A t A

Ruch drgający i fale

Drgania:Ruch drgający jest ruchem okresowym, Położenie ciała powtarzasię w jednakowych odstępach czasux(t)=x(t+T) dla dowolnego tT- okres drgańpołożenief –częstotliwośćIlość drgań w jednostce czasuf=1T1Hz=1/s

Ruch ciężarka na sprężynie. Drgania harmoniczneT okres drgańA amplitudai r( π )x = Acos 2 ftx = AcosZależność x(t) może być opisana przy pomocy funkcjitrygonometrycznejx( t)=Acos( ωt)gdzieA-amplituda –moduł maksymalnego wychylenia z położeniarównowagi x=02πω = 2 πf= -częstość kołowa, f-częstotliwość drgańT

Widać iż x(t + T ) = Acos( ω(t + T ))=AcosZależność od czasu prędkościVx( t)=i przyspieszenia⎛Acos⎜ωt+⎝( ωt+ 2π) = Acos( ωt) = x(t)= 1r rV = Visin ( ωt) = −Vsin ( ωt)r r=dx( t)= = − AωmaxdtdV2a( t)= = − Aωcosmaxdtd cos( bt)dtAcosa( ωt)aid sin( bt)dt= −bsin( bt)= b cos( bt)=( ωt) = −acos ( ωt)i r2πTT⎞⎟⎠=Max. wartośćprędkościV =maxa =maxAωMax. wartośćprzyspieszenia2Aω

Ruch ciężarka na sprężyniex =Acos( ωt)położenieVprędkość= −Vmaxsin( ωt)v0( 2πft )V max= −vsinvmax-V maxprzyspieszenieaa max mPrędkość V=0 gdy |x| maksymalnev maxa-a max( ω )= −amaxcos tDr. KoymenPrzyspieszenie a=0 gdy \V\ maksymalne

Siła w ruchu harmonicznymr rF −kxi= xi -wektor wodzący określającypołożenia ciała w układzie oi rpoczątku w położeniu równowagii r i r=1xx=0 w którym siła wypadkowaznikak- stała sprężystościSiła jest skierowana zawsze wkierunku położenia równowagi, ajej wartość proporcjonalna doodległości ciała od położeniarównowagii rFx=ozn.F=−kxZwykle samą wielkość x określasię mianem wychylenia

Równanie ruchu wynikające z zasadrma =marF=−kxm-masa ciaładynamiki Newtonarmair= −kxiRównanie różniczkowe liniowe 2 rzędu ostałych współczynnikach jednorodnea=−kmxdVa = =dt2d x2dtRozwiązanie ogólne równania różniczkowegox( ω + )= A cos t ϕ 0a =a xV = Vx2d x2dtk+ xmfaza ruchu=0amplitudaczęstośćkołowafazapoczątkowa

Sprawdzenie iżx( ω + )= Acos t ϕ 02d x2dtkmspełniarównanie różniczkowe drgań+ x = 0dxdt( ω )= V = −Aω sin t + ϕ 02d x2dt( ω ϕ )2ω cos += a = −At02ω=km−2kAωcos00m( ωt+ ϕ ) + Acos( ωt+ ϕ ) = 0Wykazano iż zapostulowane rozwiązanie spełnia równanieróżniczkowe opisujące drgania gdy częstość kołowa drgań spełniarelację

x= A t( ω + )cos ϕ 0Postać ogólna rozwiązania równania różniczkowego 2 rzędu zawierazawsze dwie stałe dowolne. W postaci rozwiązania podanej powyżejstałymi tymi są A (amplituda drgań) i ϕ 0 (faza początkowa drgań ) .Stałe A, ϕ 0 można określić w oparciu o warunki początkowe ruchunp. położenie i prędkość w chwili czasu t=0. W szczególności ϕ 0zależy od chwili wyboru początku pomiaru czasu.t=0 s, x=A,V=0 lub t=0 s, x=0, V>0ϕ 0 =0 lub ϕ 0 = - π/2x(t) = [A]cos(ωt)V(t) = -[Aω]sin(ωt)a(t) = -[Aω 2 ]cos(ωt)lubx(t) = [A]sin(ωt)V(t) = [Aω]cos(ωt)a(t) = -[Aω 2 ]sin(ωt)x max = A V max = Aω a max = Aω 2

Energia potencjalna związana z siłąsprężystości (harmoniczną)rFr= −kxiEpot=1 kx2|x|-odległość ciała odpołożenia równowagiF r x=0w którym = 0Układ, którego energiapotencjalna wyraża siępowyższym wzorem,podlegający drganiomharmonicznym, nazywamyoscylatorem harmonicznym.2E pmx=0xx0Mats Selen Physics

