1 Centralne twierdzenia graniczne symulacje

gdzie X1, . . . , Xn jest ciągiem zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
Cauchy X. Tutaj możemy skorzystać z teorii funkcji charakterystycznych.
Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X jest zdefiniowana przez
φX(t) = Ee itX .
Funkcja charakterystyczna identyfikuje rozkład zmiennej losowej. Jeśli dane
są dwie zmienne losowe X, Y niezależne, to zachodzi twierdzenie
φX+Y (t) = φX(t)φY (t)
dla wszystkich t ∈ R. Funkcja charakterystyczna dla rozkąldu Cauchy wynosi
φX(t) = e −|t| .
Zatem jeśli X1, . . . , Xn jest ciągiem zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
Cauchy X, to
φX1+···Xn(t) = (e −|t| ) n = e −|nt| = φX(nt) = φnX(t).
Zatem jest to przeskalowany rozkład Cauchy czyli
1
n Sn = 1
n�
Xj =
n
d X.
Jest to tzw. rozkład stabilny z α = 1 obserwujemy to w programie
data cauchy;
n=20;
do i = 1 to 2000;
x=0;
do k=1 to n;
x = Rand(’Cauchy’)+x;
end;
z=x/n;
output;
end;
run;
ods graphics on;
j=1
proc kde data=cauchy; univar z/gridl=-7 gridu=7 bwm=0.01; run;
ods graphics off;
7