Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry ... - Sage

Wtedyf(x + h) − f(x − h)2h= f ′ (x) + f ′′′ (x)h 2 + . . . ,3!a więc błąd przybliżenia jest rzędu h 2 . Oba wzory przybliżone pozwalająnam wyrazić pochodną f ′ (x) z dokładnością zależną od h za pomocą kombinacjiliniowej wartości funkcji f w pewnych punktach.Do zagadnienia wyznaczania dyskretnej wersji pochodnych wyższych rzędówi innych operatorów różniczkowych powrócimy za chwilę, a teraz pokażemyjak mozna obie definicje pochodnej dyskretnej stosować do rozwiązywaniarównań i układów równań rózniczkowych metodą łamanych Eulera.Rozważamy równaniegdzie f: R × R nx ′ = f(t, x), x(t 0 ) = x 0 ,→ R n . Pokażemy, jak znaleźć przybliżoną wartość rozwiązaniax w przedziale [t 0 , t]. W tym celu dzielimy przedział [t 0 , t] na n-przedziałów [t k−1 , t k ] przyjmując h = (t − t 0 )/n, t k = t 0 + kh, k = 1, . . . , n.Metoda łamanych Eulera jest oparta na pierwszym wzorze na pochodnąprzybliżoną funkcji x(t), a więcx ′ (t) =x(t + h) − x(t).hZ powyższego otrzymujemyx(t k+1 ) − x(t k ) ≈ x ′ (t k )h = f(t k , x(t k ))h.Jeżeli x k = x(t k ), to rozwiązanie w kolejnych punktach wyraża się wzoremrekurencyjnymx k+1 = x k + f(t k , x k )h, k = 0, . . . , n − 1.Jeżeli zastosujemy drugi wzór na pochodną x ′ (t), a więcx ′ (t k ) = x(t k+1) − x(t k−1 ),2htox k+1 = x k−1 + 2f(t k , x k )h.2