Oscylator harmoniczny i potencjał kwadratowy• Siły harmoniczne występują pomiędzy atomami wychylonymi zpołożeń ich równowagi w cząsteczkach i ciałach stałych , gdyenergia potencjalna ich oddziaływania jest proporcjonalna dokwadratu wychylenia.• Dla małych wychyleń od położenia równowagi to jest prawda:• Na przykład, energia potencjalna oddziaływań występującychpomiędzy atomami wodoru H w cząsteczce H 2wygląda tak:E potE potEE kinx-A 0 AE potx

Energia w ruchu harmonicznym1 12 21 2 1 2 2= kx = kΑ cos ωt2 2Energia kinetyczna 22 2 2= mV = mω Α sin ( ωt + ϕ )E kinEnergia potencjalna ( + ϕ )E pot122 2 22 2Energia całkowita E=E kin +E pot = mω Α sin ( ωt + ϕ ) + kΑ cos ( ωt +ϕ )12ω =km[ ]2 22 2E = kΑsin ( ω t + ϕ ) + kΑcos ( ωt+ ϕ )00[ ]001 1= ω2 2022 2kA = m A =Całkowita energia ciała podlegającego ruchowiharmonicznemu jest stała i proporcjonalna do kwadratuamplitudy drgań.120mVV =max( ω + )x = Acos t ϕ 0( ω )V = −Aω sin t + ϕ 02maxAω

Energia w ruchu harmonicznymEE =E = E1 2 1 2 1 2 1 2Ekin + Epot= mV + kx = kA = mVmax=2 2 2 2( x)E ( x)pot+kinE (xEnergiapotE kin(x))EconstCałkowita energiaE pot E kin0-A 0 AxEnergia potencjalna jest maksymalna gdy ciałoznajduje się w punkcie najdalej położonym odpołożenia równowagi x=±A i spada do zeragdy wychylenie ciała od położenia równowagix=0. W punktach w których energia potencjalnajest maksymalna energia kinetyczna spada dozera, zaś w punktach w których energiapotencjalna jest równa zeru, energia kinetycznajest maksymalna .010-1x /AV /( ω A )t0 Ttϕ 0= 0

Przykład. Pewne ciało wykonuje ruch harmoniczny o okresieT=12s i amplitudzie A=12cm. Obliczyć stosunek energiikinetycznej ciała do potencjalnej ciała, w chwili, gdywychylenie wynosi połowę amplitudy. Zakładając, iż w chwilit=0 ciało znajdowało się w położeniu równowagi x=0, przydxczym V = ( t = 0) > 0 , określić, po jakim czasie wychylenie ciaładtbędzie wynosiło połowę amplitudy i z prędkością, o jakiejwartości będzie się wówczas ciało poruszało.Energia potencjalnaEpot=kx22Ax=2=kA82Energia kinetycznaEEkinpot= 3EkA2kA82 2kin= E − Epot= − =38kA2

222mV 3 2 3 2 2 3 4π2 3 mπ= Ekin= kA = mω A = m A =22 8 8 8 T 2 T−2πAπ ⋅12⋅10m−2mV = 3 = 3= 3π⋅10= 0, 05T 12ssZ uwagi na warunki x(t=0)=0 V = ( t = 0) > 0dtzależność wychylenia od czasu opisuje funkcjad sin( bt)dx= bx( t)= Asin( ωt)V ( t)= = Aω cos( ωt)dtdtCzas t po którym wychylenie stanowi połowę amplitudy możnaokreślić następującoAA sin( ω t)=1πsin ( ωt)= ω t =226π π Tt = = = = 1s6ω2π612Tdx2msA2cos( bt)b-stała

Oś obrotuŚrodekciężkości(masy)θθCWahadło fizyczneCiało sztywne o masie m i dowolnymkształcie, może się obracać wokółdowolnej osi OZ nieprzechodzącej przez. oś OZPd rr r = mgF crτśrodek ciężkości (masy) ciała.Po odchyleniu od położenia równowagi okąt θ, pojawia się moment siły ciężkościdążący do przywrócenia równowagi owartości .rτrd ×τ τz= −r = −mgd( θ ) sin( θ )= F cd sin = mgdRzut momentu siły na oś OZprostopadłą do płaszczyzny drgańsin( θ )Znak – gdyż moment siły ma zwrot przeciwny do zwrotu osi OZ=rFc

