Aplikace multifraktální geometrie na financních trzích - 5. studentské ...

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrAplikace multifraktální geometrie nafinančních trzích5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyzikyStará LesnáJan KorbelFakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha1. 9. 2011Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrÚvodnáhodné procesy - důležitá součást modelovánínejrůznějších problémů v oblastech fyziky,biologie,ekonomie aj.nejjednodušší model - náhodná procházkaBrownův pohyb - základní proces, který ale ne vždydokáže dobře modelovat chování komplexních systémůnaším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, kterélépe odpovídají realitěspolečné vlastnosti na první pohled různých procesů -(multi)-fraktální geometrieJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrÚvodnáhodné procesy - důležitá součást modelovánínejrůznějších problémů v oblastech fyziky,biologie,ekonomie aj.nejjednodušší model - náhodná procházkaBrownův pohyb - základní proces, který ale ne vždydokáže dobře modelovat chování komplexních systémůnaším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, kterélépe odpovídají realitěspolečné vlastnosti na první pohled různých procesů -(multi)-fraktální geometrieJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrÚvodnáhodné procesy - důležitá součást modelovánínejrůznějších problémů v oblastech fyziky,biologie,ekonomie aj.nejjednodušší model - náhodná procházkaBrownův pohyb - základní proces, který ale ne vždydokáže dobře modelovat chování komplexních systémůnaším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, kterélépe odpovídají realitěspolečné vlastnosti na první pohled různých procesů -(multi)-fraktální geometrieJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrÚvodnáhodné procesy - důležitá součást modelovánínejrůznějších problémů v oblastech fyziky,biologie,ekonomie aj.nejjednodušší model - náhodná procházkaBrownův pohyb - základní proces, který ale ne vždydokáže dobře modelovat chování komplexních systémůnaším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, kterélépe odpovídají realitěspolečné vlastnosti na první pohled různých procesů -(multi)-fraktální geometrieJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrÚvodnáhodné procesy - důležitá součást modelovánínejrůznějších problémů v oblastech fyziky,biologie,ekonomie aj.nejjednodušší model - náhodná procházkaBrownův pohyb - základní proces, který ale ne vždydokáže dobře modelovat chování komplexních systémůnaším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, kterélépe odpovídají realitěspolečné vlastnosti na první pohled různých procesů -(multi)-fraktální geometrieJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrKonkrétní příklad - finanční trhylem[2008−01−02/2008−12−31]Last 0.036050403020100400Volume (millions):6,557,00030020010002015Volatility() :0.4821050I 02 2008 III 03 2008 V 01 2008 VII 01 2008 IX 02 2008 XI 03 2008 XII 31 2008Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrKonkrétní příkladvývoj akcií Lehman brothers - prudký pokles předzačátkem finanční krizev modelu s náhodnou procházkou krajněnepravděpodobnémnohonásobně překonána směrodatná odchylka modelupotřeba jiných procesů - modelování extrémních situacíJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrBrownův pohyb - Definiceklasická náhodná procházka:p - pravděpodobnost kroku dopravaq - pravděpodobnost kroku dolevan - počet krokůpo n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m:p(m, n) =n!p n+m( n+m n−m2 )!( 2 )!2 (1 − p) n−m2limita pro n → ∞: podle Centrální limitní věty dostávámeGaussovo rozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrBrownův pohyb - Definiceklasická náhodná procházka:p - pravděpodobnost kroku dopravaq - pravděpodobnost kroku dolevan - počet krokůpo n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m:p(m, n) =n!p n+m( n+m n−m2 )!( 2 )!2 (1 − p) n−m2limita pro n → ∞: podle Centrální limitní věty dostávámeGaussovo rozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrBrownův pohyb - Definiceklasická náhodná procházka:p - pravděpodobnost kroku dopravaq - pravděpodobnost kroku dolevan - počet krokůpo n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m:p(m, n) =n!p n+m( n+m n−m2 )!( 2 )!2 (1 − p) n−m2limita pro n → ∞: podle Centrální limitní věty dostávámeGaussovo rozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrNáhodná procházka pro n=1000Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerův proces - spojitá náhodná procházkaDefinice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodnýchveličin parametrizována parametrem t (často čas)stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když:1 W (0) = 0 skoro jistě,2 funkce t ↦→ W (t) je skoro jistě spojitá,3 pro všechna t, s: W (t) − W (s) ∼ N(0, |t − s|)4 W (t) má nezávislé přírůstky na tWienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerův proces - spojitá náhodná procházkaDefinice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodnýchveličin parametrizována parametrem t (často čas)stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když:1 W (0) = 0 skoro jistě,2 funkce t ↦→ W (t) je skoro jistě spojitá,3 pro všechna t, s: W (t) − W (s) ∼ N(0, |t − s|)4 W (t) má