1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-users.mat.umk.pl/∼cstefan/ . W razie potrzeby tam
będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia.
1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały
pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady
Definicja 1.1. Niech X będzie zbiorem. Działaniem dwuargumentowym na zbiorze X nazywamy dowolne
odwzorowanie α: X × X → X. Zamiast α(x, y) piszemy xαy, zamiast pisać działanie dwuargumentowe
piszemy po prostu działanie.
Definicja 1.2. Niech R będzie dowolnym zbiorem, θ ∈ R elementem wyróżnionym (nazywanym elementem
neutralnym działania ⊕) oraz ⊕, ⊙ będą dwoma działaniami na tym zbiorze o następujących własnościach:
1. Działanie ⊕ jest łączne, to znaczy: ∀ x,y,z∈X (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z),
2. Działanie ⊕ jest przemienne, to znaczy: ∀ x,y∈X x ⊕ y = y ⊕ x.
3. Dla każdego x ∈ R istnieje element y ∈ R taki, że x ⊕ y = θ. Oznaczamy go −x.
4. Działanie ⊙ jest łączne, to znaczy ∀ x,y,z∈X (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z).
5. Działanie ⊙ jest rozdzielne względem działania ⊕, to znaczy:
∀ x,y,z∈X x ⊙ (y ⊕ z) = (x ⊙ y) ⊕ (x ⊙ z).
Wówczas (R, ⊕, ⊙, θ) nazywamy pierścieniem. Ponadto, jeżeli istnieje e ∈ R takie, że dla każdego x ∈ R
zachodzi równość x ⊙ e = x = e ⊙ x, to element e nazywamy elementem neutralnym działania ⊙ lub po
prostu jedynką a (R, ⊕, ⊙, θ, e) nazywamy pierścieniem z jedynką. Jeżeli działanie ⊙ jest przemienne, to
(R, ⊕, ⊙, θ) nazywamy pierścieniem przemiennym.
Uwaga 1.1. Zauważmy, że powyższą definicję można sformułować krócej w języku teorii grup: jeżeli mamy
zbiór R, działania ⊙, ⊕ na R oraz elementy wyróżnione θ (oraz e), to (R, ⊕, ⊙, θ) ((R, ⊕, ⊙, θ, e)) nazywamy
pierścieniem (z jedynką), jeżeli (R, ⊕, θ) jest grupą abelową, działanie ⊙ jest łączne i rozdzielne względem
działania ⊕ (oraz e jest elementem neutralnym działania ⊙).
Przykład 1.1. Pierścieniem przemiennym bez jedynki jest zbiór liczb parzystych ze zwykłymi działaniami
dodawania i mnożenia liczb całkowitych. Zauważmy też, że zbiór liczb nieparzystych z takimi działaniami
nie tworzy pierścienia gdyż nie jest zamknięty na dodawanie.
W dalszym ciągu będziemy zakładali, że każdy rozważany pierścień jest pierścieniem z jedynką (różną
od zera), chyba, że będzie wyraźnie zaznaczone inaczej. Będziemy też pisać pierścień R zamiast pierścień
(R, ⊕, ⊙, θ, e), ale z formalnego punktu widzenia są to różne pojęcia.
Przykład 1.2. Kilka przykładów pierścieni:
1. Niech R = {a} będzie zbiorem. Określamy na nim działania ⊕, ⊙ następująco: a ⊕ a = a oraz
a ⊙ a = a. Łatwo sprawdzić, że jest to pierścień przemienny z jedynką. Co więcej, łatwo pokazać, że
jeżeli mamy pierścień (R, ⊕, ⊙, θ, e) taki, że e = θ, to R = {θ}. Taki pierścień nazywamy pierścieniem
trywialnym.
2. Najbardziej znanymi przykładami pierścieni są zbiory Z, Q, R (odpowiednio: zbiór liczb całkowitych,
wymiernych i rzeczywistych )ze zwykłymi działaniami +, · dodawania i mnożenia liczb (będziemy
stosowali skrót ab = a · b). Zbiór liczb naturalnych z takimi działaniami nie tworzy pierścienia.
1

3. W zbiorze liczb zespolonych C = R × R działania określamy następująco: dla
(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ C , gdzie x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ R określamy:
(x 1 , y 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ),
(x 1 , y 1 ) ⊙ (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + y 1 x 2 )
Oznaczmy i = (0, 1) i zauważmy, że i 2 = (0, 1) ⊙ (0, 1) = (−1, 0). Zauważmy, że dla dowolnego y ∈ R
mamy: (0, y) = (0, 1) ⊙ (y, 0). Jeżeli utożsamimy elementy postaci (x, 0) ∈ C z x ∈ R to dostaniemy,
że dla dowolnego (x, y) ∈ C mamy równość:
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) ⊙ (y, 0) = x + iy
W postaci x + iy zapisuje się zazwyczaj liczbę zespoloną.
4. Pierścień macierzy M(n, R) z działaniami dodawania i mnożenia macierzy jest pierścieniem (z jedynką),
ale nie jest przemienny.
5. Rozważmy zbiór liczb całkowitych Z z działaniami ⊕, ⊙ określonymi wzorami: jeżeli a, b ∈ Z, to
a ⊕ b = a + b + 1 oraz a ⊙ b = a + b + ab. Łatwo sprawdzić, że jest to pierścień przemienny z
elementami neutralnymi: θ = −1, e = 0.
6. Niech p ∈ N. Rozważmy zbiór Z p = {0, 1, . . . , p − 1} oraz działania a ⊕ b = a + b mod p,
a ⊙ b = ab mod p. Wówczas (Z p , ⊕, ⊙, 0, 1) jest pierścieniem przemiennym.
Definicja 1.3. Podzbiór S pierścienia R nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli jest on pierścieniem ze
względu na te same działania, co pierścień R.
Przykład 1.3. Kilka przykładów podpierścieni:
1. Oczywiście pierścień Z jest podpierścieniem Q, R oraz C; Q jest podpierścieniem R, C; R jest podpierścieniem
C.
2. Zbiór Z p jest podpierścieniem Z r wtedy i tylko wtedy, gdy p dzieli r.
3. Jeżeli R jest pierścieniem to ma zawsze przynajmniej dwa podpierścienie: pierścień trywialny {θ}
oraz R.
4. Zbiór Z p nie jest pierścieniem ze względu na działania z Z zatem Z p nie jest podpierścieniem pierścienia
Z
W dalszym ciągu, jeżeli nie będzie to prowadzić do nieporozumień, działania będziemy oznaczali +
oraz · (a nawet będziemy stosowali skrót ab = a · b) oraz będziemy je nazywać dodawaniem i mnożeniem
(odpowiednio).