Równanie ruchu obrotowegoPrzyspieszenie kątowe2Iε = τ zI –moment bezwładności względem osi obrotuRównanie ruchu dla małych wychyleń gdy sin(θ)≅ θMa ono taką samą postać jak dla ciężarka umieszczonego na sprężynie2d x2dt2d θI ( )θdt= − mgd= −2kmxε =gdy dokonamy zamiany2d θdt2Id θ2dt2d θ=2dt=rε = εk r−−mgdmgdIsinθk ↔ mgd,m ↔ I,xε = εz( θ )↔ θ

SprężynaWahadło fizyczne(dla małego kąt maksymalnegowychylenia θ)d2dtx2= −kmx2d θ2dt=−mgdIθx= A t( ω + )cos ϕ 0( )θ = t +θ 0 cos ω ϕ 02ω=km2ω=mgdIT=2 π = 2 πωmkT=2 π = 2 πωImgd

OθF sd=lWahadło matematycznePunkt materialny o masie m zawieszony na nici odługości l porusza się po okręgu o promieniu l .θr r = mgF cMoment bezwładności względem osi2obrotuTI = mlOdległość osi obrotu od środka cięzkościd = lDla małego maksymalnego kata wychylenia θ maxspełniającego relację sin(θ max )≈ θ max mamy doczynienia z ruchem harmonicznym o okresie≈2I ml2π = 2π= 2πmgd mgllg•Przy małych wychyleniach okres nie zależy od masy m i amplitudy drgań

Drgania tłumioneW układach rzeczywistych oprócz siły sprężystości występujesiła oporu . Siła ta prowadzi do tłumienia. Jeżeli tłumienie niejest zbyt duże to układ wykonuje drgania harmoniczne, aleamplituda drgań zanika wykładniczo z czasemb- współczynnik określającywielkość tłumienia

FDrgania tłumioneSiła tłumienia jest proporcjonalna doprędkości i przeciwnie skierowana,r rr rV = ViF t= −bVb-współczynnik tłumieniaWypadkowa siła działająca naukładwyp=rFr+ FRównanie ruchutłumionychma = −kx− bV2d xm2dt2d xm2dt+ bt= −kx− bdxdtr= ( − kx − bV )i+ kxdxdt=0xra =rair rF t= −bVr rV r F = −kxi0i r x < 0r r r r rF t= −bVrF = −kxiV r F = −kxix > 0 V rr r x > 0= −bVF t

xDrgania tłumione- rozwiązanieω =1dla małego tłumienia• Wychylenie z położenia równowagi−( ) 2 ( )−βtt = Ae cos ω t + ϕ = Ae cos ( ω t + ϕ )• Częstość kołowa drgań•ω20bmt⎛− ⎜⎝2bm1⎞⎟⎠2=0ωgdzie• Jeżeli tłumienie jest małe układ wykonuje drgania, aleamplituda drgań wykładniczo zanika.• Częstość drgań jest nieznacznie mniejsza niż wprzypadku braku tłumienia.202− β10ω 0b2m=< ωkm0β =b2mczęstość drgańswobodnych beztłumienia

Wykres ruchu harmonicznego tłumionego+AA(t)=Ae−β t −t/τ=AeZmienna wczasie amplitudadrgańxT1 = = βτ2mb-stała czasowatłumienia drgań( czas relaksacji)t-Ax=Ae− βtcos( ω t + ϕ )10Po czasie τamplitudamalejee-krotnieDo opisu szybkości zaniku amplitudy drgań w czasie służy logarytmicznydekrement tłumienia⎛ A(t)⎞ ⎛ A(t)⎞ TΛ = ln ⎜ ⎟ = ln⎜⎟ = βT= =−βT⎝ A(t + T ) ⎠ ⎝ A(t)e ⎠ τbT2m

Zmiana tłumieniaMała stała czasowa tłumieniaτ

2d xm2dtx=dxdt2d x2dt+=Aedx+ b + kxdt−βt= −βAeβω Ae1−βtcos2= β Ae−βt= 0( ω t + ϕ )1cos02d x dx 2+ 2β+ ω20x =dt dtω 0=( )−βtω t + ϕ −ωAe ( ω t + ϕ )km1 0 1sin10ω( )−βtω t + ϕ + βω Ae sin( ω t + ϕ )( )2 −βtω t + ϕ −ωAe cos( ω t + ϕ )0β =b2m2 21= ω0− β(2 2)−βt( )−βtβ −ωAe cos ω t + ϕ + 2βωAe sin( ω t + ϕ )1−βtsincos110101011110=10+02d x2dt+dxβdtω(2 2 2)−βt−ω− β + ω Ae cos( ω t + ϕ ) = 022 +0x =101 0

