Predavanja

1. PROJEKTOVANJE RAĈUNAROM – DR MIOMIR JOVANOVIĆ 1 

26. Oktobar 2010. 

Predavanje 1 

CAD tehnologije 

KORIŠĆENJE RAĈUNARA ZA PRORAĈUNE MAŠINA 

Proraĉun primenom raĉunara je danas popularan, pre svega, zbog sve većeg broja 

softverskih paketa na trţištu i mogućnosti šireg sagledavanja svojstava, tretirajući 

strukturu mašine velikim brojem provera. Ova prednost je zapravo ograniĉenje 

klasiĉnog projektovanja koje izvodi ĉovek bez raĉunara, zbog ĉega su razvijane mnoge 

tehnike iznalaţenja kritiĉnih lokacija i njihove provere. Podkategorije ove grupacije su: 

a. Analiza opterećenja konstrukcije: 

(Load analysis) sloţenih sistema i njihovo definisanje. 

Kod dizalica ovim metodama se na svim pojedinim ĉlanovima identifikuju izazvani uticaji od 

dejstva vetra, dinamiĉkih pojava u toku rada, ljuljanja tereta, havarijskih stanja, sluĉajnih 

uticaja, kombinacija dejstava i drugo. Ovakve analize u projektovanju, zbog broja mogućih 

stanja opterećenja i ukupnog broja ĉlanova konstrukcije, iskljuĉivo se rade raĉunarom. 

b. Proraĉun kompaktnih veza: 

Sklopovi visokog stepena integracije komponenata kao što su prenosnici snaga, 

spojnice, sklopovi toĉkova, klipne pumpe, hidro-motori, leţajevi i drugo, odlikuju se 

kontaktnim naprezanjima. Za svaku kategoriju mašinskih elemenata razvijena je 

metodologija specifiĉnog proraĉuna koja se izuĉava u mašinstvu. Svaka od ovih 

metodologija proraĉuna efikasno se realizuje raĉunarom a koriste se i opštije - 

numeriĉke metode mehanike kontinuuma. Jedna od tih numeriĉkih metoda je FEM.

2 1. PROJEKTOVANJE RAÛNAROM 

c. Proraĉun stabilnosti konstruktivnih elemenata: 

Predmet analize su: klipnjaĉe, podizaĉi, balansirajuće poluge (balanseri), pojasni štapovi 

i štapovi ispune rešetkastih nosaĉa, tanki zidovi razliĉitih avio konstrukcija (krila i 

oplata trupa), brodske konstrukcije itd. 

d. Proraĉun dinamiĉkih svojstava konstrukcija. 

Podrazumeva odredjivanje sopstvene frekvencije i sopstvenih oblika oscilovanja kod 

mašina razliĉitih tipova: turbina, mlinova, vibracionih sita, vibracionih transportera, 

motora i prenosnika snage, ali i sloţenijih sistema kao što su avio-letilice, kontejnerske 

dizalice, roto bageri itd. 

e. Proraĉun pogonske ĉvrstoće mašinskih delova. 

Odnosi se na proraĉun ĉvrstoće varova, zamor materijala i prslinu u konstrukciji. Uslovi 

pri kojima se traţi ĉvrstoća, su na niskim temperaturama ili metalurške opreme za rad sa 

rastopinama.


f. Proraĉun kinematike mašinskih sistema. 

To su proraĉuni putanja mehanizama, raznih prenosnika snage i pokretnih nosećih 

struktura. Specijalizovana grafiĉka oprema raĉunara koristi se za brţa i pouzdanija 

izraĉunavanja kinematskih rešenja i omogućuje vizuelnu kontrolu. 

g. Optimizacija konstrukcija. 

Metodama optimizacije mogu se ostvariti specifiĉne osobine konstrukcija. 

To se postiţe iz uslova minimuma kod sinteze geometrije lakih konstrukcija, 

Tehniĉke projekte konstrukcija prate jednociljni i višeciljni zadaci optimizacija sa 

brojnim ograniĉenjima. Za projektovanja sa više optimalnih ciljeva koristi se Pareto 

koncept. Prednost ovog koncepta nad klasiĉnim je u istovremenoj sintezi geometrije 

konstrukcije po nekoliko tehniĉkih osnova. 

h. Proraĉun pouzdanosti: 

U širem smislu, pouzdanost iskazuje kvalitet upotrebljivosti sklopa, mašine ili sistema. 

Proraĉun pouzdanosti je redovan, a ĉesto i osnovni zadatak projektovanja odgovornih i 

vaţnih sistema. Primera radi, kod nosećih struktura letilica, pouzdanošću se iskazuje 

sposobnost stajnog trapa da izdrţi dinamiĉke udare pri sletanju u toku eksploatacionog 

veka, a da pri tome dâ manji broj funkcionalnih otkaza od minimalno propisanog. 

Definicija: 

PROJEKTOVANJE RAĈUNAROM 

Proces projektovanja predstavlja nalaţenje nauĉno opravdanog tehniĉkog rešenja koje 

se praktiĉno moţe realizovati, a da pri tome zadovolji i ekonomske kriterijume. 

U užem smislu, projektovanje predstavlja definisanje tehničkog rešenja sa funkcionalnog, 

sadržajnog i konstruktivnog aspekta.


Projektovanje moţe imati i kompleksniji sadrţaj, kada se postavljaju zahtevi traţenja optimalnih 

svojstava, pouzdanosti komponenata i funkcija i druga specifiĉna svojstva. 

Nakon projektovanja, sledi KONSTRUISANJE TEHNIĈKOG SADRŢAJA i ono predstavlja 

definitivno oblikovanje konstrukcije kojim se definišu: geometrija (karakteristiĉne dimenzije), 

materijal, naĉin montaţe, tolerancije, hrapavost i drugo. 

Oĉigledno da se konstruisanje vrši na bazi projektovanja i njime se precizira konaĉno rešenje 

konstrukcije. Iz aktivnosti konstruisanja nastaje konstrukciona dokumentacija. 

Dalji tok korišćenja konstrukcione dokumentacije (slika 1.1) odvija se kroz pripremu za proizvodnju i ta 

delatnost više ne pripada projektovanju i konstruisanju, već tehnološkoj pripremi. Iz tehnološke 

pripreme nastaje radioniĉka dokumentacija koja sadrţi, pored konstrukcione dokumentacije, i 

tehnološku dokumentaciju. Tehnološku dokumentaciju ĉine: dokumentacija opreme i alata za 

proizvodnju, dokumentacija kontrole i dokumentacija izvršenih ispitivanja. 

Slika 1.1 Aktivnosti nastanka proizvoda podrţane raĉunarom 

Klasiĉna organizacija postupka projektovanja i pripreme proizvodnje dozvoljava primenu raĉunara za 

efikasniju realizaciju ovog procesa. Postupak uvodjenja raĉunara uslovljen je formiranjem baze podataka do 

nivoa radioniĉke dokumentacije prizvoda. 

Aktivnosti projektovanja i konstruisanja primenom raĉunara poznate su u struĉnoj javnosti pod engleskim 

nazivom: Computer Aided Design (CAD). 

Skraćenicu CAD predloţio je T. D. Ross (USA) i ona je uvedena u terminologiju 1979. 

Skraćenica je simbol tehnologija projektovanja raĉunarom. 

Uvodjenje raĉunara u oblasti pripreme proizvodnje (Computer Aided Planing - CAP). 

Sama proizvodnja podrţana raĉunarom poznata je pod engleskim nazivom Computer Aided Manufacturing 

(CAM). 

CAD daje sledeće prednosti projektovanju: 

viši nivo kvaliteta (taĉnost, finoća), 

realizuje najobimnije zadatke i oslobadjanje ĉoveka rutinskog posla, 

vizuelnu interpretaciju forme koja omogućuje pre izrade, ocenu funkcionalnih i 

estetskih vrednosti proizvoda, 

omogućava specifiĉne analize (proraĉuni lokalnih napona kod brzih procesa i sloţenih 

struktura) iz ĉega sledi poboljšanje sklopa pre izrade, 

omogućuje brzu izradu tehniĉke baze podataka, poĉevši od tehniĉkih crteţa do 

tehnoloških instrukcija za automatizovanu izradu, 

široko integrisana proizvodnja raĉunarom (Computer Integrated Manufacturing - CIM) 

Izvan CAD delatnosti, primena raĉunara otvara mogućnosti daljih modernizovanja proizvodnje. 

Uvodjenjem CIM koncepta, integrišu se ostale aktivnosti proizvodnih sistema, slika 1.2: 

prilagodjavanje proizvodnje potraţnji, odredjivanjem dinamiĉkih parametara, 

planiranje (koliĉine materijala, termin planovi, radna snaga, distribucija zadataka),


povezivanje sa spoljašnjim izvorima (nacionalnim i svetskim) informacija (komiteti, 

berze, proizvodjaĉi, distributeri, transport, uskladištenje, pretovar) o robi i sirovinama, 

praćenje poslovanja (finansijskih tokova, zaliha robe, materijala), 

praćenje proizvoda u eksploataciji (servis, kvalitet, korekcije tehnologija, odrţavanje), 

koordiniraju osnovne fabriĉke aktivnosti (marketing, planiranje, investicije). 

OKRU@ENJE 

SISTEMA 

Slika 1.2 Aktivnosti koje su integrisane CIM konceptom 

KONSTRUKCIONA DOKUMENTACIJA 

Osnovni produkt projektovanja je konstrukciona dokumentacija. Kod klasiĉnog projektovanja, 

ona se formira na papiru i dalje distribuira kroz tehniĉku pripremu u proizvodnju. Kod primene 

raĉunara u projektovanju, tok je isti, samo je dokumentacija prisutna na razliĉitim medijumima. 

U principu, kod kompletnih CIM sistema dokumentacija ne mora da bude crtana sa ĉvrstim 

otiskom. Konstrukciona dokumentacija se realizuje u sledećim etapama (slika 1.3): 

postavljanje zadatka, 

prikupljanje informacija, 

analiza informacija, 

sastavljanje tehniĉkog predloga, 

izrada idejnog projekta, 

izrada tehniĉkog projekta i 

izrada tehniĉke dokumentacije. 

Slika 1.3 Etape nastanka konstrukcione dokumentacije 

Konstrukcionu dokumentaciju ĉine razne vrste dokumenata: 

radioniĉki crteţ za izradu i kontrolu, 

sklopni crteţ, 

crteţ opšteg izgleda (forma, princip rada),


teorijski crteţ (pokazuje raspored pozicija), 

gabaritni crteţ (geometrija sa prikljuĉnim i montaţnim mer.), 

elektro-montaţni crteţ, 

montaţni crteţ (podaci za postupak montaţe), 

crteţ pakovanja, 

crteţ ambalaţe, šema veza, specifikacija (spisak delova sklopa), 

spisak specifikacija (to je spisak svih specifikacija), 

spisak uputstava (popis svih dokumenata), 

spisak poluproizvoda koji se kupuju kao gotova roba, 

spisak pravnih lica koja poseduju originalnu dokumentaciju, 

specifikacija idejnog projekta, 

spisak tehniĉkog projekta, 

spisak idejnog projekta, 

objašnjenje (tehniĉkog rešenja i principa rada), 

tehniĉki uslovi (norme za kontrolu, prijem i isporuku), 

program i metode ispitivanja (isporuka, prijem, periodiĉna kontrola), 

proraĉun, tabele, 

eksploatacioni dokumenti (odrţavanje, kvarovi), 

remontni dokument, 

karta tehniĉkog nivoa i kvaliteta, 

ostali dokumenti (nomenklature, prospekti, tehnološke karte). 

Današnji stepen CIM sitema ne zahteva izradu svih dokumentacije sa ĉvrstim otiskom. 

U budućnosti, kategorija dokumenata na papiru trebalo bi potpuno da nestane. 

Moţe se oĉekivati racionalizacija i standardizacija informatiĉke dokumentacije proizvoda. 

STRUKTURA PROCESA PROJEKTOVANJA 

Objekat projektovanja moţe biti proizvod ili proces kod projektovanja tehnologija. Projektovanje 

raĉunarom je automatizovan proces, razliĉitog stepena automatizovanosti. Najĉešće je proces 

projektovanja u dijalogu, a kod rutinskih zadataka, samo izvršni. Naĉin projektovanja zavisi od 

poslova i od raspoloţivih uslova (softvera i hardvera). 

Analiza sloţenih tehniĉkih objekata u projektovanju vrši se prema tehnickim aspektima i 

hijerarhijskim nivoima, slika 1.4. 

Tehniĉki aspekti definišu funkcionalna, konstruktivna, tehnološka i eksploataciona svojstva 

objekata. 

Funkcionalni aspekt definiše osnovnu funkciju ili proces rada. 

Konstruktivni aspekt definiše sadrţaj i formu objekta. 

Tehnološki aspekt definiše tehnološku moć objekta, vrste procesa izrade i drugo. Eksploatacioni 

aspekt definiše ponašanje objekta u eksploataciji. 

Sloţenost objekta moţe biti veća ili manja. 

Otuda u okviru svakog aspekta: hijerarhijski nivoi: objekat kao celina, funkcionalni podsistemi 

(noseća konstrukcija, pogonski uredjaji, komandni uredjaji itd.), delovi podsistema (sklopovi) i 

delovi sklopova (elementi). 

Broj hijerarhijskih nivoa, zavisi od stepena sloţenosti objekta. 

Prema hijerarhijskim nivoima, projektovanju se pristupa po razliĉitim osnovama.


Slika 1.4 Struktura procesa projektovanja 

Procedure projektovanja: 

Projektovanje moţe biti izvedeno procedurama sinteze i procedurama analize. 

Danas se obe metode koriste u projektovanju raĉunarom (CAD), 

U klasiĉnom projektovanju (bez upotrebe raĉunara), metode sinteze koriste selektivno prema 

izgradjenom znanju i uhodanom inţenjerskom pristupu. 

BANKA ZNANJA 

(ISKUSTVO) 

CILJEVI 

OSOBINE KONSTRUKCIJA 

OPTERECENJA 

STATICKO, DINAMICKO, TERMICKO 

OPIS KONSTRUKCIJE 

CAD 

MODEL 

MODIFIKACIJE 

MODELA 

PRORACUN 

OSOBINA 

MEHANICKOG MODELA 

OCENA REZULTATA 

KONACNO RESENJE 

KONSTRUKCIJE 

KRITERIJUMI 

OCENE 

KONSTRUKCIJA 

Slika 3.01 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju 

Procedure sinteze polaze od zadatih svojstava, funkcije, nazivnih parametara (definisanih 

projektnim ili istraţivaĉkim zadatkom), a završne aktivnosti daju geometriju i konstruktivnu 

dokumentaciju. Kako treba operisati sa realnim geometrijskim veliĉinama, metode sinteze koriste 

na svakom hijerarhiskom nivou poĉetni-pretpostavljeni opis, formirajući ga iz ograniĉenja 

definisanih na poĉetnim hijerarhijskim nivoima. 

Procedure analize polaze od pretpostavljene geometrije konstrukcije i koriste je za analizu po 

razliĉitim osnovama (aspektima) i na razliĉitim hijerarhijskim nivoima. Na ovaj naĉin se 

proverava ispravnost poĉetnog konstruktivnog opisa objekta. 

Na poĉetku projektovanja metodama analize dobija se rešenje koje polazi od proizvoljnih 

pretpostavki pa zato i najviše odstupa od kriterijuma koji su zadati sa prethodnog hijerarhijskog 

nivoa. Ovakva rešenja ne mogu biti verifikovana, ali su zato poznati kriterijumi koji nisu 

zadovoljeni, pa se prema njima vrši korekcija za novu analizu. 

U klasiĉnom postupku projektovanja, verifikacija se izvodi uvek prema specifiĉnim elementima 

konstrukcije. Kod projektovanja raĉunarom (CAD), potrebna je opštija logika koja bi vaţila za 

svaku problematiku u istoj struĉnoj grupaciji (mašinstvo, gradjevinarstvo, elektronika, dizajn).

CAD - RAĈUNARSKA GRAFIKA - DR MIOMIR JOVANOVIĆ 1 

Generacija 2010-2011 

CAD-TEHNOLOGIJE 

Predavanje – 2 

Računarska grafika 

Rana istraživanja u oblasti raĉunarske grafike pokazala su da se grafiĉkom interpretacijom pojmova 

ubrzava korisniĉki interfejs nekoliko stotina puta u odnosu na tekstualni interfejs. Tehniĉke uslove 

za razvoj grafiĉkih interfejsa dalo je povećanje brzine procesora koji su obezbedili potrebne 

kapacitete za grafiĉko interpretiranje sadržaja. Prvi vidovi grafiĉkih interpretacija bili su u ravni 

(dvodimenzioni 2D). Zahtevi za univerzalnom interpretacijom, doveli su do trodimenzione (3D) 

interpretacije sadržaja. Iz tih kreacija nastala je primenjena matematiĉka i informaciona disciplina 

za grafiĉku interpretaciju sadržaja - kompjuterska grafika. Ona se oslanja na principe matematiĉkih 

nauka, nacrtnu geometriju, informatiku i primenjenu elektroniku. Kompjuterska grafika je 

primenjena za projektovanje primenom raĉunara (Computer Aided Design), skraćeno nazvano CAD 

u okviru koga se realizuje i izrada tehniĉke dokumentacije (Computer Aided Design Drafting - 

CADD). Primena kompjuterske grafike u mašinstvu realizuje se kroz geometrijsko modeliranje, 

ĉime se formiraju modeli za proraĉune. Podaci o modelima formirani kao datoteke geometrijskih 

entiteta, koriste standardne formate baza podataka. Baze podataka se dalje koriste za projektovanje 

proizvodnje i tehnologija (Computer Aided Process Planning - CAPP). Savremena primena 

kompjuterske grafike je takodje u mašinskom vidjenju objekata, veštaĉkoj inteligenciji. Raĉunarska 

grafika ima primenu izuzetno široku u drugim oblastima: Medicini za dijagnostiku primenom 

kompjuterske tomografije, medicinskoj grafici za interpretaciju hemijskih analiza, video medijima 

(film, TV), komunikacijama za vizuelnu komunikaciju (Visual Communication and Interfaces), 

kartografiji i geologiji (CAGES), umetnosti (Computer Art). 

Osnova širenja raĉunarske grafike i prevazilaženja razliĉitosti grafiĉkog softvera i 

hardvera ima pojava raĉunarskih standarda kao što su GKS, GKS-3D, PHIGS, 

CGM, CGI, IGES. Danas se kompjuterska grafika standardizuje pod okriljem 

Komiteta za nacionalnu kompjutersku grafiku (National Computer Graphics 

Association - NCGA) i Komiteta za svetsku kompjutersku grafiku (World 

Computer Graphics Association - WCGA). ISO standardi definišu raĉunarsku 

grafiku kao skup metoda i tehnika za konverziju podataka koji se šalju ka 

grafiĉkom ekranu ili sa njega, posredstvom raĉunara. Zavisno od smera konverzije 

podataka izmedju raĉunara, ulazno-izlaznog uredjaja i vrste raĉunarskog sistema, 

postoje tri osnovne oblasti primene raĉunarske grafike. Prva oblast je 

Generativna raĉunarska grafika gde korisnik unosi podatke u raĉunar, izvršava 

programe za konverziju izlaznih rezultata u linije, taĉke, slova, poligone, ĉime se 

generiše slika. Druga oblast primene je analiza slika na bazi informacija unetih 

CCD kamerom sa ciljem prepoznavanja predmeta koji ĉine sliku (primenjeno u 

savremenoj robotici). Treća oblast primene je obrada slika (procesiranje) ĉime se 

menja sadržaj slike u cilju poboljšanja kvaliteta. 

1.20 KONCEPT GRAFIČKE INTERPRETACIJE SADRŽAJA 

Kompjuterska grafika zasniva se na tri sistema: aplikativnom sistemu, grafiĉkom sistemu i korisniku. Za njihovu medjusobnu 

vezu su upotrebljena tri interfejsa: aplikativni interfejs, interfejs uredjaja i interfejs korisnika. Interfejsi su standardizovani prema 

predlogu istraživaĉa Bono - Enderle 1986. godine. Koncept grafiĉkog sistema, prema tom predlogu, pokazan je na slici 1.01. 

Programska aplikacija korisnika se sastavlja pozivom grafiĉkih potprograma iz datoteke grafiĉkih podataka (struktura). Iz tih 

programskih navoda sastavlja se program aplikacije koji se kao datoteka smešta na memorijski medijum raĉunara. Kada se uĉitava 

program gotove aplikacije, jezgro obavlja tumaĉenje programskih navoda i shodno bazi podataka grafiĉkih struktura nalazi 

programske instrukcije za grafiĉku formu na uredjaju za prikazivanje. Jezgro grafiĉkog programa je povezano sa radnom grafiĉkom 

stanicom, preko interfejsa uredjaja, a korisnik preko interfejsa korisnika. Interfejs korisnika zasniva se na našem iskustvu sa okolnim 

prostorom, prepoznavanjem geometrijskih formi, medjusobnim odnosima grafiĉkih sadržaja. Korisnik za grafiĉki prikaz koristi 

grafiĉki uredjaj za prikaz koji može biti monitor, ploter. Rutinske procedure u raĉunarskoj grafici su najvećim delom 

standardizovane da bi se koristile nezavisno od opreme. Prenosivost grafiĉkih sadržaja zasniva se na unificiranosti programskih 

naredbi koje definišu grafiĉke primitive.

1.0 CAD - RAĈUNARSKA GRAFIKA 2 

PODACI 

APLIKACIJE 

PODACI 

GRAFICKIH 

STRUKTURA 

ULAZ 

IZLAZ 

Korisnik 1 

PROGRAM 

APLIKACIJE 

JEZGRO 

GRAFICKOG 

PROGRAMA 

ULAZ 

IZLAZ 

ULAZ 

IZLAZ 

Korisnik 2 

Korisnik n 

INTERFEJS 

APLIKACIJE 

INTERFEJS 

UREDJAJA 

INTERFEJS 

KORISNIKA 

APLIKACIJA GRAFICKI SISTEM KORISNIK 

Slika 1.01 Koncept grafičke interpretacije sadržaja 

Slika 1.02 pokazuje integrisani CAD sistem sa pripadajućim standardima, formatima grafiĉkih datoteka i potrebnim 

interfejsima. Korisnik upotrebljava grafiĉke standarde GKS, GKS-3D, PHIGS, za kreaciju, dok za transfer podataka ka drugim 

grafiĉkim uredjajima, koristi CGM i GKSM standardne datoteke poznate pod imenom - metafajl. Sredjeni podaci o grafiĉkom 

modelu mogu se uputiti ka drugim sistemima posredstvom IGES, PDES, STEP i drugih formata datoteka. Transfer podataka iz 

grafiĉkog sistema ka grafiĉkoj stanici obavlja se u CGI grafiĉkom standardu. 

PROGRAMSKI INTERFEJS 

MODELIRANJE 

DISPLEJ 

PRORACUN 

DIJALOG 

CAD 

BAZA 

TRANSFER CAD 

FORMATA: 

IGES 

PDES 

STEP 

DRUGI 

CAD 

SISTEMI 

GRAFICKI SISTEMI 

GKS, GKS-3D, PHIGS 

CGI 

GRAFICKA 

STANICA 

FUNKCIONALNI INTERFEJS 

KORISNICKI 

INTERFEJS 

TRANSFER 

FORMATA SLIKE: 

CGM, GKSM 

KORISNIK 

DRUGI 

GRAFICKI 

SISTEMI 

Slika 1.02 Osnovni koncept CAD sistema sa pripadajućim grafičkim standardima. Primena CAD tehnologije: planetarni prenosnik. 

1.30 PRIKAZIVANJE OBJEKATA U RAČUNARSKOJ GRAFICI 

U raĉunarskoj grafici se primenjuju dva naĉina prikazivanja objekata: dvodimenzionalan (2D) i trodimenzionalan (3D). 

Trodimenzionalno prikazivanje može biti centralno i paralelno. Centralno prikazivanje vodi u tri osnovne vrste perspektiva 

(frontalnu, ugaonu i kosu). Paralelno prikazivanje 3D objekata može biti ortogonalno i kosougaono. Osnovnu šemu razliĉitih tipova 

perspektiva pokazuje detaljnije slika 1.03. U mašinstvu je najĉešće u upotrebi ortogonalna projekcija. Tehnika operisanja objektima, 

likovima i telima, posebno je obradjena kroz disciplinu poznatu pod imenom Geometrijsko modeliranje. Geometrijsko modeliranje 

koristi matematiĉke funkcije za prostorni opis ili interpolaciju geometrije. 

PRIKAZIVANJE 3D OBJEKATA 

CENTRALNO 

PARALELNO 

FRONTALNA 

PERSPEKTIVA 

PERSPEKTIVA 

SA UGLA 

KOSA 

PERSPEKTIVA ORTOGONALNO 

AKSONOMETRIJA 

KOSOUGAONO 

KAVALJERSKA 

PERSPEKTIVA 

VOJNA 

PERSPEKTIVA 

IZOMETRIJA DIMETRIJA TRIMETRIJA 

30 O 

30 O 

7 O 42 O 

Slika 1.03 Klasifikacija načina prikazivanja 3D objekata. Primena: Izometrijski prikaz turbo-punjača motora sa unutrašnjim sagorevanjem.


Klasifikacija prikaza: Prikaz grafiĉkih sadržaja vrši se na dva moguća naĉina: Sistemom baziranim na slici 1 (slika je formirana iz 

taĉaka-bitmapa) i sistemom baziranim na geometriji (vektorski sistem). Osim osnovnih tehnika prikaza grafiĉkih sadržaja, raĉunarska 

grafika koristi razliĉite tehnike za poboljšanje vizuelne forme: trodimenzionu interpretaciju i perspektivu, vizuelno odredjivanje 

(skrivene linije i površine), podešavanje intenziteta svetla (po dubini objekta) i svetlosnih sadržaja, tehnike senĉenja, tehnike bojenja 

(transparentnost, refleksija), tehnike simulacije i animacije (dinamiĉka perspektiva). 

1.40 OSNOVNI GRAFIČKI ELEMENTI 

PRIMITIVE: Primitive su osnovni elementi za prikaz grafiĉkih sadržaja. Sastavljanjem primitiva u celinu, formira se slika. Zavisno 

od standarda koji se primenjuje, koriste se grafiĉke primitive kao što su polilinija (niz povezanih linija), polimarker (simbol 

odredjene vrste), tekst, ispunjena oblast - poligon, ćelijski raspored (matrica piksela odredjene boje), kao i specijalne primitive samih 

radnih stanica. Primitive omogućuju vizuelnu interpretaciju elementarnih grafiĉkih formi po položaju i obliku. Definisanje primitiva 

zahteva dopunske podatke o obliku grafiĉke forme i oni se odredjuju atributima. 

Atributi: Atributi teksta su: veliĉina, font, orijentacija i boja. Tipove raspoloživih primitiva definiše izabran grafiĉki standard. U 3D 

grafici dodatne primitive mogu biti: prizme, sfere, cilindri, konusi, torusi, iseĉci i druge forme (MicroStation’95, prema slici 1.05). 

Slika 1.05 3D primitive: Prizma, lopta, cilindar, konus, torus, isečak 

SEGMENTI: Segment je skup osnovnih grafiĉkih elemenata ili deo slike kojim se može manipulisati kao celinom. Korisnik definiše 

segment. Segment se ĉuva u segmentnoj memoriji aktivne radne stanice i ima svoj identifikacioni broj. Nad segmentom se obavljaju 

klasiĉne geometrijske operacije: kreiranje, translacija, rotacija, skaliranje, kopiranje. 

OBJEKTI: Objekti u raĉunarskoj grafici su složeni sadržaji (mašinskih elemenata i sklopova). 

Forme: Objekti mogu biti vidljivi i nevidljivi, što je odredjeno postojanjem medjuobjekta-prepreke izmedju objekta i posmatraĉa. 

3D objekti se mogu prikazati sa svim linijama nezavisno od vidljivosti pa se takvi modeli nazivaju žičani modeli. 3D objekti mogu 

koristiti razliĉIte tehnike za vizuelno poboljšanje prikaza. Prema tome, površine objekata mogu biti senĉene, što naroĉito dolazi do 

izražaja kod oblih površina. Slika 1.06 pokazuju geometrijski modeliran 3D objekat u vidu vratilo sa dva venca za ozubljenje i 

krajem sa ekscentrom i prelazima za ugradnju ležajeva. Prikazana je forma žičanog i senčanog modela. 

Slika 1.06 3D objekat-složena geometrijska forma izometrijski prikazan kao 

žičani model sa skrivenim linijama i glatko senčani model 

1 Bitmapiran sistem razvila je kompanija Xerox, Palo Alto Research Center 1974.


1.50 PROSTORNE TRANSFORMACIJE RAČUNARSKE GRAFIKE 

Prikazivanje objekata u raĉunarskoj grafici organizovano je korišćenjem barem dva koordinatna sistema: koordinatnog 

sistema objekta i koordinatnog sistema uredjaja za grafiĉki prikaz sadržaja. Koordinatni sistem objekta je svetski, merni koordinatni 

sistem (engl. world coordinate system – WCS) kojim su definisane realne koordinate objekata u prirodi. Koordinatni sistem uredjaja 

za prikazivanje je prilagodjen veliĉini prostora na kome se prikazuje objekat. Taj prostor je definisan koordinatnim sistemom 

uredjaja (Device Coordinate Space) - DC-sistem. 

Da bi se obezbedila prenosivost grafiĉkog sadržaja nezavisno od uredjaja za prikazivanje, koriste se normalizovani 

koordinatni sistemi i normalizovani prostori. Normalizovani prostori su apstraktni i u njima su dimenzije objekata u intervalu 01. U 

GKS standardu normalizovan prostor je oznaĉen sa Normalized Device Coordinate, NDC - sistem. 

Prenos slika iz jednog u drugi koordinatni prostor vrši se matematiĉkim transformacijama preslikavanja. Tako se 

transformacijom normalizacije (Normalization transformation - NT transformacija), vrši preslikavanje iz stvarnog - realnog prostora 

(WC prostora) u normalizovan prostor uredjaja (NDC prostor). Izvršenje ove transformacije, postiže se pozivom odgovarajućeg 

potprograma primenjenog standarda za rad. Preslikavanje sadržaja iz normalizovanog prostora (NDC prostora) u prostor za 

prikazivanje radne stanice (DC prostor), izvodi se prema dimenzijama radne stanice. 

Ta operacija se naziva transformacijom radne stanice (workstation transformation - WT transformacija). 

SPOLJASNJI FIZICKI ROSTOR 

100 

. 

TRANSFORMACIJ 

A 

NORMALIZOVAN ROSTOR 

1.0 

1.0 

PROSTOR 

PROZOR NA REALNOM OBJEKTU 

PROSTOR 

PRIKAZ REALNOG PROZORA 

0.0 

0.0 

TRANSFORMACIJ 

A 56. 42. (cm) 

PROSTOR 

0. (cm 

) 

50. 

PROSTOR 

UREDJAJA 

0.0 

0.0 

PROZOR RADNE STANICE 

PRIKAZ PROZORA RADNE STANICE 

Slika 1.07 Transformacije prikaza objekta kod grafičkih radnih stanica 

Slika 1.08 Koncept prozora i prikaza realnog objekta i radne stanice 

Preslikani pravougaoni prostor NDC sistema na prostor za prikazivanje radne stanice (DC prostor), naziva se pogled radne stanice 

(Workstation Viewport - WV). Preslikani normalizovani prostor naziva se prozor radne stanice (Workstation Window - WW). 

Analogno, deo prostora stvarnog - realnog koordinatnog sistema (WC) koji se preslikava u NDC prostor naziva se prozor 

normalizacijske transformacije NT - prozor ili prozor realnog sistema (World Window - WW). Pravougaoni prostor NDC sistema u 

koji je preslikan sadržaj prozora realnog sistema normalizacijskom transformacijom, naziva se pogled realnog sistema (World 

Viewport). Slika 1.08 interpretira ove transformacije na kutijastom nosaĉu dizalice sa pogonskim toĉkom na šini. 

Ovako postavljen koncept omogućava otvaranje više prozora u prikazivanju jednog objekta i više otvorenih pogleda u DC prostoru 

radne stanice. Otvaranje više prozora u grafiĉkom sistemu radne stanice izvodi se sa više normalizacijskih transformacija pri ĉemu je 

u jednom trenutku samo jedan prozor aktivan (izvršava se samo jedna normalizacijska transformacija). Ovaj koncept daje izvanredne 

mogućnosti primeni raĉunara za projektovanje: njime se formiraju meniji na prostoru za prikazivanje grafiĉke radne stanice, radi sa 

više otvorenih dokumenata, analizira - izdvaja deo realnog objekta. Taj koncept omogućava formiranje složenog dokumenta (za 

sklopanje proizvoda) iz više razliĉitih realnih prostora (WC 1 

, WC 2 

, WC 3 

). 

KORISNIĈKI INTERFEJS 

DEFINICIJA: Korisniĉki interfejs 2 je program koji omogućava dijalog izmedju korisnika i raĉunara 61. U osnovi to je 

odnos ĉoveka sa raĉunarom pa se on naziva interfejs ĉovek-raĉunar (Human Computer Interface – HCI). Korisniĉki interfejs ima 

zadatak da na jednostavan naĉin obezbedi dijalog korisnika sa raĉunarom bez obzira na jeziĉku barijeru. 

TIPOVI INTERFEJSA: grafiĉki, govorni, kombinovani. Grafiĉki interfejsi koriste grafiĉke simbole za predstavljanje 

razliĉitih sadržaja kao što su datoteke, direktorijumi, parametri za podešavanje, alati za obavljanje razliĉitih operacija. U tu svrhu 

razvijeni su operativni sistemi Windows, Windows-NT, X-Windows, Unix. Sve programske aplikacije koje rade pod Windows 

operativnim sistemima imaju razvijene grafiĉke interfejse (Program Manager, File Manager, Windows Explorer, Internet Explorer) 

ĉesto podržane i audio sekvencama. Slika 1.09 - korisniĉki interfejs aplikacije u programu COREL. 

2 Korisniĉki interfejs, engl. Graphical User Interface - GUI


Slika 1.09 Primer Windows prozora otvorene aplikacije COREL sa grafičkim sadržajem 

korisničkog interfejsa i aktiviranim padajućim i kaskadnim menijem 

Interfejs na ovoj slici raspolaže u grafiĉkom obliku sledećim sadržajima za interaktivan rad: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

alate za unošenje grafiĉkog sadržaja poredjanih levom ivicom Windows prozora, 

komande za rad sa datotekama (File, Edit, View, Export, Import), gore u zaglavlju, 

alate za geometrijske transformacije i podešavanja (Layout, Arrange, Effects), 

alate za razliĉite druge operacije (Bitmaps, Text, Tools), 

paletu alata podešavanja argumenata (format, boja, debljine linija primitiva), 

lenjire sa mernim jedinicama ivicom prostora za crtanje, 

mehanizam potvrde (redo) i otkaza neželjene operacije (undo), 

proporcionalan klizaĉ horizontalnog i vertikalnog skrolbara, sa strelicama, 

dugmad za rad sa windows prozorom (meni prozora: min, max, zatvoren prozor), 

paletu poslova (taskbar), ispod donje ivice prozora, 

traka naslova, u zaglavlju gore - ime datoteke apikacije, 

ikone koje daju elemente tekućih stanja ili setovanja (monitor, vreme, štampa), 

paletu raspoloživih boja (vertikalno, desno), 

hijerarhijske menije (na slici 1.09 je padajući i kaskadni meni). 

OSNOVNI GRAFIĈKI ELEMENT: koji ilustruje namenu unutar korisniĉkog interfejsa je sliĉica – ikona. Ona slikovito i 

asocijativno deluje na korisnika: Jasno oznaĉava funkciju, lako se pamti i dobro se razlikuje od ostalih ikona. Ikona oznaĉava 

datoteku. Selektovanjem ikone pokreće se program ili otvara datoteka preko putanje do sadržaja na memorijskom medijumu gde je 

datoteka smeštena. 

Slika 1.10 pokazuje radni prostor na kome su rasporedjene ikone datoteka razliĉitih aplikativnih programa. Korisniĉki interfejs nudi 

mogućnost direktnog postavljanja, uklanjanja i premeštanja ikona na radnoj površini grafiĉkog uredjaja. Preko ovih operacija vrši se 

direktna manipulacija programima, kao tipiĉna kategorija operisanja korisniĉkim interfejsom. 

Slika 1.10 Primer Windows radnog prostora sa ikonama datoteka aplikativnih programa


Na slici 1.09 pokazane su još tri interaktivne tehnike funkcionisanja korisniĉkog interfejsa. Naime može se uoĉiti da su padajući 

meniji na mestu izbora tražene opcije, zatamnjeni. Opcija je odredjena jednom od tri raspoložive tehnike: pozicioniranjem (preko 

tastature, recimo upotrebom tastera ALT), selektovanjem posredstvom izbornog skupa (to je neki atribut, recimo zadebljano ili 

podvuĉeno slovo komande) i pokazivanjem opcije (recimo dvostrukim klikom preko miša). 

MENIJI: su osnovni naĉin otvaranja sadržaja korisniku. Postoje tri osnovne kategorija menija: Hijerarhijski, hodajući i skrolovani 

meni. Hijerarhijski meniji pokazuju putanju otvaranja shodno hijerarhijskom nivoi opcije. Na grafiĉkom displeju se otvara kaskada 

opcija a preglednost putanje je maksimalna. Na slici 1.11 je pokazana kaskada. 

Slika 1.11 Primer menija sa hijerarhijskom kaskadom 

Metoda tekuće selekcije se koristi kod opcija koje se medjusobno iskljuĉuju pri izboru. To je pokazano na slici 1.12, na primeru 

izbora opcije položaja papira za štampu (portrait / landscape). 

Slika 1.12 Primer menija tekuće selekcije (opcije koje se medjusobno isključuju) 

SKROLOVANI MENIJI se otvaraju pomeranjem skrol dugmeta niz traku uz koju su poredjane opcije, Slika 1.13 pokazuje jedan 

Windows prozor programa COREL u okviru koga je otvoren skrol meni opcije izbora fonta. Obzirom na veliki sadržaj menija 

fontova, skrol dugme omogućava skrolovanje sadržaja menija. Nekim drugim uredjajem (ENTER) se odabere font. 

Slika 1.13 Primer menija tekuće selekcije (opcije koje se medjusobno isključuju)


DRUGE TEHNIKE korisniĉkih interfejsa. To su tehnike rada sa dijalog boksovima, kada se za izabranu kategoriju otvara poseban 

boks unutar koga se bira više opcija. To su recimo meniji definisanja svojstava materijala, kada se unosi više karakteristika. 

Neposredna grafiĉka konstrukcija koristi tehniku elastiĉnog projektovanja bilo nad primitivom bilo nad grafiĉkim segmentom. Ovom 

tehnikom linija se dobija izmedju polazne i krajnje taĉke. Tehnika modifikacije elementa koristi koncept držaĉa (handles) za 

uvećanje, umanjenje ili razvlaĉenje objekta u ravni. Široko je primenjena i u 2D i u 3D konstrukciji. 

1.61 UNOS GRAFIČKIH PODATAKA 

AKTIVIRANJE: Grafiĉke funkcije programa mogu se aktivirati razliĉitim fiziĉkim sredstvima raĉunara. Ta fiziĉka sredstva ulaza 

mogu imati razliĉite namene pa se prema njima definišu logiĉke funkcije ulaza. LOGIĈKE FUNKCIJE zavise od stanja grafiĉke 

stanice i mogu se aktivirati samo pri odgovarajućim uslovima. GKS standard definiše 6 klasa logiĉkih ulaznih uredjaja: 

lokator (lokator) - definiše položaj taĉke na slici, 

stroke (potez) - definiše sekvencijalne taĉke objekta za izvršenje transformacija, 

valuator (ocenjivaĉ)- definiše realne brojeve, 

biraĉ (izbor) - potvrda pozitivnog ili negativnog izbora iz prethodnog pitanja, 

pik (odabiraĉ) - potvrda posredstvom strelice miša, odredjenog segmenta slike i 

string (tekst) - ulaz grupom - setom karaktera, najĉešće sa tastature. 

IZBOR se obavlja prema "string" menijima (sa tekstom) ili simboliĉkim menijima prema "ikonama" (sliĉicama). Meniji mogu biti 

stalno vidljivi ili aktivirani (padajući) prema traženim funkcijama za izvršenje 3 . Shodno unetim podacima i trenutnom radnom stanju 

grafiĉke radne stanice, definiše se status uredjaja primenom datoteka stanja (definiše listu stanja). Liste stanja daju grafiĉku kontrolu 

uredjaja, definišu stanje grafiĉkih funkcija, moguće greške (ĉime se aktiviraju funkcije za korekciju), operativno stanje radne stanice 

(aktivna, neaktivna, otvorena, zatvorena), odredjuju raspoložive mogućnosti softvera. U operativnom smislu, ispitivanjem lista stanja 

(provera dovoljnosti uslova), radna stanica se stavlja u stanje "ulaza" ĉime se aktivira upravljaĉka logika uredjaja za unos podataka. 

SPECIJALNE DATOTEKE: Datoteke grafiĉkih podataka - METADATOTEKE. Metadatoteke su sekvencijalne grafiĉke datoteke 

koje sadrže sliku (podatke o formiranju slike) u apstraktnom obliku, nezavisnom od grafiĉkog uredjaja za prikazivanje i aplikacije. 

Prema tome, metafajlovi su prenosivi. U GKS sistemu metadatoteka je definisana GKSM standardom kao sekvencijalna datoteka. 

ISO standardi definisali su metadatoteke 1987. godine. Skraćenica CGM (Computer Graphics Metafile) obeležava standardne 

metadatoteke. 

1.70 STANDARDI RAČUNARSKE GRAFIKE 

GKS standard je dobio internacionalan status 1982. a publikovan je kao ISO 7942 standard za raĉunarsku grafiku 

1985. Napisan je u nezavisnoj verziji od programskog jezika i formulisan najpre u dve varijante: sopstvenoj (GKS) i fortranskoj 

korišćenjem FORTRANA 77. Danas su njegove funkcije napisane u jeziku za programiranje C, ADA, Pascal, a razvijeno je i više 

softverskih varijanti za PC raĉunare 3. Iz osnovnog GKS standarda razvijen je grafiĉki standard GKS-3D (ISO 8805). Razvoj ovog 

standarda uslovio je standardizaciju drugih sadržaja u raĉunarskoj grafici, kao što je standard za grafiĉke metafajlove (CGM ISO 

1987), standard za grafiĉke interfejse (CGI ISO 1991). Danas GKS standard podržava preko 90 % aplikacija raĉunarske grafike 3. 

GKS je napisan za tri vrste korisnika raĉunarske grafike. Prvu grupu ĉine implementatori koji se bave razvojem osnovnog grafiĉkog 

softvera. Ovo znaĉi da GKS može da se dogradjuje. Drugu grupu korisnika ĉine programeri aplikacija koji koriste osnovni grafiĉki 

sistem za pisanje aplikativnih programa. To je, recimo, posao za vodeće industrijske programere ili profesionalne softverske 

proizvodjaĉe. Treću grupu korisnika ĉine operatori koji koriste - izvršavaju gotove aplikativne programe, što ne zahteva ĉak ni znanje 

programiranja. 

GKS grafiĉki sistem sadrži biblioteku od oko 200 potprograma ĉijim pozivom se ostvaruju odgovarajuće grafiĉke funkcije. 

Koncept GKS sistema definiše vezu operativnog sistema raĉunara i aplikativnog programa preko jeziĉkih slojeva (layer-a) koji 

koriste grafiĉko jezgro (kernel) standarda. 

Prema perifernim grafiĉkim uredjajima, GKS koristi upravljaĉke programe uredjaja (device drivers), skraćeno "drajvere". 

Drajveri definišu upravljaĉke komande za uredjaje (ploter, printer, CRT) i aktiviraju se samo programskim navodjenjem zahteva 

(poziva) iz aplikativnog programa. Generisanje slika vrši se povezivanjem osnovnih grafiĉkih elemenata - grafiĉkih primitiva. 

U GKS-u to su linije, markeri, tekstovi, poligoni, matrice ćelija i generalisani grafiĉki elementi. Generalisani grafiĉki elementi su 

gotove složene primitive (krugovi, elipse, odseĉci i iseĉci kruga, odnosno u 3D prostoru to su odseĉci lopti, iseĉci valjaka i drugo). 

Grafiĉke primitive su opisane atributima kojima se definišu karakteristike primitiva. Atributi teksta su vrsta fonta, veliĉina, 

orijentacija, boja. 

RADNA STANICA u GKS sistemu je mesto za prikaz jedne slike (monitor, ploter, kopirni uredjaj). Kad grafiĉki terminal 

ima mogućnost prikazivanja više nezavisnih prozora na istom monitoru, onda svaki prozor predstavlja posebnu radnu stanicu GKS 

sistema. Ovo znaĉi da jedna fiziĉka radna stanica može da sadrži više GKS radnih stanica. GKS deli opremu za unos podataka 

(tastature, digitalizatori, miševi) na 6 klasa logiĉkih ulaznih jedinica: lokator, potez (stroke), ocenjivaĉ (valuator), izbor (choice), 

odabiraĉ (pick) i tekst (string). 

3 Prva interaktivna grafiĉka forma napravljena je 1950. na MIT (USA).


SGMENT: Osnova radnog procesa je rad sa segmentima. GKS koristi nezavisnu segmentnu memoriju (Workstation 

Independent Segment Storage - WISS memorija) 6. Osim geometrijskih transformacija (translacija, rotacija, uvećanje i umanjenje), 

nad segmentom se mogu izvršavati i transformacije promene prioriteta prikazivanja, kopiranja u druge segmente i radne stanice, 

promena oznake segmenta itd. Segmenti imaju svoje zajedniĉke atribute kojima se definišu opšta stanja kao što je, recimo, treperenje, 

vidljivost, prioritet. 

