Matematika 1

Matematika 1V. BalekUČEBNICEJ. B. Zel’dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV.Alfa, Bratislava, 1973.I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium technickýchvied, Alfa, Bratislava, 1961.ZBIERKY ÚLOHJ. Eliaš, J. Horváth, J. Kazan: Zbierka úloh z vyššej matematiky,2. čast’. Alfa, Bratislava, 1966.B. P. Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomuanalizu. Nauka, Moskva, 1977.

D r á h a a k o f u n k c i a č a s us = dráha (meraná v km)t = čas (meraný v hod)⎧⎨⎩interval hodnôt thodnota s pre každé t (= s(t)). . . FUNKCIA (= s(t))- interval t = definičný obor⎧⎨⎩spojitýdiskrétny- t = nezávisle premenná alebo argument- s = závisle premenná- s(0), s(1), . . . = hodnoty funkcie v t = 0, 1, . . .s(t) = priradenie s všetkým t z definičného oboru- s(t) = predpis- musí byt’ JEDNOZNAČNÝ (jedno t - jedno s)- znázornenie: graf funkcie2

sMESTO BzapcharadarMESTO At3

- príklad: ELIPSA ↔ x2a 2 + y2b 2 = 1 → 2 funkcie f ±(x)4. Parametricky zadaná funkciay = f(x) ↔ x = X(t), y = Y (t)- príklad 1: ELIPSA ↔ x = a cosχ, y = b sinχ- príklad 2: ARCHIMEDOVA ŠPIRÁLApolárne súradnice (r, φ): x = r cos φ, y = r sinφ⇒ r = φ → ∞ vel’a funkcií f 1 (x), f 2 (x), . . .E l e m e n t á r n e f u n k c i e1. Mocninná funkciay = x p- p = n m : xp = m√ x n- p > 0 iracionálne: x p = limP →px P , P = n m- p < 0 : x p = 1x |p|2. Goniometrické funkcie10

y = sinx, cos x, tg x, cotg x- 1 rad = 360◦2π- inverzné funkcie: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x3. Exponenciálna a logaritmická funkciay = a x , log a x (a > 0)y = e x , lnx ≡ log e x- e = Eulerovo číslo . = 2,71828funkcie dané analyticky:lin. kombinácia & súčin & skladaniePOLYNÓM:y = a n x n + a n−1 x n−1 + . . .} {{ }n+1 členov- lineárna funkcia: y = px + q ↔ priamkap = tg uhla medzi priamkou a osou x ≡ smernica priamky- kvadratická funkcia: y = ax 2 + bx + c ↔ parabola11

3. Vlastnosti funkcií. Limita.E š t e o e l e m e n t á r n y c h f u n k c i á c h1. Mocninná funkciay2321y31/21/3211-1/2-1-2012x012 3x- p⎧⎨⎩> 0: y → 0, ak x → 0 / y → ∞, ak x → ∞< 0: y → ∞, ak x → 0 / y → 0, ak x → ∞- p 2 > p 1 : y 2 < y 1 , ak 0 < x < 1 / y 2 > y 1 , ak x > 1- p = ± n , m nepárne: aj x < 0mNÁSOBENIE A UMOCŇOVANIE:x p x q = x p+q , (x p ) q = x pq(vid’ x n = x.x } {{. .}.)n členov12

POLYNÓM: najviac n koreňovyx 1x 2x 3 x 4x2. Goniometrické funkciey1y2tg0-1cos sin0π/2 π 3π/2 2π π/2πx1-1-2cotgx- sú periodické s periódou 2π (sin, cos) a π (tg, cotg)tg13

- hodnoty pre význačné uhly:πx 061sinx 0√23cosx 12π π4 √31 3√2 21 1√2 2π210SÚČTOVÉ VZORCE:sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cos α cos β − sinαsinβ- dôkaz vzorca č. 1:αcos αsin βsin ββcos βα1sin αcos β14

3. Exponenciálna a logaritmická funkciayy312ln1exp00 1 2 3x-1-1 0 1xe x e y = e x+y ↔ ln(xy) = lnx + lny(e x ) p = e px ↔ ln(x p ) = p lnx15

P o j e m l i m i t yACHILLES VS. KORYTNAČKA:st 1t 2t 1 = lv A, t 2 = v kt 1v A, t 3 = v kt 2v A, . . .t⇒t celk = (1 + q + q 2 + . . .)t 1 , q = v kv A11412⇒ 1 + 1 2 + 1 4 + . . . = 2⇒ q = 1 2 : t celk = 2t 1 =lv A − v k16

s n = 1 + 1 2 + 1 } {{ 4 + . . }. : ∆s n ≡ 2 − s n = 1 . = 10−0,3n2 nn+1 členov⇒ n > 3 : ∆s n < 0, 1; n > 6 : ∆s n < 0, 01; . . .⇒ n > dostatoč. vel’ké N: ∆s n < l’ub. malé ǫlim a n = a ⇔ n > dostatoč. vel’ké N: |a n − a| 0 ∃N ∀n > N : |a n − a| < ǫ)"postupnost’ A. a korytnačky": N = − log 2 ǫ zaokrúhlené nahorLIMITA FUNKCIElim f(x) = b ⇔ |x − a| < dostatoč. malé δ: |f(x) − b| 0 ∃δ ∀|x − a| < δ : |f(x) − b| < ǫ)- f(a) existuje & limx→af(x) = f(a): f(x) je spojitá v a- funkcia ↔ f(x), g(x), . . .: lim ↔ lim f(x), lim g(x), . . .- lim v +∞: x > dostatoč. vel’ké M ↔ |f(x) − b|