Definicja 1.4. Niech R i S będą pierścieniami. Funkcję f : R → S nazywamy homomorfizmem, jeśli
spełnione są warunki: dla dowolnych a, b ∈ R
1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(ab) = f(a)f(b)
Warto odnotować, że a + b jest dodawaniem w pierścieniu R zaś f(a) + f(b) jest dodawaniem w
pierścieniu S.
Definicja 1.5. Załóżmy, że R i S są pierścieniami i niech f : R → S będzie homomorfizmem. Jądrem
homomorfizmu nazywamy zbiór ker f = {a ∈: f(a) = 0} zaś obrazem nazywamy zbiór
Im f = {b ∈ S : ∃ a∈R f(a) = b}. Ponadto homomorfizm f : R → S nazywamy:
1. endomorfizmem, jeżeli jest surjekcją (lub równoważnie Im f = S),
2. monomorfizmem, jeżeli jest injekcją (lub równoważnie ker f = {θ}),
2

3. izomorfizmem, jeżeli istnieje homomorfizm g : S → R taki, że g ◦ f = Id R oraz f ◦ g = Id S (lub
równoważnie f jest endomorfizmem i monomorfizmem). Mówimy wtedy, że pierścienie R i S są izomorficzne.
Przykład 1.4. Kilka przykładów homomorfizmów:
1. W przykładzie 3 pokazaliśmy, że pierścień C jest izomorficzny z pierścieniem R(i) = {a+bi : a, b ∈ R}
2. Można pokazać, że odwzorowanie f : Z → Z p dane wzorem f(a) = a mod p jest homomorfizmem
pierścieni.
3. Niech S będzie podpierścieniem pierścienia R. Wówczas włożenie j : S → R dane wzorem j(x) = x
jest homomorfizmem pierścieni.
Definicja 1.6. Niepusty podzbiór I pierścienia R nazywa się ideałem, jeśli:
1. ∀ a,b∈I a − b ∈ I,
2. ∀ a∈I ∀ b∈R (ab ∈ I ∧ ba ∈ I) (jeżeli pierścień jest przemienny to wystarczy pisać jeden z warunków).
Jeżeli I jest ideałem pierścienia R, to oznaczamy to I ⊳ R
Z definicji natychmiast wynika, że jeżeli I jest ideałem pierścienia R, to I jest podpierścieniem pierścienia
R. Z drugiej strony, nie każdy podpierścień musi być ideałem: wystarczy rozważyć podpierścień Q
pierścienia R.
Przykład 1.5. Podamy kilka przykładów ideałów:
1. Każdy pierścień R zawiera ideały trywialne {θ} i R. Nazywamy je ideałami niewłaściwymi, każdy
zaś różny od nich nazywamy ideałem właściwym.
2. Podzbiór liczb parzystych jest ideałem pierścienia liczb całkowitych. W ogóle każdy zbiór wielokrotności
ustalonej liczby naturalnej n jest ideałem pierścienia Z
3. Jeśli f : R → S jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro ker f jest ideałem w pierścieniu R
(obraz jest podpierścieniem pierścienia S).
Niech I będzie ideałem pierścienia R. Dla a, b ∈ R określamy relację: a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ I. Łatwo
sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Klasę abstrakcji [a] ∼ oznaczamy a + I, zbiór klas abstrakcji
R/ ∼ oznaczamy R/I. Na zbiorze R/I określamy działania: (a+I)⊕(b+I) = (a+b)+I oraz (a+I)⊙(b+I) =
(ab) + I. Łatwo sprawdzić, że R/I z tak określonymi działaniami oraz elementami neutralnymi θ ′ = θ + I
oraz e ′ = e + I jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem ilorazowym.
W dalszym ciągu działania w pierścieniu ilorazowym będziemy oznaczali tak jak w wyjściowym pierścieniu.
Twierdzenie 1.2 (Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni). Jeśli f : R → S jest homomorfizmem
pierścieni oraz I jest ideałem w pierścieniu R takim, że I ⊂ ker f, to funkcja g : R/I → S dana
wzorem g(a+I) = f(a) jest dobrze określonym homomorfizmem. Ponadto, jeżeli I = ker f, to tak określone
odwzorowanie g jest izomorfizmem.
Przykład 1.6. Z powyższego twierdzenia wynika, że pierścienie Z/Zm i Z m są izomorficzne, gdzie
Zm = {zm : z ∈ Z}.
Definicja 1.7. Ideał I pierścienia R nazywa się ideałem pierwszym, jeśli z tego, że iloczyn dwóch elementów
pierścienia R należy do I, wynika, że przynajmniej jeden z nich należy do I. Symbolicznie:
∀ a,b∈R [(ab ∈ I) =⇒ (a ∈ I ∨ b ∈ I).
Ideał właściwy I pierścienia R nazywamy ideałem maksymalnym, jeśli nie zawiera się w żadnym różnym
od siebie ideale właściwym pierścienia R. Symbolicznie:
I ⊂ J =⇒ (I = J ∨ J = R).
3

Definicja 1.8. Element a pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera, jeśli a ≠ θ oraz istnieje element b ∈ R,
b ≠ θ, taki, że ab = θ
Pierścień R nazywa się dziedziną (całkowitości), jeśli θ ≠ e oraz w pierścieniu R nie ma dzielników zera.
Fakt 1.3. Jeżeli a, b, c są elementami dziedziny R takimi, że ac = bc oraz c ≠ θ, to a = b
Definicja 1.9. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b ∈ R taki, że
ab = e (taki element b oznaczamy przez a −1 ) Jeżeli a ≠ θ nie jest odwracalny, to nazywamy go elementem
nieodwracalnym.
Definicja 1.10. Mówimy, że pierścień przemienny z jedynką (K, ⊕, ⊙, θ, e) jest ciałem jeżeli każdy
x ∈ K\{θ} jest odwracalny. Taki element będziemy oznaczali x −1 .
Równoważnie, możemy powiedzieć, że (K, ⊕, ⊙, θ, e) jest ciałem, jeżeli (K, ⊕, θ), (K\{θ}, ⊙, e) są grupami
oraz działanie ⊙ jest rozdzielne względem działania ⊕. Grupę (K, ⊕, θ) nazywamy grupą addytywną
ciała K zaś (K\{θ}, ⊙, e) nazywamy grupą multiplikatywną ciała K
Definicja 1.11. Najmniejszy ideał pierścienia R zawierający podzbiór X ⊂ R nazywamy ideałem generowanym
przez zbiór X i oznaczamy (X)
Ideał I pierścienia R nazywamy głównym, jeśli istnieje element a ∈ R taki, że I = (a).