xOgólne rozwiązania równania=Ae−−βt( ω t + ϕ ) = Ae ( ω t + ϕ )2 mcoscos10x=1e−βt02d xm2dt2 2⎡ β −ωtC e + C⎢⎣01dx+ b + kxdt• β =b/2m< ω 0 układ wykonuje drgania tłumione (amplituda maleje wykładniczo)(Rys. a)btω =e-częstość drgań beztłumienia2−220β −ωtC 1 ,C 2 , C, D -stałe zależne odwarunków początkowych ruchuβ =b2m−=2 21ω0β• Gdy b osiąga wartość krytyczną b c taką że β c =b c / 2m = ω 0 , mamy pełzającyruch krytyczny (Rys. b), ciało nie wykonuje drgań, szybko osiąga położenierównowagi− βtRuch taki występuje wx = Ce ( 1+Dt )amortyzatorach pojazdów• Jeżeli β =b/2m > ω 0 układ nie wykonuje drgań, ale asymptotycznie i wolniej niżw przypadku ruchu krytycznego zbliża się do położenia równowagi (Rys. c)0⎤⎥⎦

Drgania wymuszoneNa układ o częstości własnej ω 0 działa dodatkowoperiodyczna siła wymuszająca F0cosωtRównanie ruchuWypadkowa siła działająca na układF wyp= −kx− bV +F wyp= maF0cosωt− kx − b2d x2dtdx+ 2βdtcosωt=cosωtW stanie ustalonym układ wykonuje drgania o częstości równejczęstości siły wymuszającej x = Acos( ωt−δ ) . Amplitudadxdt+F02+ ω x =0F0m2d xm2dtdrgań A i faza δ zależy od częstości ω i ω 0F2βω2βbω0A δ = arctg ϕ0 = arccos = arctg2 2 = arccos 2 2mGω0−ωG m mG ω0−ωG ==( )22 2 2 2 2 2 2 2 b( ω −ω0) + 4βω = ( ω −ω0) +22ωmβ =b2m

Drgania wymuszone. RezonansA =F0/ mF0/2 2 2 2 22( ω −ω) 2 2 20+ 4βωb( ω −ω0) +2=m2ωmDla β=0 (b=0 ,brak tłumienia)ω →ω 0⇒ A → ∞rezonansβ > > >4β3β2β1W obecności tłumienia amplituda rezonansowa jest skończona i tymmniejsza im większe β (czyli też b) . Częstość rezonansowa (dlabktórej amplituda osiąga wartość maksymalną) występuje gdy β =

Dramatyczny przykład rezonansu• W roku 1940, silny wiatr spowodował wibracje torsyjne mostuTacoma Narrows Bridge

Dramatyczny przykład rezonansulMost się zawalił

xSkładanie drgań zachodzących z tą samą częstościąkołową ω w tym samym kierunku( t) = A ( ω t + )x x ( ) ( )2t = A2cos ω t + ϕ2x1 1cos ϕ1Draganie wynikające ze złożenia tych drgańw( t) = A cos( ω t + ϕ )ww( t) = A cos( ωt+ ϕ ) = A cos( ωt) cos( ϕ ) − A sin( ωt) ( ϕ )1 11 11 1sinx( t) = A cos( ωt+ ϕ ) = A cos( ωt) cos( ϕ ) − A sin( ωt) ( ϕ )2 22 22 2sinNa mocy zasady superpozycji( t) = x ( t) + x ( t) = [ A ( ϕ ) + A cos( ϕ )] cos( ωt) − [ A sin( ϕ ) A sin( ϕ )] sin( ωt)x wxwAcos1 2 21 1 2 21 21+( t) = A cos( ωt+ ϕ ) = A cos( ωt) cos( ϕ ) − A sin( ωt) sin( ϕ )wZ porównania (*) i (**)( ϕ ) [ A cos( ϕ ) A ( ϕ )]wcosw 1 1+2cosww= Aw sin( ϕw) = [ A1 sin( ϕ1) + A2sin( ϕ2)]2cos( α + β ) = cos( α ) cos( β ) − sin( α ) sin( β )www12(*)(**)