1. limx→1x 2 − 1x 3 − 4x + 3 = ?⎧⎨⎩čit. = (x − 1)(x + 1)men. = (x − 1)(x 2 + x − 3)⇒ limita = 1 + 11 + 1 − 3 = −2P r í k l a d y⇒ zlomok = x + 1x 2 + x − 3INÝ POSTUP: zapíšeme x = 1 + ǫ a urobíme limitu ǫ → 0⇒ zlomok == − 2 + . . .1 + . . .1 + 2ǫ + . . . − 11 + 3ǫ + . . . − 4(1 + ǫ) + 3 = 2ǫ + . . .−ǫ + . . . =⇒2. limx→1x 2 + 12x 2 + x − 3 = ?zlomok =limita = −21 + . . . + 12(1 + 2ǫ + . . .) + 1 + ǫ − 3 = 2 + . . .3ǫ + . . .(limita "pre x blížiace sa k 1 sprava a zl’ava") = ±∞⇒limx→1 ±(...)3. limx→∞x 2 + 12x 2 + x − 3 = ?zlomok = 1 + 1 (x 22 + 1 x − 3 = 1 + . . .2 + . . .x 2)⇒ limita = 1 218

VELIČINA RÁDU ǫ n :f(ǫ) = O(ǫ n ) ⇔ limǫ→0f(ǫ)ǫ n = KONEČNÁ konštanta (≠ 0)ešte raz 1: x 2 − 1 = 2ǫ + O(ǫ 2 ), x 3 − 4x + 3 = −ǫ + O(ǫ 2 )⇒ x2 − 1x 3 − 4x + 3 = 2 + O(ǫ)−1 + O(ǫ)⇒lim(. . .) = lim(. . .) =x→1 ǫ→0=2 + limǫ→0O(ǫ)−1 + limǫ→0O(ǫ) = −2 19

4. Výpočet limít. Derivácia.D v ed ô l e ž i t é l i m i t y1. limx→0sinxxyxy 1x1x > 0 : y < x < y 1 =y√1 − y2⇒x√ < y < x ⇒ 1√ < y1 + x2 1 + x2 x < 1limx→01√1 + x2yaj 1 = 1 ⇒ limx→0 + x = 1(f(x) < g(x) ⇒ limx→af(x) ≤ limx→ag(x) − dôkaz sporom)x < 0 : rovnaký postup ⇒ylimx→0 − x = 1⇒ dôležitá limita č. 1: limx→0sinxx = 120

2. lim(1 + 1n→∞ n{(1 +n) 1 n }, n = 1, 2, . . . je rastúca & zhora ohraničená) nD:(1 + 1 ) n= 1 + n 1 n n+... = 1 + 1 + 1 2+n(n − 1)21 n(n − 1)(n − 2)+n2 3!(1 − 1 )+ 1 (1 − 1 ) (1 − 2 )+ . . .n 3! n n1n 3+×⇒(1 + 1 n+1= 1 + 1 +n + 1) 1 (1 − 1 )+ 1 2 n + 1 3! ×(1 − 1 )(1 − 2 )+ . . . + člen č. n + 2 >n + 1 n + 1&(1 + 1 ) nn(1 + 1 n) n< 1 + 1 + 1 2 + 1 3! + . . . < 1 + 1 + 1 2 + 1 4 ++... < 3 (vid’ Achilles a korytnačka) □DÔSLEDOK:{(1 +n) 1 n }, n = 1, 2, . . .má limituD: štandardný postup: zavedie sa suprémum = horná hranica,kt. je < ∀ ostatné horné hranice & dokáže sa, že lim = sup;21

ýchly postup: n ↑: jednotky ↑ na 2, desatiny ↑ na 7/10,stotiny ↑ na 1/100 . . . ⇒ a n ↑ na 2,71828. . . □⇒ dôležitá limita č. 2:(DEFINÍCIA e!)lim(1 + 1 ) n= en→∞ nR o z v o j e d o 1. r á d uVELIČINA ZANEDBATEL’NÁ V RÁDE ǫ n :1. (1 + x) p = 1 + px + o(x)f(ǫ) = o(ǫ n ) ⇔ limǫ→0f(ǫ)ǫ n = 0D. pre p = n m : (1 + x)p = q n , q = (1 + x) 1 m⇒ (1 + x) p − 1 = q n − 1 = (q − 1)(1 + q + q 2 + . . . + q n−1 ) == (q m 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 1− 1)⇒ lim} {{ } 1 + q + q 2 + . . . + q m−1 x→0 x × dtto = n m □x√ √ x − 11 + ǫ − 1pr.: lim √ = lim √ =x→1 1 + 3x − 2 ǫ→0 1 + 3(1 + ǫ) − 2= limǫ→01 + ǫ/2 + o(ǫ) − 12[1 + 3ǫ/8 + o(ǫ)] − 2 = limǫ→0ǫ/2 + o(ǫ)3ǫ/4 + o(ǫ) =22

1/2 + o(1)1/2 + lim o(1)= limǫ→0 3/4 + o(1) = ǫ→03/4 + lim o(1) = 2 3ǫ→02. sinx = x + o(x), cosx = 1 − 1 2 x2 + o(x 2 )D: sinx vid’ dôležitá limita č. 1, cos x − 1 = cos2 x − 1cos x + 1 == − sin2 xcosx + 1⇒1limx→0 x 2 × dtto = −1 2 □3. e x = 1 + x + o(x)D: e = lim(1 + 1 ) x(spoj. verzia dôležitej limity č. 2,x→∞ x(plynie z monotón. 1 +x) 1 x [) ⇒ e x =limp→∞(1 + 1 p) p ] x== lim(1 + 1 ) px(limita zlož. funkcie) = lim(1 + x ) np→∞ pn→∞ n(spoj. p → p n = n (x ); 1 + x < 1 + x ) n x 2< 1 + x +n 2 − x(binom. veta) ⇒ 1 + x ≤ e x ≤ 1 + x +limite nerovnosti) ⇒ limx→0e x − 1xnerovnosti) □x22 − x (veta o= 1 (ešte raz veta o limite23

