1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ide- ały ...

Układ (12) jest układem Cramera (przy ustalonych r k+1 , . . . , r n ) więc znane są jego rozwiązania. Co
więcej, jeżeli ciało K jest nieskończone to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Twierdzenie 4.4. Układ (2) ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko, gdy rz A = n, to znaczy rząd
macierzy układu jest równy ilości niewiadomych.
Metoda eliminacji Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy uzupełnionej układu U do prostszej macierzy
(z większą ilością zer) poprzez operacje elementarne na wierszach macierzy U, to znaczy mnożenie
przez skalar, zamiana miejsc dowolnych dwóch wierszy oraz dodanie do dowolnego wiersza kombinacji liniowej
pozostałych wierszy. Łatwo pokazać, że takie operacje nie zmieniają rozwiązań wyjściowego układu
(mówi się o równoważności układów).
Załóżmy, że rz A = rz U = k i rozważmy macierz
⎡
∣ ⎤
a 11 a 12 · · · a 1n∣∣∣∣∣∣∣∣
b 1
a 21 a 22 · · · a 2n b 2 U 1 = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
(8)
. . ⎦
a k1 a k2 · · · a kn b k
Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że a 11 ≠ 0. Mnożąc pierwszy wiersz przez a −1
11 a i1 i dodając
do i-tego wiersza (dla i = 2, . . . k) otrzymujemy macierz:
⎡
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
b 1
0 a ′ 22 · · · a ′ 2n
b ′ ⎢
⎣
.
. . .. ⎥
(9)
.
2. ⎦
0 a ′ k2
· · · a ′ ∣
kn
b ′ k
Po skończonej liczbie tego rodzaju przekształceń otrzymujemy macierz:
⎡
⎤
a 11 a 12 a 13 · · · a 1n
b 1
0 a (1)
22 a (1)
23 · · · a (1)
2n
b (1)
0 0 a (2)
33 · · · a (2)
2
2n
b (2)
⎢
.
⎣ . . . .. ⎥
.
3. ⎦
0 · · · 0 a (k−1)
kk
· · · a (k−1)
∣
kn
b (k−1)
k
Tej macierzy odpowiada układ
⎧
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1n x n = b 1
⎪⎨
a (1)
22 x 2 + a (1)
23 x 3 + . . . + a (1)
2n x n = b (1)
2
.
.
.. . .
⎪⎩
a (k−1)
kk
x k + . . . + a (k−1)
mn x n = b (k−1)
m
(10)
(11)
Rozważmy 2 przypadki:
1. Jeżeli k = n, to z ostatniego równania wyznaczamy x k , podstawiamy do przedostatniego, następnie
z przedostatniego wyznaczamy x k−1 , i tak dalej, aż do wyznaczenia x 1 z pierwszego równania.
2. Jeżeli k < n to ustalamy dowolne skalary r k+1 , . . . r n , wstawiamy je za x r+1 , . . . , x n i rozwiązujemy
układ jak w pierwszym przypadku.
5 Formy kwadratowe i klasyfikacja stożkowych
Przez cały rozdział zakładamy, że E jest przestrzenią liniową nad ciałem K.
12