Veza naprezanja i deformacija

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 1 -
4. VEZA IZMEðU NAPREZANJA I DEFORMACIJA
S a d r ž a j:
4.1 Linearizacija općeg zakona ponašanja materijala
4.2 Tenzor koeficijenata elastičnosti
4.3 Heksagonalna simetrija (uslojeni materijal)
4.4 Laméove konstante elastičnosti i opći Hookov zakon
4.5 Fizikalno značenje modula elastičnosti
4.5.1 Jednoosno naprezanje
4.5.2 Čisti posmik
4.5.3 Hidrostatički tlak
4.5.4 Zakon ponašanja u termoelastičnosti
4.6 Potencijalna energija
4.7 Duhamel – Neumanove jednadžbe
4.8 Primjeri

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 2 -
4.1 Linearizacija općeg zakona ponašanja materijala
Općeniti zakon ponašanja materijala se izražava kao funkcionalna veza izmeñu tenzora
deformacija i tenzora naprezanja:
σ = S( ε)
(4.1)
Svaka funkcijska ovisnost se dade izraziti beskonačnim redom potencija (Mac Laurin,
Taylor), te nakon odbacivanja članova s višim redom derivacija, preostaju prva dva člana
beskonačnog reda kod čega je prvi konstantan i opisuje referentno naprezanje, a drugi daje
linearnu vezu izmeñu deformacija i pripadnog naprezanja.
Na ovaj način općeniti zakon ponašanja je lineariziran, a materijal koji se ponaša po ovom
zakonu često se naziva Hookeov materijal.
Teorija temeljena na Hookeovom zakonu je linearna teorija elastičnosti, a meñuovisnost
deformacija i naprezanja se izražava izrazom:
gdje je:
σij – tenzor naprezanja
0
ij = σij
+ Cijkl εkl
σij 0 – tenzor referentnog naprezanja
Cijkl – tenzor koeficijenata elastičnosti
εkl – tenzor deformacija
i,j,k,l – indeksi koordinatnih smjerova
σ (4.2)
U daljnjem tekstu su nabrojena osnovna svojstva tenzora Cijkl, kao i tenzori koeficijenata
elastičnosti za neke vrste materijala od kojih je posebno istaknut materijal koji zadovoljava
heksagonalni uvjet simetrije.
4.2 Tenzor koeficijenata elastičnosti
Linerano elastično ponašanje materijala opisano je općenito tenzorom koeficijenata
elastičnosti Cijkl i u trodimenzionalnom prostoru ima 81 komponentu.
Meñutim, dokazano je da uvjeti ravnoteže dovode do simetričnosti tenzora naprezanja što ima
za posljedicu da tenzor koeficijenata elastičnosti mora biti simetričan po prva dva indeksa:
Cijkl = Cjikl (4.3)
Takoñer, simetričnost tenzora deformacija εij = εji povlači simetričnost tenzora koeficijenata
elastičnosti po preostala dva indeksa:
Cijkl = Cijlk (4.4)
Činjenica da rotacija krutog tijela ne dovodi do promjene naprezanja postavlja uvjet
simetričnosti po indeksima k,l tenzora koeficijenata elastičnosti, no kako je taj uvjet već prije
zadovoljen vrijedi i inverzan zaključak.

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 3 -
Simetričan tenzor koeficijenata elastičnosti svaki antisimetrični tenzor deformacija će prevesti
u nultenzor, a nesimetrični tenzor će “simetrirati”.
Npr:
σ = ε ; k,
l = 1, 2, 3
(4.5)
13
C13kl kl
ili uz izjednačavanje komponenata simetrično po indeksima k,l:
13
Slijedi:
1311
11
1322
C1312 = C1321 ; C1313 = C1331 ; C1323 = C1332 (4.6)
22
1333
33
1312
( ε + ε ) + C ( ε + ε ) + C ( ε + )
σ = C ε + C ε + C ε + C
ε (4.7)
12
Isti rezultat se dobiva računajući sa simetričnim tenzorom deformacija εij iz čega se može
zaključiti da se može računati s gradijentom polja pomaka bez prethodnog simetriranja, a
saznanje da je tenzor deformacija simetričan koristi samo utoliko da se postavi uvjet na tenzor
koeficijenata elastičnosti Cijkl, da mora biti simetričan po drugom paru indeksa (k, l).
Tenzor Cijkl koji opisuje elastična svojstva realnog materijala mora zadovoljiti uvjet pozitivne
definitnosti:
21
1313
Cijkl ij kl
ij
kl
13
31
1323
ε ε > 0;
∀ε
≠ 0 , ∀ε
≠ 0
(4.8)
gdje su εij, εkl proizvoljni tenzori drugog reda različiti od nultenzora, što podrazumijeva da je
determinanta njihove matrice različita od nule.
Navedena svojstva simetričnosti reduciraju broj različitih komponenata tenzora Cijkl s 81 na
36 komponenata.
Do daljnjeg pojednostavljenja tenzora Cijkl dolazi se na temelju analize termodinamičkih
procesa na elastičnom kontinuumu.
Slobodna energija u jedinici termoelastičnog volumena uz prethodnu linearizaciju je opisana
funkcijom:
gdje je:
1 ( , T)
= C ε ε − β ε Θ + F ( Θ)
εij ijkl ij kl ij ij 0
F (4.9)
2
Θ = T−T0 - razlika temperature izmeñu početnog i promatranog trenutka
F0 (Θ) - suma svih članova koji ovise samo o temperaturi
βij - tenzor temperaturnih svojstava materijala
εij, εkl
Cijkl
- tenzor deformacija
- tenzor koeficijenata elastičnosti
F (εij, T) - termodinamička funkcija - slobodna energija
Za slučaj da se tijelo nalazi u sredini s konstantnom temperaturom, termodinamička funkcija
postaje:
1
( ij,
T = const)
= Cijkl
εij
kl
F ε ε
(4.10)
2
23
32

