matematyka - Okręgowa Komisja Egzaminacyjna

SPIS TREŚCII Informacje ogólne……………………………….…… ................................................................................ 7II Wymagania egzaminacyjne ........................................................................ …………………………………11III Opis egzaminu…………………………………………………………………….…………………………………………..…………15IV Przykładowy arkusz egzaminacyjny ............ ………………………..………………………………..…………………18V Przykładowe rozwiązania zadań zamieszczonych w arkuszu egzaminacyjnym i ich ocena…36

I INFORMACJE OGÓLNEI.1. Podstawy prawneZgodnie z ustawą z 7 września 1991 r. o systemie oświaty (Dz. U. z 2004 r. nr 256, poz.2572 z późn. zm.) egzaminy eksternistyczne są integralną częścią zewnętrznego systemuegzaminowania. Za przygotowanie i przeprowadzanie tych egzaminów odpowiadająCentralna Komisja Egzaminacyjna i okręgowe komisje egzaminacyjne.Sposób przygotowania i przeprowadzania egzaminów eksternistycznych regulujerozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z 11 stycznia 2012 r. w sprawie egzaminóweksternistycznych (Dz. U. z 17 lutego 2012 r., poz. 188). Na podstawie wspomnianegoaktu prawnego CKE i OKE opracowały Procedury organizowania i przeprowadzaniaegzaminów eksternistycznych z zakresu szkoły podstawowej dla dorosłych, gimnazjumdla dorosłych, liceum ogólnokształcącego dla dorosłych oraz zasadniczej szkołyzawodowej.Egzaminy eksternistyczne z zakresu kształcenia ogólnego dla zasadniczej szkołyzawodowej są przeprowadzane z następujących przedmiotów: język polski, język obcynowożytny, historia, wiedza o społeczeństwie, podstawy przedsiębiorczości, geografia,biologia, chemia, fizyka, matematyka, informatyka, zgodnie z wymaganiami określonymiw rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawyprogramowej wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnychtypach szkół (Dz. U. z 30 sierpnia 2012 r., poz. 977).I.2. Warunki przystąpienia do egzaminów eksternistycznychDo egzaminów eksternistycznych z zakresu wymagań określonych w podstawieprogramowej kształcenia ogólnego dla zasadniczej szkoły zawodowej może przystąpićosoba, która ukończyła gimnazjum albo ośmioletnią szkołę podstawową.Osoba, która chce zdawać wyżej wymienione egzaminy eksternistyczne i spełniaformalne warunki, powinna nie później niż na 2 miesiące przed terminem rozpoczęciasesji egzaminacyjnej złożyć do jednej z ośmiu okręgowych komisji egzaminacyjnychwniosek o dopuszczenie do egzaminów zawierający:

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej1) imię (imiona) i nazwisko,2) datę i miejsce urodzenia,3) numer PESEL, a w przypadku braku numeru PESEL – serię i numer paszportu lubinnego dokumentu potwierdzającego tożsamość,4) adres,5) wskazanie, jako typu szkoły, zasadniczej szkoły zawodowej.Do wniosku należy dołączyć także świadectwo ukończenia gimnazjum albo świadectwoukończenia ośmioletniej szkoły podstawowej. Wniosek ten znajduje się na stronachinternetowych OKE w formie załącznika do Procedur organizowania i przeprowadzaniaegzaminów eksternistycznych.W terminie 14 dni od dnia otrzymania przez OKE wniosku zainteresowana osoba zostajepisemnie poinformowana o wynikach postępowania kwalifikacyjnego. Od rozstrzygnięciakomisji okręgowej służy odwołanie do dyrektora Centralnej Komisji Egzaminacyjnejw terminie 7 dni od dnia jego doręczenia. Rozstrzygnięcie dyrektora CKE jest ostateczne.W przypadku zakwalifikowania osoby do zdawania egzaminów eksternistycznychdyrektor OKE informuje ją o konieczności złożenia deklaracji oraz dowodu wniesieniaopłaty za zadeklarowane egzaminy lub wniosku o zwolnienie z opłaty.Informację o miejscach przeprowadzania egzaminów dyrektor OKE podaje do publicznejwiadomości na stronie internetowej okręgowej komisji egzaminacyjnej nie później niżna 15 dni przed terminem rozpoczęcia sesji egzaminacyjnej.Osoba dopuszczona do egzaminów eksternistycznych zdaje egzaminy w okresie niedłuższym niż 3 lata. W uzasadnionych wypadkach, na wniosek zdającego, dyrektorkomisji okręgowej może przedłużyć okres zdawania egzaminów eksternistycznycho dwie sesje egzaminacyjne.Dyrektor komisji okręgowej na wniosek osoby, która w okresie nie dłuższym niż 3 lataod upływu okresu zdawania ponownie ubiega się o przystąpienie do egzaminóweksternistycznych, zalicza tej osobie egzaminy eksternistyczne zdane w wyżejwymienionym okresie.Osoba dopuszczona do egzaminów eksternistycznych, nie później niż na 30 dniprzed terminem rozpoczęcia sesji egzaminacyjnej, składa dyrektorowi komisji okręgowej:8

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej1) pisemną informację wskazującą przedmioty, z zakresu których zamierza zdawaćegzaminy eksternistyczne w danej sesji egzaminacyjnej,2) dowód wniesienia opłaty za egzaminy eksternistyczne z zakresu zajęć edukacyjnychalbo wniosek o zwolnienie z opłaty.Zdający może, w terminie 2 dni od dnia przeprowadzenia egzaminu eksternistycznegoz danych zajęć edukacyjnych, zgłosić zastrzeżenia do dyrektora komisji okręgowej, jeżeliuzna, że w trakcie egzaminu zostały naruszone przepisy dotyczące jegoprzeprowadzania. Dyrektor komisji okręgowej rozpatruje zastrzeżenia w terminie 7 dniod dnia ich otrzymania. Rozstrzygnięcie dyrektora komisji okręgowej jest ostateczne.W przypadku naruszenia przepisów dotyczących przeprowadzania egzaminueksternistycznego, jeżeli naruszenie to mogło mieć wpływ na wynik egzaminu, dyrektorkomisji okręgowej, w porozumieniu z dyrektorem Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, maprawo unieważnić egzamin eksternistyczny z danych zajęć edukacyjnych i zarządzić jegoponowne przeprowadzenie w następnej sesji egzaminacyjnej. Unieważnienie egzaminumoże dotyczyć poszczególnych lub wszystkich zdających.Na wniosek zdającego sprawdzony i oceniony arkusz egzaminacyjny oraz kartapunktowania są udostępniane zdającemu do wglądu w miejscu i czasie określonychprzez dyrektora komisji okręgowej.I.3. Zasady dostosowania warunków i formy przeprowadzania egzaminu dla zdającychz dysfunkcjamiOsoby niewidome, słabowidzące, niesłyszące, słabosłyszące, z niepełnosprawnościąruchową, w tym z afazją, z upośledzeniem umysłowym w stopniu lekkim lubz autyzmem, w tym z zespołem Aspergera, przystępują do egzaminów eksternistycznychw warunkach i formie dostosowanych do rodzaju ich niepełnosprawności. Osoby tezobowiązane są przedstawić wydane przez lekarza zaświadczenie potwierdzającewystępowanie danej dysfunkcji.Dyrektor Centralnej Komisji Egzaminacyjnej opracowuje szczegółową informacjęo sposobach dostosowania warunków i formy przeprowadzania egzaminóweksternistycznych do potrzeb i możliwości wyżej wymienionych osób i podaje jądo publicznej wiadomości na stronie internetowej CKE, nie później niż do dnia9