Dziedzinę R nazywa się dziedziną ideałów głównych, jeśli wszystkie ideały w pierścieniu R są główne.
Uwaga 1.4. Niech R będzie pierścieniem przemiennym oraz I ⊳ R. Wówczas:
1. I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest dziedziną.
2. I jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest ciałem.
Ponadto każdy ideał maksymalny w pierścieniu R jest pierwszy.
Przykład 1.7. Rozważmy następujące przykłady:
1. W pierścieniu liczb całkowitych jedynymi ideałami maksymalnymi są ideały postaci (p), gdzie p jest
liczbą pierwszą. Ponadto, jedynymi ideałami pierwszymi są ideały takiej postaci dla p = 0, 1 lub jeżeli
p jest liczbą pierwszą.
2. Jeżeli K jest ciałem, to jedynymi ideałami w K są ideały niewłaściwe. Zatem każde ciało jest dziedziną
ideałów głównych.
3. W pierścieniu liczb całkowitych każdy ideał jest główny, zatem jest to dziedzina ideałów głównych.
Dziedziną ideałów głównych jest także pierścień Z p .
4. Jeżeli K jest ciałem to pierścień wielomianów jednej zmiennej K[X] jest dziedziną ideałów głównych.
Kilka przykładów ciał:
5. Oczywiście, pierścienie Q, R, C są ciałami, pierścień Z nie jest ciałem.
6. Pierścień Z p jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.
2 Pierścień wielomianów o współczynnikach w danym pierścieniu
przemiennym. Ideały w pierścieniu K[X] (K jest ciałem).
Wielomiany nierozkładalne. Pierwiastki wielomianu, twierdzenie
Bezouta.
Przez cały paragraf zakładamy, że (R, +, ·, 1, 0) jest pierścieniem przemiennym oraz K jest ciałem. Zakładamy,
że N = {0, 1, . . .}
4

Definicja 2.1. Pierścieniem wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w pierścieniu R nazywamy
zbiór:
R = {f : N → R : #{n ∈ N : f(n) ≠ 0} < ∞}
wraz z działaniami (f +g)(n) = f(n)+g(n), fg(n) = f(0)g(n)+f(1)g(n−1)+. { . .+f(n−1)g(1)+f(n)g(0)
1 jeżeli n = 0
dla n ∈ N, f, g ∈ R oraz elementami neutralnymi: 0(n) = 0 oraz 1(n) =
. Elementy zbioru
0 jeżeli n = 1
R nazywamy wielomianami.
Łatwo sprawdzić, że jest to rzeczywiście pierścień.
{
a jeżeli n = 0
Uwaga 2.1. Dla dowolnego elementu a ∈ R definiujemy a ∈ R wzorem a(n) =
0 jeżeli n = 1 .
Odwzorowanie przyporządkowujące elementowi a ∈ R element a ∈ R jest homomorfizmem pierścieni.
Będziemy odtąd traktować pierścień R jako podpierścień R.
Definicja 2.2. Stopniem wielomianu f ∈ R nazywamy deg f = max{n ∈ N : f(n) ≠ 0} (przyjmujemy, że
max ∅ = −∞).
{
1 jeżeli n = 1
Definiujemy X ∈ R wzorem: X(n) =
. Łatwo pokazać, że dla dowolnego m ∈ N
0 jeżeli n ≠ 1
{
mamy: X m 1 jeżeli n = m
(n) =
0 jeżeli n ≠ m .
Można pokazać, że każdy element pierścienia R ma jednoznaczne przedstawienie f = ∑ ∞
i=0 f iX i , gdzie
prawie wszystkie f i są równe 0. Możemy zatem pierścień R określić jako najmniejszy pierścień zawierający
pierścień R oraz odwzorowanie X. Dlatego pierścień wielomianów oznaczamy przez R[X] Otrzymujemy
zatem, że
∞∑
R[X] = { a i X i : a i = 0 dla prawie wszystkich i ∈ N}
i=0
Działania możemy zapisać następująco: jeżeli f = ∑ n
i=0 f iX i , g = ∑ m
i=0 g iX i , to określamy:
f + g =
max{n,m}
∑
i=0
n+m
∑ i∑
(f i + g i )X i oraz fg = ( f k g k−i )X i
Dla wielomianu f = ∑ n
i=0 f iX i ∈ R[X] element f i nazywamy współczynnikiem wielomianu f. Zauważmy,
że f i = f(i).
Definicja 2.3. Pierścieniem wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w R nazywamy zbiór
z działaniami określonymi następująco:
i=0
k=0
R n = {g : N n → R : g(α) = 0 dla prawie wszystkich α ∈ N n }
(f + g)(α) = f(α) + g(α) oraz fg(γ) = ∑
α+β=γ
f(α)g(β)
{
1 if α = (0, . . . , 0)
Łatwo sprawdzamy, że otrzymujemy w ten sposób pierścień z 1(α) =
0 if α ≠ (0, . . . , 0) Podobnie
jak poprzednio pierścień R traktujemy jako podpierścień tak zdefiniowanego pierścienia. W N n wyróżniamy
elementy ɛ i = (0,{
. . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (1 jest na i-tym miejscu). Definiujemy elementy X 1 , . . . , X n ∈ R n
1 jeżeli α = ɛ i
wzorem: X i (n) =
.
0 jeżeli α ≠ ɛ i
5

Lemat 2.2. Każdy wielomian f ∈ R n ma jednoznaczne przedstawienie: f = ∑ α=(α 1,...,α n) f αX α1 . . . Xα n
Ponadto f α = f(α) dla każdego α ∈ N n oraz f α = 0 dla prawie wszystkich α ∈ N n .
Podobnie jak wcześniej, pierścień wielomianów można określić jako najmniejszy pierścień zawierający
pierścień R oraz odwzorowania X 1 , . . . , X n . Dlatego zapisujemy ten pierścień R[X 1 , . . . , X n ]. Pierścień
R[X 1 , . . . , X n ] można też określać indukcyjnie, to znaczy określić go następująco: R[X 1 ] jak wcześniej oraz
R[X 1 , . . . , X n ] = R[X 1 , . . . , X n−1 ][X n ].
Załóżmy, że K jest ciałem i rozważmy pierścień K[X]
Definicja 2.4. Wielomian f ∈ K[X] nazywa się nierozkładalnym, jeśli deg f > 0 oraz f nie jest iloczynem
dwóch wielomianów stopni mniejszych niż stopień f.
Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f, g ≠ 0 ∈ K[X] nazywamy wielomian d ∈ K[X] taki,
że spełnione są następujące warunki:
1. d|a ∧ d|b,
2. Jeżeli d ′ |a ∧ d ′ |b, to d ′ |d.
Oznaczamy go NW D(f, g).
Prosta indukcja pokazuje, że każdy wielomian z K[X] jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych.
Ponadto, jedynymi elementami odwracalnymi w K[X] są niezerowe wielomiany stopnia 0
Twierdzenie 2.3. Niech K będzie ciałem. Wówczas:
1. Każdy ideał w I w pierścieniu K[X] jest główny. Jeśli I ≠ 0, to I jest generowany przez wielomian
z I\{0} najniższego stopnia
2. Niech f, g ∈ K[X]. Wówczas NW D(f, g) istnieje i jest to generator ideału (f, g). W szczególności,
NW D(f, g) = uf + vg dla pewnych u, v ∈ K[X]
3. Niech f ∈ K[X] będzie wielomianem nierozkładalnym oraz niech f|gh dla pewnych g, h ∈ K[X].
Wówczas f|g lub f|h
4. Niech f ∈ K[X]. Wówczas ideał (f) jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy f = 0 lub f jest nierozkładalny.
Ponadto, każdy niezerowy ideał pierwszy w K[X] jest maksymalny.
5. Jeśli f ∈ K[X] i deg f > 0, to f jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych, przy czym jeśli
f = f 1 . . . f s = g 1 . . . g r są dwoma rozkładami f na iloczyn wielomianów nierozkładalnych to s = r
oraz istnieje permutacja σ i t 1 , . . . t r ∈ K\{0} takie, że f i = t i g σ(i) dla i = 1, . . . , r
Definicja 2.5. Niech f = ∑ n
i=0 f iX i . Wartością wielomianu f dla argumentu c ∈ K nazywamy element
tego ciała ∑ n
i=0 f ic i . Oznaczamy go f(c).
Element c ∈ K nazywa się pierwiastkiem wielomianu f, jeśli f(c) = 0.
Twierdzenie 2.4 (Bezouta). Niech f ∈ K[X]. Element c ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f wtedy i
tylko wtedy, gdy (X − c)|f
Definicja 2.6. Krotnością pierwiastka c ∈ K wielomianu f ∈ K[X] nazywamy liczbę k ∈ N taką, że
(X − c) k |f i (X − c) k+1 ∤ f.
Twierdzenie 2.5. Wielomian f ∈ K[X] ma co najwyżej deg f pierwiastków. Jeżeli ciało jest algebraicznie
zamknięte (to znaczy każdy wielomian nad tym ciałem ma pierwiastek) to wielomian f ∈ K[X] ma
dokładnie deg f pierwiastków.
Przykład 2.1. Kilka przykładów:
1. W pierścieniu K[X, Y ] nie każdy ideał jest główny.
6

2. Wielomian X 2 + 1 ∈ R[X] jest nierozkładalny, natomiast wielomian X 2 + 1 ∈ C[X] jest rozkładalny.
Co więcej, jednymi wielomianami nierozkładalnymi nad C są wielomiany stopnia pierwszego, nad R
są to wielomiany stopnia 1 i 2.
3. Dowodzi się, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to wielomian X p−1 + . . . + X + 1 ∈ Q[X] jest nierozkładalny.
3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe. Baza i wymiar przestrzeni,
macierz przekształcenia - definicje i przykłady
Przypuśćmy, że dane są: ciało K, niepusty zbiór E oraz dwa działania:
+: E × E → E (działanie wewnętrzne w zbiorze E)
⊙: K × E → E (działanie zewnętrzne w zbiorze E)
Będziemy stosować zapis +(x, y) = x + y, ⊙(r, x) = r ⊙ x = rx
Definicja 3.1. Czwórkę (E, K, +, ⊙) nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K, jeżeli spełnione są
warunki:
1. ∀ x,y∈E x + y = y + x,
2. ∀ x,y,z∈E (x + y) + z = (x + y) + z,
3. ∃ 0∈E ∀ x∈E takie, że 0 + x = x,
4. ∀ x∈E ∃ y∈E x + y = 0, taki element y oznaczamy −x,
5. ∀ x∈E 1x = x
6. ∀ a1,a 2∈K∀ x∈E (a 1 a 2 )x = a 1 (a 2 x)
7. ∀ a1,a 2∈K∀ x∈E (a 1 + a 2 )x = a 1 x + a 2 x
8. ∀ a∈K ∀ x,y∈E a(x + y) = ax + ay
Pierwsze 4 warunki powyższej definicji mówią, że (E, +, 0) jest grupą abelową. W dalszym ciągu przestrzeń
(E, K, +, ⊙) oznaczać będziemy krótko przez E, zakładając, że przestrzeń E jest nad pewnym
ustalonym ciałem K.
Definicja 3.2. Niepusty podzbiór E ′ przestrzeni liniowej E nazywamy podprzestrzenią przestrzeni E,
jeżeli
1. ∀ x,y∈E ′ x + y ∈ E ′ ,
2. ∀ x∈E ′∀ a∈K ax ∈ E ′
Definicja 3.3. Niech x 1 , . . . x n ∈ E. Mówimy, że wektory x 1 , . . . x n są liniowo niezależne, jeżeli z równości
a 1 x 1 + . . . + a n x n = 0 wynika, że a 1 = . . . = a n = 0. Mówimy, że wektory x 1 , . . . x n są liniowo zależne,
jeżeli nie są liniowo niezależne, to znaczy, jeżeli istnieją a 1 , . . . a n ∈ K nie wszystkie równe zeru takie, że
a 1 x 1 + . . . + a n x n = 0.
Niech X = {x t } t∈T ⊂ E. Przez span X oznaczamy przestrzeń liniową składającą się z wszystkich
skończonych kombinacji liniowych wektorów X, to znaczy przestrzeń: { ∑ n
i=1 a ix i : a i ∈ K, n = 1, 2, . . .}.
Oczywiście, jeżeli X jest podzbiorem przestrzeni liniowej E, to span X jest podprzestrzenią liniową
przestrzeni E.
7

Definicja 3.4. Niech X = {x t } t∈T ⊂ E. Mówimy, że zbiór X jest bazą przestrzeni E jeżeli span X = E
oraz każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny.
