Veza naprezanja i deformacija

More documents

Recommendations

Info

4.6 Potencijalna energija Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 16 - Element elastične sredine deformira se pod djelovanjem normalnih i posmičnih naprezanja. Uz pretpostavku da su deformacije proporcionalne naprezanjima, rad koji se obavi prilikom deformiranja iznosi općenito 1 2 σ ⋅ u ⋅ dA . σx u2 dx u1 σx Crtež 4.5 Promjena volumena i oblika uslijed deformiranja gdje je σ naprezanje, u pomak u smjeru naprezanja, a dA površina na koju djeluje naprezanje σ. Ako se, nadalje, pretpostavi da se naprezanje mijenja od točke do točke, a isto tako da su pomaci dviju pobočaka površine dy⋅dx različiti, stanje naprezanja i deformacija može se označiti kako je prikazano na crtežu 4.6. dy σx u dx u+du σx σx+dσx Crtež 4.6 Stanje deformacija i naprezanja na diferencijalnom elementu Rad na tom elementu diferencijalne veličine zbog naprezanja σx može se ovako izraziti: 1 = 2 dz τzy τzx [ ( σ + dσ )( u + du) − σ u] dydz dWx x x x Negativan predznak drugog člana dolazi zbog toga što je vektor naprezanja suprotnog smjera od vektora pomaka. Ako se zanemari mala veličina višeg reda, taj se izraz može svesti na ovaj oblik: 1 = 2 pošto su σx i u funkcije koordinate x. 1 d 2 dx ( σ du + dσ u) dydz = ( σ ⋅ u) dx dydz dWx x x x No iste pobočke zbog posmičnog naprezanja bočno se pomiču i ako su njihovi pomaci v i w u smjeru osi y i z, dobije se ukupni rad na pomacima pobočki površine dy⋅dz. ( σ u + τ v + τ w) dx dydz 1 d = x xy . 2 dx dWx zx v σx w
Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 17 - Uzme li se u obzir i rad na dva ostala para pobočaka elementarne prizme, dobije se: ∂ ∂ ⎤ ( σ u + τ v + τ w) + ( σ v + τ w + τ u) + ( σ w + τ u + τ v) dx dydz 1 ⎡ ∂ x = x xy zx y yz xy z zx 2 ⎢ ⎣∂x ∂y ∂z ⎥ . ⎦ dW yz Ukoliko postoje zapreminske sile, rad koji one obave iznosi: Ukupni rad je prema tome: dW = 1 2 ⎡ ⎢ σ ⎣ x ⎛ ∂σ + u ⎜ ⎝ ∂x ⎛ ∂τ + w ⎜ ⎝ ∂x ∂u + τ ∂x x zx xy ∂τ + ∂y xy ∂τ + ∂y zy ∂v + τ ∂x ∂τ + ∂z xz ∂σ + ∂z xz z 1 2 ∂w + σ ∂x ⎞⎤ + Z ⎟ ⎟⎥ ⎠⎦ ( X u + Y ⋅ v + Z ⋅ w) dx dydz ⎞ ⎛ ∂τ + X ⎟ + v ⎜ ⎠ ⎝ ∂x ⋅ . y ∂v + τ ∂y xy dx dydz yz ∂σ + ∂y ∂w + τ ∂y y yx ∂τ + ∂z yz ∂u + σ ∂y z ⎞ + Y ⎟ + ⎠ ∂w + τ ∂z zx ∂u + τ ∂z zy ∂v + ∂z (4.43) Izrazi u okruglim zagradama jednaki su nuli jer predstavljaju uvjete ravnoteže, pa ostaje za čitavo tijelo: ∫∫∫ [ ( σxε x + σyε y + σzεz ) + 2( τxyεxy + τyzε yz + τzxε ) ] dx dydz 1 = (4.44) 2 W zx Rad vanjskih sila praktički potpuno prelazi u potencijalnu energiju elastičnog tijela. Promjena temperature je naznatna, a isto tako su neznatne ostale promjene pri deformiranju tijela, pa se njihov udio zanemaruje: Ep = W. Komponente naprezanja, meñutim, mogu se izraziti komponentama deformacija i obratno, pa se jedanput nakon uvrštenja prije izvedenih izraza za σx, ... τxy ... dobije: E ili, ako se λ izrazi sa μ, 2 2 2 [ λε + 2μ ( ε + ε + ε ) + 4μ( ε + ε + ) ] dx dydz 1 2 2 2 2 = W = v x y z xy yz zx (4.45) 2 p ∫∫∫ ε E 2ν λ = 1− 2ν ⋅μ ⎡ 1− ν 2 2⎤ = 2μ ⎢ e1 − e2 dx dydz (4.45a) ⎣2 ( 1− 2ν) p ∫∫∫ ⎥ ⎦ Drugi put, zamjenom komponenata deformacija s komponentama naprezanja, dobije se: E p 1 W ⎡ 2 2 2 ν 2 2 2 2 = = ( σx + σy + σz ) − I1 + 2( τxy + τyz + τzx )] dx dydz 4μ ∫∫∫ (4.46) ⎢⎣ 1+ ν
Page 1 and 2: Veza izmeñu naprezanja i deformaci
Page 5 and 6: 4.3 Heksagonalna simetrija (uslojen
Page 9 and 10: ⎧σ ⎪ ⎪σ ⎪ σ ⎪ ⎪σ
Page 11 and 12: σ σ σ τ r ϕ z rϕ = = = Veza i
Page 15: 4.5.4 Zakon ponašanja u termoelast
Page 21: τ τ τ xy yz zx = Gγ = Gγ = Gγ

Veza naprezanja i deformacija

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?