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 4 -
i predstavlja izvršeni rad uslijed deformacije elastičnog tijela pri izotermičkim uvjetima.
⎛ F ⎞
dF ⎜
∂
= ⎟
⎜ ⎟
= Cijkl
εkl
dε
⎝
∂εij
⎠
T=
const
Očigledno da je dF totalni diferencijal funkcije F pa mora biti zadovoljena relacija:
ij
2
∂ F
∂ε
∂ε
kl
= C
ijkl
kl
2
∂ F
=
∂ε
∂ε
ij
= C
ij
klij
(4.11)
(4.12)
Posljednja jednadžba daje uvjet simetrije po parovima indeksa (i,j) i (k,l) što konačno dovodi
do tenzora koeficijenata elastičnosti s 21 različitom komponentom kojima je opisano elastično
linearno ponašanje općenito anizotropnog materijala.
Promatra se potpuni tenzor koeficijenata elatičnosti zbog praćenja redoslijeda indeksa pri
transformaciji koordinatnog sustava.
C ε = σ (4.13)
ij
ijkl
Tenzor koeficijenata elastičnosti u ortonormiranom koordinatnom sustavu, može se zapisati u
shemi:
kl
⎡C1111
C1211
C1311
C2111
C2211
C2311
C3111
C3211
C3311
⎤
⎢C
⎥
1112 C1212
C1312
C2112
C2212
C2312
C3112
C3212
C3312
⎢
⎥
⎢C1113
C1213
C1313
C2113
C2213
C2313
C3113
C3213
C3313
⎥
⎢C
⎥
1121 C1221
C1321
C2121
C2221
C2321
C3121
C3221
C3321
⎢
⎥
C ijkl = ⎢C1122
C1222
C1322
C2122
C2222
C2322
C3122
C3222
C3322
⎥ (4.14)
⎢C
⎥
1123 C1223
C1323
C2123
C2223
C2323
C3123
C3223
C3323
⎢
⎥
⎢C1131
C1231
C1331
C2131
C2231
C2331
C3131
C3231
C3331
⎥
⎢C
⎥
1132 C1232
C1332
C2132
C2232
C2332
C3132
C3232
C3332
⎢
⎥
⎣C1133
C1233
C1333
C2133
C2233
C2333
C3133
C3233
C3333
⎦
Tenzori se iz jednog u drugi koordinatni sustav transformiraju po zakonu:
gdje su:
= n
= n
Cijkl, Cij – komponente transformiranog tenzora
C
C
ijkl
ij
iα
n
iα
n
jβ
n
jβ
kγ
C
n
αβ
lδ
C
αβγδ
Cαβγδ, Cαβ – komponente tenzora koje se transformiraju
(4.15)
niα, njβ, nkγ, nlδ – kosinusi kutova što ih zatvaraju koordinatne osi osnovnog i transformiranog
koordinatnog sustava
i, j, k, l – indeksi transformiranog tenzora
α, β, γ, δ – indeksi osnovnog tenzora

4.3 Heksagonalna simetrija (uslojeni materijal)
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 5 -
Crtež 4.1 Model uslojenog materijala
Odabrani model materijala ima istaknuta svojstva u dva meñusobno okomita smjera i to u
ravnini x1,x3 je izotropan što ima za posljedicu da se komponente tenzora ne mijenjaju pri
zaokretanju koordinatnog sustava za proizvoljni kut ϑ oko koordinatne osi x2.
Po pravcu koordinatne osi x2 materijal ima različita svojstva od onih u ravninama uslojenosti,
meñutim komponente tenzora se ne mijenjaju ukoliko se koordinatni sustav zarotira oko osi x1 ili
osi x3 za kut ϑ = nπ, n=1, 2, …, N.
Ova konstatacija se temelji na činjenici da svojstva materijala ostaju ista bez obzira u kojem
koordinatnom sustavu se promatrali, ali tenzor koeficijenata elastičnosti se mijenja promjenom
koordinatnog sustava. Meñutim, u konkretnom slučaju pravac na kojem leži koordinatna os
odreñuje jedno istaknuto svojstvo materijala, te da bi se dobilo to svojstvo i u zarotiranom
sustavu potrebno je da se zarotirana os x2 poklopi s prvobitnim pravcem osi x2, a to ima za
posljedicu da tenzor koeficijenata elastičnosti ostaje nepromijenjen. Koeficijenti transformacije
koordinatnih sustava, a takoñer i komponenata tenzora izraženih u tom koordinatnom sustavu za
slučaj rotacije oko ishodišta ortonormiranog koordinatnog sustava, su kosinusi kutova što ih
zatvaraju koordinatne osi osnovnog i transformiranog koordinatnog sustava.
xi xα x1 x2 x3
x 1 n11 n12 n13
x 2 n21 n22 n23
x 3 n31 n32 n33
(4.16)
Ako se koordinatnim osima lokalnog sustava pridruže indeksi α, β, γ, δ = 1, 2, 3, a osima
transformiranog sustava i, j, k, l = 1, 2, 3, tada se veza izmeñu indeksa i-α, j-β, γ-k, δ-l, itd.
izražava vezama u (4.16).

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 6 -
Za ortotropan materijal u koordinatnom sustavu čije se osi poklapaju s istaknutim svojstvima
materijala, rotacijom koordinatnog sustava oko dvije koordinatne osi za kut ϑ = ± nπ; n=1,2,…,N
tenzor koeficijenata elastičnosti se pojednostavljuje:
⎡C1111
0 0 0 C2211
0 0 0 C3311
⎤
⎢ 0 C
⎥
1212 0 C2112
0 0 0 0 0
⎢
⎥
⎢ 0 0 C1313
0 0 0 C3113
0 0 ⎥
⎢ 0 C
⎥
1221 0 C2121
0 0 0 0 0
⎢
⎥
C ijkl = ⎢C1122
0 0 0 C2222
0 0 0 C3322
⎥ (4.17)
⎢ 0 0 0 0 0 C
⎥
2323 0 C3223
0
⎢
⎥
⎢ 0 0 C1331
0 0 0 C3131
0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 0 C
⎥
2332 0 C3232
0
⎢
⎥
⎣C1133
0 0 0 C2233
0 0 0 C3333
⎦
Na crtežu 4.1 shematski je prikazan materijal koji zadovoljava heksagonalni uvjet simetrije
oko koordinatne osi x2. Takav materijal je izotropan u ravnini x1,x3, a u smjeru koordinatne osi
x2 ima različita svojstva od onih u preostala dva smjera. Rotacijom koordinatnog sustava oko osi
x2 za proizvoljni kut ϑ komponente tenzora koeficijenata elastičnosti moraju ostati
nepromijenjene.
Dovoljno je poći od tenzora koeficijenata elastičnosti za ortotropan materijal u lokalnom
koordinatnom sustavu (4.17) (istaknuta svojstva materijala se podudaraju s koordinatnim osima).
Za heksagonalnu simetriju oko osi x2, koeficijenti transformacije su:
xi xα x1 x2 x3
x 1 n11 = cosϑ n12 = 0 n13 = sinϑ
x 2 n21 = 0 n22 = 1 n23 = 0
x 3 n31 = −sinϑ n32 = 0 n33 = cosϑ
i,α=1,2,3 (4.18)
Tablica (4.18) odreñuje vrijednost projekcija ortova lokalnog koordinatnog sustava x1,x2,x3 na
koordinatne osi globalnog sustava x 1 ,x 2 ,x 3 (crtež 4.2).