nezávislé přírůstky na tWienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerův proces - spojitá náhodná procházkaDefinice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodnýchveličin parametrizována parametrem t (často čas)stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když:1 W (0) = 0 skoro jistě,2 funkce t ↦→ W (t) je skoro jistě spojitá,3 pro všechna t, s: W (t) − W (s) ∼ N(0, |t − s|)4 W (t) má nezávislé přírůstky na tWienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy Závěrukázka Wienerova procesuJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho rozdělení - definicestabilní rozdělení - takové že:p(a 1 x + b 1 ) ∗ p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b)Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečnýchsum nezávislých náhodných proměnnýchobecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze(Lévy, Kchintchin):ln L αβ (k) = ick − γ|k| α (1 + iβsgn(k)ω(k, α))kde: 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ ≥ 0, c ∈ R,{ tan(πα/2) if α ≠ 1ω(k, α) = 2 ln |k| if α = 1.πPro |x| → ∞: L α (x) ∼ 1|x| 1+αpro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních LévyhorozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho rozdělení - definicestabilní rozdělení - takové že:p(a 1 x + b 1 ) ∗ p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b)Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečnýchsum nezávislých náhodných proměnnýchobecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze(Lévy, Kchintchin):ln L αβ (k) = ick − γ|k| α (1 + iβsgn(k)ω(k, α))kde: 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ ≥ 0, c ∈ R,{ tan(πα/2) if α ≠ 1ω(k, α) = 2 ln |k| if α = 1.πPro |x| → ∞: L α (x) ∼ 1|x| 1+αpro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních LévyhorozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho rozdělení - definicestabilní rozdělení - takové že:p(a 1 x + b 1 ) ∗ p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b)Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečnýchsum nezávislých náhodných proměnnýchobecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze(Lévy, Kchintchin):ln L αβ (k) = ick − γ|k| α (1 + iβsgn(k)ω(k, α))kde: 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ ≥ 0, c ∈ R,{ tan(πα/2) if α ≠ 1ω(k, α) = 2 ln |k| if α = 1.πPro |x| → ∞: L α (x) ∼ 1|x| 1+αpro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních LévyhorozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho rozdělení - definicestabilní rozdělení - takové že:p(a 1 x + b 1 ) ∗ p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b)Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečnýchsum nezávislých náhodných proměnnýchobecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze(Lévy, Kchintchin):ln L αβ (k) = ick − γ|k| α (1 + iβsgn(k)ω(k, α))kde: 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ ≥ 0, c ∈ R,{ tan(πα/2) if α ≠ 1ω(k, α) = 2 ln |k| if α = 1.πPro |x| → ∞: L α (x) ∼ 1|x| 1+αpro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních LévyhorozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho rozdělení - definicestabilní rozdělení - takové že:p(a 1 x + b 1 ) ∗ p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b)Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečnýchsum nezávislých náhodných proměnnýchobecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze(Lévy, Kchintchin):ln L αβ (k) = ick − γ|k| α (1 + iβsgn(k)ω(k, α))kde: 0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ ≥ 0, c ∈ R,{ tan(πα/2) if α ≠ 1ω(k, α) = 2 ln |k| if α = 1.πPro |x| → ∞: L α (x) ∼ 1|x| 1+αpro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních LévyhorozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho rozděleníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktály - úvodJan Korbelfraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující sevnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítkaneformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovanýpomocí jednoduchých pravidelfraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jinéobjekty než varietymožný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí opoloměru δ, které pokryjí fraktál Fpro variety s dimenzí n: N δ (F ) ≃ cδ −nMřížková (Box counting) dimenze:dim B F = limδ→0ln N δ (F)ln 1 δformální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší nežtopologickáAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktályZavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze vrůzných místech objektuZavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemžµ(F) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ.N δ,α (F) = #{U i |µ(U i ) ≥ δ α }Definujeme f (α) - multifraktální spektrum:f (α) = limδ→0limɛ→0log(N δ,α+ɛ (F) − N δ,α−ɛ (F))− log δmultifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivýchdimenzíPro takové α 0 , pro které f ′ (α 0 ) = 0 platí, žef (α 0 ) = dim B (F )Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktályZavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze vrůzných místech objektuZavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemžµ(F) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ.N δ,α (F) = #{U i |µ(U i ) ≥ δ α }Definujeme f (α) - multifraktální spektrum:f (α) = limδ→0limɛ→0log(N