicji. W przypadku techniki skupiania mas można również otrzymać diagonalną macierzbezwładności. Wówczas jednak w rozwiązaniu równań ruchu pojawiają znaczące błędy, [7].2.4. Rozwiązanie równań ruchuW przypadku braku tłumienia równania ruchu można zapisać w postaci macierzowej:[ M ]{ q& } + [ K]{q}= { F}(6)tgdzie symbol t oznacza czas {F} jest wektorem sił wzbudzających, symbol {q} oraz {q& &}oznaczają wektory węzłowych przemieszczeń oraz przyspieszeń. Ponieważ globalna macierzbezwładności [M] w równaniu ruchu przyjmuje postać diagonalną, równanie (6) można dalejuprościć i rozwiązać, stosując bardzo szybką i efektywną metodę całkowania opartą naschemacie różnic centralnych [8]. Ponadto macierz sztywności jest stosunkowo rzadka(zawiera około 35% elementów niezerowych), a więc wymagane są mniejsze zasoby pamięciniż w przypadku klasycznej metody elementów skończonych.ttmnmnmnmn

326 P. KUDELA, W. OSTACHOWICZ3. OBLICZENIA NUMERYCZNE3.1. Geometria płyty i dane materiałoweDo obliczeń przyjęto płytę kompozytową o wymiarach: długość (100 cm), szerokość (100cm). Przyjęto założenie, że płyta została wykonana z żywicy epoksydowej wzmacnianejwłóknami szklanymi lub grafitowymi. Własności materiałowe zostały zestawione w tabeli 1.Przeprowadzono badania płyt kompozytowych jednowarstwowych o całkowitej grubościrównej 1 cm. W dalszej kolejności badano płyty dziesięciowarstwowe o tej samej grubości.Tabela 1. Własności materiałoweŻywica Włókna szklane Włókna grafitoweModuł Younga [GPa] 3.43 66.5 275.6Współczynnik Poissona 0.35 0.23 0.20Gęstość [kg/m 3 ] 1200 2250 19003.2. Wpływ objętościowej zawartości włókien wzmacniających na propagację faliPrędkość grupowa c g fali poprzecznej jest funkcją względnej objętościowej zawartościwłókien wzmacniających, kierunku propagacji fali oraz częstotliwości sygnału wzbudzenia [9].Prędkość ta może zostać obliczona analitycznie, w wyniku czego otrzymujemy profileprędkości pokazane na rysunkach 2a i 2b. Założono, że kąt ułożenia włókien jest stały i wynosi0˚. W tym też kierunku wartości prędkości grupowych są największe.a) b)Rys. 2. Profile prędkości grupowych w jednowarstwowej płycie kompozytowej wzmacnianejwłóknami a) szklanymi, b) grafitowymi, dla zawartości włókien 0, 20, 40, 60, 80, 100%Wraz ze wzrostem zawartości włókien wzmacniających prędkość fali w kompozyciewzrasta, przy jednoczesnej zmianie kształtu profilu prędkości. Okręgi na rysunkach 2a i 2bodnoszą się do przypadków izotropowych, kiedy prędkość fali w każdym kierunku jestjednakowa.

MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH KOMPOZYTOWYCH 327Zależnie od zastosowanego materiału włókien kształty profili prędkości różnią się. Z uwagina znacznie wyższy moduł Younga włókien grafitowych od modułu Younga włókien szklanychprędkość fali na rysunku 2b jest wyższa, a kształty profili prędkości są mniej gładkie.3.3. Wpływ kąta ułożenia włókien na propagację faliPrędkość grupowa fali zależy również od kąta ułożenia włókien wzmacniających.Przeprowadzono teoretyczne i numeryczne obliczenia dla płyty kompozytowej o stałejzawartości włókien wzmacniających. Wyniki wskazują, że kształt frontu propagującej fali jestzachowany, podczas gdy eliptyczne wydłużenie obrócone jest zgodnie z zadaną orientacjąwłókien wzmacniających.3.4. Propagacja fali w płycie wielowarstwowejW tym przypadku zachowanie propagującej fali jest bardziej skomplikowane niżobserwowane w przypadku pojedynczej warstwy kompozytu. Kształty profili prędkościgrupowych zależą od objętościowej zawartości włókien wzmacniających, jak i od ich orientacjiw poszczególnych warstwach. Można założyć, że propagująca fala stanowi wynik superpozycji(rozumianej w sensie homogenizacji) fal z poszczególnych warstw kompozytu.Rysunek 3 przedstawia fragmenty symulacji numerycznych dla dwóch przykładowych płytkompozytowych. W obu przypadkach założono, że płyta składa się z 10 warstw, zawartośćwłókien wzmacniających w każdej z nich jest jednakowa i wynosi 25%. W lewej kolumniesymulacja dotyczy płyty wykonanej z żywicy epoksydowej wzmacnianej włóknamigrafitowymi, a w kolumnie po prawej stronie płyty wykonanej z żywicy epoksydowejwzmacnianej włóknami szklanymi. Różne układy orientacji włókien w poszczególnychwarstwach wpływają na kształt propagującej się fali. Znajomość rozkładu prędkości wzależności od kierunku propagacji jest niezwykle istotna z uwagi na zastosowanie do detekcjiuszkodzeń.Na szczególną uwagę zasługuje dobór odpowiedniej częstotliwości sygnału wzbudzającego.Wiąże się to z efektem dyspersji, czyli zależności prędkości fali od częstotliwości. Rysunek 4przedstawia przykładowe krzywe dyspersji dla płyty kompozytowej o układzie warstwθ=[+60 o /–60 o ] 5 i grubości każdej z warstw 1 mm. Dyspersja powoduje deformacje sygnałuwymuszającego, co z kolei pociąga za sobą błędy w szacowaniu prędkości fali. Tradycyjnie dodetekcji uszkodzeń stosowane są sygnały wymuszające w postaci sygnału typu sinusoidalnego,modulowanego za pomocą okna (hanning, trójkąt), które tworzą tzw. paczki [10]. Efektdyspersji można zminimalizować poprzez stosowanie tego typu sygnałów wejściowych owąskim zakresie częstotliwości i przez skupienie energii wejściowej w punkcie na krzywejdyspersji, gdzie dyspersja jest niska, [11]. Na rysunku 4 miejsce takie stanowi zakresczęstotliwości od około 15 kHz do około 50 kHz, gdzie krzywa jest najbardziej płaska.Jednocześnie w zakresie tym propaguje tylko jeden mod, dzięki temu łatwiej analizować sygnałwyjściowy.