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 7 -
Crtež 4.2.
Obzirom da su koordinatni sustavi ortonormirani, komponente tenzora su jednake i
transformiraju se iz jednog u drugi koordinatni sustav kao i koordinatni vektori (crtež 4.2).
Koristeći zakon transformiranja tenzora (4.15) i koeficijente transformacije (4.18), mogu se
izračunati komponente tenzora (4.17) u koordinatnom sustavu zarotiranom za proizvoljni kut ϑ
oko koordinatne osi x2.
C
Npr. za komponentu C 1111 :
1111
= n
4
11
+ n
+ n
C
2
11
2
12
1111
n
n
2
13
2
13
+ n
C
C
2
11
1313
3232
n
2
12
+ n
+ n
C
2
11
2
11
1122
n
n
2
13
2
13
+ n
C
C
1331
2
11
3311
n
2
13
+ n
+ n
C
2
11
2
13
1133
n
n
2
12
2
12
+ n
C
C
2
11
2112
3322
n
2
12
+ n
+ n
C
2
11
4
13
1212
n
2
12
C
C
3333
+ n
Uvodeći u (4.19) koeficijente transformacije iz (4.18), dobiva se:
1111
4
1111
2
2
2
11
2121
n
2
12
+ n
C
2
12
1221
n
2
13
+
C
3223
4
( C1133
+ C1313
+ C1331
+ C3113
+ C3131
+ C3311)
+ sin C3333
+
(4.19)
C = cos ϑ C + sin ϑcos
ϑ
ϑ (4.20)
Iz uvjeta simetrije tenzora koeficijenata elastičnosti (4.3), (4.4) i (4.12) proizlazi da sljedeći
koeficijenti moraju meñusobno biti jednaki:
C
C
1133
1313
= C
= C
3311
1331
= C
3113
= C
3131
(4.21)
Osim toga, obzirom da je materijal izotropan u ravnini x1,x3, takoñer moraju biti meñusobno
jednaki koeficijenti:
C C = (4.22)
1111
3333
Jednadžba (4.20) uz relacije (4.21) i (4.22) postaje:

1111
ili napisana na drugi način:
1111
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 8 -
4 4
2 2
( sin ϑ + cos ϑ)
C + 2sin
ϑcos
ϑ ( C 2C
)
C =
+
1111
1133
1313
2 2 2
2 2
( sin ϑ + cos ϑ)
C + 2sin
ϑcos
ϑ ( − C + C C )
C = +
(4.23)
1111
Imajući u vidu fizikalni smisao transformacije, nije teško zaključiti iz (4.23) da je C 1111 =
C1111 što ima za posljedicu da se drugi pribrojnik u jednadžbi (4.23) mora poništiti.
Kut rotacije ϑ je proizvoljan pa izraz u zagradama mora biti jednak nuli što daje sljedeću vezu
meñu komponentama:
1111
1133
1313
1313 3131 1
C = C = ( C1111
− C1133
)
(4.24)
2
Ispunjavajući uvjet heksagonalne simetrije oko koordinatne osi x1 i osi x3, tenzor koeficijenata
elastičnosti se pojednostavljuje i opisuje svojstva izotropnog materijala:
1
2
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 C 1111 0 0 0 C 1122 0 0 0 C 1122
2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 0 0
3 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0
1 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 0 0
2 C 1122 0 0 0 C 1111 0 0 0 C 1122
3 0 0 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0
1 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0
2 0 0 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0
3 C 1122 0 0 0 C 1122 0 0 0 C 1111
ili u indeksnom zapisu:
C = α δ δ + β δ δ + γ δ δ
gdje su α, β i γ poznate konstante za odreñeni materijal.
ijkl
4.4 Laméove konstante elastičnosti i opći Hookov zakon
ij
kl
ik
jl
il
jk
(4.25)
Uvodeći Lamé-ove konstante λ = C1122 i μ = 1/2(C1111−C1122) u (4.25), dobiva se tenzor
koeficijenata elastičnosti sa samo dvije neovisne komponente jer je i C1111 = λ + 2μ , pa veza
izmeñu naprezanja i deformacija ima sljedeći oblik:

