Dodatek: unifikacja i rezolucja. - Zakład Logiki Stosowanej, UAM

DOWÓD (1).
Niech A będzie formułą bez kwantyfikatorów. Pokażemy, że M |= A wtedy i tylko wtedy, gdy N |= A przez
indukcję po złożoności A.
Jeśli A jest formułą atomową, to — ponieważ nie zawiera wystąpień predykatu identyczności — musi być postaci
R(t 1 , . . . , t n ) dla pewnego predykatu n-argumentowego R z alfabetu V Γ oraz termów t 1 , . . . , t n . Ponieważ A jest
zdaniem, więc żaden z termów t i nie może zawierac zmiennych. Oznacza to, że wszystkie termy t i są elementami
H Γ . Z definicji M otrzymujemy wtedy, że M |= A wtedy i tylko wtedy, gdy N |= A.
Przypuśćmy, że:
• M |= A 1 wtedy i tylko wtedy, gdy N |= A 1
• M |= A 2 wtedy i tylko wtedy, gdy N |= A 2 .
Wtedy oczywiście także:
• M |= ¬A 1 wtedy i tylko wtedy, gdy N |= ¬A 1
• M |= A 1 ∧ A 2 wtedy i tylko wtedy, gdy N |= A 1 ∧ A 2 .
(podobnie dla innych spójników zdaniowych). To kończy dowód (1).
DOWÓD (2).
Dowód przeprowadzimy przez indukcję względem liczby kwantyfikatorów w A. Jeśli A nie zawiera żadnych
kwantyfikatorów, to na mocy (1) mamy: M |= A wtedy i tylko wtedy, gdy N |= A.
Przypuśćmy, że A jest postaci ∀x 1 . . . ∀x n B, gdzie B nie zawiera ani kwantyfikatorów, ani predykatu identyczności.
Założenie indukcyjne głosi, że (2) zachodzi dla wszystkich formuł, które mają mniej niż n kwantyfikatorów.
Niech C(x 1 ) będzie formułą otrzymaną z ∀x 1 . . . ∀x n B poprzez opuszczenie pierwszego kwantyfikatora. Niech t
będzie termem bez zmiennych z języka o sygnaturze V Γ (oznacza to, że t jest elementem H Γ ). Mamy:
• jeśli N |= C(x 1 ), to N |= C(t/x 1 ) (z definicji relacji |=),
• jeśli N |= C(t/x 1 ), to M |= C(t/x 1 ) (z założenia indukcyjnego).
Tak więc, jeśli N |= C(x 1 ), to M |= C(t/x 1 ). Term t był dowolnie wybranym elementem zbioru H Γ . Mamy
zatem: jeśli N |= A, to M |= C(t/x 1 ) dla wszystkich t ∈ H Γ . Ponieważ H Γ jest uniwersum struktury M, więc
z definicji relacji |= otrzymujemy: M |= ∀x 1 C(x 1 ). Ponieważ A jest identyczne z ∀x 1 C(x 1 ), dowód (2) został
zakończony.
DOWÓD (3).
Dla każdego A i ∈ Γ mamy:
• N |= A i
• A i jest w skolemowej postaci normalnej
• A i nie zawiera predykatu identyczności.
Spełnione są zatem wszystkie założenia (2). Tak więc, N |= Γ. To kończy dowód (3), a zarazem całego twierdzenia
25.3.1.
Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że:
• (†) Jeśli A jest formułą w skolemowej postaci normalnej bez predykatu identyczności, to: A jest spełnialna
wtedy i tylko wtedy, gdy A ma model Herbranda.
252