Dodatek: unifikacja i rezolucja. - Zakład Logiki Stosowanej, UAM

¬∃x(∀y∀z P (y, f(x, y, z)) → (∀y P (y, f(x, y, x)) ∧ ∀y∃z P (g(y), z))) 1.⋆ a
(1) ¬(∀y∀z P (y, f(a, y, z)) → (∀y P (y, f(a, y, a)) ∧ ∀y∃z P (g(y), z))) 2.¬→
(2 g ) ∀y∀z P (y, f(a, y, z)) 5.⋆ b 9. ⋆ g(c)
(2 d ) ¬(∀y P (y, f(a, y, a)) ∧ ∀y∃z P (g(y), z)) 3.¬∧
❍ ❍
❍
❍
✟ ✟✟✟✟✟✟✟ ❍
❍
❍
(3 l ) ¬∀y P (y, f(a, y, a)) 4.√ b
(3 p ) ¬∀y∃z P (g(y), z) 7.√ c
(4) ¬P (b, f(a, b, a))
(7) ¬∃z P (g(c), z) 8.⋆ f(a,g(c),a)
(5) ∀z P (b, f(a, b, z)) 6.⋆ a
(8) ¬P (g(c), f(a, g(c), a))
(6) P (b, f(a, b, a)) (9) ∀z P (g(c), f(a, g(c), z)) 10.⋆ a
× 4,6 (10) P (g(c), f(a, g(c), a))
× 8,10
Drzewo ma wszystkie gałęzie zamknięte. Zwróćmy uwagę na następujące rzeczy:
• Formuła w korzeniu drzewa jest zanegowaną formułą egzystencjalną i nie zawiera żadnej stałej indywiduowej.
W takim przypadku stosujemy regułę R(¬∃) dla dowolnej stałej indywiduowej. Ponieważ zakładamy, że w
sygnaturze rozważanego języka KRP mamy do dyspozycji przeliczalny zbiór stałych indywiduowych, krok taki
jest z definicji wykonalny.
• Gałąź prawą zamknięto wykorzystując zastosowania reguł R(∀) (krok 9.) oraz R(¬∃) (krok 8.). Istotne przy
tym było trafne dobranie termów: w kroku 8 termu f(a, g(c), a), a w kroku 9 termu g(c).
• Stosowana przez nas notacja ma pewien minus (w odróżnieniu od notacji Letza). W naszej notacji, wynik
zastosowania kroku 9 (czyli formuła ∀z P (g(c), f(a, g(c), z))) powinien zostać wpisany na obu gałęziach
drzewa. Widać, że formuła (9) nie ma żadnego wpływu na zamknięcie gałęzi lewej. Zastosowaliśmy (nielegalne!)
uproszczenie, nie wpisując (9) na lewej gałęzi. Nadto, w kroku 7 wprowadziliśmy nową stałą c, choć
równie dobrze można było (jak u Letza) posłużyć się stałą b. Notacja Letza różni się od naszej tym, że informacja
o wykonywanym kroku umieszczana jest na gałęzi drzewa, przed wynikiem wykonania tego kroku (a
nie z prawej strony formuły, do której stosujemy rozważany krok dowodowy). Tak więc, informacja o kroku 9
byłaby u Letza umieszczona na krawędzi między formułami o numerach 8 i 9. Wtedy jest wyraźnie widoczne,
że wynik wykonania kroku 9 dotyczy tylko prawej gałęzi drzewa. W rozważanym tu przypadku nasza notacja
nie prowadzi do błędu logicznego, ale każe zapisywać nieistotną (dla zamknięcia drzewa) informację na gałęzi
lewej. Z drugiej strony, można zastanawiać się, czy notacja Letza nie gubi jakiejś istotnej informacji — skoro
dokonujemy pewnej operacji na formule należącej do pnia drzewa, to wynik tej operacji powinien być znaczący
dla wszystkich formuł „potomnych”.
Do tego przykładu powrócimy niebawem, pokazując, jak można uzasadnić taki, a nie inny dobór termów w krokach
8 i 9.
24.4.1. Definicje
Przypominamy, że w podrozdziale 18.6.1. omówiono pojęcie skolemizacji. Będzie ono potrzebne poniżej.
Podstawowa idea wprowadzania tablic analitycznych ze zmiennymi wolnymi jest następująca. Zamiast reguł R(∀)
oraz R(¬∃) wprowadzamy regułę pozwalającą przejść od formuły generalnie skwantyfikowanej (lub negacji formuły
242