⎧σ
⎪
⎪σ
⎪
σ
⎪
⎪σ
⎪
⎨σ
⎪
⎪σ
⎪σ
⎪
⎪σ
⎪
⎪⎩
σ
11
21
31
12
22
32
13
23
33
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
=
⎡λ
+ 2μ
⎢
⎢ 0
⎢
0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ λ
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
0
⎢ 0
⎢
⎢⎣
λ
0
μ
0
μ
0
0
0
0
0
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 9 -
0
0
μ
0
0
0
μ
0
0
0
μ
0
μ
0
0
0
0
0
λ
0
0
0
λ +
0
0
0
λ
2μ
0
0
0
0
0
μ
0
μ
0
0
0
μ
0
0
0
μ
0
0
0
0
0
0
0
μ
0
μ
0
λ ⎤ ⎧ε
⎥ ⎪
0 ⎥ ⎪ε
0
⎥ ⎪
ε
⎥ ⎪
0 ⎥ ⎪ε
⎥ ⎪
λ ⎥ ⋅ ⎨ε
⎥ ⎪
0 ⎥ ⎪ε
⎥
0 ⎪
⎥
ε
⎪
0 ⎥ ⎪ε
⎥ ⎪
λ + 2μ⎥⎦
⎪⎩
ε
11
21
31
12
22
32
13
23
33
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
(4.26)
Analizirajući jednoosno stanje naprezanja, npr. u koordinatnom smjeru x1, sve komponente
tenzora naprezanja se poništavaju osim σ11, a ono je uz (4.25) i (4.26):
( λ + μ)
ε11
+ λε22
+ 33
σ 11 = 2 λε
(4.27a)
Takoñer su mješovite komponente tenzora deformacije jednake nuli, pa se mogu napisati još
samo dvije jednadžbe za smjerove x2 i x3:
σ
σ
22
33
= 0 =
= 0 =
( λ + 2μ)
ε22
+ λε11
+ λε33
( λ + 2μ)
ε33
+ λε11
+ λε22
Iz (4.27a) i (4.27b) se mogu izraziti komponente deformacija:
( ) ( ) 11
33 22
11
3λ
+ 2μ
2 λ + μ
(4.27b)
11
λ + μ
λ
ε = σ ; ε = ε = − ε
(4.28)
μ
Ako se u izrazima (4.28) koeficijent uz σ11 zamijeni s 1/E, a uz ε11 s ν, dobiva se veza modula
elastičnosti E i Poissonovog koeficijenta ν s Laméovim konstantama μ i λ:
ili:
( 3λ
+ 2μ)
μ
λ
E =
; ν =
(4.29)
λ + μ
2
λ =
ν E
;
μ =
( λ + μ)
( 1+
ν)
( 1−
2ν)
2 ( 1+
ν)
E
(4.30)
Za realan materijal Laméove konstante su pozitivne iz čega slijede uvjeti za veličinu
Poissonovog koeficijenta:
iz:
λ
ν = → ν > 0 , a iz
2
( λ + μ)
μ =
2
Da bi λ bio pozitivan u (4.30) mora biti zadovoljena relacija:
E
( 1+
ν)
→
ν < 1

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 10 -
1
1 − 2ν
> 0 → 0 < ν <
(4.31)
2
Poissonov koeficijent veličine 0.5 odgovara idealno nestišljivoj tekućini.
Uvažavajući svojstvo simetričnosti tenzora naprezanja i tenzora deformacija, šest je
komponenata tenzora naprezanja izraženo preko tenzora deformacija kod čega je γ ij = εij
+ ε ji .
Iz izraza (4.26), uz zamjenu Lamé-ovih konstanti elastičnim konstantama materijala E i ν,
dobiva se opći Hookov zakon:
⎧σ
⎪
⎪σ
⎪
⎪
⎪σ
⎨
⎪σ
⎪
⎪σ
⎪
⎪
⎩σ
11
22
33
12
23
31
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
ili u indeksnom zapisu:
⎧ε
⎪
⎪ε
⎪
⎪
⎪ε
⎨
⎪γ
⎪
⎪
γ
⎪
⎪
⎩γ
11
22
33
12
23
31
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
⎡ 1−
ν
⎢
⎢ ν
⎢
⎢
⎢ ν
E
⎢
( 1+
ν)
( 1−
2ν)
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
0
⎢
⎢ 0
⎣
1
E
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
ili u indeksnom zapisu:
1
− ν
− ν
0
0
0
− ν
1
− ν
0
0
0
ij
ν
1−
ν
ν
0
0
0
kk
ij
ν
ν
1−
ν
0
0
0
σ = λ ε δ + 2 μ e ;
− ν
− ν
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
2ν
2
ij
2(
1+
ν)
1 ⎛ λ ⎞
εij = ⎜σij
− σkk
δij
⎟
2μ
⎝ 3λ
+ 2μ
⎠
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1−
2ν
2
0
2(
1+
ν)
0 ⎤ ⎧ε
⎥ ⎪
0 ⎥ ⎪
⎥
ε
⎪
⎥
0
⎪
⎥ ⎪ε
⎥ ⋅ ⎨
0 ⎥ ⎪γ
⎥ ⎪
⎥
0 ⎪
⎥ γ
⎪
1−
2ν
⎥ ⎪
⎥
2
⎪
⎦ ⎩γ
11
22
33
12
23
31
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
0 ⎤ ⎧σ11
⎫
⎥ ⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪σ
⎪
22
⎥ ⎪ ⎪
⎥ ⎪ ⎪
0 ⎥ ⎪σ33
⎪
⎥ ⋅ ⎨ ⎬
0 ⎥ ⎪σ12
⎪
⎥ ⎪ ⎪
⎥
0
⎪
σ
⎪
⎥ ⎪ 23⎪
⎥ ⎪ ⎪
2(
1+
ν)
⎥⎦
⎪⎩
σ31⎪⎭
(4.32)
(4.33)
Budući da jednadžbe (4.32), odnosno jednadžbe (4.33), ne sadrže nikakve parcijalne
derivacije, oblik tih jednadžbi se pri transformaciji iz Descartesovog koordinatnog sustava u
proizvoljni ortogonalni koordinatni sustav ne mijenja.
U skladu s tim, za cilindrični koordinatni sustav vrijedi:

σ
σ
σ
τ
r
ϕ
z
rϕ
=
=
=
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 11 -
( 1+
ν)(
1−
2ν)
[ ( 1−
ν)
ε + ν ( ε + ε ) ]
E [ ( 1−
ν)
εϕ
+ ν ( εz
+ εr
) ]
( 1+
ν)(
1−
2ν)
( 1+
ν)(
1−
2ν)
= G γ
rϕ
E
E
,
τ
ϕz
[ ( 1−
ν)
ε + ν ( ε + ε ) ]
= G γ
ϕz
r
z
,
τ
ϕ
r
zr
z
ϕ
= G γ
zr
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(4.34)
dok je eksplicitni oblik jednadžbi (4.33) analogan jednadžbama u pravokutnom koordinatnom
susatvu i za cilindrični koordinatni sustav glasi:
ε
ε
ε
γ
ϕ
=
rϕ
=
=
=
[ σ − ν(
σ + σ ) ]
[ σ − ν(
σ + σ ) ]
[ σ − ν(
σ + σ ) ]
τ
ϕ
rϕ
γ
ϕ
ϕz
=
ϕ
τ
ϕz
4.5 Fizikalno značenje modula elastičnosti
r
z
1
E
1
E
1
E
1
G
r
z
,
r
z
z
1
G
r
,
γ
zr
=
1
G
τ
zr
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(4.35)
Kod slučaja izotropije, prethodno definiran modul elastičnosti ima jednostavno fizikalno
značenje. Na crtežu 4.3 prikazan je ''radni'' dijagram jednoosnog vlačnog naprezanja za tri
različite vrste materijala. Fizikalne karakteristike materijala E, G ili ν odreñuju se praćenjem
pojedinih stanja naprezanja, crtež 4.4, korištenjem standardne laboratorijske tehnike.
σ
Čelik
Lijevano željezo
Aluminij
Crtež 4.3 σ−ε dijagrami za čelik, lijevano željezo i aluminij
ε