D e f i n í c i a d e r i v á c i ef ′ ∆f(x) = lim∆x→0 ∆x- derivácia = SMERNICA DOTYČNICE()f(x 2 ) − f(x 2 )= limx 2 →x 1 x 2 − x 2ysecnicadotycnica∆y0∆y∆xx∆x → 0: ∆y → ∆y 0 , sečnica → dotyčnica24

5. Vlastnosti derivácie. Priebeh funkcie.D e r i v á c i e e l e m e n t á r n y c h f u n k c i í(1. x p : (x+∆x) p = x p 1 + ∆x ) p [= x p 1 + p ∆x ]xx + o(∆x)= x p + px p−1 ∆x + o(∆x) ⇒ (x p ) ′ = px p−1=2a. sinx: sin(x + ∆x) = sinxcos ∆x + cos x sin ∆x = sinx ×× [1 + o(∆x)] + cosx[∆x + o(∆x)] = sinx + cos x ∆x + o(∆x)⇒(sinx) ′ = cos x2b. cos x: cos(x + ∆x) = cosxcos ∆x − sinxsin ∆x = cos x ×× [1 + o(∆x)] − sinx[∆x + o(∆x)] = cosx − sinx ∆x + o(∆x)⇒(cosx) ′ = − sinx3. e x : e x+∆x = e x e ∆x = e x [1 + ∆x + o(∆x)] = e x + e x ∆x++o(∆x) ⇒(e x ) ′ = e x2 pravidlá: (kf) ′ = kf ′ , [f(kx)] ′ = kf ′ (kx) ⇒ (kx) ′ = k,(kx 2 ) ′ = 2kx, . . .,⎧⎨⎩[sin(kx)] ′ = k cos(kx)[cos(kx)] ′ = −k sin(kx), (e kx ) ′ = ke kx25

1. Vol’ný pádgd 2 sdt = g ⇒ s = 1 2 2 gt2 (Galileo)( )d 1 dD:dt 2 gt2 = gt,dt (gt) = g □g sinαNAKL. ROVINA: g → g sinα × 5 7gα( 5 7 = 11 + 2 ,525↔ rotácia gul’ôčky)φl2. Malé kmity√d 2 φgdt = 2 −ω2 φ, ω =l√l⇒ φ = φ 0 cos(ωt), T = 2πggD:dcos(ωt) = −ω sin(ωt),dtddt [−ω sin(ωt)] = −ω2 cos(ωt) □26

dNdt3. Rozpad jadier= −λN, λ = rozpad. konšt.⇒ N = N 0 e −λt , t 1/2 = ln 2λD:ddt e−λt = λe −λt □V e t yo d e r i v á c i a c h1. Derivácia lineárnej kombinácie: (αf + βg) ′ = αf ′ + βg ′D: triviálny2. Derivácia súčinu: (fg) ′ = f ′ g + fg ′ (Leibnitz)D: ∆(fg) = (f + ∆f)(g + ∆g) − fg = ∆fg + f∆g + ∆f∆g,∆f aj ∆g = O(∆x) ⇒ ∆(fg) = ∆fg + f∆g + O(∆x 2 ) □dôsledok: (fgh . . .) ′ = f ′ gh . . . + fg ′ h . . . + fgh ′ . . . + . . .pr.: (x n ) ′ = (x} . x {{ . x . .}.) ′ = 1 . x . x . . . + x . 1 . x . . . +n členov+x . x . 1 . . . + . . . = nx n−1 27

3. Derivácia inverznej funkcie: y = f inv (x): y ′ =1f ′ (f inv (x))D: ∆y∆x = 1∆x/∆y ; podrobne: ∆f inv∆x = f inv(x + ∆x) − f inv (x)∆x∆u=f(u + ∆u) − f(u) ∣ ⇒ f inv ′ (x) =u=finv (x), u+∆u=f inv (x+∆x)= 1∣ □f ′ (u)∣u=finv (x)pr. 1: y = arcsin x: x = siny, x ′ = cos y =je z intervalu(− π 2 , π )) = √ 1 − x22 ⇒ y ′ =√1 − sin 2 y (y1√1 − x2 ; y === arccos x: − dtto (y je z intervalu (0, π))pr. 2: y = lnx: x = e y , x ′ = e y = x ⇒ y ′ = 1 x4. Derivácia zloženej funkcie: y = f(g(x)): y ′ = f ′ (g(x))g ′ (x)D: ∆y∆x = ∆y∆u×∆u∆x ; podrobne: ∆f zlož∆xg(x + ∆x) − g(x)g(x + ∆x) − g(x) , ∆f∆g=f(u + ∆u) − f(u)∆uf(g(x + ∆x)) − f(g(x))=∆x∣×∣u=g(x), u+∆u=g(x+∆x)⇒ f ′ zlož (x) = f ′ (u)| u=g(x)g ′ (x) □28

pr.:[(1 + 1 x) x ] ′={ [ (exp x ln 1 +x)]} 1 ′= exp(. . .)×××[ (ln 1 + 1 )1+ x .x 1 + 1/x . −1 ]x 2[(1 + 1 ) (ln 1 + 1 )− 1 ]x x x=(1 + 1 x) x−1×dôsledky:( ) ′ 1= − f ′ ) ′= f ′ g − fg ′ff 2, ( fgg 2pr.: (tg x)’ =( ) ′ sinx=cos x= 11, (cotg x)’ = −cos 2 x sin 2 xcos x . cosx − sinx . (− sinx)cos 2 x=5. Derivácia implicitnej funkcie: vyjadruje sa cez parc. derivácie− nebudeme robit’6. Derivácia parametricky zadanej funkcie: y ′ (x) = Y ′ (t)∣X ′ (t)∣X(t)=xD:∆y∆x = ∆y/∆t∆x/∆t □pr.: ELIPSA: y ′ = b cosχ−a sinχ = x−b2 a 2 y29

