1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

3. W zbiorze liczb zespolonych C = R × R działania określamy następująco: dla
(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ C , gdzie x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ R określamy:
(x 1 , y 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ),
(x 1 , y 1 ) ⊙ (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + y 1 x 2 )
Oznaczmy i = (0, 1) i zauważmy, że i 2 = (0, 1) ⊙ (0, 1) = (−1, 0). Zauważmy, że dla dowolnego y ∈ R
mamy: (0, y) = (0, 1) ⊙ (y, 0). Jeżeli utożsamimy elementy postaci (x, 0) ∈ C z x ∈ R to dostaniemy,
że dla dowolnego (x, y) ∈ C mamy równość:
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) ⊙ (y, 0) = x + iy
W postaci x + iy zapisuje się zazwyczaj liczbę zespoloną.
4. Pierścień macierzy M(n, R) z działaniami dodawania i mnożenia macierzy jest pierścieniem (z jedynką),
ale nie jest przemienny.
5. Rozważmy zbiór liczb całkowitych Z z działaniami ⊕, ⊙ określonymi wzorami: jeżeli a, b ∈ Z, to
a ⊕ b = a + b + 1 oraz a ⊙ b = a + b + ab. Łatwo sprawdzić, że jest to pierścień przemienny z
elementami neutralnymi: θ = −1, e = 0.
6. Niech p ∈ N. Rozważmy zbiór Z p = {0, 1, . . . , p − 1} oraz działania a ⊕ b = a + b mod p,
a ⊙ b = ab mod p. Wówczas (Z p , ⊕, ⊙, 0, 1) jest pierścieniem przemiennym.
Definicja 1.3. Podzbiór S pierścienia R nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli jest on pierścieniem ze
względu na te same działania, co pierścień R.
Przykład 1.3. Kilka przykładów podpierścieni:
1. Oczywiście pierścień Z jest podpierścieniem Q, R oraz C; Q jest podpierścieniem R, C; R jest podpierścieniem
C.
2. Zbiór Z p jest podpierścieniem Z r wtedy i tylko wtedy, gdy p dzieli r.
3. Jeżeli R jest pierścieniem to ma zawsze przynajmniej dwa podpierścienie: pierścień trywialny {θ}
oraz R.
4. Zbiór Z p nie jest pierścieniem ze względu na działania z Z zatem Z p nie jest podpierścieniem pierścienia
Z
W dalszym ciągu, jeżeli nie będzie to prowadzić do nieporozumień, działania będziemy oznaczali +
oraz · (a nawet będziemy stosowali skrót ab = a · b) oraz będziemy je nazywać dodawaniem i mnożeniem
(odpowiednio).
Definicja 1.4. Niech R i S będą pierścieniami. Funkcję f : R → S nazywamy homomorfizmem, jeśli
spełnione są warunki: dla dowolnych a, b ∈ R
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(ab) = f(a)f(b)
Warto odnotować, że a + b jest dodawaniem w pierścieniu R zaś f(a) + f(b) jest dodawaniem w
pierścieniu S.
Definicja 1.5. Załóżmy, że R i S są pierścieniami i niech f : R → S będzie homomorfizmem. Jądrem
homomorfizmu nazywamy zbiór ker f = {a ∈: f(a) = 0} zaś obrazem nazywamy zbiór
Im f = {b ∈ S : ∃ a∈R f(a) = b}. Ponadto homomorfizm f : R → S nazywamy:
1. endomorfizmem, jeżeli jest surjekcją (lub równoważnie Im f = S),
2. monomorfizmem, jeżeli jest injekcją (lub równoważnie ker f = {θ}),
2