4.5.1 Jednoosno naprezanje
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 12 -
Razmotrimo test jednoosnog naprezanja na uzorku podvrgnutom vlaku u smjeru osi x (vidi
crtež 4.4). Stanje naprezanja potpuno je opisano sljedećim tenzorom naprezanja:
σ
ij
⎡σ
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
1+
ν ν
Koristeći relaciju ε ij = σij
− σkkδij
, dobiva se pripadajući tenzor deformacija:
E E
σ
σ
F
F
ε
ij
⎡σ
⎢E
⎢
= ⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎣
τ
0
0
0
0
ν
− σ
E
0
τ
τ
Mt
τ
Mt
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
0
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
ν ⎥
− σ⎥
E ⎦
Crtež 4.4 Posebni slučajevi stanja naprezanja
Zbog toga je E = σ / εx
i predstavlja tangens kuta odnosno nagib tangente na krivulju
naprezanje-deformacija, dok je ν = −εy
/ εx
= −εz
/ εx
odnos poprečne i uzdužne deformacije.
Standardni sustavi mjerenja lako mogu sakupiti podatke o aksijalnom naprezanju i poprečnoj ili
uzdužnoj deformaciji, i preko ovog jednog testa odrediti obje konstante za materijal koji nas
zanima.
4.5.2 Čisti posmik
Ako je tanki puni cilindar podvrgnut torzijskom opterećenju (kako je prikazano na crtežu 4.4),
stanje naprezanja na površini cilindričnog uzorka je odreñeno tenzorom naprezanja:
σ
ij
⎡0
=
⎢
⎢
τ
⎢⎣
0
τ
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
p
p
p

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 13 -
Koristeći Hookeov zakon, izračuna se pripadajući tenzor deformacija:
ε
ij
⎡ 0
=
⎢
⎢
τ / 2μ
⎢⎣
0
τ / 2μ
Dakle modul posmika je odreñen s μ = τ / 2εxy
= τ / γxy
, i ovaj je modul jednostavno nagib
krivulje posmično naprezanje – posmična deformacija.
4.5.3 Hidrostatički tlak
Posljednji primjer je vezan s jednolikim tlakom (ili naprezanjem) kockastog uzorka, kako je
prikazano na crtežu 4.4. Ovaj se tip pokusa izvodi postavljanjem uzorka u visoko tlačnu komoru.
Stanje naprezanja u ovom slučaju je odreñeno sa:
σ
ij
⎡−
p
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
− p
0
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
0 ⎤
0
⎥
⎥
= −p
δ
− p⎥⎦
Ovo je izotropno stanje naprezanja i deformacije slijede iz Hookeovog zakona:
ε
ij
⎡ 1−
2ν
− p
⎢ E
⎢
= ⎢ 0
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
1−
2ν
− p
E
0
ij
0
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1−
2ν
− p
⎥
E ⎥⎦
Deformacija koja predstavlja promjenu volumena materijala je definirana sa
ϑ = ε = −3
1−
2ν
p / što se može zapisati kao:
kk
( ) E
gdje se k E / [ 3(
1−
2ν)
]
p = −k
ϑ
(4.36)
= naziva zapreminski modul elastičnosti. Ova dodatna elastična konstanta
predstavlja omjer tlaka i deformacije i može se odnositi kao volumna krutost materijala.
Primijetimo da kada se Poissonov koeficijent bliži vrijednosti 0.5, zapreminski modul postaje
beskonačan a materijal nema nikakvu volumnu deformaciju i praktično postaje nestlačiv.
Ova diskusija o elastičnim modulima za izotropne materijale dovela nas je do definicije pet
konstanti λ, µ ( ili G)
, E, ν i k . Meñutim, treba imati na umu da su samo dvije od njih potrebne za
opis karakteristika materijala. Iako smo već razvili neke veze izmeñu pojedinih modula, može se
pronaći još mnogo drugih relacija. U stvari, može se pokazati da je svih pet konstanti u
meñusobnom odnosu, i ako su dane bilo koje dvije od njih preostale tri se mogu odrediti
koristeći jednostavne formule. Rezultati ovih veza zgodno su prikazani u tablici 4.1.
Tipične nominalne vrijednosti elastičnih konstanti za pojedinu vrstu materijala dane su u
tablici 4.2. Ovi moduli predstavljaju srednje vrijednosti, i za pojedine materijale može doći do
stanovitih varijacija.
U prethodnim poglavljima je naglašavano kako cilindrične koordinate imaju široku primjenu
kod mnogih problema.