M o n o t ó n n o s t’. M i n i m á a m a x i m á.y ′ (x)⎧⎨⎩> 0< 0⇒y(x)⎧⎨⎩rastieklesáy ′ = rýchlost’ rastu / y ′ < 0 : |y ′ | = rýchlost’ klesaniapr. 1:d(nálada)d(vzdialenost’ od zubár. kresla) > 0pr. 2.: y = x lnx + 1 − x, x > 1: y ′ = lnx > 0 ⇒ y ↑,[(y(1) = 0 ⇒ y > 0; 1 +x) 1 x ] ′ (∝ y 1 + 1 )⇒ dtto > 0xpri x > 0 ⇒(1 + 1 x) x↑ pri x > 0y ′ (a) = 0 ⇒⎧⎨⎩y ′ v a ↑ (y ′′ (a) > 0): y má MINIMUM v ay ′ v a ↓ (y ′′ (a) < 0): y má MAXIMUM v a3. možnost’: INFLEX. BOD, spoločný názov: extrémyyMIN y MAX y INFL.BODxxx30

hv1. Zvislý vrh nahory = vt − 1 2 gt2 :dydt = v − gt⇒ t max = v g , h = y(t max) = v22g2. Šikmý vrhyαvdx⎧⎨⎩x = v x ty = v y t − 1 ⇒ t dopad = 2v y2 gt2 g , d = x(t dopad) = 2v xv yg⎧⎨⎩v x = v cos αv y = v sinα⇒d ∝ 2 sinαcosα = sin(2α)d ′ (α) ∝ 2 cos(2α) = 0, 0 < α < π 2 ⇒ α max = π 431

6. Diferenciál. L’Hospitalovo pravidlo. Taylorov rad.D i f e r e n c i á l∆x (prírastok x) → ∆y (prírastok y) = y(x + ∆x) − y(x)df. 1: dx (diferenciál x) = ∆xdf. 2: dy (diferenciál y) = y ′ (x)dx- ∆y = dy + o(∆x) ⇒ dy = lineárna čast’ prírastku y- "inžinierska" df.: dy = INFINITEZIMÁLNY prírastok yy∆ydy∆x= dxxy ′ = dydx("dy podl’a dx" aj "dy lomeno dx")32

L’ H o s p i t a l o v o p r a v i d l oPRAVIDLO 1 (pre limitu typu 0 0 ):f ′ (x), g ′ (x) ex. v okolí a (⇒ f(x), g(x) sú spojité v okolí a)& limx→af(x) aj limx→ag(x) = 0 & limx→af ′ (x)g ′ (x)ex. (aj ∞-ná)⇒f(x)limx→a g(x) = lim f ′ (x)x→a g ′ (x)D. ak f ′ (a), g ′ (a) ex. a g ′ (a) ≠ 0:⇒f(x)g(x) = f ′ (a) + o(1)g ′ (a) + o(1)⇒⎧⎨⎩f(x) = f ′ (a)∆x + o(∆x)g(x) = g ′ (a)∆x + o(∆x)f(x)limx→a g(x) = f ′ (a)g ′ (a)x 3 − 3x + 2pr.: limx→1 x 4 − 4x + 3 = lim 3x 2 − 3x→1 4x 3 − 4 = limx→16x12x 2 = 1 2PRAVIDLO 2 (pre limitu typu ∞ ∞ ):f ′ (x), g ′ (x) ex. v okolí a & f ′2 (x) + g ′2 (x) je všade ≠ 0& limx→af(x) aj limx→ag(x) = ∞ & limx→af ′ (x)g ′ (x)□ex. (aj ∞-ná)⇒f(x)limx→a g(x) = lim f ′ (x)x→a g ′ (x)33

D: F = 1 f , G = 1 g⇒Flimx→a G = lim F ′x→aG ′ = limx→af ′ /f 2g ′ /g 2 =f ′ F 2= limx→a g ′ G = lim f ′ ( ) 2F flim ⇒ lim2 x→a g ′ x→a G x→a g = lim Gx→a F =( ) −1F f ′= lim = lim □x→a G x→a g ′- podmienka na f ′2 + g ′2 : kvôli osciláciam f, g- obe pravidlá platia aj pre ∞-né a (D: u = 1/x)EŠTE JEDNA DÔLEŽITÁ LIMITA:limx→∞ xp e −x = 0 pre ∀p > 0(e x rastie rýchlejšie než l’ub. mocnina x)D: lim xe −x x= limx→∞ x→∞ e = lim x x→∞1(pravidlo 2) = 0, . . . □ex pr.: limx→0x x = limx→0e ln x.x = limu→−∞ eueu = e 0 = 1T a y l o r o vr a dRolleova veta: f(x) je spoj. na 〈a, b〉 & f ′ (x) ex. a je konečnána (a, b) & f(a) = f(b): f ′ (ξ) = 0 v aspoň jednom ξ ∈ (a, b)34

(dôkaz sporom)Lagrangeova veta: dtto s l’ub. f(a), f(b): f ′ (ξ) =v aspoň jednom ξ ∈ (a, b)f(b) − f(a)b − aD: f(x) = f 0 (x) + zlomok × (x − a) □yROLLEyLAGRANGExx⇒ f(x) = f(a) + f ′ (ξ)(x − a), ξ = a + Θ(x − a), 0 < Θ < 1Taylorova veta: f(x) je spojitá na 〈a, b〉 aj s f ′ , f ′′ , . . . f (n) &f (n+1) (x) ex. a je konečná na (a, b):f(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + 1 2 f ′ (a)(x − a) 2 + . . . ++ 1 n! f(n) (a)(x − a) n 1+(n + 1)! f(n+1) (ξ)(x − a) n+135

prvých n členov = T. polynóm, n + 1. člen = T. zvyšokD pre n = 2: Q(t) = f(t) +f ′ (t)(x −t) += T. zvyšok □TAYLOROV RAD:T. zvyšok → 0 pri n → ∞:(x − t)2(x − a) 2R(x), R(x) =f(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + 1 2 f ′ (a)(x − a) 2 + . . .- polomer konvergencie: po prvé ∞ v komplex. rovine- rozvoj okolo nuly = McLaurinov rad- rozvoje elementárnych funkcií:(1 + x) p = 1 + px + 1 2 p(p − 1)x2 + . . .sinx = x − 1 3! x3 + 1 5! x5 + . . .cosx = 1 − 1 2 x2 + 1 4! x4 + . . .e x = 1 + x + 1 2 x2 + 1 3! x3 + . . .ln(1 + x) = x − 1 2 x2 + 1 3 x3 + . . .36

