Veza naprezanja i deformacija

More documents

Recommendations

Info

1111 ili napisana na drugi način: 1111 Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 8 - 4 4 2 2 ( sin ϑ + cos ϑ) C + 2sin ϑcos ϑ ( C 2C ) C = + 1111 1133 1313 2 2 2 2 2 ( sin ϑ + cos ϑ) C + 2sin ϑcos ϑ ( − C + C C ) C = + (4.23) 1111 Imajući u vidu fizikalni smisao transformacije, nije teško zaključiti iz (4.23) da je C 1111 = C1111 što ima za posljedicu da se drugi pribrojnik u jednadžbi (4.23) mora poništiti. Kut rotacije ϑ je proizvoljan pa izraz u zagradama mora biti jednak nuli što daje sljedeću vezu meñu komponentama: 1111 1133 1313 1313 3131 1 C = C = ( C1111 − C1133 ) (4.24) 2 Ispunjavajući uvjet heksagonalne simetrije oko koordinatne osi x1 i osi x3, tenzor koeficijenata elastičnosti se pojednostavljuje i opisuje svojstva izotropnog materijala: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 C 1111 0 0 0 C 1122 0 0 0 C 1122 2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 0 0 3 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 1 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 0 0 2 C 1122 0 0 0 C 1111 0 0 0 C 1122 3 0 0 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 1 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 0 2 0 0 0 0 0 (C 1111−C 1122) /2 0 (C 1111−C 1122) /2 0 3 C 1122 0 0 0 C 1122 0 0 0 C 1111 ili u indeksnom zapisu: C = α δ δ + β δ δ + γ δ δ gdje su α, β i γ poznate konstante za odreñeni materijal. ijkl 4.4 Laméove konstante elastičnosti i opći Hookov zakon ij kl ik jl il jk (4.25) Uvodeći Lamé-ove konstante λ = C1122 i μ = 1/2(C1111−C1122) u (4.25), dobiva se tenzor koeficijenata elastičnosti sa samo dvije neovisne komponente jer je i C1111 = λ + 2μ , pa veza izmeñu naprezanja i deformacija ima sljedeći oblik:
⎧σ ⎪ ⎪σ ⎪ σ ⎪ ⎪σ ⎪ ⎨σ ⎪ ⎪σ ⎪σ ⎪ ⎪σ ⎪ ⎪⎩ σ 11 21 31 12 22 32 13 23 33 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ = ⎡λ + 2μ ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ λ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ λ 0 μ 0 μ 0 0 0 0 0 Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 9 - 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 μ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 λ + 0 0 0 λ 2μ 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 λ ⎤ ⎧ε ⎥ ⎪ 0 ⎥ ⎪ε 0 ⎥ ⎪ ε ⎥ ⎪ 0 ⎥ ⎪ε ⎥ ⎪ λ ⎥ ⋅ ⎨ε ⎥ ⎪ 0 ⎥ ⎪ε ⎥ 0 ⎪ ⎥ ε ⎪ 0 ⎥ ⎪ε ⎥ ⎪ λ + 2μ⎥⎦ ⎪⎩ ε 11 21 31 12 22 32 13 23 33 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ (4.26) Analizirajući jednoosno stanje naprezanja, npr. u koordinatnom smjeru x1, sve komponente tenzora naprezanja se poništavaju osim σ11, a ono je uz (4.25) i (4.26): ( λ + μ) ε11 + λε22 + 33 σ 11 = 2 λε (4.27a) Takoñer su mješovite komponente tenzora deformacije jednake nuli, pa se mogu napisati još samo dvije jednadžbe za smjerove x2 i x3: σ σ 22 33 = 0 = = 0 = ( λ + 2μ) ε22 + λε11 + λε33 ( λ + 2μ) ε33 + λε11 + λε22 Iz (4.27a) i (4.27b) se mogu izraziti komponente deformacija: ( ) ( ) 11 33 22 11 3λ + 2μ 2 λ + μ (4.27b) 11 λ + μ λ ε = σ ; ε = ε = − ε (4.28) μ Ako se u izrazima (4.28) koeficijent uz σ11 zamijeni s 1/E, a uz ε11 s ν, dobiva se veza modula elastičnosti E i Poissonovog koeficijenta ν s Laméovim konstantama μ i λ: ili: ( 3λ + 2μ) μ λ E = ; ν = (4.29) λ + μ 2 λ = ν E ; μ = ( λ + μ) ( 1+ ν) ( 1− 2ν) 2 ( 1+ ν) E (4.30) Za realan materijal Laméove konstante su pozitivne iz čega slijede uvjeti za veličinu Poissonovog koeficijenta: iz: λ ν = → ν > 0 , a iz 2 ( λ + μ) μ = 2 Da bi λ bio pozitivan u (4.30) mora biti zadovoljena relacija: E ( 1+ ν) → ν < 1
Page 1 and 2: Veza izmeñu naprezanja i deformaci
Page 5 and 6: 4.3 Heksagonalna simetrija (uslojen
Page 7: Veza izmeñu naprezanja i deformaci
Page 11 and 12: σ σ σ τ r ϕ z rϕ = = = Veza i
Page 15 and 16: 4.5.4 Zakon ponašanja u termoelast
Page 21: τ τ τ xy yz zx = Gγ = Gγ = Gγ

Veza naprezanja i deformacija

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?