E,ν
E,
k
E,
E,
μ
λ
ν,
k
ν,
μ
ν,
λ
k,
k,
μ
λ
ν,
λ
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 14 -
Tablica 4.1 Veza izmeñu konstanti koje definiraju karakteristike materijala
Ε
E
E
E
E
3k(
1−
2ν)
2μ(
1+
ν)
λ(
1+
ν)(
1−
2ν)
ν
9kμ
6k
+ μ
9k(
k − λ)
3k
− λ
μ(
3λ
+ 2μ)
k − μ
ν
ν
3k
− E
6k
E − 2μ
2μ
2λ
E + μ + R
ν
ν
ν
3k
− 2μ
6k
+ 2μ
λ
3k
− λ
λ
2(
λ + μ)
k
E
3(
1−
2ν)
k
μE
3(
3μ
− E)
E + 3λ
+ R
6
k
2μ(
1+
ν)
3(
1−
2ν)
λ(
1+
ν)
3ν
k
k
3λ
+ 2μ
3
µ
E
2(
1+
ν)
3kE
9k
− E
μ
E − 3λ
+ R
4
3k(
1−
2ν)
2(
1+
ν)
μ
λ(
1−
2ν)
2ν
μ
3
( k − λ)
2
μ
λ
Eν
( 1+
ν)(
1−
2ν)
3k(
3k
− E)
9k
− E
μ(
E − 2μ)
3μ
− E
λ
3kν
1+
ν
2μν
1−
2ν
λ
2
k − μ
3
Tablica 4.2 Tipične vrijednosti elastičnih konstanti za česte inženjerske materijale
E(GPa) ν μ (GPa) λ (GPa) k (GPa) α (10 -6 /°C)
Aluminij 68.9 0.34 25.7 54.6 71.8 25.5
Beton 27.6 0.20 11.5 7.7 15.3 11.1
Bakar 89.6 0.34 33.4 71 93.3 18
Staklo 68.9 0.25 27.6 27.6 45.9 8.8
Plastika 28.3 0.40 10.1 4.4 47.2 11.4
Guma 0.0019 0.499 0.654*10 -3 0.326 0.326 18.7
Čelik 207 0.29 80.2 20.4 164 13.5
λ
λ

4.5.4 Zakon ponašanja u termoelastičnosti
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 15 -
Dobro je poznato da promjena temperature kod slobodnog elastičnog tijela izaziva
deformiranje. Dakle, opće polje deformacija nastaje usljed mehaničkih i toplinskih djelovanja. U
smislu teorije malih deformacija, ukupna deformacija može se rastaviti na mehaničku i toplinsku
komponentu:
ij
( M)
ij
( T)
ij
ε = ε + ε
(4.37)
Ako je T0 uzeta kao referentna temperatura i T kao proizvoljna temperatura, toplinske
deformacije kod slobodnog tijela mogu se napisati u linearnom obliku:
( T)
ij
ε = α T − T )
(4.38)
ij(
0
gdje je α ij tenzor koeficijenata toplinskog širenja. Primijetimo da temperaturna razlika uzrokuje
toplinske deformacije. Ako je materijal uzet kao izotropan, tada α ij mora biti dijagonalni tenzor
drugog reda i izraz (4.38) postaje:
( T)
ij
ε = α ( T − T ) δ
(4.39)
gdje je α konstanta materijala i naziva se koeficijent toplinskog širenja. Tablica 4.2 daje tipične
vrijednosti za konstante nekih vrsta materijala. Primijetimo da kod izotropnih materijala
temperaturna promjena neće uzrokovati posmična naprezanja. Koristeći (4.37) u kombinaciji s
mehaničkim relacijama, dobiva se:
0
ij
1+
ν ν
ε ij = σij
− σkk
δij
+ α(
T − T0
) δij
(4.40)
E E
Pripadajući rezultati za naprezanja izražena preko deformacija mogu se zapisati kao:
σ = ε −β
( T − T )
(4.41)
ij
Cijkl kl ij 0
gdje je β ij tenzor drugog reda koji sadrži toplinske koeficijente. Ovaj rezultat se ponekad naziva
Duhamel-Neumannov zakon ponašanja termoelastičnosti. Izotropan slučaj se lako dobije samo
invertirajući izraz (4.40) kako bi se dobilo:
σ = λ ε δ + 2μ ε − ( 3λ
+ 2μ)
α ( T − T ) δ
(4.42)
ij
kk
ij
ij
Nakon što smo razvili potrebnih šest konstitutivnih relacija, sustav jednadžbi elastičnosti je
sada upotpunjen s petnaest jednadžbi (deformacija-pomak, ravnoteža, Hookeov zakon) s petnaest
nepoznanica (pomaci, deformacije, naprezanja). Kako bi se riješili pojedini problemi u
inženjerstvu očito su potrebna još dodatna pojednostavljenja.
0
ij

4.6 Potencijalna energija
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 16 -
Element elastične sredine deformira se pod djelovanjem normalnih i posmičnih naprezanja.
Uz pretpostavku da su deformacije proporcionalne naprezanjima, rad koji se obavi prilikom
deformiranja iznosi općenito 1 2 σ ⋅ u ⋅ dA .
σx
u2
dx
u1
σx
Crtež 4.5 Promjena volumena i oblika uslijed deformiranja
gdje je σ naprezanje, u pomak u smjeru naprezanja, a dA površina na koju djeluje naprezanje σ.
Ako se, nadalje, pretpostavi da se naprezanje mijenja od točke do točke, a isto tako da su pomaci
dviju pobočaka površine dy⋅dx različiti, stanje naprezanja i deformacija može se označiti kako je
prikazano na crtežu 4.6.
dy
σx
u
dx
u+du
σx
σx+dσx
Crtež 4.6 Stanje deformacija i naprezanja na diferencijalnom elementu
Rad na tom elementu diferencijalne veličine zbog naprezanja σx može se ovako izraziti:
1
=
2
dz
τzy
τzx
[ ( σ + dσ
)( u + du)
− σ u]
dydz
dWx x x
x
Negativan predznak drugog člana dolazi zbog toga što je vektor naprezanja suprotnog smjera
od vektora pomaka. Ako se zanemari mala veličina višeg reda, taj se izraz može svesti na ovaj
oblik:
1
=
2
pošto su σx i u funkcije koordinate x.
1 d
2 dx
( σ du + dσ
u)
dydz
= ( σ ⋅ u)
dx dydz
dWx x x
x
No iste pobočke zbog posmičnog naprezanja bočno se pomiču i ako su njihovi pomaci v i w u
smjeru osi y i z, dobije se ukupni rad na pomacima pobočki površine dy⋅dz.
( σ u + τ v + τ w)
dx dydz
1 d
= x xy
.
2 dx
dWx zx
v
σx
w

