Mechanika soustavy mnoha částic

Lekce 2
Mechanika soustavy mnoha
částic
Osnova
1. Typy mnohočásticových soustav
2. Stupně volnosti
3. Pohybové rovnice
4. Interakce
5. Interakční modely
6. Interakce s okolím
7. Zákon zachování energie
8. Hamiltonova funkce
9. Další zákony zachování
10. Příklady mnohočásticových soustav
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Typy mnohočásticových soustav
Částice je objekt, jehož rozměry můžeme v rámci daného modelu
(alespoň do jisté míry) zanedbat.
„do jisté míry“ znamená, že částice může mít vnitřní strukturu
Klasifikace částic podle vnitřní struktury
bezstrukturní:
tuhé lineární:
tuhé nelineární:
flexibilní lineární:
flexibilní nelineární:
1, r …, r N
1
r , Θ1, ϕ1; …; r N
, Θ N
, ϕ N
1
r , Ω1; …; r N
, Ω N
Ω
K
= ( αK , βK , γ
K
)… Eulerovy úhly
( 1) ( 1)
1
r , Θ1, ϕ1, q1
,…, q v
;…
( ) ( )
Ω 1 1
r , , q ,…, q v
;…
1 1 1
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Stupně volnosti
Předpokládejme, že se částice skládá z N bezstrukturních jednotek (např. molekula =
částice, která se skládá z N atomů = bezstrukturní jednotky).
K popisu stavu takové částice potřebujeme 3N souřadnic o 3N přidružených hybností
(viz lekce 1).
[souřadnice, přidružená hybnost] = stupeň volnosti
Klasifikace stupňů volnosti
translační - 3
rotační - 2 (lineární částice)
- 3 (nelineární částice)
vnitřní (vibrační) - 3N - 5 (lineární částice)
- 3N - 6 (nelineární částice)
Fixace různých stupňů volnosti odpovídá různým úrovním přesnosti popisu systému (modelu).
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Pohybové rovnice (bezstrukturní částice)
Newtonovy pohybové rovnice
m ɺɺ
1 1
r = F
1( 1
r , ,
… r N
) ɺ
= ɺ =
1
r p1 / m1 , p1 F1 (
1
r ,…, r N
)
… ⇔ …
m ɺɺ r = F
( r ,…, r ) ɺ = ɺ =
r p / m , p F ( r ,…, r )
N N N 1 N
N N N N N 1 N
Matematicky se jedná o soustavu
- 3N vázaných nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu
- 6N vázaných nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu
Počáteční podmínky
r ( t = t ) = r , ɺ r ( t = t ) = v
K 0 0K K 0 0K
r ( t = t ) = r , p ( t = t ) = p
K 0 0K K 0 0K
( K = 1, …, N )
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Síly
Interakce
Interakce obvykle reprezentujeme silami F1, …, F N
, které závisejí zpravidla
na polohách částic
F = F ( r ,…, r ),
K K 1 N
někdy ale i na rychlostech/hybnostech (Lorentzova síla)
F = F ( r ,…, r ; p ,…, p ).
K K 1 N 1 N
Potenciál
Skalární funkce
V = V ( r ,…, r N
)
1
F
K
splňující ∀ K = 1, …,
N
∂V ⎡ ∂V ∂V ∂V
⎤
= −∇KV
≡ − ≡ − ⎢ , , ⎥
∂rK ⎣∂xK ∂yK ∂zK
⎦
Příklad – elektrostatický potenciál
N −1
N
⎡ 1 Q ⎤
IQJ
V (
1
r ,…, rK
) = ∑ ∑ ⎢ ⎥
I = 1 J = I + 1 ⎢⎣
4πε ο
rI − rJ
⎥⎦
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Interakční modely
Předpoklad párové aditivity interakcí
N −1 N −
= ∑ ∑
N 1 N
…
= ∑ ∑
−
( IJ )
1 N 2 I J 2 I J
I = 1 J = I + 1 I = 1 J = I + 1
V ( r , , r ) v ( r , r ) v ( r r )
Modely párových potenciálů v 2
- empirické (experiment)
- semiempirické (experiment+teorie)
- teoretické (jen teorie)
Párově neaditivní interakce
N −1 N − −
∑ ∑
N 2 N 1 N
…
∑ ∑ ∑
( IJ ) ( IJK )
1 N 2 I J 3 I J K
I = 1 J = I + 1 I = 1 J = I + 1 K = J + 1
V ( r , , r ) = v ( r , r ) + v ( r , r , r ) + …
Neaditivní interakční členy mají velmi komplikovanou strukturu, proto se vždy omezujeme jen na v 3
!