7. Neurčitý integrálP o j e mn e u r č i t é h o i n t e g r á l uavdvdt= a : v = at? NIEv = at + v 0sadsdt = at : s = 1 2 at2 ? NIEs = 1 2 at2 + s 037

funkcia → iná funkcia + konštantaavttvsttDEFINÍCIA NEURČ. INTEGRÁLU- primitívna funkcia k f(x): F ′ (x) = f(x), F(x) = špec. riešenie- neurčitý integrál z f(x): NI ′ (x) = f(x), NI(x) = VŠEOBECNÉriešenie ⇒ NI(x) = F(x) + C, C = neurčitá konštanta(často: NI(x) = F(x), ALE správny je vzorec s C)38

CC 4C 3C 2F(x) + C 4F(x) + C 3F(x) + C 2F(x) + C 1C 139

OZNAČENIE NEURČ. INTEGRÁLU:∫neurčitý integrál z f(x) = f(x)dx∫- = pretiahnuté S, S = suma (súčet)∫- f(x) = F ′ (x) ⇒ f(x)dx = dF, f(x)dx = F(x) + C∫∫⇒ dF = F(x) + C ⇒ = operácia inverzná k d- prečo "suma"? dF = . ∆F pri malom ∆x ⇒ F(x) = . F(a)+∫+ súčet dF na intervale (a, x); dF = súčet INFINITEZI-∫MÁL. dF bez udania a ⇒ dF = F(x) + CFdF dF∆Fx40

f(x)x p , p ≠ −1sinxcosxe x1x∫f(x)dxx p+1p + 1− cosxsinxe xln |x|-∫atd’.z lin. komb. = lin. komb.,∫zo súčinu − NEDÁ SA(integrovanie nie je algoritnické)41

I n t e g r a č n é m e t ó d y1. Integrácia per partes:∫ ∫uv ′ dx = uv −u ′ vdxD: uv ′ = (uv) ′ − u ′ v (Leibnitz) □∫∫pr. 1: lnxdx, pr. 2: e x sinxdx2. Substitúcia:∫u(v)dv =∫u(v(x))v ′ (x)dxD:∫u(v)dv =∫dU, U = U(v(x)) ⇒ dU vid’ deriváciazloženej funkcie □∫∫xdxpr. 1:1 + x 2, pr. 2:sin 3 xdx, pr. 3: traktrix = krivka,ktorej vzdialenost’ od p meraná po dotyčnici sa rovná a; úloha:nájst’ traktrix s p = O y a a = 1∫dx(výpočet = rozklad na parc. zlomky)1 − x2 42

8. Určitý integrálP o j e m u r č i t é h o i n t e g r á l u∆t:v∆s∆s . = v∆t, v = rýchlost’ na začiatku ∆t∆s na (t A , t B ) = ?krok 1: rozdelíme (t A , t B ) na n podintervalovt At Bt 0t 1 t 2t 3 t 4t n-1t n(hraničné body: t 0 = t A , t 1 = t A + ∆t, t 2 = t A + 2∆t, . . .,t n = t B , kde ∆t = t B − t An)krok 2: na ∀ podintervale použijeme vzorec ∆s . = v∆t43

n∑⇒ ∆s približ = v(t i−1 )∆ti=1(df. ∑ n∑: a i = a 1 + a 2 + . . . + a n )i=1krok 3: urobíme limitu n → ∞⇒ ∆s = limn→∞n∑v(t i−1 )∆ti=1pr.: ROVNOMERNE ZRÝCHLENÝ POHYBv = at, a = konštvt A t Bt44

∆s približ =×[nt A +n∑at i−1 ∆t =i=1]n(n − 1)∆t2n∑a[t A + (i − 1)∆t]∆t = a ×i=1∆t = a× (t B − t A ) ⇒ ∆s = 1 2 a(t2 B − t 2 A)[t A + 1 (1 − 1 ) ](t B − t A )2 n- ∆s = S(vel’ký∆) − S(malý∆) = S(lichobežník)v×at Bat At A t Bt- s(t) = 1 2 at2 , vid’ neurč. integrál: ∆s = s(t B ) − s(t A )DEFINÍCIA URČ. INTEGRÁLU- (1) delenie D: body x 0 = a, x 1 , x 2 , . . ., x n = b, (2) výberbodov ξ: body ξ i ∈ 〈x i−1 , x i )45

- čiastočný súčet: σ(D, ξ) =n∑f(ξ i )∆x i , kde ∆x i = x i − x i−1i=1ya b x- určitý integrál: UI = lim σ(D, ξ), kde ‖D‖ (norma D) =‖D‖→0= max |∆x i | (ex. limity: vid’ horné a dolné súčty)OZNAČENIE URČ. INTEGRÁLU:určitý integrál z f(x) na intervale (a, b) =∫(TENTO = naozaj suma!)∫ baf(x)dx- otočenie intervalu:∫ ab= −∫ ba, skladanie intervalov:∫ ba=46