δ,α+ɛ (F) − N δ,α−ɛ (F))− log δmultifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivýchdimenzíPro takové α 0 , pro které f ′ (α 0 ) = 0 platí, žef (α 0 ) = dim B (F )Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktályZavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze vrůzných místech objektuZavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemžµ(F) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ.N δ,α (F) = #{U i |µ(U i ) ≥ δ α }Definujeme f (α) - multifraktální spektrum:f (α) = limδ→0limɛ→0log(N δ,α+ɛ (F) − N δ,α−ɛ (F))− log δmultifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivýchdimenzíPro takové α 0 , pro které f ′ (α 0 ) = 0 platí, žef (α 0 ) = dim B (F )Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktályZavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze vrůzných místech objektuZavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemžµ(F) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ.N δ,α (F) = #{U i |µ(U i ) ≥ δ α }Definujeme f (α) - multifraktální spektrum:f (α) = limδ→0limɛ→0log(N δ,α+ɛ (F) − N δ,α−ɛ (F))− log δmultifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivýchdimenzíPro takové α 0 , pro které f ′ (α 0 ) = 0 platí, žef (α 0 ) = dim B (F )Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktályZavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze vrůzných místech objektuZavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemžµ(F) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ.N δ,α (F) = #{U i |µ(U i ) ≥ δ α }Definujeme f (α) - multifraktální spektrum:f (α) = limδ→0limɛ→0log(N δ,α+ɛ (F) − N δ,α−ɛ (F))− log δmultifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivýchdimenzíPro takové α 0 , pro které f ′ (α 0 ) = 0 platí, žef (α 0 ) = dim B (F )Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho procesLévyho analog Wienerova procesuWienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1).Pakt 1/21W + t 1/22W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 Wkritérium striktní α-stability:t 1/α1Y + t 1/α2Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α YcLévyho α-stabilní proces:1 L α (0) = 0 skoro jistě2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t3 L α (t) je striktně α-stabilní procesJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho procesLévyho analog Wienerova procesuWienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1).Pakt 1/21W + t 1/22W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 Wkritérium striktní α-stability:t 1/α1Y + t 1/α2Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α YcLévyho α-stabilní proces:1 L α (0) = 0 skoro jistě2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t3 L α (t) je striktně α-stabilní procesJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho procesLévyho analog Wienerova procesuWienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1).Pakt 1/21W + t 1/22W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 Wkritérium striktní α-stability:t 1/α1Y + t 1/α2Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α YcLévyho α-stabilní proces:1 L α (0) = 0 skoro jistě2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t3 L α (t) je striktně α-stabilní procesJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho procesLévyho analog Wienerova procesuWienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1).Pakt 1/21W + t 1/22W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 Wkritérium striktní α-stability:t 1/α1Y + t 1/α2Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α YcLévyho α-stabilní proces:1 L α (0) = 0 skoro jistě2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t3 L α (t) je striktně α-stabilní procesJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerův proces - ukázka400 300 200 100 100100200300400Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrLévyho proces - ukázka300200100100 100 200 300100200300Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktální dimenze Lévyho procesůreprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoruR n (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu vprostoru R n (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α}graf náhodné funkce t ↦→ W (t) má dimenzi 3 2graf náhodné funkce t ↦→ L α (t) má fraktální dimenzimax{1, 2 − 1 α }Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktální dimenze Lévyho procesůreprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoruR n (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu vprostoru R n (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α}graf náhodné funkce t ↦→ W (t) má dimenzi 3 2graf náhodné funkce t ↦→ L α (t) má fraktální dimenzimax{1, 2 − 1 α }Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktální dimenze Lévyho procesůreprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoruR n (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu vprostoru R n (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α}graf náhodné funkce t ↦→ W (t) má dimenzi32graf náhodné funkce t ↦→ L α (t) má fraktální dimenzimax{1, 2 − 1 α }Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFraktální dimenze Lévyho procesůreprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoruR n (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu vprostoru R n (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α}graf náhodné funkce t ↦→ W (t) má dimenzi 3 2graf náhodné funkce t ↦→ L α (t) má fraktální dimenzimax{1, 2 − 1 α }Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFrakční Brownův pohybproces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fBM),když:1 W H (0) = 0 s.j.,2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t3 W H (t) − W H (s) ≃ N(0, |t − s| 2H )H se nazývá Hurstův exponentPro H = 1 2- Wienerův proceskorelace není nula:E(W H (t)W H (s)) = 1 [2 |t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H]fBM vnáší do náhodné procházky "pamět’"graf náhodné funkce t ↦→ W H (t) má dimenzi 2 − H-analog s Lévyho procesemJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFrakční Brownův pohybproces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fBM),když:1 W H (0) = 0 s.j.,2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t3 W H (t) − W H (s) ≃ N(0, |t − s| 2H )H se nazývá Hurstův exponentPro H = 1 2- Wienerův proceskorelace není nula:E(W H (t)W H (s)) = 1 [2 |t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H]fBM vnáší do náhodné procházky "pamět’"graf náhodné funkce t ↦→ W H (t) má dimenzi 2 − H-analog s Lévyho procesemJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFrakční Brownův pohybproces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fBM),když:1 W H (0) = 0 s.j.,2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t3 W H (t) − W H (s) ≃ N(0, |t − s| 2H )H se nazývá Hurstův exponentPro H = 1 2- Wienerův proceskorelace není nula:E(W H (t)W H (s)) = 1 [2 |t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H]fBM vnáší do náhodné procházky "pamět’"graf náhodné funkce t ↦→ W H (t) má dimenzi 2 − H-analog s Lévyho procesemJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFrakční Brownův pohybproces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fBM),když:1 W H (0) = 0 s.j.,2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t3 W H (t) − W H (s) ≃ N(0, |t − s| 2H )H se nazývá Hurstův exponentPro H = 1 2- Wienerův proceskorelace není nula:E(W H (t)W H (s)) = 1 [2 |t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H]fBM vnáší do náhodné procházky "pamět’"graf náhodné funkce t ↦→ W H (t) má dimenzi 2 − H-analog s Lévyho procesemJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFrakční Brownův pohybproces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fBM),když:1 W H (0) = 0 s.j.,2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t3 W H (t) − W H (s) ≃ N(0, |t − s| 2H )H se nazývá Hurstův exponentPro H = 1 2- Wienerův proceskorelace není nula:E(W H (t)W H (s)) = 1 [2 |t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H]fBM vnáší do náhodné procházky "pamět’"graf náhodné funkce t ↦→ W H (t) má dimenzi 2 − H-analog s Lévyho procesemJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrFrakční Brownův pohybproces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fBM),když:1 W H (0) = 0 s.j.,2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t3 W H (t) − W H (s) ≃ N(0, |t − s| 2H )H se nazývá Hurstův exponentPro H = 1 2- Wienerův proceskorelace není nula:E(W H (t)W H (s)) = 1 [2 |t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H]fBM vnáší do náhodné procházky "pamět’"graf náhodné funkce t ↦→ W H (t) má dimenzi 2 − H-analog s Lévyho procesemJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy Závěrukázka fBM60504030201060504030201010605040302010500 1000 1500 200010605040302010500 1000 1500 200010500 1000 1500 200010500 1000 1500 2000fBM pro H = 0, 3; 0, 5; 0, 6 a 0, 7Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrReálné chování finančních trhůPozorované vlastnosti na trzích:Velké fluktuacePamět’odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrReálné chování finančních trhůPozorované vlastnosti na trzích:Velké fluktuacePamět’odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrReálné chování finančních trhůPozorované vlastnosti na trzích:Velké fluktuacePamět’odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na časeJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrReálné chování finančních trhůPozorované vlastnosti na trzích:Velké fluktuacePamět’odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na časePříklad:vývoj indexu S&P 500 v letech 1985-2010Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy Závěr2.01.91.81.7index S&P 500denní výnosy0.80.70.61.61.50.50.41985 1990 1995 2000 2005 2010α parametr1990 1995 2000 2005 2010Hurstův exponentJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrGenerování procesů s proměnným Hurstovýmparametremvolatilita jako stochastický proces (double stochasticequation)volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením(superstatistika)čas jako (stochastický) multifraktální procesrozdíl mezi "trader’s time"a "clock time"velké množství obchodů se uskuteční hned po otevřeníburzy a před koncemNáhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny naburze..)Objem se velmi různígenerování multifraktálního času pomocí brownovskýchvzorůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrGenerování procesů s proměnným Hurstovýmparametremvolatilita jako stochastický proces (double stochasticequation)volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením(superstatistika)čas