AA( ϕ ) = [ A cos( ϕ ) A ( ϕ )]A sin( ϕ ) = [ A sin( ϕ ) A ( ϕ )]wcosw 1 1+2cos( ϕ )Asintg 1= w A1cos + 1( ϕ1) + A2sin( ϕ2)( ϕ ) A cos( ϕ )222w w 1 1+2sin[ ( ) ( )] 222cos ϕ + sin ϕ = [ A cos( ϕ ) + A cos( ϕ )] + [ A sin( ϕ ) A sin( ϕ )] 22w ww 1 1 2 21 1+2A w+===2 22 2[ A1cos ( ϕ1) + 2A1A2cos( ϕ1) cos( ϕ2) + A2cos ( ϕ2)]22 2sin ( ϕ1) + 2A1A2sin( ϕ1) sin( ϕ2) + A2sin ( ϕ2) =222 22cos ( ϕ1) + sin ( ϕ1)+ A2cos ϕ2+ sin ϕ2+ 212+ A + 2A A cos( ϕ −ϕ)2[ A1]2A [ ] [ ( ) ( )] A A cos( ϕ ) cos( ϕ ) + sin( ϕ ) sin( ϕ )A121A w2122 21+ A2+ A12cos12( ϕ − )= A 2 A ϕ122[ ]1) Amplituda drgań jest maksymalna i równa A w= A 1+ A 2 wtedygdy ϕ1− ϕ2= 2nπn-liczba całkowita2) Amplituda drgań jest minimalna i równa A w= A 1− A 2 wtedygdy ϕ1− ϕ2= ( 2n + 1)πn-liczba całkowita121222=2

FaleFalą nazywamy propagację zaburzenia w ośrodku (ośrodekjako całość nie przemieszcza się). Zaburzenie propaguje wośrodku z prędkością V .Ruch falowy związany jest zwykle z transportem energiiprzez ośrodek, któremu nie towarzyszy transport materii.

Typy fal1. Fale mechaniczne (rozchodzą się w ośrodku sprężystym np.woda, powietrze, ciało stałe) Przykład: fala dźwiękowa, falena sznurze, fale na morzu2. Fale elektromagnetyczne (drgania pola elektrycznego imagnetycznego)Przykład: fale radiowe, mikrofale, światło, promienierentgenowskie3. Fale materiiFale mechaniczne mogą rozchodzić się tylko w ośrodku materialnymFale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się także w próżni (wartośćprędkości rozchodzenia fal elektromagnetycznych w próżni jest równawartości prędkości światła).Fale mogą rozchodzić się w ośrodku jednowymiarowym ( np. fale nasznurze), dwuwymiarowym ( np. fale na powierzchni wody) lubtrójwymiarowym ( np. fale akustyczne w powietrzu)

Fala poprzeczna (fale na sznurze)VCząsteczki ośrodka poruszają się prostopadle do kierunkurozchodzenia się faliFala podłużna (fala na sprężynie, fala akustyczna)VCząsteczki ośrodka poruszają się równolegle do kierunku rozchodzeniasię faliW gazach i cieczach mogą rozchodzić się tylko mechaniczne falepodłużne

Fala harmonicznaFala harmoniczna wytwarzana jest przez źródło wykonującedrgania harmoniczne (punkty ośrodka wykonują drganiaharmoniczne z różnymi fazami)V

Fale rozchodzące się w ośrodku trójwymiarowymFala płaska harmoniczna –powierzchniafalowa jest płaszczyzną (powierzchniafalowa- powierzchnia łącząca wszystkiepunkty ośrodka, drgające w tej samej fazie)VFala kulista – rozchodzi się wewszystkich kierunkach, wychodzących zjednego punktu będącego źródłem fali.Powierzchnie falowe są sferami.

• Fala akustyczna po wybuchu pocisku jest falą sferycznąPowierzchnie faloweZ dala od źródłafala może byćprzybliżona przezfale płaską

Związki pomiędzy parametramiopisującymi falę harmonicznąGrzbiet fali przesuwa się w prawo z prędkością owartości V.Podczas okresu drgań T przebywa on drogę λrówną długości fali ( najmniejszej odległościpomiędzy kolejnymi powtórzeniami kształtu falirównej odległości między punktami drgającymi wtej samej fazie )Vdroga λ= = = λfczas TLiczba falowaV=ωkk==2πλλω2πCzęstość kołowa drgań2 πω = = 2πfTV r