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej1 września roku poprzedzającego rok, w którym są przeprowadzane egzaminyeksternistyczne.Na podstawie wydanego przez lekarza zaświadczenia potwierdzającego występowaniedanej dysfunkcji oraz szczegółowej informacji, o której mowa powyżej, dyrektor komisjiokręgowej (lub upoważniona przez niego osoba) wskazuje sposób lub sposobydostosowania warunków i formy przeprowadzania egzaminu eksternistycznego dopotrzeb i możliwości osoby z dysfunkcją/dysfunkcjami przystępującej do egzaminueksternistycznego. Wyżej wymienione zaświadczenie przedkłada się dyrektorowi komisjiokręgowej wraz z wnioskiem o dopuszczenie do egzaminów.Zdający, który jest chory, w czasie trwania egzaminu eksternistycznego może korzystaćze sprzętu medycznego i leków koniecznych do stosowania w danej chorobie.10

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejII WYMAGANIA EGZAMINACYJNEII.1. Wiadomości wstępneZakres wiadomości i umiejętności sprawdzanych na egzaminie eksternistycznymz przedmiotów ogólnokształcących wyznaczają wymagania ogólne i szczegółoweokreślone w podstawie programowej kształcenia ogólnego, wprowadzonejrozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawyprogramowej wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnychtypach szkół (Dz. U. z 30 sierpnia 2012 r., poz. 977). Zgodnie z zapisami w podstawieprogramowej, podczas kształcenia w zasadniczej szkole zawodowej wymaga sięwiadomości i umiejętności nabytych nie tylko na IV etapie kształcenia, ale także nawcześniejszych etapach edukacyjnych (zob. np. zadania nr 1, 2, 6, 12, 13, 18, 20zamieszczone w przykładowym arkuszu egzaminacyjnym – rozdział IV informatora).II.2. WymaganiaWiadomości i umiejętności przewidziane dla uczących się w zasadniczej szkolezawodowej opisano w podstawie programowej – zgodnie z ideą europejskich ramkwalifikacji – w języku efektów kształcenia 1 . Cele kształcenia sformułowane są w językuwymagań ogólnych, a treści nauczania oraz oczekiwane umiejętności uczących sięsformułowane są w języku wymagań szczegółowych.II.2.1. Cele kształcenia – wymagania ogólne z przedmiotu matematyka w zasadniczejszkole zawodowejI. Wykorzystanie informacjiZdający interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretujeotrzymany wynik.1 Zalecenie Parlamentu Europejskiego i Rady Europy z dnia 23 kwietnia 2008 r. w sprawieustanowienia europejskich ram kwalifikacji dla uczenia się przez całe życie (2008/C111/01).11

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacjiZdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.III. Modelowanie matematyczneZdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafnośćmodelu.IV. Użycie i tworzenie strategiiZdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.V. Rozumowanie i argumentacjaZdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.II.2.2. Treści nauczania – wymagania szczegółowe z przedmiotu matematykaw zasadniczej szkole zawodowej1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne. Zdający:1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamkadziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg),2) oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia,3) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej,4) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również założonych naprocent składany i na okres krótszy niż rok),5) używa wzorów skróconego mnożenia na ( ± )22 2a b oraz a − b .2. Równania i nierówności. Zdający:1) sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania,2) wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań stopnia pierwszegoz dwiema niewiadomymi,3) rozwiązuje nierówności stopnia trzeciego z jedną niewiadomą,4) rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą,5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.12

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej3. Funkcje. Zdający:1) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu,2) odczytuje z wykresu niektóre własności funkcji (miejsca zerowe, maksymalneprzedziały, w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak, punkty, w których funkcjaprzyjmuje w danym przedziale wartość największą lub najmniejszą),3) rysuje wykresy funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru,4) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie,5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej,6) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru,7) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postacikanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje),8) wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedzialedomkniętym,9) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnieńgeometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym),10) szkicuje wykresy funkcji ( ) = afxxdla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tejfunkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnieproporcjonalnymi.4. Trygonometria. Zdający:1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus, tangens kątówostrych,2) korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tabliclub obliczonych za pomocą kalkulatora),3) oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje danąwartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną),4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:2 2sin α+ cos α = 1, tg = sin ααcosα oraz sin ( 90 ) cos°− α = α.13

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej5. Planimetria. Zdający:1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym,2) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w obliczeniach geometrycznych.6. Stereometria. Zdający:1) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.krawędziami, krawędziami i przekątnymi), oblicza miary tych kątów,2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami(między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów,3) rozpoznaje w walcach i stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami ipłaszczyznami (np. kąt między tworzącymi stożka, kąt między tworzącą a podstawą),oblicza miary tych kątów,4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami,5) wyznacza przekroje prostopadłościanów płaszczyzną,stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni iobjętości.7. Elementy statystyki opisowej. Zdający:1) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną i medianę (także w przypadku danychpogrupowanych),2) odczytuje i interpretuje dane przedstawione w postaci diagramów, wykresów i tabel.14

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejIII OPIS EGZAMINUIII.1. Forma i zakres egzaminuEgzamin eksternistyczny z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej z przedmiotumatematyka jest egzaminem pisemnym, sprawdzającym wiadomości i umiejętnościokreślone w podstawie programowej, przytoczone w rozdziale II niniejszegoinformatora. Osoba przystępująca do egzaminu rozwiązuje zadania zawarte w jednymarkuszu egzaminacyjnym.III.2. Czas trwania egzaminuEgzamin trwa 120 minut.III.3. Arkusz egzaminacyjnyArkusz egzaminacyjny z matematyki składa się z zadań z zakresu wykorzystaniainformacji, wykorzystania i interpretowania reprezentacji, modelowaniamatematycznego, użycia i tworzenia strategii oraz rozumowania i argumentacji.Zadania zawarte w arkuszu sprawdzają rozumienie pojęć i badają umiejętność ichzastosowania w sytuacjach o charakterze problemowym.Arkusz egzaminacyjny z matematyki składa się z różnego rodzaju zadań zamkniętychi otwartych.Wśród zadań zamkniętych mogą wystąpić:• zadania wyboru wielokrotnego – zdający wybiera poprawną odpowiedź spośród kilkupodanych propozycji,• zadania typu prawda−fałsz – zdający stwierdza prawdziwość lub fałszywość informacji,zdań, zależności zawartych w zadaniu.Wśród zadań otwartych mogą wystąpić:• zadania krótkiej odpowiedzi − zdający formułuje odpowiedź w formie jednego lub kilkudziałań,• zadania rozszerzonej odpowiedzi − zdający udziela rozwiniętej odpowiedzi pisemnej,w której przedstawia tok swojego rozumowania.15