Grafiĉke podatke GKS memoriše radi njihovog arhiviranja ili prenošenja na druge sisteme, na naĉin nezavisan od 

raĉunarskog sistema. GKS je standardizovao metadatoteke u smislu pristupa, korišćenja i rasporeda podataka. Za rad sa 

metadatotekama, GKS je razvio odgovarajuće programe definisane GKS funkcijama. Kontrolu radnog stanja aplikacije, GKS 

definiše listama stanja. Radno, operaciono stanje, definiše status pojedinih uredjaja i status izvršenja aplikacije. Stanje definisano 

listama stanja prati se funkcijama upita GKS sistema, ĉime se izvode zakljuĉci o dovoljnosti uslova za naredna izvršenja i vrši 

izveštavanje o greškama. 

GKS omogućava grafiĉke izlaze vektorskom i raster grafikom. Tipiĉan vektorski uredjaj za izlaz je ploter, a rasterski uredjaj 

je grafiĉki monitor. Hardverski zahtevi opreme za raĉunarsku grafiku su visoki i zahtevaju ne samo brze, već specijalizovane 

procesore sa velikom paletom boja, specijalnim efektima i hardverski izvedenim grafiĉkim transformacijama. 

PHIGS standard je definisan propisima ISO 9592, 1985. godine. PHIGS je akronim engleskog naziva 

Programmer's Hierarchical Interactive Graphics System. Njime je pored rada u 3D prostoru, moguć i rad sa hijerarhijski povezanim 

segmentima, koji se mogu i naknadno menjati. Dok GKS služi za generisanje grafiĉkog prikaza geometrijskog modela formiranog u 

aplikativnom programu, PHIGS omogućava formiranje geometrijskog modela na jedinstven, standardizovan naĉin. Primena PHIGS 

sistema je pogodna za CAD sisteme u kojima se vrši prostorno geometrijsko modeliranje predmeta sa simulacijama njegovog 

kretanja. Koristi se u molekularnom modeliranju, kartografiji, prepoznavanju oblika i procesiranju slika. 

CGM standard je nastao iz potreba za prenosom i razmenom grafiĉkih podataka. Kao medjunarodni ISO 8632 

standard, registrovan je 1987. Datoteke za smeštaj grafiĉkih podataka, poznate kao metadatoteke, nose ekstenziju CGM (Computer 

Graphics Metafile CGM). CGM metadatoteke su neutralne datoteke, sadrže podatke o elementima koji ĉine sliku, a slika nije 

namenjena daljoj promeni (tzv. statiĉka slika). Prednost GKS metadatoteka je što one sadrže i podatke o strukturi slike (segmente) 

što omogućava dalju obradu slike (dinamiĉku sliku). Korišćenje CGM standarda oĉuvano je zahvaljujući njegovoj rasprostranjenosti. 

Kodiranje metadatoteke definiše ISO 646 i ISO 2022 na bazi ASCII koda. 

CGI standard se koristi za upravljanje grafiĉkim uredjajima. Upravljanje se izvodi upravljaĉkim programima 

prilagodjenim za svaki grafiĉki uredjaj posebno (device drivers - "drajveri"). CGI standard prevodi odgovarajuću grafiĉku funkciju u 

komandu uredjaja. Kako broj "drajvera" brzo narasta (zbog unapredjenja opreme), ISO je 1988. doneo standard za upravljanje 

grafiĉkim uredjajima poznat pod nazivom Computer Graphics Interface (CGI). Standard definiše jedinstvene komande za 

upravljanje grafiĉkim uredjajima bez obzira na vrstu ili proizvodjaĉa opreme. I pored standarda, još uvek se proizvode "drajveri" 

zavisni od uredjaja što ukazuje da proces standardizacije nije okonĉan i da je u toku. CGI standard podržava GKS standard. CGI 

standard koristi ispitne funkcije koje su opisane klasama: izlaza, atributa, boja, raster operacijama, ulazom i segmentacijom. 

IGES standard: Sistemi za projektovanje pomoću raĉunara sadrže mnoštvo informacija o proizvodu, tehnologijama i 

korisnicima CAD sistema. Za bolje korišćenje i prenos ovih podataka, ANSI je 1981. definisao standard pod nazivom Initial 

Graphics Exchange Specification (IGES). Standard je naroĉito pogodan za mašinske CAD/CAM sisteme. Korišćenje IGES datoteke 

zahteva odgovarajuće generatore i interpretatore podataka da bi bili preneti u druge CAD/CAM sisteme. Ove datoteke zahtevaju 

znaĉajan memorijski prostor.

CAD - GEOMETRIJSKO MODELIRANJE DR MIOMIR JOVANOVIĆ 1 

Generacija 2008 

CAD - GEOMETRIJSKO MODELIRANJE 

Predavanje 3 

Geometrijsko modeliranje 3D objekata 

Modeliranje objekata u računarskoj grafici predstavlja formiranje objekata 

(modela) računarom. Kako je formiran model logička celina, on se dalje može upotrebiti 

za izradu konstruktivne dokumentacije, različite grafičke prikaze, tehnološku pripremu 

proizvodnje (CAP/CAPP/CAM) i konačno za inžinjerske analize. 

U CAD postupcima, modeliranje je skup metoda kojima se, posredstvom 

računara, definišu geometrijska, funkcionalna, materijalna, estetska i druga svojstva 

objekata. Proces izrade geometrijskog modela je geometrijsko modeliranje. 

Geometrijski model je osnovni predmet rada u CAD-u. Geometrijski model ima 

svoju fizičku formu (u prostoru to je mašinski deo), apstraktnu formu u obliku crteža, 

informacionu formu (hijerarhija elemenata) i unutrašnju formu u bazi podataka. 

Geometrijsko modelirnje metodološki koristi analizu i sintezu. 

Sinteza je proces stvaranja (obavlja se kod prve kreacije), kada model još uvek 

ne postoji i predstavlja generisanje modela. 

Metode analize geometrijskih modela koriste postojeće, slične modele kao 

osnovu za kreaciju. Analitičkim poredjenjem sličnog modela (matematičkog modela) 

sa ciljnim modelom, utvrdjuju se razlike, na bazi kojih se grupom uzastopnih 

modifikacija formira novi model. 

Računarska grafika koristi tri vrste geometrijskih modela: 

Žičani model, površinski model i zapreminski model. 

ŽIČANI MODEL prikazuje objekat kao skup temenih tačaka i graničnih ivica. 

Žičani model definiše elementarna svojstva objekta: konturu objekta, orijentaciju u 

odnosu na okruženje i funkciju u sklopu scene. Žičani model nema skrivenih linija, pa 

je teško brzo tumačiti geometrijsku formu. Korišćenje žičanog modela zasnovano je na 

brzom operisanju modelom i potrebi uvida i u skrivene linije.

2.0 GEOMETRIJSKO MODELIRANJE 2 

Slika 1. Features tehnika bušenja otvora različitih tipova - žičani i površinski model 

Druge prednosti geometrijskih modela nudi POVRŠINSKI MODEL koji je 

opisan temenim tačkama, graničnim ivicama i graničnim površinama. Ovaj opis je 

detaljniji i omogućava definisanje vidljivosti grafičkih entiteta, formiranje jasne 

tehničke dokumentacije i prikaza sklopova. 

ZAPREMINSKI MODEL opisan je temenim tačkama, graničnim ivicama, 

graničnim površinama i njima zahvaćenom zapreminom. Kako je definisan prostor 

zapreminskim modelom puno telo, naziva se solid model. Solid model omogućuje 

odredjivanje površina preseka, zapremine objekta, momenata inercije, položaja težišta. 

Aplikacije u mašinstvu, koriste zapreminski model kao osnovni model. 

Slika 2. Zapreminski model dobijen tehnikom estrudiranja i Booleovom operacijom sabiranja 

sa koaksijalnim cilindrom 

Proces formiranja geometrijskog modela (aplikacija) ima dve etape rada: 

Prva etapa je DEFINISANJE OSNOVNE GEOMETRIJE OBJEKATA i njegov 

smeštaj u korisničku bazu objekata. Prema tome, modeliranjem se vrši izbor osnovnih 

geometrijskih primitiva, a njihovim sastavljanjem, 2D i 3D operacijama, formira se 

model. Primitive u 3D prostoru su prizma, valjak, kupa, lopta (slika 1.05)


U operativnom smislu, ova procedura se realizuje programski, CSG 

korisničkim interfejsom 1 . Primitive i objekti prostorno zakrivljenih površina, imaju 

visoke hardverske zahteve za realno prikazivanje geometrije. 

SLOBODNI MODELI: 

Zato su češće u upotrebi SLOBODNI MODELI koji aproksimativno prikazuju 

objekat skupom ravnih malih površina zadate veličine. Aproksimacije realnih 

zakrivljenih površina izvedene Bézier-ovim površinama, daju visoku tačnost modela, 

pa su osnova aproksimativnog prikaza računarske grafike. Prikaz se formira mrežom 

malih četvorougaonih krpica (patch), koje vizuelno interpretiraju zakrivljenost 

objekta. Prikazi geometrijskih modela izvedeni aproksimacijama zakrivljenih površina 

ravnim poligonima, nazivaju se fasetnim modelima. Slika 4.0. 

Slika 3.0 Geometrija modela prikazana aproksimativno 

Druga etapa geometrijskog modeliranja je SLAGANJE OSNOVNIH 

PRIMITIVA U GRUPE (segmente), prema funkcionalnim vezama u sklopu. Tako svi 

grafički elementi jedne grupe mogu se kao celina obradjivati. To je proces 

hijerarhijskog grupisanja koji omogućava razlaganje sklopa (prikazivanje u 

rasklopljenom stanju), izradu projekcija, izračunavanje mase, momenata inercije, 

formiranje mreže konačnih elemenata za analizu MKE itd. 

1 CSG - Constructive Solid Geometry, korisnički interfejs za geometrijsko modeliranje tela.


OBLIKOVANJE ZAPREMINSKIH (3D) MODELA 

Formiranje zapreminskih (solid) modela po konceptu sinteze ima više pristupa: 

• Realizuje se definisanjem GRANICA OBJEKTA GRAFIČKIM ELEMENTIMA, 

model granične prezentacije (Boundary REPresentation - B-REP model). 

• Realizuje se SASTAVLJANJEM MODELA iz 3D PRIMITIVA, model 

geometrijske konstrukcije (Constructive Solid Geometry - CSG model). 

• Realizuje se 3D OPISOM OBJEKATA analitičkim opisom preseka, površina, 

projekcija itd. 

Pristup DEFINISANJA GRANICA OBJEKTA (B-REP model): 

a. DEFINISANJE b. DEFINISANJE 

KOORDINATA 

LINIJA-IVICA 

T4 

T8 T1 

T5 

x 

z 

T7 

T6 

T3 

T2 

y 

c. 

P6 

DEFINISANJE 

POVRSINA 

P3 

P1 

P5 

P2 

P4 

d. DEFINISANJE 

ZAPREMINA 

V1 

Slika 4.0 Etape formiranja solid modela iz osnovnih grafičkih elemenata (B-REP postupak) 

Postupk SASTAVLJANJA OBJEKATA 3D PRIMITIVAMA zasniva se na 

geometrijskoj konstrukciji modela raspoloživim 3D primitivama. Postupak je poznat 

pod engleskim nazivom Constructive Solid Geometry - CSG postupak. 

Slika 5.0 Prikaz disk kočnice putničkog vozila u rasklopljenom stanju


Realizuje se tehnikom kontaktnog spajanja, i Boole-ovim operacijama, slika 6.0. 

Tehnika kontaktnog spajanja se primenjuje kod pravilnih i ravnih kontaktnih površina. 

Nizom uzastopnih operacija dodavanja i oduzimanja elemenata, formira se objekat. 

Boole-ovih operacije predstavljaju osnovu savremenog 2D i 3D modeliranja 

objekata. Boole-ove operacije podrazumevaju rad sa skupovima koji definišu 

geometrijska svojstva objekata. Na 3D primitivama i telima izvode se tri vrste Booleovih 

operacija: geometrijsko sabiranje (unija), geometrijska razlika, (diferencija), 

geometrijski presek, (interferencija). 

Slika 6.1 Interpretacija Boole-ovih operacija 3D primitivama: SABIRANJE 

Slika 6.2 Interpretacija Boole-ovih operacija 3D primitivama: PRESEK 

Slika 6.3 Interpretacija Boole-ovih operacija 3D primitivama: ODUZIMANJE


Features tehnike koriste specijalizovane tehničke mogućnosti geometrijskog 

operisanja kojima se postižu operacije bušenja rupe, obaranja ivica, konstrukcija 

žljeba, konstrukcija ispusta, konstrukcija rebra, konstrukcija debelozidog punog tela. 

Tehničke mogućnosti imaju svoju konstruktivnu analogiju u geometriji mašinskih 

objekata. Zato alati za modeliranje imaju baš imena prema formi koju kreiraju. 

Slika 7.0 Više operacija geometrijskog modeliranja features grupe na modeliranju ivica sa stablom realizacije 

Prednost CSG modela je u kompaktno definisanoj internoj računarskoj strukturi 

podataka formiranoj u obliku drveta i lakim modifikacijama objekata. Nedostaci 

modela su: komplikovanost u slučaju čuvanja podataka o površinama i nepostojanje 

eksplicitnih informacija o ivicama. 

Postupak 3D ESTRUDIRANJA je metoda formiranja objekata translacijom 

ravne površine. Metoda je pogodna za profilisane preseke, gde se na bazi geometrije 

preseka i elemenata putanje translacije: 

Slika 8.0 Modeliranje estrudiranjem i Booleovom operacijom oduzimanja


Tehnika SKIN: 

Slika 9.0 Modeliranje presvlačenjem (skin opcija) 

Slika 10.0 Modeliranje protruzijom (tubular solid) 

Slika 11.0 Modeliranje operacijom rotiranja šestougaonog preseka (SolidWorks: REVOLVE)


Slika 12.0 Modeliranje preseka objekta alatom SECTION 

DOPUNSKI ELEMENTI EDITOVANJA: Stablo procedure modeliranja

DR MIOMIR JOVANOVIĆ - RAČUNARSKA GRAFIKA 1 

Predavanje 4A 


HCI Pojmovi: 

Elementi korisničkog interfejsa 

Entitet – naziv, 

originalan naziv 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tabela 1.01 

Osnovni grafički entiteti: 

(General Grafical Entities): 

To su tri grupe grafičkih entiteta: Bazni geometrijski 

entiteti, konstruktivni entiteti i dopunski entiteti. 

U bazne geometrijske entitete spadaju: linija, krug, luk, 

višestruki luk, elipsa, splajn kriva, tekst, šrafura, marker, 

dimenziona geometrijska kota, obrtna površina, splajn 

površina, puno telo, fasetna mreža, pojedinačni sadržaji 

biblioteka (delovi). 

Konstruktivni entiteti su elementi koji služe za formiranje 

geometrijskih modela samo u toku njihove gradnje (osne 

linije, mreža pomoćnih tačaka, izvodnice). 

Dopunske entitete čine raznovrsni sadržaji koji dopunjuju 

geometrijski model (dimenzije, preseci, centri, tekst 

napomene, nazivi, oznake). 

Geometrijski model i datoteka modela 

(Model and Model Files): 

Geometrijski model je predmet grafičke kreacije. To je 

skup entiteta, definicija delova i tekućeg podešavanja. 

Geometrijski model je grafička celina koja opisuje 

ukupnu formu postavljene prostorne kreacije. 

Datoteka modela je formatizovan zapis geometrijskog 

modela u informatičkom sistemu. Ukoliko je zapis 

standardan (IGES,CGM,DWG,MPEG,TIFF,GIF) on je 

prenosiv na različite grafičke sisteme (procesorske 

platforme i aplikativne grafičke programe). 

Grafički slojevi - nivoi (Layers): 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 

121 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 

141 42 43 44 45 46 47 48 49 50 

151 52 53 54 55 56 57 58 59 60 

161 62 63 

Lejeri su slojevi u koje se rasporedjuju grafički entiteti. 

Svakom grafičkom entitetu dodeljuje se lejer. Uključen 

lejer (OFF) daje vidljivost entitetu u izabranom pogledu. 

isti lejer se smeštaju primarni entiteti. U različit lejer se 

smeštaju konstruktivne linije. U sledeći lejer se smeštaju 

entiteti koji definišu funkcionalan aspekt sklopa – šemu. 

Izbor lejera za prikaz (ON), definiše vidljivost entiteta. 

Program MicroStation’95 ima 63 lejera, prema slici. 

Lejeri imaju namenu da kod žičanih modela smanje 

prikazanu složenost i učine razumljivim izabran sadržaj.




Sličica 

Strana 

Pogled windows-a (View Windows): 

Koordinatni sistemi 

(Coordinate Systems): 

WCS 

DCS 

Opis pojma 

Pogled windows-a je pravougaoni prostor monitora u 

kome je prikazan crtež ili model. Program Visual Solid 

Draw otvara jedan window prozor (osn. podešavanjem), 

program MicroStation’95 otvara četiri windows prozora. 

Windows-i za prikaze pogleda se mogu kreirati po 

potrebi, otvarati, zatvarati, menjati po veličini, 

rasporedjivati po nekom konceptu. Na slici je pokazan 

windows – prozor za smeštaj pogleda. Svi otvoreni 

windows-i pokazuju izgled (raspored) sadržaja na sceni. 

Pogled na scenu može biti proizvoljno kreiran ili 

standardan (ortogonalan). U tom slučaju windows-i 

pokazuju ortogonalne proekcije poznate kao pogled 

odozgo (top view), pogled s’preda (front view), pogled sa 

desne strane (right view), sa zadnje strane (back view), 

izometrijski pogled (isometric view) itd. 

Koordinatni sistem u prostoru modela, stalnih fizičkih 

koordinata je osnovni koordinatni sistem modela (World 

Coordinate System – WCS). U istom prostoru modela 

koristi se koordinatni sistem korisnika (User Coordinate 

System -UCS) koji se premešta u radne pozicije objekta 

na modelu, zauzima uglove ivica objekata i ubrzava rad. 

Apstraktni koordinatni sistem svih windows – prozora u 

kojima se prikazuju pogledi na scenu, odredjen je 

veličinom prostora prozora na uredjaju za prikazivanje 

(ekranu monitora), pa se naziva koordinatni sistem 

uredjaja (Device Coordinate System DCS) ili koordinatni 

sistem scene (Scene Coordinate System). 

Podešavanja 

(Settings): 

Svi grafički entiteti su definisani elementima podešavanja 

(atributima). Programi za 3D geometrijsko modeliranje 

vrše podešavanje entiteta samog modela (model settings) 

i podešavanje programskog okruženja (environment 

settings). Podešavanje programskog okruženja reguliše 

raspoloživost sadržaja – korisničkih alata. Slika levo 

pokazuje jedan padajući meni windows-a (za rad sa 

datotekama) unutar koga se nalazi meni za podešavanje 

stranice dokumenta (Page Setup). 

Programska pomoć 

(Help, On-line Documentation) 

Programi sadrže Uputstva za rukovanje i uputstva za 

učenje. Preko tih entiteta u toku rada se uče nove 

kategorije. Pristup sadržajima za učenje je danas preko 

programskih help menija, kojima se direktno pristupa 

posredstvom ključnih reči, abecednog izbora ili 

definisanja opšte kategorije. Help meni je obično kraći u 

opisu od drugih oblika programske pomoći.




Sličica 

Strana 

Ekranska forma korisničkog interfejsa 

(Screen Layout): 

Opcije za rad sa datotekama 

Korisnicki prostor 

Komandna linija 

Prostor za poruke programa 

Oblast pomocnih alata 


Oblast osnovnih alata 

Komandna linija 


Prostor za poruke programa 

Meni programa 

Konstruktorske 

opcije 

Aktivne opcije 

Oblast pomocnih 

opcija 

Alati programa 

Prostor povratnih informacija programa 

Meni programa 

Alati programa 

Prostor povratnih informacija programa 

Opis pojma 

Rad sa programom zasnovan je na 

korisničkom interfejsu koji rad sa 

programom ostvaruje na grafičkim 

sadržajima kojima su definisane 

funkcije, komande i alati. Programi koji 

rade pod windows-ima imaju sličan po 

sadržini grafički interfejs. Na slici je 

prikazan osnovni ekranski izgled 

programa Visual Solid Draw. Odozgo 

na dole postavljeni su: 

- naslovna linija (title bar), 

- osnovni meni programa (menu bar), 

- opcije za rad sa datotekama i alatima, 

- prostor korisnika za modeliranje, 

- komandna linija direktnih komandi, 

- prostor za poruke programa, 

- statusna linija, 

- konstruktorske opcije, 

- aktivno raspoložive opcije, 

Meniji su organizovani kao padajući ili 

otvarajući (pop) meniji. 

Program MicroStation’95 za 

geometrijsko modeliranje, ima sličan 

interfejs kao se to vidi sa naredne slike. 

Slika pokazuje tri windows prozora za 

standardne poglede (mogu da se otvore 

po potrebi do osam prozora). 

Svaki alat je podržan porukama iz 

programa koje podsećaju na redosled 

operacija za kompletiranje funkcija. 

Položaj pokazivača lokacije na radnom 

prostoru definisan je koordinatama koje 

program povratno generiše u donjem 

delu ekrana. 

Izbor sadržaja (Picking Entities) 

Izbor svih entiteta vrši se posredstvom 

uredjaja za izbor. To može biti miš kao 

periferni ulazni uredjaj. Vrh (pick) kojim se 

simbolički predstavlja položaj uredjaja za 

izbor na ekranu, najčešće je stilizovan u 

obliku strelice ili prsta. Biračem se aktiviraju 

različite funkcije i alati koji su simbolički u 

grafičkom vidu kao male sličice raspoloživi 

na radnoj površini ili padajućim menijima.




Unos sadržaja tastaturom 

(Keyboard Input) 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Unos tastaturom je osnovni način unosa alfanumeričkih 

karaktera. U grafičkom smislu tastaturom se unose: 

• koordinate ključnih tačaka, 

• tekstualni sadržaji, 

• funkcijske komande za izvršenje programa, 

Tastature sadrže 100-120 tastera za izvršenje. 

Smeštaj grafičkih sadržaja u datoteke 

(File system): 

Metadatoteke se zapisuju na direktorijumima ili katalozima 

(Folders) pod imenima koje odredjuje korisnik. Poziv 

grafičkih metadatoteka izvodi se pod Windows – om, klikom 

miša na datoteku. Nalaženje datoteka vrši se izborom radnih 

direktorijuma i listanjem njihovih sadržaja. Svaki operativni 

sistem i grafički program prave rezervne i vremenske kopije 

datoteka. Datoteke u konačnoj formi se eksportuju u 

standardan format za razmenu. Kao takve obezbedjuju 

prenosivost u druge informatičke sadržaje. Sve vrste datoteka 

obezbedjuju pristup preko grafičkog interfejsa koji je 

simbolički prikazan datotekama, putanjama i katalozima. 

Tipične forme grafičkih simbola datoteka i direktorijuma 

operativnog sistema Windows’98 su pokazane na slici. 

Meniji koji se otvaraju 

(Popup menu): 

Standardna tehnika selektovanja programskog sadržaja 

pomoću birača kojim se komanduje preko miša. Primenjena 

je kod operativnih sistema Windows. 

1.82 Konstrukcija 2D grafičkih elemenata 



Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tabela 1.02 

Konstrukcija linije izmedju dve tačke 

(Line Between Two Endpoints): 

AA 

Elementaran koncept crtanja linija. Postoje drugi modaliteti 

uz korišćenje uslova za konstrukciju. 

Recimo jedan modalitet je konstrukcija linije pod aktivnim 

uglom (Construct Line at Active Angle). 

Crtanje kružnog luka 

(Circular Arc Construction): 

Konstrukcija krugova 

(Construction Circles): 

Kružni luk se može crtati na bazi dve tačke i radijusa, na 

bazi tri tačaka, na bazi ograničenja kao što su tangente. 

Krug se crta na bazi položaja centra i radijusa, dve tačke i 

centra, tri tačke ili na bazi konstrukcionih uslova.




Konstrukcija elipse 

(Construction Ellipse): 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Elipsa se crta na bazi položaja centra i dimenzija poluosa, 

ili na bazi konstrukcionih uslova. 

Konstrukcija eliptičkog luka 

(Elliptical Arc Construction): 

Konstrukcija višestruke linije polilinije 

(Polyline Construction): 

Eliptički luk se crta na bazi geometrije elipse i geometrije 

luka ili na bazi konstrukcionih uslova. 

Moguće su opcije direktne konstrukcije polovine ili 

četvrtine eliptičkog luka čije simbole ilustruju sličice u 

prilogu. 

Konstrukcija više uzastopno povezanih linija (Place Stream 

Line String). Uz korišćenje konstrukcionih uslova, moguće 

su konstrukcije polilinija pod konstantnim uglovima. 

Konstrukcija kompleksne linije složene iz linija, lukova, i 

zakošenja je posebna kategorija naprednih alata za 2D i 3D 

crtanje. Dodatno omogućuje parametarske osobine entiteta 

kao što su editovanje, zatvaranje poligona iz linija. U 

MicroStation’95 taj alat je označen kao ”zgodna linija” 

(SmartLine) i koristi se u kombinaciji sa pomoćnim 

koordinatnim sistemom (ACS). 

Višestruke linije (Multi-line)su namenjene konstrukciji 

entiteta preseka, tankozidih struktura, cevnih šema itd. 

Konstrukcija slobodne skice 

(Free Hand Sketch): 

Konstrukcija linija postavljenih slobodnim potezima ruke. 

Najčešće predstavlja niz gusto formiranih uzastopnih 

tačaka, povezanih kratkim pravim linijama. 

Koristi se za formiranje netipičnih grafičkih elemenata. 

Izvodi se pomeranjem miša. 

Konstrukcija krivih linija 

(Construction of the Curves): 

Konstrukcija krivih, u prvom redu neuniformnih 

racionalnih splajnova (NURBS-a). 

Ovo je grupa alata za izvodjenje konstrukcija 

podešavanjem parametara B-splajnova kao što su prolazne 

tačke, kontrolne tačke. 

Konstrukcija poligona 

(Construction of the Polygons): 

Konstrukcija poligona različitih tipova: Osnovnog 

četvorougaonog poligona (Block), proizvoljnog poligona, 

(Polygonal shape), ortogonalnog poligona (Orthogonal 

shape), pravilnog poligona (Regular Polygon). Pravilan 

poligon može biti jednakostraničan trougao, kvadrat, 

petougaoni poligon, šestougaoni poligon itd.




Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Uslovi za realizaciju konstrukcija 

(Input of Construction Constraints): 

Specifikacija uslova za izvodjenje geometrijekonstrukcije. 

Kod linija, to su uslovi selektovanja (pokazani sličicama): 

- najbližih tačaka (Nearest), 

- krajnjih tačaka (Keypoint), 

- srednjih tačaka (Midpoint), 

- centara elemenata (krugova, lukova), 

- početnih tačaka (Origin Points), 

- preseka linija (Intersection), 

- tangenta i tangenta u tački krive, 

- normala na krivu u tački (Perpendicular from), 

- paralelno sa pravcem, 

- najbliže tačke na susednom elementu (na slici levo). 

L 

α 

Kod konstrukcije krugova to su uslovi formiranja krugova: 

- tangiranja linije u zadatoj tački, 

- tangiranja dveju linija i zadatim radijusom, 

- tangiranja susednih krugova, 

- tangiranja susednog kruga u tački. 

Kod lukova to su uslovi zadatih početnih tačaka, pravaca i 

centara lukova, uslov dužine segmenta luka, 



Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Pomoćna sredstva za konstrukciju: 

Pomoćni koordinatni sistemi: 

AccuDraw 

X 0.000 

Y 0.000 

Z 0.000 

AccuDraw 

Distance0.000 

Angle 0.000 

Pomoćni koordinatni sistemi. MikroStation’95 koristi 

popularni AccuDraw sistem koji omogućava lokalnu 

orijentaciju u pravcu razvoja linija crteža, zadavanje dužina 

i uglova linija, korišćenje pravouglog i polarnog 

koordinatnog sistema, korišćenje “snep” moda za direktnu 

konstrukciju tačnih uglova. 

Slika pokazuje ikonu pomoćnog koordinatnog sistema. 

Y osa 

X osa 

Y osa 

X osa 

Naredne dve slike pokazuju dialogue-box za numerički 

unos podataka o konstrukcijama elemenata – entiteta. 

Podaci se mogu uneti u pravougaonom ili polarnom 

koordinatnom sistemu. 

Koordinatni pocetak 

Origin 

Sama forma pomoćnog koordinatnog sistema karakteriše se 

definisanim položajem x,y osa, centrom (engl. origin) i 

bojama za orijentaciju. Ta forma je tzv. kompas pomoćnog 

koordinatnog sistema.




Sličica 

Strana 

Mod sklapanja elemenata – pripadanja: 

(Snap Mod) 

Postavljanje mreže pomoćnih tačaka 

(Grid Mod) 

Opis pojma 

Pomoćno sredstvo za privlačenje primitiva u medjusoban 

dodir ili dovodjenje u pozicije tačaka mreže (Snap to grid). 

Ovaj alat omogućuje povezivanje elemenata crteža u formu 

objekta (Snap to Objects). Omogućuje dodire elemenata u 

karakterističnim tačkama kao što su krajevi, sredine itd. 

Postavljanje mreže vidljivih ili nevidljivih tačaka sa Snap 

osobinama koje omogućuju pravilnost rasporedjivanja 

ključnih tačaka konstrukcije i konstrukcije elemenata tačnih 

mera bez numeričkog unosa geometrijskih veličina. 

Raspored tačaka mreže se podešava i to recimo može biti 

milimetar ili deo milimetra. 

Postavljanje mernih alata 

(Measure tool ) 

Alati kojima se proveravaju rastojanja, radijusi, uglovi, 

površine, zapremine. Promenom zadatih mera, vrši se 

direktna korekcija konstrukcije. Slika pokazuje pomoćne 

alate za merenje rastojanja, radijusa, uglova, površina i 

zapremina u programu MicroStation’95. 

Pstavljanje aktivnih tačaka: 

(Place the Active Point) 

Omogućavaju postavljanje ključnih tačaka u prostoru. 

Ove tačke su osnov konstruisanja. 

Izmedju dve ključne tačke moguće je postaviti grupu tačaka 

ravnomerno rasporedjenih (na jednakim rastojanjima). 

Aktivna tačka se može postaviti normalnim projektovanjem 

iz spoljnje tačke na zadatu krivu. 

Aktivna tačka se može postaviti i na zadatom rastojanju od 

izabrane tačke na krivoj. 

Postavljanje ćelija entiteta: 

(Place Cells) 

Alati za manipulaciju i modifikaciju 

(Manipulating and Modifying): 

A 

Ćelije su opšti entitet u koji se može smestiti korisnički 

sadržaj. To može biti element često korišćen u konstrukciji. 

Ti elementi se mogu postaviti prema potrebi. Smeštaju se u 

bazi podataka korisnika. U ćelije se mogu smestiti i neki 

standarni elementi koje je prema orijentisanosti problemu 

kreirao sam proizvodjač softvera. 

Ovo su grupni pomoćni alati i primenjuju se na različitim 

entitetima. Mogu se primeniti i pojedinačno na elementu. 

Alati za manipulaciju grupom elemenata: 

- premeštanje (Move), 

- paralelno premeštanje, 

- premeštanje selektovane grupe entiteta (Fence Mod), 

Alati za modifikaciju grupe elemenata: 

- alat za promenu veličine grupe elemenata (Scale), 

- alat za brisanje (Delete), 

- alat za kopiranje elemenata (Copy), 

- alat za rotaciju grupe (Rotate), 

- alat za okretanje kao u ogledalu (Mirror), 

- alat za konstrukciju grupe (Construct Array).


1.83 Editovanje 



Osnovne editorske operacije 

(General Editing Operations): 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Komanda brisanja objekata (delete), 

Tabela 1.03 

Komanda odsecanja objekata (cut) 

(Sa smeštajem sadržaja u bafer za kopiranje), 

Komanda pomeranja (move), 

Komanda kopiranja (copy) 

(Smešta sadržaj u bafer za kopiranje), 

Komanda izvšenja kopiranja (paste) 

(Dodaje sadržaj iz bafera za kopiranje), 

Komanda rotiranja objekta (rotate), 

Komanda promene veličine (scale) 

(Primenom faktora uvećanja ili umanjenja), 

Komanda preslikavanja forme ogledala (miror), 

Specijalne editorske operacije 

(Special Editing Operations): 

Komanda matričnog ponavljanja (repeat), 

(Na bazi objekta matrično rasporedjenog u ćelije), 

Komanda rastezanja (stretching) 

(Važi za ravansko crtanje. Ne odnosi se na 3D) 

Prekid krive u tački (Pt-break) 

(Koristi se za editovanje prava i kriva), 

Proširenje entiteta (extend), sa varijantama produženja 

jednog i dva elementa do preseka, 

Skraćenje entiteta kao celine (shorten), Produženje 

entiteta u tački (lengthen), (editovanje linije u tačkama), 

Obaranje ugla 2D objekta (chamfer corner), 

Formiranje ispune izmedju objekata (filleting), 

(Kod 2D linija to je spajanje krajeva nekim zaobljenjem) 

Odsecanje entiteta (chopping) 

(Primenjuje se za odsecanje grupe linija), 

Sklanjanje - odrezivanjem entiteta (trimming) 

(Koristi se u kombinaciji sa alatom u vidu više noževa), 

Razdvajanje – dekompozicija sa pomeranjem sastavnih 

entiteta iz prethodnog položaja (drop, exploding).




Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Editorske operacije za specifične entitete 

(Editing Operations for Specific Entity): 

B 

A 

A 

A 

Editorske operacije izmene atributa 

(Change element Attributes): 

Editovanje kriva: Promena veličine radijusa 

(Modify Arc Radius), 

Editovanje kriva: Promena veličine ugla luka 

(Modify Arc Angle), 

Editovanje kriva: Promena položaja ose luka 

(Modify Arc Axis), 

Editovanje kriva: Promena položaja interpolacionih i 

kontrolnih tačaka kriva, promena zajedničkih uglova 

(Shape tool / Smooth / Control / Bezier Tool / Edit point), 

Editovanje teksta: Promena sadržaja teksta 

(Edit Text), 

Editovanje teksta: Promena atributa teksta 

(Change Text Attributes), 

Spajanje pojedinačnih kriva u zajedničku celinu 

(Merging Curve, Create Complex Chain), 

Spajanje konture krive u zatvorenu celinu 

(Create Complex Chape). 

Operacija za pojedinačno ili grupno editovanje atributa 

definisanih entiteta. To su na primer boja, debljina, tip 

linija, lejer prikaza, klasa linija (konstruktivne, osnovne). 

Primenjena u MicroStation’95. 

1.84 Delovi 

Entitet – naziv, originalan naziv 

Delovi (Parts:) 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tabela 1.04 

Izvorno, delovi su termin iz mašinstva. Definišu 

standardne 3D geometrijske forme koje se kao 

deo ugradjuju u celinu geometrijskog modela 

(sklopa). Delovi su recimo zavrtanj, podmetač, 

navrtka, ležište, ležaj, vratilo, zupčanik. Imaju 

namenu da se direktno pozovu iz biblioteke 

delova i bez crtanja ugrade u sklop. Aplikativni 

programi sadrže biblioteke standardnih delova. 

Savremeni programske biblioteke definišu 

parametarski geometriju delova i dozvoljavaju 

njihovo editovanje. U programu MicroStation’95 

delovi se smeštaju u ćelije koje su opštija forma 

za formiranje entiteta. Slika pokazuje standardne 

zavrtnjeve. 

U programu AutoCAD delovi se definisu ....


1.85 Dimenzije i tekst opisi 


Dimenzije (Dimensions): 

20 35 20 

32 

Vodiči (Leaders): 

4 

3 

20 5575 

R 20 

90 o 

Sličica 

Strana 

Busiti u sklopu poz. 3 i 4 

Osne linije i markeri centara 

(Center Line and Center Marker) 

Centralne linije 

R 50 

TEKST NA LINIJI 

Marker centra 

Opis pojma 

Tabela 1.05 

Grupa grafickih elemenata kotnih linija, uglova, 

markera i teksta, specificirana da opiše merne 

veličine objekta, čini dimenzioni entitet grafike. 

Svaki dimenzioni entitet se može postaviti, 

premestiti i editovati. Za dimenzionisanje koristi 

se posebna grupa dimenzionih atributa. 

Dimenzionisanje može biti pojedinačno izvedeno, 

izvedeno dimenzionim lancem, izvedeno sa 

zajedničkom polaznom tačkom (engl. datum 

dimension) ili izvedeno koordinatama tačke. 

Dimenzioni lanac i dimenzionisanje sa 

zajedničkom polaznom tačkom pokazuje prva 

slika levo. Osim dužinskih mera, dimenzionišu se 

uglovi, prečnici i radijusi, slika 2. 

Dimenzionisanjem se definiše sadržaj teksta, 

položaj teksta (automatski na kotnoj liniji), 

dimenziona lokacija i tekst – orijentacija. 

Lokacija odredjuje mesto kotne linije dok 

orijentacija odredjuje pravac teksta u odnosu na 

dimenzionu liniju (horizontalno, upravno, 

paralelno). Operacije dimenzionisanja koriste 

grupu podesivih argumenata (settings elements): 

linija, završetaka (strelice), teksta (font, veličina), 

tolerancija, mernih jedinica (mm,cm,m), formata 

(prema nacionalnim standardima) i preciznosti 

podataka (broj decimalnih mesta), boje i debljine 

kotnih i pomoćnih linija. 

Simbolička forma za upis teksta koji označava 

neki sadržaj ili komentar. Tekst je uvek 

horizontalan i podvučen je linijom koja vodi do 

karakterističnog mesta na koje se tekst odnosi. 

Linija se završava strelicom, tačkom ili bez 

završetka. Slika pokazuje jedan primer takvog 

vodiča - napomene koji definiše pozicije na 

crtežu i tehnologiju izrade – bušenja. 

Karakteristične linije centra odgovaraju poziciji 

otvora ili unutrašnjeg navoja. Marker centra 

označava mesto iz koga počinje radijus. Slika 

pokazuje oba primera na potkovičastoj ploči sa tri 

otvora i centrom radijusa označenog markerom 

centra u vidu krstića.


1.86 Atributi 


Atributi (Attributes): 

Ivica punog tela 

Osa objekta 

Granica objekta 

Nevidljiva ivica 

Zadata lokacija 

Debljina linije 0.076 





Times New Roman 16 

Courier New 16 

B raggadocio 16 

Desdemona 16 

Colonna MT 16 

Timpani Bold YU 16 

Tekst ugao 120 

o 


o 


o 

Tekst ugao 90 

o 

o 

Tekst ugao 30 

Tekst ugao 60 

o 

Tekst ugao 0 o 

Vrh 

Align 

Centar 

Donja linija 

Levo 

Centar 

Desno 

Sličica 

Strana 

Cap linija 

Bazna linija 

Opis pojma 

Tabela 1.06 

Značenja standardnih grafičkih konvencija se 

informaciono opisuju posredstvom atributa. 

Programi dodeljuju svakom grafičkom entitetu 

grupu (set) atributa. Osnovne klase atributa su: 

Osnovni-opšti atributi (važe za sve entitete), 

atributi markera, atributi teksta i atributi šrafura. 

U osnovne spadaju atributi za tip (stil) linija 

(kako to pokazuje prva slika), debljinu linija (na 

slici), boju, nivo prikaza (engl. layer). Debljina 

linija se definiše mernim sistemom (metrički, 

anglo-saksonski) ili brojem tačaka (piksela) na 

monitoru. Boja se definiše paletom boja, 

odredjenog tipa i broja boja. Lejeri se koriste za 

klasifikaciju entiteta na istom crtežu. Lejeri 

omogućavaju kontrolu vidljivosti sadržaja. Kao 

takva kategojia koriste se za izdvajanje različitih 

sadržaja (sadržaja kotiranja, konstruktivnih linija, 

delova u sklopu). MikroStation’95 ima 64 lejera. 

(mogu se simbolički označiti: ) 

Markeri su osnovne grafičke primitive. Koriste se 

za odredjivanje pozicije karakterističnih tačaka u 

prostoru. Da bi se uočili, prikazuju se različitim 

simbolima (krstić, tačka, kvadratić, zvezdica, 

trougao, plus, strelica). Atributi markera su 

njihov nagib i pravac. Šrafure su grafičke forme 

za prikazivanje preseka ili zona u mašinstvu. 

Atributi šrafura su tip (forma), pravac, nagib i 

veličina (razmak linija). 

Atributi teksta su vrsta fonta, visina, pravac, 

nagib (zakošenje), faktor razvučenosti teksta 

(engl. expansion factor), razmak karaktera fonta 

(engl. spacing factor), razmak linija fonta (engl. 

line spacing), putanja teksta, poravnanje teksta 

(engl. alignment) sa nekom pozicijom na crtežu. 

Na trećoj slici (levo), pokazan je atribut različitih 

tipova fonta (jednake vieličine 16). Ovaj 

praktikum napisan je tipom fonta Times New 

Roman 9. Atribute teksta podržavaju i različiti 

programski jezici za grafiku a često su vezani za 

vrstu uredjaja kojim se štampaju dokumenti. 

Veličina fonta je simbolički definisana brojevima. 

Nagib (engl. direction) je argument pokazan na 

narednoj slici levo. Takodje tekst može biti 

postavljen po nekoj zadatoj putanji. Postavljanje 

teksta u odnosu na okolne grafičke elemente 

crteža ili scene izvodi se atributom poravnanja. 

To pokazuje poslednja slika levo.


Predavanje 4B 


HCI Pojmovi: 


Standardne površine 

Standard Surfaces: 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tabela 1.07 

Postoje tri grupe 3D površina kod geometrijskog 

modeliranja. Osnovnu grupu čine standardne 

površine, pokazane na slici (svera, cilindar, konus 

i torus). Drugu grupu čine rotacione površine. 

Jedna takva povrsina prikazana je levo, četvrta po 

redu (forme činije). Treću grupu čine površine 

prikazane aproksimativno pomoću NURBS-a. 

Ova vrsta polinoma nešto više je opisana u 

PRILOGU Praktikuma. Aproksimativna površina 

može biti prikazana pomoću krpice (engl. patch) 

ili provlačenjem površi kroz granične krive. Ova 

funkcija se izvršava komandom skin. 

Fasetne mreže 

Facet Meshes: 

Fasetni modeli su prdstavljeni mrežom ravnih 

povezanih lica vidljivih elementarnih površina. 

Elementarne površine (engl. facet) su male ravne 

površine koje aproksimativno pokazuju model. 

Fasetni modeli mogu i tačno da predstave 

geometrijske modele u vidu kvadra, isečka, 

prizme i piramide. Slika levo pokazuje redom 

navedene fasetne modele. 

Eliminacija skrivenih linija 

Hidden Line Elimination (HLE): 

Geometrijski modeli realnijih prikaza od žičanih 

modela, zahtevaju eliminaciju skrivenih linija. 

Operacija eliminacije skrivenih linija (HLE) je 

sastavni alat svakog programa - modelera. 

Operacijom eliminacije skrivenih linija se 

definisu položaji svih linija na sceni na bazi čega 

se skrivene linije eliminišu ili prikazuju 

isprekidanim. Slika pokazuje poredjenje žičanog 

modela i modela sa eliminisanim skrivenim 

linijama (HLE model).


Vidjenje i Prikaz 


Višestrukost prozora 

Multiple View Windows 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tabela 1.08 

Simultano prikazivanje istog objekta sa različitih 

položaja – pravaca. Svaki otvoren pogled 

zasnovan je na sopstvenom prozoru. Samo jedan 

prozor je aktivan i to onaj koji je izabran 

uredjajem za izbor (mišem). Svaki prozor podesiv 

je po položaju i veličini na displeju monitora, 

može biti minimiziran, sklonjen (izbrisan). 

Podleže svim pravilima Windows okruženja. 

Prva slika pokazuje višestruke windows prozore 

formirane komandama Cascade (kaskada) i Tile 

(poredjana grupa sa dodirom u formi crepa). 

Tačka pogleda (tačka oka) 

Eye Point 

Tačka u prostoru modela sa koje se model gleda. 

Tačka u prirodnom prostoru odredjena je 

koordinatnim sistemom svetski zajedničkih 

koordinata (World Coordinate System - WCS). 

Pogled na model (iz tačke pogleda) usmeren je ka 

ciljnoj tački u prostoru modela (Target Point). 

Pravac iz tačke pogleda ka ciljnoj tački naziva se 

pravac vidjenja (pravac pogleda). U taki pogleda a 

na pravcu vidjenja, postavljen je koordinatni 

sistem sa osobinama orijentacije oka. Takav 

koordinatni sistem naziva se koordinatni sistem 

oka (Eye Coordinate System – ECS). 

Model orijentacije pogleda Viewbox 

U 3D prostoru, to je prizma sa orijentacijom u 

pravcima koordinatnog sistema oka (ECS). To je 

obično početni sadržaj u prostoru novog modela. 

U programu MicroStation’95, u formi žičanog 

modela, ispisani su nazivi projekcionih ravni : 

Pogled s'preda (Front Wiew), Pogled odozgo (Top 

Wiew), Pogled s'desna (Right wiew), Pogled s'leva 

(Left Wiew) itd.



Pogled 

View 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Projekcija prostornog modela na projekcionu 

ravan (Front Wiew, Top Wiew, Right wiew, Left 

Wiew,..) a u specificiranom pravcu. Pogled je 

klasifikovan prema načinu dobijanja i može biti 

ortogonalnog tipa, aksonometrijskog tipa 

(korišćeni u mašinstvu) i tipa perspektive 

(korišćen u arhitekturi). 

Raspored prikaza (Layout) 

Podrazumeva razmeštaj više pogleda na displeju 

ili crtežu. U konvencionalnom smislu to je 

raspored – razmeštaj četiri (dve) proekcije na 

crtežu: Pogled odozgo, pogled s’preda, pogled sa 

desne strane i aksonometrijski prikaz modela. 

Slika pokazuje tri ortogonalne proekcije i četvrtu 

izometrijsku proekciju jednog I – 3D profila. 

Operacije sa windows prozorima 

Window Related Operations 

Obnavljanje sadržaja pogleda 

Refresh 

To su operacije: 

Kreiranja (Window Creating), 

brisanja (Deleting), (na slici) 

premeštanja (Moving), 

promene veličine prozora (Resizing), (na slici) 

operacija prelaska na drugi prozor (Switching), 

maksimiziranja, minimiziranja, (na slici) 

obnavljanja windows prozora (Restoring), 

tipičnog rasporedjivanja (Tile, Cascade). 