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 17 -
Uzme li se u obzir i rad na dva ostala para pobočaka elementarne prizme, dobije se:
∂
∂
⎤
( σ u + τ v + τ w)
+ ( σ v + τ w + τ u)
+ ( σ w + τ u + τ v)
dx dydz
1 ⎡ ∂
x = x xy zx
y yz xy
z zx
2 ⎢
⎣∂x
∂y
∂z
⎥
.
⎦
dW yz
Ukoliko postoje zapreminske sile, rad koji one obave iznosi:
Ukupni rad je prema tome:
dW =
1
2
⎡
⎢
σ
⎣
x
⎛ ∂σ
+ u
⎜
⎝ ∂x
⎛ ∂τ
+ w
⎜
⎝ ∂x
∂u
+ τ
∂x
x
zx
xy
∂τ
+
∂y
xy
∂τ
+
∂y
zy
∂v
+ τ
∂x
∂τ
+
∂z
xz
∂σ
+
∂z
xz
z
1
2
∂w
+ σ
∂x
⎞⎤
+ Z
⎟
⎟⎥
⎠⎦
( X u + Y ⋅ v + Z ⋅ w)
dx dydz
⎞ ⎛ ∂τ
+ X
⎟ + v
⎜
⎠ ⎝ ∂x
⋅ .
y
∂v
+ τ
∂y
xy
dx dydz
yz
∂σ
+
∂y
∂w
+ τ
∂y
y
yx
∂τ
+
∂z
yz
∂u
+ σ
∂y
z
⎞
+ Y
⎟ +
⎠
∂w
+ τ
∂z
zx
∂u
+ τ
∂z
zy
∂v
+
∂z
(4.43)
Izrazi u okruglim zagradama jednaki su nuli jer predstavljaju uvjete ravnoteže, pa ostaje za
čitavo tijelo:
∫∫∫ [ ( σxε
x + σyε
y + σzεz
) + 2(
τxyεxy
+ τyzε
yz + τzxε
) ] dx dydz
1
= (4.44)
2
W zx
Rad vanjskih sila praktički potpuno prelazi u potencijalnu energiju elastičnog tijela. Promjena
temperature je naznatna, a isto tako su neznatne ostale promjene pri deformiranju tijela, pa se
njihov udio zanemaruje:
Ep = W.
Komponente naprezanja, meñutim, mogu se izraziti komponentama deformacija i obratno, pa
se jedanput nakon uvrštenja prije izvedenih izraza za σx, ... τxy ... dobije:
E
ili, ako se λ izrazi sa μ,
2
2
2
[ λε
+ 2μ
( ε + ε + ε ) + 4μ(
ε + ε + ) ] dx dydz
1
2 2 2 2
= W =
v x y z xy yz zx
(4.45)
2
p ∫∫∫ ε
E
2ν
λ =
1−
2ν
⋅μ
⎡ 1−
ν 2 2⎤
= 2μ
⎢ e1
− e2
dx dydz
(4.45a)
⎣2
( 1−
2ν)
p ∫∫∫ ⎥ ⎦
Drugi put, zamjenom komponenata deformacija s komponentama naprezanja, dobije se:
E
p
1
W
⎡ 2 2 2 ν 2 2 2 2
= = ( σx
+ σy
+ σz
) − I1
+ 2(
τxy
+ τyz
+ τzx
)] dx dydz
4μ
∫∫∫ (4.46)
⎢⎣
1+
ν

E
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 18 -
1 ⎡ 1 2 2⎤
= W =
I1
I2
dx dydz
2 ⎢ −
(4.46a)
μ ⎣2
( 1−
ν)
p ∫∫∫ ⎥ ⎦
U gornjim izrazima, e1 i e2 su invarijante tenzora deformacija, a I1 i I2 invarijante tenzora
naprezanja. Tim izrazima potvrñuje se tvrdnja da je potencijalna energija invarijantna veličina.
Izjednače li se izrazi (4.45a) i (4.46a), mogu se i invarijante drugog stupnja meñusobno izraziti,
naime:
2 ⎡ 1−
ν 2 2⎤
1 2
4μ ⎢ e1
− e2
= I1
− I2
2(
1 2 ) ⎥
⎣ − ν ⎦ 2(
1+
ν)
ili
Zbroje li se izrazi za normalne komponente naprezanja, dobije se:
σx + σy + σz = I1 = (3λ + 2μ) εv = (3λ + 2μ) e1
1−
2ν
1 = I . (4.47)
2(
1−
2ν)μ
e 1
Uvrsti li se taj izraz u jednadžbu, dobije se:
2
2
2
ν(
2 − ν)
2 ( 1+
ν)
2
1
4μ
e = I − I . (4.48)
Izrazi za rad vanjskih sila, odnosno potencijalnu energiju deformiranog tijela (4.44), (4.45) ili
(4.46), predstavljaju ukupni rad. Izdvoji li se, meñutim, iz deformiranog tijela element jedinične
zapremine koji se pod djelovanjem komponenata naprezanja σx, ... , τzx deformira i komponente
deformacija su εx, ... εxy, ... , onda je njegova potencijalna energija:
[ σ ε + σ ε + σ ε + 2 ( τ ε + τ ε + τ ) ]
1
ep = w = x x y y z z xy xy yz yz zxεzx
.
2
Ta se potencijalna energija ili rad naziva specifičnom potencijalnom energijom ili specifičnim
radom. Ona se opet može izraziti ili samo komponentama deformacija:
ili samo komponentama naprezanja:
⎡ 1−
ν 2 ⎤
p = w = 2μ
⎢ e1
− e ,
2(
1 2 ) ⎥
⎣ − ν ⎦
e 2
1 ⎡ 1 2 ⎤
p = w =
I1
I .
2 ⎢ −
μ 2(
1 ) ⎥
⎣ + ν ⎦
e 2
Deriviranjem izraza za specifičnu potencijalnu energiju po komponentama naprezanja dobije
se:
∂ep
1 ⎡ 2I1
∂I1
∂I2
⎤ 1
=
[ x ( y z ) ] x
x 2 ⎢ ⋅ − = σ − ν σ + σ = ε
∂σ
μ 2(
1 )
⎥
⎣ + ν ∂σx
∂σx
⎦ E
ili
∂e
∂τ
p
xy
1 ⎡ ∂I
=
2
⎢−
μ
⎣
∂τ
2
xy
⎤ τxy
⎥ = = ε
⎦
2μ
xy,

