1 Centralne twierdzenia graniczne symulacje

Ustalając t = T rozwiazanie XT jest zatem zmienną losową gaussowską.
Ponadto jeśli całkę oznaczymy przez U,
U =
� T
e
0
θ(s−T ) σdWs,
to jest ona zmienną losową gaussowską o wartości oczekiwanej EU = 0, zaś
wariancja
V arU = �
σe −θT �2 � T
e 2θs ds.
Stąd
V arU = σ 2 e −2θT e2θT − 1 2 1 − e−2θT
= σ
2θ
2θ
Jeśli X0 jest stała np. równą x0, to XT jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym z średnią
zaś
EXT = X0e −θT + µ(1 − e −θT ).
V arXT = V arU.
Przeanalizujmy ten przypadek również od strony symulacji
*Warunki początkowe*
data ornstein;
theta=0.08;
sigma=0.4;
mi=0.01;
krok=0.01;
X=5;
Z tymi warunkami początkowymi (T = 1)
EX1 = 5 ∗ e −0.08 + 0.01(1 − e −0.08 ) = 4.61
2 1 − e−2∗0.08
V arX1 = (0.4)
2 ∗ 0.08
Stąd odchylenie standardowe wynosi
0
σ(X1) = 0.38.
= 0.38.
Generowanie trajektorii (ścieżek) procesu z krokiem krok = 0.01, które obserwujemy
po dojściu do ”ekranu” bariery w chwili T = 1. Generowanych
jest 1000 trajektorii.
25