La simbolización de las fracciones - Departamento de Matemática ...

La simbolización de las
fracciones
Marta Elena Valdemoros Álvarez
CINVESTAV-IPN
CINVESTAV IPN

Los procesos de simbolización
Aunque todos reconocemos a qué nos referimos cuando
particularizamos tales procesos, tendemos a no detenernos
demasiado en considerar la extensión y diversidad de los mismos.
Suele darse, también, que muchos atribuyen con exclusividad
dichos procesos al lenguaje.
¿Cuál es el soporte básico de la simbolización? ¿Cómo se vincula
ésta con otros procesos cognitivos? ¿Qué peso tiene la
simbolización, tanto a nivel del aprendizaje como de la
enseñanza? Ésas, entre otras muchas preguntas trascendentes en
el ámbito educativo, requieren ser cuidadosamente respondidas,
propósito que nos planteamos en los siguientes párrafos.

La simbolización supone una “triangulación”, una puesta en relación entre el
“objeto denotado”, la “representación” que ocupa su lugar en un espacio
simbólico y la “significación” establecida (Ducrot y Todorov, 1981). Ello sitúa
a la representación en una posición central, en el desarrollo de los procesos
de simbolización; sin embargo, este soporte multifacético nos lleva a
distinguir entre las representaciones que corresponden al lenguaje de las
representaciones ajenas a él, de lo que nos ocuparemos más adelante. O sea
que, expresándolo en otros términos, hay un sinnúmero de modalidades de
representación que no están integradas a ningún tipo de lenguaje.
En general, la simbolización está íntimamente relacionada con los procesos
del pensamiento (Valdemoros, 1993), sin que sea ése un atributo exclusivo de
la relación entre el lenguaje y el pensamiento sino, más bien, una
característica susceptible de generalización a todas las modalidades
identificables de simbolización.
Aunque la simbolización ha tendido a ser relegada por mucho tiempo, en el
terreno educativo, requiere ser tomada en consideración como uno de los
asuntos capitales del aprendizaje y la enseñanza, atendiendo a su estrecha
vinculación con la formación de conceptos (Valdemoros, 1993). Globalmente,
el pensamiento llega a manifestarse a través de distintas formas de
simbolización.

El lenguaje de las fracciones
Vygotsky (1995) afirma que el lenguaje es un soporte
fundamental del pensamiento, sin que el planteamiento
suponga fusionar o identificar a ambos como idénticos.
Reconociéndoles a cada uno de ellos una naturaleza propia, el
mencionado autor considera que el significado es la unidad
que conecta, desde el plano del lenguaje, con el pensamiento
verbal (al respecto, véase Valdemoros, 1996a).
El lenguaje, en su más amplia acepción, ocupa un lugar rector
dentro del universo simbólico ya que otros sistemas de
representaciones son descifrables a partir de él (Ducrot y
Todorov, 1981). Es éste un atributo que corresponde tanto a
los lenguajes naturales (es decir, las lenguas) como a los
lenguajes técnicos (entre otros, el lenguaje matemático).

Por su estructuración, el lenguaje matemático no es
puro, dado que se constituye en permanente
conjunción con la lengua (Shuard y Rothery, 1984).
Tal característica supone continuos procesos de
traducción entre uno y otro (o lo que es lo mismo, un
tránsito o intercambio múltiple entre ambos).
Habiendo efectuado los reconocimientos previos, ya
podemos situar aquí al lenguaje de las fracciones, el
cual detenta atributos comunes al lenguaje
matemático, en general, a la par que exhibe
características exclusivas, en particular. Sin pretender
agotar estos últimos rasgos, a continuación
comentamos algunos de ellos.

Una de las características más notables del lenguaje de las
fracciones es su gran diversidad semántica (Kieren, 1976, 1983,
1984, 1988, Kieren et al., 1985, Valdemoros, 1993), por la cual, al
mismo número se le pueden asignar distintos significados o
interpretaciones, lo que le confiere un indiscutible carácter
polisémico a sus signos. Por otra parte, las fracciones
constituyen el conjunto numérico con mayor riqueza de
significados, circunstancia que otorga gran complejidad al uso
de su lenguaje; las fracciones pueden emerger como medidas,
cocientes, operadores multiplicativos, razones, o bien, bajo la
forma de la relación parte-todo (Kieren, 1983, 1984, 1988), para
indicar selectivamente algunos de los muchos contenidos
semánticos que la literatura especializada y la investigación les
han atribuido. También pueden aparecer como
“fracturadores”, “comparadores” y “operadores”, desde la
concepción fenomenológica de Freudenthal (1983).

No resulta más sencillo el dominio de la sintaxis de las
fracciones, plano en el que el manejo de los correspondientes
algoritmos y reglas para la articulación de sus signos tienden a
ser tratados mecánicamente en la enseñanza, lo cual deriva en
aprendizajes carentes de comprensión por parte de los
estudiantes. Al desarrollar los algoritmos de la adición y de la
sustracción, es frecuente que las fracciones sean
“desarticuladas”, separando numeradores y denominadores,
para operar con unos y otros, por separado (según lo pudieron
establecer Peralta, 1989, Valdemoros, 1993) cuando los
estudiantes trabajan con las fracciones como si fueran números
naturales. En tanto que en la utilización del algoritmo de la
multiplicación, los alumnos suelen generar nuevas
combinaciones de reglas, a partir de lo cual emergen
“procedimientos personales” o no convencionales, portadores
de múltiples errores (conforme a los reconocimientos de
Peralta, 1989, Peralta y Valdemoros, 1990).
Tiempo atrás, elaboramos un modelo interpretativo
(Valdemoros, 1993, 2004) destinado a analizar los resultados
obtenidos en un estudio sobre el lenguaje de las fracciones, el
cual insertamos en el Cuadro 1 del presente escrito.