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejW arkuszu egzaminacyjnym obok numeru każdego zadania podana jest maksymalnaliczba punktów, którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.III.4. Zasady rozwiązywania i zapisu rozwiązańZdający rozwiązuje zadania bezpośrednio w arkuszu egzaminacyjnym.Ostatnia strona arkusza egzaminacyjnego i niektóre strony w środku są przeznaczone nabrudnopis.III.5. Zasady sprawdzania i oceniania arkusza egzaminacyjnegoZa organizację procesu sprawdzania i oceniania arkuszy egzaminacyjnych odpowiadająokręgowe komisje egzaminacyjne. Rozwiązania zadań przez zdających sprawdzająi oceniają zewnętrzni egzaminatorzy powoływani przez dyrektora właściwej okręgowejkomisji egzaminacyjnej.Rozwiązania zadań oceniane są przez egzaminatorów na podstawie jednolitych w całymkraju szczegółowych kryteriów.Ocenie podlegają tylko te fragmenty pracy, które dotyczą pytań/poleceń. Komentarze,nawet poprawne, wykraczające poza zakres pytań/poleceń, nie podlegają ocenie.W zadaniach krótkiej odpowiedzi, za które można przyznać tylko jeden punkt, przyznajesię go wyłącznie za odpowiedź w pełni poprawną; jeśli podano więcej odpowiedzi, niżwynika to z polecenia w zadaniu, to zadanie jest ocenione tak jak zadanie źle rozwiązane.Jeśli w zadaniu krótkiej odpowiedzi, oprócz poprawnej odpowiedzi, dodatkowo podanoodpowiedź (informację) błędną, sprzeczną z odpowiedzią poprawną, za rozwiązaniezadania nie przyznaje się punktów.Zapisy w brudnopisie nie są oceniane.Zadania egzaminacyjne ujęte w arkuszach egzaminacyjnych są oceniane w skalipunktowej.Wyniki egzaminów eksternistycznych z poszczególnych przedmiotów są wyrażanew stopniach według skali stopni szkolnych − od 1 do 6. Przeliczenia liczby punktówuzyskanych na egzaminie eksternistycznym z danego przedmiotu na stopień szkolnydokonuje się w następujący sposób:− stopień celujący (6) – od 93% do 100% punktów,− stopień bardzo dobry (5) – od 78% do 92% punktów,16

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowej− stopień dobry (4) – od 62% do 77% punktów,− stopień dostateczny (3) – od 46% do 61% punktów,− stopień dopuszczający (2) – od 30% do 45% punktów,− stopień niedostateczny (1) – poniżej 30% punktów.Wyniki egzaminów eksternistycznych z poszczególnych zajęć edukacyjnych ustalakomisja okręgowa na podstawie liczby punktów przyznanych przez egzaminatorówsprawdzających i oceniających dany arkusz egzaminacyjny.Zdający zdał egzamin eksternistyczny z danego przedmiotu, jeżeli uzyskał z tegoegzaminu ocenę wyższą od niedostatecznej.Wynik egzaminu – wyrażony w skali stopni szkolnych – odnotowuje się na świadectwieukończenia szkoły wydawanym przez właściwą okręgową komisję egzaminacyjną.17

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejIV PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNYW tym rozdziale prezentujemy przykładowy arkusz egzaminacyjny. Zawiera oninstrukcję dla zdającego oraz zestaw zadań egzaminacyjnych.W rozdziale V informatora zamieszczono przykładowe odpowiedzi zdających, kryteriaoceniania zadań oraz komentarze.18

Informator o eegzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejCentralna Komisja EgzaminacyjnaArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.Układ graficzny © CKE 2010PESEL (wpisuje zdający)ZMA-A1-133EGZAMIN EKSTERNISTYCZNYZ MATEMATYKIZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWACzas pracy: 120 minutInstrukcja dla zdającego1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 17 stron (zadania 1−21). Ewentualny brakzgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.2. Rozwiązania zadań zamieść w miejscu na to przeznaczonym.3. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.4. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.5. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.6. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla, linijki oraz kalkulatora.7. Wypełnij tę część karty punktowania, którą koduje zdający. Nie wpisuj żadnychznaków w części przeznaczonej dla egzaminatora.8. Na karcie punktowania wpisz swój PESEL. Zamaluj pola odpowiadające cyfromnumeru PESEL. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.9. Pamiętaj, że w wypadku stwierdzenia niesamodzielnego rozwiązywania zadańegzaminacyjnych lub zakłócania prawidłowego przebiegu egzaminu w sposóbutrudniający pracę pozostałym osobom zdającym przewodniczący zespołunadzorującego przerywa i unieważnia egzamin eksternistyczny.Życzymy powodzenia!19

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejW zadaniach 1−13 wybierz i podkreśl jedyną poprawną odpowiedź.Zadanie 1. (1 pkt)LiczbaA.23− 1 4029: − 6 jest równa7B.C.D.33 53− 3 7125 2Zadanie 2. (1 pkt)Sześć kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby7 to 2,64575 . Zaokrąglenie liczby7 do trzeciego miejsca po przecinku toA. 2,644B. 2,645C. 2,646D. 2,647Zadanie 3. (1 pkt)Cenę telewizora obniżono z 2250 zł do 2025 zł. Obniżka ceny telewizora była równaA. 5%B. 10%C. 12%D. 15%20

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBRUDNOPIS21

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 4. (1 pkt)Wskaż rysunek, na którym jest zaznaczony przedział liczbowy − 2,3).A.–2 3xB.–2 3xC.–2 3xD.–2 3xZadanie 5. (1 pkt)Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie ( x − 1) 2jest równeA.B.C.D.2x +2x −xx2211+ 2x+1− 2x+1Zadanie 6. (1 pkt)Wartość wyrażenia 6 x − 432A. − 1 3dla1x = 1 jest równa6B. − 1C.79D. 122

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBRUDNOPIS23

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 7. (1 pkt)Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y = 2x.yy44332211-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-1-1-2-2-3-3-4-4A. B.yy44332211-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-1-1-2-2-3-3-4-4Zadanie 8. (1 pkt)C. D.Punkt ( 0,3 ) leży na wykresie funkcji liniowej f określonej wzoremA. f ( x) = 3xB. f ( x) = x−3C. f ( x) = − 3xD. f ( x) = x+3Zadanie 9. (1 pkt)Rozwiązaniem równania x ( x)A. 0B. 1C. 2D. 32 − 1− = 2 jest liczba24

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBRUDNOPIS25

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 10. (1 pkt)Funkcja kwadratowa jest określona wzorem ( )2A. f ( 0)= 4B. f ( 1)= 4C. f ( − 1)= 4D. f ( − 2)= 4f x = 2x − 3x+ 4. WówczasZadanie 11. (1 pkt)Na rysunku zostały podane długości boków trójkąta prostokątnego i oznaczony zostałjeden z jego kątów ostrych.15α2WówczasA.1sinα =2B. sinα =15C. sinα =25D. sinα =52Zadanie 12. (1 pkt)Pole największego koła, które można wyciąć z kwadratowego arkusza blachy o bokudługości 20 cm, jest równeA. 10π cm 2B. 20π cm 2C. 100π cm 226