jako (stochastický) multifraktální procesrozdíl mezi "trader’s time"a "clock time"velké množství obchodů se uskuteční hned po otevřeníburzy a před koncemNáhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny naburze..)Objem se velmi různígenerování multifraktálního času pomocí brownovskýchvzorůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrGenerování procesů s proměnným Hurstovýmparametremvolatilita jako stochastický proces (double stochasticequation)volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením(superstatistika)čas jako (stochastický) multifraktální procesrozdíl mezi "trader’s time"a "clock time"velké množství obchodů se uskuteční hned po otevřeníburzy a před koncemNáhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny naburze..)Objem se velmi různígenerování multifraktálního času pomocí brownovskýchvzorůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrGenerování procesů s proměnným Hurstovýmparametremvolatilita jako stochastický proces (double stochasticequation)volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením(superstatistika)čas jako (stochastický) multifraktální procesrozdíl mezi "trader’s time"a "clock time"velké množství obchodů se uskuteční hned po otevřeníburzy a před koncemNáhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny naburze..)Objem se velmi různígenerování multifraktálního času pomocí brownovskýchvzorůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrGenerování procesů s proměnným Hurstovýmparametremvolatilita jako stochastický proces (double stochasticequation)volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením(superstatistika)čas jako (stochastický) multifraktální procesrozdíl mezi "trader’s time"a "clock time"velké množství obchodů se uskuteční hned po otevřeníburzy a před koncemNáhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny naburze..)Objem se velmi různígenerování multifraktálního času pomocí brownovskýchvzorůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerovský fraktální vzor1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.01.IniciátorJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerovský fraktální vzor1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.02.Generátor∆t = ∆x 2∆x = { 2 3 , 1 3 , 2 3 },∆t = { 4 9 , 1 9 , 4 9 }Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerovský fraktální vzor1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.03.Rekurzivní iterováníJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrWienerovský fraktální vzor1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.04.Fraktální strukturaJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktální vzor1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.0jiný generátor, náhodná volba mezi generátory při každé iteraci∆t = ∆x H(t)Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrMultifraktální vzor1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.0Multifraktální vzorJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrČas jako multifraktál1.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.0Wienerův vzor generuje čas na trzíchMultifraktální vzor generuje čas mimo trhyposunutí příslušných bodů v čase generuje jejichvzájemnou závislostJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrČas jako multifraktál0.070.060.050.040.030.020.011.00.80.60.40.20.2 0.4 0.6 0.8 1.0rozdíl časů0.2 0.4 0.6 0.8 1.0závislost časůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrProcesy generované multifraktálními vzoryWienerův proces1.025multifraktální proces1.0051.0201.0001.0151.0100.9951.0050.2 0.4 0.6 0.8 1.01.0000.2 0.4 0.6 0.8 1.04402200.2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0202404Můžeme generovat procesy z pohledu tržního času a pak jetransformovat do běžného času60Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrProcesy generované multifraktálními vzory0.70.60.50.2 0.4 0.6 0.8 1.0Hurstův exponentJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrProcesy generované multifraktálními vzory1.00.80.60.40.20.00.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70Multifraktální spektrumJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrZávěrBrownovský pohyb je jednoduchý proces, ne vždy dobřepopisuje složité systémylepší popis - Lévyho proces, frakční Brownův pohyb...společné vlastnosti různých procesů - fraktální geometrieMultifraktální procesy - jednoduché modelování složitýchprocesůJan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI

Úvod Brownův pohyb Lévyho rozdělení Fraktální geometrie Zobecněné náhodné procházky Multifraktální procesy ZávěrKenneth Falconer.Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.Wiley, Inc., 1990.Benoit B. Mandelbrot.Self-affine fractals and fractal dimension.Physica Scripta, 32:257–260, 1985.Benoit B. Mandelbrot.Fractal financial fluctuations; do the threaten sustainability?In Science for Survival and Sustainable Development. Pontificia AcademiaScientiarum, 1999.Rosario N. Mantegna and H. Eugene Stanley.An Introduction to Econophysics.CUP, Cambridge, 2000.Wolfgang Paul and Jörg Baschangel.Stochastic Processes: From Physics to Finance.Springer, Berlin, 1999.Děkuji za pozornost.Jan KorbelAplikace multifraktálů na finančních trzíchFJFI