Ove operacije se izvode na windows prozorima i 

ne utiču na status modela ili crteža. 

Model ostaje nepromenjen. 

Video sistem računara koristi priručnu video 

memoriju VRAM u kome je smešten sadržaj 

monitora. Takav način korišćenja memorije je 

brži. Kada se izda komanda refresh, njome se 

obnavlja sadržaj u video memoriji. 

Obnavljanje sadržaja baze 

Regeneration 

Komandom regeneration obnavlja se sadržaj 

grafičkih podataka modela smeštenih u bazi 

podataka (datoteci).



Operacije sa pogledima 

View Related Operations 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

To su sledeće operacije definisanja pogleda: 

Operacija promene veličine prozora, promene 

kombinacije pogleda u windows prozoru, 

operacija promene položaja tačke posmatranja, 

promena ciljne tačke, promena ugla izmedju 

koordinatnih sistema oka (ECS) i prostornog 

koordinatnog sistema (WCS). Primer promene 

položaja tačke posmatranja pokazuje slika jednog 

prostornog plana, sa prepoznatljivim urbanim 

objektima. 

Zumiranje i pomeranje pogleda 

Zoom and Pan Operations 

zoom-in 

zoom-out 

pan 

Metod: Zumiranje do granica modela 

(Zooming to the Model Extents) 

Operacija uvećanja (zoom-in) sadržaja u prozoru. 

Uvećanje se izvodi faktorom uvećanja a u odnosu 

na centar ili na zadatu tačku prozora (zavisi od 

korišćenog programa). Umanjenje (zoom-out) je 

suprotna fukcija od uvećanja. Funkcija 

premeštanja (pan) prenosi sadržaj prozora, pogled 

na susedni prostor iz polazne tačke. 

Ovaj metod zumiranja smešta model (sadržaj) u 

granice raspoloživog prozora za prikazivanje. Pri 

tome izračunava faktor zumiranja sa maksimalnim 

uvećanjem u granicama prostora za prikazivanje. 

Slika pokazuje ovu operaciju na I-3D profilu. 

Zumiranje u zadatim granicama 

Zooming to the Drawing Limits 

Zumiranje sa odredjivanjem 2D pravougaonog 

prostora na koji se svodi uvećanje. Funkcija 

uvećanja se koristi kod rada sa detaljima modela. 

Slika pokazuje zadatu oblast zumiranja i efekat 

time dobijen (na I-3D profilu). 

Zumiranje sa zadatim faktorom 

Zooming to Required Scale 

Kod višestrukog uzastopnog uvećanja, praktičniji 

način rada je sa fiksnim koeficijentom uvećanja 

(umanjenja). Tada je broj komandnih funkcija 

zadatih mišem, znatno manji. Ovaj koeficijent se 

numerički zadaje upisom vrednosti uvećanja, 

odnosno umanjenja.


1.88 Korisničke funkcije 


Programska podešavanja 

Programe’s Settings: 

Work directory (Preferences), 

Default, 

Setting 

Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tabela 1.09 

Programsko podešavanje radnog okruženja ima za cilj 

da omogući minimalan broj komandi za korišćenje 

programskih alata. Postoje tri nivoa podešavanja 

okruženja: Prvo: Korisničko predpodešavanje celine 

(radni direktorijum koji se bira na početku rada i 

kojim se definiše oblast: 2D, 3D prostor, rad sa 

periferijama). Ova su često podešavanja definisana za 

rad u mašinstvu, arhitekturi, dizajnu. Druga grupa 

podešavanja se odnosi na inicijalne programske 

atribute korišćenih alata i funkcija. Zadate su defolt 

argumentima i mogu se pojedinačno podešavati. To su 

atributi svih entiteta kao linije, boje, fontovi, šrafure, 

materijali, svetla, pozadine. Treća vrsta podešavanja 

su radna podešavanja (setting). Odnose se na iste 

funkcije i njihove atribute ali neposredno za tekuće 

izvršenje. Pojedinačno se primenjuju. 

Povraćaj na prethodno stanje 

Undo Operation, 

Redo 

Formiranje datoteke modela 

Model create 

Učitavanje modela iz datoteke 

Reading a Model from File 

Zapis modela u datoteci 

Save Model 

Otvaranje novog modela 

New Model File 

Brisanje datoteke modela 

Delete Model File 

U slučaju nazadovoljavajućeg statusa crteža (modela) 

i odluke o promeni radne operacije, omogućuje 

vraćanje na prethodno stanje ili nekoliko stanja ispred. 

Time se eliminiše dugi proces korekcije sadržaja. 

Suprotna korisnička funkcija po pravcu kretanja kroz 

izvedene operacije je redo funkcija. 

To je operacija zapisa sadržaja postavljenog modela u 

nekom od programskih oblika kodiranja. Takodje se 

koriste i standardni formati zapisa radi prenosivosti na 

druge radne platforme. 1 

Komanda učitavanja modela iz prethodno kreirane 

datoteke. Realizuje se izborom radnog direktorijuma i 

tražene datoteke u direktorijumu. 

Komanda zapisa modela u kreiranoj datoteci. 

Funkcija Windows operativnog sistema. 

Komanda otvaranje nove datoteke za model. 


Komanda brisanja datoteke modela. 


1 Pogledati deo Praktikuma koji se odnosi na formate datoteka.


Entitet – naziv, originalan naziv Sličica 

Strana 

Podešavanje rešetke (Grid control) 

Postavljanje rešetke (Set Grid), 

Početak-izvor rešetke (Grid origin), 

Veličina –razmak rešetke (Grid spacing), 

Tip rešetke Grid style 

Opis pojma 

Rešetka je pomoćno sredstvo za crtanje. Postavlja se 

aktiviranjem ili uključenjem (Set grid). Ima sličnu 

funkciju kao milimetarski papir. Koristi se u 

kombinaciji sa funkcijom pripadanja tačkama zadate 

rešetke (engl. Snap). 

Početak polja rešetke se može podesiti na displeju 

(prostoru za prikaz) navodjenjem koordinata početka. 

Početak se još naziva izvorištem (Grid origin). 

Rešetka se podešava po gustini – razmaku tačaka 

(Grid spacing). I forma prikaza rešetke na monitoru 

može biti podesiva u vidu tačaka, linija ili krstića 

(Grid style). 

Slika pokazuje ploču sa tri otvora prikazanu u polju 

tačkaste i krstaste rešetke. 

Podešavanje stalne Snap funkcije 

Permanent Snap Modes 

Rad sa lejerima (slojevima) 

Operations Layer 

Kopiranje slika 

Copy Image 

Obavezan alat svih softvera za dizajn i CAD. 

Funkcija Snap omogućava strogo tačno pozicioniranje 

na tačke rešetke. Ova funkcija mora biti uključena da 

bi se izvršila. 

Složen sastav – struktura se može sastaviti iz 

pojedinih crteža ili delova modela prikazanih na 

zasebnim slojevima. Slaganjem slojeva – lejera, 

dobija se kompletan sadržaj. Ovakav modalitet 

prikaza omogućuje izdvajanje funkcionalnih celina u 

sklopovima, omogućuje pripremu tehničke 

dokumentacije za održavanje, montažu, servisiranje. 

Lejeri omogućuju jednostavnost u radu, eliminisanjem 

nepotrebnih sadržaja u pozadini. Polazeći od ovog 

svojstva, lejeri modeliranju odredjuju vidljivost 

delova sklopa. 

Deo sadržaja koji je potrebno kopirati, definiše se 

unutar četvorougaonog prostora odredjenog uredjajem 

za lociranje. Izvršenje kopiranja (engl. Copy Image) 

prenosi samo ovako odredjen sadržaj u posebnu 

memoriju računara, programski nazvanu clipboard. 

Memorijski sadržaj se potom spušta na lokaciju na 

kojoj se vrši kopiranje. Ova funkcija kopiranja se 

izvodi lepljenjem sadržaja iz clipboard-a na željenu 

poziciju (Paste).



Sličica 

Strana 

Opis pojma 

Tekstualni oblici - fontovi (Text Fonts) 

AaFfCc 

AaFfCc 

∅®⇒ϕδ 

Fontovi su familije grafičkih oblika simbola. 

Uglavnom se odnose na tekstualne simbole i definišu 

familije tipografskih pisama. Fontovi mogu biti bitmapirani, 

uopšteno grafički (Font 1 na bazi proširenog 

PostScript -Adobe) i vektorski (True Type - 

Microsoft i Apple). Veličina fonta se izražava u pt 

jedinicama (72 pt = 1 inch). 

Slika pokazuje nekoliko malih i velikih karaktera 

fonta Times New Roman, velicine 48, 24 pt. 

U poslednjem redu pokazano je nekoliko neslovnih 

simbola fonta Symbol, veličine 24 pt. 

Šrafure (Hatch Styles) 

N 

N N N 

N N 

N N N N N N N N 

N 

Šrafure su različite grafičke forme za tehničko 

prikazivanje punog materijala (ispune) u preseku. 

Šrafure su prikazane u prvom redu slike. Može se 

upotrebiti i dvostruka šrafura, pokazana na petoj slici. 

Šrafure su podesivih atributa. 

Osim šrafura može se koristiti i matrica ćelija. 

Na slikama 3,4 je korišćena standardna ispuna 

programa MicroStation’95, dobijene korišćenjem 

umetaka (patterns). 

Ispune se mogu i samostalno sastaviti iz elemenata 

kako je to uradjeno na slici 6, gde su korišćeni 

trouglovi koji su matrično rasporedjeni. 

Ispuna može kombinovati i tekst (slika 4) ili simbole 

(slika 3, gde su upotrebljene strelice). 

Postavke geometrije simbola, Šabloni 

(Templates) 

h 

Templejt 

d+25 55 

d 

30 

d+50 

35 

d=30 h=35 d=15 h=60 

60 

40 

15 

80 65 

Kod geometrijskog modeliranja simbola ili delova, 

templejti (Templates) su osnovne postavke iz kojih se 

izvode varijacije modela. Geometrijske varijacije se 

mogu izvesti na bazi proporcionalnih varijacija 

templejtu ili na bazi parametarske zavisnosti 

geometrije. Slika pokazuje parametarsku zavisnost 

nekih značajnih mera proizvoljne čaure u zavisnosti 

od prečnika otvora d. Parametrizovanost ne mora biti 

potpuna, kao u ovom slučaju gde je visina slobodan 

parametar varijacije. Parametrizacija može biti 

implicitna, sa konstantnom (nepromenjivom) 

vrednošću priraštaja ili promenjiva (zadaje se funkcija 

promene geometrije). 

Templejti u DTP podrazumevaju šablone za 

definisanje raznovrsnih entiteta (formata, fonta, 

debljina linija, straničenje, zaglavlje itd.). Templejti 

kod geometrijskog modeliranja imaju opštiju namenu 

od templejta u DTP.

DR MIOMIR JOVANOVIĆ - GEOMETRIJSKO MODELIRANJE 1 

Predavanje 5 

Generacija 2008/2009 

Projektovanje računarom - CAD 

MODELI PRIKAZA GEOMETRIJSKIH OBJEKATA 

Izrada tehničke dokumentacije (CADD) koristi osnovne principe 

nacrtne geometrije. To su metode projektovanja u vidu izrade tipičnih 

grafičkih formi: ortogonalnih proekcija i izometrijskih, dimetrijskih i 

trimetrijskih prikaza. 

Potreba da se iz 3D geometrijskog modela proizvoda formira 

informatička baza za izradu prospektne dokumentacije i plasman 

proizvoda na tržište, uticalo je na razvoj tehnika automatizovanog 

prikaza različitih modela geometrijskih objekata, od najprostijeg žičanog 

do foto- realističkog. 

Tehnike realnog prikazivanja objekata i modela (engl. rendering 1 ) 

omogućile su prostornu vizuelizaciju makro i mikro objekata, radi ocene 

estetskih, finalnih formi. Tehnike realističkog prikazivanja računarskih 

modela su uvedene kao zamena za skupe tehnologije izrade 

prototipova. Prelazak na ove “virtuelne” modele omogućen je razvojem 

grafičkih mogućnosti hardvera. Računarski dobijena slika 3D realističkih 

modela koristi matematičke metode distribucije svetlosti uvažavajući 

prirodne zakone prikazivanih sadržaja. Realni zakoni podrazumevaju 

sledeće četiri kategorije parametara: 

1. Geometriju i materijalnost objekata, 

2. Položaj, vrstu i osobine izvora svetlosti, 

3. Sadržaj ambijenta (scene) u okruženju objekta, 

4. Zahteve posebnih efekata u prikazu objekata 

1 Rendering - Renderovanje je proces oslikavanja 3D modela prema displeju prikazivanja, korišćenjem tehnika 

senčenja površina


PRIKAZ ŽIČANIM MODELOM 

Slika 2.06 Prikaz objekta primenom MS - SE – Bazni žičani modeli 

Najjednostavniji način grafičkog prikazivanja 3D modela realizuje 

se definisanjem grupe karakterističnih linija na spoljašnjim površinama 

objekata. Karakteristične linije su izvodnice koje prirodno prate formu i 

zakrivljenost površina. Kod žičanih modela, karakteristične linije su na 

omotaču valjka - četiri vertikalne izvodnice, slika 2.06. Na torusu to su 

četiri horizontalna kruga po površini i četiri vertikalna kruga (u preseku) 

torusa, slika 2.06. Na prizmatičnoj primitivi, osnovne izvodnice su ivice 

prizme. Lopta se predstavlja sa četiri vertikalna kruga i jednim 

horizontalnim. Izvodnice nisu konturne ivice i njihov položaj je odredjen 

grafičkim položajem primitive na sceni (u pogledu). Žičani model je 

jednostavan (dolazi do izražaja kod velikog broja primitiva na sceni), 

transparentan sa jasno definisanim položajem sastavnih primitiva. 

Nevidljive izvodnice nisu uklonjene iz prikaza, zbog čega se ovaj prikaz 

grafički brzo iscrtava video-podsistemom računara.


Slika 2.07 Prikaz objekta primenom MS - SE – Prošireni žičani modeli 

(Vidljive izvodnice 3D oblika) 

ŽIČANI MODEL iako ne daje autentičnu spoljašnju formu, ima prednost 

u jednostavnosti i mogućnosti pristupa (pozicioniranja) na sve linije objekta, pa 

i one prirodno skrivene. Ovo omogućuje jednostavnost i efikasnost rada. Kada 

se složenost zakrivljenosti površina uveća, mora se povećati broj izvodnica na 

spoljačnjoj površini, pa tako nastaju žičani modeli sa proširenim prikazom. 

Slika 2.07 pokazuje tri objekta na sceni. Sva tri objekta imaju izvedene 

operacije izmena na geometriji (levo je valjak oduzet u gornjem delu loptom, u 

sredini je torus izabranog cirkularnog ugla a desno je prizma sa izvadjenom 

manjom prizmom iz mase). Slika 2.06 ne može dobro da prikaže ove 

modifikacije, naročito na zakrivljenim površinama pa se zato često koristi 

PROŠIRENI ŽIČANI MODEL koji gusto opisuje površinu, naravno ne vodeći 

računa o vidljivosti. Tu broj linija dramatično narasta, kako to pokazuje slika 

2.07. Ovoliki broj linija očigledno nije pravo rešenje za realističko prikazivanje 

jer prikazana forma i dalje ne definiše vidljivost izvodnica čak usložava 

razumevanje geometrije. Očigledno se razumevanje žičanih modela zasniva 

na sposobnosti dobre apstrakcije prostora korisnika. Inače, poreklo žičanog 

modela je u pra – računarskom zahtevu da se minimalnim grafičkim 

procedurama programa, formira slika primitive. Žičani model je dobio ime po 

istoimenim matematičkim pokaznim sredstvima 3D-telima, izvedenih od 

metalnih žica.


MODEL PRIKAZA OBRADOM SKRIVENIH LINIJA 

Metoda korišćenja skrivenih linija (engl. Hidden line display), poboljšava 

prostorni prikaz grafičkih 3D objekata uklanjanjem nevidljivih linija iz prikaza. 

Ova procedura se zasniva na analizi prepreke izmedju prostora za prikaz i 

položaja linije čija se vidljivost analizira. Ovo znači da u pogledima na 3D 

objekat sa različitih strana (u više pogleda), dobija se različita vidljivost linija 

žičanog modela. Vidljive površine se kod ovog prikaza izvode poligonima 

(najčešće trouglovima) zbog čega se ovaj prikaz još zove “poligonalan” prikaz. 

Kako “prikaz skrivenih linija” sadrži dodatnu grafičku proceduru za utvrdjivanje 

vidljivosti, to zahteva veće vreme za procesiranje i obezbedjuje realniju sliku 

objekta od žičanog modela. 

Prikaz “skrivenim linija” može imati dva modaliteta. Najpre moguće je 

povećati broj izvodnica, linija pravca (engl. rule line) pa se time poboljšava 

vidljivost geometrije površina. Drugi modalitet uključuje prikaz skrivenih linija 

(ivica) isprekidanim linijama. Ova procedura je sadržana uglavnom u softveru 

za izradu tehničke dokumentacije (CADD). Prikaz metode korišćenja skrivenih 

linija dat je na slici 2.08, koja pokazuje 3D modele različitim tipovima poligona 

na korišćenim objektima. Očigledna je zavisnost broja poligona od složenosti 

površina (geometrijsku složenost odredjuje oblik i zakrivljenosti). 

Kada se želi prikaz koji razlikuje objekat od pozadine definisane na 

sceni, koristi se metoda prikaza skrivenih linija sa ispunom (engl. Filled 

hidden line display). Ova metoda poboljšava prethodni prikaz bojeći 

(ispunjavajući) formirane poligone osnovnom bojom korišćenih linija. Prikaz je 

pomalo karikaturalan jer poligone definiše jakim osnovnim bojama sa 

naglašenim granicama izmedju poligona. Ovaj prikaz ima još naziv “prikaz 

poligonalnom ispunjenošću” (engl. Filled polygon display). Primer prikaza 

ispunjenim poligonima (uz vodjenje računa o vidljivosti) pokazan je na slici 

2.09 za isti sadržaj iz prethodnih primera. Prikaz se odlikuje osećanjem 

prostornosti objekta, pa se zato koristi kada ostali sadržaj na sceni nije od 

posebne važnosti, jer se samo objekat naglašava. To su namene vezane za 

geometrijsko oblikovanje, a ne dizajn kada se prikazom proširuje realnost 

prikazivanja na materijalnost, osvetljenost, senke objekta i uticaj okoline na 

izgled površina objekta. “Prikaz ispunjenim poligonima” ima pogodnost kod 

podešenosti hardvera na ograničen broj boja, čime se procedura prikaza 

ubrzava jer je algoritam za izračunavanje broja boja kod palete sa manje boja i 

manje složenosti.


Slika 2.08 Realistički prikaz objekta primenom MS - SE 

Model sa uključenim skrivenim linijama (Hidden line ) 


Model sa ispunom površina (Filled hidden)


MODEL PRIKAZA KORIŠĆENJEM TEHNIKA SENČENJA 

Značajno poboljšanje kvaliteta prikaza objekta postiže se primenom tehnike senčenja. 

Tehnika senčenja koristi prirodne osobine refleksije svetlosti na površini objekta, matematički 

izražene uglom upada svetlosti i materijalnim osobinama površine objekta. Poslednjih desetinu 

godina razvijeni su teorijski modeli za realno prikazivanje objekata, što je omogućilo virtualno 

osećanje stvarnosti okruženja. Primenjene metode su dale prikaze dovoljno kvalitetne za ocenu 

estetskih osobina proizvoda. To je umanjilo cenu razvoja proizvoda, čiji su prototipovi zamenjeni 

virtuelnim modelima, znatno jeftiniji i brži za kreaciju. 

Tehnike senčenja koriste osobine rasporedjivanja svetlosti na poligonima zavisno od 

ugla izmedju pravca normale poligona i pravca upada svetlosti. Metoda prostog senčenja 

koristi tehniku ravnomerne – konstantne osvetljenosti poligona (engl. Constant shading) 

formiranih tehnikom “prikaza poligonalnom ispunjenošću”. Dakle samo u jednoj tački (težištu) 

poligona, odredjena je njegova osvetljenost koja je uzeta kao osnova za prikaz njegove cele 

površine. 

Svetlost je definisana tipom izvora (tačkasti i difuzni) 2 , bojom svetlosti, osobinama 

izvora. Tačkasti izvor se definiše pravcem, intenzitetom i uglom prostiranja svetlosti. Difuzno 

svetlo se definiše intenzitetom, ambijentalnošću, bojom, prirodom izvora. Priroda izvora 

podrazumeva izbor veštačkog svetla (engl. Flash light) ili svetla Sunca (engl. Solar light). Za 

svako svetlo se zadaju parametri sistema boja a za prirodno svetlo i elementi geografskog 

položaja, godišnjeg doba (vremenske zone), doba dana pri kome se postavlja scena. Softver 

koji sve ovo inkorporira podešen je da se preko logički povezanog sistema menija cela 

procedura kreira direktno. Očigledno da je metoda prostog senčenja bazna metoda koja daje 

grubu sliku sa aspekta distribucije svetlosti jer koristi samo jednu nijansu svetlosti po celoj 

površini poligona. Izgled scene sa istim objektima (iz prethodnih slika) primenom metode 

prostog senčenja pokazuje slika 2.10. Slika pokazuje velike fasetne površine poligona, ali ipak 

stvara osećaj realnosti objekta u prostoru. Kod strogih zahteva, moraju se izmeriti osobine 

svetlosnih izvora, umetnuti okolni objekti (kako bi se pojavile senke) i definisati materijalnost 

površina. 

Metode glatke promene senke – predstavlja glatko senčanje (engl. Smooth shading) 

na svakom poligonu pojedinačno. Ova metoda daje uravnotežen raspored osvetljenosti objekta 

interpolacijom intenziteta svetla sa krajeva poligona po unutrašnjosti. Očigledno da je 

osvetljenost svakog poligona odredjena u više tačaka što se zadaje grafičkom rezolucijom 

primenjenog hardvera. Izgled scene sa istim objektima (iz prethodnih slika), primenom metode 

glatkog senčenja, pokazuje slika 2.11. Prikaz je bolji od prethodne metode jer se odlikuje 

boljom prirodnom rasporedjenošću svetla na površini. 

Metoda za poboljšanje ostalih efekata na sceni: Metoda Phong shading detaljno 

odredjuje svetlost svake tačke, posebno vidljivih površina objekta. Prikaz je odredjen mapom 

neravnina na površini objekta i dubinom odsecanja prostora (dubina vidljivog prostora). Mapa 

neravnina se zadaje izborom materijala grafičkih primitiva što podrazumeva bazu podataka 

različitih tekstura i boja materijala. Ove baze definišu softveri neposredno otvaranjem 

odgovarajućih menija iz korisničkog interfejsa. Dubina odsecanja prikaza u prostoru koristi 

različite načine prikazivanja delova objekta u dubini scene. Objekat može biti u pozadini 

prikazan u magli sa neodredjenom dubinom prostora iza objekta. Objekat može biti prikazan sa 

vidljivom pozadinom (bez odsecanja dubine) kada se mora podesiti i taj sadržaj. Metoda Phong 

2 Izvor svetlosti može biti tačkasti (engl. spot light) i difuzni (ambijentalni ).


shading uvodi prisustvo senki na okolnim objektima i pozadini scene i zato stvara snažan 

realističan utisak. Kako obiluje procedurama odredjivanja intenziteta osvetljenosti, položajem 

senki, refleksije, vidljivosti i drugog, uslovljava dugo procesorsko vreme pa nije pogodna za 

spore grafičke sisteme. U okviru ove metode razvijene su procedure za poboljšani prikaz 

eliminacijom nazubljenih ivica objekata (engl. Phong Anti-aliased Shading). Slika 2.12 pokazuje 

senčenje izvedeno phong/antialians tehnikom primenom programa MicroStation-SE. Phong 

tehnika uključuje i prikaz senki sa okolnih objekata. 

Slika 2.10 Realistički prikaz objekta primenom MS-SE – Model sa prostim senčenjem 

(Constant shading) 

Slika 2.11 Realistički prikaz objekta primenom MS-SE – Model sa glatkim senčenjem 

(Smooth Shading)


Slika 2.12 Realistički prikaz objekta primenom MS - SE – Model sa poboljšanim glatkim 

senčenjem 

i tehnikom uključenih senki ( Phong – Antialiased Shading ) 

U čestoj upotrebi je i stereo prikaz nastao kodiranjem jedne iz dveju slika, odredjenih 

položajem levog i desnog oka (engl. Stereo shading). Slika 2.13 pokazuje stereo senčanu formu 

modela, koja gubi elemente tehničkog prikaza i prirodno je bliža vidjenju ljudskog oka. 


Model sa tehnikom stereo senčenja ( Phong – Stereo Shading ) 

ANIMACIJA se stvara povezanom grupom slika. Pri tome se paralelno izvršavaju dva 

procesiranja: geometrijsko procesiranje naredne slike (frejma) i renderovanje tekuće slike. 

Procesor renderovanja bira se prema korisničkom zahtevu za odredjenu kategoriju realističkog 

prikaza. To podrazumeva prikazivanje elementarnih poligona u prostoj formi (samo definicijom 

boje površine), zatim definisanje tekstura (materijalnosti površina) objekata, zatim primenu 

prirodnih (atmosferskih) efekata i primenu kombinovanih prikaza sa sklonjenim delovima vidljivih 

površina. Elementarno renderovanje na bazi podataka o geometrijskoj poziciji, odredjuje 

osvetljenost svakog poligona koji čini vidljivi deo scene. Renderovanje susednih poligona i


njihovih zajedničkih ivica može usloviti izdvajanje trouglova u zajedničkim ravnim površinama. 

To se uočava po trougaonim stazama. Radi toga su razvijene metode ravnog senčenja (engl. 

flat shading), čime poligoni (trouglovi) dobijaju istu boju u zajedničkim ravnim geometrijskim 

površinama. Druga metoda za korekciju realističnog prelaza poligona je interpolacija boje 

susednih trouglova u zoni dodirnih ivica. Ova metoda koristi informacije bitmapiranih sadržaja 

dodirnih zona ili tipičnih teksturnih bitmapa na bazi kojih se vrši kontinualna interpolacija 

prelaznih zona. Ova metoda je poznata po engleskom terminu gouraud senčenja. 

REALISTIČKO PRIKAZIVANJE ANIMACIJOM 

Posebno savremenu grupu CAD alata čine procedure geometrijskog modeliranja grupe 

logički povezanih prikaza poznatih kao animacija. Animacijom se kreira grupa video sekvenci, 

koja prikazuje geometrijski model izabranim tehnikama kretanja i osvetljavanja. Ovako prividno 

(za oko posmatrača) nastaje pokretan sadržaj. Animacija se primenjuje sa ciljem da prikaže 

pokret sastavnih delova objekta ili da prikaže objekat sa različitih (kontinualno povezanih) 

tačaka. Procedura se realizuje tehnikom ključnih-okvira (keyframing) kojom se definišu početna 

i krajnja video sekvenca, izmedju kojih se onda generišu medjuslike. Kako prikaz animacije 

može da sadrži više ključnih okvira, to se kompletan sadržaj svih ovih okvira nalazi u posebnoj 

datoteci prikaza – skript datoteci. Skript datoteka sadrži podatke o video tehnici prikaza objekta 

(model prikaza: žičani, hidden line, Filled hidden line, constant, smooth, phong, tip senčenja: 

normalan, sa poboljšanim spojevima, rezoluciju bit-mape slike, elemente korekcije svetlosti: 

gama faktor, format zapisa bit mape: JPEG, TIFF, Intergraph CIT, PCX, PICT, Windows BMP, 

Targa, zatim brzina izmene okvira, redosled okvira, color mod: 256 boja). Skript datoteka je 

osnova animacije. Procedura kretanja se zadaje programom za produkciju video sekvenci 

kretanja. To podrazumeva specificiranje putanje i intervala u koje se postavlja virtualna kamera. 

Ovi poslovi zahtevaju visoku grafičku snagu računarske opreme. To podrazumeva brze 

grafičke procesore, paralelno procesiranje geometrijskih podataka od procesiranja tekstura, 

visoku reyoluciju displeja za prikaz i 32-bitnu paletu boja. Ljudsko osećanje uspešnih animacija 

se manifestuje osećanjem lepote jer računarske platforme mogu da pojačaju efekte prirodnih 

svojstava koji se obično ne zapažaju. 

Animacija primenom MS ’95 – Scena sa modelom, putanjom i kamerom


Slika 6.10 Animacija primenom MS ’95 

(15 uzastopnih prikaza modela izvedenih sa putanje oblika kružnog luka ugla 270 o )

RAČUNARSKA GRAFIKA 

Autorizovana predavanja dr Miomir Jovanović 1 

Zimski semestar 2009 

Predavanje br. 5 

CAD – tehnologije 2 

1.0 BOJE RAČUNARSKE GRAFIKE 

Boje su specijalno sredstvo za emocionalno i umetničko izražavanje 

grafičkih sadržaja. Bojama se pobudjuje asocijativan mehanizam percepcije 

čoveka, zasnovan na vidu i iskustvu kojim se definiše kvalitativan i kvantitativan 

grafički sadržaj. Kvalitativnim elementima boja predstavljaju se izdvojene celine 

(recimo pojedinačni mašinski elementi, elementi konstrukcija) a kvantitativnim 

elementima boja se prikazuju izmenjivi entiteti (recimo polja napona, temperatura, 

pritiska, brzina). Boje grafičkih entiteta generisane na grafičkim uredjajima i 

medijumima moraju odgovarati ljudskom iskustvu i prirodnim bojama. Zato 

računarska oprema koristi principe – teoriju boja zasnovanu na osobinama ljudskog 

vida. 

Čovek koristi opseg svetlosnog zračenja sa talasnom dižinom u od 380 nm do 

700 nm. Ta oblast se naziva vidljivom svetlošću elektromagnetnog spektra. Različite 

talasne dužine elektromagnetnog spektra definišu svetlosno zračenje koje čovek vidi 

kao boje. Boja je za čoveka rezultat dejstva svetlosti na njegov nervni sistem. 

Mrežnjača ljudskog oka je svetlosno osetljiva i sadrži gusto rasporedjene 

svetlosne receptore boja – čepiće i receptore osvetljaja – štapiće. Čepići sadrže tri 

vrste fotohemijskih materija – pigment osetljiv na plavu svetlost, zelenu i crvenu 

svetlost čime je omogućena selektivna osetljivost na boje. Maksimalna apsorpcija 

svetlosti receptora osnovnih boja je 445 nm, 535 nm i 570 nm, slika 1. Prečnik čepića 

je na periferiji mrežnjače 58 m a u centru 1.5 m. Fotoosetljiva materija u čepićima 

– rodopsin se pri svetlosnom nadražaju hemijski razlaže što uzrokuje pojavu 

natrijumskog naelektrisanja kojim se preko nervnih puteva nadraži kora velikog 

mozga. Obradjen nadražaj u mozgu definiše se kao boja. Maksimalan svetlosni 

nadražaj uzrokuje membranski potencijal receptora od –70 do –80 mV (mili volti). 

Štapići su oko 300 puta svetlosno osetljiviji i imaju funkciju svetlosne recepcije u 

mraku. Mehanizam ljudskog vida je sposoban da razlikuje zračenja odredjenih talasnih 

dužina svetlosti koje se nazivaju spektralnim bojama (tabela 1.10). Slika 1.14 

pokazuje osetljivost ljudskih receptora na apsorpciju svetlosti različitih boja.



Slika 1.14 Stepen enumeracije čepića osetljivih na boje pri monohromatskoj svetlosti 

(objašnjenje mehanizma raspoznavanja boja) 

Prema psihološko-fiziološkoj tropodražajnoj teoriji boja, maksimalna osetljivost 

čepića na različite talasne dužine svetlosti odgovara crvenoj, zelenoj i žutoj svetlosti. 

Tabela 1.10 Spektralne boje 

Spektralna boja 

Talasna dužina (nm) 

ljubičasta 380-450 

plava 450-500 

zelena 500-570 

žuta 570-590 

narandžasta 590-620 

crvena 620-700 

Na bazi ove osobine razvijeni su različiti modeli formiranja boja. Najpoznatiji 

model za formiranje sastava boja je RGB model. On koristi crvenu, zelenu i plavu 

boju tehnikom medjusobnog dodavanja (aditivnost) crnoj pozadini. Spajanje, 

dodavanje boja za fotografiju, izvodi se difuzorom. Kod katodne cevi, koristi se 

takodje aditivni princip kod koga se usmerava katodno zračenje RGB mlazeva na 

malu površinu gusto zbijenih fosfornih zrna, različitih tipova. Fosforna zrna pobudjena 

zračenjem svetle svaka svojom osnovnom bojom, usled čega se dobija privid mešanja 

boja. Proizvoljno zadatu boju definiše naredna formula u kojoj su r,g,b koeficijenti 

prisustva (dodavanja) osnovnih boja. Pri tome su oznake osnovnih boja definisane 

simbolima R(engl. Red), G(engl. Green), B(engl. Blue). 

C = rR + gG + bB, 

r, g, b, 0,1 

Osobina RGB modela je da crnu boju definiše kada ni jedna komponenta boje 

nije prisutna, a da belu boju definiše dodavanje osnovnih komponenata boja u 

maksimalnom intenzitetu.



Posledica mešanja samo dve komponente boja daje nove, tipove izvedenih boja. 

Tako mešanjem crvene i plave boje, dobija se purpurna boja (poznatija kao Magenta). 

Mešanjem crvene i zelene dobija se žuta boja. Mešanjem plave i zelene komponente 

dobija se tirkizna boja (poznata kao Cijan). Sastav RGB i izvedenih boja tehnikom 

mešanja boja, može se razumeti prema slici 1.15. Slika 1.16 pokazuje jedničnu kocku 

boja u pozitivnom oktantu 3D kartezijskog koordinatnog sistema. Dijagonala kocke iz 

koordinatnog početka je skala sivih nijansi boja (r,g,b-koeficijenti su jednaki). 

G 

G+R 

G+B 

R 

R+G+B 

R+B 

B 

Slika 1.15 RGB sastav osnovnih boja i izvedene boje 

Slika 1.16 Osnovna kocka RGB modela boja 

Suprotan model aditivnom je substraktivni 1 model koji boju definiše 

oduzimanjem zadate boje od bele boje (aditivni model je boju definisao dodavanjem 

komponentnih boja crnoj boji). Substraktivni model je primenjen u štampi boja. 

Najpoznatiji substraktivni model je CMY model koji se formira od Cijan, Magente i 

žute boje (engl. Yellow). CMY model boja koristi dakle komplementarne boje 

crvenoj, zelenoj i plavoj. Cijanova boja je komplementarna od crvene, magenta od 

zelene a žuta od plave. Objekt, koji je kod bele svetlosti žut, absorbuje plavu boju. 

Zbog toga se cijan, magenta i žuta boja nazivaju primarne boje oduzimanja (engl. 

substractive primary colours). CMY model karakterističan je za medijume koji 

nemaju svoj izvor svetla a to su film, fotografija, štampana slika i umetnička slika. 

Slike sa ovih medijuma se vide samo u prisustvu spoljnjeg izvora svetla. 

U praksi nesavršenost (nečistoća) boja i pigmenata kvari uspeh CMY modela 

zbog prodiranja i drugih boja kroz filtere. Najviše se pri tome oseća nedostatak crne 

1 Substrakt - oduzeti



boje. Radi toga je u CMY model uvedena crna (engl. blacK) čime je donekle 

poboljšana realnost štampanih grafičkih prikaza. Ovakav model poznat po upotrebi 

cijana, magente, žute i crne boje označen je kraće CMYK model. Uporedjujući 

RGB i CMY model stoji da jednostavnost dobijanja RGB filtera omogućuje 

superiorniji kvalitet boja. 

M+Y+C 

M+Y 

M 

M+C 

Y 

Y+C 

C 

Slika 1.17 CMY sastav osnovnih boja i izvedene boje Slika 1.18 Osnovna kocka CMY modela boja 

Osim navedenih modela boja koriste se i drugi sistemi. YIQ model se koristi na 

televiziji da bi omogućio kompatibilnost RGB signala sa crno-belom televizijom. 

HIS model boja, bolje se približava psihofiziološkim osobinama čoveka. Boju 

definiše pomoću nijanse (ton boje, engl. Hue), intenziteta (engl. Intensity) i 

zasićenja (engl. Saturation). 

Nijansa je odredjena boja definisana subjektivno. Intenzitet je 

proporcionalan vidnom osećanju jačine svetlosti (takodje u upotrebi engl. 

Brightness). Zasićenje je čistoća boje (engl. purity) koja pokazuje koliko je zadate 

boje razredila bela ili siva svetlost. Boje bez sadržaja sive ili bele boje, nazivamo 

potpuno zasićenim bojama. Identični modeli su HLS model (Hue-Luminousity- 

Saturation) koji koristi firma Tektronix, HSV (Hue-Saturation-Value), HSB (Hue- 

Saturation-Brightness). 

Vrlo zanimljiv je model DPL sastava boje. Koristi tri parametra za definisanje 

boje: dominantnu talasnu dužinu (engl. Dominant wavelegenth), čistoću (engl. 

Purity) i osvetljenost (engl. Luminance). Dominantna talasna dužina je talasna dužina 

svetlosti koju vidimo. Čistoća odgovara zasićenju a svetlost je proporcionalna 

svetlosnoj energiji. 

Zahtev generisanja svih vidljivih RGB boja a na bazi primarnih boja, doveo je do 

nastajanja dijagram hromatičnosti CIE. Godine 1931. medjunarodna komisija CIE



(franc. Commission Internationale de l' Eclariage), definisala je tri hipotetične 

primarne boje X , Y , Z , koje nisu vidljive i ne postoje. Po ovom sistemu, Y je 

luminansa a X i Z su komponente koje opisuju boju. Ove tri komponente XYZ 

mogu u xyz sistemu da imaju pojedinačne vrednosti od 0 do 1, dok je njihova ukupna 

vrednost uvek 1. Kada su poznate dve komponente, moguće je odrediti treću. 

Slika 1.19 

Dijagram hromatičnosti 

2.0 SVETLA RAČUNARSKIH SCENA 

Vernost grafičkog prikaza 3D objekata zahteva upotrebu svetlosnih izvora u 

prostoru prikazivanja (Viewport), sceni, koja prikazuje te sadržaje. Dobro vidljiv 

objekat i estetski sadržaj postižu se na principima pravilnog izbora i rasporedjivanja 

svetlosnih izvora, merom dobre podešenosti jačine, boje, pravca i difuzije svetla. 

Broj svetlosnih izvora povećava osvetljenost scene pri čemu se velikim brojem 

različitih svetala stvara izgled prirodnog osvetljaja. Osvetljavanje objekata 

podrazumeva izvršenje algoritma izračunavanja osvetljenosti površina, refleksije 

svetla sa okolnih objekata, definisanje izgleda površina objekata sa aspekta 

materijalnosti površina (hrapavosti, transparentnosti, boje, teksture). 

Ambijentno ili globalno svetlo (Ambient light, Global light) je vrsta 

uniformnog svetla, bez pozicije izvora i bez efekta produkcije senki. Blisko je 

dnevnom prirodnom svetlu ali se i razlikuje jer je moguće proizvoljno izabrati boju 

svetla (različitu od bele svetlosti) kojom se postiže sklad boja na sceni. Povećanjem 

jačine ambijentnog, globalnog svetla, umanjuju se senke ili tamna pozadina scene. 

Ovo svetlo umanjuje efekte ostalih svetlosnih izvora u smislu manjeg osećanja 

prisustva. Globalno svetlo, slika 1.20, ima namenu da predstavi prirodan način 

osvetljavanja objekata, shodno godišnjem dobu, satu, danu, mesecu u godini. U tu 

svrhu se podešavaju pored datuma i sata, longituda, latituda i GMT tačke položaja 

prirodnog izvora svetlosti.



Tačkast izvor svetlosti (Point light) je zadato svetlo po poziciji koje se 

rasprostire u svim pravcima. Uz njega se definišu podaci o boji svetla, distanci 

osvetljavanja, jačini svetla. Jačinom svetla se mogu ublažiti ili naglasiti objekti, senke 

i postići koloritni efekti boja. 

Slika 1.20 

Primer menija za podešavanje globalnog svetla (MicroStation’95) 

Slika 1.21 Primer scene sa različitim položajima spot (usmerenog) svetla 

Usmereno svetlo (Spot light) ima zadat pravac svetlosnih zraka. Tako recimo 

spot svetlo programa MicroStation’95 koristi sledeće parametre: Ugao konusa svetla 

, ugao prelaza svetlosti iz konusa , pojedinacno prisustvo R, G, B komponenata u 

svetlu, ukupan intenzitet svetla, prisustvo senki u pozadini osvetljenih objekata, 

rezolucija boja, distorzija svetla. Slika 1.21 pokazuje scenu sa različitim položajima



usmerenog svetla. Distantno svetlo (Distant light) je udaljeno svetlo koje se zato 

karakteriše paralelnim pravcem prostiranja svetlosnih zraka. 

ELEMENTI SVETLOSTI: Konačan izgled prikazivanog objekta se definiše 

elementima svetlosti i elementima površine samog objekta. Elemente površine 

korisnik zadaje definisanjem materijala objekta. Materijalnost definiše boju 

materijala, teksturu (površinsku formu), providnost (engl. transparency) i završnu 

obradu površina. Boja materijala je karakteristika jednog ali i nekih drugih 

materijala. Zato se bojom samo grubo naznačuje materijalnost objekata. Autentičnost 

prikaza dobija se dopunskim definisanjem površine materijala, kada izgled upućuje na 

tačnu materijalnost objekta. 

Površina materijala se zadaje paletama materijala koje uključuju: uzorak 

mape (površine, engl. pattern map) materijala, mapu neravnina materijala (engl. 

bump map), ili oba. Uzorak mape materijala je raster slika koja izabranim površinama 

objekata, dodeljuje materijalnost. Uzorak mape pokazuje grafičku formu izabranog 

materijala. Prilikom realističkog prikazivanja (renderovanja), površina kojoj je 

dodeljena materijalnost, dobija izgled izabranog materijala. Primena mapa neravnina 

materijala je još realističnija kategorija definisanja površina i koristi se u phong 

senčanju, kada se svakoj tački površine odredjuje osvetljenost na osnovu njenog 

položaja u odnosu na svetlo. Mape neravnina omogućuju uspostavljanje različite 

osvetljenosti tačaka primenjene mape. Isturenije tačke površinskih neravnina su kao i 

u prirodi jače osvetljene, dok su tamnije tačke uvučene površine makro strukture 

izabranog materijala. Providnost (transparentnost) definiše svetlosnu provodljivost 

kroz materijal. Opseg se zadaje koeficijentom 1.0 kada je materijal za svetlost 100% 

propustljiv i koeficijentom 0% kada je materijal neprovidan. Ovaj parametar se 

dodeljuje plastičnim ili staklenim elementima sklopa. Recimo kod prikazivanja 

plastične posude za kočionu tečnost, sklopa kočione instalacije automobila, mala 

propusnost svetlosti (mutna plastika) daje realističan prikaz posudi. Definisanjem 

tečnosti u posudi, može se videti nivo tečnosti, što je osnova realističkog prikazivanja. 

Osnovna boja povezuje realističnost prikaza sa našim iskustvom veze boje i 

materijalnosti. Za tu svrhu se koristi asocijativnost čoveka na boje, prirodne i 

sintetičke.



Slika 1.22 Primer menija za definisanje materijalnosti objekta 

Slika 1.24 Primer definisanja materijalnosti objekta tipa neravnina sa šest uzorka mape neravnina 

Parametri izbora broja svetlosnih izvora, složenosti objekata na sceni i 

materijalnosti objekata u osnovi zavise od računarskih resursa. Izbor velike složenosti 

scene uslovljava i jake hardvere da bi se efikasno operisalo grafičkim sadržajima. Sve 

savremene operacije realističkog prikaza i nisu stalno i uvek potrebne. Ukoliko se ipak 

primenjuju tada se mora koristiti zaista brz procesor ili savremena grafička radna 

stanica. Adekvatnost grafičkog hardvera se mora proveravati da bi ogovorio 

softverskim mogućnosti programa. Tako recimo i brze PC platforme ukoliko nemaju 

video podsistem dovoljne rezolucije i odgovarajuće (true color) palete boja, neće 

prikazati razliku izmedju constant, smooth i phong realističkog prikaza.



3.0 FORMATI DATOTEKA RAČUNARSKE 

GRAFIKE 

Raznovrsnost oblasti kompjuterske grafike uslovile su različite tipove datoteka. 

Datoteke koje se koriste za tehničke aplikacije u mašinstvu, moguće je prema nameni 

klasifikovati u datoteke slika (2D dokumenata), datoteke geometrijskih modela 

(3D objekata), datoteke video i animiranih sadržaja i tonskih zapisa. Datoteke slika 

čini raznovrsna tehnička dokumentacija kao konstruktivni crtež sklopa, radionički 

crtež, prospekt proizvoda, šema podmazivanja, električna šema. Geometrijski se 

modeliraju 3D sklopovi mašina, prostorne konstrukcije i elementi konstrukcija. 3D 

geometrijski modeli su osnovni modeli u mašinstvu i mogu imati generalniju formu u 

vidu modela proizvoda. Model proizvoda integriše i podatke o tehnologiji izrade 

proizvoda i definiše se na bazi STEP standarda. Animacije, video i tonski zapisi imaju 

namenu prikaz procesa – funkcije, prikaz geometrijske forme dinamičkim redjanjem 

slika a po potrebi i tonskim sadržajima koji upotpunjuju efekat imaginacije. Grafičke 

2D datoteke slika (metafajlovi) prema tipu sadržaja zapisanih grafičkih elemenata, 

mogu biti vektorski i bitmapirani. 