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBRUDNOPIS27

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 13. (1 pkt)Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest dwudziestokąt. Liczba wszystkichwierzchołków tego graniastosłupa jest równaA. 40B. 25C. 21D. 20Zadanie 14. (4 pkt)Podczas doświadczenia, które trwało 15 godzin, mierzono temperaturę pewnejsubstancji. Wyniki pomiarów przedstawiono na wykresie.T ( ° C )6543210 1 2 3 4 5–1–2–3– 46 7 8 9 10 11 12 13 14 15t (h)W tabeli zapisano cztery zdania. Wpisz w wolną rubrykę literę P, jeżeli zdanie jestprawdziwe, albo literę F, jeśli jest fałszywe.Lp. Zdanie P / F1. Na początku pomiaru odnotowano temperaturę równą 2 ° C .2. Najwyższa temperatura, jaką odnotowano, to 15 ° C .3. W ciągu pierwszych czterech godzin pomiarów temperatura malała.4. Dwukrotnie temperatura substancji była równa 0 ° C .28

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBRUDNOPIS29

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 15. (3 pkt)⎛ 2 ⎞Rozwiąż nierówność 0,5x+ 1,5⎜x− ≤83⎟ .⎝ ⎠Odpowiedź:............................................................................................................. .Zadanie 16. (3 pkt)Rozwiąż równaniex2− 3x+ 2= 0.Odpowiedź:............................................................................................................. .30

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 17. (2 pkt)Oblicz miarę kąta środkowego α zaznaczonego na rysunku.71°αOdpowiedź:............................................................................................................. .Zadanie 18. (3 pkt)Rozwiąż układ równań⎧2x+ y = 8⎨ .⎩3x− 4y= 1Odpowiedź:............................................................................................................. .31

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 19. (4 pkt)Oblicz pole czworokąta narysowanego w układzie współrzędnych.y6543210 1 2 3 4 56 7xOdpowiedź:............................................................................................................. .32

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 20. (5 pkt)Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości 3 cm i 4 cm, a jegoprzekątna ma długość 13 cm (zobacz rysunek). Zaznacz kąt nachylenia przekątnej dopłaszczyzny podstawy. Oblicz objętość prostopadłościanu.D 1C 1A 1B 1133DCA4BOdpowiedź:............................................................................................................. .33

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 21. (3 pkt)Grupę 50 osób zapytano o liczbę przeczytanych książek w ciągu ostatniego roku. Wynikitej ankiety przedstawione zostały na diagramie słupkowym.liczba osób1211109876543210 1 2 3 4 5liczba książek21.1. Podaj, ile osób w badanej grupie przeczytało mniej niż dwie książki w ciąguostatniego roku.21.2. Oblicz średnią liczbę przeczytanych w ciągu ostatniego roku książek przez jednegobadanego.Odpowiedź:............................................................................................................. .34

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBRUDNOPIS35

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejV PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA ZADAŃ ZAMIESZCZONYCHW ARKUSZU EGZAMINACYJNYM I ICH OCENAUwaga:Przykładowe wypowiedzi zdających są wiernymi cytatami z arkuszy egzaminacyjnych i mogązawierać błędy.W zadaniach 1−13 wybierz i zaznacz jedyną poprawną odpowiedź.Zadanie 1. (1 pkt)2Liczba 9: − 6 jest równa723A. − 1 40B.C.D.D.33 53− 3 7125 2Poprawna odpowiedźKomentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaZgodnie z kolejnością wykonywania działań mamy:12 7 63 1 125 9 : − 6 = 9⋅ − 6 = − 6 = 31 − 6 = 25 .2 7 2 2 2 2Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi D.Zadanie 2. (1 pkt)Sześć kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby7 do trzeciego miejsca po przecinku to7 to 2,64575 . Zaokrąglenie liczbyA. 2,644B. 2,645C. 2,646D. 2,647Poprawna odpowiedźC. 2,646Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaCzwartą cyfrą po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby 7 jest7. Zgodnie z regułą zaokrąglania trzecią cyfrę po przecinku tegorozwinięcia zwiększamy o 1. Zatem zaokrąglenie liczby 7 dotrzeciego miejsca po przecinku to 2,646 .Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi C.36

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 3. (1 pkt)Cenę telewizora obniżono z 2250 zł do 2025 zł. Obniżka ceny telewizora była równaA. 5%B. 10%C. 12%D. 15%Poprawna odpowiedźB. 10%Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaObliczamy, o ile złotych obniżono cenę telewizora2250 − 2025 = 225 zł. Wartość obniżki stanowi225 % = 10%2250pierwotnej ceny telewizora.Możemy również obliczyć, jakim procentem poprzedniej cenyjest nowa cena: 2025 % = 90% i z tego wywnioskować, że2250obniżka była równa 10%.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi B.Zadanie 4. (1 pkt)Wskaż rysunek, na którym jest zaznaczony przedział liczbowy − 2,3).A.B.C.D.–2 3–2 3–2 3–2 3xxxxC.Poprawna odpowiedźKomentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaDo przedziału − 2,3)należą liczby rzeczywiste, których wartościspełniają następujące warunki: są to liczby większe bądź równe− 2 i jednocześnie mniejsze od 3. Taki przedział zaznaczony jestna rysunku C.Zamalowana kropka nad liczbą − 2 oznacza, że liczba ta należy doprzedziału, pusta kropka nad trójką oznacza, że liczba 3 do tegoprzedziału nie należy.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi C.37

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 5. (1 pkt)Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie ( x − 1) 2jest równeA.B.C.D.2x +2x −xx2211+ 2x+1− 2x+1D.Poprawna odpowiedźx2− 2x+1Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:( ) 2 2 2a− b = a −2⋅a⋅ b+ b i otrzymujemy ( ) 2 2x− 1 = x − 2x+ 1.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi D.Zadanie 6. (1 pkt)Wartość wyrażenia 6 x − 43A.2− 1 3dla1x = 1 jest równa6B. − 1C.79D. 1Poprawna odpowiedźD. 1Komentarz do zadania. Ocena rozwiązania1Dla x = 1 wartość wyrażenia 6 x − 4 jest równa631 761 ⋅ −46⋅−46 6 7−4 3= = = = 1.3 3 3 3Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi D.38

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 7. (1 pkt)Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y = 2x.yy44332211-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-1-1-2-2-3-3-4-4A. B.yy44332211-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x-1-1-2-2-3-3-4-4C. D.B.Poprawna odpowiedźKomentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaWyznaczamy współrzędne punktów, które należą do prostejo równaniu y = 2x. Wykonujemy obliczenia: np. dla x = 0 ,y = 20 ⋅ = 0 oraz dla x = 2 , y = 22 ⋅ = 4. Do prostej y = 2xnależą więc punkty ( 0,0 ) oraz ( 2, 4 ) . Jest to prostaprzedstawiona na rysunku B.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi B.39