=∫ ca+∫ bc- geom. význam: b > a : S nad − S pod , b < a : S pod − S nadN e w t o n o v a - L e i b n i t z o v a v e t a∫ baD. pre spoj. funkciu f(x):f(x)dx = F(b) − F(a)dané D, l’ub. i: ex. ξ i také, že F(x i ) − F(x i−1 ) = F ′ (ξ i )∆x i(Lagrange) = f(ξ i )∆x i (df. F(x)) ⇒ dané D: ex. ξ také, žen∑σ(D, ξ) = [F(x i )−F(x i−1 )] = F(b)−F(a); limita σ(D, ξ) =i=1= limita σ(D, l’ub. reprezentant ξ) (vid’ limita f(x) pri x → a= limita f(x) na postupnosti x 1 , x 2 , . . ., ktorá → a)⇒ limita σ(D, ξ) = F(b) − F(a) □I(x) =∫ xaGEOMETRICKÝ VÝZNAM N. - L. VETYf(u)du: I(x) = F(x) − F(a)⇒ I ′ (x) = f(x) (df. F(x)) ⇒ ∆I = f(x)∆x + o(∆x) (súvismedzi ∆ a d)47

ya x x+ ∆xuVETA O STREDNEJ HODNOTE¯f = 1 ∫ bf(x)dx : ex. ξ ∈ (a, b) také, že f(ξ) =b − a¯faD: Lagrangeova veta pre F(x)yfa ξ b x48

D o d a t o k: r o z k l a d n a p a r c. z l o m k y∫ P(x)P(x), Q(x) = polynómy:Q(x) dx = ?- krok 1: znížime stupeň P(x) (ak je vyšší než stupeň Q(x))- krok 2: zapíšeme Q(x) ako súčin výrazov typu l n (x) a k m (x),kde l(x) = x + a a k(x) = x 2 + px + q- krok 3: prepíšeme P(x)Q(x)na lin. kombináciu výrazov typu1l(x) , 1l 2 (x) , . . ., 1l n (x) a súčet výrazov typu L 1(x)k(x) , L 2(x)k 2 (x) ,. . ., L m(x), kde L(x) = rx + s; tieto výrazy sa nazývajúk m (x)parciálne zlomky- krok 4: parc. zlomky preintegrujeme(krok 2: vid’ komplexné korene Q(x), krok 3: vid’ POSTUPNÉznižovanie stupňa Q(x))∫4x − 1pr. 1:x 2 + x − 2 dx = ?rieš.: podint. funkcia =⇒ 4x − 1 = A(x + 2) + B(x − 1)4x − 1(x − 1)(x + 2) = Ax − 1 +Bx + 249

⎧⎨A + B = 4⇒⎩2A − B = −1∫⇒ int. =∫dxpr. 2:x 4 + 1 = ?⇒∫dxx − 1 + 3rieš.: podint. funkcia ==Ax + Bx 2 + √ 2x + 1 +⎧⎨⎩A = 1B = 3dxx + 2= ln |x + 1| + 3 ln |x − 2| + C1(x 2 + √ 2x + 1)(x 2 − √ 2x + 1) =Cx + Dx 2 − √ 2x + 1⇒ 1 = (Ax + B)(x 2 − √ 2x + 1) + (Cx + D)(x 2 + √ 2x + 1)⇒ A+C = √ 2(−A+C)+B +D = A+C + √ 2(−B +D) == 0, B + D = 1 ⇒ B = D = 1 2 , A = −C = 12 √ 2( ∫⇒ int. = 12 √ x + √ ∫22 x 2 + √ 2x + 1 dx − x − √ )2x 2 − √ 2x + 1 dx= počty, počty, počty == 12 √ 2+ C[12 ln x2 + √ 2x + 1x 2 − √ 2x + 1 + arctg (√ 2x + 1) + arctg ( √ 2x − 1)=]+50

9. Výpočet určitého integrálu. Plochy a objemy.V ý p o č e t u r č i t é h o i n t e g r á l u1. Integrácia per partes:∫ ba∫uv ′ dx = uv∣ b b− u ′ vdx,a a∣kde f = f(b) − f(a)∣ b a2. Substitúcia:∫ baf(x)dx =∫ t(b)t(a)f(x(t))x ′ (t)dt,kde t(x) = inv. funkcia k x(t)pr.:∫ π/20sin 2 (x)dx = ?rieš.: x = π 2 − t: dx = −dt, int. = ∫ 0=∫ π/20⇒ int. = 1 2∫ π/2×0cos 2 (t)dt =∫ π/20∫ π/20sin 2 (x)dx + 1 2[sin 2 (x) + cos 2 (x)]dx = 1 2π/2sin 2 ( π2 − t )(−dt) =cos 2 (x)dx (x = nemá premenná!)∫ π/20∫ π/20cos 2 (x)dx = 1 2 ×dx = π 451

y1cossin2 20π/2xN e v l a s t n ýi n t e g r á l1. Integrál divergujúcej funkcie:a < b & f(x) → ±∞ pri x → a + :∫ b= limx→a +pr.:x∫ 10∫ baf(x)dx =f(u)du; f(x) → ±∞ pri x → b − : analog.ln(x)dx = −12. Integrál na nekonečnom intervale:∫ ∞apr.:∫ xf(x)dx = limx→∞∫ ∞0xe −x dx = 1af(u)du,52∫ b−∞f(x)dx analog.

MOCNINNÉ ASYMPTOTIKY:f(x) ∼ x −p pri x → ∞, p > 1: int. f(x) cez 〈a, ∞) je konečný;f(x) ∼ x −p pri x → 0, 0 < p < 1: int. f(x) cez 〈0, a〉 je konečnýP l o c h ya o b j e m yplocha kruhu - výpočet 1 (cez mnohouholníky):ααcos2αsin2α1αtg2S ∓ = n ×⎧⎨⎩sin(α/2) cos(α/2)tg (α/2), kde α = 2π n : S ∓ → πn 4 10 100 1000 10000S − 2 2.93893 3.13953 3.14157 3.14159S + 4 3.24920 3.14263 3.14160 3.1415953

plocha kruhu - výpočet 2 (cez obdĺžniky):y10 1xS = 4∫ 10√ ∫ π/21 − x2 dx = 4 sin 2 (φ)dφ = π0pr.:⎧⎨⎩y 1 = 2x 2y 2 = 3x 2 − 4x + 3: S medzi y 1 a y 2 = 4 354

