1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

More documents

Recommendations

Info

Twierdzenie 3.7. Niech będą dane dwie przestrzenie liniowe E i E ′ nad ciałem K, przy czym dim E = n < ∞. Jeśli e 1 , . . . e n jest bazą przestrzeni E i g 1 , . . . , g n jest dowolnym układem n-elementowym wektorów przestrzeni E ′ , to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe T : E → E ′ takie, że T (e i ) = g i dla i = 1, . . . n. Ponadto, odwzorowanie T jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory g 1 , . . . , g n są liniowo niezależne. Dowód. Dla x = a 1 x 1 + . . . a n x n ∈ E określamy T : E → E ′ wzorem: T (x) = x 1 g 1 + . . . + x n g n . Stąd w szczególności wynika, że jeżeli na przestrzeni skończenie wymiarowej mamy dwie bazy: e 1 , . . . e n oraz e ′ 1, . . . e ′ n, to odwzorowanie T : E → E dane wzorem T (x) = x 1 e ′ 1 + . . . + x n e ′ n dla x = a 1 x 1 + . . . a n x n jest jedynym odwzorowaniem liniowym takim, że T (e i ) = e ′ i . Macierz tego przekształcenia nazywamy macierzą przejścia i oznaczamy ją S. Twierdzenie 3.8. Niech E będzie przestrzenią liniową oraz niech e = (e 1 , . . . e n ), e ′ = (e ′ 1, . . . e ′ n) będą dwoma bazami tej przestrzeni oraz niech T : E → E będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli odwzorowanie T ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ′ ma macierz B, to B = S −1 AS. 4 Układy równań liniowych i metody <strong>ich</strong> rozwiązywania Przez c<strong>ały</strong> rozdział zakładamy, że K jest ustalonym ciałem oraz wszystkie skalary należą do tego ciała. Układ ⎧⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 . (2) . . .. . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m nazywamy liniowym układem m równań z n niewiadomymi (nad ciałem K), skalary a ij - współczynnikami przy niewiadomych, a b i - wyrazami wolnymi. Ciąg skalarów (r 1 , r 2 , . . . , r n ) nazywamy rozwiązaniem układu (2), jeśli zachodzą równości: ⎧ a 11 r 1 + a 12 r 2 + . . . + a 1n r n = b 1 ⎪⎨ a 21 r 1 + a 22 r 2 + . . . + a 2n r n = b 2 . . . .. . . ⎪⎩ a m1 r 1 + a m2 r 2 + . . . + a mn r n = b m Mówimy wówczas, że skalary r 1 , r 2 , . . . , r n spełniają układ (2). Macierz ⎡ ⎤ a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n A = ⎢ ⎣ . . . .. ⎥ . ⎦ a m1 a m2 · · · a mn nazywamy macierzą główną układu (1) zaś macierz ⎡ ∣ ⎤ a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣ b 1 a 21 a 22 · · · a 2n b 2 U = ⎢ ⎣ . . . .. ⎥ . . ⎦ a m1 a m2 · · · a mn b m nazywamy macierzą rozszerzoną (uzupełnioną) układu (2). (3) (4) 10
Układ 2 nazywamy jednorodnym, jeżeli b 1 = . . . = b n = 0, w przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny. Oznaczmy: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ b 1 x 1 b 2 B = ⎢ ⎥ ⎣ . ⎦ , X = x 2 ⎢ ⎥ ⎣ . ⎦ b m x m Wówczas równanie (2) jest równoważne z równaniem macierzowym: AX = B (5) Jeżeli w układzie (2) n = m oraz det A ≠ 0, to układ ten nazywamy układem Cramera. Zauważmy, że wtedy X = A −1 B jest jedynym rozwiązaniem układu (5). Przez A i oznaczymy macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy głównej układu i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań: ⎡ ⎤ a 11 a 12 . . . a 1 i−1 b 1 a 1 i+1 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2 i−1 b 2 a 2 i+1 . . . a 2n A i = ⎢ ⎣ . . . .. . . . . .. ⎥ . ⎦ a n1 a n2 . . . a n i−1 b n a n i+1 . . . a nn Twierdzenie 4.1 (Cramera). Jeżeli układ (2) jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami: x j = dla j = 1, . . . n. det Aj det A Wniosek 4.2. Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie x 1 = . . . = x n = 0. Definicja 4.1. Rzędem macierzy A = [A 1 , . . . , A n ] nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów spośród A 1 , . . . , A n . Oznaczamy go rz A. Równoważnie, jest to wymiar maksymalnego minora o niezerowym wyznaczniku. Twierdzenie 4.3 (Kroneckera-Capellego). Układ równań (2) ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz A = rz U. Załóżmy teraz, że rz A = rz U = k. Bez zmniejszenia ogólności, możemy założyć, że układ składający się z pierwszych k wierszy macierzy A jest liniowo niezależny. Wówczas układ składający się z pierwszych k wierszy macierzy U także jest liniowo niezależny. Z tego, że rz U = k wynika, że ostatnie n−k wierszy da się przedstawić jako liniowe kombinacje pierwszych k wierszy. Zatem, jeżeli x 1 , . . . , x n jest rozwiązaniem pierwszych k równań, to spełnia także ostatnie n − k równań. Wystarczy zatem rozważać układ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 ⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 . (6) . . .. . . ⎪⎩ a k1 x 1 + a k2 x 2 + . . . + a kn x n = b k Rozważmy 2 przypadki: 1. Jeżeli k = n, to układ (6) jest układem Cramera. 2. Załóżmy, że k < n. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że pierwszych k kolumn macierzy stowarzyszonej z układem (6) jest liniowo niezależnych. Podstawiając za x k+1 , . . . x n dowolne skalary r k+1 , . . . r n z ciała otrzymujemy układ: ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1k x k = b 1 − a 1 k+1 r k+1 − . . . − a 1 n r n ⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2k x k = b 2 − a 2 k+1 r k+1 − . . . − a 2 n r n . (7) . . .. . . ⎪⎩ a k1 x 1 + a k2 x 2 + . . . + a kk x k = b k − a k k+1 r k+1 − . . . − a k n r n 11
Page 1 and 2: Tekst ten jest dostępny na stronie
Page 3 and 4: 3. izomorfizmem, jeżeli istnieje h
Page 5 and 6: Definicja 2.1. Pierścieniem wielom
Page 7 and 8: 2. Wielomian X 2 + 1 ∈ R[X] jest
Page 9: Twierdzenie 3.2. Niech T : E → E
Page 13 and 14: Definicja 5.1. Funkcjonałem dwulin
Page 15: 1. W przypadku, gdy kąt pomiędzy

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?