VEKTORSKI ZAPIS zasniva se na definisanju grafičkih elemenata (primitiva), 

navodjenjem tipa primitive i njenih argumenata. Tako se recimo krug definiše 

navodom CIRCLE (x,y,z,e1,e2,e3,R) i argumentima koordinata centra kruga, 

jediničnim vektorima normale na ravan kruga i poluprečnikom kruga. Bitmapiran 

format zasniva zapis na opisu svake tačke koje definišu sadržaj. Pri tome se zapisuju 

njene koordinate i podaci o boji. Bitmapirani formati su prvenstveno namenjeni 2D 

grafičkim zapisima – slikama. Krug u bitmapiranom formatu se definiše podacima o 

skupu tačaka koje čine polje (površinu) u kojoj je smešten krug. Poredjenje ova dva 

formata iz ovog primera pokazuje da je broj podataka za bitmapiran zapis jako veliki a 

pri tome nisu sačuvani kvalitativni elementi slike – objekti. Vektorski formati 

dozvoljavaju lakše i brže editovanje. Savremeni vektorski formati koji definišu 3D 

sadržaje mogu biti takodje jako veliki, pogotovu kod modela za FEM. Broj grafičkih 

primitiva se može popeti do više desetina hiljada elemenata. Takve grafičke datoteke 

se ipak efikasno edituju programima za geometrijsko modeliranje. U principu se 3D 

modeli ne edituju programima za 2D dizajn jer i u slučaju da datoteke budu učitane, 

editotovanje nema smisla (nema treće dimenzije) a operisanje sa entitetima je 

neefikasno (presporo). Tada je povoljnije koristiti bitmapirane slike. Vektorski formati 

su mnogobrojni. Evo nekih češćih u upotrebi: 

DWG – 

DWG, DXF, Vektorski formati programa AutoCAD, 

PIF - Ulazni vektorski format kreiran na IBM mainframe računarima, 

CGM - 

Vektorski format programa Harvard Graphics, Lotus Freelance, Arts & Letters), 

CDR - Prirodni vektorski format grupe programa CorelDRAW, Corel PHOTO-PAINT, 

CorelDREAM 3D,



CMX - (Corel Presentation Exchange format) Vektorski format za razmenu datoteka unutar 

Corel aplikacija, karakteriše se višestrukim grafičkim nivoima (Lejeri), višestrukom 

straničnošću, 32-bitnošću aplikacija, 

DSF - Vektorski format programa Micrografx Designer 6.0, 

WMF - (Windows Meta datoteka - File) Vektorski format programa Harvard Draw, Lotus 

Freelance Graphics, Aldus. Karakteriše se višestrukim grafičkim nivoima, 

višestrukom straničnošću, podržava transparentne datoteke. 

AI - Vektorski format programa Adobe Ilustrator, CorelTRACE, 

PLT - Vektorski format za ploter (na bazi komandnog jezika Hewlett Pakard Graphic 

Lenguage - HPGL), 

PRN 

- Vektorska datoteka za štampu – samo je format izlaza. Obično se priprema za 

raspoloživi printer-ploter. 

3DMF - 3D metafajl format programa QuickDraw, 

3DS - 3D vektorski format programa 3D Studio, 

D3D - 3D vektorski format programa Corel 3D, 

3Dstudio- Standardna datoteka za verziju VIZ, firme Autodesk, 

IGES 

NAP 

- Javni prirodno neutralan vektorski format sa internacionalnom namenom za 

razmenu CAD/CAM dokumenata izmedju raznovrsnih sistema. IGES je ANSI 

standard sastavljen od IGES/PDES organizacije National Computer Graphics 

Association (NCGA) je administrator ovog standarda. Odnosi se na 3D sadržaje, pa 

čak i kod 2D entiteta preporučuje se upotreba 3D prostora. IGES datoteke imaju pet 

sekcija: startnu sekciju, sekciju globalnih podataka, upravljačku ulaznu sekciju, 

sekciju upravljačkih podataka i završnu sekciju. Do 1996. izradjena je i peta verzija 

R 5.0. Svaka sekcija ima standardan fiksni ASCII format. 

- Vektorski format (NAPLAS), podržava PC i Unix platforme za grafičku 

komunikaciju aplikacija. Karakteriše se ograničenjima nepodržanih tehničkih 

mogućnosti (engl. Features). Podržava bazne linije solida. 

BITMAPIRANI FORMATI uzrokuju velike datoteke pa se neki njihovi tipovi 

komprimuju. Formati BMP, TIF 2 su nekomprimovani formati bitmapiranih datoteka. 

Kompresija datoteka može biti izvršena uz neka pojednostavljenja sadržaja (JPG) a 

gubici detalja bitmapirane slike pružaju za uzvrat veliko smanjenje datoteka. JPG 

standard je skraćenica JPEG standarda (Joint Photographic Experts Group) 

razvijenog specijalno za kompjutersku grafiku sa 32-bitnom paletom boja, 

namenjenog za prikazivanje fotografija i skeniranih slika. GIF standard je namenjen 

najširoj razmeni grafičkih fajlova nezavisno od računara i operativnog sistema. 

Upravo zato podržava skromnu 8-bitnu paletu boja. Namenjen je pre svega 

jednostavnim i jasnim sadržajima kada ne dolaze do izražaja ograničeni resursi. Za 

uzvrat, ima malu veličinu datoteke, te omogućava brz transfer kroz računarsku mrežu. 

RGB model formiranja – kombinovanja boja, ima i svoj istoimeni bitmapirani RGB 

format karakterističan po visokoj paleti boja (24/48-bita) koji koriste programi Corel 

Photo Paint 8, Photoshop. 

2 TIFF format podržava komprimovane i nekomprimovane fajlove



Na veličinu bitmapiranih datoteka utiče primenjena paleta boja. Crno-bela slika 

koristi jedan bit za opis boje tačke. Paleta sa 256 boja koristi osam (8) bitova za zapis 

boje svake tačke. Paleta sa 16 bitnim zapisom definiše 2 16 =65536 boja, paleta sa 

24-bitnim zapisom definiše 2 24 =16777216 boja. Veličina palete boja može značajno 

da poveća veličinu bitmapirane datoteke, obzirom da svaka tačka zahteva definisanje 

boje. Zato se obavezno analizira broj registara za zapis boja (broj bitova) shodno 

karakteru slike, njenom sadržaju i nameni. Bitmapirani formati mogu imati i 

slojevitost zapisa, kakav je slučaj sa PSD formatom (Photoshop) kod koga postoje 

slojevi (namenjeni štampi) i stranice (teksta). 

OBRADA: Bitmapirani crteži mogu se obradjivati posebnim alatima ili 

programima (Adobe Photoshop). Osnovni parametri koji se podešavaju su osvetljenje 

(Brightness), kontrast, balans boja (položaj boja u odnosu na CMY i RGB model 

boja). Pri tome se mogu primeniti i posebni filteri kao što je gama (Gamma) filter koji 

podešava osvetljenost susednih tačaka na bazi osobina ljudskog oka. Ovaj filter tako 

omogućuje isticanje detalja niske kontrasti. Shodno osobinama oka, utiče najviše na 

tačke srednje osvetljenosti dok je minimalan uticaj na zasićene i nezasićene tonove. 

Primenjuju se efekti zamućivanja slike (Blur, Smoth), uoštravanja ivica slike 

(Sharpen), prevodjenja kolor slike u sliku sivih tonova (Convert to Gray-scale), 

ublažavanja prelaza boja bitmape (Smoothing), kreiranja 3D reljefa (Emboss), 

invertovanje boja u istoj paleti boja (Solarize), zamena bitmape paletom živih boja 

(narandjasta, zelena, roze - Psyhodelic). 

BMP– 

Standardan format bitmapiranih slika za MS Windows sa mogućnošću od 124 

bitnog zapisa boja i mogućnosti kompresije bez promene (gubljenja) podataka o 

primenjenoj bitmapi. 

GIF - Compu Serve Graphics Interchange Format . Popularni BBS format koji kombinuje 

prikaz indeksirane kolor grafike i hipertekst za HTML dokument. GIF je 

komprimovan format (LZW), napravljen tako da obezbedi minimalno vreme transfera 

dokumenta posredstvom telefonskih linija. GIF89a format konvertuje RGB grafiku 

modela u 8-bitni GIF standard za uvodjenje u HTML dokument. 

MP - (MacPaint) je bitmapirani format za razmenu slika na Macintosh računarima. Format 

je 576720 tačaka, 

P - Osmobitni bitmapirani format za X-Windows operativne sisteme. Nema kompresije. 

CIT - Inžinjerski jednobitni bitmapirani format firme Intergraph za velike dokumente sa 

CCITT'G4 kompresijom. 

PCX - 

PDF - 

Bitmapiran format firme Zsoft za njegov PC–paintbrush program. Verzija R.3 je 

crno-bela a R.5 je kolor verzija, 

Bitmapiran format firme Adobe, za različite platforme (PC-IBM, Macintosh) i 

operativnim sistemima (UNIX, DOS). Baziran je na PostScript R.2 jeziku. 

Omogućava i vektorsko i bitmapirano predstavljanje. Takodje omogućuje više 

stranične dokumente zbog čega sadrži i upravljačku proceduru kretanja kroz 

dokument, 

PICT - Široko rasprostranjeni Macintosh – ov format za razmenu straničenih dokumenata sa 

grafikom namenjenim različitim aplikativnim programima. Format je kompresionog

PNG - 

Raw - 



tipa i kvalitetne palete boja. Pri prelaskom iz RGB modela boja u PICT format, 

koristi se 16/32-bitna paleta boja. Ukoliko se koriste sive boje (tonovi), primenjuje se 

2/4/8–bitna paleta boja. 

Alternativni format GIF bitmapiranom formatu namenjen za WWW servise Interneta. 

Format je komprimovan sa redukovanom veličinom datoteke i mogućnošću 

podešavanja prisustva detalja u slici kod izbora kompresije. 

Bitmapiran format za razmenu datoteka različitih računarskih platformi. Svaka tačka 

slike je binarno zapisana brojevima od 0-255 sa mogućnošću izbora ekstenzije za 

Windows i Macintosh platformu. 

CDX - Ulazni format bitmapirane metadatoteke programa Corel Draw. Karakteriše se 

komprimovanošću, 

TGA - Targa format, koji se koristi kod Truevision video adaptera i MS-DOS kolor 

aplikacija, 8,16,24,32 bitan zapis, nekomprimovan ili radno podesive kompresije. 

TIFF - 

(Tagged-Image File Format), koristi se za razmenu bitmapiranih grafičkih datoteka 

različitih platformi. Raspolaže sistemom za kompresiju bez gubitaka i sistemom za 

kompresiju sa gubicima detalja bitmape (LZW algoritam kompresije). Navodi se kao 

TIF format. 

JPEG - JPG, JFF, JTF, JFIF - Standardni bitmapirani formati. JPG je razvila kompanija Joint 

Photographers Experts Group,i namenjen je razmeni datoteka izmedju različitih 

platformi. Koristi superiornu kompresionu tehniku. Zahteva pažljivu upotrebu jer da 

bi omogućio visoku kompresiju, koristi algoritam sa menjanjem podataka o 

bitmapama (824 bita). Kompresija JPEG. 

PhotoCD – Format firme Kodak 

EPS 

(Kodak Precision Photo CD Format). Karakteriše se 

visokom rezolucijom od 40966144 tačaka po inču. Namenjen profesionalnoj 

pripremi za štampu. 58 

- (Encapsulated PostSkript) bitmapiran grafički format profesionalne kategorije 

(Adobe), zasnovan na PostSkript grafičkom jeziku. 

WPG - Osmobitni bitmapirani format firme WordPerfect, radno-podesive kompresije. 

MPEG- Multimedijalni grafički, video i audio standard datoteka. Standard MPEG-1 ima osnovni 

algoritam podešen za transfer 1- 1.50 MBsec pri video rezoluciji od 350x250 tačaka slike 

pri 25-30 slika (frejmova) u sekundi. MPEG-2 ima rezoluciju slike 720x576 tačaka pri 30 

frejmova u sekundi. MPEG-4 59, karakteriše se impresivnom kompresijom, širim 

frekventnim opsegom (max. 24 KHz), audiokodiranjem do 64 Kbps, uključujući jezike za 

manipulaciju sa različitim objektima. 

AVI - Multimedijalni bitmapiran format kompanije Microsoft za programsku animaciju 

Windows-a, Windows-a NT, OS/2. Standard karakteriše 256 boja i RLE kompresija. 

Objedinjuje audio, video i grafičke informacije u multimedijalnim aplikacijama. 

RMI - Standardni format za zvučni MIDI zapis (sekvenca srednje dužine). MID format je 

takodje standard zvučnog zapisa. To je recimo zvučni zapis – sekvenca Bahovog 

Brandenburškog koncerta, opus 3, na operativnom sistemu Windows'98, direktorijum 

C:\WINDOWS\MEDIA\ ... , u trajanju od 6'08''. 

WAV - Standardni format za kratak zvučni zapis tipa jednog talasnog perioda (engl. wave sound) 

ili akord. To je recimo jedan akord ding-dong zvona, cvrkut ptice i slično.

FEM PREDAVANJE - 6 

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ – TRANSPORT I LOGISTIKA 2009/2010 

CAD tehnologije II 

FEM-Finit Element Method 

1.1 KLASIFIKACIJA METODA ZA ANALIZU STRUKTURA 

Metodama analize se u fazi projektovanja mašina i opreme traže odgovori o njihovim 

svojstvima otpornosti, pouzdanosti, nosivosti, kinematskom ponašanju, dinamičkom odgovoru. U 

domenu nosećih struktura, na se i rešavaju njihovi matematički modeli proračuna. Skup svih zahvata 

traženja odgovora o svojstvima bazi fizičke forme, postavljaju se uprošćeni mehanički modeli. Za te 

uprošćene mehaničke modele postavljaju složenog sistema – strukture, predstavlja strukturnu analizu. Na 

bazi kriterijuma koje struktura mora da zadovolji u pogledu mehaničkih i funkcionalnih karakteristika, 

analizom se ocenjuje posmatrana struktura i traže njeni nedostaci. Očigledno, metode analize 

usavršavaju strukturu po sistemu "korak po korak" i one kao takve i danas zadovoljavaju konstruktorske 

zahteve. Metode sinteze su mnogo pogodnije za funkcionalne i geometrijske kreacije. One direktno daju 

rešenje strukture ali zahtevaju najsavremeniji pristup, korišćenje ekspertnih znanja i efikasnih 

računarskih sredstava. 

Primena matričnih metoda za analizu struktura, rešila je zahteve sistematskog predstavljanja 

kontinuuma, uvodjenja polja spoljašnjih koncentrisanih sila, polja površinskih opterećenja kakva se 

javljaju kod brodskih struktura, aviostruktura, struktura vozila i polja temperatura svojstvena za raketne 

konstrukcije, toplotne turbine i nuklearne reaktore. Pogodnost matričnih metoda analize pokazala se kod 

rešavanja zadataka plastičnosti, puzanja i ojačanja elemenata, kao i kod uvodjenja istorije prethodnog 

opterećenja strukture. 

Važan elemenat primene metoda analize, je brzina izvodjenja procedura. Dovoljnim brzinom 

analiza, moguće je istovremeno razvijati više konstruktivnih varijanti i odabrati najpovoljnije rešenje. 

Ideja analize dakle govori da se nizom iteracija dolazi do rešenja. Taj opšti koncept definisan je na slici 

3.01. Prema ovom konceptu, na bazi postavljenih ciljeva, formiraju se kriterijumi za ocenu svojstava 

strukture. Ocena dobijenih osobina vodi modifikaciji strukture delimično ili u celosti. Nakon korekcije, 

obnavlja se procedura analize modela i analize osobina, dok postavljeni ciljevi ne budu dostignuti. 

BANKA ZNANJA 

(ISKUSTVO) 

CILJEVI 

OSOBINE KONSTRUKCIJA 

OPTERECENJA 

STATICKO, DINAMICKO, TERMICKO 

OPIS KONSTRUKCIJE 

CAD 

MODEL 

MODIFIKACIJE 

MODELA 

PRORACUN 

OSOBINA 

MEHANICKOG MODELA 

OCENA REZULTATA 

KONACNO RESENJE 

KONSTRUKCIJE 

KRITERIJUMI 

OCENE 

KONSTRUKCIJA 

Slika 3.01 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju

Dr M.Jovanović - CAD tehnologije II - Predavanje 6 (FEM) 

Metode strukturne analize dele se na analitičke i numeričke. Primena analitičkih metoda je 

ograničena na jednostavne slučajeve za koje je moguće naći rešenje u zatvorenom obliku. Rešenja se kod 

analitičkih metoda traže preko redova ili specijalnih funkcija. Realne strukture se u praksi tretiraju 

numeričkim metodama i one se mogu odnositi na kontinualne i diskretne sisteme. Slika 3.02 pokazuje 

klasifikaciju danas aktuelnih numeričkih metoda strukturne analize. 

NUMERIČKE METODE STRUKTURNE ANALIZE 

KONTINUALNI SISTEMI 

VARIJACIONE 

METODE 

PRIBLIŽNE METODE 

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE 

DISKRETNI SISTEMI 

(matrične metode) 

METODA POMERANJA 

METODA SILA 

Metoda konačne 

razlike 

Metoda numeričke 

integracije 

METODA KONAČNIH 

ELEMENATA 

Slika 3.02 Pregled numeričkih metoda za analizu struktura 

1. METODA KONAČNIH RAZLIKA je numerička metoda pogodna za rešavanje raznovrsnih 

zadataka. Bazira se na matematičkoj diskretizaciji diferencijalnih jednačina prevodjenjem na 

jednačine sa konačnim razlikama. Uspešno se može primeniti na tankozidim nosačima, na 

problemima plastično deformabilnih konstrukcija. Efikasnost metode se smanjuje sa složenošću 

unutrašnjih veza posmatranog mehaničkog sistema. 

2. METODA NUMERIČKOG INTEGRISANJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA se koristi široko 

u mnogim zadacima. Metoda se svodi na rešavanje zadatka Cauchy-ja s obzirom na postojanje 

dobrih matematičkih procedura za integraciju sistema diferencijalnih jednačina. Za rešavanje se 

dosta dobro mogu upotrebiti metoda Euler-a, metoda Runge-Kutta i druge. 

3. METODA KONAČNIH ELEMENATA - (Finite Element Method - FEM), koristi različite tipove 

varijacionih metoda, primenjenih na diskretnom modelu za strukturnu analizu kontinuuma. 

Kontinuum se diskretizuje konačnim brojem elemenata i stepeni slobode kretanja. Zadatak se opisuje 

sistemom diferencijalnih jednačina koje se formiraju iz uslova minimuma funkcionala konstrukcije. 

Ovaj zadatak je rutinski, a rešavanje sistema diferencijalnih jednačina ide matričnim metodama, vrlo 

pogodnim za tretman računarom. Tačnost izračunavanja je definisana kvalitetom izabranih funkcija 

oblika (interpolacionih funkcija), mrežom i tipom konačnih elemenata. Zavisno od izabranih 

nezavisno-promenljivih veličina i načina formiranja jednačina, postoje četiri osnovne metode: 

metoda pomeranja (metoda deformacija), metoda sila, mešovita i hibridna metoda. Formiranje 

jednačina se izvodi primenom osnovnih zakona mehanike. Kod metode pomeranja koristi se princip 

minimuma funkcionala (pune energije sistema). Kod metode sile, koristi se princip minimuma 

komplementarne energije. Mešovita metoda koristi princip Vašic-a i Reissner-Hellinger-a. 

4. METODA GRANIČNIH ELEMENATA je specifična metoda prelaza iz sistema parcijalnih 

diferencijalnih jednačina i zadatih graničnih uslova ka njihovoj integralnoj analogiji na granici 

oblasti koju posmatramo. Postupak se sastoji u diskretizovanju granične oblasti strukture graničnim 

elementima, primenom različitih vrsta aproksimacija geometrije granica i graničnih funkcija. Iz 

integralnih odnosa, diskretnom analogijom, formira se sistem algebarskih jednačina. Rešavanjem 

sistema dolazi se do traženih veličina na granicama oblasti.

5. SLOŽENE METODE PRORAČUNA STRUKTURA. Inženjerski zahtevi proračuna složenih 

struktura, uslovili su razvoj metode konačnih elemenata. Naime, pokazalo se da je moguće 

grupisanje elemenata u velike makro-elemente da bi se analizirale osobine na njihovim granicama. 

Ova metoda poznata je kao METODA SUPER-ELEMENATA (MSE). Metoda se koristi naročito u 

aviogradnji, brodogradnji gde super-elementi predstavljaju sekcije struktura koje se ponavljaju. 

Prednost metode je što isključuje unutrašnje nezavisno - promenljive, pa preostaju samo nepoznate 

na granicama superelemenata. Na ovaj način je značajno smanjen računski obim problema te je 

realizacija brža i uspešnija. Pri tome se formiraju algebarski sistemi koji se rešavaju metodama 

Gauss-a, Holeckog, Crout-a, frontalnom metodom i drugim iteracionim metodama. 

U grupu metoda za statičku nelinearnu analizu struktura spadaju metoda prostih iteracija, 

Newton-Raphson metoda, metoda tangentne krutosti i druge. Modeliranje često uslovljava aproksimacije 

problema. Aproksimacija posmatranih parametara kod nelinearnog problema, može biti izvršena 

razvijanjem u Taylor-ov red. Ukoliko se izvrši linearizacija, zadatak se dalje može tretirati metodama 

linearnog programiranja. To je koncept sekvencijalnog linearnog programiranja (SLP). 

U okviru metoda za analizu struktura pri nestacionarnim dinamičkim dejstvima, primenjuju se 

metoda centralnih razlika prvog i trećeg reda (metoda Houbolt-a), metoda Newmark-a, Wilson-ova 

teta metoda i druge. 

Savremene metode efikasno se primenjuju kroz profesionalne programske pakete. Softver je 

modularnog tipa i svaka kategorija zadatka je nezavisna programska celina. Tako se zadaci analize 

rešavaju programskim modulom – solverom, zadaci geometrijskog modeliranja – modulom 

preprocesora, zadaci prikaza rezultata – postprocesorom, zadaci generisanja konačnih elemenata – 

modelerom mreže, zadaci optimizacije – modulom optimizacije, zadaci dinamike – odgovarajućim 

modulom dinamičke analize itd. Hardverske osobine rašunara ograničavaju broj stepeni slobode koji 

može operativno da se realizuje. Najveći savremeni zadataci mogu dostići broj od nekoliko desetina 

miliona stepeni slobode kretanja. Brzina operisanja je važna radna osobina i uslovljena je arhitekturom 

računara. Za manje zadatake, realizacija je moguća već na 32-bitnim računarima. Za najobimnije 

zadatke, koriste se supermikro računari, grafičke radne stanice pa čak i super-računari. To su SIMD i 

višeprocesorske arhitekture, 64-bitne magistrale, RISC set procesorskih instrukcija i višekanalna obrada 

podataka. 

3.20 UVOD U METODU KONAČNIH ELEMENATA 

Metoda konačnih elemenata (MKE 1 ) je zasnovana na diskretizaciji kontinuuma 2 konstrukcije 

jednostavnim delovima konačnih dimenzija. Nad tim delovima - konačnim elementima, metodama i 

principima fizike uspostavljaju se osnove statičke, kinematičke, dinamičke i termodinamičke veze, koje 

se proširuju do granica kontinuuma. Koristeći neki od osnovnih principa mehanike, formira se sistem 

diferencijalnih jednačina (običnih, parcijalnih ili integralnih). Kod malih zadataka koristi se direktna 

metoda (analogna metodi deformacija linijskih struktura 21). U softveru se najčešće koristi varijaciona 

metoda, zasnovana na principu stacionarnosti funkcionala 3 . Varijaciona metoda koristi klasičnu 

metodu Ritz-a ili Hellinger-Reissner-a. Nepoznati parametri koji se kod nosećih struktura traže su 

kinematičke veličine - pomeranja, statičke veličine - unutrašnje sile ili mešovite veličine (pomeranja i 

unutrašnje sile istovremeno). Osim ovih dveju metoda koristi se metoda reziduma (tamo gde je teško 

definisati potencijal) i metoda energetskog bilansa kod zadataka koji tretiraju različite tipove energija 

(mehaničku, toplotnu, elektromagnetnu). Za ove diferencijalne jenačine, traži se rešenje, najčešće 

približno. Pretpostavljene forme rešenja omogućavaju prelazak sa diferencijalnih jednačina na 

algebarske jednačine. Rešenja tih jednačina su pomeranja, unutrašnje sile ili dinamički odgovor 

1 U domaćoj naučnoj i stručnoj javnosti, za metodu konačnih elemenata koristi se skraćenica MKE. 

2 Diskretizaciju je koristio Arhimed deleći krug na prave duži iz čije ukupne dužine je odredio broj . 

Istom metodom je prvobitno odredjivana površina i zapremina geometrijskih tela. 

3 U statici struktura, funkcional je potencijalna energija elastičnog sistema. 

U dinamici struktura, funkcional je zbir kinetičke i potencijalne energije sistema.


konstrukcije. Pojedine etape traženja rešenja, zasnivaju se na matričnoj algebri i numeričkoj analizi koje 

se realizuju matematičkim metodama naročito pogodnim za računar. 

Koncept metode je definisao 1941. Hrenikoff. Godine 1956. istraživači Claugh, Martin, Turner i 

Torr računarom su rešili zadatak ravanskog naponskog stanja krila aviona "BOEING", primenom 

trougaonih konačnih elemenata. Tada je na predlog američkog istraživača Claugh-a definisano današnje 

ime metode: "the finite element method", skraćeno FEM. Značajan doprinos širenju ideja i koncepta 

metode imala je štampa prve monografije autora Zienkiewicz-a i Cheng-a 1970. Sedamdesetih godina 

istraživač Oden značajno uopštava metodu, uvodeći u nju trodimenzionalnost, nelinearnost, dinamiku 

struktura, talasno prostiranje, uticaj fluida i optimalnost struktura. 

Prava, široka primena metode počela je razvojem računarske tehnike i pojavom komercijalnih 

softverskih paketa. Prvi komercijalni programski paketi bili su: NASTRAN (program NASE), SESAM - 

(Super Element Structural Analysis Modulus - Norveška), SAP (Structural Analysis Program-USA), 9. 

Metoda konačnih elemenata je više od četrdeset godina u primeni. Realizuje se preko savremenih 

softverskih paketa od kojih su ALGOR, ANSYS, NISA, COSMOS/M, I-DEAS, informativno 

predstavljeni u glavi 6. 

3.22 ENERGIJSKI VARIJACIONI PRINCIP MINIMUMA 

POTENCIJALNE ENERGIJE 

Princip minimuma potencijalne energije je najčešći princip u metodi konačnih elemenata koji se 

primenjuje kao uslov rešavanja zadataka. Ovaj princip zahteva definisanje rada spoljašnjih sila V i 

potencijalne energije deformisanog kontinuuma U. Deformaciju kontinuuma izvrše spoljašnje površinske 

sile p usled kojih nastaju pomeranja na konturi s konačnog elementa. Zapreminske sile F deluju po celoj 

zapremini kontinuma dV. Na bazi ovih uticaja, rad spoljašnjih sila V je: 

V = F 

T 

u dv 

T 

p u ds 

(3.01) 

v 

s 

Posledica spoljašnjeg dejstva su unutrašnje sile koje se u obliku elastične energije akumuliraju 

unutar strukture. Po spoljašnjem rasterećenju, struktura se vraća u prvobitni položaj. Sposobnost, 

potencijalnost strukture da se vrati u prvobitni položaj, nazvana je potencijalna energija U i ona se može 

odrediti iz tenzora napona i dilatacije : 

U = 

1 

2 

T 

 

v 

Ukupan rad unutrašnjih i spoljašnjih sila je totalna energija ili kraće funkcional : 

 

dv 

(3.02) 

U V 

(3.03) 

Pomeranja unutar konstrukcije izvode se po direktnim putanjama, koje su logično najkraće. Pri 

tome, struktura zadržava ravnotežno stanje (stabilnost). Ove činjenice definišu izvršen rad kao 

minimalan, pa zato uslov minimalnosti glasi: Varijacija funkcionala po parametrima pomeranja jednaka 

je nuli. Ovaj uslov je definisan relacijom 3.04: 

U V = 0 

(3.04) 

Varijacija funkcionala po nepoznatim parametrima daje sistem algebarskih jednačina čija 

rešenja su nepoznati parametri-deformacije i unutrašnje sile. Literatura 21,40 definiše etape 

odredjivanja potencijalne energije i formiranja algebarskog sistema jednačina. Osnovna veličina koju 

definiše tip izabranog konačnog elementa je njegova matrica krutosti. U slučaju da u konačnom elementu 

nema unutrašnjih čvorova, izraz za matricu krutosti se definiše preko matrice parcijalnih diferencijala 

interpolacionih funkcija B i matrice krutosti materijala - kontinuuma D. Ta opšta forma je:

K e 

 

T 

kqq B DBdv 

v 

(3.05) 

Potencijalna energija sistema konačnih elemenata cele strukture može se prikazati kao zbir 

potencijalnih energija pojedinih konačnih elemenata (3.06). Za strukturu sa M konačnih elemenata, ta 

suma se može predstaviti preko generalisanih koordinata q čvorova konačnih elemenata, matrice krutosti 

strukture K , vektora unutrašnjih sila u čvorovima Q i integracionih konstanata C e . 

M 

M 

 

1 

 

T 

 

T 

e = q K q Q q C 

2 

n 

(3.06) 

e1 

n 1 

U jednačini (3.06), K je globalna matrica krutosti nepovezanih konačnih elemenata. 

q1 

 

 

q2 

 

q , 

qe 

 

 

qM 

 

K1 

 

 

 

K 

 

 

 

 

K2 

 

Ke 

 

 

 

 

 

, 

 

 

 

KM 

Q1 

 

 

Q2 

 

Q 

Qe 

 

 

QM 

 

(3.07) 

Matrica krutosti konačnih elemenata K je dijagonalna globalna matrica strukture. Ova matrica je 

simetrična sa članovima na glavnoj dijagonali različitim od nule. Varijacijom potencijala strukture po 

nepoznatim parametrima q T i primenom stava o minimumu potencijala, sledi jednačina strukture 3.08. 

U izrazu 3.08 je izvršeno sredjivanje koordinata q* i generalisanih sila Q za globalni koordinatni sistem. 

K q * Q 

(3.08) 

Postupak primene metode konačnih elemenata zahteva uvodjenje graničnih uslova u svaki 

zadatak. Rešavanje ovog dela proračuna je osnova stabilne numeričke procedure i regularnih analiza. 

Granični uslovi se definišu iz uslova oslanjanja struktura, prema izvedenim tehničkim rešenjima. Kod 

primene softverskih paketa, to se svodi na definisanje pojedinačnih uslova slobode kretanja čvorova u 

kojima su oslonci. Način definisanja slobode kretanja (interfejs), uredjuju sami proizvodjači softvera. 

PRIMER FEM ANALIZE 

Dato je telo (kućište) specijalne kamere dimenzija 200x100x60 mm. Konzola je uklještena na 

jednom kraju a na drugom kraju je (donjom ivicom) opterežena vertikalnom silom od 

F=10000. N. Kužište je složene geometrije, forme lake konstrukcije sa 16 otvora po obimu I 

uzdužne cevaste konstrukcije. Debljina uzdužnih zidova se kreće od 4-10 mm. Potrebno je 

uraditi statičku FEM proveru i utvrditi rezerve u materijalu, naponsku distribuciju, stepen 

deformacije. 

PROCEDURA softverska: 

Koristiti za modeliranje geometrijski modeler SolidWorks. Za analizu koristiti MSC 

NASTRAN 2004. Prikazati slike modela, rezultate napona i numerički listing rezultata. 

Koristiti osnovne SI jedinice (N, m, s, kg).


Rešenje geometrijskog modela u programu SolidWorks 2005 

Forma geometrijskog modela importovana u program MSC NASTRAN 2004

Windows realizacije procesiranja u program MSC NASTRAN 2007 

Broj stepeni slobode kretanja DOF=80565 

Vreme realizacije analize 39 sCP. 

Windows rezultata postprocesiranja u program MSC NASTRAN 2004 

Pregled karikaturalnih deformacija modela u formi Contour / Deformed Image / 

(Boje prikazuju stepen translacije kontinuuma kućišta konzole prema desno datoj legendi) 

Maksimalno pomeranje 0.00048 m.



Pregled karikaturalnih Von-Mises napona modela u formi Contour / Deformed Image / 

(Boje prikazuju stepen napona kontinuuma kućišta konzole prema desno datoj legendi) 

Maksimalni VM napon 439160896. N/m 2 . = 43,9160896 kN/cm 2 


Pregled karikaturalnih Tangentnih napona modela u formi Contour / Deformed Image / 

(Boje prikazuju stepen napona kontinuuma kućišta konzole prema desno datoj legendi) 

Maksimalni VM napon 238065152. N/m 2 . = 23,8065152 kN/cm 2 

Contour options: Nodal, Average, Use Corner Data. 

Tehnika renderovanja: Continous.

Listing – pregled rezultata MSC Nastran 2004 

Model 

Scratch File 

Model Size 

Cache Size 

D:\PREDAVANJA - CAD\171109\konzola 17.MOD 

C:\DOCUME~1\konzola 17.scr0 

14893056 bytes 

3372 Pages of 1 Blocks each. Max of 5000 Pages. 

Last Saved by Serial Number 830-FI-FA-2005 

Min Max Number Next Active Color 

Coordinate System 3 60 

Point 1 208 208 209 24 

Curve 1 312 312 313 120 

Surface 1 104 104 105 60 

Solid/Volume 1 1 1 2 

Text 1 124 

Node 1 29301 27357 29302 46 

Element 9703 22496 12794 22497 124 

Material 1 1 1 2 1 55 

Property 1 2 2 3 1 110 

Load Set 1 1 1 2 1 

Constraint Set 1 1 1 2 1 

View 1 1 1 2 

Group 1 

Output Set 1 1 1 2 1 

Output Format 1 

Workplane Origin X Y Z 

0. 0. 0. 

Workplane Normal X Y Z 

0. 0. 1. 

Workplane X Axis X Y Z 

1. 0. 0. 

Snap X Spacing Y Spacing Angle 

0.01 0.01 0. 

Model Extents X Y Z 

0. 0. 0. 

0.06 0.1 0.2 

Load Set 1 - F=3000 N 

Nodal Forces (on Curve) 

ID Color Layer Def CS X Y Z Phase 

61 10 1 0 -10000. 0. 

Material 1 - C 0561 2006 

Type ISOTROPIC Color 55 Layer 1 #Prop 1 

Density 7860. Damping 0. Ref Temp 0. 

STIFFNESS E 2.E+11 G 79300000000. Nu 0.3 

STRENGTH Tension 0. Compress 0. Shear 0. 

THERMAL Alpha 0. K 0. SpecHeat 0. 

HtGen 0. 

Property 1 - 3D Mladen 17 

Type SOLID Color 110 Layer 1 CoordSys 0 #Elem 12794 

Material 1 Integration Net 0 Material Aligned to Coordinate System 

MSC.Nastran for Windows Version 8.30 

Model : D:\PREDAVANJA - CAD\171109\konzola 17.MOD


Report : Node 

Format : NASTRAN Displacement 

Output Set 1 - MSC/NASTRAN Case 1 

Final MAX/MIN Summary Table Set ID Value 

T1 Translation Minimum 1 2037 -0.0000539 

Maximum 1 14836 0.00011886 


Maximum 1 15398 4.4653E-8 


Maximum 1 15931 0.000053723 

R1 Rotation Minimum 1 1 0. 

Maximum 1 1 0. 





MSC.Nastran for Windows Version 8.30 

Model : D:\PREDAVANJA - CAD\171109\konzola 17.MOD 

Report : Element 

Format : NASTRAN CTETRA Stresses 


Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value 

Solid X Normal Stress Minimum 1 22058 -230215024. 

Maximum 1 15393 273772896. 

Solid XY Shear Stress Minimum 1 19282 -125652536. 

Maximum 1 20534 127781896. 

Solid Max Prin Stress Minimum 1 19347 -18764138. 

Maximum 1 11299 342630368. 

Solid Mean Stress Minimum 1 11299 -138221744. 

Maximum 1 12910 88709960. 

Solid Von Mises Stress Minimum 1 11218 1162476. 

Maximum 1 22184 308500288. 

Solid Y Normal Stress Minimum 1 12910 -189393488. 

Maximum 1 11299 323338112. 

Solid YZ Shear Stress Minimum 1 18439 -69557880. 

Maximum 1 15886 58976536. 

Solid Min Prin Stress Minimum 1 22058 -230348816. 

Maximum 1 18679 37915560. 

Solid Z Normal Stress Minimum 1 17623 -212845664. 

Maximum 1 20315 267877376. 

Solid ZX Shear Stress Minimum 1 21473 -98858776. 

Maximum 1 12309 100089776. 

Solid Int Prin Stress Minimum 1 16603 -72810040. 

Maximum 1 15393 114675592.

PROJEKTOVANJE RAČUNAROM – AUTORIZOVANA PREDAVANJA DR MIOMIRA JOVANOVIĆA 1 

CAD tehnologije II 

Predavanje-7 

Zimski semestar 2009-2010 

INŽINJERSKA PROCEDURALNOST FEM 

POSTUPAK IZBORA KONAČNIH ELEMENATA 

Analiza metodom konačnih elemenata zahteva fizičku diskretizaciju konstrukcije i izbor 

konačnih elemenata koji adekvatno opisuju njeno ponašanje pri spoljašnjem uticaju. Raznovrsnost 

uticaja i geometrija struktura, uslovila je brojnost vrsta i podvrsta konačnih elemenata. Osnovna 

razlika medju njima ogleda se u različitosti "unutrašnjih" funkcija. Te "unutrašnje" funkcije, funkcije 

oblika (shape function), opisuju polje pomeranja u elementu i odredjuju aproksimacije kontinuuma u 

metodi konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa osim topologije podrazumeva izbor 

interpolacione funkcije i direktno odredjuje tačnost metode. 

KLASIFIKACIJA: Konačne elemente je moguće klasifikovati prema: 

 

 

 

 

 

 

Dimenzionalnosti ( 1D, 2D, 3D), 

Familiji - grupaciji (ljuska, ploča, greda), 

Redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni), 

Geometriji (trougaoni, četvorougaoni), 

Fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska), 

Materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan). 

Osnovni tipovi konačnih elemenata su odredjeni prostorom koji koriste (1D, 2D, 3D). 

Jednodimenzioni konačni elementi su zatege, štapovi, grede, užadni elementi, granični elementi, cevni 

elementi. Granični elementi su kategorija koja služi za formiranje veza na granicama kontinuma, koja 

matematičkom modelu definiše neki uslov. U ovu podgrupu spadaju elementi: opruge, zazora (gap), 

veze (link), stepena slobode (DOF) i drugi. 2D - dvodimenzioni konačni elementi definišu napone i 

deformacije ravanskog kontinuuma, pa shodno tim vrstama osnovni elementi su membrana, ploča, 

ljuska. Trodimenzioni konačni elementi su prizmatični i osnosimetrični. U ovu grupu spadaju i debela 

ploča i debela ljuska, prizma, piramida, osnosimetrični elementi i 3D konačni elementi sa ortotropnim 

osobinama kao što su slojevite forme. Slika 3.03 ilustruje osnovnu geometriju konačnih elemenata. 

Izbor konačnog elementa za modeliranje, zavisi od geometrijske forme posmatranog kontinuuma i 

procene unutrašnje distribucije sila i deformacija. Geometrijske forme dugačkih članova (malih 

dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu) zamenjuju se jednodimenzionim konačnim 

elementima. Ravne površine zidova, pregrada, dijafragmi, lamela nosača, zamenjuju se 

dvodimenzionim konačnim elementima (obično za analizu napona). Tamo gde se javljaju 

koncentrisana lokalna naprezanja usled geometrijske složenosti, koriste se trodimenzioni konačni 

elementi. Njima se obično opisuju kompaktne geometrije kao što su rotacioni delovi, lopatice kola 

turbomašina, glavčine, kućišta motora, kućišta klipnih mašina, složeni elementi (kolenasta vratila). 

Jedno od suptilnih pitanja diskretizacije strukture su granice geometrija primenjenih konačnih 

elemenata. Zapravo, potrebno je definisati kad koristiti konačan element štap, kad koristiti gredu, kad 

ploču, a kada ljusku. Za nalaženje odgovora na to pitanje, treba definisati prvo klasične pojmove ovih 

elemenata u mehanici:


Štap podrazumeva konstruktivni sadržaj malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu. 

Takvi članovi se odlikuju vitkošću, često većom od 50 (>50). Takvi konstruktivni elementi imaju 

izrazitije unutrašnje uzdužne sile od unutrašnjih momenata. To su, recimo, zatege kod dizalica, držači 

visećih platforma, članovi lakih rešetkastih nosača itd. Obično sadrži tri stepena slobode u čvoru pa 

modeliranje ovim elementom smanjuje obim algebarskog sistema za rešavanje. 

Grede su konstruktivni sadržaji značajnih dimenzija u odnosu na dužinu, pa zato mogu da ponesu i 

unutrašnje momente savijanja i uvijanja. Primena konačnih elemenata tipa grede uopšte smanjuje 

aproksimacije jer u njihovim čvorovima uobičajeno ima svih 6 stepeni slobode kretanja. Gredama se 

diskretizuju linijske noseće strukture različitih tipova dizalica i rotacionih bagera (rešetke, stubovi), 

ramovi postolja i nadgradnje vagona. Kako se veze konačnih elemenata, ostvaruju samo u čvorovima 

(za koje su postavljeni uslovi kompatibilnosti strukture), ove analize nemaju aproksimativan pristup. 

Cevi su jednodimenzioni konačni elementi (engl. pipe), slika 1, koji se koriste za aproksimaciju 

tankozidih geometrija. Granični elementi se koriste za modeliranje elastičnih oslonaca (slika 2.0), 

poboljšanje uslova kompatibilnosti na granicama strukture sa nejednakim brojem stepeni slobode u 

čvoru. Često se koriste za poboljšanje numeričke stabilnosti kod plitkih ljuski. U upotrebi su i konačni 

elementi tipa prigušivača (damperi), slika 2., kao i kruti (rigid) elementi. 

A. Element za aksijalna i torziona opterećenja (bez smicajna i savijanja–rod element), sl.1-a, 

B. Cevni element sličnih osobina kao i prethodni (tube element), slika 1-b, 

C. Štapni element za aksijalna opterećenja i savijanje (bar element), slika 1-c, 

D. Linijski element krutosti (spring element), slika 2-a, 

E. Linijski element prigušenja (damper element), slika 2-b, 

F. Kombinovani element zadate krutosti i prigušenja, 

G. Linijski element nelinearnosti (gap element), 

H. Krivolinijski gredni element (curved beam element), slika 2-c 

1D – LINIJSKI ELEMENTI 

Slika 1 a.- aksijalni element, b. - cevni element, c. - štapni/gredni element 

Y 

Z 

X 

Slika 2 a.- element krutosti, b. - element prigušenja, c. - krivolinijski gredni element


KABL-E 

KONTAKT-PAR 

Slika 3.0 Specijalni 1D elementi 

Ploče i ljuske su strukturni elementi male debljine u odnosu na ostale dve dimenzije. Ljuske su 

obično zakrivljeni strukturni elementi kod kojih je količnik debljine i poluprečnika krivine veći od 20 

(R/t>20)1. Ljuske mogu biti jednostrano zakrivljene (cilindrične) i obostrano zakrivljene, nastale 

obrtanjem krive oko ose. Cilindrična ljuska je, na primer cev, količnika debljine h, radijusa 

krivine R i dužine ljuske L: h/R=1/100 i L/R = 2. Obostrano zakrivljena ljuska je, recimo, vrh trupa 

aviona, dance vagon-cisterne, zid satelitske antene. Primer sferne ljuske je dance loptastog rezervoara 

debljine zida h=6 cm i poluprečnika krivine R=143 cm. Primer cilindrične ljuske je cev za visok 

pritisak, debljine zida h=7 cm, prečnika D=100 cm i dužine 50 cm 49. 

ČETVOROUGAONI 

LINEARNI RAVANSKI 

ELEMENT 

SMICAJNA RAVAN 

ČETVOROUGAONI 

KUBNI ELEMENT 

(membrana) 

PLOČA 

TANKA LJUSKA LINEARNA I KUBNA 

Slika 4.0 2D – POVRŠINSKI ELEMENTI 

KLASIFIKACIJA: Količnik debljine i poluprečnika krivine može se naći u širokim granicama, pa se 

razlikuju tanke ljuske (thin shell) i debele ljuske (thick shell). Literatura ne navodi strogu granicu 

njihove geometrije. Jasno je da su kod debelih ljuski znatno veći momenti savijanja pa time i 

komponentni naponi oko srednje ravni krivine. Slika 5.0 pokazuje primer tanke cilindrične ljuske i 

tanke ljuske promenljive zakrivljenosti, kakve se javljaju kod letilica. 

Slika 5.0 Dva tipa tankih ljuski: cilindrična i sferna 

1 Ugural A.C., Fenster S.K, ADVANCED STRENGHT AND APPLIED ELASTICITY, Elsevier, New York 1987.


Ploče su ravna prizmatična tela male debljine u odnosu na ostale dimenzije. Tanka ploča je debljine 

manje od 1/10 ostalih dimenzija 31. Pri tome se smatra da pri spoljašnjem opterećenju nastaju male 

deformacije ploča, koje ne prelaze 1/5 debljine ploče (/h < 1/5). Autori Timošenko, Vojnovski- 

Kriger, definišu geometriju tankih ploča u dijapazonu h/L = 1/80 1/200. 

Debele ploče se koriste za najviša opterećenja i u sebi nose izrazito sve tri prostorne 

komponente napona. Poceski 2 definiše debelu ploču na primerima u kojima je količnik debljine i 

dužine (širine) u granicama h/L = 1/4 1/80. Kako ploča prenosi spoljašnje dejstvo unutrašnjim 

momentima savijanja a ljuska prenosi spoljašnje dejstvo membranskim naponima, to ljusku čini 

znatno otpornijim i ekonomičnijim elementima konstrukcija. 

Krivolinijski konačni elementi prate zakrivljenu geometriju struktura. Definisani su 

većim brojem čvorova na ivicama elementa. Prednost: Veći broj uslova kompatibilnosti, čime se 

značajno smanjuju aproksimacije i poboljšava kontinuitet na granicama elemenata. 