328 P. KUDELA, W. OSTACHOWICZw. grafitowe, θ=[+60 o /–60 o ] 5 , vol=25% w. szklane, θ=[0 o /90 o ] 5 , vol=25%t=0.24 mst=0.24 mst=0.36 mst=0.36 mst=0.48 mst=0.48 msRys. 3. Symulacje numeryczne propagującej fali poprzecznej w wielowarstwowych płytachkompozytowych

MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH KOMPOZYTOWYCH 3291.4Prędkość grupowa [km/s]1.210.80.60.40.200 25 50 75 100 125 150 175 200Częstotliwość [kHz]Rys. 4. Przykładowe krzywe dyspersji dla wielowarstwowej płyty kompozytowej4. WNIOSKIMetoda spektralnych elementów skończonych stanowi efektywne i dokładne narzędzie domodelowania zjawiska propagacji fal w płytach kompozytowych. Przeprowadzone symulacjenumeryczne pozwalają obserwować zachowanie propagującej fali i dostarczają cennychinformacji, szczególnie w kontekście detekcji uszkodzeń.W płytach kompozytowych fala propaguje w każdym kierunku z inną prędkością. Dlategoteż w rzeczywistych systemach detekcji uszkodzeń bazujących na czujnikachpiezoelektrycznych preferowane będą układy koncentryczne (np. czujniki rozmieszczone wukładzie zegarowym). Wtedy istnieje możliwość zmierzenia odpowiednich czasów propagacjifali i uwzględnienia kształtu profilu prędkości (w pewnym przybliżeniu).Pokazano, że na przebieg propagującej fali wpływają również czynniki takie jak:objętościowa zawartość włókien wzmacniających, rodzaj zastosowanych włókien, układwarstw. Szczególną uwagę należy zwrócić na dobór odpowiedniej częstotliwości sygnałuwymuszającego, w celu zminimalizowania efektu dyspersji.PODZIĘKOWANIAAutorzy niniejszej pracy pragną wyrazić podziękowania za wsparcie finansoweprowadzonych przez nich badań w ramach projektu ARTIMA (Aircraft Reliability ThroughIntelligent Materials Application – numer referencyjny 502725), prowadzonego w ramach 6Programu Ramowego Unii Europejskiej, jak również pragną podziękować MinisterstwuEdukacji i Nauki za dodatkowe wsparcie finansowe tego projektu w postaci projektu SPUB–ARTIMA).

330 P. KUDELA, W. OSTACHOWICZLITERATURA1. Patera A.T.: A spectral element method for fluid dynamics: Laminar flow in a channelexpansion. Journal of Computational Physics, 54, 1984, p. 468–488.2. Boyd J.P.: Cheybyshev and Fourier: Spectral Methods. Springer 1989.3. Pozrikidis C.: Introduction to Finite and Spectral Element Methods using MATLAB®.Chapman & Hall/CRC, 2005.4. Ochoa O.O., Reddy J.N.: Finite element analysis of composite laminates. Kluwer AcademicPublishers, 1992.5. Vinson J.R., Sierakowski R.L.: Behavior of structures composed of composite materials.Martinus–Nijhoff Inc, 1989.6. http://mathworld.wolfram.com/LobattoQuadrature.html7. Dauksher W., Emery A.F.: Accuracy in modeling the acoustic wave equation with Chebyshevspectral finite elements. Finite Elements in Analysis and Design, 26, 1997, p. 115–128.8. Kleiber M.: Incremental finite element modelling in non–linear solid mechanics. J. Wiley &Sons, New York, 1989.9. Liu G.R., Xi Z.C.: Elastic Waves in Anisotropic Laminates, CRC Press, 2002.10. Doyle J.F.: Wave Propagation in Structures. Springer–Verlag, 1997.11. Wilcox P., Lowe M., Cawley P.: The effect of dispersion on long–range inspection usingultrasonic guided waves. NDT&E Int., 34, 2001, p. 1–9.WAVE PROPAGATION MODELLINGIN COMPOSITE PLATESSummary. This paper presents results of numerical simulation of the propagationof a transverse elastic wave in a composite plate. The problem is solved by the useof proposed algorithm formulated on the base of the Spectral Finite ElementMethod. The influence of orientations of reinforcing fibres and their volumefraction on wave propagation has been investigated. It has been paying attention toapplication of changes in propagating waves on damage detection in structures.