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 19 -
tj. odgovarajuće komponente deformacija. I obratno, deriviranjem istih izraza po komponentama
deformacija
∂e
∂ε
p
x
⎡ 1−
ν ∂e1
∂e
= 2μ
⎢ e1
⋅ −
⎣1−
2ν
∂εx
∂ε
∂e
∂ε
p
xy
⎡ ∂e
= 2μ
⎢−
⎣
∂ε
2
xy
2
x
⎤
⎥ = λe1
⎦
⎤
⎥ = 2μ
ε
⎦
xy
+ 2με
dobiju se komponente naprezanja. Isto, dakako, vrijedi i za ostale komponente tenzora
naprezanja odnosno deformacija. Tako je:
∂e
∂ε
∂e
∂ε
p
xx
p
xy
= σ
= τ
4.7 Duhamel – Neumanove jednadžbe
xx
xy
Koristeći se principom superpozicije, ukupna se deformacija εij može napisati u obliku:
ε
ij
= ε
σ
ij
∂e
∂σ
∂e
∂τ
+ ε
T
ij
xx
p
p
xy
= ε
= ε
xy
= τ
xx
.
xy
x
= σ
x
(4.49)
(4.50)
pri čemu je σ
εij - deformacija nastala zbog naprezanja i T εij - deformacija nastala zbog promjene
temperature.
Promjena temperature je:
a deformacija tijela zbog temperaturne razlike je:
T T T − = Δ (4.51)
T
ij
0
ε = α ΔT
δ
(4.52)
pri čemu je T temperatura tijela, T0 referentna temperatura, α koeficijent toplinskog rastezanja.
Naprezanje tijela zbog temperaturne razlike je jednako nuli ako je deformiranje tijela
slobodno, tj.:
T =
ij
σ 0
(a)
Ako se u generalizirani Hookeov zakon (4.33) uključi izraz (4.52), dobiju se Duhamel –
Neumanove jednadžbe:
1 ⎛ λ ⎞
ε ij = ⎜σij
− σkkδij
⎟ + α ΔTδij
(4.53)
2μ
⎝ 2μ
+ 3λ
⎠

ili u obratnom obliku:
T
ij =
Za i ≠ j je σ 0 i ε 0 .
ij
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 20 -
ij
kk
ij
( 2μ
+ 3λ)
αΔT
ij
σ = 2με + λε δ −
δ
(4.54)
T
ij =
Budući da promjena temperature utječe samo na dijagonalne članove tenzora deformacije, u
eksplicitnom se obliku Duhmael – Neumanove jednadžbe dobiju dodavanjem vrijednosti (4.52)
na vrijednosti εxx, εyy i εzz izraza (4.33).
4.8 Primjeri
PRIMJER 4.1
Stanje deformacije u točki zadano je tenzorom deformacije:
[ ε ]
ij
=
−
10 4
⎡ 1
⎢
⎢
0.
3
⎢⎣
0.
8
0.
3
2
− 0.
5
Zadano je takoñer: E = 210 GPa, ν = 0.3. Potrebno je:
(a) napisati tenzor naprezanja
(b) odrediti modul kompresije
(a) tenzor naprezanja
0.
8⎤
− 0.
5
⎥
⎥
0.
5⎥⎦
Komponente tenzora naprezanja će se odrediti pomoću jednadžbi (4.32).
Prije toga teba odrediti Lameove konstante μ i λ:
λ =
Volumenska deformacija je:
E 210
μ = G = = =
2
νE
( 1+
ν)
2(
1+
0.
3)
=
0.
3⋅
210
( 1+
ν)(
1−
2ν)
( 1+
0.
3)(
1−
2⋅
0.
3)
ε
v
= ε
x
+ ε
Pomoću jednadžbi (4.32) dobije se:
σ
σ
σ
x
y
z
= 2με
= 2με
= 2με
x
y
z
+ λε
+ λε
+ λε
v
v
v
y
+ ε
= 2 ⋅80.
77 ⋅10
⋅1⋅10
= 2 ⋅80.
77 ⋅10
⋅ 2 ⋅10
z
=
= 2 ⋅80.
77 ⋅10
⋅ 0.
5 ⋅10
3
3
3
−4
−4
80.
77
GPa
= 121.
15 GPa
−4
−4
( 1+
2 + 0.
5)
⋅10
= 3.
5⋅10
−4
3
3
3
−4
+ 121.
15⋅10
⋅3.
5 ⋅10
−4
+ 121.
15⋅10
⋅ 3.
5⋅10
−4
+ 121.
15 ⋅10
⋅ 3.
5⋅10
=
=
58.
5
77.
7
=
MPa
50.
48
MPa
MPa

τ
τ
τ
xy
yz
zx
= Gγ
= Gγ
= Gγ
xy
yz
zx
Tenzor naprezanja je:
(b) modul kompresije
3
3
3
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 21 -
−4
= 80.
77 ⋅10
⋅ 2⋅
0.
3⋅10
−4
= 80.
77 ⋅10
⋅ 2⋅
0.
8⋅10
−4
= 80.
77 ⋅10
⋅ 2⋅
( −0.
5)
⋅10
=
4.
86
MPa
= −8.
46 MPa
= 12.
9 MPa
[ σ ] =
⎢
4.
86 77.
7 −8.
16
⎥
MPa
ij
⎡58.
5
⎢
⎢⎣
12.
9
4.
86
−8.
16
Modul kompresije odreñen je izrazom iz tablice 4.1:
PRIMJER 4.2
12.
9
58.
48
E 210
K = =
= 175 GPa
3
( 1−
2ν)
3(
1−
2⋅
0.
3)
Stanje naprezanja u točki zadano je tenzorom naprezanja:
Tijelo je zagrijano za ΔT = 20 o C.
80
⎤
⎥
⎥⎦
[ σ ] =
⎢
− 60 30 20
⎥
MPa
ij
⎡
⎢
⎢⎣
− 40
− 60
Zadano je: E = 210 GPa, ν = 0.3; α = 1.2 . 10 -5 1/ o C
Napisati tenzor deformacije.
20
− 40⎤
⎥
50⎥⎦