Twierdzenie 3.1 (Steinitza). Niech E będzie przestrzenią liniową z bazą {x 1 , . . . , x n } oraz niech wektory
y 1 , . . . , y s ∈ E będą liniowo niezależne. Wówczas s n oraz spośród wektorów x 1 , . . . x n można wybrać
n − s wektorów, które wraz z wektorami y 1 , . . . y n tworzą bazę przestrzeni E.
Z twierdzenia Steinitza wynika, że jeżeli przestrzeń E ma bazę n-elementową to każda baza w E ma
dokładnie n elementów.
Definicja 3.5. Jeżeli przestrzeń liniowa E nad ciałem K ma skończoną bazę, to liczbę elementów tej bazy
nazywamy wymiarem przestrzeni E i oznaczamy dim K E. Jeżeli przestrzeń E nie ma skończonej bazy, to
przyjmujemy dim K E = ∞.
Przyjmuje się, że bazą przestrzeni zerowej jest układ pusty i że wymiar przestrzeni zerowej jest 0.
Istnienie bazy w dowolnej przestrzeni liniowej wynika z lematu Kuratowskiego - Zorna.
Przykład 3.1. Rozważmy kilka przykładów przestrzeni liniowych:
1. Oczywiście każde ciało K jest jednowymiarową przestrzenią liniową nad K z bazą złożoną z elementu
neutralnego.
2. Jeżeli 1 jest elementem neutralnym ciała K, to w zbiorze K n określamy wektory: e i = (0, . . . , 1, . . . , 0)
(1 na i-tym miejscu) dla i = 1, . . . , n. Dla x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ), a ∈ K określamy
działania: x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) oraz ax = (ax 1 , . . . , ax n ). Wówczas jest to przestrzeń
liniowa z bazą e 1 , . . . , e n . Stąd dim K K n = n
W szczególności C n (R n ) jest przestrzenią liniową nad C(R) wymiaru n.
3. Przestrzeń C n jest przestrzenią liniową nad R wymiaru 2n.
4. Jeżeli m n, to K m jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej K n
5. Przestrzeń R jest przestrzenią liniową nad Q nieskończonego wymiaru.
6. Można pokazać, że zbiór C(X) = {f : f : X → R, f - ciągła} jest przestrzenią liniową nad R, jeżeli
działania określimy następująco: dla f, g ∈ C(X), a ∈ R (f + g)(x) = f(x) + g(x), (rf)(x) = rf(x).
Wymiar przestrzeni C(X) zależy od wymiaru przestrzeni X. Na przykład, w skrajnym przypadku,
gdy X jest przestrzenią jednopunktową, to dim R C(X) = 1. Na ogół C(X) jest jednak przestrzenią
nieskończenie wiele wymiarową, na przykład jeśli X = [a, b], to ciąg funkcji {f n }, f n (x) = x n stanowi
układ liniowo niezależny.
W podobny sposób można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej na innych przestrzeniach funkcyjnych,
na przykład na zbiorze funkcji całkowalnych oraz na zbiorze funkcji k-krotnie różniczkowalnych
w sposób ciągły C k (X). Co więcej C k (X) ⊂ . . . C 1 (X) ⊂ C(X) są kolejnymi podprzestrzeniami
liniowymi.
Definicja 3.6. Niech E, E ′ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie T : E → E ′
nazywamy liniowym, jeżeli dla dowolnych x 1 , x 2 ∈ E i dla dowolnego a 1 , a 2 ∈ K zachodzi równość:
T (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 T (x 1 ) + a 2 T (x 2 ).
Definicja 3.7. Niech E, E ′ będą przestrzeniami liniowymi oraz niech T : E → E ′ będzie odwzorowaniem
liniowym. Jądrem odwzorowania T nazywamy zbiór ker T = {x ∈ E : T (x) = 0}. Obrazem odwzorowania
T nazywamy zbiór Im T = {y ∈ E ′ : ∃ x∈E T (x) = y}
Odwzorowanie liniowe T nazywamy monomorfizmem, jeśli ker T = {0}; epimorfizmem, jeśli Im T = E ′ ,
izomorfizmem, jeżeli T jest monomorfizmem i epimorfizmem.
Zauważmy, że izomorfizm jest odwzorowaniem odwracalnym.
8

Twierdzenie 3.2. Niech T : E → E ′ będzie odwzorowaniem liniowym. Im T jest podprzestrzenią przestrzeni
E ′ , ker T jest podprzestrzenią przestrzeni E.
Twierdzenie 3.3. Dwie skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem , mające ten
sam wymiar, są izomorficzne.
Uwaga 3.4. Niech L(E, E ′ ) = {T : E → E ′ : T - odwzorowanie liniowe}. Określamy działania:
(T + S)(x) = T (x) + S(x), (aT )(x) = aT (x) dla T, S ∈ L(E, E ′ ) oraz a ∈ K, x ∈ E. Można sprawdzić, że
zbiór L(E, E ′ ) wraz z podanymi działaniami stanowi przestrzeń liniową.
Niech A będzie bazą przestrzeni E oraz niech T : E → E ′ będzie odwzorowaniem liniowym. Wówczas,
dla dowolnego x ∈ X istnieją x 1 , . . . , x n ∈ A, a 1 , . . . , a n ∈ K takie, że
T (x) = a 1 T (x 1 ) + . . . + a n T (x n ). (1)
Stąd wynika, że odwzorowanie liniowe jest jednoznacznie określone przez wartości na elementach pewnej
bazy.
Niech E, E ′ będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K z bazami {e 1 , . . . , e n }
oraz {e ′ 1, . . . , e ′ m}. Niech T : E → E ′ będzie odwzorowaniem liniowym. Wówczas, ze wzoru (1) mamy,
że T (x) = a 1 T (e 1 ) + . . . + a n T (e n ) dla dowolnego x ∈ E. Ponadto, z tego, że T (e i ) ∈ E ′ wynika, że
a i T (e i ) = a i1 e ′ 1 + . . . + a im e ′ m dla dowolnego i = 1, . . . , m. Macierz:
⎡
⎤
a 11 a 12 . . . a 1n
⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
a m1 a m2 . . . a mn
nazywamy macierzą przekształcenia liniowego T .
Stąd wynika w szczególności:
Twierdzenie 3.5. Niech E, E ′ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K takimi, że dim E = n,
dim E ′ = m. Wówczas przestrzeń L(E, E ′ ) jest izomorficzna z przestrzenią macierzy wymiaru n × m
nad ciałem K.