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 8. (1 pkt)Punkt ( 0,3 ) leży na wykresie funkcji liniowej f określonej wzoremA. f ( x) = 3xB. f ( x) = x−3C. f ( x) = − 3xD. f ( x) = x+3Poprawna odpowiedźD. f ( x) = x+3Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaObliczamy wartości podanych funkcji dla argumentu x = 0 :0 30 0 f 0 = 0− 3=− 3,A. f ( ) = ⋅ = , B. ( )C. f ( 0)=−30 ⋅ = 0, D. f ( 0)= 0+ 3= 3.W rozwiązaniu D otrzymaliśmy f ( 0)= 3, co oznacza, że punkt( 0,3 ) leży na wykresie tej funkcji.Możemy również wskazać poprawną odpowiedź, odwołując siędo interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowejf x = ax + b . Współczynnik b w tym wzorze to druga( )współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią Oy, tzn. żef x = ax + b przechodzi przez punktfunkcja liniowa ( )o współrzędnych ( 0,b ) . Z tego wynika, że funkcja f ( x) = x+3przechodzi przez punkt ( 0,3 ) .Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi D.40

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 9. (1 pkt)Rozwiązaniem równania x ( x)A. 0B. 1C. 2D. 32 − 1− = 2 jest liczbaPoprawna odpowiedźB. 1Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaMożemy rozwiązać podane równanie. Wtedy mamy2x− 1− x = 2,( )2x− 1+ x= 2,3x − 1= 2,3x = 3,x = 1.Możemy też sprawdzać po kolei, która z podanych2x− 1− x = 2. Liczba 0w odpowiedziach liczb spełnia równanie ( )nie spełnia tego równania, gdyż 20 ⋅ −( 1− 0)= 0− 1=−1≠ 2.Natomiast liczba 1 spełnia równanie, gdyż 21 ⋅ −( 1− 1)= 2− 0= 2.Zatem poprawna odpowiedź to B.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi B.Zadanie 10. (1 pkt)Funkcja kwadratowa jest określona wzorem ( )2A. f ( 0)= 4B. f ( 1)= 4C. f ( − 1)= 4D. f ( − 2)= 4f x = 2x − 3x+ 4. WówczasPoprawna odpowiedźA. f ( 0)= 4Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaAby rozwiązać to zadanie, należy obliczyć wartość funkcjif x 2x 3x4f 02( ) = − + dla podanego argumentu. Obliczamy ( )2w następujący sposób: f ( 0) = 20 ⋅ −30 ⋅ + 4= 4.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi A.41

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 11. (1 pkt)Na rysunku zostały podane długości boków trójkąta prostokątnego i oznaczony zostałjeden z jego kątów ostrych.WówczasA.B.C.1sinα =2sinα =sinα =1525125αD.sinα =52Poprawna odpowiedź1B. sinα =5Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaKorzystając z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie1prostokątnym, otrzymujemy sinα = .5Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi B.42

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 12. (1 pkt)Pole największego koła, które można wyciąć z kwadratowego arkusza blachy o bokudługości 20 cm, jest równeA. 10π cm 2B. 20π cm 2C. 100π cm 2D. 400π cm 2Poprawna odpowiedź Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaNajwiększe koło, jakie można wyciąćz kwadratu o boku 20 cm, maśrednicę równą długości boku tegor kwadratu. Promień tego koła jestC. 100π cm 2 równy 10 cm.Obliczamy pole tego koła dla r = 10 :2 2P= πr= π ⋅ 10 = 100πcm 2 . Zdającyotrzymuje 1 punkt za podkreślenieodpowiedzi C.Zadanie 13. (1 pkt)Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest dwudziestokąt. Liczba wszystkichwierzchołków tego graniastosłupa jest równaA. 40B. 25C. 21D. 20Poprawna odpowiedźA. 40Komentarz do zadania. Ocena rozwiązaniaGraniastosłup ma dwie takie same podstawy. Skoro podstawągraniastosłupa jest dwudziestokąt, to liczba wierzchołkówgraniastosłupa przy jednej podstawie jest równa 20. Zatem liczbawszystkich wierzchołków graniastosłupa jest równa 40.Zdający otrzymuje 1 punkt za podkreślenie odpowiedzi A.43

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 14. (4 pkt)Podczas doświadczenia, które trwało 15 godzin, mierzono temperaturę pewnej substancji.Wyniki pomiarów przedstawiono na wykresie.T ( ° C )6543210 1 2 3 4 5–1–2–3– 46 7 8 9 10 11 12 13 14 15t (h)W tabeli zapisano cztery zdania. Wpisz w wolną rubrykę literę P, jeżeli zdanie jestprawdziwe, albo literę F, jeśli jest fałszywe.Komentarz do zadania.Poprawne odpowiedziOcena rozwiązaniaZdający otrzymuje po 1 punkcie za podanie każdej prawidłowej odpowiedzi – łącznie4 punkty.Na początku pomiaru odnotowanotemperaturę równą 2 ° C .Najwyższa temperatura, jakąodnotowano, to 15 ° C .W ciągu pierwszych czterech godzinpomiarów temperatura malała.Dwukrotnie temperatura substancjibyła równa 0 ° C .PFPPOdczytujemy z wykresutemperaturę początkową. Jest onarówna 2 ° C .Odczytujemy z wykresu największąwartość temperatury, jaką osiągnęłasubstancja. Jest ona równa 6 ° C .Zdanie jest więc nieprawdziwe.Z wykresu odczytujemy, że w ciągupierwszych czterech godzin funkcjajest malejąca, więc temperaturamalała.Funkcja ma dwa miejsca zerowe, dlat = 3 oraz t = 8 , więc zdanie jestprawdziwe.44

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 15. (3 pkt)⎛ 2 ⎞Rozwiąż nierówność 0,5x+ 1,5⎜x− ≤83⎟ .⎝ ⎠ZdającyPrzykładowe odpowiedzi zdającychKomentarz do zadania. OcenarozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,1 punkt – za prawidłowe opuszczenie nawiasów w nierówności,1 punkt – za zapisanie nierówności w postaci: 2x ≤ 9,1 punkt – za rozwiązanie nierówności: x ≤ 4,5 .3 punkty – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.⎛ 2 ⎞0,5x+ 1,5⎜x− ⎟≤8,⎝ 3 ⎠20,5x+ 1,5x−1,5⋅ ≤ 8,A33 22x − ⋅ ≤ 8, 2x −1≤ 8, 2x ≤ 9, x ≤ 4,5.2 3Odpowiedź: x ≤ 4,5.⎛ 2 ⎞0,5x+ 1,5⎜x− ⎟≤8,⎝ 3 ⎠30,5x+ x−1 ≤ 8 ,2B 1 3x+ x≤ 9 ,2 22x ≤ 9,x ≥ 4,5.Odpowiedź: x ≥ 4,5.CD⎛ 2 ⎞0,5x+ 1,5⎜x− ⎟≤8,⎝ 3 ⎠0,5x+ 1,5x−1≤822x −1− 8= 0,22x − 9= 0,222x = 9,x = 4,5 x = 4,5Odpowiedź x = 4,5 .⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞0,5x+ 1,5⎜x− ⎟≤8,0,5x+ 1,5⎜x− ⎟=8⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎛1⎞2 30,5x+ 1,5⎜x⎟=8,0,5x+ ⋅ x=8⎝3⎠1 180,5x+ 6x= 8 , 6,5x = 8 , x = ,6,58Odpowiedź: x = .6,5Zdający A prawidłowo rozwiązałnierówność. Opuszczając nawias,poprawnie zastosował regułękolejności wykonywania działań.Nie popełnił żadnych błędów.Zdający otrzymał 3 punkty.Zdający B opuścił nawias,poprawnie stosując regułękolejności wykonywania działań.Doprowadził nierówność dopostaci 2x ≤ 9, za co otrzymał2 punkty. Popełnił jednak błąd,dzieląc nierówność 2x ≤ 9 przez 2,ponieważ zmienił jej znak.Nierówność nie została tymsamym rozwiązana prawidłowo.Zdający otrzymał 2 punkty.Zdający C opuścił prawidłowonawias, za co otrzymał 1 punkt,ale kontynuując rozwiązanie,popełnił szereg błędów: sumując20,5x+ 1,5x, otrzymał 2xi jednocześnie zamienił nierównośćw równanie.Zdający otrzymał 1 punkt.Zdający D zamienił nierównościw równanie. Zrobił błąd,odejmując od siebie wyrażenia,2 1które nie są podobne x− = x.3 3⎛1 ⎞ 2 3Pisząc, że 1, 5 ⎜ x⎟= ⋅ x,⎝ 3 ⎠ 1 1popełnił następny błąd.Zdający otrzymał 0 punktów.45