Fala harmonicznaλ –długość fali, k = 2π/λ liczba falowaA –amplituda fali

Równanie fali biegnącej wzdłuż osi Ox z prędkościąo wartości VW dowolnym punkcie ośrodka wychylenie jest równeD t)= Acos(ω t +ϕ )(0Faza początkowa ϕ 0 zależy od położenia x. Niech fazapoczątkowa w punkcie x=0 będzie równa δ 0 . Tę samą fazę punkt owspółrzędnej x będzie miał po upływie czasu potrzebnego naprzebycie przez falę odległości x z prędkością o wartości V, czylipo czasie t=x/VωxV+ ϕ0= δ0⇒ ϕ0= δ0−ωxV( , ) cos( ω ω xD x t = A t −V+δ0)D( x,t)= Acos(ω t − kx +δ0)D x,t)⎛ x t δ0 ⎞D( x,t)= Acos⎜2π( − − ) ⎟⎝ λ T 2π⎠Dkω= kV⎛ 2πλtλδ0 ⎞ ⎛ 2πλδ ⎞x,t)= Acos⎜( x − − ) ⎟ = Acos⎜( x −Vt− ) ⎟⎝ λ T 2π⎠ ⎝ λ 2π⎠(02πλ= Acos(kx −ωt−δ )(0=ω =2πTRównanie falipłaskiejharmonicznej

Łatwo można pokazać iż dla dowolnego czasu t wychyleniecząstek ośrodka z położenia równowagi D(x,t) spełnia relacjeD ( x + λ,t)= D(x,t)⎛ ⎛ x + λ tD(x + λ,t)= A cos⎜2π⎜ −⎝ ⎝ λ T2πtA cos( + 2π− − δ ) = A cos(=2πxλ⎛ ⎛ xA cos⎜2π⎜ −⎝ ⎝ λtTczyli w dowolnej chwili czasu jest ono jednakowe w punktachodległych o długość fali.Dla fali płaskiej propagującej w ośrodku trójwymiarowymr r rD, t)= Acos(k ⋅−ωt−δ )k r= k(0T−δ0 ⎞⎞⎟⎟2π⎠⎠2πxλD(x,t)δ02π2πtTk -wektor falowy opisujący kierunek rozchodzenia się fali0D⎛ x t δ ⎞x,t)= Acos⎜2π( − − ) ⎟⎝ λ T 2π⎠(0=−−⎞⎞⎟⎟=⎠⎠− δ0)== 2π / λ

Przykład: Dane jest równanie opisujące falę poprzecznąrozchodzącą się w napiętym sznurze:( ( x 2, t))D( x,t)= 0,5cos π − 0.Zakładamy, iż wszystkie wielkości są określone w podstawowychjednostkach układu SI.Znaleźć amplitudę, częstotliwość drgań, długość fali oraz maksymalnąprędkość i maksymalne przyspieszenie cząsteczek sznura w ruchupoprzecznym.Porównanie równania z równaniem fali propagującej w dodatnim kierunkuosi OXD( x,t)= Acos(kx t0− ω − δprowadzi do wniosku iżamplituda A=0,5 mczęstość kołowa drgań ω=2π 1/s,a zatem częstotliwość drgań f=ω/2π=1Hzliczba falowa k=π 1/m,a zatem długość fali λ=2π/k=2m)

D( x,t)= Acos(kx −ωt−δ0)Zależność prędkości cząsteczek sznura w ruchu poprzecznym odczasu wyraża wzórV pop=−( x , t )Asin∂ D ( x , t )∂ t∂ D ( x , t ) ∂ ( A cos( kx − ω t − δ0))∂ ( kx= =⋅∂ t ∂ ( kx − ω t − δ0)( kx − ω t − δ ) ⋅ ( − ω ) = A ω sin ( kx − ω t − δ )0-pochodna cząstkowa wielkości D po t0− ω t∂ tPochodną tą liczy się tak samo jak pochodną zwyczajną dttraktując inne od t argumenty funkcji D(x,t) ( a więc x) jako stałe.Określona powyżej prędkość cząsteczek sznura nie jest równaprędkości rozchodzenia się fali .Ponieważ funkcja sinus przybiera wartości z zakresu (-1,1)to maksymalna wartość prędkości sznura w ruchu poprzecznym jestrównaV pop,max =Aω=0,5m*2π*1/s=π m/s−δ0)dD ( x , t )=

V pop( x , t ) = A ω sin( kx − ω t − δ0)Zależność przyspieszenia cząsteczek sznura w ruchu poprzecznym odczasu wyraża wzóra=pop( x,t)Aωcos∂Vpop(x,t)∂( Aωsin( kx − ωt− δ0))∂(kx==⋅∂t∂( kx − ωt− δ0)2( kx − ωt− δ ) ⋅( − ω ) = − Aωcos( kx − ωt− δ )00− ωt− δ0)∂t=Ponieważ funkcja cosinus przybiera wartości z zakresu (-1,1)to maksymalna wartość przyspieszenia sznura w ruchu poprzecznymjest równaa pop,max =Aω 2 =0,5m*4π 2 *1/s 2 =2π 2 m/s 2