Twierdzenie 3.6. Jeżeli E, E ′ są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, to odwzorowanie liniowe
T : E → E ′ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy macierz tego odwzorowania jest macierzą
kwadratową o niezerowym wyznaczniku.
Przykład 3.2. Rozważmy:
1. Jeżeli m n, to określamy odwzorowanie j : K m → K n wzorem: j(e i ) = e i dla i = 1 . . . m. Macierz
tego odwzorowania jest następująca:
⎡
⎤
1 0 . . . 0 0 . . . 0
0 1 . . . 0 0 . . . 0
. . . .. . . . .. .
0 0 . . . 1 0 . . . 0
0 0 . . . 0 0 . . . 0
⎢
⎣
.
.
. .. . ⎥
. . .. . ⎦
0 0 . . . 0 0 . . . 0
Ogólniej, jeżeli E ′ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni E, to możemy w ten sposób określić monomorfizm.
2. Odwzorowanie I : C([a, b]) → R, dane wzorem I(f) =
∫ b
a
f(x)dx, jest przekształceniem liniowym.
9

Twierdzenie 3.7. Niech będą dane dwie przestrzenie liniowe E i E ′ nad ciałem K, przy czym
dim E = n < ∞. Jeśli e 1 , . . . e n jest bazą przestrzeni E i g 1 , . . . , g n jest dowolnym układem n-elementowym
wektorów przestrzeni E ′ , to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe T : E → E ′ takie, że T (e i ) = g i
dla i = 1, . . . n. Ponadto, odwzorowanie T jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory g 1 , . . . , g n
są liniowo niezależne.
Dowód. Dla x = a 1 x 1 + . . . a n x n ∈ E określamy T : E → E ′ wzorem: T (x) = x 1 g 1 + . . . + x n g n .
Stąd w szczególności wynika, że jeżeli na przestrzeni skończenie wymiarowej mamy dwie bazy: e 1 , . . . e n
oraz e ′ 1, . . . e ′ n, to odwzorowanie T : E → E dane wzorem T (x) = x 1 e ′ 1 + . . . + x n e ′ n dla x = a 1 x 1 + . . . a n x n
jest jedynym odwzorowaniem liniowym takim, że T (e i ) = e ′ i . Macierz tego przekształcenia nazywamy
macierzą przejścia i oznaczamy ją S.
Twierdzenie 3.8. Niech E będzie przestrzenią liniową oraz niech e = (e 1 , . . . e n ), e ′ = (e ′ 1, . . . e ′ n) będą
dwoma bazami tej przestrzeni oraz niech T : E → E będzie odwzorowaniem liniowym. Jeżeli odwzorowanie
T ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ′ ma macierz B, to B = S −1 AS.
4 Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Przez cały rozdział zakładamy, że K jest ustalonym ciałem oraz wszystkie skalary należą do tego ciała.
Układ ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2
. (2)
.
. .. . .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m
nazywamy liniowym układem m równań z n niewiadomymi (nad ciałem K), skalary a ij - współczynnikami
przy niewiadomych, a b i - wyrazami wolnymi. Ciąg skalarów (r 1 , r 2 , . . . , r n ) nazywamy rozwiązaniem układu
(2), jeśli zachodzą równości:
⎧
a 11 r 1 + a 12 r 2 + . . . + a 1n r n = b 1
⎪⎨ a 21 r 1 + a 22 r 2 + . . . + a 2n r n = b 2
.
.
. .. . .
⎪⎩
a m1 r 1 + a m2 r 2 + . . . + a mn r n = b m
Mówimy wówczas, że skalary r 1 , r 2 , . . . , r n spełniają układ (2).
Macierz
⎡
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
A = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
a m1 a m2 · · · a mn
nazywamy macierzą główną układu (1) zaś macierz
⎡
∣ ⎤
a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣ b 1
a 21 a 22 · · · a 2n b 2 U = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. . ⎦
a m1 a m2 · · · a mn b m
nazywamy macierzą rozszerzoną (uzupełnioną) układu (2).
(3)
(4)
10

Układ 2 nazywamy jednorodnym, jeżeli b 1 = . . . = b n = 0, w przeciwnym wypadku mówimy, że układ
jest niejednorodny. Oznaczmy:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
b 1 x 1
b 2 B = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦ , X = x 2
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
b m x m
Wówczas równanie (2) jest równoważne z równaniem macierzowym:
AX = B (5)
Jeżeli w układzie (2) n = m oraz det A ≠ 0, to układ ten nazywamy układem Cramera. Zauważmy, że
wtedy X = A −1 B jest jedynym rozwiązaniem układu (5).
Przez A i oznaczymy macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy głównej układu i-tej kolumny na
kolumnę wyrazów wolnych układu równań:
⎡
⎤
a 11 a 12 . . . a 1 i−1 b 1 a 1 i+1 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2 i−1 b 2 a 2 i+1 . . . a 2n
A i = ⎢
⎣
.
. . .. . . . . ..
⎥
. ⎦
a n1 a n2 . . . a n i−1 b n a n i+1 . . . a nn
Twierdzenie 4.1 (Cramera). Jeżeli układ (2) jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie
określone wzorami: x j = dla j = 1, . . . n.
det Aj
det A
Wniosek 4.2. Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu Cramera jest rozwiązanie x 1 = . . . = x n = 0.
Definicja 4.1. Rzędem macierzy A = [A 1 , . . . , A n ] nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych
wektorów spośród A 1 , . . . , A n . Oznaczamy go rz A.
Równoważnie, jest to wymiar maksymalnego minora o niezerowym wyznaczniku.
Twierdzenie 4.3 (Kroneckera-Capellego). Układ równań (2) ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i
tylko wtedy, gdy rz A = rz U.
Załóżmy teraz, że rz A = rz U = k. Bez zmniejszenia ogólności, możemy założyć, że układ składający
się z pierwszych k wierszy macierzy A jest liniowo niezależny. Wówczas układ składający się z pierwszych
k wierszy macierzy U także jest liniowo niezależny. Z tego, że rz U = k wynika, że ostatnie n−k wierszy da
się przedstawić jako liniowe kombinacje pierwszych k wierszy. Zatem, jeżeli x 1 , . . . , x n jest rozwiązaniem
pierwszych k równań, to spełnia także ostatnie n − k równań. Wystarczy zatem rozważać układ
⎧
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1
⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2
. (6)
. . .. . .