Izoparametarski element je specijalna kategorija konačnog elemenata koji ima jednak broj 

čvorova na konturi sa brojem čvorova unutar polja elementa (za poboljšanje unutrašnjeg kontinuiteta). 

Prema funkciji za interpolaciju pomeranja izmedju osnovnih čvorova, razlikujemo linearne, kubne, 

parabolične i druge konačne elemente. 

Trodimenzioni elementi (3D) su tetraedarski element (sa 4 čvora) oblika piramide, 

heksaedarski element sa 8 osnovnih čvorova itd. Trodimenzioni elementi imaju najčešće i dodatne 

čvorove po ivicama a najveći broj ovih elemenata ima po 3 stepena slobode u čvoru. Tako, samo 

heksaedarski element sa 8 čvorova u rogljevima i po jednim izmedju svih rogljeva na konturi, ima 

ukupno 20 čvorova sa 60 stepeni slobode. To pokazuje kako primena 3D elemenata dovodi do velikih 

dimenzija računskog modela. 

LINEARNI I KUBNI ELEMENT DEBELE LJUSKE 

SOLID ELEMENT 

(puni element četvorostrane prizme) 

SUPERELEMENTI 

OSNOSIMETRIČNI ELEMENT 

LAMINARNA LJUSKA 

SENDVIČ LJUSKA 

Slika 6.0 Tipovi 3D konačnih elemenata 

2 Poceski A., MEŠOVITI METOD KONAČNIH ELEMENATA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1990.


Konačni elementi sa složenim fizičkim osobinama, posebno prilagodjeni za modeliranje, 

nazivaju se superelementi. Na slici 6 pokazana su dva takva. Njihova osnovna vrednost je da 

umanjuju matematičku složenost koju bi imalo modeliranje laminarnih i kompozitnih struktura 

pojedinačnim definisanjem slojeva. 

Opšti kriterijumi diskretizacije: 

1. Kriterijum broja stepeni slobode: Što manji broj stepeni slobode i što kvalitetnije 

interpolacione funkcije. Umanjuje numerički obim problema - smanjuje hardverske resurse. 

2. Kriterijum manjih aproksimacija: Manje odstupanje od tačne geometrije kod modeliranja. 

Ovaj zahtev uvećava broj stepeni slobode kretanja, 

3. Kriterijum spoljašnjeg oblika: Izbor konačnog elementa strukture može se izvršiti na osnovu 

sličnosti njegove geometrijske forme sa formom pravilnih delova objekta, 

4. Kriterijum poznavanja unutrašnje distribucije komponentnih napona članova kontinuuma: 

Zasniva se na poznavanju osnovnih tipova naponskih distribucija kod ploče, ljuske, membrane, 

solida, grede, štapa. Kako unapred nije tačno poznata distribucija napona, često se nakon analize 

ispituje ispravnost izbora konačnih elemenata. To podrazumeva kontrolu nivoa i vrste 

komponentnih deformacija. Na taj način se proverava da li je izabran element "radio" po 

svojoj teoriji ili ne. Kada uslovi to dozvole, vrši se i eksperimentalna analiza. Na bazi toga se 

može reći da je modeliranje u FEA i iskustvena kategorija. 

5. Kriterijum simetričnosti: U slučaju centričnog ili simetričnog spoljašnjeg opterećenja, moguće 

je izvršiti modeliranje polovine, četvrtine ili dela konstrukcije, čime se problem racionalno 

opisuje manjim brojem stepeni slobode. To je slučaj sa cisternama, spojnicama, diskovima. 

Uticaj ostalih delova konstrukcije definiše se posredstvom graničnih uslova. 

ETAPE PROGRAMSKOG PRISTUPA FEM 

Rešavanje zadataka FEA metodom ima proceduru sa sledećim etapama: 

1. Diskretizovanje kontinuuma konstrukcije izabranim kon. elementima, 

2. Izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), 

3. Sračunavanje karakteristika konačnih elemenata, 

4. Formiranje algebarskog sistema jednačina konstrukcije, 

5. Rešavanje algebarskog sistema jednačina, 

6. Proračun potrebnih unutrašnjih veličina. 

Prve tri etape su kreativni deo zadatka. Četvrta, peta i šesta etapa su rutinski deo posla i obično 

su prepušteni računaru i pouzdanom softveru. Forma konstrukcije i cilj proračuna odredjuju broj, tip i 

raspored konačnih elemenata. Izbor tipa konačnog elementa integriše izbor interpolacionih funkcija 

(funkcija oblika), kojima su povezana čvorna pomeranja elementa sa unutrašnjim pomeranjima u 

konačnom elementu. Adekvatnost interpolacionih funkcija odredjuje tačnost rešenja zadatka. Zato se 

u cilju dokaza tačnosti, dobijeno rešenje podvrgava sledećim proverama: 

1. Istim tipom i veličinom konačnog elementa reši se neki poznati analitički problem, na osnovu 

čega se ocenjuje kvalitet primenjenog konačnog elementa i kvalitet modeliranja. Na osnovu ove 

provere, komparativno se ocenjuje tačnost osnovnog problema. 

2. Utvrdjivanjem položaja asimptote dobijene iz uzastopnih monotono konvergirajućih rešenja 

mreža različitih gustina, ocenjuje se položaj tačnog rešenja. U praksi se ova metoda češće koristi.


Interpolacione funkcije 

Interpolacione funkcije opisuju polje deformacija, napona i drugih uticaja u konačnom elementu. 

Njima se uspostavlja neposredna veza izmedju pomeranja u bilo kojoj tački polja elementa i 

pomeranja u čvornim tačkama. Koriste se tri familije interpolacionih funkcija: Lagrange polinomi 

imaju oblik: 

P(x,y) 

a 

2 2 

a x 

2 

y a x 

2 

y 

2 

1 a 2 x a 3 y a 4 x y a 5 x a 6 y 7 8 ... 

(3.09) 

Njihovo rešenje konvergira tačnom rešenju kada polinom ima beskonačan red. Kvalitetna 

interpolaciona funkcija zahteva onaj stepen polinoma koliki je broj nezavisno promenljivih u 

elementu. Sa druge strane, visok stepen polinoma je nepodesan, zbog poteškoća eliminacija 

unutrašnjih članova, pa se primenjuju samo za odredjene tipove konačnih elemenata. 

Serendipity funkcije su funkcije čvornih tačaka konture. Njihove vrednosti su 1.0 u čvorovima i 0.0 

izvan čvorova. Hermitovi polinomi su polinomi višeg stepena sa osobinama dobrog kontinuiteta na 

granicama izmedju elemenata. Koeficijenti ovih funkcija se odredjuju iz uslova kompatibilnosti i 

uslova statičke ravnoteže. Serendipity funkcije su tako oblikovane da direktno povezuju pomeranja u 

elementu sa pomeranjima u čvorovima što eliminiše potrebu izračunavanja njihovih inverznih matrica 

i značajno ubrzava postupak. Za izoparametarske elemente je karakteristično da se i pomeranja 

čvorova i pomeranja u polju elementa, izražava istim funkcijama oblika (3.10). U ovim jednačinama 

x,z,y su koordinate u polju konačnog elementa a xi, yi, zi koordinate i-tog čvora elementa. hi su 

funkcije oblika u lokalnom normalizovanom koordinatnom sistemu r, s, t. 

q 

x hi 

xi, 

i1 

q 

y hi 

yi, 

i1 

q 

z hi 

zi 

i1 

(3.10) 

Kod izoparametarskih konačnih elemenata, gde se za opis pomeranja čvorova i tačaka u polju 

konačnog elementa koriste iste matematičke formulacije funkcija oblika, postoje i odstupanja. 

Ukoliko je stepen funkcije oblika viši od stepena funkcija koje opisuju pomeranja čvorova, takvi 

konačni elementi se nazivaju superparametarski elementi. U suprotnom slučaju, radi se o 

subparametarskim elementima.


KONVERGENCIJA I TAČNOST METODE 

KONAČNIH ELEMENATA (FEM) 

Proizvoljan pristup formiranja modela u metodi konačnih elemenata dovodi do različitih rešenja. Da 

bi se eliminisao individualan pristup, razvijeni su postupci koji kontrolišu aproksimacije modela. 

Prvi korišćen princip ograničavanja aproksimacija izvodi se procedurom dokaza konvergencije. 

Druga savremenija metoda je izvedena softverski, putem automatske procedure kojom se redefiniše 

topologija početnog modela sve dok sukcesivnim smanjenjem aproksimacija, analiza ne zadovolji 

zadatu tačnost. - metoda adaptivnih mreža. 

Redovna procedura rešavanja zadataka metodom konačnih elemenata zahteva dokaz uspešnosti 

pristupa - kroz tri vrste provere: 

1. Utvrdjivanjem tačnosti numeričkog izračunavanja, 

2. Utvrdjivanjem numeričke stabilnosti postupka i 

3. Ispitivanjem konvergencije rešenja. 

Tačnost numeričkog izračunavanja podrazumeva bliskost analitičkog i numeričkog 

rešenja. Kod prostih primera moguće je numeričko rešenje uporediti sa analitičkim. Primer elementarne provere statičkog 

ugiba simetričnog linijskog nosača jednostavno se izvodi na osnovu jednačina elastičnih linija i ugiba sredine nosača. Kod 

dinamičke analize, provera se može izvršiti za sistem koji osciluje kao klatno na bazi perioda oscilovanja matematičkog, 

astatičkog ili fizičkog klatna, slika 7. Cilj ovih grubih analiza je da se objektivizuje nadjeno rešenje. 

Numerička stabilnost podrazumeva proveru postojanja svih rešenja, traženih u svim 

etapama razvoja modela pri različitim vrstama opterećenja, različitim slučajevima analiza (statička, 

dinamička) bez prekida u numeričkom izvršenju procedura. Postavljen proračun ne sme da ispolji 

numeričku nestabilnost promenom parametara u realnom domenu konstrukcije i realne intenzitete 

spoljašnjih uticaja. 

y= 

FL 3 

48 E I X 

F A 

L/2 L/2 F B 

L 

T=2 

L 

g 

Slika 7. Dva zadatka provere tačnosti rešenja: statički i dinamički 

Konvergentnost podrazumeva numeričko približenje uzastopnih rešenja tačnoj vrednosti, 

polazeći od prethodno dobijenih rešenja. U MKE se konvergencija ocenjuje na osnovu mreže 

konačnih elemenata i vrednosti dobijenih rezultata. Mreže se razlikuju u pogledu veličine i rasporeda 

konačnih elemenata. Rezultati proračuna u statičkoj analizi su referentna pomeranja. U dinamičkoj 

analizi rezultati proračuna su sopstveni vektori ili sopstvene frekvencije. Pri tome, pravac iz koga 

rešenje konvergira zavisi od metode koja je korišćena (metoda sila ili metoda pomeranja). Slika 8. 

pokazuje konvergenciju rešenja sa donje strane kod metode deformacija, odnosno, sa gornje strane 

kod metode sila. Zato primena metode sila i metode deformacija odredjuju oblast tačnog rešenja 

analize. Kod mešovite metode konačnih elemenata, konvergencija je moguća sa obeju strana, 49.


Parametar poredjenja 

(deformacija) 

Oblast nestabilnog rešenja 

Divergencija rešenja 

Parametar poredjenja 

(deformacija) 

Tačno rešenje 

Konvergencija rešenja 

Broj konačnih 

n 1 

n 2 n 3 

n 4 elemenata 

Tačno rešenje 

Konvergencija rešenja 

Oblast nestabilnog rešenja 

Divergencija rešenja 

Slika 8. Konvergencija u metodi konačnih elemenata 

Osobina: Uvećanjem broja konačnih elemenata poboljšavaju se granični (konturni) uslovi 

problema usled smanjenja aproksimacija, te se dobija tačnije rešenje. Shodno ovom stavu, dokaz 

konvergencije se izvodi formiranjem sukcesivnih mreža konačnih elemenata različite veličine. 

Proporcionalno umanjenje veličine konačnog elementa, vodi povećanju broja elemenata fine mreže. 

Proporcionalno, znači da se kod ravanskih problema, finija mreža formira deobom svakog elementa 

na četiri nova, a kod prostornih problema deobom svakog zapreminskog elementa na osam novih. Tri 

ili više uzastopnih mreža različitih po gustini, omogućuju utvrdjivanje pravca približenja tačnijeg 

modela analitičkoj vrednosti rešenja. Iz tri rešenja, može se izračunati zavisnost broja elemenata od 

tačnosti rešenja, čime se definiše stepen konvergencije. Kada u graničnom slučaju veličine konačnih 

elemenata postanu vrlo male, dobija se tačno numeričko rešenje. Da bi se to postiglo potrebno je da su 

ispunjeni sledeći uslovi: 

Uslov 1: Izabrana deformaciona funkcija konačnog elementa treba da bude tako definisana da pomeranja elementa kao 

celine (kao krutog tela) ne prouzrokuju deformacije (napone) u samom elementu. 

Uslov 2:Izabrana deformaciona funkcija mora da dâ konačna pomeranja na granicama elementa (Kriterijum neprekidnosti 

medju elementima). 

Osobina: Stepen konvergencije zavisi od interpolacione funkcije. Ukoliko interpolaciona funkcija tačno opiše 

deformaciju odnosno da tačno rešenje diferencijalnih jednačina pomeranja, tada više tačnost ne zavisi od "gustine" mreže. 

Tada sve mreže daju numerički tačna rešenja. Ovaj specifičan slučaj je čest kod linijskih struktura sa konačnim 

elementima tipa štapova i grede. Kod primene tih elemenata nema smisla ispitivanje konvergencije, obzirom da njihove 

medjusobne veze ne uvode aproksimacije u pogledu distribucije pomeranja 3 . Dokaz konvergencije se izvodi za probleme 

kontinuuma u ravni i prostoru 4 . 

Praktično: Kod analize realnih struktura, mogu nastati značajne razlike u rezultatima. Ako 

eliminišemo greške uslovljene neadekvatnim izborom konačnih elemenata, razlike rezultata tačnih i 

numeričkih rešenja mogu biti i veće od 30 %. U takvim slučajevima se napuštaju postavljeni diskretni 

modeli, postavljaju novi, dok se ne dobiju rešenja uzastopnih mreža koja odstupaju manje od 10 %. 

Takva rešenja se mogu smatrati upotrebljiva u rutinskoj inženjerskoj praksi 42. Greške nastale u 

primeni MKE uslovljene su veličinom konačnih elemenata i kvalitetom njihovih interpolacionih 

funkcija. Pravilan izbor tipa konačnog elementa i interpolacione funkcije, omogućuje smanjenje broja 

elemenata u mreži. Iz tog razloga razvijeni su različiti tipovi geometrijskih oblika konačnih elemenata. 

3 Istovremeno su zadovoljeni i granični uslovi i uslovi kompatibilnosti. 

4 Ovaj princip prvi je primenio Irons na problemu ploče opterećene koncentrisanom silom, dobivši pri tome 

odstupanje rezultata od 1.5 % izmedju dva postavljena diskretna modela.


VERIFIKACIJA FEM PROCEDURE 

PRIMER 1: 

Statička analiza konzole sa 3D osmočvornim elementom 

Primer verifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. 

Naziv: 

PB 0501 - statička analiza konzole četvrtastog poprečnog preseka 

Datum realizacje: 02.10.1997. 

Procesor: 

SSAP 0 Linear Stress Analysis Processor 

Opterećenje: 

Transverzalna sila 

Element tip: 

TIP-5 (3D, osmočvorni element) 

Napomena: 

Prikaz: Primer verifikacije modela konzole statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. 

Generacija je izvedena sa 240 elemenata. Sila je uneta kao koncentrisana. Oslonci su u 12 čvora sa potpunim uklještenjem. Broj stepeni 

slobode kretanja 2880. Vreme realizacije 90 s. 

Definicija zadatka: D.Rašković, TABLICE IZ OTPORNOSTI MATERIJALA, 

Gradjevinska knjiga, Beograd 1968. 

SLIKA 9. 

Output Set: Algor Case 1, Deformed (3.484E-2): 

Total Translation, Contour: Total Translation 

Z 

Y 

X 

3 

F 

l 

Rešenje zadatka: Klasično rešenje: y , Podaci: 

3 EI x 

Presek b x h = 50.8 x 76.2 (mm), moment inercije savijanja I x = 187.304 cm 4 , 

Materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 10 6 N/cm 2 , 

Sila: F = 981 N = 220.5 lbf, raspon konzole 1016 mm. 

220.5 

Slika 3.07 Verifikacioni primer 1: Konzola 

Tabela PB 0501: Poredjenje rezultata 

Ugib ispod vrha konzole y (cm) 

Teorija Algor Odstupanje (%) 

0.08849 0.08849 0.000 

ugib (inch) 

3.484E-2 

3.266E-2 

3.048E-2 

2.83E-2 

2.613E-2 

2.395E-2 

2.177E-2 

1.960E-2 

1.742E-2 

1.524E-2 

1.306E-2 

1.089E-2 

8.709E-3 

6.532E-3 

4.354E-3 

2.177E-3 

0.


PRIMER-2: 

Analiza debelozide cevi 3D osmočvornim elementom 

Primer verifikacije modela debelozide cevi statičkom analizom automatskom generacijom 3D osmočvornog elementa. 

Naziv: 

PB 0502 - statička analiza debelozide cevi 


Procesor: 


Opterećenje: Spoljašnji pritisak 

Element tip: TIP-5 (3D, osmočvorni element) 

Napomena: 

Prikaz: 

Primer verifikacije modela cevi debelog zida, statičkom analizom sa automatskom generacijom 3D osmočvornog 

elementa. Generacija je izvedena sa 900 elemenata. Spoljašnji pritisak je unet kao površinsko opterećenje. Posmatrana je 

simetrična polovina cevi. Broj stepeni slobode kretanja 5332. Broj čvorova modela 1364. Vreme kompletne realizacije 252 

s na PC P5/150 MHz. Vreme odre|ivanja deformacija 12 sCP. 

Definicija zadatka: D.Rašković, TEORIJA ELASTIČNOSTI, Naučna knjiga, Beograd 1985. 

V1 

L1 

C1 

Y 

Z 

X 

Slika 10. Diskretni geometrijski model primera 

Rešenje zadatka: 

Napon u cirkularnom pravcu na unutrašnjem zidu cevi, spoljašnjeg i unutrašnjeg poluprečnika b/a i pritiska p S : 

2 

b 

C 

2 

p 

 

2 2 

b a 

Podaci: 

dimenzije b x a x l = 15.24 x 7.62 x 76.2 (cm) 

debljina zida cevi: = 7.62 (cm) 

materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 10 6 (N/cm 2 ) 

spoljašnji pritisak: p S = 0.68971 (kN/cm 2 ) 

Poasson-ov koeficijent =0.3 


Napon unutrašnjeg zida u cirkularnom pravcu C 

(kN/cm 2 ) 

Radijalna deformacija unutrašnjeg zida cevi 

y (cm) 

Teorija Algor Odstupanje napona 

Algor 

(%) 

-1.83922 -1.844747 0.300 6.10298510 -4

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ, PROFESOR DR MIOMIR JOVANOVIĆ 

PRIMER 3: 

Statička analiza ploče 2D konačnim elementom 

Primer verifikacije modela ploče statičkom analizom sa automatskom generacijom 2D elementa ploče. 

Naziv: 

PB 0601 - statička analiza ploče četvrtastog oblika 


Procesor: 


Opterećenje: 

Transverzalna sila 

Element tip: 

TIP-6 (2D element ploče) 

Napomena: 

Prikaz: 

Primer verifikacije modela ugiba ploče statičkom analizom modela sa automatskom generacijom 2D elementa ploče. 

Generacija je izvedena sa 963 elemenata. Sila je koncentrisana u sredini ploče. Ploča je slobodno poduprta po konturi. Broj 

stepena slobode kretanja 6036. Broj čvorova modela je 1027. Vreme kompletne realizacije 310 s na PC P5/150 MHz. 

Definicija zadatka: D.Rašković, TEORIJA ELASTIČNOSTI, Naučna knjiga, Beograd 1985. 

V1 

L1 

C1 

449.47 

Y 

Z 

X 

Slika 11. Diskretni geometrijski model verifikacionog primera3 

Rešenje zadatka: Ugib kvadratne ploče dimenzije axaxh pod dejstvom centralne transverzalne sile: 

Ugib : 

P a 

2 

w , 

D 

Krutost : 

E h 

3 

D 

, 

12 

(1 

2 

) 

Podaci: dimenzije a x a x h = 80 x 80 x 0.8 (cm) 

savojna krutost ploče D = 965854.94 (Ncm) 

materijal: konstrukcioni čelik modula elastičnosti E = 20.69 10 6 (N/cm 2 ) 

sila: F =2000 (N), Poasson-ov koeficijent =0.3 


Ugib sredine ploče w (cm) 

Teorija Algor Odstupanje (%) 

0.15373 0.15229 0.925


PRIMER-4: 

IZVODJENJE DOKAZA O KONVERGENCIJI REŠENJA 

MODEL: Izotropna, slobodno oslonjena pravougaona ploča, dimenzija a x b, opterećenu poprečnim opterećenjem p (x,y) . 

Poprečno opterećenje je normalna koncentrisana sila P u tački x= i y=. Diferencijalna jednačina elastične površi tankih 

ploča, prema teoriji savijanja: 

 

4 

W 

4 

W 

4 

W p(x,y) 

2 

x 

4 

x 

2 

y 

2 

y 

4 D 

(3.11) 

ANALITIČKO REŠENJE: Navier-ovo opšte rešenje ugiba W, pri graničnim uslovima slobodno oslonjene pravougaone 

ploče, W (x=a/2, y=b/2) =0, definisano je 1820. godine 49. Svodjenjem na oblik koji odgovara maksimalnom ugibu u 

središtu kvadratne ploče, dobija se izraz: 

P a 

2 

W 1 

a, y 

1 

(3.12) 

max(x b) D 

2 2 

Koeficijent = 0.0116 za vrednost količnika b / a = 1. D je krutost ploče na savijanje: 

D = Eh 3 / 12(1- 2 ), gde je h debljina ploče, E modul elastičnosti, a Poisson-ov koeficijent. 

PRIMER: Proizvoljna, slobodno oslonjena kvadratna ploča dimenzija a=b=800 mm, debljine h=8 mm i E=20600 

kN/cm 2 , pri centralnoj koncentrisanoj sili P=2 kN, ima teorijsko rešenje ugiba W=W max = 1.5373 mm. 

ELEMENTI IZBORA KONAČNOG ELEMENTA PLOČE: 

Kako je W max < h


Ugib ploce y (mm) 

C 

Model-1 

Model-2 

y=1.3673 

C 

=11.06 % 

y=1.3952 

C 

=9.24 % 

Model-3 

Tacno resenje y=1.53 mm 

C 

y=1.4505 

C 

=5.65 % 

Broj konacnih elemenata 

Slika 12. Dijagram konvergencije rešenja slobodno oslonjene ploče 

RIZIK: Dalje umanjenje veličine elementa pri zadržavanju iste debljine, vodilo bi ka zapreminskim konačnim elementima 

i smanjilo bi adekvatnost (vernost) funkcija oblika kojima se odlikuju elementi tanke ploče kada su primenjeni na 

trodimenzionalnom modelu. Slika 12 pokazuje dijagram konvergiranja numeričkog rešenja tačnoj vrednosti. Shodno 

zahtevu tačnosti, može se odabrati prihvatljiva mreža za rešavanje zadatka. Poredjenje ova tri modela pokazuje da se ugib 

centra ploče približava tačnoj analitičkoj vrednosti ugiba. 

PROCENA GREŠKE PRORAČUNA 

(Error estimate) 

Klasičan postupak dokaza konvergencije je nepraktičan jer zahteva mnogo rada, procesorske resurse i dodatno vreme 

analize. Zato se često koristi pristup direktne procena greške kojim se vrednuje ispravnost aproksimacija bez dodatnih 

analiza i sekundarnih modela. 

Greška je izrazita na mestima visokog stepena promene napona, promene pomeranja, temperature i drugih promena. Ove 

promene se izražavaju gradijentom napona i deformacija. Odredjivanje procenjene greške, iako ne daje odgovor o 

apsolutnoj grešci, upućuje na prisustvo kritičnijih oblasti modeliranja. 

Vektor greške se primenjuje u svrhu prikaza greške modeliranja, kao nosilac podataka o kvalitetu modela i primenjenim 

aproksimacijama. Vektor greške prikazuje rezultat odstupanja tačnosti proračuna u težištima, na površinama ili u 

čvorovima konačnih elemenata. 

Postupak procene greške se zasniva na proceduri formiranja vektora greške koji se analizom dobije. Nakon analize 

deformacija, proračunava se greška modela, koja se može metodama postprocesiranja prikazati. 

Softver koristi sledeće metode izražavanja procenjene greške: 

Metoda maksimalnih odstupanja, koristi sledeći izraz za odredjivanje greške: 

VrednostMAX 

VrednostMIN , (3.40) 

Metoda odstupanja od prosečne vrednosti: 

MAX( 

VrednostMAX VrednostSRED , VrednostMIN VrednostSRED ) , (3.41) 

Metoda maksimalnih relativnih odstupanja izražava u procentima grešku: 

Vrednost MAX Vrednost 

 

MIN 100 % 

(3.42) 

VrednostSRED 

Metoda relativnih odstupanja od prosečnih vrednosti (%): (3.43) 

 

MAX( VrednostMAX 

VrednostSRED , VrednostMIN VrednostSRED ) 

100 % 

VrednostSRED 

Metoda maksimalnih normalizovanih relativnih odstupanja (%): 

Vrednost MAX Vrednost 

 

MIN 100% 

(3.44) 

VrednostVektoraMAX


Metoda relativnih normalizovanih odstupanja od prosečnih vrednosti (%): (3.45) 

 

MAX( VrednostMAX 

VrednostSRED , VrednostMIN VrednostSRED ) 

100 % 

VrednostVektoraMAX 

PRIMENA: 

 

 

 

 

Metoda odstupanja od prosečne vrednosti identifikuje najšire oblast greške izlazne vrednosti. 

Metoda maksimalnih relativnih odstupanja koristi se za idetinfikaciju strmog neujednačenog gradijenta kao i 

gradijenta vrlo izraženog u jednom pravcu. 

Metode maksimalnih relativnih odstupanja od srednje vrednosti identifikuju oblasti ali ne i karakter odstupanja 

(male i velike apsolutne vrednosti gradijenta). Korišćenje ovih metoda se zato primenjuje kod zadataka gde je 

veličina (magnituda) uporedne veličine manje važna od stepena promene veličine kroz kontinum. 

Normalizacijske metode koriste se za bolje vrednovanje ukupne greške uključujući i špiceve izlaznih vrednosti. 

Primer 5: CAE/FEA ANALIZA KUKE DIN 15407 

ZADATAK: Geometrijska složenost lamelaste kuke, nameće zahtev tačnog odredjivanja napona po celom kontinumu. Za 

analizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407 standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm, sa osam lamela 

pojedinačne debljine 25 mm, prema slici 4.25. Potrebno je proračunati napone i odrediti procenjenu grešku modela. 

MODELIRANJE: Osnova za razvoj modela mreže konačnih elemenata je geometrija lamelaste kuke. Na bazi te 

geometrije izabrana je osnovna dimenzija 3D osmočvornog konačnog elementa od 40. mm. Programom ALGOR, 

generisana je mreža konačnih elemenata, tako da se umanjenjem osnovnih dimenzija, može da generiše kontura otvora za 

zakivke 31 mm, rasporedjenih na 13 lokacija. Tako je dobijena mreža Modela-1 sa 2660 konačnih elemenata, prikazana 

na slici 13. Proračun takodje izveden programom ALGOR, dao je rešenja prema tabeli T-4.2. Maksimalni čvorni Von- 

Mises-ov napon je 13.6552 kN/cm 2 . Proračun maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja pokazao je sliku 

rezultata prema slici 14. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 30 % na 

mestu unutrašnje krivine kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke. Poboljšanje kvaliteta tačnosti proračuna: 

Slika 13. Mreža lamelaste kuka sa 2660 

konačnih elemenata 

Slika 14. Slika procenjene greške usled zapreminskih 

aproksimacija modela sa 2660 elemenata


Na bazi Modela-1, razvijen je Model-2 koji se karakteriše rafiniranijom mrežom od 5723 konačna elementa. Karakteristike 

ove analize takodje pokazuje tabela T 4-2. Maksimalni čvorni Von-Mises-ov napon je 13.6954 kN/cm 2 . Maksimalno 

relativno normalizovano odstupanje pokazano je na slici 15. Raspored Von-Mises-ovih napona Modela-2 pokazan je na 

slici 16. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 20 % na mestu vrata sa 

otvorom 300 mm u zoni postavljenih oslonaca kuke. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovih 

napona na unutrašnjoj krivini kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke je smanjeno na 18 %. Umanjenje 

procenjene greške modela postignuto je finijom mrežom u kritičnim delovima kuke. Ova ocena greške izvedena je prema 

ekstremnom lokalnom naponu prema kriterijumu maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja. Procenjena greška 

Von-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnog odstupanja od prosečnih vrednosti Von-Mises-ovih napona, dala je 

skladno maksimalno odstupanje od samo 5.66 % na osnovu čega se može prihvatiti i tačnost Modela-1. Model-2 ima 

manje relativno odstupanje (procenjenu grešku) u odnosu na prosečne vrednosti što je očigledno na bazi poredjenja 

topologije mreža Modela-1 i Modela-2 u kritičnim zonama kontinuuma. 

Provera komponentnog napona zatezanja unutrašnje krivine horizontalnog preseka kuke, izvršena je analitički prema 

teoriji krivih štapova. Dobijen je maksimalan komponentni napon (na ivičnoj površini kuke) od 33 MAX = 13.2470 

kN/cm 2 . 

Slika 15. Slika procenjene greške usled 

aproksimacija modela sa 5723 elementa 

Slika 16. Slika Von-Mises-ovih napona na 

kuki sa 5723 konačna elementa 

Tabela 4-2 Model-1 Model-2 Teorijska vrednost 

Broj elemenata 2660 5723 

Broj čvorova 5674 11888 

Broj stepeni slobode (SSK) 17006 35618 

Maksimalni Von-Mises napon 

VM MAX kN/cm 2 13.6552 13.6954 33 MAX = 13.24705 

Maksimalna relativna normali- 

zovano odstupanje % 

30. 20. 

5 Prema teoriji savijanja krivih štapova pravougaonog preseka kuke Bx =575.x25., radijusa 205. mm, 

(Proračun dr Z.Marinković, MFN, 1998. Niš)

Mašinski fakultet Niš CAD tehnologije 2 Godina 2009-2010 dr Miomir Jovanović, red.profesor 1 

Predavanje 8 

FORMIRANJE MODELA U METODI 

KONAČNIH ELEMENATA 

Formiranje diskretnog modela je pripremna faza - procedura pre analize metodom 

konačnih elemenata. Formiranjem diskretnog modela stvara se osmišljena, uskladjena i 

povezana grupa konačnih elemenata kojom je opisan kontinuum, koji je predmet analize. 

Formiranje modela za analizu ima četiri faze realizacije: Formiranje geometrijskog modela, 

formiranje idealizovanog modela, formiranje modela zona i formiranje diskretnog modela. 

Geometrijski model kreira projektant, CAD softverom za projektovanje. Time nastaje 

datoteka podataka koji realno opisuju geometriju objekta sa svim potrebnim detaljima za izradu. 

Geometrijski model može da sadrži geometrijske elemente koji nemaju značaja za analizu jer ne 

utiču na naponsko-deformacionu sliku objekta. Radi toga se formira idealizovan model u kome 

su obačeni nevažni detalji. 

Idealizovan model je uprošćen model koji ne mora da predstavlja celinu objekta ukoliko 

može da se njegovim simetričnim formama predstavi funkcija i način opterećenja celine. 

Idealizovan model se uvek formira sa zahtevom manjeg obima kontinuuma za analizu. Osnova 

razvoja racionalnih idealizovanih modela je apstrakcija. Apstrakcija je sagledavanje modela od 

strane analitičara kojom se postavlja koncept modela, uklanjaju detalji, prepoznaje simetrija, 

redukuje model, prilagodjavaju modaliteti unošenja opterećenja. Na sledecoj slici i slici 3.12, 

pokazana je traverza donje koturace dizalice. 

Model zona predstavlja idealizovan model rasčlanjen na pravilnije celine – zone koje 

dozvoljavaju podelu kontinuuma na konačne elemente prema standardnom - poznatom 

algoritmu generisanja ili preslikavanja. Na slici 3.12 pokazan je model sa 4 zone. Uskladjivanje 

medjusobnog poklapanja čvorova i odsustvo koincidencije elemenata i čvorova obezbedjuje se 

mapiranjem mreže – procedurom uskladjenog broja elemenata na kontaktnim površinama zona. 

Diskretni model se razvija na bazi modela zona i uskladjenog broja elemenata kontaktnih 

površina zona. Diskretni model podrazumeva odredjivanje čvorova, konačnih elemenata, 

podataka o materijalu, diskretnom opterećenju i diskretnim graničnim uslovima. Diskretni 

model ima potrebna prilagodjavanja mreže konačnih elemenata graničnim uslovima oslanjanja i 

tačkama i površinama dejstva spoljašnjih sila. Razvijena mreža konačnih elemenata se ocenjuje 

parametrima oblika mreže. To su geometrijski okviri u kojima je primenjen konačan element 

(deformisanost oblika), pravilnost razvoja mreže (kontinualnost promene pravca i oblika 

elementa), pravilnost promene veličine elementa (kontinualnost promene geometrije). Na bazi 

ovih parametara vrši se poboljšanje mreže pre nego što se formira konačan diskretan model. 

Konačnim diskretnim modelom vrši se analiza.

PROJEKTOVANJE RACUNAROM - CAD Autorizovana predavanja dr Miomira Jovanovića 2 

-0.01 

Y 

-0.03 

Z 

X 

6.04151E-4 

0.0106042 

0.0206042 

0.0306042 

0.0406042 

0.0506042 

0.0606042 

0.0706042 

0.0806042 

0.0906042 

0.100604 

0.110604 

Slika 3.12 Faze transformacije modela. Slika pokazuje tri žičana modela: 

Geometrijski model, idealizovan model i model zona. 

Četvrti model - diskretni model je prikazan kao zapreminski – solid model objekta 

Razvoj mreže konačnih elemenata može se realizovati: 

Ručnim putem (pojedinačnim definisanjem čvorova i elemenata), 

Poluautomatskim putem kada se na bazi postavljenog koncepta modela zadaju 

pojedinačne komande automatskog generisanja konačnih elemenata u zonama. Poluautomatski 

generatori su interaktivnog tipa – zasnivaju se na instrukcijama definisanim kroz dijalog. 

Automatska procedura podrazumeva generisanje mreže kao celine jednom 

komandom kojom nastaje ceo diskretni model iz zadatog geometrijskog modela i 

negeometrijskih instrukcija o osloncima, opterećenju, materijalu i fizičkim osobinama. 

Automatsko generisanje karakteriše najsavremenije modelere. Zato je osnovni programski alat 

za odredjivanje zona u kojima se generiše mreža – generator granica. Automatski generatori 

koriste tri metode za formiranje mreža: Metodu spajanja čvorova, metodu prilagodjavanja 

uzorka mreže i metodu dekompozicije. 

Softver za analizu, shodno načinu modeliranja, može da se razvija kao integralni i 

modularni. Integralni podrazumeva softverski potpuno integrisane sve faze razvoja modela, 

analize i postprocesiranja. Modularni pristup podrazumeva razvoj, korišćenje i distribuciju 

softverskih modula za pojedinačne etape analize (geometrijsko modeliranje, preprocesiranje, 

postprocesiranje, analiza). 

Modularni programi podrazumevaju i bogatiji interfejs za rad sa različitim formatima i 

programima. Primer takvih programa je FEMAP (Finite Element Modeling And 

Postprocessing), MicroStation-SE. Softverski paketi kao I-DEAS, ANSYS, ALGOR, 

NASTRAN, COSMOS integrišu sve proceduralne faze analize: Geometrijsko modeliranje, 

idealizaciju, kreiranje diskretnog modela, rešavanje zadatka i postprocesiranje. Često su tu 

pridodate opcije za optimizaciju, redizajn, analizu osetljivosti modela, konkurentni inžinjering, 

izradu tehničke dokumentacije, poredjenje sa eksperimentom. 

Pre/post procesori su programi predvidjeni za rad sa geometrijskim podacima, 

opterećenjima, graničnim uslovima, naponima, deformacijama, vektorima, poljima, grafičkim 

tipovima geometrijskih modela, animacijom, greškama analize. Pre/post procesori su uvek 

zasnovani na grafičkom interfejsu i na taj način omogućuju analizu po različitim osnovama, 

istraživačkim ciljevima.


Generatori mreža – modeleri mreža. 

Mogu generisati dvodimenzionalne ili trodimenzionalne mreže konačnih elemenata. 

Dvodimenzione mreže se koriste za rešavanje ravanskih i osnosimetričnih zadataka 1 . 

Trodimenzione mreže su najopštija kategorija mreža i u domenu mašinstva njima se pokriva 

kontinuum objekata koji su uvek 3D. Drugi značajan parametar generacije je gustina elemenata 

u pojedinim zonama. Generatori mreža koriste dva pristupa u zadavanju gustine mreže: 

Prvi pristup kod koga se gustina elemenata unapred (a priori) pretpostavlja analizom 

idealizovanog modela iz koje se odredjuju parametri generatora mreža. Ovaj model se zasniva 

na opštim osobinama mehanike kontinuuma i u pojedinim slučajevima može da da veću grešku 

proračuna kao posledicu neadekvatnog ili neraspoloživog predpostavljenog parametra 

programskog generatora mreže. Pretpostavke je potrebno proveriti nakon analize. 

Drugi pristup zasniva se na korišćenju rezultata izvršene analize (a posteriori), za 

redefinisanje gustine mreže. Ovaj pristup postavlja inicijalnu mrežu sa početnom veličinom 

konačnog elementa odredjenog na bazi zoniranog modela. Sa tom gustinom izvrši se proračun 

pa se na bazi izvršene analize ocenjuje lokalna adekvatnost veličine i rasporeda elemenata. Na 

bazi gradijenta dobijenog napona, lokalne enerije (funkcionala Π) i greške modela, vrši se 

redefinisanje mreže. Mreža je sada uslovljena zahtevima kontinuuma i negeometrijskim 

parametrima objekta. Pošto takva mreža odgovara gustinom elemenata postavljenom zahtevu 

tačnosti i ima ujednačen kvaltet dobijenih rezultata, definiše se kao adaptivna mreža. 

MODELIRANJE MREŽA - OPŠTE FUNKCIJE 

Razvoj diskretnih mreža konačnih elemenata na objektima podrazumeva definisanje 

osnovnih elemenata: tačaka, linija, površina, zapremina, čvorova i konačnih elemenata. Nad 

geometrijskim elementima modela obavljaju se operacije generisanja sastavnih elemenata 

diskretnih modela, primenom odgovarajućih softverskih alata. Postavljanje (konstruisanje) 

čvora u proizvoljnoj tačci prostora (x,y,z), u opštem slučaju dato je specificiranom naredbom 

IK3-01. Programska naredba za za kreiranje konacnog elementa: 

IK3-01: 

IK3-05: 

Kreirati čvorove (konačnog elementa) (Create odes) 

Kreirati konačan element (Create Element) 

GENERISANJE UNIFORMNIH MREŽA 

Kada se na objektu razvija mreža sa topologijom koja je tačno unapred odredjena, 

definiše se površina na kojoj se izvodi operacija. Naredni korak je izbor alata za generisanje 

mreže. Generisanje mreže na proizvoljnoj četvorougaonoj ploči, što je navedeno funkcijom: 

IK3-08: 

Kreirati mrežu izmedju uglova - temena (Create Mesh between Corners) 

Ova funkcija zahteva unošenje oznake čvorova i broj elemenata u pravcima lokalnih osa 

(s) i (r) koji se generišu mrežom. Kada se generisanjem dobijaju proporcionalni ili identični 

konačni elementi, takva mreža se naziva uniformna. Za ploču na slici 3.17-a, zadata su temena 

N25, N2, N3, N1 i podela 4 x 4 elemenata. Ukoliko se funkcija ponovi na elementima E9, E10, 

E13, E14, sa istim parametrima, (posle odklanjanja koincidentnih čvorova i elemenata i 

renumeracije mreže), nastaje model mreže prikazan na slici 3.17-b. Ovaj model sa 28 elemenata 

ploče odlikuje se gušćom mrežom koja omogućuje precizan unos spoljašnjeg uticaja, manji 

stepen aproksimacije u analizi uticaja, bolji (detaljniji) prikaz polja napona i deformacija. Prelaz 

iz krupnijih u sitnije elemente mora naknadno da se dotera. 

1 Osnosimetričan konačan element je ravanski element za osu u istoj ravni.


Y 

Z X 

24 

16 

23 

15 

22 

14 

20 

19 12 

2 13 

11 

18 

10 

15 

17 

14 

9 

8 

13 7 

12 6 

5 

10 

9 

8 

7 

1 2 3 4 

3 4 5 6 

25 

21 

16 

11 

1 

24 

23 

12 

22 

20 

41 11 

24 

10 

23 

25 26 27 28 39 19 

21 

38 

40 37 18 

2 36 

34 

22 20 9 

15 

17 

21 19 32 

35 33 31 

14 

18 

16 30 16 

17 29 15 13 

14 27 

8 

2813 26 

25 

7 

12 6 

11 

5 

10 

9 

8 

7 

1 2 3 4 

3 4 5 6 1 

Slika 3.17-a,b Primeri generisanja uniformnih mreža 

Procedura generisanja mreže složenija: Tako, recimo, kada se generiše mreža na prstenastoj 

ploči, bira se pomoćna funkcija za konstruisanje, kojom se generišu kontrolne tačke mreže: 

IK3-09: 

Kreirati dimenziju mreže uzduž kriva na površini 

(Create Mesh Size along Curves on Surface) (3.33) 

Ovom funkcijom se postavljaju kontrolne tačke po celoj konturi, izabrane gustine u 

cirkularnom i radijalnom pravcu. Kontrolne tačke omogućuju pravilno rasporedjivanje 

elemenata mreže. Kontrolne tačke su postavljene i simbolički prikazane na modelu, kod svakog 

softvera. Tek sada može se postaviti zahtev za kreiranje mreže na površini: 

IK3-10: Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) (3.34) 

IK3-11: Generisati parametre veličine mreže (Generate Mesh Size) (3.35) 

Slika 3.18 Generisanje ravanskih četvorougaonih konačnih elemenata u polarno-cilindričnom koord. sistemu 

Slobodne mreže: Kod neautomatskih procedura kada se generišu SLOBODNE 

FORME MREŽA (free mesh), mora se poznavati tačnost modeliranja iz iskustva grupe 

predhodno izvedenih modela i proračuna. Slobodno formirana mreža mora poštovati opšte 

principe formiranja mreža. 

Generisanje mreže na zapreminskim (3D) objektima koristi opštu komandu za konstruisanje: 

IK3-16: 

Generisati mrežu na zapremini (Generate Mesh on a Volume) 

Korišćenjem komande na objektu (posteljica kliznog ležaja) prikazanom na slici 3.20, dobijena je mreža sa 125 - 3D 

konačnih elemenata (solid brick), 312 čvora i 936 stepeni slobode kretanja. Podešavanje kvaliteta rešenja preko 

veličine konačnih elemenata poznato je još kao h-size parametar. Kod poluautomatskog generisanja mreža, moguće 

je veličinom osnovnog elementa, definisati gustinu mreže.


Slika 3.20 Primer generisanja uniformne mreže na 3D objektu 

AUTOMATSKO GENERISANJE MREŽA 

Automatsko generisanje mreža konačnih elemenata koristi se za realizaciju obimnih 

zadataka kakvi su industrijski problemi sa više desetina hiljada konačnih elemenata. Te 

instrukcije se u softveru nalaze pod opštim navodima: 

IK3-21: Automatski generisati granice mreže (Automatically mesh generation boundaries) 

Automatski kreirati mrežu (Auto_Create) 

Specifikacija argumenata mreže IK3-21: 

Način generisanja mreže (pravilna, adaptivna), 

Veličina elementa u mreži (h-size), 

Broj elemenata u pravcima mreže, 

Nagib elemenata u mreži (biasing), 

Veličina globalnog i lokalnog elementa slobodne mreže, 

Multiplikatori dužine za slobodne mreže, 

Dužina elementa na bazi zakrivljenosti forme (Curvature-Based Element Length) 

Automatska generacija mreže konačnih elemenata zasnovani su na sledećim postupcima: 

A. Upravljanju razvojem mreže, 

B. Tehnikama ravnanja mreže na objektu, 

C. Metodama za izbor oblika i vrste elementa 

Y 

Z 

X 

Slika 3.23 Uniformna - kontinualna mreža iste forme konačnih elemenata


Slobodne mreže imaju veću slobodu u smislu rasporedjivanja granica elemenata. 

Slobodne mreže se specificiraju parametrom globalne veličine elementa, lokalne veličine 

elementa, brojem elemenata u krivini i multiplikatorom veličine elemenata u mreži. 

Kako veličina ivice konačnog elementa, predstavlja deo cele dužine ivice modela, to se 

ova specifikacija definiše veličinom elementa u odnosu na celu konturu i poznata je kao 

h-specifikacija. Parametar za ovu specifikaciju je broj tačaka na konturi. Uobičajeno se 

definiše od 20 do 30 elemenata: 

Y 

Z 

X 

Slika 3.24 Definisanje tačaka na konturi - predgenerisanje elemenata za ocenu gustine mreže 

Drugi parametar razvoja mreže podrazumeva definisanje maksimalnih geometrijskih 

odnosa medju samim elementima u mreži. Idealno je da su konačni elementi iste veličine, ali se 

od ovog zahteva odstupa da bi se dobila mreža potrebne gustine na kritičnim lokacijama. Zato je 

uveden parametar nagiba (biasing 2 ) elementa prema centru ili krajevima konture (3.0 i više). 