Ogólnie fala płaska (niekoniecznie harmoniczna) propagująca wzdłużosi OX w prawo z prędkością o wartości V daje się zawsze opisać wpostaci funkcjiD( x,t)= f ( x −Vt)f ( x − Vt )-dowolna funkcja argumentu x-VtOgólnie fala płaska propagująca wzdłuż osi OX w lewo z prędkością owartości V daje się zapisać w postaci funkcjiD ( x,t)= f ( x + Vt)Funkcję opisujące te fale spełniają równanie falowe2∂ f2∂x1−V22∂ f2∂t=0Równanie falowe w trzechwymiarach∇22( 1 ∂ D(x,y,z,t)D x,y,z,t)−=2V ∂t2Operator Laplace’a (laplasjan) 2 2 2∇2≡∂f∂t∂∂x∂f∂t2= −V∂f∂t+= V∂f∂x∂∂y∂f∂x2+∂∂z22∂ f2∂t2∂ f2∂t= V= V22∂f∂x∂f∂x-pochodna (cząstkowa) funkcji fpo zmiennej t (czasie)22220

Fala rozchodząca się wzdłuż sznura-fala poprzecznaWartość prędkość faliVV =FµF- naprężenie sznuraµ =ml-liniowa gęstość sznura, m-masa odcinka sznura o długości lPrędkość fal rozchodzących się wzdłuż sznura nie zależy odczęstości tych fal.

Fala akustyczna– podłużne przemieszczeniacząstek prowadzące do zmian ciśnieniaWychylenie cząstek od położenia równowagi−ω −δD( x , t)= x − x = Acos(kx t )eqeqeq0Zmiana ciśnienia w stosunku do ciśnienia średniegop −patm= ∆pmaxsin( kxeq−ωt−δ0)= ∆pmaxcos( kxeq−ωt−δ0−π/ 2)Zmiana ciśnienia jest równa zeru w miejscach gdzie wychyleniecząstek jest maksymalne. Jest ono małe 10 -5 Pa-20 Pa w stosunkudo średniego ciśnienia atmosferycznego 10 5 NPa Pa =∆pmax=V2Aρkρ-gęstość gazu, V-wartość prędkości dźwięku2m

∆Natężenie fali I – energia fali przenoszona w jednostce czasu(moc) przez jednostkową powierzchnie prostopadłą do kierunkurozchodzenia się faliV-wartość prędkości rozchodzenia się faliE2 2ρ- gęstość ośrodka w którym fala się rozchodziI=S ∆ tNatężenie fali akustycznej=ρω1V A2Natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy A ikwadratu częstości kołowej ω. W przypadku fali akustycznejzawiera się w zakresie od 10 -12 W/m 2 do 1W/m 2 .Dowód . Przez rozpatrywaną powierzchnie o polu S przedostanie się wciągu czasu ∆t energia związana z drganiami cząsteczek zawartych wobjętościSV ob=Sl= SV∆tEnergia ta jest równao masieE=∆m = ρ∆Vob = ρSV∆t122∆mωA212= ρSV∆tωA22L=V∆t

Fala elektromagnetyczna - fala poprzeczną związanaz harmonicznymi zmianami wzajemnie prostopadłych w każdympunkcie wektorów natężenia pola elektrycznego E i indukcji polamagnetycznego BWartość prędkości fali w próżni wynosi c=299 792 km/s i nie zależy odczęstości ωWartość prędkościr rfali w ośrodkuE( x,t)= E0 cos( kx −ωt−δ0)materialnym zależyod jej częstości i jestr rmniejsza niż wB( x,t)= B0 cos( kx −ωt−δ0)próżni.t = 0πδ0=2πδ0=2

Zasada superpozycjiZaburzenie wywołane w dowolnympunkcie przez dwie nakładające się falejest równe sumie zaburzeń wywołanychprzez każdą z fal.Zaburzenie wywołane przez 1 falę1 2D( t)= Acos(ω t + φ)1+2DD( t)= A1cos( ω1t+1)1ϕZaburzenie wywołane przez 2 falę( t)= A2cos( ω2t+2)2ϕZaburzenie wypadkoweD ( t)= D1 ( t)+ D2( t)11+22

