Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry ... - Sage

gdzie h 1 i h 2 są przyrostami odpowiednio x i y.Największą trudność w numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowychsprawiają zagadnienia brzegowe. Po pierwsze na brzegu obszaru należydobrać odpowiednie wzory na pochodne. Po drugie, zwykła metoda rekurencyjna,taka jak metoda łamanych Eulera, nie wystarcza do wyznaczeniarozwiązania. Rozważmy na przykład równaniez warunkami brzegowymi x(0) = x 0 ,x ′′ (t) = f(x(t))x(1) = x 1 . Aby rozwiązać nasze równaniemetodą łamanych Eulera należy oprócz wartości funkcji x w zerzerównież znać wartość jej pochodnej w zerze. Można postąpić w ten sposób,że przyjmujemy, że x ′ (0) = c, gdzie c jest pewną stałą rzeczywistą,a następnie rozwiązujemy równanie metodą łamanych Eulera. Na koniec,korzystając z warunku brzegowego x(1) = x 1 wyznaczamy c. W przypadkurównań cząstkowych rozwiązywanie zagadnień brzegowych jest dość trudne ijest kilka istotnie różnych technik numerycznych ich rozwiązywania od algebraicznych,poprzez wariacyjne do metod probabilistycznych (metoda MonteCarlo).Operatory teorii polaPoznamy teraz kilka operatorów różniczkowych występujących w fizyce iteorii całki. Wszystkie używane przez nas funkcje będą określone w pewnympodzbiorze otwartym U ⊂ R n .Niech f: U → R i f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Operatorokreślony wzorem[ ∂fgrad f = , ∂f , · · · , ∂f ]∂x 1 ∂x 2 ∂x nnazywamy gradientem funkcji f. Niech f: U → R i f ma drugie pochodnecząstkowe ∂2 f, . . ., ∂2 f∂x 2 ∂x 12 nw U. Wtedy operator ∆ określony wzorem∆f = ∂2 f∂x 2 + ∂2 f1 ∂x 2 + . . . + ∂2 f2 ∂x 2 nnazywamy operatorem Laplace’a. Na przykład, jeżeli f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ),to∂f∂x =2xx 2 + y 2i4∂f∂y =2yx 2 + y 2 ,