ROTAČNÉ TELESÁ:zαdzβdrabrS =∫ βα2πr √ r ′2 + 1 dz, V =∫ βαπr 2 dz, . . .pr. 1: S gule = 4πR 2 , V gule = 4π 3 R3∫pr. 2: I = r 2 ρdV , ρ = M V : I gule = 2 5 MR255

10. Diferenciálne rovniceČ o s ú d i f e r e n c i á l n e r o v n i c e ?algebr. rovnica: neznáma = číslo / dif. rovnica: neznáma == FUNKCIA / dif. rovnica n-tého rádu = rovnica, kt. obsahujederivácie hl’adanej funkcie po n-tú:F(x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0pr.: prehnutie mosta Košická, vol’ný pád, harm. kmity ...RIEŠENIE:y = y(x, C 1 , . . .,C n )(môžu ex. aj singulárne rieš., ale o tých nebude reč)pr. 1: y ′ = f(x) → y = F(x) + C, C l’ub.pr. 2: y ′′ = −y → y = a cos(x + ψ), a ≥ 0, 0 ≤ ψ < 2π- určenie C 1 , . . . , C n : začiatočné / okrajové podmienky; pr.:y ′′ = −y, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 → y = sinx- prepis na n rovníc 1. rádu: y 1 = y, y 2 = y ′ , . . . y n = y (n−1)56

⇒ y ′ 1 = y 2, y ′ 2 = y 3, ..., y ′ n = f(x, y 1, y 2 , . . .,y n )zač. podmienky: y 1 (a) = α 1 , y 2 (a) = α 2 , ... y n (a) = α npribližné riešenie: x 0 = a, x 1 = a + h, ... → y 1 (x i+1 ) == y 1 (x i )+y 2 (x i )h, y 2 (x i+1 ) = y 2 (x i )+y 3 (x i )h, ..., y n (x i+1 ) == y n (x i ) + f(x i , y 1 (x i ), . . .,y n (x i ))h- systém rovníc l’ub. rádu: TIEŽ systém rovníc 1. rádupr.:⎧⎨⎩ẍ = −x/r 3 , x(0) = r, ẋ(0) = 0ÿ = −y/r 3 , y(0) = 0, ẏ(0) = v, kde bodka = d dt , r == √ x 2 + y 2 → v < v II = √ 2/r: ELIPSA (Newton)yvrx57

LINEÁRNE ROVNICE:a n (x)y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 0 (x)y = b(x)- homog. rovnica (b = 0): y = C 1 u 1 (x)+. . .+C n u n (x) ("princípsuperpozície"); pr.: y ′′ = −y → y = C 1 cos x + C 2 sinx- nehomog. rovnica (b ≠ 0): y = y part + predch. rieš., y part == partikulárne rieš.; pr.: y ′′ = −y + k → y = k + C 1 cos x++ C 2 sinxR o v n i c e p r v é h o r á d u1. Separácia premenných:∫P(x) + Q(y)y ′ = 0 ⇒ Q(y)dy = −P(x)dx ⇒ Q(y)dy =∫= − P(x)dx (rozpísaný dôkaz: u(x) = riešenie ⇒ P(x)+∫+ Q(u(x))u ′ (x) = 0 ⇒ (. . .)dx = 0; subst. y = u(x) v 2.integrále ⇒ vzt’ah uvedený vyššie)pr. 1: 2yy ′ = 4x 3 ; pr. 2: xyy ′ + (x 2 + 1)(y 2 − 1) = 058

2. Substitúcia:P(y/x) + Q(y/x)y ′ = 0 (homogénna rovnica) ⇒ y == xu(x): P(u) + Q(u)(u + xu ′ ) = 0 − separuje sapr. 1: y 2 + (x 2 − xy)y ′ = 0; pr. 2: parabolické zrkadlo3. Variácia konštanty (lin. nehomog. rovnica):y ′ + p(x)y = q(x): (1) y ′ + p(x)y = 0 → y = Cf(x),(2) C → c(x)pr.: y ′ − cotg x y = e x sinx1. Vylúčenie x:R o v n i c e d r u h é h o r á d uF(y, y ′ , y ′′ ) = 0 ⇒ y ′ = z(y): F(y, z, zz ′ ) = 0pr.: y ′′ + 21 − y y′2 = 02. Variácia konštánt (lin. nehomog. rovnica):y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x), rieš. homog. rovnice = u, v: y =∫ ∫ vr ur= −uW dx + v W dx, W (Wronskián) = uv′ − vu ′59

pr.: y ′′ − 6x −2 y = x lnx, u = x 3 , v = x −22. Metóda charakteristickej rovnice (lin. homog. rovnica s konšt.koeficientami):y ′′ +py ′ +qy = 0 → λ 2 +pλ+q = 0 (charakteristická rovnica):(1) 2 korene: y = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x , (2) 1 koreň: y = (C 1 ++ C 2 x)e λx , (3) žiadny koreň: y = [C 1 sin(Qx) + C 2 cos(Qx)]× e −px/2 , Q = √ q − p 2 /4pr.: ẍ + 2νẋ + ω 2 x = sin(ω 0 t) (vynútené kmity tlmenéhooscilátora)60

11. Opakovanie - matka múdrostitéma 1: LIMITYlimita⎧⎨⎩postupnosti: limn→∞a nfunkcie: lim f(x),x→alim f(x)x→±∞derivácia: f ′ f(x + ∆x) − f(x)(x) = lim; rad = súčet∆x→0 ∆x∞∑n∑{a i } = limita čiastočných súčtov {a i }: a i = lim a i ;n→∞určitý integrál = limita čiastočných súčtov f(x) pri danom∫ bn∑D a ξ: f(x)dx = lim f(ξ i )∆x i (špec. výber D a‖D‖→0ξ:∫ baaf(x)dx = limn→∞i=1i=1i=1n∑f(a + (n − 1)h)h − rad? NIE)i=1Definícia limitylim f(x) = b ⇔ |x − a| < dostatoč. malé δ: |f(x) − b| 0 ∃δ ∀|x − a| < δ : |f(x) − b| < ǫ)(podobne limita v ∞-ne a ∞-ná limita)dôsledok 1: limita af(x) + bg(x), f(x)g(x), f(g(x))61