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 16. (3 pkt)Rozwiąż równaniex2− 3x+ 2= 0.Komentarz do zadania. OcenaZdający Przykładowe odpowiedzi zdającychrozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,21 punkt – za obliczenie wyróżnika trójmianu x − 3x+ 2= 0: ∆= 1,1 punkt – za zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego:( )( )− −3 − 1 − − 3 + 1x1=, x2=,21 ⋅21 ⋅1 punkt – za obliczenie pierwiastków: x = 1 lub x = 2 .3 punkty – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.2x − 3x+ 2=0a = 1, b = − 3 , c = 2ABCD∆= ( −3) 2−412 ⋅ ⋅ = 9− 8=1−( − ) −( )3 1 − − 3 + 1x1= = 1 , x2= = 221 ⋅21 ⋅Odpowiedź: x = 1 lub x = 2 .2x − 3x+ 2=0a = 1, b = − 3 , c = 2∆= ( −3) 2−412 ⋅ ⋅ = 9− 8=1−( −3)− 1( )− − 3 + 1x1= = −2, x2= = −121 ⋅21 ⋅Odpowiedź: x = − 2 lub x = − 1 .2x − 3x+ 2=0a = 1, b = − 3 , c = 2∆= ( −3) 2−412 ⋅ ⋅ = 9− 8=1−3−1 − 3+1x1= = −2, x2= = −121 ⋅21 ⋅Odpowiedź: x = − 2 lub x = 2 .2x − 3x+ 2=0a = 1, b = − 3 , c = 2∆= ( −3) 2−412 ⋅ ⋅ =−9− 8, ∆=− 17Odpowiedź: x ∈∅.Zdający A prawidłowo rozwiązałrównanie. Obliczył wartośćwyróżnika ∆ i prawidłowozastosował wzory na pierwiastkirównania kwadratowego.Nie popełnił żadnych błędówrachunkowych.Zdający otrzymał 3 punkty.Zdający B poprawnie obliczyłwyróżnik ∆ . Podstawiłprawidłowe wielkości wewzorach na pierwiastki równaniakwadratowego, za co otrzymał2 punkty. Popełnił błędy przyobliczaniu wartości pierwiastkówrównania. Równanie nie zostałorozwiązane prawidłowo.Zdający otrzymał 2 punkty.Zdający C poprawnie obliczyłwyróżnik ∆ , za co otrzymał1 punkt. Nie podstawił jednakprawidłowej wielkości wewzorach na pierwiastki równaniakwadratowego. Pierwiastkirównania zostały tym samym źleobliczone.Zdający otrzymał 1 punkt.Zdający nie rozwiązał równania.Obliczając wyróżnik ∆ , popełniłbłędy rachunkowe, któreuniemożliwiły mu dalszerozwiązanie.Zdający otrzymał 0 punktów.46

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 17. (2 pkt)Oblicz miarę kąta środkowego α zaznaczonego na rysunku.71°αKomentarz do zadania. OcenaZdający Przykładowe odpowiedzi zdającychrozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,1 punkt – za zastosowanie twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tymsamym łuku i zapisanie zależności, np. 1 712 α = ° .1 punkt – za obliczenie miary kąta środkowego: α = 142° .2 punkty – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.α = 2⋅ 71°= 142°Odpowiedź: α = 142°ABα = 2⋅ 71°, α = 124°Odpowiedź: α = 124°Zdający A prawidłowo rozwiązałzadanie. Wykorzystał doobliczenia miary kątaśrodkowego αtwierdzenie o kącie środkowymi wpisanym opartych na tymsamym łuku Zdający otrzymał2 punkty.Zdający B poprawnie zapisałzależność między kątami,wynikającą z twierdzenia o kącieśrodkowym i wpisanym opartychna tym samym łuku. Popełniłbłąd przy obliczaniu wartości kątaα . Zadanie nie zostałorozwiązane prawidłowo.Zdający otrzymał 1 punkt.47

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejC35,5°109°α71°Zdający C, rozwiązując zadanie,skorzystał z fałszywychprzesłanek, bo dorysowanyodcinek nie jest zawartyw dwusiecznej kąta o mierze71° . Wyznaczone miary kątównie są prawidłowe.Zdający otrzymał 0 punktów.71 ° : 2 = 35,5°,180°− ( 35,5°+ 35,5° ) = 180°− 71°= 109°,109°⋅ 2 = 218°, 360°− 218°= 142°Odpowiedź: α = 142° .Zadanie 18. (3 pkt)Rozwiąż układ równań⎧2x+ y = 8⎨⎩3x− 4y= 1Komentarz do zadania. OcenaZdający Przykładowe odpowiedzi zdającychrozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,1 punkt – za wyznaczenie jednej z niewiadomych, wstawienie do drugiego równaniai zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. y = 8− 2x, 3x−48 ( − 2x)= 1 lub zastosowaniemetody przeciwnych współczynników i zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. 11x = 33 ,1 punkt – za obliczenie wartości jednej z niewiadomych, np. x = 3.1 punkt – za obliczenie wartości drugiej niewiadomej: y = 2 .3 punkty – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.⎧2x+ y = 8/ ⋅4⎧8x+ 4y= 32Zdający A prawidłowo rozwiązał⎨⎨⎩3x− 4y= 1 ⎩3x− 4y= 1układ równań. Pomnożyłpierwsze równanie stronami11x = 33 x = 3przez 4 i zastosował metodęA 2⋅ x+ y = 8 23 ⋅ + y = 8przeciwnych współczynników.6+ y = 8 y = 2Nie popełnił żadnych błędówOdpowiedź: x = 3, y = 2 .rachunkowych.Zdający otrzymał 3 punkty.⎧2x+ y = 8/ ⋅4⎧8x+ 4y= 32Zdający B poprawnie pomnożył⎨⎨⎩3x− 4y= 1 ⎩3x− 4y= 1pierwsze równanie stronamiprzez 4 i zastosował metodę11x = 33 x = 3Bprzeciwnych współczynników.3x− 4y= 1 33 ⋅ − 4y= 1Zapisał równanie z jedną− 4y= 8 y = − 2niewiadomą 11x = 33 i obliczyłOdpowiedź: x = 3, y = − 2 .wartość niewiadomej x, za co48

