Veza naprezanja i deformacija

Veza izmeñu naprezanja i deformacija - 17 -
Uzme li se u obzir i rad na dva ostala para pobočaka elementarne prizme, dobije se:
∂
∂
⎤
( σ u + τ v + τ w)
+ ( σ v + τ w + τ u)
+ ( σ w + τ u + τ v)
dx dydz
1 ⎡ ∂
x = x xy zx
y yz xy
z zx
2 ⎢
⎣∂x
∂y
∂z
⎥
.
⎦
dW yz
Ukoliko postoje zapreminske sile, rad koji one obave iznosi:
Ukupni rad je prema tome:
dW =
1
2
⎡
⎢
σ
⎣
x
⎛ ∂σ
+ u
⎜
⎝ ∂x
⎛ ∂τ
+ w
⎜
⎝ ∂x
∂u
+ τ
∂x
x
zx
xy
∂τ
+
∂y
xy
∂τ
+
∂y
zy
∂v
+ τ
∂x
∂τ
+
∂z
xz
∂σ
+
∂z
xz
z
1
2
∂w
+ σ
∂x
⎞⎤
+ Z
⎟
⎟⎥
⎠⎦
( X u + Y ⋅ v + Z ⋅ w)
dx dydz
⎞ ⎛ ∂τ
+ X
⎟ + v
⎜
⎠ ⎝ ∂x
⋅ .
y
∂v
+ τ
∂y
xy
dx dydz
yz
∂σ
+
∂y
∂w
+ τ
∂y
y
yx
∂τ
+
∂z
yz
∂u
+ σ
∂y
z
⎞
+ Y
⎟ +
⎠
∂w
+ τ
∂z
zx
∂u
+ τ
∂z
zy
∂v
+
∂z
(4.43)
Izrazi u okruglim zagradama jednaki su nuli jer predstavljaju uvjete ravnoteže, pa ostaje za
čitavo tijelo:
∫∫∫ [ ( σxε
x + σyε
y + σzεz
) + 2(
τxyεxy
+ τyzε
yz + τzxε
) ] dx dydz
1
= (4.44)
2
W zx
Rad vanjskih sila praktički potpuno prelazi u potencijalnu energiju elastičnog tijela. Promjena
temperature je naznatna, a isto tako su neznatne ostale promjene pri deformiranju tijela, pa se
njihov udio zanemaruje:
Ep = W.
Komponente naprezanja, meñutim, mogu se izraziti komponentama deformacija i obratno, pa
se jedanput nakon uvrštenja prije izvedenih izraza za σx, ... τxy ... dobije:
E
ili, ako se λ izrazi sa μ,
2
2
2
[ λε
+ 2μ
( ε + ε + ε ) + 4μ(
ε + ε + ) ] dx dydz
1
2 2 2 2
= W =
v x y z xy yz zx
(4.45)
2
p ∫∫∫ ε
E
2ν
λ =
1−
2ν
⋅μ
⎡ 1−
ν 2 2⎤
= 2μ
⎢ e1
− e2
dx dydz
(4.45a)
⎣2
( 1−
2ν)
p ∫∫∫ ⎥ ⎦
Drugi put, zamjenom komponenata deformacija s komponentama naprezanja, dobije se:
E
p
1
W
⎡ 2 2 2 ν 2 2 2 2
= = ( σx
+ σy
+ σz
) − I1
+ 2(
τxy
+ τyz
+ τzx
)] dx dydz
4μ
∫∫∫ (4.46)
⎢⎣
1+
ν