Rovnice afinního zobrazení, skládání afinních zobrazení.

2.4 Rovnice afinního zobrazení z A n do A mNechť afinní bodový prostor A n je určen počátkem P abází⃗e 1 , ..., ⃗e n ,tzn.A n ={P ; ⃗e 1 , ..., ⃗e n }. Podobně nechť A ′ m = {Q; ⃗ d 1 , ⃗ d 2 , ..., ⃗ d m }. Nechť f je afinní zobrazeníA n do A ′ m a ϕ asociované zobrazení k f tak, žeϕ(⃗e j )=m∑a ijdi ⃗ ; j =1, ..., n, (13)i=1tzn. koeficienty a ij jsou souřadnice vektorů ϕ(⃗e j ) v bázi zaměření prostoru A m ,f(P )=Q +m∑b idi ⃗ , (14)tzn. počátek P ∈ A m se zobrazuje do bodu f(P ) ∈ A ′ m, který má při počátku Qsouřadnice b i .S ohledem na výše uvedené úmluvy nyní určíme vztah mezi souřadnicemi libovolnéhobodu X ∈ A n a jeho obrazu f(X) ∈ A ′ m. Vyjádřeme souřadnice X, f(X) :X = P +f(X) =Q +i=1n∑x j ⃗e j , (15)j=1m∑x ′ ⃗ id i . (16)Zobrazíme-li bod X v afinitě f, můžeme dle uvedených vlastností zobrazení f a ϕpsát:n∑f(X) =f(P )+ x j φ(⃗e j ).Po dosazení z (13) a (14) dostávámepo úpravěf(X) =Q +m∑b idi ⃗ +i=1f(X) =Q +m∑(i=1i=1j=1n∑j=1x jm∑i=1a ij⃗ di ,n∑a ij x j + b i ) d ⃗ i . (17)Porovnáme-li koeficienty při ⃗ d i ve vyjádřeních (16) a (17), dostáváme hledané rovnicej=1x ′ i =n∑a ij x j + b i , i =1, 2, ..., m (18)j=112