(sinxdôsledok 2: limx→0 x , lim 1 + 1 ) nn→∞ ncos x − cos(3x)limx→0 x 2Výpočet limítmetóda 1: ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY= 1 2 lim cos 2 x − cos 2 (3x)x→0 x 2× (−1 + 3 2 ) = 4cos x − cos(3x)limx→0 x 2= − 1 2 + 9 2 = 4= limx→0cosx − cos(3x)x 2cos x + cos(3x)cos x + cos(3x) == 1 2 lim − sin 2 x + sin 2 (3x)= 1x→0 x 2 2 ×metóda 2: ROZVOJE= limx→01 − 1 2 x2 + . . . − [ 1 − 1 2 (3x)2 + . . . ]x 2 =metóda 3: L’HOSPITALOVO PRAVIDLOcos x − cos(3x)limx→0 x 2= limx→0− cosx + 9 cos(3x)2= limx→0− sinx + 3 sin(3x)2x= −1 + 92= 4(koef. v rozvoji = derivácie, vid’ Taylorov rad: metóda 2⇔ metóda 3)=62

téma 2: DERIVÁCIEpravidlo 1: (fg) ′ = f ′ g+fg ′ (Leibnitz); pravidlo 2:( fg) ′== fg′ − f ′ g; pravidlo 3: [f(g(x))] ′ = f ′ (g(x))g ′ (x) (pravidlog 22 = dôsl. pravidiel 1 a 3)f(x)x psinxf ′ (x)px p−1cos x⎧⎨⎩⎧⎨⎩cos x − sinx1tgxcos 2 xcotgx − 1sin 2 xarcsinx 1± √arccosx 1 − x2arctgxarccotgx± 11 + x 2e xlnxe x1xderivácia arkusov a logaritmu: vid’ f ′ inv (x) = 1f ′ (f inv (x))63

Priebeh funkcie(1) df. obor + asymptotiky; (2) extrémy; (3) oblasti rastu aklesania; (4) priebeh (schematicky)y = 3√ x 2 − x 3 : (1) x je l’ub., x → ±∞: y → ∓∞ (y asymp == −x + 1 3 ); (2) y′ ∝ 2x − 3x 2 = 0 ⇒ x = 0,2; (3) x < 0:3y ↓, 0 < x < 2 3 : y ↑, x > 2 3 : y ↓ ⇒ x = 0 ↔ min., x = 2 3 ↔max.y(4):2/3xdodatok: KONVERGENCIA T. RADUe x = 1 + x + 1 2 x2 + 1 3! x3 + . . . konverguje pre ∀x64

D: 1 + q + q 2 + q 3 + . . . konv. pre 0 < q < 1 &= |x|n + 1< 1 pre n > isté N □téma 3: INTEGRÁLY∣ a n + 1 ∣∣∣∣ =a nNeurčitý integrál∫f(x) f(x)dxx p , p ≠ −1sinxx p+1p + 1− cosxcos xsinxmetóda 1:∫e xe x1ln |x|x1√ arcsinx1 − x21arctgx1 + x 21√ ln(x + √ x 2 ± 1)x2 ± 11 11 − x 2 2 ln 1 + x1 − x∫uv ′ dx = uv −u ′ vdx (integrácia p.p.)65

metóda 2:∫f(x)dx =∫f(g(u))g ′ (u)du (substitúcia)metóda 3 − iba pre rac. funkcie: rozklad na p. z.dodatok: ROVNICA TRAKTRIXYt. s param. 1 = krivka, ktorej vzdialenost’ od O x meraná podotyčnici = 1; ú: nájst’ y(x)∫ √1 − xgeom. úlohy ⇒ x 2 (1 + y ′2 2) = 1 ⇒ y = ± dx =x= ± 1 2 ln ∣ ∣∣∣∣1 − √ 1 − x 21 + √ 1 − x 2 ∣ ∣∣∣∣∓ arcsinx + C∫ baUrčitý integrálf(x)dx = F(b) − F(a) (Newton - Leibnitz)urč. integrál = plocha → rovinné plochy, povrchy, objemy . . .téma 4: DIFERENCIÁLNE ROVNICErovnice 1. rádu: separácia premenných, variácia konštanty;rovnice 2. rádu: variácia konštánt, charakteristická rovnicadodatok: PARABOLICKÉ ZRKADLOp. z. = zrkadlo, ktoré sústred’uje lúče v smere O x do O; ú:66

nájst’ y(x)geom. úlohy ⇒ y x = − 2y′y ′2 − 1 ⇒ y′ = y x − √y2x 2 + 1⇒ y + √ x 2 + y 2 = a, y = a2 − x 22aešte jeden dodatok: VARIÁCIA KONŠTÁNTy ′′ +p(x)y ′ +q(x)y = r(x), rieš. homog. rovnice = u(x), v(x):y = αu + βv: y ′ = α ′ u + αu ′ + β ′ v + βv ′y ′′ = α ′′ u + 2α ′ u ′ + αu ′′ + β ′′ v + 2β ′ v ′ + βv ′′⇒ α ′′ u + α ′ (2u ′ + pu) + β ′′ v + β ′ (2v ′ + pv) = r⎧⎨α ′ u + β ′ v = 0 (1) (postulujeme)→⎩α ′ u ′ + β ′ v ′ = r (2) (dôsledok (1) a pôv. rovnice)∫ ∫ vr ur⇒ y = −uW dx + v W dx, W = uv′ − vu ′*****************************************************SKÚŠKA:U 4.1., U 18.1., Pi 21.1., U 25.1, U 1.2., Pi 11.2. − 9.00KTFDF; písomka 1 hod. 30 min. + spoločné zhodnoteniepísomky (+ ústna skúška)67