⎪⎩
a k1 x 1 + a k2 x 2 + . . . + a kn x n = b k
Rozważmy 2 przypadki:
1. Jeżeli k = n, to układ (6) jest układem Cramera.
2. Załóżmy, że k < n. Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że pierwszych k kolumn macierzy
stowarzyszonej z układem (6) jest liniowo niezależnych. Podstawiając za x k+1 , . . . x n dowolne skalary
r k+1 , . . . r n z ciała otrzymujemy układ:
⎧
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1k x k = b 1 − a 1 k+1 r k+1 − . . . − a 1 n r n
⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2k x k = b 2 − a 2 k+1 r k+1 − . . . − a 2 n r n
. (7)
. . .. .
.
⎪⎩
a k1 x 1 + a k2 x 2 + . . . + a kk x k = b k − a k k+1 r k+1 − . . . − a k n r n
11

Układ (12) jest układem Cramera (przy ustalonych r k+1 , . . . , r n ) więc znane są jego rozwiązania. Co
więcej, jeżeli ciało K jest nieskończone to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Twierdzenie 4.4. Układ (2) ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko, gdy rz A = n, to znaczy rząd
macierzy układu jest równy ilości niewiadomych.
Metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy uzupełnionej układu U do prostszej macierzy
(z większą ilością zer) poprzez operacje elementarne na wierszach macierzy U, to znaczy mnożenie
przez skalar, zamiana miejsc dowolnych dwóch wierszy oraz dodanie do dowolnego wiersza kombinacji liniowej
pozostałych wierszy. Łatwo pokazać, że takie operacje nie zmieniają rozwiązań wyjściowego układu
(mówi się o równoważności układów).
Załóżmy, że rz A = rz U = k i rozważmy macierz
⎡
∣ ⎤
a 11 a 12 · · · a 1n∣∣∣∣∣∣∣∣
b 1
a 21 a 22 · · · a 2n b 2 U 1 = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
(8)
. . ⎦
a k1 a k2 · · · a kn b k
Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że a 11 ≠ 0. Mnożąc pierwszy wiersz przez a −1
11 a i1 i dodając
do i-tego wiersza (dla i = 2, . . . k) otrzymujemy macierz:
⎡
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
b 1
0 a ′ 22 · · · a ′ 2n
b ′ ⎢
⎣
.
. . .. ⎥
(9)
.
2. ⎦
0 a ′ k2
· · · a ′ ∣
kn
b ′ k
Po skończonej liczbie tego rodzaju przekształceń otrzymujemy macierz:
⎡
⎤
a 11 a 12 a 13 · · · a 1n
b 1
0 a (1)
22 a (1)
23 · · · a (1)
2n
b (1)
0 0 a (2)
33 · · · a (2)
2
2n
b (2)
⎢
.
⎣ . . . .. ⎥
.
3. ⎦
0 · · · 0 a (k−1)
kk
· · · a (k−1)
∣
kn
b (k−1)
k
Tej macierzy odpowiada układ
⎧
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1n x n = b 1
⎪⎨
a (1)
22 x 2 + a (1)
23 x 3 + . . . + a (1)
2n x n = b (1)
2
.
.
.. . .
⎪⎩
a (k−1)
kk
x k + . . . + a (k−1)
mn x n = b (k−1)
m
(10)
(11)
Rozważmy 2 przypadki:
1. Jeżeli k = n, to z ostatniego równania wyznaczamy x k , podstawiamy do przedostatniego, następnie
z przedostatniego wyznaczamy x k−1 , i tak dalej, aż do wyznaczenia x 1 z pierwszego równania.
2. Jeżeli k < n to ustalamy dowolne skalary r k+1 , . . . r n , wstawiamy je za x r+1 , . . . , x n i rozwiązujemy
układ jak w pierwszym przypadku.
5 Formy kwadratowe i klasyfikacja stożkowych
Przez cały rozdział zakładamy, że E jest przestrzenią liniową nad ciałem K.
12

Definicja 5.1. Funkcjonałem dwuliniowym określonym na przestrzeni liniowej E nazywamy funkcję
ϕ: E × E → K, spełniającą następujący warunek:
∀ x1,x 2∈E∀ a1,a 2∈E ϕ(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 ϕ(x 1 ) + a 2 ϕ(x 2 )
Przestrzeń wszystkich funkcjonałów dwuliniowych na przestrzeni E oznaczamy: L(E 2 , K).
Twierdzenie 5.1. Niech dim E = n i niech e 1 , . . . , e n będzie bazą przestrzeni E oraz ψ, ϕ ∈ L(E 2 , K).
Jeżeli dla dowolnych 1 i, j n, ψ(e i , e j ) = ϕ(e i , e j ), to ψ = ϕ.
Niech e 1 , . . . , e n będzie bazą przestrzeni E. Wówczas dla dowolnych x, y ∈ E istnieją x 1 , . . . , x n oraz
y 1 , . . . , y n takie, że x = ∑ n
i=1 x ie i oraz y = ∑ n
i=1 y ie i . Wówczas ϕ(x, y) = ∑ n
i=1 x iy i jest funkcjonałem
dwuliniowym. Ponadto, jeżeli ϕ jest dowolnym funkcjonałem dwuliniowym, to
gdzie a ij = ϕ(e i , e j ).
ϕ(x, y) =
n∑
a ij x i y i , (12)
i,j=1
Twierdzenie 5.2. Jeśli dim E = n i [a ij ] ∈ M n (K) (to znaczy jest macierzą kwadratową, wymiaru n
o współczynnikach w ciele K), to istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy ϕ ∈ L(E 2 , K) taki, że
dla dowolnie wybranej bazy przestrzeni E zachodzi równość ϕ(e i , e j ) = a ij (1 i, j n), przy czym ϕ
przedstawia się w postaci (12).
Prawa strona wyrażenia (12) nazywa się formą dwuliniową, a skalary a ij współczynnikami formy dwuliniowej.
Twierdzenie 5.3. Niech dim E = n oraz e = (e 1 , . . . , e n ), e ′ = (e ′ 1, . . . , e ′ n) będą dwoma bazami przestrzeni
E. Jeżeli ϕ ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ′ ma macierz B, to B = S T AS, gdzie S jest macierzą
przejścia z bazy e do bazy e ′ .
Definicja 5.2. Funkcjonał dwuliniowy ϕ nazywa się symetrycznym, jeśli dla każdych x, y ∈ E zachodzi
równość: ϕ(x, y) = ϕ(y, x).
Mówimy, że macierz A ∈ M n (K) jest symetryczna, jeżeli A = A T .
Twierdzenie 5.4. Niech dim E = n.
Jeśli funkcjonał ϕ ∈ L(E 2 , K) jest symetryczny, to jego macierz w dowolnej bazie jest symetryczna.