Zasada superpozycjiDwie fale propagują w tym samym ośrodku. Wypadkoweprzemieszczenie jest sumąD ( x,t)= D1 ( x,t)+ D2(x,t)Fala 1Fala 2Interferencje konstruktywneSuma D 1 +D 2Interferencje destruktywneRysunek dla fal o tych samych amplitudach, częstościach i prędkościach

Interferencja falZjawisko nakładania się zaburzeń (drgań) pochodzących od różnychfal o tej samej częstości kołowej ω 1 = ω 2 = ω nazywamy zjawiskieminterferencji fal. Amplituda fali powstałej w wyniku interferencjidwóch fal wywołujących drgania zachodzące w tym samym kierunkuzależy od amplitudy drgań wywołanych przez obie fale osobno A 1 i A 2odpowiednio oraz różnicy faz początkowych tych drgańA w2 21+ A2+ A12cos( ϕ − )= A 2 A ϕW przypadku interferencji dwóch fal o jednakowej długości λ(rozchodzących się z tą samą wartością prędkości V=ω/k) mamy:2π∆ϕ= ϕ1−ϕ2= −k( r1− r2) + ( δ01−δ02) = ( r2− r1) + ( δ01−δ02)λr2 − r 1δ01−δ 02-różnica dróg pokonanych przez obie fale od ich źródeł do punktu, w którymzachodzi interferencja fali-różnica początkowych faz drgań w punktach, będących źródłami fali.12

A wInterferencja fal może być obserwowana gdy fale są spójne( ϕ − )= A 2 A ϕ2 21+ A2+ A12cos12r 1∆ϕ= k( r − r ) + ( δ −δ) = ( r − r ) + ( δ −δ)2101022πλ210102r 2Gdy δ02= δ01to największa amplituda drgań wypadkowychwystępująca wtedy gdy ∆ ϕ = 2nπwystępuje w punktach, dlaktórych r2− r1= nλ = 0, λ,2λ,....(n-liczba całkowita)2 2i jest ona równa A w= A1 + A2+ 2A1A2= A1+ A2zaś amplituda drgań przyjmująca wartość najmniejszą wtedygdy ∆ϕ = ( 2n + 1)π osiąga minimalną wartość w punktach dlaλ =2których r2 − r1 = ( 2 n + 1) λ,λ,......i jest ona równaA w=A2 21+ A2− 2A1A2= A1− A2tzn. różnica faz ∆ϕ nie zmienia się w czasie.1232

12Fale stojącey 1 (x,t) = Acos(kx - ωt)y 2 (x,t) =Acos(-kx - ωt)= Acos(kx + ωt)Fala stojąca powstaje w wynikuinterferencji jednakowych fal 1 i 2propagujących w przeciwnychkierunkachFala wypadkoway w (x,t)= y 1 (x,t) + y 2 (x,t) = Acos(kx - ωt) + Acos(kx + ωt)= 2Acos(kx) cos(ωt)= ±A w cos(ωt)yλAx1yy⎛ θ + φ ⎞ ⎛θ −φ⎞cosθ+ cosφ= 2cos⎜ ⎟cos⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠Wszystkie punkty wykonują drganiaw tej samej fazie. Fali stojącej nietowarzyszy propagacja energii ,choć z falą tą jest związana energiadrgań punktów ośrodka12xx

y w (x,t) = 2Acos(kx) cos(ωt)= ±A w cos(ωt)amplituda drgań w fali stojącejzależy od położenia punktu w przestrzeniCechą fali stojącej jest to, iż można wyróżnić punkty, w którychamplituda drgań jest maksymalna i równa 2A nazywane strzałkami falioraz punkty, w których drgania nie występują nazywane węzłami fali.Odległość pomiędzy sąsiednimi węzłem i strzałką fali jest równa λ/4 .λ / 4strzałka⎛ ⎞A = = ⎜ π xw2Acos(kx)2Acos 2 ⎟⎝ λ ⎠(*)węzełwęzełDla fali stojącej opisanej wzorem (*) strzałki fali występują w punktach,λx = mw których: 2 ,λx = 2m + 1zaś węzły dla punktów, w których: ,gdzie m-liczba całkowita.( ) 4

Fale stojące na strunieW strunie o długości L zamocowanej na dwóch końcach omoże pojawić się fala stojąca o dużej amplitudzie , gdy naobu końcach struny znajdzie się węzeł fali stojącej. Wynikastąd warunekλ n=1,2,3…..L = n2skąd wynika iż długości fali i częstość rozchodzących się falmuszą spełniać warunki2Lλ = λn=nfn1=TV nV= =λ 2LnV-wartość prędkości fal rozchodzących się w strunieDrganie o n=1 to drganie podstawowe