Ovaj parametar odredjuje zgušćenje trajektorija ivica konačnih elemenata u pravcu razvoja 

mreže. Njime je odredjena brzina prelaska diskretne strukture iz krupnog konačnog elementa na 

kraju površine u sitan element u prelaznoj zoni. 

POJAM ADAPTIVNIH MREŽA 

Analiza tačnosti po delovima kontinuuma, pokazuje nejednaku grešku lokalnih zona. 

Promena tačnosti objašnjava se kao neadekvatnost postavljene mreže da prati nagle promene 

(gradijente) napona i defrmacija. Radi toga se modeliraju uniformne mreža veće gustine, kako bi 

se umanjila greška analize, što direktno dovodi do skupih diskretnih modela sa velikim brojem 

stepeni slobode kretanja. Danas su razvijene tri grupe adaptivnih postupaka: 

1. h - adaptivni postupak, 

2. p - adaptivni postupak, 

3. h-p adaptivni postupak 

H-adaptivni postupak rekurzivnim algoritmom menja topologiju mreže, prema 

gradijentu deformacija ili napona. Posledica je direktna promena veličine konačnih elemenata, 

po čemu je i postupak dobio ime. Adaptivna mreža pri tome ima guste konačne elemente, malih 

dimenzija u zoni velikih deformacija, pa se u suštini, broj konačnih elemenata u odnosu na 

polaznu mrežu povećava. Enormno uvećanje broja elemenata je loša osobina modela čak i kada 

se raspolaže moćnim računarskim resursima. 

2 Termin softverskog paketa I-DEAS koji predstavlja odnos dužine vektora centra kosine i upravne ivice elementa.


H-adaptivni postupak odredjuje grešku polazne mreže na bazi koje izračunava novu 

veličinu konačnog elementa u posmatranoj zoni, sa ciljem zadovoljenja postavljene tačnosti. 

Razlika egzaktnih rešenja pomeranja i napona u,σ i odgovarajućih aproksimativnih rešenja 

pomeranja i napona û , σˆ , predstavlja grešku pomeranja e i grešku napona e σ , koje se definišu 

relacijama 3.46-a,b: 

e u 

= u − û, eσ = σ − σˆ , 

(3.46-a,b) 

Mnogo direktnija mera greške se može definisati preko norme greške, označene 

indeksom L2. U ovim izrazima, L je matrica diferencijalnih operatora, V-zapremina 

kontinuuma a D matrica elastičnih osobina materijala. Norma greške za deformacije i napone, 

definisana je jednačinama 3.49-a,b, [51]. 

e 

L2 

1/ 2 

1/ 2 

⎛ 

T 

⎞ 

⎛ 

T 

⎞ 

= ⎜ e e dV⎟ 

, e ⎜ e e dV⎟ 

∫ ⋅ ⋅ 

σ = 

L2 

∫ σ ⋅ σ ⋅ 

, (3.49-a,b) 

⎝ V ⎠ 

⎝ V ⎠ 

Norme greške iz jednačina 3.49, odnose se na ceo analiziran kontinuum. Kvadrat norme 

celog kontinuma, može se predstaviti sumom pojedinačnih kvadrata normi konačnih elemenata: 

m 2 

2 

e 

= 

∑ 

i= 

1 

e 

i 

, 

(3.50) 

Strategija generisanja h-adaptivne mreže, definiše algoritam za pojedinačno odredjivanje 

veličina konačnih elemenata pri čemu je ispunjen uslov da je greška ravnomerno rasporedjena 

po kontinuumu i da je manja od zadate greške η dop . 

Ukoliko je polazna veličina konačnog elementa h i , za koji je odredjen količnik greške ξ i , 

primenom interpolacione funkcije stepena p, može se odrediti korigovana dimenzija konačnog 

elementa sa aspekta zadate tačnosti h i NOVO , prema relaciji 3.55. 

h 

i NOVO 

= 

h 

ξ 

i 

1 

p 

i 

, 

(3.55) 

P-adaptivni postupak ne menja topologiju postavljene mreže u zonama visokih 

gradijenata deformacija i napona već podešava stepen interpolacionih polinoma konačnih 

elemenata. Na taj način se adaptivna mreža formira od konačnih elemenata promenljivog 

stepena interpolacionih funkcija. Program NISA II/DISPLAY II, namenjen za linearnu i 

nelinearnu analizu (EMRC), ima automatsko povećanje stepena polinoma do vrednosti p=8.


PRIMER: 

Na slici 3.30 pokazan je rezultat rada klasičnog modelera po h-metodi i modelera po p-metodi. 

Tabela 3.3 

Broj elemenata 

mreže 

FINA 

JEDNOLIK 

A 

MREŽA 

ADAPTIVNA 

MREŽA 

TROUGAONI 

EL. 

P-METOD 

TROUGAONI 

EL. 

(P=5) 

P-METOD 

ČETVOROUG. 

EL. 

(P=5) 

2890 176 46 8 

Čvorova po 

konačnom elementu 3 6 6 6 8 

NAPON σ u tački 

D 

4936 

5819 

5773 6008 6211 

Greška u odnosu 

na tačno rešenje % 16.9 2.1 2.8 1.1 4.5 

VREME rešavanja 

sec CP 386/20 MHz 297 2417 90 99 38 

Fina uniformna mreza 

Adaptivna mreza 

P-postupak 

sa trougaonim elementima 

P-postupak 

sa cetvorougaonim elementima 

Slika 3.30 Uporedan pregled načina rada modelera firme 

STRUCTURAL RESEARCH AD AALYSIS CORPORATIO - S. MOICA, USA

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ CAD TEHNOLOGIJE - GODINA 2010-2011 - DR MIOMIR JOVANOVIĆ, RED.PROFESOR 1 

Predavanje 9 

CAD-FEM ANALIZE 

Primer-1: ANALIZA ZATEGE SA OTVOROM 

Ĉesto aktuelan problem je koncentracija napona zategnutih elemenata. Ovaj primer tretira zategu sa otvorom usled ĉega 

nastaje koncentracija napona na promenljivoj geometriji. Zatega je dimenzija 400.x 80.x 5. mm, otvora D=40. mm. Izradjena je od 

Ĉ0561, modula elastiĉnosti E=20600. kN/cm 2 , Poisson-ovog koeficijenta =0.3. Spolja je uneta sila od 40000, N, odnosno 

ravnomerno opterećenje q=1.000.000, N/m. Izabrana je automatska generacija mreţe unutar zadatih granica. Slika 1 pokazuje 

model, sa osloncima i zateznim silama u fazi slobodnog generisanja mape elemenata na konturi. Definisana mapa je simbolizovana 

taĉkastom formom na granici kontinuma. Kod upotrebe slobodno formiranih mreţa konaĉnih elemenata, potrebno je dokazati 

taĉnost ili pokazati konvergenciju grupom uzastopnih modela. To se realizuje kod površinskih geometrijskih modela, sa dve 

uzastopne mreţe. Druga mreţa u odnosu na prvu ima dvostruko uvećanje gustine u pravcu svake koordinatne ose. Polazni model 

najmanje gustine (oznaĉen sa mreža-1) ima slobodno izabran broj konaĉnih elemenata 40 x 10 x 24 na konturi otvora. Slika 2.0 

pokazuje topologiju slobodno formirane mreţe mreža-1. Na bazi polaznog modela mreža-1 i pravila o uzastopnim mreţama, nastala 

su naredna dva modela mreža-2 i mreža-3. Model sa mrežom-2 ima 100x20x32 elementa ploĉe. Model-3 ima 200x40x 64 elementa 

ploĉe. Slike 3.0 i 4.0. 

Slika 1.0 Geometrijski model zatege sa otvorom 

Definisanje mape (broja) elemenata na granicama kontinuma 100x20x32(otvor) 

Slika 2.0 Topologija slobodno formirane mreže 40x10x24 polaznog modela mreža-1 

Slika 3.0 Topologija modela slobodno formirane mreže 100x20x32(otvor) 

Slika 4.0 Topologija modela slobodno formirane mreže 200x40x64(otvor) 

Maksimalna gustina od 200x40 elemenata na zategi dimenzija 400. x 80 mm, dala je proseĉnu veliĉinu osnove elementa od 

2. x 2. mm. Obzirom na debljinu od 5. mm, najsitniji elementi ploĉe izabrani za analizu, bliţi su geometriji zapreminskih elemenata - 

solida. Radi ocene prednosti solida nad površinskim konaĉnim elementima ploĉe, formiran je ĉetvrti model oznaĉen sa mreža-4. 

Topologija lica ĉetvrtog modela, preuzeta je sa modela mreža-2. Projektovanjem po dubini (estrudiranjem), topologije modela 

mreža-2, dobijeni su zapreminski konačni elementi. Proraĉun je izveden programom ALGOR, sa karakteristikama, datim u tabeli 1.

2 PRAKTIĈNE INŢINJERIJSKE PRIMENE 

Tabela 1 

Model analize mreža-1 mreža-2 mreža-3 mreža-4 

Tip elemenata: 2D ploĉa 2D ploĉa 2D ploĉa 3D solid 

Broj elemenata: 662 2215 8569 2215 

Broj ĉvorova: 721 2346 8823 4692 

Broj stepeni slobode: 4260 13950 52692 13950 

Maks. duţina elementa L MAX mm 10. 4. 2. 4. 

Min. duţina elementa L MIN mm 4.5 1.9 0.9 1.9 

Debljina elementa d mm 5. 5. 5. 5. 

Rezultat proračuna: 

0.2174 0.2214 0.2223 0.22135 

Pomeranje kraja zatege x mm 

Maksimalni napon u pravcu ose 

2 

zatege u otvoru 11 kN/cm 

39.3650 41.7811 42.8416 42.7565 

Teorijska vrednost napona po 

2 

Howlandu H kN/cm 

43. 43. 43. 43. 

Odstupanje 11 numeriĉkog 

rešenja od teorijskog H % 

8.4535 2.830 0.3684 0.5663 

Objektivnost numeriĉkih rezultata je ocenjena i prema R.C.J.Howlandu, koji je 1930. istraţio ovaj zadatak i našao maksimalni 

napon u otvoru (u najbliţoj taĉki spoljnoj ivici) da je 11 4.3q. U ovom izrazu, q je ravnomerno spoljašnje opterećenje. Teorijska 

vrednost Howland-ovog napona prema podacima ovog primera je 43.0 kN/cm 2 . To je vrednost kojoj teţe numeriĉka rešenja ovog 

primera. 

Zaključci iz poredjenja: Model mreža-1 je najgrublji sa relativno velikim odstupanjem od teorijske vrednosti: Kako i od 

prvog susednog rešenja mreža-2 znaĉajno odstupa, moţe se eliminisati. Svi ostali modeli su sa znaĉajno manjim odstupanjem i 

shodno potrebama i zahtevu taĉnosti, mogu se izabrati. Oĉigledna je prednost mreža-4 modela sa solidima: Uz isti broj stepeni 

slobode kao i model mreža-2 ima oko pet puta veću taĉnost. Taĉnost je uslovljena adekvatnijim interpolacionim funkcijama za 

zadatu mreţu-4, sa zapreminskim izoparametarskim osmoĉvornim konaĉnim elementima. 

Slika 5 pokazuje deformaciju modela mreţa-3, sa poloţajem otvora zatege pre deformacije. Naravno, da bi bilo uoĉljivo, 

postprocesorski je uvećana deformacija do karikaturalnog nivoa. Slika 6 pokazuje sloţeni, Von Mises-ov napon:. 

Slika 5.0 Detalj deformacije mreže u zoni otvora 200x40x64(otvor) 

Slika 6.0 Detalj Von Mises-ovih napona modela 200x40x64 

Primer 2: Statička CAE-FEA ANALIZA KUKE DIN 15407 

Zahvatanje najvećih tereta se izvodi lamelastim kukama. Geometrijska sloţenost kuke, nameće zahtev taĉnog odredjivanja 

napona po celom kontinumu. Za analizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407 standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm, 

sa osam lamela pojedinaĉne debljine 25 mm, prema slici 7. Potrebno je proraĉunati napone i odrediti procenjenu grešku modela.


Slika 7. Lamelasta kuka nosivosti 160 tona DIN 15407 

Slika 8. Mreža lamelaste kuka sa 2660 zapreminskih konačnih elemenata 1 

Slika 9 Slika procenjene greške usled aproksimacija modela sa 2660 elemenata 

Osnova za razvoj modela mreţe konaĉnih elemenata je geometrija lamelaste kuke. Na bazi te geometrije izabrana je 

osnovna dimenzija 3D osmočvornog konačnog elementa od 40. mm. Programom ALGOR, generisana je mreţa konaĉnih elemenata, 

tako da se umanjenjem osnovnih dimenzija, moţe da generiše kontura otvora za zakivke 31 mm, rasporedjenih na 13 lokacija. 

Tako je dobijena mreţa Modela-1 sa 2660 konaĉnih elemenata, prikazana na slici 8. Proraĉun takodje izveden programom ALGOR, 

dao je rešenja prema tabeli T-2. Maksimalni ĉvorni Von-Mises-ov napon je 13.6552 kN/cm 2 . Proraĉun maksimalnog relativnog 

normalizovanog odstupanja pokazao je sliku rezultata prema slici 9. Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje 

Von-Mises-ovog napona od 30 % na mestu unutrašnje krivine kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke. Na bazi ovog 

odstupanja postavljen je zahtev poboljšanja kvaliteta taĉnosti proraĉuna umanjenjem aproksimacija. 

Tabela T-2 Model-1 Model-2 Teorijska vrednost 

Broj elemenata 2660 5723 

Broj ĉvorova 5674 11888 

Broj stepeni slobode (SSK) 17006 35618 

Maksimalni Von-Mises napon 

VM MAX kN/cm 2 

13.6552 13.6954 

33 MAX = 13.2470 2 

Maksimalna relativna normalizovano 

odstupanje % 

30. 20. 

Na bazi Modela-1, razvijen je Model-2 koji se karakteriše rafiniranijom mrežom od 5723 konaĉna elementa. 

Karakteristike ove analize takodje pokazuje tabela T-2. Maksimalni ĉvorni Von-Mises-ov napon je 13.6954 kN/cm 2 . Maksimalno 

relativno normalizovano odstupanje pokazano je na slici 10. Raspored Von-Mises-ovih napona Modela-2 pokazan je na slici 11. 

Dobijeno je maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovog napona od 20 % na mestu vrata sa otvorom 300 

mm u zoni postavljenih oslonaca kuke. Maksimalno relativno normalizovano odstupanje Von-Mises-ovih napona na unutrašnjoj 

krivini kuke, ispod horizontalnog preseka krivog dela kuke je smanjeno na 18 %. Umanjenje procenjene greške modela postignuto je 

finijom mrežom u kritiĉnim delovima kuke. Ova ocena greške izvedena je prema ekstremnom lokalnom naponu prema kriterijumu 

maksimalnog relativnog normalizovanog odstupanja. Procenjena greška Von-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnog 

odstupanja od prosečnih vrednosti Von-Mises-ovih napona, dala je skladno maksimalno odstupanje od samo 5.66 % na osnovu 

ĉega se moţe prihvatiti i taĉnost Modela-1. Model-2 ima manje relativno odstupanje (procenjenu grešku) u odnosu na proseĉne 

vrednosti što je oĉigledno na bazi poredjenja topologije mreţa Modela-1 i Modela-2 u kritiĉnim zonama kontinuuma. 

1 Kreirao dipl.inţ. Danko Mijajlović, MFN, 1997. 

2 Prema teoriji savijanja krivih štapova pravougaonog preseka kuke Bx =575.x25., radijusa 205. mm, 

(Proraĉun dr Z.Marinković, MFN, 1998. Niš)


Provera komponentnog napona zatezanja unutrašnje krivine horizontalnog preseka kuke, izvršena je analitički prema 

teoriji krivih štapova. Dobijen je maksimalan komponentni napon (na iviĉnoj površini kuke) od 33 MAX = 13.2470 kN/cm 2 . 

Slika 10. Slika procenjene greške usled 

aproksimacija modela sa 5723 elementa 

Slika 11. Slika Von-Mises-ovih napona na 

kuki sa 5723 konačna elementa 

Primer -3: FEA - ANALIZA REŠETKASTE KONSTRUKCIJE 

Posmatrajmo proizvoljni rešetkasti nosaĉ. Obrazovan je od pojasnih ĉlanova i ĉlanova ispune. Analiza moţe biti grafiĉka, 

analitiĉka i numeriĉka. Izabrana je metoda konaĉnih elemenata. Osnova modeliranja ove metode zasniva se na diskretizaciji strukture 

na elemente, ĉvorove, oslonce i spoljašnje uticaje. Jednostavna forma trougaone rešetke sa pet polja definisana je sa 7 ĉvorova i 11 

linijskih ĉlanova, jednakih duţina, tipa grede, prema slici 12. Oslonci su postavljeni na krajevima raspona nosaĉa. Oznake u 

osloncima pokazuju stepene slobode kretanja tih ĉvorova (graniĉni uslovi). Koncentrisane sile su unete u donjem pojasu (u 

ĉvorovima 2 i 3). Slika 12 pokazuje elastiĉno deformisanu strukturu (deblje linije) dok je polazna forma prikazana ţutim linijama.


Slika 12. Model rešetkastog nosača sa prikazom rešenja deformacija 

U primeru su jednake duţine ĉlanova 1000 (mm), preseci su cevi 108./98. mm, korišćen je ugljeniĉni ĉelik C0361. 

Potrebna karakteristika upotrebljenog konaĉnog elementa grede (beam) je SentVenan-ova konstanta uvijanja J430 cm 4 , moment 

inercije savianja I x =I y =215 cm 4 , površina preseka 16.2 cm 2 . Zadatak je rešen programom ALGOR. Rezultati su prikazani u obliku 

skraćenih sadrţaja izlaznih datoteka deformacija, sila i momenata ĉlanova, datih u daljem tekstu. 

Prvi deo listinga sadrži sledeće ulazne podatke: 

1. Kontrolne podatke (control information), 

2. podatke o ĉvorovima (nodal data), 

3. podatke o materijalu (material properties), 

4. podatke o preseku štapova (area properties), 

5. podatke o sluĉaju opterećenja elemenata (element load factor), 

6. podatke o vezama konaĉnim elementima (element conectivity data), 

7. spoljašnje opterećenje (nodal load – static), 

8. podatke o jednaĉinama modela (equation parameters), 

9. podatke o raspoloţivim memorijskim resursima raĉunara, 

10. podatke o matrici krutosti (stiffness matrix parameters). 

Izlazni podaci iz proraĉuna su dati u vidu: 

11. Pomeranja i rotacija ĉvorova modela (displacement – rotations of nodes), 

12. rezultata ĉvprnih i primenjenih sila (global level nodal reactions, applied forces), 

13. rezultata unutrašnjih sila u modelu (element level reactions). 

Prema ovim rezultatima, najveća aksijalna sila od 11.346 kN je dobijena u ĉlanu 5 (6), dok je najmanja aksijalna sila od - 

11.346 kN dobijena u ĉlanu 2. Maksimalni moment savijanja od 13.359 kNcm je dobijen u ĉlanu 3. Najveće pomeranje nastaje u 

taĉki 2 i 3 i iznosi -0.014671 cm. 

ALGOR (C) LINEAR STRESS ANALYSIS - SSAP0H REL. 15-FEB-95 VER. 11.08-3H 

DATE: JULY 25,1999 TIME: 02:47 PM INPUT FILE.............re5 

Model c:\algor\re5.mod on Sun Jul 25 14:45:5 

1. CONTROL INFORMATION 

number of node points (NUMNP) = 8 

number of element types (NELTYP) = 1 

number of load cases (LL) = 1 

number of frequencies (NF) = 0 

geometric stiffness flag (GEOSTF) = 0 

analysis type code (NDYN) = 0 

solution mode (MODEX) = 0 

equations per block (KEQB) = 0 

weight and c.g. flag (IWTCG) = 0 

bandwidth minimization flag (MINBND) = 0 

gravitational constant (GRAV) = 1.0000E-03 

2. NODAL DATA


NODE BOUNDARY CONDITION CODES NODAL POINT COORDINATES 

NO. DX DY DZ RX RY RZ X Y Z T 

--------------------------------- ---------------------------------- ------------------------------------------------------- 

1 1 1 1 0 0 0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

2 0 0 0 0 0 0 1.000E+02 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

3 0 0 0 0 0 0 2.000E+02 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

4 0 1 1 0 0 0 3.000E+02 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

5 0 0 0 0 0 0 5.000E+01 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00 

6 0 0 0 0 0 0 1.500E+02 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00 

7 0 0 0 0 0 0 2.500E+02 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00 

8 0 0 0 0 0 0 0.000E+00 8.660E+01 0.000E+00 0.000E+00 

PRINT OF EQUATION NUMBERS SUPPRESSED BEAM ELEMENTS 

number of beam elements = 11 

number of area property sets = 1 

number of fixed end force sets = 0 

number of materials = 1 

number of intermediate load sets = 0 

3. MATERIAL PROPERTIES 

INDEX E MU MASS WEIGHT THERMAL EXPANSION REFERENCE 

DENSITY DENSITY X Y Z TEMPERATURE 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1 2.06E+04 0.300 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.000E+00 

4. AREA PROPERTIES 

AXIAL SHEAR SHEAR 

A(1) A(2) A(3) J(1) I(2) I(3) 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1 1.620E+01 1.620E+01 1.620E+01 4.300E+02 2.150E+02 2.150E+02 

STRESS PROPERTIES 

INDEX SECTION MODULI 

S(2) S(3) 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1 0.000E+00 0.000E+00 

5. ELEMENT LOAD FACTORS 

CASE A CASE B CASE C CASE D 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

X-DIR 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

Y-DIR 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

Z-DIR 0.000E+00 0.000E+00 1.000E+00 0.000E+00 

6. ELEMENT CONNECTIVITY DATA 

ELEMENT NODE NODE NODE MAT SECTN ELEMENT LOADS RELEASE CODES 

NO. I J K INDEX INDEX A B C D I-END J-END NO. 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1 1 2 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

2 2 3 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

3 3 4 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

4 5 6 1 1 1 0 0 0 0 0 0 

5 6 7 1 1 1 0 0 0 0 0 0 

6 1 5 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

7 2 6 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

8 3 7 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

9 2 5 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

10 3 6 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

11 4 7 8 1 1 0 0 0 0 0 0 

BANDWIDTH MINIMIZATION 

Minbnd (bandwidth control parameter) = 1 

Bandwidth before resequencing = 28 

Bandwidth after resequencing = 18 

Hard disk file size information for processor: Available hard disk space on drive = 2100. megabytes 

7. NODAL LOADS (STATIC) OR MASSES (DYNAMIC) 

NODE LOAD X-AXIS Y-AXIS Z-AXIS X-AXIS Y-AXIS Z-AXIS 

NUMBER CASE FORCE FORCE FORCE MOMENT MOMENT MOMENT 

2 1 0.000E+00 -1.000E+01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 

3 1 0.000E+00 -1.000E+01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00


ELEMENT LOAD MULTIPLIERS 

load case case A case B case C case D 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 1.000E+00 

8. - 9. EQUATION PARAMETERS 

Number of equations = 43 

Minimum bandwidth = 1 

Maximum bandwidth = 18 

Average bandwidth = 9 

Storage required (KB) = 3 

Total memory allocated (KB) = 98527 

Total memory free (KB) = 98526 

10. STIFFNESS MATRIX PARAMETERS 

minimum non-zero diagonal element = 1.5311E+02 

maximum diagonal element = 6.8751E+05 

maximum/minimum = 4.4903E+03 

average diagonal element = 2.2644E+05 

STATIC ANALYSIS - LOAD CASE = 1 

11. DISPLACEMENTS/ROTATIONS(DEGREES) OF NODES 

NODE X- Y- Z- X- Y- Z- 

number translation translation translation rotation rotation rotation 

1 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -8.1790E-03 

2 1.7275E-03 -1.4671E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -4.0625E-03 

3 5.1273E-03 -1.4671E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 4.0625E-03 

4 6.8547E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 8.1790E-03 

5 6.8268E-03 -7.8744E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -5.2227E-03 

6 3.4274E-03 -1.5604E-02 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

7 2.7934E-05 -7.8744E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 5.2227E-03 

8 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

12. GLOBAL LEVEL NODAL REACTIONS(R), APPLIED FORCES(F), & RESIDUAL(R+F) 

NODE LCASE RF+ FORCE-x FORCE-y FORCE-z MOMENT-x MOMENT-y MOMENT-z 

1 1 R -1.42E-14 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.11E-15 

1 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

1 1 + -1.42E-14 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 7.11E-15 

2 1 R 1.78E-15 1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -6.22E-15 

2 1 F 0.00E+00 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

2 1 + 1.78E-15 -1.78E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -6.22E-15 

3 1 R 0.00E+00 1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -3.55E-14 

3 1 F 0.00E+00 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

3 1 + 0.00E+00 1.78E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -3.55E-14 

4 1 R 8.88E-16 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.44E-15 

4 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

4 1 + 8.88E-16 -1.00E+01 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -4.44E-15 

5 1 R 5.33E-15 5.33E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.33E-15 

5 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

5 1 + 5.33E-15 5.33E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 5.33E-15 

6 1 R 3.55E-15 5.05E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

6 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

6 1 + 3.55E-15 5.05E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

7 1 R 2.66E-15 3.55E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -1.24E-14 

7 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

7 1 + 2.66E-15 3.55E-15 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 -1.24E-14 

8 1 R 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

8 1 F 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

8 1 + 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 

13. ELEMENT LEVEL NODAL REACTIONS


Group-number Element-type Element-number Loadcase 

1 2 1 1 

NODE FORCE-x FORCE-y FORCE-z MOMENT-x MOMENT-y MOMENT-z 

1 5.7649E+00 -2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -6.9947E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

2 -5.7649E+00 2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.3359E+01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 2 1 


2 1.1346E+01 -1.9429E-16 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.2806E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

3 -1.1346E+01 1.9429E-16 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -6.2806E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 3 1 


3 5.7649E+00 2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.3359E+01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

4 -5.7649E+00 -2.0354E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.9947E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 4 1 


5 -1.1345E+01 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -4.0567E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

6 1.1345E+01 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.2131E+01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 5 1 


6 -1.1345E+01 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.2131E+01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

7 1.1345E+01 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 4.0567E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 6 1 


1 -5.7649E+00 -9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 6.9947E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

5 5.7649E+00 9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 2.4242E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 7 1 


2 -1.2056E-03 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 7.2396E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

6 1.2056E-03 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 9.5880E-01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 8 1 


3 5.5797E+00 9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.6130E-01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

7 -5.5797E+00 -9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.6325E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 9 1 


2 -5.5797E+00 9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -1.6130E-01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

5 5.5797E+00 -9.6346E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 1.6325E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

Group-number Element-type Element-number Loadcase


1 2 10 1 


3 1.2056E-03 1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -7.2396E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

6 -1.2056E-03 -1.6188E-01 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -9.5880E-01 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 


1 2 11 1 


4 5.7649E+00 -9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -6.9947E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

7 -5.7649E+00 9.7965E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 -2.4242E+00 

APPLD. 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 

---------------------------------- 

End of file 

Primenom teoreme L.F.Menabrea 66, o minimumu deformacionog rada na ovom rešetkastom nosaĉu, dobija se sistem od 

13 algebarskih jednaĉina. Koristeći simetriju nosaĉa i opterećenja, moţe se pokazati da aksijalne sile imaju sledeće vrednosti i 

odstupanja: F 1 =F 3 =5.77350 kN (=0.149 %), F 2 =11.547 kN (=1.740 %), F 6 =F 11 =-11.547 kN (=0.86 %), F 8 =F 9 =-11.547 kN 

(=3.356 %), F 7 =F 10 =0., F 4 =F 5 =11.547 kN (=1.749 %). 

Primer 4: NOSEĆA STRUKTURA DIZALICE 

Opis zadatka: 

U klasu velikih numeriĉkih sistema spadaju zadaci metode konaĉnih elemenata sa brojem stepeni slobode kretanja preko 100.000. 

Takav zadatak je ĉest kod nosećih struktura, koje su materijalno velike. Posmatrana je mosna dizalica nosivosti 28 t i raspona 

13,360 m. Simetriĉnost geometrije mosne dizalice i opterećenja, dozvoljavaju korišćenje geometrijskog modela forme 14 stvarnog 

objekta. Na slici 13 predstavljen je geometrijski model u diskretnoj formi. To je polovina glavnog i polovina ĉeonog nosaĉa. 

Prikazana polovina glavnog nosaĉa je duţine 6515. mm, preseka HB=900/380. mm. Debljina vertikalnog lima je 6 mm, 

horizontalne lamele 8. mm. Duţina prikazane polovine ĉeonog nosaĉa je 1800. mm, presek H/B=600./330. mm, debljine zidova 8. 

mm. Posmatrana polovina glavnog nosaĉa ima 5 unutrašnjih popreĉnih limova za ukrućenje od torzije (dijafragme). Spojevi 

horizontalnih i vertikalnih limova su izvedeni EPP postupkom sa prepustom horizontalnih lamela od 35 mm. Ĉeoni nosaĉ ima dve 

unutrašnje dijafragme iz pravca vertikalnih limova glavnog nosaĉa. Kako je spoj glavnog i ĉeonog nosaĉa izveden VV zavrtnjima, to 

je veza tretirana kao kompaktna, bez diskontinuiteta i bez unutrašnjih prednapona. Ukupna masa voznog vitla je 4.0 t. Maksimalna 

koncentrisana sila od pritiska jednog toĉka voznog vitla je ukupno 92.0 kN i deluje vertikalno. Ova sila deluje preko šine 40.x40. 

mm, koja se nalazi nad unutrašnjim vertikalnim zidom kutije glavnog nosaĉa. 

Z 

Y 

X 

D 

2 

4xP=4x1.115 kN/cm. 

C 

A 

B 

Output Set: Algor Case 1 

Deformed(1.937): Total Translation 

Slika 13. Noseća struktura mosne dizalice (četvrtina modela) i 

diskretna mreža konačnih elemenata sa prikazom deformacije 

Modeliranje:


Modeliranje limova je izvedeno konaĉnim elementom ploĉe. Ukupan broj konaĉnih elemenata po visini preseka glavnog 

nosaĉa je 20, po širini 10, tako da su pojedinaĉne širine elemenata 22.5 do 67.5 mm. Proseĉna duţina konaĉnog elementa na 

glavnom nosaĉu je 50. mm. Na ĉeonom nosaĉu su elementi širine 22.5 do 30. mm, duţine do 82.5 mm. Zona uleţištenja toĉka (A), 

na ĉeonom nosaĉu, modelirana je zapreminskim konaĉnim elementima forme ĉetvorostrane prizme, da bi mogla da odgovori jakom 

koncentrisanom dejstvu. Šina koja prelazi preko celog nosaĉa, modelirana je konaĉnim elementima grede. Da bi se umanjila greška 

unosa koncentrisane sile kontakta toĉkom voznog vitla, sila je predstavljena površinskim pritiskom na ĉetiri konaĉna elementa u zoni 

kontakta D, slika 13 (p=F/A=F/b 1 b 2 =92./ 8.2510.=1.115 kN/cm 2 ). 

Na ovaj naĉin, dobijen je model sa 10586 konaĉnih elemenata, 10399 ĉvorova i 61.644 stepeni slobode kretanja. 

Formirana topologija izvedena je sa svim sastavnim elementima realne strukture. Gustina elemenata dozvoljava uvid u naponsko 

deformaciono stanje svih karakterstiĉnih elemenata i preseka. Gustina se moţe lokalno uvećati na mestima koja su interesantna za 

proveru. Analitička provera deformacija metodom Clebsch-a, dala je ugib od 2.00 cm, što odstupa od numeriĉkog (1.937 cm), za 

3.15 %. 


Contour: Plate Mid VonMises Stress 

12.23 

11.47 


Contour: Plate S12 Shr-Bend Stress 

2.285 

2.057 

10.72 

1.829 

9.96 

1.601 

9.204 

1.373 

8.447 

1.145 

7.691 

0.9176 

6.935 

0.6897 

6.179 

0.4618 

23. 

46. 

23. 

5.422 

23. 

46. 

23. 

0.234 

4.666 

6.076E-3 

3.91 

-0.2218 

3.153 

-0.4497 

2.397 

-0.6776 

1.641 

-0.9055 

0.8845 

-1.133 

0.1282 

-1.361 

Slika 14. Sekcija - presek strukture nosača dizalice u zoni dejstva opterećenja od tereta 

Slika Von-Mises-ovih napona u konačnim elementima ploče 

Slika 15 Sekcija - presek strukture nosača dizalice u zoni dejstva opterećenja od tereta 

Slika izraženih smicajnih napona u konačnim elementima ploče 

Strukturna analiza otvara mogućnost uvida napona i deformacija u svim taĉkama konstrukcije. Na slici 13 i 14 pokazan je 

raspored sloţenih (Von-Mises-ovih) i tangentnih napona u sredini raspona nosaĉa. Na slici su izdvojeno prikazane susedne 

dijafragme i kontaktna zona toĉka i šine. Ovaj prikaz je dobijen tehnikom korišćenja grupa konaĉnih elemenata, izometrijski 

prikazanih. Ova tehnika omogućava odvajanje onih konaĉnih elemenata koji su znaĉajni za analizu ili sklanjanje onih elemenata koji 

otvaraju pogled u unutrašnjost strukture. 

Granični uslovi su primenjeni u zoni oslonca A, preseku B i C. Dizalica je poduprta na mestu toĉka (A), pa je ukinuta sloboda 

vertikalnog pomeranja u pravcu ose Y. Pri tome su oslonci u zoni A poredjani po liniji pravca kretanja ĉeonog nosaĉa. Na ovaj našin je data 

mogućnost rotacije ĉeonog nosaĉa oko ose X. Presek B ne deplanira i ne pomera se pri simetriĉnom opterećenju (ukinuta sloboda pomeranja u 

pravcu ose X i rotacije oko ose Y i ose Z. Glavni nosaĉ u sredini raspona ne pomera se u pravcu ose Z niti rotira oko ose Y ni oko ose X. Graniĉni 

uslovi su primenjeni u preseku B i C na sve ĉvorove konture. Graniĉni uslovi u zoni oslonca A, primenjeni su samo na ĉvorove linije kontakta toĉka 

dizalice i staze.



Contour: Plate Bot MaxShear Stress 

3.434 

3.219 

3.005 

2.791 

2.576 

2.362 

2.148 

1.934 

1.719 

1.505 

1.291 

1.076 

0.862 

0.6477 

0.4334 

V2 

L1 

C1 

G8 

0.2191 

4.841E-3 

Slika 16. Deo strukture – veze glavnog i čeonog nosača dizalice 

Slika izraženih smicajnih napona u elementima ploče usled transverzalnih sila na krajevima 

Slika 17. Deo strukture – veze glavnog i čeonog nosača dizalice u zoni oslonca - točka 

Slika složenih Von-Mises-ovih napona u solid elementima

Dr Miomir Jovanović – OPTIMIZACIJA (autorizovana predavanja) 1 

PREDAVANJE-10 


Optimalno projektovanje u mašinstvu 

1.1 UVOD U OPTIMALNO PROJEKTOVANJE 

PREDMET OPTIMIZACIJE (ilustrativno): 

minimalna masa mašinskog sklopa, strukture, člana; 

minimalna površina geometrijske forme (oblikovanja sudova), 

minimalan otpor na pogonskom članu (kod minimizacije sila), 

minimalna greška putanje (sinteza geometrije mehanizma), 

maksimalna pouzdanost mašinskog sistema, 

minimalan otpor kretanja (kod oblikovanja plašta letilica), 

minimalna amplituda oscilovanja (rasporedjivanja mase vozila), 

maksimalno iskorišćenje materijala (u naponskom smislu), 

minimalno vreme izvršenja radnih funkcija mašina, 

maksimalno iskorišćenje energije (kod sagorevanja). 

DEFINICIJE OPTIMIZACIJE: 

Optimizacija je postupak nalaženja najpovoljnijeg rešenja konstrukcije pri zadatim 

uslovima. U teoriji optimalnog projektovanja, optimizacijom se odredjuju konstruktivni 

parametri (geometrija) koji definišu ekstremna svojstva (minimum-maksimum) 

posmatranih mašina.


OPTIMIZACIJA je u matem. smislu, proces nalaženja uslova koji daju ekstremne 

vrednosti funkcija cilja. 

OPTIMIZACIJA je primenjena naučna disciplina koja metodama matematičkog 

programiranja, varijacionog računa, teorijom optimalnog upravljanja i metodama teorijske 

mehanike, definiše tražena tehnička svojstva konstrukcija. 

OSTALE OBLASTI: Teorija optimalnog upravljanja, Teorija dinamički optimalnih 

konstrukcija, Stabilnost mašinskih sistema, Teorija otkaza (pouzdanost), su deo savremene 

teorije optimalnog projektovanja i predstavljaju nadgradnju osnovne teorije. 

ISTORIJSKI POSMATRANO: tri etape: 

 

 

 

Period zdravog razuma i intuicije, 

Period inženjerskih rešenja i 

Period čisto analitičkih rešenja i tehničke kibernetike. 

MATEMATIČKE PODLOGE OPTIMALNOG PROJEKTOVANJA: 

OBLASTI: Klasična i numerička matematika, računarske i informacione tehnologije. 

Newton-a i Leibnitz-a (1646-1716), su postavili osnove diferencijalnog računa. 

U oblasti varijacionog računa, prve radove su dali Bernoulli, Euler (1707-1783) i Lagrange (metoda 

Lagranžeovih množilaca). 

Cauchy je postavio koncept neograničenog silaznog "spusta" ka minimumu. 

U oblasti numeričkih metoda (Velika Britanija): 

Dantzig je 1947. razvio metod optimizacije problema linearnog programiranja, 

Bellman je razvio princip optimalnosti kod dinamičkog programiranja, 

Kuhn i Tucker su 1951. definisali uslove za egzistenciju rešenja optimizacije. 

1.2 METODE OPTIMIZACIJE U MAŠINSTVU 

Slika 1.3 

Metode uslovljenog nelinearnog programiranja 

ZAŠTO TOLIKO METODA: Jedinstven metodološki postupak za optimizaciju konstrukcija ne postoji jer i 

sami zadaci nemaju jednak matematički model. Različiti matematički 

zahtevi proističu iz različitih matematičkih formulacija funkcija cilja i 

funkcija ograničenja.


Metode u mašinstvu optimalnog projektovanja konstrukcija, mogu se prokomentarisati: 

Metoda diferencijalnog programiranja je klasična metoda analitičke algebre kod koje se 

diferenciranjem konveksnih funkcija cilja i funkcija ograničenja, dobija 

ekstremum. Metode varijacionog računa se koriste kod funkcija cilja 

formulisanih u integralnom obliku. Metoda maksimuma se koristi kod 

funkcija cilja (FC) formiranih u obliku diferencijalnih jednačina sa 

ograničenjima u vidu nejednačina. Primenjuje se kod sinteze optimalnog 

upravljanja. 

Metode linearnog programiranja [18] se široko koriste u planiranju i organizaciji proizvodnih sistema. 

Poznata metoda linearnog programiranja je Simplex metoda [38], Koristi se 

za rešavanje zadataka optimalnog rasporeda (borbenih sredstava, 

transportnog problema itd). Metode linearnog programiranja se mogu 

primeniti u optimalnom projektovanju ako je moguća linearna aproksimacija 

problema. To je onda linearno aproksimativno programiranje. 

Metode nelinearnog programiranja [8] su osnovne metode za optimalno projektovanje konstrukcija u 

tehnici jer su funkcije cilja i funkcije ograničenja uglavnom nelinearne 

prirode. Složenost ili prekidnost funkcija koje opisuju problem, zahteva 

poboljšanje numeričke forme problema, pa se u tim slučajevima koriste 

metode nelinearnog aproksimativnog programiranja. 

KLASIFIKACIJA ZADATAKA OPTIMIZACIJE: 

Zadaci sa i bez ograničenja. 

Matematičke metode: metode bezuslovne i metode uslovljene minimizacije. 

1.3 MATEMATIČKE OSNOVE OPTIMIZACIJE 

FUNKCIJA CILJA: Cilj optimalnog projektovanja je funkcija nezavisnih parametara optimizacije z i : 

FC = F 

(1.3.1) 

(z) 

Rezultat optimizacije je ekstremna vrednost funkcije cilja: 

(z 

1 

,z 

2 

,z 

3 

, 

,z 

n 

) 

FC 

 

( z) 

FC 

(z) EXTR 

(1.3.2) 

Ekstremna vrednost funkcije cilja odredjuje specifične osobine projektovane konstrukcije, zbog čega se 

definiše optimalnom. Parametri optimizacije z i mogu biti različite fizičke i vremenske prirode. 

FUNKCIJE OGRANIČENJA Gj. U matematičkom smislu, mogu biti različitog oblika: 

polinoma, diferencijalnih i integralnih jednačina i mogu se uopšteno definisati: 

G 

j( z) = G 

j(z1,z 

2,z3, 

,z 

n) 

(1.3.3) 

Funkcije ograničenja: Opšte (metrički prostor) i posebne (fizičke osobine).


Na osnovu ovako definisanih funkcija cilja i funkcija ograničenja, zadatak optimizacije u matematičkom 

smislu može se definisati zahtevom nalaženja takvih vrednosti nezavisnih parametara z i (u n-dimenzionom 

euklidskom prostoru Z), koje funkciji cilja FC, uz ograničenja G j (j=1q), daju ekstremnu vrednost: 

min 

n 

FC 

, z Z , 

Z = z 

R , G 0, (j = 1- q) 

( z) 

j(z) 

 

MATEMATIČKI USLOV: rešivosti ovog zadatka je neprekidnost i diferencijabilnost funkcija, što se 

u mašinskim sistemima uglavnom obezbedjuje vezama, uslovima 

sprezanja, kontinualnošću prostiranja napona i deformacija kroz 

kontinuum. 

GLOBALNI OPTIMUM: Tačka 

 

( z ) Z, je optimalna ako je FC FC 

( z ) (z) 

za svako z Z. 

Ovako odredjena tačka minimizacijom se naziva globalni optimum. 

VIŠE EKSTREMUMA: 

Složene funkcije cilja konveksnog tipa, mogu da imaju više ekstremuma. 

Jedan ekstremum je najizraženiji i to je globalni, a ostali su lokalni z . 

Funkcije cilja sa više izraženih ekstremuma u matematičkom 

programiranju, nazivaju se multimodalnim funkcijama. Slika 1.4 

interpretira neke od navedenih pojmova u 3D prostoru. 

Slika 1.4 Geometrijska interpretacija funkcija cilja 

INVERZIJA ZADATKA: U realizaciji optimizacije moguće je tražiti minimume ili maksimume funkcije 

cilja. Problem maksimizacije funkcije cilja FC 1(z) u skupu Z, svodi se na 

problem minimizacije funkcije FC 2(z) posredstvom relacije: 

FC 

2(z) 

FC1(z) 

 

(1.3.5) 

USLOVE EGZISTENCIJE MINIMUMA definiše Slater-ov uslov i Kuhn-Tucker-ova teorema [38].


1.4 ETAPE OPTIMALNOG PROJEKTOVANJA 

Postupak optimizacije konstrukcija ima strategiju koja se može sagledati sa slike 4.5. Prvo se opisno definiše 

optimizacioni zadatak (etapa 1: DEFINISANJE ZADATKA), čime se utvrdjuju nezavisni parametri i cilj 

optimizacije sa realnim ograničenjima zadatka. 

Naredna etapa je izbor kriterijuma optimizacije - formulacija karaktera funkcije cilja. 

Kriterijumi optimizacije mogu biti: tehničke, ekonomske i tehno-ekonomske prirode. 

Slika 1.5 Etape procesa optimizacije 

KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Mogu biti potpuno definisani. Nasuprot tome kod složenih procesa, 

kriterijumi mogu dati različite ishode. Prema načinu vrednovanja, mogući su izbori sledećih kriterijuma: 

 

 

 

Deterministički kriterijumi, 

Kriterijumi statističke verovatnoće i 

Kriterijumi za uslove konfliktnih situacija. 

RELATIVNI KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Primena univerzalnih kriterijuma (najopštijih formulacija) 

nije moguća zato što to usložava računski aparat, uvećava broj parametara i zahteva iznova verifikaciju 

pouzdanosti matematičkog modela. Iz tih razloga, kod kompleksnih tehničkih optimizacija, izbor funkcije 

cilja nije strogo matematički već predstavlja kompromis mnoštva uticajnih faktora proisteklih iz 

matematičkog modeliranja, eksperimentalnih rezultata i intuitivnih opažanja. Ovako formirani kriterijumi 

optimalnosti su takozvani relativni kriterijumi optimalnosti. OPRAVDANOST: Sastavljanje kriterijuma 

optimalnosti je besmisleno za slučaj postojanja dovoljno tačnih matematičkih modela. 

Kod mnogih optimizacionih zadataka, ocena kvaliteta rešenja se ne vrši na osnovu samo jednog, već više 

kriterijuma. Tako formirane funkcije cilja predstavljaju kompleks kriterijuma optimizacije parcijalnih 

kriterijuma (ciljeva) optimalnosti. Tu složenost je moguće vektorski definisati izrazom (4.4.1): 

 

FC 

 

 

 

0 

L FC 

1, 

FC2, 

FC3, 

, 

FCm 

 

 

 

(1.4.1) 

U kompleksu kriterijuma, potrebno je definisati važnost pojedinačnih kriterijuma što se realizuje uvodjenjem 

težinskih koeficijenata j . Takva proizvoljna funkcija ima oblik:


L 

 

(FC, 

m 

FC 

j(z) 2 

 

(1 ) ; 

1 

) 

j 

j 

FC 

j 

j(z) EXTR 

 

(1.4.2) 

IZBOR METODE OPTIMIZACIJE: Zavisi (etapa 4) od prirode optimizacionog problema (deterministički, 

stohastički, statički, dinamički), matematičke formulacije zadatka (linearan, nelinearan, sa ili bez 

ograničenja, sa ili bez izvoda), broja kriterijuma optimizacije (jednokriterijumski, višekriterijumski) i 

pristupa (analitičke, gde ima matematičke funkcije cilja i eksperimentalne, gde nema matematičke 

formulacije funkcije cilja). Izbor metode se završava izborom softvera (algoritma). 

