1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

Definicja 1.8. Element a pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera, jeśli a ≠ θ oraz istnieje element b ∈ R,
b ≠ θ, taki, że ab = θ
Pierścień R nazywa się dziedziną (całkowitości), jeśli θ ≠ e oraz w pierścieniu R nie ma dzielników zera.
Fakt 1.3. Jeżeli a, b, c są elementami dziedziny R takimi, że ac = bc oraz c ≠ θ, to a = b
Definicja 1.9. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b ∈ R taki, że
ab = e (taki element b oznaczamy przez a −1 ) Jeżeli a ≠ θ nie jest odwracalny, to nazywamy go elementem
nieodwracalnym.
Definicja 1.10. Mówimy, że pierścień przemienny z jedynką (K, ⊕, ⊙, θ, e) jest ciałem jeżeli każdy
x ∈ K\{θ} jest odwracalny. Taki element będziemy oznaczali x −1 .
Równoważnie, możemy powiedzieć, że (K, ⊕, ⊙, θ, e) jest ciałem, jeżeli (K, ⊕, θ), (K\{θ}, ⊙, e) są grupami
oraz działanie ⊙ jest rozdzielne względem działania ⊕. Grupę (K, ⊕, θ) nazywamy grupą addytywną
ciała K zaś (K\{θ}, ⊙, e) nazywamy grupą multiplikatywną ciała K
Definicja 1.11. Najmniejszy ideał pierścienia R zawierający podzbiór X ⊂ R nazywamy ideałem generowanym
przez zbiór X i oznaczamy (X)
Ideał I pierścienia R nazywamy głównym, jeśli istnieje element a ∈ R taki, że I = (a).
Dziedzinę R nazywa się dziedziną ideałów głównych, jeśli wszystkie ideały w pierścieniu R są główne.
Uwaga 1.4. Niech R będzie pierścieniem przemiennym oraz I ⊳ R. Wówczas:
1. I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest dziedziną.
2. I jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest ciałem.
Ponadto każdy ideał maksymalny w pierścieniu R jest pierwszy.
Przykład 1.7. Rozważmy następujące przykłady:
1. W pierścieniu liczb całkowitych jedynymi ideałami maksymalnymi są ideały postaci (p), gdzie p jest
liczbą pierwszą. Ponadto, jedynymi ideałami pierwszymi są ideały takiej postaci dla p = 0, 1 lub jeżeli
p jest liczbą pierwszą.
2. Jeżeli K jest ciałem, to jedynymi ideałami w K są ideały niewłaściwe. Zatem każde ciało jest dziedziną
ideałów głównych.
3. W pierścieniu liczb całkowitych każdy ideał jest główny, zatem jest to dziedzina ideałów głównych.
Dziedziną ideałów głównych jest także pierścień Z p .
4. Jeżeli K jest ciałem to pierścień wielomianów jednej zmiennej K[X] jest dziedziną ideałów głównych.
Kilka przykładów ciał:
5. Oczywiście, pierścienie Q, R, C są ciałami, pierścień Z nie jest ciałem.
6. Pierścień Z p jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.
2 Pierścień wielomianów o współczynnikach w danym pierścieniu
przemiennym. Ideały w pierścieniu K[X] (K jest ciałem).
Wielomiany nierozkładalne. Pierwiastki wielomianu, twierdzenie
Bezouta.
Przez cały paragraf zakładamy, że (R, +, ·, 1, 0) jest pierścieniem przemiennym oraz K jest ciałem. Zakładamy,
że N = {0, 1, . . .}
4