metoda pracy wirtualnej

UKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE
OBLICZANIE PRZEMIESZCZEŃ UKŁADÓW STATYCZNIE
WYZNACZALNYCH Z ZASTOSOWANIEM RÓWNANIA PRACY
WIRTUALNEJ.
1. Projektuję przekrój pręta:
M
max
= 2kN
= 200kNcm
200
1,2 ⋅ ≤ σ
dop
W
kN
σ
dop
= 200MPa
= 20
cm
W ≥ 12
2
Dobieram odpowiedni pręt rurowy:
d = 7,5cm
= 0,075m
g = 0,35cm
= 0,0035
W = 13,43
6 kN
E = 205GPa
= 205⋅10
2
m
4
−8
I = 50,36cm
= 50,36 ⋅10
m
EI = 103,238
A = 7,862 ⋅10
G = 78,84 ⋅10
−4
6
m
2. Obliczenie przemieszczenia punktu
K (składowa pozioma) od
obciążenia zewnętrznego (bez
wpływu N i T).
2
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE
x = R(1
− cosϕ)
y = Rsinϕ
ϕ ∈ 0; π
R = 0,5
1⋅
∆ =
∆ = 0,23m
M ⋅ M
EI
⎡kNm
⋅ m ⎤
⋅ ds ⇒
⎢ m =
2
⎣ kNm
⎥
⎦
[ m]
⎤
Rsinϕ2R(1
− cosϕ)
Rdϕ⎥
⎦
π
1 ⎡
⎤
∆ = ⎢25
+ 0,25 sin (1 cos ) d
EI
∫ ϕ − ϕ ϕ⎥
⎣
0
⎦
π
cosϕ
= t
∫ sinϕ(1
− cosϕ)
dϕ
=
=
sinϕdϕ
= dt
0
π
∫
0
1 ⎡
∆ = ⎢25
+
EI ⎣
π
∫
0
π
∫
0
dt
sinϕ(1
− t)
=
sinϕ
2 π
2
[ t − 0,5t
] = [ cosϕ
− 0,5cos ϕ]
0
π
0
= −3
3. Obliczenie przemieszczenia punktu K (składowa pionowaa) od obciążenia
zewnętrznego łącznie z wpływem N i T.
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®
1)
(sin
1
1)
(sin
2
sin
1
sin
2
)
cos
(1
1
)
cos
(1
2
−
⋅
=
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
N
N
T
T
R
M
R
M
p
p
p
[ ]
[ ] [ ] [ ] 108
0,
0,0000097
0,000025
0,108
0,5
10
1
0,5
1
1,5
0,25
10
1
0,5
0,5
2
1
cos
sin
2
1
)
sin
(1
0,5
2
1
cos
sin
2
1
sin
1,5
2
1
2
2
1
cos
sin
2
1
)
sin
(1
2sin
cos
2cos
1
)
cos
(1
)
sin
(1
1
10
1
sin
1
1
0
1
)
cos
(1
0,25
10
1
)
sin
(1
2
1
5
2
1
sin
2
0
1
)
cos
(1
2
5
2
1
1
1
1
0
0
0
2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
3
2
0
0
0
=
+
+
=
+
+
+
⋅
+
∆ =
=
−
=
+
−
−
=
−
=
+
−
=
=
−
=
+
−
−
+
=
−
+
−
=
+
−
=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
∆ =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⋅
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅
+
⋅
⋅
∆ =
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⇒
⋅
+
⋅
+
⋅
∆ =
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕκ
ϕ
ϕ
κ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
EA
GA
EI
ds
d
d
d
d
d
d
d
EA
d
GA
d
EI
d
R
EA
d
R
GA
d
R
EI
m
m
kN
kN
m
kN
kN
m
kNm
m
kNm
ds
EA
N
N
ds
GA
T
T
ds
EI
M
M

UKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE
4. Obliczenie obrotu przekroju od obciążenia zewnętrznego (bez wpływu N i T).
1⋅ϕ
=
π
∫
0
M ⋅ M
EI
1 ⎡
ϕ = ⎢1
⋅ 2 ⋅ 5 +
EI ⎣
1 ⎡ ⎛
ϕ = ⎢10
+ 0,5⎜
EI
⎢⎣
⎝
1
ϕ =
EI
⎡ kNm ⋅ ⎤
⋅ ds ⇒ ⎢ m =
2
kNm
⎥
⎣ ⎦
π
∫
0
π
∫
0
⎤
2
2R
(1 − cosϕ)
dϕ⎥
⎦
1dϕ
−
⎞⎤
cosϕdϕ
⎟
⎥
⎠⎥⎦
[] − = [ rad]
π 1
[ 10 + 0,5( π − sinϕ
)] = (10 + 0,5π
) = 0,112rad
0
π
∫
0
EI
5. Obliczenie wzajemnego przemieszczenia punktów R i S od zmiany temperatury.
t
t
t
d
g
m
t
= −10
= 30
= 5
o
g
o
o
h = 7,5cm
= 0,075m
α = 1,2 ⋅10
tg
+ td
to
=
2
∆t
= t − t
d
−5
− t
m
= 40
= 5
o
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®

UKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE
1⋅
∆RS
=
∆RS
=
π
∫
R
∆RS
= 0,0016
0
π
∫
0
α
t∆t
M ds +
h
2
sinϕ0,0064dϕ
+
π
∫
0
π
∫
0
sinϕdϕ
+ 0,00003
0
⎡ 1⋅
C ⎤
Nα
tt0ds
⇒ ⎢m
⋅ m =
0 ⎥
⎣ C ⋅ m ⎦
Rsinϕ0,00006dϕ
sinϕdϕ
[ m]
∆RS
= 0,0016 ⋅ 2 + 0,00003⋅
2 = 0,00314m
6. Obliczenie obrotu cięciwy RS od osiadania podpór.
π
∫
0
π
∫
0
1⋅
ϕRS
+
∑
R∆ = 0 ⇒
1⋅
ϕRS
− 1⋅
(0,006) = 0
ϕRS
= 0,006rad
[ rad]
Politechnika Poznańska Adam Łodygowski ®