REALIZACIJA OPTIMIZACIONE PROCEDURE (etapa 6: programska realizacija) je izvršni zadatak i 

realizuje se računarom kod najvećeg broja optimizacionih zadataka. Kako matematički algoritmi za 

optimizaciju obavljaju uglavnom iterativne postupke, ova etapa zahteva brze hardverske platforme, visoku 

numeričku tačnost i kapacitet obrade. 

KLASIČNE METODE DIFERENCIJALNOG 

PROGRAMIRANJA 

Zadaci bezuslovnih minimizacija 

U tehničkom projektovanju koriste se metode bezuslovnih optimizacija kod zadataka gde nema funkcija 

ograničenja. U slučajevima gde postoje ograničenja, moguće je primeniti ove metode uz obaveznu 

interpretaciju rešenja (grafičku, funkcionalnu, logičku) čime se ocenjuje kvalitet rešenja. Takav pristup 

očigledno ne vodi brzom rešavanju, ali omogućuje lakše kretanje kroz n-dimenzioni prostor nepoznatih. 

Metode diferencijalnog programiranja zahtevaju da funkcije cilja budu neprekidne i diferencijabilne u oblasti 

rešenja. Koriste se kod zadataka sa malim brojem parametara i malom složenošću funkcija. U opštem slučaju 

se dobija sistem nelinearnih algebarskih jednačina koji se rešava računarom, nekom od numeričkih i 

aproksimativnih metoda. 

Klasične metode diferencijalnog programiranja definišu potreban uslov traženja ekstremuma jednačinama: 

FC(z) 

(2.5.1) 

0, i 

1,2,3, , 

n 

z 

i 

Karakter ekstremuma (minimum i maksimum) se ispituje proverom vrednosti (znaka) drugog izvoda za 

nadjeno rešenje iz uslova (2.5.1). Tamo gde je ispunjen uslov (2.5.2) radi se o minimumu, a gde je ispunjen 

uslov (2.5.3) o maksimumu. 

2 

FC(z) 

(2.5.2) 

0, i 

= 1,2,3, ,n, 

2 

z 

2 

i 

FC(z) 

(2.5.3) 

0, i 

=1,2,3, , 

n 

2 

z 

i


Metoda Lagranžeovih množilaca 

Metoda Lagrange-ovih množilaca se primenjuje na više različitih postupaka determinističkog i stohastičkog 

traženja minimuma. U oblasti diferencijalnog programiranja, ova metoda se može upotrebiti za traženje 

ekstremuma uz prisustvo j=1m funkcija ograničenja G j : 

G 

,zn ) 

j( z) = G j(z1,z2,z3, 0, (j = 1,2,3, ,m) 

(2.5.8) 

Nalaženje potrebnih uslova pri kojima egzistira rešenje, može se utvrditi primenom koeficijenata j - 

Lagrange-ovi množioci. Lagrange-ova funkcija ima oblik: 

L 

m 

 

( z) FC 

(z) 

j G 

j(z) 

j1 

(2.5.9) 

Uslov egzistencije ekstremuma: 

L(z) 

(4.5.10) 

0 

z 

i 

Uslovi (2.5.8) i (2.5.10) obrazuju sistem od m+n jednačina iz koga se odredjuje z nepoznatih i m Lagrangeovih 

množilaca j , za koje imamo ekstremnu vrednost funkcije FC (z) , tj. FC( z) 

FC 

(z) EXTR . Karakter 

ekstremuma, odredjuju se na osnovu znaka drugog diferencijala Lagrange-ove funkcije: 

 

z 

i 

z 

k 

n m 2 

2 

FC 

 

 

(z) 

m G(z) 

j 

i 1k 

1z 

 

 

i zk 

j 1 zi 

zk 

 

2 

L (z) 

(2.5.11) 

PRIMER: 

Odrediti optimalnu geometriju cilindričnog rezervoara zapremine 10 m 3 , tako da se utroši minimalno materijala. 

R 

H 

POSTAVKE ZADATKA: Površina omotača rezervoara je funkcija cilja optimizacije. Ova funkcija je 

definisana sa dva parametra optimizacije, poluprečnikom omotača R i visinom 

rezervoara H. Funkcije su neprekidne i diferencijabilne. Kako postoji jedno 

ograničenje (zapremina rezervoara), problem ima tri nepoznate (R,H,λ), pa se 

shodno tome može koristiti analitička metoda diferenc. programiranja (LG).


Funkcija cilja (površina rezervoara) i njeni izvodi po nepoznatim parametrima: 

FC( z) FC(z 1 ,z 2 ) FC(R,H) 

P 2 

R 2 

R 

H 

Funkcija ograničenja je zapremina: 

FC (R,H) 

FC(R,H) 

4 R 2 H, 

R 

H 

2 

2 

2 R 

V( R,H) R H, G(R,H) 

R H V R H 10 

0 

G(R,H) 

G(R,H) 

2 

2 R H, R 

R 

H 

POSTAVKA: Sada je moguće oformiti sistem jednačina za rešavanje: 

FC 

R 

FC 

G 

H 

(R,H) 

(R,H) 

(R,H) 

2 

2 

 

G 

(R,H) 

0, 4 

R + 2 

H 2 

R H 0 

R 

G 

(R,H) 

2 

0, 2 

R R 0 

H 

2 

0, R H 10 

0 

Opšta rešenja zadatka optimalnosti mase cilindričnog rezervoara: 

R = 

3 

V 

, 

2 

 

3 

2 

V 

2 

, 

H = 

 

3 

V 

V 

 

2 

2 

. 

METODE NELINEARNOG PROGRAMIRANJA 

U inženjerskim zadacima projektovanja optimalnih mašinskih sistema, koriste se dve grupe metoda 

nelinearnog matematičkog programiranja: 

1. Metode traženja minimuma po strogim procedurama. To su determinističke metode. 

2. Metode do čijih se rešenja dolazi metodama slučajnog traženja (stohastičke metode). 

Druga podela po pristupu IZMENE PARAMETARA je: 

1. Metode jednodimenzionog traženja gde se menja samo jedan parametar i za njegovu promenu 

utvrdjuje vrednost funkcije cilja. 

2. Procedure višedimenzionog traženja. 

Jednodimenzioni zadaci minimizacija (skeniranja): 

Kod formalnog jednodimenzionog pretraživanja hiper prostora (metode skeniranja), nezavisni parametri se 

odreĎuju u dopustivoj oblasti z a z b i mogu se diskretno menjati sa stalnom ili promenljivom dužinom 

koraka H n . Vrednost funkcije cilja se odredjuje za diskretne vrednosti nezavisno promenljive. Izmedju dve 

susedne vrednosti z K i z K+1 , nepoznata je vrednost funkcije cilja. Izabrani korak promene nezavisnih

DFC 


parametara H n predstavlja interval neodredjenosti, a vrednost funkcije cilja poznata je samo na granicama 

tog intervala. Broj tačaka nezavisne promenljive n u dopustivom segmentu z a z b može biti veći ili manji 

što zavisi od karaktera FC. Prema tome, interval neodredjenosti može se definisati: 

H 

n 

zb 

2 

n 

 

 

z 

1 

a 

(2.6.1) 

FC 

m in 

z 

z a 

Dz 

z b 

H n 

OSOBINA: Ušteda mašinskog vremena rada računara zahteva primenu većeg (krupnijeg) koraka - intervala 

neodredjenosti H n . Sa druge strane, veliki interval neodredjenosti umanjuje kvalitet nadjenog 

ekstremuma, jer se on može naći unutar ovog intervala. Prema tome, optimalan izbor intervala 

neodredjenosti je: 

H 

 

n 

h K 

 

MAX 

MIN 

(2.6.2) 

PROCEDURA: 

Metoda jednodimenzionog traženja se zasniva na podeli dozvoljene oblasti nezavisne 

promenljive (a,b) na n tačaka (jednako udaljenih) i utvrdjivanju vrednosti funkcije cilja u 

njima. Poredjenjem vrednosti FC u diskretnim tačkama, odredjuje se položaj traženog 

ekstremuma. Očigledno da ova metoda nema privilegovanih pravaca i smerova promene 

nezavisne promenljive pa se, stoga, naziva metodom formalnog-pasivnog traženja. 

U identifikovanoj oblasti rešenja, smanjenjem koraka nalazi se bolje rešenje. Na taj način se interval 

neodredjenosti značajno smanjuje, što daje za praktične inženjerske konstrukcije kvalitetna rešenja. Ovakav 

postupak daje mogućnost rešavanja zadataka i sa većim brojem nezavisnih parametara. 

Kod POSTUPNIH PROCEDURA MINIMIZACIJE, postupak izbora naredne vrednosti promenljive je 

usaglašen sa rezultatime prethodne iteracije. Ove metode su mnogo efikasnije jer se u svakom koraku iterira 

ka ekstremumu. Kod formalnih metoda to nije slučaj jer se njima pretražuje sav prostor i uporedjuju rešenja. 

Najpoznatije metode jednodimenzionog postupnog traženja su metoda polovljenja intervala neodredjenosti, 

Fibonaci metoda, metoda zlatnog preseka i druge. Ove metode su obično u sastavu programskih paketa za 

minimizaciju i koriste se kada pristup mnogodimenzionog traženja ne daje rezultate. 

Mnogodimenzioni zadaci minimizacije bez ograničenja 

Iako su kod praktičnih zadataka gotovo uvek prisutna ograničenja, ove metode se mogu koristiti za analizu 

oblasti rešenja. Njihovo obeležje je uvećana računarska procedura, što u slučaju velikog broja nezavisnih 

parametara dovodi do neuspeha nalaženja rešenja. Kao i kod jednodimenzionih zadataka, mnogodimenzioni 

zadaci se mogu realizovati metodama pasivnog traženja i metodama postupnog traženja.

d 


METODA PASIVNOG TRAŽENJA odlikuje se podelom dopustive oblasti nezavisnih parametara na 

jednake intervale neodredjenosti. Na ovaj način, izgradjuje se mreža u n-dimenzionom euklidskom 

prostoru i u čvornim tačkama izračunava vrednost funkcije cilja FC. Slika 2.6 ilustruje dvodimenzioni 

prostor, podeljen intervalima neodredjenosti na podoblasti. 

Z 2 

=1 

Oblast pretraìvanja 

(odredjivanje FC u ~vorovima mreè) 

Z 2 

Z 1 

Z =1 1 

Interval neodredjenosti 

Slika 2.6 Mreža tačaka dvodimenzionog prostora u kojima se odredjuje FC(z) 

NORMIRANJE: Uslov stabilne procedure se obezbedjuje normiranjem. To je deljenje nezavisnih 

parametara z i sopstvenim intervalom promene vrednosti a-b, čime se prelazi na normirane vrednosti z : 

z 

i 

zi 

ai 

, (i 1,2,3,...) 

(2.6.3) 

b a 

i 

i 

Primer 

METODA PASIVNOG TRAŽENJA U MINIMIZACIJI MASE NOSAČA 

Posmatrajmo kutijasti nosač dužine L, izradjen od debelih limova stabilne geometrije preseka od lokalnih 

nestabilnosti, slika 2.7. Nosač je opterećen na slobodnom kraju silama F H i F V . Debljina zida je fiksna, 

konstantna. Potrebno je naći optimalnu geometriju preseka BxH, tako da je masa nosača minimalna. Dat je 

materijal (čelik), raspon L, sile F H i F V i dozvoljeni ugib nosača f 0 . 

d 

L 

Slika 2.7 Kuijasti nosač tražene optimalne geometrije BxH 

Izbor metode, nezavisnih parametara i odredjivanje funkcije cilja 

Zadatak se može rešiti numerički, analizom mogućih kombinacija nezavisnih parametara preseka, kada je 

njihov broj konačan. Postupak se onda svodi na primenu metoda pasivnog višedimenzionog traženja, 

pretraživanjem ograničene oblasti rešenja brzim računarima. Prednost ove metode je u analizi tačnog modela 

(bez aproksimacija) i jednostavnosti modela traženja. Sa druge strane, potencijalan broj kombinacija 

diskretne geometrije može biti prihvatljiv za računar. Za funkciju cilja je izabrana minimalna masa glavnog 

nosača čime se problem svodi na traženje minimalne zapremine. Približna zapreminu sandučastog nosača – 

funkcija cilja:

max 


FC ( B,H) A(B,H) 

L 2(B 

H) 

d 

(2.6.4) 

Funkcija ograničenja najvećih statičkih napona u preseku G1. 

Funkcija ograničenja je izvedena sa aproksimacijom da drugi naponi nisu dominantni (normalni i tangentni 

naponi u šavu zavarenog spoja). Najveći totalni napon u korenu kutijastog nosača rezultat je složenog 

naprezanja od savijanja i transferzalnih sila. Normalni naponi xi , yi potiču od naprezanja na savijanje. 

Smičući naponi sH i sV potiču od transverzalnih - smicajnih sila. Funkcija ograničenja G1=σ U1 najvećeg 

uporednog napona izračunava se primenom hipoteze Huber-Misses-Hencky (1904-1924) za ravanski 

problem, relacija (4.6.5a). Sredjenu funkciju ograničenja pokazuje (4.6.5b): 

 

2 

2 

ui ( xi 

yi) 

3 

( t 

s 

) 

2 

2 

2 2 

 

 

 

F L H F L B F F 

G V H 

3 H V 

1 

doz 

Ixi 

2 Iyi 

2 

A 

SH A 

 

 

 

 

 

SV 

 

 

 

Realizacija zadatka optimizacije: 

(2.6.5a) 

(2.6.5b) 

Početne vrednosti parametara optimizacije H (0) , B (0) , oko kojih će bit formirana oblast pretraživanja (H min - 

H max , B min -B max ) se odredjuju iz preporučenih vrednosti geometrije preseka nosača, na bazi potrebnih 

momenata inercije odredjenih iz spoljašnjih uticaja. Početne vrednosti nepoznatih optimalnih parametara su: 

H 

(0) 

 

3 

Ix 

, 

2 

d y 

B 

(0) 

 

3 

I 

5 

I 

y 

x 

y 

 

x 

3 

Ix 

2 

d y 

(4.6.13) 

d 

m ax 

Ovako definisana početna geometrija, zahteva proširenje na oblast pretraživanja, do iskustveno ekstremnih 

granica u kojima može rešenje da egzistira H MAX , H MIN , B MAX 

, B MIN 

. Oblast promene visina i širina 

nosača su izabrane u slobodnim granicama (H MAX 

-H MIN 

) = 50 cm, (B MAX 

-B MIN 

) = 50 cm. Korak promene 

širine i visine nosača, B i H, DH=DB=0.5 cm, daje dovoljnu gustinu potencijalnih rešenja. Potencijalan broj 

osnovnih parametara preseka nosača (n 1 n 2 ) i ukupan broj mogućih kombinacija N: 

n 1 = (H MAX - H MIN )/ DH + 1 = (50)/0.5+1=101 

n 2 = (B MAX - B MIN )/ DB + 1 = (50)/0.5+1=101 

N 2 

n1 n 101101 

10201. 

(2.6.15)


Algoritam programa za optimizaciju, dat je u Teoriji projektovanja konstrukcija računarom, autora 

M.Jovanovića. Program je izvodljiv na PC-ju i zahteva 50 (kbyte) operativne memorije. 

Rezultate optimizacija pokazuje tabela T.2. Pored dobijenih geometrijskih karakteristika preseka H, B, data 

je i površina preseka A, - koeficijent rezervi naponskog iskorišćenja preseka, odgovarajući naponi 1 , 4 u 

tačkama 1 i 4, i vrednost funkcije cilja. 

Nosivost F V`=26 kN, F H =26 kN, Raspon L=1.0 m, lim d =10 mm, Č 0561, f 0 =2 mm. 

Dozvoljeni naponi za Č 0561 σdoz= 24 kN/cm 2 , σ SAVA = 17 kN/cm 2 

H B d d 1 A 1 4 FC 

(mm) (mm) (mm) (mm) (cm 2 ) (%) (kN/cm 2 ) (kN/cm 2 ) (cm 3 ) 

150. 150. 10. 10. 56. 0.9 14.5 14.5 5600

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – OPTIMIZACIJA (AUTORIZOVANA PREDAVANJA) 1 


Predavanje - 11 

GRADIJENTNE METODE 

Najopštija ideja postupka za minimizaciju nelinearne funkcije cilja zasniva se na daljem 

kretanju ka ekstremumu, shodno osobinama funkcije cilja iz prethodnog stanja (tačke). 

Te osobine su vrednosti funkcije cilja FC i nezavisni parametri z i . Poredjenje vrednosti 

funkcije cilja u prethodnoj i trenutnoj tački omogućuje izbor pravca dalje promene 

nezavisnih parametara. Na bazi ovog generalnog pristupa razvijene su brojne metode za 

minimizaciju. Najopštija podela klasifikuje sve metode u dve grupe: 

A. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE SA TRAŽENJEM IZVODA (GRADIJENTA) 

Metoda najbržeg spuštanja na bazi linearne aproksimacije funkcije FC (Cauchy, 

Curry, Goldstein, Poljak, Kaнтoрoвич, Aкилов) 38. 

Newton-ova i modifikovana Newton-ova metoda na bazi kvadratne 

aproksimacije (Poljak, Goldstein, Ritter, Riter & Mc Cormick ) 38. 

Metode konjugovanih gradijenata: (Flecher & Reeves, Pilak & Ribiere, 

Poljak,Wolfe)38. 

Metode promenjive metrike (Davidon, Fletcher & Powell, Barns i drugi ) 38. 

B. METODE BEZUSLOVNE MINIMIZACIJE BEZ TRAŽENJA IZVODA 

(Primenjuje se za nalaženje minimuma funkcija nepogodnih za diferenciranje.) 

Metoda lokalnih varijacija (Баничук, Petrov & Чeрноуско ). 

Powell-Zangwill-ova metoda (Powell, Zangwill ). 

МАТЕMATIČKE OSNOVE 

Prvi parametar - Parametar pravca: 

Zadržavajući se na gradijentnim metodama, može se pokazati razvijanjem u 

Tayler-ov red, da je naveća vrednost funkcije cilja u pravcu gradijenta. Zato se 

nezavisno-promenljive menjaju u pravcu n (k) (3.6.16b), koji se odredjuje 

izračunavanjem gradijenta funkcije cilja FC u tački z (k) : 

 

G 

 

n FC 

 

( k) grad(FC) FC 

e0i 

i1 

zi 

 

 

 

grad(FC) 

grad(FC) 

(3.6.16a) 

n ( k) 

 

(3.6.16b)

2 4. OPTIMIZACIJA 

Slika 1. 

Geometrijska interpretacija gradijenta G 

U ovoj jednačini, sa e 0i su označeni jedinični vektori u koordinatnim 

pravcima. Osobina gradijenta je da ima pravac ka maksimalnoj vrednosti posmatrane 

funkcije. Zato se kretanjem u pravcu gradijenta najbrže dolazi do ekstremuma funkcije 

cilja FC. Geometrijska interpretacija je data na slici 1. 

Drugi parametar kojim se definiše traženje ekstremuma je korak (k). Dovoljno 

malim korakom se vrlo tačno može prići ekstremumu, ali to uslovljava duge računske 

procedure. Veće vrednosti koraka promene (k) smanjuju tačnost a često dovode do 

beskrajnog iteriranja u zoni ekstremuma. To se u dvodimenzionom koordinatnom 

sistemu može grafički interpretirati površinom funkcije cilja FC 1 , prikazanom 

posredstvom izolinija (FC(z)=const.), slika 2. 

Najpovoljnije kretanje ka ekstremnim vrednostima se postiže promenljivim 

korakom koji je proporcionalan promeni funkcije cilja FC. Kada se koristi konstantan 

korak, vrednost promene nezavisnog parametra z (k) u tački k se odredjuje: 

(4.6.17) 

FCz(k) 

 

zi(k) 

zi(k) 

cosG 

zi(0) 

 

, i 

= 1 

n 

2 

n FCz(k) 

 

 

i1 

zi(k) 

 

U praktičnim traženjima ekstremuma, računski model obično ne zadovoljava 

teorijski definisan uslov za zaustavljanje procedure traženja (3.6.18). Zato se uvodi 

tolerancija promene gradijenta u dvema uzastopnim iteracijama traženja o (3.6.19). 

1 U n-dimenzionom euklidskom prostoru, površina funkcije cilja se naziva "hiper" površina.


FC 

(3.6.18) 

(zi ) 

0, i 

= 1- n 

zi 

(3.6.19) 

n FC(z i ) 

0 

i1 

zi 

Paralelno sa ovim kriterijumom, postavljaju se i drugi kriterijumi kao kriterijum 

promene funkcije cilja u uzastopnim iteracijama 1 (3.6.20) ili grupi iteracija. Time se 

pouzdano zaustavlja iteriranje koje ne daje promenu funkcije cilja FC. 

FC 

zi(k 

1) 

FC 

zi(k) 

 

1 

(3.6.20) 

Slika 2. Iterativno nalaženje optimuma 

Kod inženjerskih konstrukcija, poznatog i proučavanog tipa, unapred je sigurno 

postojanje optimuma. Kod nekih novih modela, manje izučenih i matematički složenih, 

potrebno je proveriti egzistenciju ekstremuma. U tu svrhu se obično koristi provera uslova 

Khun-Tucker-a, kojim se utvrdjuje egzistencija sedlaste tačke, odnosno, dokazuje 

konvergencija rešenja. Prednost gradijentnih metoda je u njihovoj jednostavnosti 

i mogućnosti minimizacije različitih klasa funkcija cilja. Kako se odlikuju sporom konvergencijom, 

za njih su razvijene metode za ubrzanje procedure. Kombinacijom sa drugim 

metodama za traženje oblasti rešenja, ove metode omogućavaju nalaženje kvalitetnih 

minimuma u pravcu antigradijenta 2 . 

Konjugovani gradijentni metod 

Konjugovani gradijentni metod postavili su R. Fletcher i C. M. Reeves 1964. 

Njihovom metodom se odredjuje pravac traženja (s) linearnom aproksimacijom - 

FC(z). Vrednost antigradijenta definiše pravac i smer iterativne promene funkcije cilja - 

minimizacije FC. Korekcija pravca se vrši na osnovu trenutne i prethodne vrednosti 

2 Antigradijent se karakteriše istim pravcem a suprotnim smerom od smera gradijenta i vodi ka minimumu 

funkcije za koju je izračunat gradijent. Termin antigradijent se koristi kod minimizacionih procedura.


gradijenta funkcije cilja FC, odredjivanjem težinskog faktora korekcije pravca k . 

Gradijent funkcije cilja u polaznoj tački z (0) je: 

(3.6.21) 

s 

(0) 

FC 

z 

Gradijent funkcije cilja u novoj tački z (1) je: 

0 

(1) 

 

s FC 

(0) 

1 s 

z 

1 

1 je skalarna vrednost težinskog faktora promene pravca i on se izračunava: 

 

T 

FC 

z 

1 

 

T 

FC 

z 

1 

 

0 

FC 

z 

FC 

z 

1 

 

0 

(3.6.22) 

(3.6.23) 

Procedura se završava kada je ispunjen uslov: 

 

s 

k 

< . (3.6.24) 

PROGRAM GRAD 

Glavni program GRAD 8, aktivira rad celog algoritma. U okviru njega se definišu početne nule 

zi(0), broj nezavisnih parametara N i način praćenja toka minimizacije (IPRINT=1 ceo tok 

minimizacije, IPRINT=2 samo rezultati). Potprogram MINI definiše Flecher-Reevs-ov algoritam 

minimizacije. Potprogram odredjuje težinske faktore promene (konjugacije) pravca. Ovim 

potprogramom se kontroliše tok minimizacije i daju izveštaji o situaciji zadatka u realizaciji. 

Potprogram CONVRG kontroliše stanje konvergencije i utvrdjuje promene funkcije cilja na kraju 

svakog iterativnog koraka. Potprogram SEARCH upotrebljen je za bezdimenziono traženje 

metodom zlatnog preseka. Potprogram FUN služi za definisanje funkcije cilja FC(zi). 

Potprogram DER služi za definisanje analitičkih izraza izvoda funkcije cilja Gi=dFC/dzi. 

PRIMER: 

Data je funkcija cilja C. F. Wood-a, WESTINGHOUSE RESEARCH LABORATORY 

(COLVILLE, IBM N. Y. Sci. Center Rept. 320-2949, June, 1968.): 

FC =100. z(2) - z(1) z(1) 2 + 1. - z(1) 2 + 90. z(4) - z(3) z(3) 2 + 1.-z(3) 2 + 

+ 10.1 z(2)-1. 2 + 10.1 z(4) - 1. 2 + 19.8 z(2) - 1. z(4) - 1. 

Polazna tačka: Z(1)o=-3. Z(2)o=-1. Z(3)o=-3. Z(4)=-1. FZ(o)=19.192 

REZULTAT: 

Vreme proračuna: T= 56 sec, Računar: PC 386 DX-40 MHz, Broj iteracija: N= 281 

Nadjen minimum funkcije: FC =0.26902E-08, 

Tačan minimum funkcije: FC = 0.0000000 

Optimalne vrednosti parametara: 

Tačne vrednosti parametara: 

Z(1)= 1.0000260 z(1)= 1.0000000


Z(2)= 1.0000520 z(2)= 1.0000000 

Z(3)= 0.9999724 z(3)= 1.0000000 

Z(4)= 0.9999447 z(4)= 1.0000000 

Slika C1.1 

Globalni koncept programa GRAD 

C LISTING PROGRAMA ZA BEZUSLOVNU MINIMIZACIJU FUNKCIJE CILJA 

C primenom konjugovanog gradijentnog metoda 8 

C Autori: R. FLETCHER - C. M. REEVES-a, COMPUTER J., 7:149(1964) 

C PROGRAM GRAD - gradijentni metod instaliran 1991. 

PROGRAM GRAD 

COMMON /ONE/ X(10),Y(10),S(10),FX,FY 

COMMON /THREE/ N,NFUNCT,NDRV,ITER,INDIC,IPRINT 

C Funkcija F(Z) data u potprogramu FUN.FOR a njeni izvodi u potprogramu DER.FOR. 

C Početne vrednosti X(1-N): 

X(1)= -3. 

X(2)= -1. 

X(3)= -3. 

X(4)= -1. 

N=4 

NFUNCT=0 

NDRV=0 

INDIC=1 

IPRINT=1 

CALL MINI 

STOP 

END 

C 

SUBROUTINE FUN(Z,FZ) 


DIMENSION Z(10) 

C Testiranje izvršeno na funkciji C. F. Wood, Westinghouse Research Laboratory 

C (Colville, IBM N. Y. Sci. Center Rept. 320-2949, June, 1968.). 

FZ=100.0 (Z(2)-Z(1) Z(1)) 2.+(1.-Z(1)) 2.+ 

A 90.0 (Z(4)-Z(3) Z(3)) 2.+(1.-Z(3)) 2.+ 

B 10.1 (Z(2)-1.) 2.+ 10.1 (Z(4)-1.) 2.+ 

C 

19.8 (Z(2)-1.) (Z(4)-1.) 

NFUNCT=NFUNCT+1 

RETURN 

END 

C


SUBROUTINE DER(Z,GZ) 

C Potprogram izvoda funkcije FZ, koji su označeni sa GZ. 

C Testiranje izvršeno na primeru M. J. D. Powell, Computer J., 5:147 (1962). 


DIMENSION Z(10),GZ(10),TM(10) 

TM(1)= Z(2)-Z(1) Z(1) 

TM(2)= 1.-Z(1) 

TM(3)= Z(4)-Z(3) Z(3) 

TM(4)= 1.-Z(3) 

TM(5)= Z(2)-1. 

TM(6)= Z(4)-1. 

GZ(1)=-400. Z(1) TM(1)-2. TM(2) 

GZ(2)= 200. TM(1)+20.2 TM(5)+19.8 TM(6) 

GZ(3)=-360. Z(3) TM(3)-2. TM(4) 

GZ(4)= 180. TM(3)+20.2 TM(6)+19.8 TM(5) 

NDRV=NDRV+4 

RETURN 

END 

C 

SUBROUTINE CONVRG(GY,IPASS) 



DIMENSION GY(10) 

XTOL=0.00001 

FTOL=0.00001 

GTOL=0.0001 

C Kontrola vrednosti funkcije. 

IF(ABS(FX).LE.FTOL) GO TO 10 

IF(ABS((FX-FY)/FX).GT.FTOL) GO TO 60 

GO TO 20 

10 IF(ABS(FX-FY).GT.FTOL) GO TO 60 

C Kontrola probne tačke. 

20 DO 40 I=1,N 

IF(ABS(X(I)).LE.XTOL) GO TO 30 

IF(ABS((X(I)-Y(I))/X(I)).GT.XTOL) GO TO 60 

GO TO 40 

30 IF(ABS(X(I)-Y(I)).GT.XTOL) GO TO 60 

40 CONTINUE 

C Kontrola gradijenta. 

DO 50 I=1,N 

50 IF(ABS(GY(I)).GT.GTOL) GO TO 60 

C Svi kriterijumi konvergencije su zadovoljeni. 

IPASS=1 

RETURN 

C Konvergencija nije ostvarena. 

60 IPASS=2 

RETURN 

END 

C 

SUBROUTINE MINI 

C Fletcher-Reeves, Metod konjugovanih pravaca, glava 3.3-2, literatura 8 


COMMON /TWO/ H(10,10),DELX(10),DELG(10),GX(10) 


ITER=0 

IRESET=N+1 

INDEX=IRESET 

C Vrednovanje polazne tačke.


CALL FUN(X,FX) 

CALL DER(X,GX) 

WRITE( ,2000) ITER,NFUNCT,NDRV,FX,(X(I),I=1,N) 

C Izračunavanje norme kvadrata gradijenta. 

10 SQNOR1=0. 

DO 20 I=1,N 

20 SQNOR1=SQNOR1+GX(I) GX(I) 

IF(INDEX.NE.IRESET) GO TO 50 

C Podešavanje pravca traènja prema negativnom gradijentu. 

30 IF(IPRINT.EQ.1) WRITE( ,2100) 

2100 FORMAT(' POTPROGRAM MINI: KORAK GRADIJENTA') 

INDEX=0 

DO 40 I=1,N 

40 S(I)=-GX(I) 

GO TO 70 

C Podešavanje pravca traženja korišćenjem norme kvadrata. 

50 DO 60 I=1,N 

60 S(I)=-GX(I)+S(I) SQNOR1/SQNOR2 

C Nalaženje sledeće tačke. 

70 CALL SEARCH 

C Provera da li je traženje bilo uspešno, ako nije preći na novi gradijent. 

IF(FY.GE.FX) GO TO 30 

CALL DER(Y,GX) 

INDEX=INDEX+1 

ITER=ITER+1 

CALL CONVRG(GX,IPASS) 

IF(IPASS.EQ.1) GO TO 90 

C Kriterijum konvergencije nije zadovoljen, traženje se nastavlja. 

IF(IPRINT.EQ.1) WRITE( ,2000) ITER,NFUNCT,NDRV,FY,(Y(I),I=1,N) 

C Sačuvati informacije za narednu etapu. 

DO 80 I=1,N 

DELX(I)=Y(I)-X(I) 

80 X(I)=Y(I) 

FX=FY 

SQNOR2=SQNOR1 

GO TO 10 

C Kriterijum konvergencije zadovoljen. 

90 WRITE( ,2000) ITER,NFUNCT,NDRV,FY,(Y(I),I=1,N) 

2000 FORMAT(1X,3I7,E16.8,(5E16.8)) 

RETURN 

END 

C 

SUBROUTINE SEARCH 

C Jednodimenziono traženje metodom zlatnog preseka, ver. 2, mod. 4. 


COMMON /TWO/ H(10,10),DELX(10),DELG(10),GX(10) 


DIMENSION Z(10),W(10),P(10),R(10),DIFF(10),SS(10) 

DATA F1/0.618033989/ 

C P=najstarija od zadnje tri tačke. 

C Z=srednja tačka. 

C W=tekuća tačka. 

NTRIES=0 

NTOL=0 

C TOL=norma kvadrata vektora W-Z potrebna za postizanje konvergencije. 

TOL=0.000001 

NTIMES=0 

C Koristiti parametar INDIC za odredjivanje razmere dužine vektora traženja. 

C INDIC=2 nema razmere, zdržati dužinu datu potprogramom MINI.


C INDIC=1 skratiti korak ako je dužina prethodnog koraka bila manja od dužine 

C trenutnog vektora traženja. 

C INDIC=sve osim 1 i 2 je skalirano po dužini zadnjeg koraka. 

IF(INDIC.EQ.2.OR.ITER.EQ.0) GO TO 4 

C Normalizacije dužine vektora traženja korišćenjem prethodnog koraka. 

DXNORM=0. 

SNORM=0. 

DO 2 I=1,N 

DXNORM=DXNORM+DELX(I) DELX(I) 

2 SNORM=SNORM+S(I) S(I) 

IF(INDIC.EQ.1.AND.DXNORM.GE.SNORM) GO TO 4 

DXNORM=SQRT(SNORM) 

SNORM=SQRT(SNORM) 

RATIO=DXNORM/SNORM 

DO 3 I=1,N 

3 SS(I)=S(I) RATIO 

GO TO 10 

C Zadržati integritet vektora formiranjem identičnog vektora i sa njim raditi. 

4 DO 5 I=1,N 

5 SS(I)=S(I) 

C Oblast minimuma u S pravcu. 

C Zadržati korak prema originalnoj tački. 

10 DO 20 I=1,N 

Z(I)=X(I) 

20 W(I)=X(I)+SS(I) 

FZ=FX 

NTIMES=NTIMES+1 

CALL FUN(W,FW) 

IF(FW-FZ) 30,70,50 

C Nastaviti traženje u istom pravcu. 

30 DO 40 I=1,N 

P(I)=Z(I) 

Z(I)=W(I) 

SS(I)=2. SS(I) 

40 W(I)=W(I)+SS(I) 

FP=FZ 

FZ=FW 



IF(FW-FZ) 30,70,120 

C FW.GT.FZ, odlluči da li je suprotan pravac traženja. 

50 IF(NTIMES.NE.1) GO TO 120 

C Suprotan pravac traženja. 

DO 60 I=1,N 

SS(I)=-SS(I) 

60 P(I)=W(I) 

FP=FW 

GO TO 10 

C FZ=FW, kontrola srednje tačke. 

70 DO 80 I=1,N 

80 R(I)=(Z(I)+W(I))/2. 


CALL FUN(R,FR) 

MIN=1 

IF(FR-FZ) 140,300,90 

90 IF(NTIMES.NE.2) GO TO 110 

C Suprotan pravac traženja. 

DO 100 I=1,N 

SS(I)=-SS(I)


100 P(I)=R(I) 

FP=FR 

GO TO 10 

C R i P u oblast Z i MINIMUM. 

110 DO 115 I=1,N 

W(I)=R(I) 

R(I)=Z(I) 

115 Z(I)=P(I) 

MIN=1 

FW=FR 

FR=FZ 

FZ=FP 

GO TO 140 

C P i W u oblasti Z i MINIMUM. 

120 DO 130 I=1,N 

R(I)=Z(I) 

130 Z(I)=P(I) 

MIN=1 

FR=FZ 

FZ=FP 

C Zlatan presek Z i W oblasti minimuma. 

140 WZNORM=0. 

DO 145 I=1,N 

DIFF(I)=W(I)-Z(I) 

145 WZNORM=WZNORM+DIFF(I) DIFF(I) 

IF(WZNORM.LT.TOL) GO TO 290 

146 DO 150 I=1,N 

SECT=F1 DIFF(I) 

P(I)=Z(I)+SECT 

150 R(I)=W(I)-SECT 

CALL FUN(P,FP) 


160 IF(FR-FP) 170,230,200 

C Zamena W sa P i P sa R. 

170 WZNORM=0. 

DO 180 I=1,N 

W(I)=P(I) 

P(I)=R(I) 


WZNORM=WZNORM+DIFF(I) DIFF(I) 

180 R(I)=W(I)-F1 DIFF(I) 

FW=FP 

FP=FR 



GO TO 160 

C Zamena Z sa R i R sa P. 

200 WZNORM=0. 

DO 210 I=1,N 

Z(I)=R(I) 

R(I)=P(I) 


WZNORM=WZNORM+DIFF(I) DIFF(I) 

210 P(I)=Z(I)+F1 DIFF(I) 

FZ=FR 

FR=FP 



GO TO 160


C FP=FR, kontrola srednje tačke. 

230 DO 240 I=1,N 

240 Y(I)=(P(I)+R(I))/2. 

CALL FUN(Y,FY) 

IF(FY-FP)250,340,270 

C P i R u oblasti minimuma (Y je ograničeno). 

250 DO 260 I=1,N 

Z(I)=R(I) 

W(I)=P(I) 

260 R(I)=Y(I) 

FZ=FR 

FW=FP 

FR=FY 

MIN=1 

GO TO 140 

C Nalaze se dva minimuma izmedju Z I W, neograničen skok u intervalu Y i W (uključujući P). 

270 DO 280 I=1,N 

280 Z(I)=Y(I) 

FZ=FY 

MIN=2 

GO TO 140 

C Oblasti minimuma su dovoljno male. 

290 GO TO (300,320),MIN 

C R je tačka u oblasti. 

300 DO 310 I=1,N 

310 Y(I)=R(I) 

FY=FR 

GO TO 340 

C P je tačka unutar oblasti. 

320 DO 330 I=1,N 

330 Y(I)=P(I) 

FY=FP 

340 CONTINUE 

DO 345 I=1,N 

345 IF(X(I).NE.Y(I)) GO TO 346 

GO TO 350 

346 IF(FY.GE.FX) GO TO 370 

IF(IPRINT.NE.1) RETURN 

IF(NTOL.NE.0) WRITE( ,3000) NTOL 

IF(NTRIES.NE.0) WRITE( ,3100) 

3000 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: TOLERANCIJA REDUKOVANA',I1,' PUTA') 

3100 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: DRUGI POKUSAJ') 

RETURN 

C Sadašnji nivo tolerancije ne omogućava nalaženje bolje ulazne tačke. 

C Tolerancija se redukuje faktorom 100. 

350 IF(NTOL.EQ.5) GO TO 360 

NTOL=NTOL+1 

TOL=TOL/100. 

GO TO 146 

C [tampa poruka. 

360 IF(IPRINT.NE.1) GO TO 376 

IF(NTRIES.NE.0) GO TO 375 

WRITE( ,2000) TOL 

2000 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: TOLERANCIJA BICE REDUKOVANA 5 PUTA', 

A 

B 

1X,' TEKUCA VREDNOST',E15.8,'.',/,1X,' BOLJA TACKA OD ULAZNE NE MOZE BITI 

NADJENA NA OVOM NIVOU TOLER. ',/,1X,' POLAZNA TACKA BICE VRACENA.') 

GO TO 376 

C FY.GT.FX, nalaženje oblasti isključenjem vrednosti Y. 

370 IF(NTRIES.EQ.0) GO TO 380

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – OPTIMIZACIJA (AUTORIZOVANA PREDAVANJA) 

11 

IF(NTOL.LT.5) GO TO 350 

375 WRITE( ,2100) 

WRITE( ,3000) NTOL 

2100 FORMAT(1X,'PP.SEARCH: PRONADJENA TACKA JE TAKVA DA JE FY ', 

A 1X,' VECA OD FX.',/,1X,' U SLEDECEM POKUSAJU TRAZENJA', 

B 1X,' TACKE FUNKCIJE',/,1X,'VREDNOVATI MANJE OD FX',1X,' NEDOVOLJNOG.') 

376 IF(S(I).NE.-GX(I).OR.(FY.LT.FX)) RETURN 

WRITE( ,2200) 

2200 FORMAT('PP. SEARCH: TRAZENJE NEUSPESNO SA KORAKOM GRADIJENTA.', 

A 1X,' POSAO PREKINUT.') 

WRITE( ,2300) ITER,NFUNCT,NDRV,FY,(Y(I),I=1,N) 

2300 FORMAT(1X,3I7,E16.8,(5E16.8)) 

STOP 

C Traženje oblasti u okolini X a sa suprotne strane od Y. 

380 NTRIES=1 

DO 390 I=1,N 

Z(I)=X(I) 

SS(I)=(X(I)-Y(I))/20. 

390 W(I)=X(I)+SS(I) 

FZ=FX 


IF(FW-FZ) 30,400,450 

C FZ=FW, kontrola srednje tačke. 

400 DO 410 I=1,N 

410 P(I)=(Z(I)+W(I))/2. 


IF(FP-FZ) 420,320,430 

C FZ.GT.FP i FW.GT.FP. W i Z prema oblasti. 

420 MIN=2 

GO TO 140 

C FP.GT.FZ, P u oblasti minimuma izmedju P i Y. 

430 DO 440 I=1,N 

440 W(I)=P(I) 

FW=FP 

C FW.GT.FZ, W u oblasti minimuma izmedju W i Y. 

C Kontrola srednje tačke Y i W. 

450 DO 460 I=1,N 

Z(I)=Y(I) 

460 P(I)=(Z(I)+W(I))/2. 

FZ=FY 

470 CALL FUN(P,FP) 

IF(FP.LE.FZ) GO TO 490 

C Ponovni pokušaj. 

DO 480 I=1,N 

Z(I)=P(I) 

480 P(I)=(W(I)+Z(I))/2. 

FZ=FP 

GO TO 470 

C P je po vrednosti različito od Y. 

C Kontrola da li P i W formiraju oblast. 

490 DO 500 I=1,N 

500 R(I)=(P(I)+W(I))/2. 


IF(FR.GE.FW) GO TO 560 

IF(FR.GE.FP) GO TO 520 

C P i W formiraju oblast. 

505 DO 510 I=1,N 

510 Z(I)=P(I) 

FZ=FP 

MIN=1 

GO TO 140 

C FR.LT.FW, FR.GE.FP, odatle traži vrednost ograničenu sa P i Z.


520 DO 530 I=1,N 

R(I)=P(I) 

530 P(I)=(P(I)+Z(I))/2. 

FR=FP 

540 CALL FUN(P,FP) 

IF(FP.LE.FZ) GO TO 490 

C FP.GT.FZ. Z je iste vrednosti sa Y. 

DO 550 I=1,N 

Z(I)=P(I) 

550 P(I)=(R(I)+Z(I))/2. 

FZ=FP 

GO TO 540 

560 IF(FR.LT.FP) GO TO 505 

C FR.GE.FP, R i W formiraju oblast. 

DO 570 I=1,N 

570 Z(I)=R(I) 

FZ=FR 

GO TO 146 

END 

METODA SENZITIVNOSTI 

Analiza senzitivnosti izračunava odnos promene kvantiteta strukturnih odgovora u odnosu na 

promenu nezavisno promenljivih dizajna. Koeficijent senzitivnosti je definisan kao odnos promene 

pojedinih kvantiteta odgovora r u odnosu na promenu dizajn promjenljivih X. Ovi koeficijenti 

su rešeni za pojedini dizajn koji je karakterisan vektorom dizajn promjenljivih X 0 dajući: 

r 

j 

 

ij 

 

0 gde i – predstavlja i-tu promenljivu dizajna, za j-ti odgovor 

X 

x 

i 

Sl.4 

Koeficijent senzitivnosti – grafička interpretacija 

Senzitivnosti se računaju za sve odgovore (TIP 1,TIP 2 i TIP 3) koji se koriste za definisanje 

funkcije cilja i zadržanih ograničenja.

13 

DR MIOMIR JOVANOVIĆ – OPTIMIZACIJA (AUTORIZOVANA PREDAVANJA) 

TIP1 – Odgovori koji se dobijaju direktno iz softvera – masa, pomeranja čvornih tačaka, 

naponi elemenata itd. 

TIP2 – r j 2 = f(X, C, R1, P, R2, XYZ) gde X, C, R1, P, R2, XYZ predstavlja vektore i 

promenljive dizajna, konstante, TIP1 odgovore, svojstva dizajna, TIP2 odgovore i 

položaje čvornih tačaka respektivno. 

TIP3 – r j 3 = f(X, C, R1, P, R2, XYZ, string). Dobijanje ove vrste odgovora može biti 

izvedeno nezavisno od softverskog paketa. TIP3 omogućava generalan put za 

sintezu odgovornih kvantiteta koji mogu upravljati dizajnom. 

Prvi izvod funkcije se može definisati kao: 

y ' 

f 

 

x 

x 

f x 

x 

Prenesimo to na naš slučaj: 

f 

' 

x 

x f x 

y x 

tj. 

r 

rj 

0 

X 

x 

0 

0 j 

X 

x1 

 

rjX 

 

x1 

1 

Ova jednačina predstavlja odgovore koji zavise od svojstava koja su linearne funkcije od dizajn 

promjenljivih. Ona ustvari prestavlja aproksimaciju promene u odgovorima tokom promene 

u dizajn promenljivoj. Aproksimacija za odgovore koji zavise od svojstava koji su nelinearne 

funkcije promjenljivih dizajna, može biti precizno određena sledećom relacijom. 

r 

j 

0 

0 

j 

0 

0 

X 

x 

 

r X 

 

P 

X 

x 

 

P X 

 

1 

j 

K 

r 

p 

K 

K 

i 

K

)1Z( 

)1Z( 


PREDAVANJE-12 


Optimalno projektovanje u mašinstvu 

Metode traženja fleksibilnim poliedrima 

Metoda Nelder-Mead (1964.), poznata kao metoda fleksibilnih poliedara, (savitljivih, gipkih poliedara) pokazala se 

efektivnom na zadacima bezuslovnih minimizacija, zbog dobre primenljivosti za računar. Zasniva se na formiranju 

lanca poliedara promenljivog pravca u smeru ekstremuma funkcije cilja FC(z). Ideja se može sagledati na slici, 

ispitivanjem dvodimenzionalnog prostora ravanskog problema: 

Slika 4.13 Osnovni poliedar i fleksibilni poliedar 

Polazne vrednosti promenljivih se proizvoljno usvajaju (z 1 , z 2 , n=2). Položaj tačke 2 i 3 odredjuje se na podjednakom 

rastojanju od tačke 1 tako da je formiran jednakostraničan trougao, zadate stranice t. Na ovaj način je formiran osnovni 

poliedar sa 3 čvora a kod n-dimenzionog problema, broj čvorova poliedra je (n+1). Na osnovu ove tri tačke, formiran je 

trougao (sa temenima 1-2-3), koji u opštem slučaju n-dimenzionog problema je poliedar. 

