1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

Twierdzenie 5.5. Niech e = (e 1 , . . . , e n ), e ′ = (e ′ 1, . . . , e ′ n) będą dwoma bazami przestrzeni E. Jeżeli
forma kwadratowa (13) funkcjonału kwadratowego F ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ′ ma macierz
B, to B = S T AS, gdzie S jest macierzą przejścia z bazy e do bazy e ′ .
Definicja 5.4. Rzędem formy kwadratowej nazywa się rząd jej macierzy.
Z 5.5 wynika, że rząd formy kwadratowej nie zależy od wyboru bazy.
Definicja 5.5. Mówimy, że forma kwadratowa (13) funkcjonału kwadratowego F ma w bazie e = (e 1 , . . . , e n )
postać kanoniczną, jeśli a ij = 0 dla i ≠ j. Taka baza e nazywa się bazą kanoniczną funkcjonału F .
Funkcjonał kwadratowy F zapisuje się w bazie kanonicznej w postaci:
F (x) =
n∑
a i x 2 i , (14)
Stąd wynika, że e jest bazą kanoniczną funkcjonału F wtedy i tylko wtedy, gdy macierz tego funkcjonału
w bazie e jest diagonalna.
Twierdzenie 5.6. Niech F będzie funkcjonałem kwadratowym określonym na przestrzeni E. Istnieje wówczas
baza w przestrzeni E, będąca bazą kanoniczną funkcjonału F .
i=1
Niech teraz E będzie przestrzenią liniową nad R wymiaru n oraz F będzie funkcjonałem kwadratowym
określonym na przestrzeni E.
Mówimy, że forma kwadratowa (14) jest w postaci normalnej, jeżeli jej współczynniki są równe 0, 1 lub
-1.
Twierdzenie 5.7. W przestrzeni E istnieje baza, w której funkcjonał F ma postać normalną.
Twierdzenie 5.8 (o bezwładności). Ilość współczynników dodatnich, ujemnych oraz zerowych formy kwadratowej
(14) nie zależy od wyboru bazy kanonicznej funkcjonału F .
Definicja 5.6. Mówimy, że funkcjonał kwadratowy F jest dodatnio (ujemnie) określony, jeżeli dla dowolnego
x ∈ X, x ≠ 0 zachodzi: F (x) > 0 (F (x) < 0).
Twierdzenie 5.9. Funkcjonał kwadratowy F jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
dodatnich współczynników jego formy kwadratowej w postaci kanonicznej jest równa wymiarowi przestrzeni
E. Ponadto, jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k = 1, . . . , n zachodzi:
(−1) k a 1 · . . . · a k > 0.
Przykład 5.1. Przykłady funkcjonałów i form kwadratowych:
1. Niech E będzie przestrzenią liniową nad R. Wówczas iloczyn skalarny 〈·, ·〉 jest funkcjonałem dwuliniowym
symetrycznym, zaś norma jest funkcjonałem kwadratowym dodatnio określonym generowanym
przez 〈·, ·〉.
2. Niech E będzie przestrzenią liniową nad R oraz niech A ∈ M n (R) będzie macierzą symetryczną.
Wówczas odwzorowanie F : E × E → R dane wzorem F (x) = 1 2
〈Ax, x〉, gdzie 〈·, ·〉 jest dowolnym
iloczynem skalarnym w E, jest funkcjonałem kwadratowym.
3. Niech E będzie przestrzenią liniową nad R oraz niech A ∈ M n (R). Wówczas odwzorowanie
F 1 : E × E → R dane wzorem F 1 (x) = 1 2 〈 1 2 (A + AT )x, x〉, gdzie 〈·, ·〉 jest dowolnym iloczynem
skalarnym w E, jest funkcjonałem kwadratowym.
Krzywą stożkową nazywamy zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (a dokładniej powierzchni
bocznej stożka) i płaszczyzny.
Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z
osią stożka i jego tworzącą:
14