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejCD⎧ 1⎧2x+ y = 8 ⎧2x=− y+8 ⎪x=− y + 4⎨⎨⎨ 2⎩3x− 4y= 1 ⎩3x− 4y= 1 ⎪⎩3x− 4y= 1⎧ 1x =− y + 4⎧ 1x =− y + 4⎪ 2⎪ 2⎨ ⎨⎪ ⎛ 1 ⎞33⎜− y+ 4⎟− 4y= 1 ⎪ − y + 4 − 4y= 1⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎪⎩ 2⎧ 1x =− y + 4⎪ 25⎨y = −⎪ 11− 5 y = 5 5⎪⎩ 22Odpowiedź: brak⎧2x+ y = 8/ ⋅−1⎨⎩3x− 4y= 1Odpowiedź: brak.⎧−2x− y = 8⎨⎩3x− 4y= 1x− 5y= 9otrzymał 2 punkty. Następnieprawidłowo podstawił obliczonąwartość do równania 3x− 4y= 1,ale popełnił błąd przy redukcjiwyrazów podobnych. Układrównań nie został rozwiązanyprawidłowo.Zdający otrzymał 2 punkty.Zdający C poprawnie wyznaczyłniewiadomą x z pierwszegorównania i wstawił do drugiego,za co otrzymał 1 punkt. Dalejrozwiązywał równanie⎛ 13 4 4 12 y ⎞⎜− + ⎟− y = ,⎝ ⎠popełniając szereg błędów (źleprzemnożył wyrażenie wnawiasie przez liczbę 3,a następnie źle zredukowałwyrazy wolne w otrzymanymrównaniu). Nie obliczył drugiejniewiadomej.Zdający otrzymał 1 punkt.Zdający D nie rozwiązał układurównań. Zaznaczył wprawdzie, żebędzie mnożył pierwszerównanie przez liczbę − 1, ale niezrobił tego bezbłędnie. Przyjętametoda nie doprowadziłaby godo rozwiązania, ponieważpomnożenie równania przez− 1 i dodanie (odjęcie) równaństronami nie spowodowałobyredukcji jednej z niewiadomych.Zdający otrzymał 0 punktów.49

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 19. (4 pkt)Oblicz pole czworokąta narysowanego w układzie współrzędnych.y6543210 1 2 3 4 56 7xKomentarz do zadania. OcenaZdający Przykładowe odpowiedzi zdającychrozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,1 punkt – za zauważenie, że narysowany czworokąt jest trapezem prostokątnym, lubzauważenie, że narysowany czworokąt można podzielić na figury, których pola można łatwoobliczyć, np. na prostokąt i trójkąt, lub uzupełnić trójkątem do kwadratu,1 punkt – za zapisanie długości podstaw i wysokości trapezu, np. a = 6 , b = 4 , h = 6 , lubobliczenie pola jednej z wyodrębnionych figur, np. pola prostokąta P= 6⋅ 4 = 24 ,11 punkt – za zastosowanie wzoru na pole trapezu: P = ( 6 + 4 ) ⋅ 6 lub obliczenie pola drugiej21wyodrębnionej figury, np. Ptrójkąta= ⋅ 62 ⋅ = 6 ,21 punkt – za obliczenie pola trapezu P = 30 .4 punkty – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.50

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejAy654321Zdający A podzielił czworokąt naprostokąt i trójkąt (zrobił to narysunku). Zastosował prawidłowewzory do obliczenia pólwyodrębnionych figur i na końcuobliczył pole całego czworokąta.Nie popełnił żadnych błędówrachunkowych.Zdający otrzymał 4 punkty.0 1 2 3 4 56 7xBCP= 4⋅ 6 = 2462 ⋅P ∆= = 62P =czworokąta30Odpowiedź: Pole czworokąta wynosi 30.a⋅h26 ⋅ 12 j2P ∆= = =2 22P= ab ⋅ = 4⋅ 6 = 24 j2 2 2Pc= 12j + 24j = 36 jOdpowiedź: Pole czworokąta wynosiy6543212466236 j .Zdający B podzielił czworokąt nadwie figury. Poprawnie wyznaczyłi zapisał na rysunku długościboków prostokąta i trójkąta.Niestety popełnił błąd, obliczającpole trójkąta.Za przedstawione rozwiązaniezdający otrzymał 3 punkty.Zdający C podzielił czworokąt nadwie figury: prostokąt i trójkąt.Prawidłowo obliczył poleprostokąta, nie wiedział jednak,jak obliczyć pole trójkąta.Za przedstawione rozwiązanieotrzymał 2 punkty.0 1 2 3 4 56 7x51

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejDP= 4⋅ 6 = 242 2 2P = 2 + ∆6 = c24 + 36 = c240 = c c = 2 10Pczworokąta= 24 + 2 10 .Odpowiedź: Pole czworokąta wynosi24 + 2 10 .y654326160 1 2 3 4 546 7xZdający D zauważył, żenarysowany czworokąt jesttrapezem prostokątnym. Zapisałpoprawnie wzór, za pomocąktórego można obliczyć jegopole. Błędnie jednak odczytałdługości odpowiednich odcinkówpotrzebnych do obliczenia polatrapezu. Pole trapezu nie zostałowięc obliczone prawidłowo.Zdający otrzymał 1 punkt.a+bP= ⋅ h26+6P = ⋅ 42E12P = ⋅ 42P = 24 .Odpowiedź: Pole wynosi 24.P = ( 6⋅ 4)+ 5 15 = a + b = c= 24 + 5 152 + 6 = cc = 4 + 36c = 25 + 15c = 5 15Odpowiedź: P = 24 + 5 15 .2 2 22 2 2Zdający E w swoim rozwiązaniunie pokazał, że widzi, iżprzedstawiony czworokąt jesttrapezem. Nie pokazał równieżinnego sposobu obliczenia polafigury. Przeprowadzoneobliczenia są oderwane odtematu zadania i zawierająpoważne błędy.Zdający otrzymał 0 punktów.52

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 20. (5 pkt)Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości 3 cm i 4 cm, a jegoprzekątna ma długość 13 cm (zobacz rysunek). Zaznacz kąt nachylenia przekątnej dopłaszczyzny podstawy. Oblicz objętość prostopadłościanu.D 1C 1A 1 B 113A33D4BCZdającyPrzykładowe odpowiedzi zdającychKomentarz do zadania. OcenarozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,1 punkt – za zaznaczenie kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyznypodstawy,1 punkt – za obliczenie pola podstawy prostopadłościanu:2PABCD= 12 cm ,1 punkt – za obliczenie długości przekątnej podstawy d = 5 cm ,1 punkt – za obliczenie wysokości prostopadłościanu: h = 12 cm ,31 punkt – za obliczenie objętości prostopadłościanu V = 144 cm .Uwaga: Czynności mogą być wykonane w innej kolejności, niż to powyżej zapisano.5 punktów – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.D 1C 1Zdający A rozwiązał zadaniepoprawnie, nie popełniającbłędów. ZaznaczyłA 1 B 1kąt nachylenia przekątnejk 13prostopadłościanu do płaszczyznypodstawy α, obliczył długośćADprzekątnej p podstawyCi wysokość k prostopadłościanu,3 p αa na zakończenie jego objętość.A 4 BZdający otrzymał 5 punktów.2 2 2p = 3 + 42p = + =9 16 252 2 2k + 5 = 132 2 2k = 13 − 553