Za kretanje ka ekstremumu formiraju se još dve tačke: težište trougla T (opšteg indeksa n+2) i preslikana tačka B 

(opšteg indeksa n+3). Tačka B dobija se preslikavanjem jednog od čvorova poliedra (A=1, 2, 3) kroz njegovo težište T. 

Izbor čvora iz koga se vrši preslikavanje nije slučajan i zavisi od vrednosti funkcije cilja u čvorovima poliedra 

FC (1) , FC (2) , ... , FC (n+1) . Izbor transformacije preslikavanja je takav da novodobijena tačka B (u opštem slučaju 

indeksa n+3) daje manju vrednost funkciji cilja FC (n+3) od vrednosti funkcija FC u tačkama prethodnog poliedra. 

Realizacija algoritma zahteva definisanje kriterijuma po kome se nalazi pravac preslikavanja. Taj kriterijum je 

uspostavljen na osnovu vrednosti funkcije cilja FC u (n+1) osnovnih tačaka poliedra. Naime, ako se indeksom k označi 

broj iteracije (simpleksa), tada se najpre odredjuje najmanja i najveća vrednost funkcije cilja u poliedru. Tako se nalazi 

vrednost nezavisnih parametara Z H za koje u k-tom poliedru dobijamo najveću vrednost funkcije cilja FC (ZH) 

(k) i Z L 

koja daje najmanju vrednost funkcije cilja FC (ZL) 

(k) : 

 

 

)1 

 

 

)k( )k( )k( )k( 

FCmax 

( ZH ) 

 

, FC 

)2Z( 

,..., FC, 

( Zn 

)k( )k( )k( )k( 

FCmin 

( ZL ) 

 

, FC 

)2Z( 

,..., FC 

( Zn )1 

(4.6.32)


Koordinate težišta k-tog poliedra (n+2) za svaki nezavisni parametar J je: 

)k( 1 

1n 

)k( )k( 

(4.6.33) 

z 

J,2n z z, (J-1=n), 

2 

 

J,I 

J,H 

I1 

 

Preslikavanje tačke A u tačku B (tačka n+3) daje manje vrednosti funkcije cilja FC(z). Postupak preslikavanja se izvodi 

kroz sledeće četiri transformacije: 

1. REFLEKSIJA 

Ovom operacijom se vrši preslikavanje čvora (temena) poliedra u pravcu vektora kroz njegovo težište (z n +2) na 

rastojanju proporcionalnom koeficijentu refleksije , (preporučeno: =1.0): 

2. EKSPANZIJA 

)k( )k( 

n3 z 

n2 

 

)k( )k( 

z 

 

n2 

 

z 

H 

z (4.6.34) 

U slučaju da je FC(z n+3 

(k) ) FC(ZL) (k) , proba se produženje vektora TB (zn+2 (k) - z n+3 

(k) ) sa ekspanzionim 

koeficijentom (3.02.8): 

)k( 

 

)k( 

n4 

z 

n2 

 

)k( 

)k( 

z 

 

n3 

 

z 

n2 

z (4.6.35) 

Ukoliko je FC(z n+4) 

(k) FC (ZL) 

(k) , uslov kretanja ka minimumu je ispunjen a ekspanzijom je poboljšan minimum. 

Procedura se nastavlja eliminacijom čvora z H i uvodjenjem čvora z n+4 

(k) u novi poliedar (k+1). 

3. SABIJANJE (KONTRAKCIJA) 

Može se desiti da za sve vrednosti nezavisnih parametara (I) u istom poliedru (k), bude vrednost funkcije cilja u tački 

(n+3) (dobijena refleksijom) veća od vredosti u ostalim tačkama (I, IH): FC(z n+3) 

(k) > FC (ZI) 

(k) , U tom slučaju se 

mora izvršiti sabijanje (jer se manja vrednost FC nalazi na kraćem rastojanju od preslikavanja definisanog 

refleksijom). U tom slučaju skraćuje se vektor izmedju tačaka (H) i (n+2) posredstvom koeficijenta kontrakcije , 

( 0

)1k( 


METODA FLEKSIBILNE TOLERANCIJE 

Tehnički zadaci projektovanja optimalnih konstrukcija definišu se funkcijom cilja FC (z) a u prisustvu različitih 

ograničenja. Ograničenja mogu biti linearne i nelinearne funkcije tipa jednačina H I(z) i nejednačina G I(z) . Tada se opšti 

zadatak uslovljenog nelinearnog programiranja može definisati: 

Minimizirati FC(z), zE n , 

Sa ograničenjima u vidu jednačina HI = 0, I=1, 2, 3,..., m, (4.6.39) 

Sa ograničenjima u vidu nejednačina GI 0, I=m+1,..., p. 

Metod fleksibilne tolerancije definiše tri osnovna prostora: 

1. Dopustiv prostor (A), u kome su zadovoljena sva ograničenja G I i H I . 

2. Tolerantni prostor (B), širi od dopustivog za izračunatu vrednost dopustivog odstupanja od dozvoljenog 

prostora - tolerancije (k) . 

3. Nedopustiv prostor (C). 

Slika 4.14 

Tri osnovna prostora u metodi fleksibilne tolerancije 

PROCEDURA: U dopustivom A i tolerantnom prostoru B, minimizacija FC(z) se izvodi primenom 

prethodno opisane metode Nelder-Mead-a, korišćenjem poliedara promenljive metrike. Za 

izvodjenje minimizacije u prisustvu ograničenja HI i GI formiran je tolerantni prostor, širih 

granica od dozvoljenog prostora. Položaj granica tolerantnog prostora odredjen je u odnosu 

na granice dopustivog prostora, vrednostima kriterijuma tolerancije (k) u svakom koraku 

iteracije (poliedru) k: 

t 

m 

z (k) I,J 

 

 

 

 

 

)k( 

 

1+m 

 

r 1 )k( )k( 

, z( 

1In 

1J 

 

2 

J,I 

z) 

1+r rJ,2 

 

min (4.6.40) 

- početna vrednost strane poliedra, 

- indeks broja uslova tipa jednakosti, 

- vektor I-tog čvora poliedra, J-tog parametra u k-tom poliedru, 

z r+2,J 

(k) - vektor težišta poliedra (r+2), J-tog parametra u k-tom poliedru, 

(0) 

(k-1) 

- početni kriterijum tolerancije (k=0), 

- kriterijum tolerancije u prethodnoj iteraciji (poliedru).


Kriterijum tolerancije je promenljiv. Relacijom (4.6.40) je uslovljeno njegovo neposredno smanjenje, pa je: 

(0) (1) (2) .... (k-1) (k) 0 (4.6.41) 

Prekoračenje dopustivog prostora T (z) definiše se na bazi funkcionala vrednosti funkcija ograničenja: 

m p 

T 

2 

 

2 

)z( H )z(I UI 

G )z(I 

I1 I 

1m 

(4.6.42) 

Heaviside-ov operator se definiše: U=0, za G I(z) 0 i U=1, za G I(z)

)H,D(1 


Slika 4.20 Primer: Model rama za optimizaciju sopstvene mase 

 

2 

E 

Imin 

Kritična sila izvijanja zglobno oslonjenog i pritisnutog štapa: FKRIT 

l 

2 

Aproksimativna vrednost momenta inercije i površina preseka štapa: 

I 1 

3 

min 

( D t) 

t, 

A0 

 

8 

P PH( 

2 

R) 

2 

Sila u štapu rama: F0 

 

cos( ) 

H 

D 

t 

t 

Funkcija cilja: FC tD2LA2 

22 

.1)RH( 5372 

2 

)H,D( 0 

.0H(D 

)5806 

Ograničenje napona pritiska u štapu je maksimalni napon izvijanja: 

G)H,D(1 

F F 

 

KRIT 0 

KRIT 0 0 

A0 

A0 

2 

)tD(E 

2 

PHR 

22 

 

G 

0 

R(8 

22 

)H 

)tD( tH 

15597 

2 

255376014 .0D( 

)003 

2 .0H( 5806 ) 

G)H,D(1 

0 

.0 5806 H 

2 HD 

Preostale dve funkcije ograničenja definišu dopustivu oblast visine H: 

G)H,D(2 

G)H,D(3 

H MAX H.1 15 H,0 

HH MIN H.0 50 

Ovako formulisan zadatak može se rešiti i grafički u 2D prostoru, iscrtavanjem kriva funkcije cilja u oblasti 

rešenja (FC=0.0500.200) i kriva funkcija ograničenja G 1 , G 2 , G 3 . Naime, presek kriva konstantnih vrednosti 

funkcije cilja (FC=const.) i funkcija ograničenja definiše ograničenu oblast rešenja. Najmanja vrednost funkcije cilja u 

tom prostoru odredjuju vrednosti optimalnih parametara posmatranog zadatka. Rešenje zadatka je pokazano na sl. 4.21.


Približna rešenja su: FC = V min = 0.0635 m 3 = FC min , nezavisno-promenljivi parametri optimizacije su: D = 

0.04375 m, H = H min = 0.50 m. Proračun i grafička interpretacija je izvršena na PC 386/40, pošto su u FORTRAN-u 

napisani programi za osnovne izraze FC i Gi. Dobijene datoteke funkcija su numerički vrednovane i grafički 

interpretirane na monitoru. Sa slike su očitane optimalne vrednosti. 

Slika 4.21 Grafička interpretacija rešenja primera optimizacije mase rama

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ – CAD tehnologije II 

OPTIMIZACIJA -PRIMER 

2008. – 2009. 

OPTIMIZACIJE METODOM SENZITIVNOSTI 

MSC NASTRAN FOR WINDOWS 2004 

ZADATAK: FEM - OPTIMIZACIJA MASE KONZOLE 

Pronaći debljinu ploče, prikazane na sl.1, tako da konstrukcija ima minimalnu masu. Konstrukcija 

2 

je izradjena od čelika ( σ doz = 20 KN / cm ). Maksimalni dozvoljeni ugib vrha konzole je ±50 mm. 

Konstrukcija je opterećena transverzalnom silom od 5000 N. 

200 mm 

1000 mm 

400 mm 

Program NASTRAN ima sledeći HDI: 

Slika 1. 

Oblik forme za unos karakteristika materijala 

dat je na sledećoj slici: 

Za postavljeni zadatak nije potrebno prvo 

modelirati CAD model jer je on male složenosti 

geometrije pa se mreža FEA modela može 

modelirati postupno bez početnog CAD modela. 

Izradu FEA modela počinjemo definisanjem 

materijala i definisanjem karakteristika 

konačnog elementa. Definisanje materijala 

ostvarujemo pozivanjem iz meni 

bar-a sledeće opcije: 

Izborom opcije Load biramo iz baze materijala 

ugljenični čelik (Carbon Steel u SI sistemu).


Potvrdimo izbor materijala (ok). Dobijamo: 

Nakon definisanja materijala potrebno je 

definisati tip i karakteristike konačnog elementa 

tipa ploče. Definisanje tipa i karakteristika 

konačnog elementa ostvaruje se preko Property 

naredbe u menu bar-u Model/Property. 

Prvo je potrebno preko tastera 

Element/PropertyType izabrati tip konačnog 

elementa. Biramo ravanski konačni element tipa 

ploče (Plate). Potvrdjivanjem izbora vraćamo 

se na prethodnu formu za definisanje 

karakteristika tipa konačnog elementa. Potrebno 

je asocirati materijal elementa (1.Carbon 

Steel_SI), početnu debljinu ploče (0.2 m) i naziv 

property-a (plate). Navedena polja unosa su 

označena crvenim tačkama). 

Nakon definisanja materijala i property-a može 

se pristupiti modeliranju mreže konačnih 

elemenata. Prvo je potrebno definisati krajnje 

čvorove ploče izmedju kojih će biti napravljena 

mreža konačnih elemenata. Definisanje čvorova 

ostvaruje se naredbom iz menu bar-a 

Model/Node.


Korišćenjem narednog menija potrebno je uneti 

sledeće koordinate čvorova: 

N1: x=0; y=0; z=0 

N2: x=1; y=0; z=0 

N3: x=1; y=0.4; z=0 

N4: x=0; y=0.4; z=0 

Na gore prikazanoj formi potrebno je 

selektovati property, ivične čvorove (čvorovi 1, 

2, 3, 4) kao i uneti ukupni broj čvorova po 

pravcima (11 i 5). 

Na radnoj površini ekrana pojaviće se definisani 

čvorovi. Postojeća numeracija čvorova biće 

vidljiva ukoliko se u opciji za vizuelizaciju 

sadržaja (funkcijski taster F6) selektuju opcije 

kao na sledećoj slici (Labels, entities and 

Color/Node/ID). 

Na ovaj način smo dobili mrežu konačnih 

elemenata koja nije pravilna jer ima četri ivična 

čvora koji nisu deo mreže. Da bi pridružili te 

čvorove mreži koristimo opciju za proveru 

koicidentnih čvorova (menu bar 

Tools/Check/CoincidentNodes). 

Definisanje mreže izmedju definisanih čvorova 

ostvaruje se opcijom iz menu bara 

Mesh/Between.

Izborom ove opcije softver traži da selektujemo 

čvorove za koje će vršiti proveru. 


to je softver predvideo ovu mogućnost i 

definisao grupu opterećenja. To znači da je prvo 

potrebno definisati grupu opterećenja za koju će 

biti asocirana sva opterećenja za ovu analizu. To 

se postiže izborom opcije u meni baru 

Model/Load/Set. 

Biranjem opcije Select All vršićemo proveru za 

sve čvorove. Softver postavlja pitanje da li 

želimo i da postavimo neke dopunske uslove za 

spajanje (merge) bliskih čvorova. U ovom 

slučaju biramo opciju No, jer će mo proveru 

vršiti samo na osnovu distance izmedju čvorova. 

U sledećoj formi softver nam nudi i dodatne 

opcije. Ovde je potrebno uneti vrednost od 

0.0001 (1E-4), koja predstavlja maksimalno 

dozvoljeno rastojanje izmedju dva čvora da bi ih 

softver smatrao jednim čvorom, i opciju Merge 

Coincident Entities. 

Nazovimo ovu grupu opterećenja jednostavno 

"5x1000N i g" što će nas asocirati na intezitet i 

vrstu opterećenja. 

Softver će nakon izvršenja predhodne akcije 

prijaviti u Messages and List prozoru da je 

spojio 4 čvora sa ostalim čvorovima. 

Orjentacija modela na radnoj površini ekrana 

vrši se pomoću opcije u meni baru View/Rotate 

(ili funkcijski taster F8). 

Opterećenje se sastoji iz koncetrisanih sila u 

čvorovima konstrukcije i od opterećenja 

gravitacionih sila. Definisanje koncetrisanih sila 

u čvorovima konstrukcije se ostvaruje preko 

opcije menu bar Model/Load/Nodal. 

Postaviti model u dimetrijski (dimetric) položaj. 

Za definisanu mrežu konačnih elemenata 

potrebno je definisati i opterećenja i oslanjanje. 

Kako jedana te ista mreža konačnih elemenata 

može biti opterećena na različite načine, u 

zavisnosti od analize i slučaja koji se analizira,

Potrebno je selektovati čvorove u kojima želimo 

da postavimo koncentrisano opterećenje (crvene 

tačke na sledećoj slici): 


Definisanje opterećenja od sopstvene težine se 

vrši unosom vrednosti ubrzanja preko opcije u 

meni baru Model/Load/Body. 

Nakon izvršene selekcije otvara se dijalog box 

za unos pravca i inteziteta opterećenja. Potrebno 

je za opciju Force uneti intezitet sile u "z" 

pravcu veličine -1000N. 

Nako izbora potrebno je uneti vrednost ubrzanja 

zemljine teže od -9.81 u "z" pravcu (videti 

orjentaciju modela u odnosu na koordinate). 

Definisanje oslanjanja takodje podrazumeva 

definisanje grupe ograničenja. To postižemo 

izborom opcije u meni baru 

Model/Constraint/Set. 

Po završetku unosa koncentrisanih sila program 

će prikazati vektore opterećenja. 

Nazovimo ovu grupu "Uklještenje".

Za definisanje uklještenja u čvorovim modela 

potrebno je izabrati opciju u Model/ 

Constraint/Nodal. 


Definisanje funkcije cilja (minimum mase), 

zahteva navodjenje optimizacionih promenljivih 

(drbljina ploče) i ograničenja (maksimalan ugib 

vrha konzole i dozvoljen napon u materijalu). 

U delu za definisanje funkcije cilja, potrebno je 

definisati maksimalni broj ciklusa optimizacije. 

Kako je postavljeni model male složenosti i ne 

zahteva veće angažovanje procesora pri 

rešavanju definisano je maksimalno 100 

iteracija numeričkog procesa. Box: 

Uklještnje se ostvaruje ograničavanjem svih šest 

sloboda kretanja čvorovima modela prikazanim 

na donjoj slici crvenom bojom. 

U delu za definisanje konstruktivnih 

promenljivih potrebno je definisati Attribute: 

Plate Thickness (debljina ploče). 

Nakon selekcije čvorova optrebno je odabrati 

opciju Fixed čime su iključene translacije i 

rotacije iz vektora nepoznatih pomeranja: 

. 

Pozivanje optimizacionog modula ostvaruje je 

se komandom Model/Optimization 

U polju za Property potrebno je uneti "1" što je i 

broj property-a ploče kojom je definisana 

mreža. Osim ovih vrednosti potrebno je uneti i 

granične vrednosti promenljive kao i 

maksimalnu dozvoljenu promenu promenljive 

izmedju dve iteracije. Recimo: 

δ max = 0.5 m 

δ min = 0.001 m 

Δ = 5%


U polju za response potrebno je odabrati 

odabrati Plate: Von Mises Stress. 

U polju property broj property-a ploče je (1). 

Maximum i minimum su maksimalne i 

minimalne dozvoljene vrednosti ovog parametra 

(+200 000 000 i -200 000 000 N/m 2 ). Predzanak 

uporednog napona je obavezan (pozitivna 

vrednost je za napone sa gornje strane ploče a 

negativne za vrednosti sa donje strane ploče). 

U delu za definisanje promenljivih stanja 

projektovane geometrije (ograničenja), potrebno 

je definisati dve veličine: ugib vrha konzole i 

maksimalni uporedni napon. Pomeranje vrha 

konzole se definiše na sledeći način: 

Ovim je definisan FEA optimizacioni model. 

Solver za optimizaciju zadatka se pokreće iz 

opcije Analyze u meni baru. 

U polju za response potrebno je odabrati 

odabrati Node: Z Displacement što je 

pomeranje u transverzalnom pravcu. 

U polju node broj čvora čije pomeranje 

ograničavamo. To je bilo koji čvor vrha 

konzole. Maximum i minimum su maksimalne i 

minimalne dozvoljene vrednosti ovog parametra 

(+0.05 i 0.05 m): 

U polju za tip analize potrebno je odabrati 

Design optimization analizu. U poljima za 

opterećenje i oslanjanje treba navesti grupe 

opteraćenja i oslanjanja koje su kreirane. 

Pokretanje solvera ostvaruje se nalogom Ok. 

Ograničenje maksimalne vrednosti uporednih 

(Von Mises) napona.

NASTRAN pre početka svakog rešavanja traži 

od korisnika da snimi model: 


Prikaz toka iteracija putem dijagrama ostvaruje 

se izborom opcije xy of Function i biranjem 

komande Model Data gde se 

Na sledećoj slici prikazan je prozor solvera u 

kome on daje korisniku osnovne podatke o toku 

rešavanja zadatog problema. 

zadaju veličine koje se prikazuju na dijagramu 

(npr. EXACT DESIGN OBJECTIVE što 

predstavlja egzaktnu vrednost funkcije cilja): 

Ukoliko je rešenje uspešno NASTRAN neće 

prijaviti nijednu FATAL-nu grešku. 

Pregled nađenih rešenja - rezultata optimizacije 

ostvaruje se izborom opcije Select u meni baru. 

Promena funkcije cilja u funkciji procesa 

iteriranja, dat je na sledećoj slici: 

Rezultati optimizacije mogu se prikazati na više 

načina: 

• Preko dijagrama (pregled promena funkcije 

cilja i konstruktivnih parametara u funkciji 

toka iteracija), 

• Grafičim prikazima napona i deformacija 

optimalnog rešenja, 

• Tekstualnom prikazom toka optimizacije i 

mehaničkih veličina optimalnog rešenja. 

Ukoliko želimo da na grafiku vidimo vrednosti 

funkcije cilja kao i opis dijagrama, potrebno je 

podesiti parametre prikaza - selektovati opciju 

View options (funkcijski taster F6).


Promena debljine ploče u toku iteracija se može 

prikazati dijagramom, izborom opcije Prop1: 

Thickness. 

U opciji XY titles upisati "Optimizacija" "mase 

konzole" a u opciji XY Curve1 selektovati opcije 

kao na sledećoj slici (Postprocessing/XY 

Curve1/Output Value i Lines with Points). 

Procenjena greška u svakoj iteraciji može se 

prikazati izborom opcije Frac error of approx. 

Na dijagramu će biti prikazane iteracione tačke 

kao i vrednost funkcije cilja.


koje želimo da prikažemo preko deformacije 

modela a preko opcije Contour biramo veličine 

koje želimo da prikažemo u vidu boja i čija se 

vrednosti može i numerički prikazati u prostoru 

modela. 

Kao što je rečeno, NASTRAN u okviru 

optimizacije zadržava i vrednosti napona i 

deformacija za optimalno rešenje. Ruleri koji se 

nalaze na ekranu pri prikazu modela mogu se 

ukloniti iz radnog prostora biranjem opcija kao 

na sledećoj slici (View/Options). 

Na sledećoj slici prikazano je ukupno 

pomeranje modela. 

Za pregled rezultata statičke analize potrebno je 

selektovati opciju Deformed and Contour Data 

Za predstavljanje rezultata TEKSTUALNIM 

PRIKAZOM, numeričkim vrednostima, 

potrebno je odabrati opciju List/Destination u 

meni baru. 

Na sledećoj formi se vrši izbor veličina koje 

želimo prkazati. Prvo je potrebno izabrati 

Output set. Kako je izvršena sam jedna analiza 

to postoji i samo jedan Output set. U Output 

vectors razlikujemo dva parametra koja treba 

izabrati. U opciji deformation biramo veličine 

Ova opcija nam omogućava da asociramo 

tekstualni fajl u kojem će biti upisani podaci. 

Potrebno je selektovati opciju File i opcijom 

Select File odrediti mesto gde želimo snimiti, za 

sada još uvek prazan, fajl.


Pri odabiru ove opcije softver traži da 

selektujemo output set za koji želimo da 

kreiramo listing. U ovom slučaju postoji samo 

jedan output set. 

Za odabir načina prikazivanja listinga kao i 

veličina koje želimo prikazati postoji veći broj 

opcija. Za prikaz rezultata optimizacije potrebno 

je selektovati opciju Model/Function (rezultati 

toka optimizacije su predstavljeni u obliku 

funkcija). 

Na sledećoj formi potrebno je uneti zaglavlje 

rezultata koji će odvajati ovaj deo listinga od 

ostalog dela. Pod opcijom Summaries Only 

rezultati će biti prikazani u skraćenom vidu 

(minimalna i maksimalna vrednost). Potrebno je 

selektovati i koje rezultate želimo prikazari (npr. 

Nastran Displacement). 

Selektovanjem svih funkcija softver će veličine 

vezane za selektovane funkcije snimiti u 

tekstualni fajl. 

Potebno je još selektovati koje elemente ili 

čvorove će softver uzeti u obzir pri kreiranju 

izveštaja. 

Rezultate statičke analize optimalnog modela 

možemo prikazati na više načina. Jedan od njih 

je korišćenjem standardnog načina ispisa (List/ 

Output/Standard). 

Primer listinga i optimizacionih dijagrama dati 

su na sledećim stranama.

Function 1 - APPR DESIGN OBJECTIVE 

Type: Dimensionless Num Matl: 0 Num Load: 0 

X Y 

1. 503.177 

2. 402.48 

3. 321.985 

4. 257.572 

5. 206.095 

6. 164.831 

7. 131.908 

8. 101.223 

9. 69.7751 

10. 55.309 

11. 56.387 

12. 56.3881 

Function 2 - EXACT DESIGN OBJECTIVE 


X Y 

0. 628.984 

1. 503.187 

2. 402.55 

3. 322.04 

4. 257.632 

5. 206.106 

6. 164.884 

7. 131.927 

8. 101.215 

9. 69.7659 

10. 55.3179 

11. 56.3881 

12. 56.3881 

Function 3 - FRAC ERROR OF APPROX 


X Y 

1. -0.000021045 

2. -0.00017323 

3. -0.0001719 

4. -0.0002317 

5. -0.000051972 

6. -0.00032704 

7. -0.00014886 

8. 0.000080051 

9. 0.00013112 

10. -0.00016019 

11. -0.000018672 

12. 0. 

Function 4 - MAX VALUE OF CONSTRAINT 


X Y 

0. 0. 

1. 0. 

2. 0. 

3. 0. 

4. 0. 

5. 0. 

6. 0. 

7. 0. 

8. 0. 

9. -0.33746 

10. 0.039108 

11. 0.0010931 

12. 0.0010931 

Function 5 - Prop 1: Thickness 


X Y 

0. 0.2 

1. 0.16 

2. 0.128 

3. 0.1024 

4. 0.08192 

5. 0.065536 

Function 6 - Design Objective 


X Y 

0. 628.984 

1. 503.187 

2. 402.55 

3. 322.04 

4. 257.632 

5. 206.105 

6. 164.884 


7. 131.927 

8. 101.215 

9. 69.7659 

10. 55.3179 

11. 56.3881 

12. 56.3881 

Function 7 - Max Value of Constraint 


X Y 

0. 0. 

1. 0. 

2. 0. 

3. 0. 

4. 0. 

5. 0. 

6. 0. 

7. 0. 

8. 0. 

9. -0.33746 

10. 0.039108 

11. 0.0010931 

12. 0.0010931 

Function 8 - Prop 1: Thickness 


X Y 

0. 0.2 

1. 0.16 

2. 0.128 

3. 0.1024 

4. 0.08192 

5. 0.065536 

6. 0.052429 

7. 0.041949 

8. 0.032184 

9. 0.022184 

10. 0.01759 

11. 0.01793 

12. 0.01793 

MSC/NASTRAN for Windows Version 6.00 

Sun 

Dec 12 16:54:03 2004 

Model : C:\Documents and Settings\Predrag\Desktop\NASTRAN 

optimizacija\NASTRAN\optimizacija ploce.MOD Report : Node 

Format : NASTRAN Displacement 

Title : Optimizacija mase konzole 




Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value 

T1 Translation Minimum 1 4 0. 






R1 Rotation Minimum 1 7 -0.0035829 

Maximum 1 51 0.0035829 


Maximum 1 13 0.042612 




Final MAX/MIN Summary Table Set ID Value 







R1 Rotation Minimum 1 7 -0.0035829 

Maximum 1 51 0.0035829 


Maximum 1 13 0.042612 



...


629. 

Opimizacija debljine 

l 

595 

2 

561 

5 

527 

7 

494 

460 

3 

426 

5 

392 

8 

359 

325 

3 

291 

5 

257 

8 

224 

190 

3 

156 

6 

122 

8 

89 

503 

2 

402 

5 

322 

257 

6 

206 

1 

32 39 39 

0. 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12 

EXACT DESIGN 

OBJECTIVE 

164 

9 

131 

9 

101 

2 69. 

77 

Dijagram promene funkcije cilja (mase konstrukcije) u toku iterativnog procesa. 

55. 

56. 

56. 

0.2 

0.2 

opimizacija 

debljine ploce 

0.189 

0.179 

0.168 

0.157 

0.16 

0.146 

0.136 

0.125 

0.128 

0.114 

0.103 

0.102 

0.0927 

0.082 

0.0819 

0.0712 

0.0605 

0.0498 

0.039 

0.0283 

0.0176 

0.0655 

0.0524 

0.0222 

0.0176 0.0179 0.0179 

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 

Prop 1: Thickness 

0.0419 

0.0322 

Dijagram promene debljine ploče u toku iterativnog procesa.

0.000131 

0.000104 

0.0000772 


opimizacija 

debljine ploce 

0.0000801 

0.000131 

0.0000503 

0.0000233 

-3.63E-6 

-0.000021 

0.0000306 

0.0000575 

-0.000052 

-0.0000187 

0. 

0.0000845 

-0.000111 

-0.000138 

-0.000165 

-0.000173 -0.000172 

-0.000149 

-0.00016 

-0.000192 

-0.000219 

-0.000246 

-0.000232 

-0.000273 

-0.0003 

-0.000327 

-0.000327 

1. 1.917 2.833 3.75 4.667 5.583 6.5 7.417 8.333 9.25 10.17 11.08 12. 

FRAC ERROR OF APPROX 

Dijagram greške u toku iterativnog procesa. 

V1 

L1 

C1 

Z 

Y 

5 

123456 

16 

123456 

6 

7 

X 

Output Set: MSC/NASTRAN Case 1 

Deformed(0.0309): Total Translation 

Contour: Total Translation 

27 

123456 

17 

8 

38 

123456 

18 

28 

9 

19 

4 

123456 

29 

39 

10 

20 

30 

40 

11 

50 

21 

31 

41 

12 

51 

22 

32 

42 

13 

52 

23 

1000. 

33 

43 

14 

53 

24 

34 

44 

1000. 

15 

54 

25 

35 

45 

55 

1000. 

26 

36 

46 

56 

1000. 

37 

47 

57 

1000. 

48 

58 

59 

0.0309 

0.029 

0.027 

0.0251 

0.0232 

0.0212 

0.0193 

0.0174 

0.0155 

0.0135 

0.0116 

0.00966 

0.00773 

0.00579 

0.00386 

0.00193 

0. 

Ukupno pomeranje čvorova konzole

Dr Miomir Jovanović – ZAVRSNI ISPIT CAD (autorizovana predavanja) 1 

PREDAVANJE 13-14 


Priprema završnog ispita 

 

 

 

 

UtvrĎivanje ispitnih sadrţaja, 

Obnavljanje materije, 

Priprema usmenog ispita. 

Probni test. 

“Sistem 80” 

SPISAK ISPITNIH PITANJA IZ PRERDMETA 

PROJEKTOVANJE RAČUNAROM - CAD 

1. Definisati pojam layout-a, korisničkog interfejsa i windows-a : 

2. Navesti grafičke tipove prikaza 3D objekata po sloţenosti i kvalitetu: 

Ţičani model, Poboljšani ţičani model (Enchanced ruled line model), površinski model (Surfaced model), 

Zapreminski model (Solid model). 

3. Navesti tehnike za poboljšanje grafičke predstave objekta: 

Poboljšanja: Metoda korišćenja skrivenih linija (Hidden line display), 

Prikaz poligonalnom ispunjenošću (Filled polygon display), 

Tehnika senčenja: Metoda proste - jednake osvetljenosti poligona (Constant shading), 

Metode glatke promene senke (Smooth shading), 

Metoda detaljne obrade svetlosti: mapa neravnina, senke od okolnih objekata (Phong shading). 

4. Navesti tehniku apstraktnog vizuelnog prikaza geometrijskog sadrţaja 

Centralna i paralelna perspektiva, stereo model ( Phong – Stereo Shading ), Filteri: (Blur, sharp, render) 

5. Prikazati Boole-ovu operaciju unije dva koaksijalna valjka različitog prečnika. 

6. Prikazati Boole-ovu operaciju diferencije prizme i prizme: 

7. Koji su osnovni prostori u kompjuterskoj grafici 

Prostor fizičkih koordinata WCS, normalizovanih koordinata NCS, prostor ureĎaja za prikaz DCS. 

8. Šta je view Šta prikazuje view u tehničkoj dokumentaciji: Pogled na objekat. Prikazuje proekcije u 

dokumentaciji. U op. sistemu Windows predstavlja pogled u odreĎenu aplikaciju, program, datoteku. 

Projekcija prostornog modela na projekcionu ravan (Front Wiew, Top Wiew, Right wiew, Left Wiew,..) a u 

specificiranom pravcu. Pogled je klasifikovan prema načinu dobijanja i moţe biti ortogonalnog tipa, 

aksonometrijskog tipa (korišćeni u mašinstvu) i tipa perspektive (korišćen u arhitekturi). 

9. Navesti dva standardna formata meta-datoteka. Navesti dva tipična modela boja. Navesti tri atributa fonta: 

WMF (windows meta file), CGM (Computer Graphics Metafile), JPG (Joint Photographers Experts Group). 

GIF - Compu Serve Graphics Interchange Format . Popularni BBS format koji kombinuje prikaz indeksirane kolor 

grafike i hipertekst za HTML dokument. 

10. Navesti sadržaj scene u kompjuterskoj grafici. Navesti jednu jednačinu B-splajna. 

Sadrţaj scene: Objekti, scena, pozadina, izvori svetlosti, tačka pogleda na scenu. 

11. Navesti smisao tehnika prikaza: shading. Navesti smisao tehnika prikaza: hidden. Navesti smisao tehnike 

antialias. Prikazi modela senčanjem, obradom skrivenih linija, obradom zrnastih ivica linija.


12. Grafički prikazati Construct Parametric skinned solid tri uzastopna, medjusobno zarotirana četvorougla. 

13. Grafički prikazati formu rezultat operacije na krugu: Construct Parametric Revolution (Revolving), 

Kako se naziva kategorija entiteta dobijenog prethodnom operacijom. Odg.: Torusi. 

14. Navesti 3 osnovna koncepta geometrijskog modeliranja. Definisati pojam primitive, solida i objekta . 

BReP (Boundary Represention), CSG (Constructive Solid Geometry), 3D tehnikama (Technical features, skined). 

15. Koliko nijansi boja proizvodi Grafički kontroler sa 24-bitnim registrom Odg: 2 24 =16,777216 boja. 

16. Hardver: Navesti jedinicu (uredjaj) sa kojim komunicira RAM memorija. Definisati pojam bajta (byte). 

Definisati šta čini mašinsku reč : Odg.: CP (Central processor). Osnovna jedinica logičkog sadrţaja. Izraţava 

kapacitet memorijskog sadrţaja. Velićina: 8 bit = byte. Veća jedinica MB= Mega byte. 

17. RAM memorija je namenjena za trajni smeštaj podataka o objektu ili privremeni (u toku obrade): 

18. Navesti – Sve optičke periferne jedinice računara: CD, DVD, CCD skener, BAR-kod čitač, OPTCAL mouse. 

Navesti sve magnetne periferne jedinice računara: Disketna jedinica A:, B:, Hard disk C:, Magnetna traka. 

Definisati – Da li je nezaobilazna komponenta hard - disk računara: NE 

19. Navesti namenu rutera: 

Navesti namenu servera: 

Navesti namenu sviča (swich): 

20. Navesti dva servisa Internet komunikacije primenom arhitekture ISO-OSI: WWW, Gopher, Chat, 

21. Klasifikacija metoda za projektovanje konstrukcija: Numeričke, analitičke. Metode analize metode sinteze. Metode 

analize diskretnih modela, metode analize kontinualnih modela. Metoda deformacije, metoda sila, hibridna metoda. 

22. Koncept proračuna struktura metodom deformacije (energetske osnove): 

Jednačine, Energija i funkcional, Ritz-ov princip, Herlinger-Reisnerov princip minimuma. 

23. Topološki opis svojstava konstrukcije u metodi deformacija: Geometrija je identifikovana čvorovima delova 

konstrukcije. To su podaci koordinata poloţaja. U čvorovima su definisani stepeni slobode kretanja i oslonci – 

ograničenja kretanja modela. To su translacije i rotacije. Nepoznate veličine su deformacije (6) u čvoru. Zakonom 

mehanike se traţe izvodi ili varijacije energije po nepoznatim čvornim pomeranjima. Tako nastaje sistem 

diferencijalnih jednačina koji se rešava nekom, najčešće numeričkom metodom. 

24. Uslovi kompatibilnosti strukture u metodi deformacija: Σxi=0, Σyi=0, Σzi=0, To su provere jednakosti pomeranja 

(deformacija) u čvorovima konstrukcije. Što je više tačaka provere (bilansa) pomeranja to je ravnomernije 

prirodnije iskazana deformacija strukture. U FEM postoje numerički kriterijumi dozvoljenog debalansa (različitost 

od nule) sila u čvoru. U programima metode deformacije (STRES) postoje ograničenja greške ravnoteţe sila. 

25. Ideja i koncept metode konačnih elemenata. Osnovni principi mehanike za metodu: 

26. Klasifikacija vrsta i tipovi konačnih elemenata: Dimenzionalnosti ( 1D, 2D, 3D), 

Familiji - grupaciji (ljuska, ploča, greda), 

Redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni), 

Geometriji (trougaoni, četvorougaoni), 

Fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska), 

Materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan). 

27. Principi generisanja mreţa u FEM (opšti kriterijumi diskretizacije): 

28. ETAPE PROGRAMSKOG PRISTUPA FEM: 

1. Diskretizovanje kontinuuma konstrukcije izabranim kon. elementima, 

2. Izbor interpolacionih funkcija (funkcija oblika), 

3. Sračunavanje karakteristika konačnih elemenata, 

4. Formiranje algebarskog sistema jednačina konstrukcije, 

5. Rešavanje algebarskog sistema jednačina, 

6. Proračun potrebnih unutrašnjih veličina. 

29. Četvorougaoni konačni element: OdreĎivanje interpolacione matrice i ukupnih (konturnih) pomeranja:


30. Potencijal i matrica krutosti konačnog elementa: 

31. Postupak formiranja jednačine strukture: 

32. Matrice transformacija i matrica krutosti konstrukcije: Jednačine, matrica. 

33. Konvergencija, stabilnost i tačnost rešenja u MKE (pojmovi): 

34. Koje osobine karakterišu izoparametarski konačan element. Koje osobine karakterišu super - element 

35. Šta se dokazuje konvergencijom rešenja. Da li postoji drugi model pristupa tačnosti rešenja FEA modela 

Konvergencijom se pokazuje pribliţenje rešenja numeričkog modela analitičkom rešenju. Konvergencijom se 

izraţava i odstupanje numeričkog modela od analitičkog. Drugi model pristupa tačnosti zadatku: Adaptivni. To su 

adaptivne mreţe kojima se automatizuje projektovanje diskretnog modela za analizu. Polaznae kategorije su bazni 

diskretni model i zadata tačnost analize. Rezultat je modifikovana diskretna mreţa sa izjednačenom greškom 

analize u kontinuumu. Greška dobijenog modela je manja od zadate. Recimo ispod 1%. 

36. Skicirati tačku divergencije rešenja u FEA Dijagram, komentar. 

37. Koji najčešći matematički postupak je osnova softverske realizacije programa za FEA Varijacioni. 

38. Šta je to adaptivna (FEA) mreţa 

Šta je to kontrolna mreţa 

Šta je mapiran model 

40. Šta je Geometrijski model, Idealizovan model , Model zona, Diskretni model 

41. Navdite nekoliko alata (komandi) za automatsko generisanje mreţa: 

Generisati mrežu na površini (Generate Mesh on a Surface) 

Kreirati mrežu izmedju uglova - temena (Create Mesh between Corners) 

Generisati mrežu na zapremini (Generate Mesh on a Volume) 

42. Skicirati uniformnu mreţu na 2D objektu tipa kruţnog prstena. Koji tip konačnog elementa odgovara modelu 

Skica. Ploča. 

43. Navesti matematičku jednačinu jednog tipa interpolacione funkcije: 

44. Šta je ravnanje mreţa: 

Šta je slobodna mreţa: 

Šta je adaptivna mreţa: 

45. Izračunati broj čvorova uniformne FE mreţe na četvorougaonoj zakrivljenoj površini sa 8 x 7 redova elemenata: 

46. Navesti dinamičku jednačinu strukture konačnih elemenata. Navesti jednačinu funkcionala konačnog elementa. 

47. Navesti tip konačnog elementa kojim se diskretizuje uţe visećeg tereta. 

Navesti kojim konačnim elementom se diskretizuje struktura rezervoara za mazut. 

Navesti kojom osobinom konačnog elementa se opisuje elastična proporcionalnost. 

48. Kojim konačnim elementom se diskretizuje elastičan oslonac konstrukcije 

Kojim konačnim elementom se diskretizuje struktura u analizi mreţe cevovodnog sistema 

Kojom osobinom konačnog elementa se opisuje elastična naproporcionalnost 

49. Čime se kreira i realizuje diskretni model Odg.: Programima: Geometrijskim i mreţnim modelerom. 

50. Navesti namenu programa SolidWorks, SAP, ALGOR: 

51. Definisati namenu graničnog konačnog elemenata: Za definiciju zazora, zadora, elastičnog oslonca, ... 

Definisati namenu kontaktnog elementa: Za vezu dva nezavisna kontinuuma u spoju. 

Definisati klasu konstrukcija koje se diskretizuju membranskim elementima: 

Tamo gde nema savijanja već samo zatezanja – plašt rezervoara pod pritiskom, 

52. Navesti Postupak i etape rešavanja FEA zadataka kod kontinualnih površinskih nosača.


53. Klasifikacija metoda optimalnog projektovanja: 

Navesti matematičke osnove zadatka minimizacije. Minimizacije u prisustvu / bez ograničenja, 

zadaci sa / bez traţenja izvoda, zadaci sa formalnim ili postupnim pretraţivanjem hiper-prostora. 

54. Navesti klasične kriterijume optimizacije: 

55. Optimalno projektovanje: Uslovi egzistencije rešenja u metodi diferencijalnog programiranja. 

56. OdreĎivanje karaktera ekstremuma FC u diferencijalnom programiranju: 

57. Optimalno projektovanje: Koncept metode Lagranžeovih mnoţilaca: 

58. Formirati sistem jednačina metodom Lagranţeovih mnoţilaca za optimizacioni problem sa tri ograničenja: 

59. Naći optimalan prečnik valjkastog rezervoara - cisterne zadate zapremine, pri ograni čenju (H


76. Definišite 3 osnovna modela boja u kompjuterskoj grafici: 

Šta predstavlja: engl. Hue, engl. Purity Šta predstavlja pojam: engl. True color 

77. Definišite pojam (engl. Templates): 

Definišite pojam (engl. Grid control): 

Definišite pojam (engl. Permanent Snap Modes): 

78. Definišite pojam Fasetne mreţe (engl.Facet Meshes): 

Definišite pojam (engl. Parts): 

Definišite pojam (engl. Facet) i Patch: 

79. Definišite elemente animacije: 

Pojam splajna: 

80. Definišite namenu CAD funkcije: Features manager: 

Definišite tri Booleove operacje sa skupovima: 

Deo II 

USMENI ISPIT – PROBNI TEST 

1. Definisati pojam layout-a: 

Definisati pojam korisničkog interfejsa: 

Definisati pojam aplikativnog sistema u kompjuterskoj grafici: 

2. Navesti smisao tehnika prikaza: shading. 

Navesti smisao: hidden. 

Navesti smisao tehnike render. 

3. Šta predstavlja skraćenica OCR u tehnici rada skenera 

Navesti jedan vektorski I jedan bitmapirani standardni format 2D dokumenta: 

Navesti format datoteke za film (digitalan snimak kamerom) i format muzičke datoteke: 

4. U Boole-ovoj operaciji diference koaksijalne lopte i valjka različitog prečnika sa teţištem u istoj tački, koje telo je 

dobijeno 

Navesti 3 features tehnike u geometrijskom modeliranju: 

Navesti prednost i nedostatak ţičanog prikaza geometrijskog sadrţaja 

5. Klasifikovati konačne elemente po topologiji: 

Klasifikovati konačne elemente po interpolacionim funkcijama: 

Navesti jednačinu Lagranţeovog interpolacione funkcije u FEM: 

6. Navesti dinamičku jednačinu strukture FEA: 

Navesti osnovni izraz za funkcional jednog konačnog elementa: 

Navesti jedan princip mehanike za formiranje sistema diferencijalnih jednačina u FEA 

7. Koliko minimalno FEA proračuna omogućuje procenu stepena konvergencije rešenja: 

Čime se karakteriše adaptivna mreža u FEM 

Navesti tipove adaptivnih FEA mreţa: . 

8. Nacrtati - skicirati upotrebu alata za FEM: “rotate elements ” : 

Nacrtati - skicirati upotrebu alata za FEM: “revolve elements ” : 

Kakva je razlika: 

9. Kojoj grupi metoda pripada Nelder-Meed metoda 

Navesti izraz za toleranciju u metodi fleksibilne tolerancije : 

Navesti primer (jednačinu) jedne složenu funkciju cilja u optimizaciji: 

10. Navesti jednačinu i kategoriju geometrijske transformacije po kojoj se ispituje minimum u metodi Nelder-Meed: 

Da li metode fleksibilnih poliedara mogu da traţe ekstreme prekidnih funkcija 

Definisati funkcional ograničenja T u metodi fleksibilne tolerancije:


11. Klasifikovati grupe - oblasti optimizacije: 

Klasifikovati metode optimizacije: 

Klasifikovati zadatke optimizacije: 

12. Navesti Lagranţeovu funkciju i uslov minimuma: 

Da li Lagranţeova metoda rešava linearne ili nelinearne probleme 

Da li Lagranţevo metoda rešava zadatke sa ili bez ograničenja 

13. Kojoj grupi metoda pripada Flecher-Reevs-ova metoda 

Navesti jednačinu te procedure minimizacije: 

Čime je uslovljen kraj numeričke procedure Flecher-Reevs-ovoj optimizaciji: 

14. Navesti tipove menija programskih paketa: 

Definišite pojam (engl. Parts): 

Definišite pojam (engl. Facet) i Patch: 

15. Navesti standard za datoteku zvučnog zapisa i datoteku multimedijalnog zapisa: 

Navesti standard za datoteku bit mapiranog i vektorskog formata: 

Navesti standard za datoteku filma ili animacije: 

Ispit traje 45 minuta. Nije dozvoljeno korišćenje literature. Usmeni mogu polagati studenti koji su poloţili pismeni deo ispita. 

19.01.2010. Predmetni nastavnik: dr M.Jovanović

Predavanja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?