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Interakce s okolím
Vlivy okolí
- působení částic, které nejsou do modelu explicitně zahrnuty
- stěny nádoby
- interakce s termostatem
Zahrnutí
F ( r ,…, r ; q ,…, q ) = F ( r ,…, r ) + F ( r ,…, r ; q ,…, q )
1 N 1 α int 1 N ext 1 N 1
α
vzájemná interakce
interakce s okolím
částic
V ( r ,…, r ; q ,…, q ) = V ( r ,…, r ) + V ( r ,…, r ; q ,…, q )
1 N 1 α int 1 N ext 1 N 1
α
Příklad – Tuhá kulová nádoba
N
(1)
V ( r ,…, r ; R ) = ∑V ( r , R ), kde
ext 1 N 0 ext K 0
K = 1
(1)
V ( r , R )
ext K 0
0 rK
≤ R0
= +∞ r > R
K
0
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Zákon zachování energie
( )
Nezávisí–li potenciál explicitně na čase ∂V
/ ∂ t = 0 , zachovává se celková energie
N 2
P
K
E ≡ ∑ + V (
1
r ,…, rK
; q1, …, q α
)
K = 1 2mK
a platí tedy
i
dE
≡ E = 0,
dt
dosadíme-li za p = p t a r = r t řešení pohybových rovnic.
Κ
Κ
( )
Κ
Κ
( )
Energie hraje v mnohočásticových soustavách ze všech zachovávajících se veličin (integrály pohybu)
nejdůležitější roli!
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Hamiltonova funkce
p
H = H ( p ,…, p , r ,…, r , q ,…, q ) = + V ( r ,…, r ; q ,…, q )
N 2
K
1 N 1 N 1 α ∑
1 N 1
K = 1 2mK
α
Zákon zachování energie
⎛ ∂H ⎞
dH
i
⎜ ⎟ = 0 ⇒ ≡ H = 0
⎝ ∂t
⎠
dt
p , r
K
K
Hamiltonovy pohybové rovnice
Vzhledem k tomu, že platí
∂H
pK
∂H
∂V
= , =
∂pK
mK
∂rK ∂rK
můžeme Newtonovy pohybové rovnice přepsat do tvaru
i
r
K
∂H
= , ∂ p
K
i
p
K
∂H
= − . ∂ r
K
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Zákon zachování hybnosti
Zákon zachování momentu hybnosti
Zákon zachování hmotnosti a náboje
Zajímavost
Další zákony zachování
d
dt
d
dt
∑
K = 1
Zákony zachování souvisejí s prostoročasovými symetriemi (teorém E. Noetherové)
- energie – homogenita času
- hybnost – homogenita prostoru
- moment hybnosti - izotropie prostoru
N
N
∑
K = 1
d
d
N
∑
dt K = 1
N
∑
dt K = 1
K
p
K
= 0
( r × p ) = 0
K
⎛dmK
⎞
mK
= 0 ⎜ = 0 ∀ K = 1, …,
N ⎟
⎝ dt
⎠
⎛dQK
⎞
QK
= 0 ⎜ = 0 ∀ K = 1, …,
N ⎟
⎝ dt
⎠
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Příklady mnohočásticových systémů
Hvězdokupa
N −1
N ⎛ mI
mJ
V = ∑ ∑ −κ
⎜
I = 1 J = I + 1⎝
rI − rJ
⎞
⎟
⎠
Izolovaná molekula
V = V 1, r , r N
( … )
Obecně velmi komplikovaná funkce souřadnic počítaná metodami kvantové chemie.
Atomární plyn
V = Vint 1
r r + Vext 1
r r ; q1
q α
( ,…, ) ( ,…, ,…,
)
N
N
N −1 N N −2 N −1 N −2
⎛
⎞
V ( r ,…, rN ) = ∑ ∑ v ( rI − rJ ) + ⎜ ∑ ∑ ∑ v ( rI , rJ , rK
) ⎟
⎠
int 1 2 3
I = 1 J = I + 1 ⎝ I = 1 J = I + 1 K = J + 1
N
V … ; … = ∑
1
ext 1
r , , rN
q1, , qα
Vext rI
; q1, …,
qα
I = 1
( )
( )
( )
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic

Doporučená literatura
J. KVASNICA, A. HAVRÁNEK, P. LUKÁČ, B. SPRUŠIL
Mechanika
Academia, Praha 1988
KFY/PMFCH
Lekce 2 – Mechanika soustavy mnoha částic