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBCDp = 52k =144k = 12V = 3⋅4⋅ 12 = 12⋅ 12 = 144Odpowiedź: objętość prostopadłościanu3V = 144 cm .2 2 24 + 3 = x216 + 9 = x13 = y + 52 2 22169 = y + 25x = 25y = 144x = 5y = 12V= abh ⋅ ⋅4 3 123V = 144 cm .V = ⋅ ⋅ ( )2 2 2x = 4 + 32x = 16 + 92x = 25A 1 α B 11312AAD 133D 12 2 2y = 13 − 52y = 169 − 252y = 144y =x = 512P = 2( 4⋅ 3+ 3⋅ 12 + 4⋅12)P = 2( 12 + 36 + 48)D2P = 192 cmV= abc ⋅ ⋅ a = 4 , b = 3 , c = ?2 2 2a + b = c2 2 24 + 3 = c216 + 9 = c4BA 1 B 1y3Dx4513αBC 1CC 1CZdający B bezbłędnie obliczyłobjętość prostopadłościanui otrzymał za tę część rozwiązania4 punkty. Nie zaznaczył jednakpoprawnie wymaganego kątamiędzy przekątną graniastosłupai płaszczyzną podstawy.Zdający otrzymał 4 punkty.Zdający C prawidłowo zaznaczyłna rysunku wymagany kąt,bezbłędnie obliczył długośćprzekątnej podstawyprostopadłościanu i jegowysokość. Za tę częśćrozwiązania otrzymał 3 punkty.W dalszej części przedstawionegorozwiązania zdający oblicza polepowierzchni całkowitejprostopadłościanu zamiast jegoobjętość.Zdający otrzymał 3 punkty.Zdający D nie zaznaczył narysunku wymaganego kąta,natomiast miara podanaw odpowiedzi jest54

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejE225 = c to c = 5V = 345 ⋅ ⋅ = 125 ⋅ = 60Kąt nachylenia przekątnej D1 DB = 45°.D 1C 1A 1 B 1c13DC33 αA 4 Bnieprawidłowa. Poprawnieobliczył długość przekątnejpodstawy, którą oznaczył literą c.Obliczając objętość, poprawnieobliczył pole podstawy, alepomnożył je przez długośćprzekątnej podstawyprostopadłościanu zamiast przezjego wysokość.Zdający otrzymał 2 punkty.Zdający E źle rozwiązał zadanie.Uzyskał jeden punkt za obliczeniepola podstawy graniastosłupa,reszta rozwiązania jestnieprawidłowa.Zdający otrzymał 1 punkt.F2 2 24 + 3 + c = 13V = 436 ⋅ ⋅4 + 3 + c = 13V = 12⋅6c = 1 −34− 3V = 72c = 6D 1C 1A 1 B 1bc 13D33CA 4 B2 2 2a + b = c2 2 24 + b = 13216 + b = 1692b = 153Zdający F nie wykonał poprawnieani jednej czynności składającejsię na rozwiązanie.Przedstawiony zapis świadczyo tym, że nie widzi on trójkątaprostokątnego, w którym możnazastosować twierdzeniePitagorasa.Zdający otrzymał 0 punktów.55

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejZadanie 21. (3 pkt)Grupę 50 osób zapytano o liczbę przeczytanych książek w ciągu ostatniego roku. Wyniki tejankiety przedstawione zostały na diagramie słupkowym.liczba osób1211109876543210 1 2 3 4 5liczba książek21.1. Podaj, ile osób w badanej grupie przeczytało mniej niż dwie książki w ciąguostatniego roku.21.2. Oblicz średnią liczbę książek przeczytanych przez jednego badanego w ciąguostatniego roku.Komentarz do zadania. OcenaZdający Przykładowe odpowiedzi zdającychrozwiązaniaZdający otrzymuje:0 punktów – za brak rozwiązania albo rozwiązanie zawierające rażące błędy merytoryczne,1 punkt – za obliczenie liczby osób, które przeczytały mniej niż dwie książki w ciąguostatniego roku: 6 + 12 = 18,1 punkt – za obliczenie liczby przeczytanych książek przez całą badaną grupę w ciąguostatniego roku: 0⋅ 6 + 1⋅ 12 + 2⋅ 10 + 3⋅ 9 + 4⋅ 8 + 5⋅ 5 = 116 ,1 punkt – za obliczenie średniej liczbę książek przeczytanych przez jednego badanegow ciągu ostatniego roku. 116 2,3250 = .3 punkty – za poprawne rozwiązanie zadania inną metodą.A21.1. 6 + 12 = 18Odpowiedź: 18 osób przeczytało mniej niż2 książki w ciągu ostatniego roku.21.2.( 0 6) ( 1 12) ( 2 10) ( 3 9) ( 4 8) ( 5 5)⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ == 0 + 12 + 20 + 27 + 32 + 25 = 59 + 32 + 25 = 1168116 : 50 = 2 . 25Zdający A bezbłędnie rozwiązałobie części zadania i otrzymał 3punkty.56

Informator o egzaminie eksternistycznym z matematyki z zakresu zasadniczej szkoły zawodowejBCD21.1. Odpowiedź: 18 osób przeczytało mniejniż 2 książki.21.2.0⋅ 6 + 1⋅ 12 + 2⋅ 10 + 3⋅ 9 + 4⋅ 8 + 5⋅ 5 =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 6 + 12 + 20 + 27 + 25 = 38 + 59 + 25 = 11621.1. 6 + 12 = 18Odpowiedź: Mniej niż 2 książki przeczytało18 osób.21.2. 1+ 2+ 3+ 4+ 5=1 515:5 = 3Odpowiedź: Średnia = 3 książki.21.1. 19 + 8 + 5 = 32Odpowiedź: 32 osoby.21.2. przeczytanych 11044 − 110110 : 44 = 2,5Odpowiedź: Jedna osoba przeczytała średnio2 książki.Zdający B poprawnieodpowiedział na pierwszepytanie zamieszczone w zadaniu.Poprawnie obliczył liczbęprzeczytanych książek przez całąbadaną grupę w ciągu ostatniegoroku i na tym zakończyłrozwiązanie.Zdający otrzymał 2 punkty.Zdający C poprawnie odczytałz diagramu liczbę osób, któreprzeczytały mniej niż dwieksiążki, i podał prawidłowąodpowiedź. Nie potrafił jednakobliczyć średniej arytmetycznejliczby przeczytanych książek.Otrzymał za rozwiązanie 1 punkt.Zdający D nie rozwiązałprawidłowo zadania. Rozwiązującpierwszą część, obliczył liczbęosób, które przeczytały więcej niżdwie książki, natomiast w drugiejczęści źle obliczył liczbęprzeczytanych książek przez całąbadaną grupę i otrzymany wynik110 podzielił przez 44, chociażw treści zadania jest podanaliczba ankietowanych osób.Zdający otrzymał 0 punktów.57