Jeśli macierz funkcjonału dwuliniowego ϕ ∈ L(E 2 , K) w pewnej bazie jest symetryczna, ϕ jest funkcjonałem
symetrycznym.
Od tej pory zakładamy, że ciało K jest charakterystyki różnej niż 2, to znaczy 2 = 1 + 1 ≠ 0
Definicja 5.3. Niech ϕ ∈ L(E 2 , K) będzie funkcjonałem symetrycznym. Funkcja F : V → K określona w
następujący sposób: F (x) = ϕ(x, x) nazywa się funkcjonałem kwadratowym danym na przestrzeni V .
Dla danego funkcjonału kwadratowego F określamy ϕ(x, y) = 1 2
(F (x + y) − F (x) − F (y)). Zatem
istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między funkcjonałami kwadratowymi a funkcjonałami
dwuliniowymi symetrycznymi.
Jeżeli ϕ ′ nie jest funkcjonałem symetrycznym to określamy ϕ(x, y) = 1 2 (ϕ′ (y, x) + ϕ ′ (x, y)). Oczywiście
ϕ(x, x) = ϕ ′ (x, x). Dlatego od tej pory zakładamy, że omawiane funkcjonały są symetryczne.
W dalszym ciągu będziemy zawsze zakładać, że dim E = n.
Niech e 1 , . . . , e n będzie bazą V oraz x = ∑ n
i=1 x ie i , y = ∑ n
i=1 y ie i . Wówczas ϕ przedstawia się w
postaci (12), gdzie a ij = a ji . Otrzymujemy stąd ogólną postać funkcjonału kwadratowego w przestrzeni
skończonego wymiaru:
n∑
F (x) = a ij x i x j , (13)
i,j=1
gdzie a ij = a ji . Prawa strona we wzorze (13) nazywa się formą kwadratową. Macierz A = [a ij ] zbudowaną
ze współczynników formy (13) nazywamy macierzą formy kwadratowej (13).
13

Twierdzenie 5.5. Niech e = (e 1 , . . . , e n ), e ′ = (e ′ 1, . . . , e ′ n) będą dwoma bazami przestrzeni E. Jeżeli
forma kwadratowa (13) funkcjonału kwadratowego F ma w bazie e macierz A oraz w bazie e ′ ma macierz
B, to B = S T AS, gdzie S jest macierzą przejścia z bazy e do bazy e ′ .
Definicja 5.4. Rzędem formy kwadratowej nazywa się rząd jej macierzy.
Z 5.5 wynika, że rząd formy kwadratowej nie zależy od wyboru bazy.
Definicja 5.5. Mówimy, że forma kwadratowa (13) funkcjonału kwadratowego F ma w bazie e = (e 1 , . . . , e n )
postać kanoniczną, jeśli a ij = 0 dla i ≠ j. Taka baza e nazywa się bazą kanoniczną funkcjonału F .
Funkcjonał kwadratowy F zapisuje się w bazie kanonicznej w postaci:
F (x) =
n∑
a i x 2 i , (14)
Stąd wynika, że e jest bazą kanoniczną funkcjonału F wtedy i tylko wtedy, gdy macierz tego funkcjonału
w bazie e jest diagonalna.
Twierdzenie 5.6. Niech F będzie funkcjonałem kwadratowym określonym na przestrzeni E. Istnieje wówczas
baza w przestrzeni E, będąca bazą kanoniczną funkcjonału F .
i=1
Niech teraz E będzie przestrzenią liniową nad R wymiaru n oraz F będzie funkcjonałem kwadratowym
określonym na przestrzeni E.
Mówimy, że forma kwadratowa (14) jest w postaci normalnej, jeżeli jej współczynniki są równe 0, 1 lub
-1.
Twierdzenie 5.7. W przestrzeni E istnieje baza, w której funkcjonał F ma postać normalną.
Twierdzenie 5.8 (o bezwładności). Ilość współczynników dodatnich, ujemnych oraz zerowych formy kwadratowej
(14) nie zależy od wyboru bazy kanonicznej funkcjonału F .
Definicja 5.6. Mówimy, że funkcjonał kwadratowy F jest dodatnio (ujemnie) określony, jeżeli dla dowolnego
x ∈ X, x ≠ 0 zachodzi: F (x) > 0 (F (x) < 0).
Twierdzenie 5.9. Funkcjonał kwadratowy F jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
dodatnich współczynników jego formy kwadratowej w postaci kanonicznej jest równa wymiarowi przestrzeni
E. Ponadto, jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k = 1, . . . , n zachodzi:
(−1) k a 1 · . . . · a k > 0.
Przykład 5.1. Przykłady funkcjonałów i form kwadratowych:
1. Niech E będzie przestrzenią liniową nad R. Wówczas iloczyn skalarny 〈·, ·〉 jest funkcjonałem dwuliniowym
symetrycznym, zaś norma jest funkcjonałem kwadratowym dodatnio określonym generowanym
przez 〈·, ·〉.
2. Niech E będzie przestrzenią liniową nad R oraz niech A ∈ M n (R) będzie macierzą symetryczną.
Wówczas odwzorowanie F : E × E → R dane wzorem F (x) = 1 2
〈Ax, x〉, gdzie 〈·, ·〉 jest dowolnym
iloczynem skalarnym w E, jest funkcjonałem kwadratowym.
3. Niech E będzie przestrzenią liniową nad R oraz niech A ∈ M n (R). Wówczas odwzorowanie
F 1 : E × E → R dane wzorem F 1 (x) = 1 2 〈 1 2 (A + AT )x, x〉, gdzie 〈·, ·〉 jest dowolnym iloczynem
skalarnym w E, jest funkcjonałem kwadratowym.
Krzywą stożkową nazywamy zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (a dokładniej powierzchni
bocznej stożka) i płaszczyzny.
Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z
osią stożka i jego tworzącą:
14

1. W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między
tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli
płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
2. Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego
tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (nie
zaliczaną do krzywych stożkowych).
3. Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a
jego tworzącą, to otrzymana krzywa stożkowa jest hiperbolą.
Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje
tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się
parę przecinających się prostych, nie zaliczaną do stożkowych.
Krzywe stożkowe i ich równania:
1. okrąg x 2 + y 2 = r 2 ,
2. elipsa x2
a
+ y2
2 b
= 1; x2
2 b
+ y2
2 a
= 1,
2
3. parabola y 2 = 4ax ; x 2 = 4ay
4. hiperbola x2
a
− y2
2 b
= 1; x2
2 b
− y2
2 a
= 1 2
Obrazek:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Conic sections with plane.svg
15