EN EL PLANO SEMÁNTICO, la identificación de los significados y de de
los procesos
de significación detectables a través de las elaboraciones de los los
estudiantes.
EN EL PLANO SINTÁCTICO, el reconocimiento de las modalidades de articulación
de distintos signos asociados por los niños a estrategias mixtas de solución, el manejo
concreto de las reglas que regulan esas articulaciones y el uso de algoritmos.
EN EL PLANO DE “TRADUCCIÓN” DE UN LENGUAJE A OTRO LENGUAJE O
A UN SISTEMA SIMBÓLICO DE REPRESENTACIONES, la puesta en
correspondencia entre la lengua y el lenguaje aritmético, el reconocimiento reconocimiento
de las
dificultades asociadas a ese tránsito y las posibles inconsistencias inconsistencias
manifiestas en el uso
conjunto de distintos lenguajes y sistemas simbólicos.
EN EL PLANO DE LA ESCRITURA ARITMÉTICA, atención a las notaciones notaciones
convencionales o personales que nos permitan reconstruir componentes componentes
conceptuales
importantes de las soluciones propuestas por los estudiantes.
CON RELACIÓN AL PLANO DE LA LECTURA, reconocimiento de modos
particulares de asignación de sentido, tanto a los enunciados de los problemas como a
los “pictogramas” (dibujos ligados a los datos numéricos, según Valdemoros, Valdemoros,
1997)
incluidos en ellos.
Cuadro 1. Modelo interpretativo que permite ubicar las principales construcciones de los
estudiantes, en el terreno de uso del lenguaje de las fracciones y de sus vínculos con otros sistemas de
representaciones.

El mencionado modelo interpretativo permite, también, situar
los planos fundamentales del lenguaje de las fracciones, en los
que los estudiantes realizan las elaboraciones fundamentales
del mismo y donde la enseñanza -por por los motivos que hemos
aducido- aducido debe fortalecer su atención y cuidado. Esa facilidad
con la que el Cuadro 1 ilustra los pasajes fundamentales tanto
del aprendizaje como de la enseñanza del lenguaje de las
fracciones, nos decidieron a incluirlo en este artículo.
Por otra parte, el Cuadro 1 posibilita la identificación de los
procesos de escritura y de lectura (es decir, de interpretación
de textos) que son relevantes en el terreno de uso del lenguaje
de las fracciones. El carácter ideográfico de la escritura
matemática (Shuard ( Shuard y Rothery, Rothery,
1984), en general, añade
nuevas dificultades tanto a lo que los estudiantes representan
en el papel como a la interpretación que efectúan de lo escrito.

Otras modalidades de representación
La simbolización de las fracciones también se realiza a través de de
un amplio
espectro de representaciones de distinta naturaleza, las que llegan llegan
a entretejerse
luego con el lenguaje, para producir de conjunto una robusta gama gama
de
expresiones simbólicas, a través de las cuales se enriquecen y preservan preservan
los
procesos de significación involucrados en el aprendizaje de las fracciones.
Esas otras modalidades de representación contemplan distintos tipos tipos
de dibujos,
tablas, gráficas. Sin ellas, se dificultarían notablemente las expresiones
simbólicas porque quedarían limitadas al uso de los recursos de la lengua y del
lenguaje matemático-técnico.
matemático técnico.
A nivel del dibujo, la configuración de “pictogramas” permite “ilustrar”, “ilustrar”,
“concretar” y “hacer más accesible” a determinados contenidos semánticos, semánticos,
a la
par de facilitar el procesamiento de la información cuantitativa comprometida en
el manejo de los procedimientos algorítmicos (Valdemoros
( Valdemoros, , 1993, 2004). Dichos
“pictogramas” no forman parte de la escritura aritmética sino que que
constituyen
algunos antecedentes de la misma, es decir, son elementos gráficos que anteceden
a la escritura propiamente dicha (Métraux Métraux, , 1968).

Aunque la combinación e integración de tal diversidad de
modalidades de representación tiene un efecto global de
enriquecimiento, no podemos desconocer su contrapartida,
específicamente las múltiples dificultades simbólicas que se
generan en el pasaje o tránsito desde un sistema de
representaciones a otro. Esto se sitúa en el Cuadro 1, a nivel
de las “traducciones”, plano de transformaciones en el que no
siempre se obtiene como resultante la preservación del
significado y del sentido, sino que frecuentemente lo que
deriva del tránsito entre distintos sistemas de representaciones
es la inconsistencia o la distorsión.
Dado que lo destacado en último término es crucial con
respecto a la enseñanza, en la siguiente sección de este escrito
presentamos algunas dificultades simbólicas que hemos
podido detectar en la investigación previa, de modo que a
partir de su identificación puedan llegar a configurarse, a
posteriori, posteriori,
pasajes de instrucción que permitan la superación
de las restricciones y limitaciones originales.

Algunas dificultades simbólicas detectadas
Los fenómenos que se ilustran e interpretan, a continuación,
han sido tomados del ámbito de la resolución de problemas, en
donde los estudiantes llegan a manifestar indirectamente los
contenidos de su pensamiento, situando en el terreno de lo
manifiesto a las representaciones externas sobre las cuales tales tales
contenidos se apoyan. Los sujetos de referencia han sido
alumnos de distintas edades y grados, de primaria y secundaria.
Conforme a los planos simbólicos reconocidos en el Cuadro 1,
organizamos aquí la selección y posterior análisis de la
información que hemos privilegiado para comunicarla en las
siguientes páginas, a través de algunos ejemplos.

I. En el plano semántico
Hemos podido establecer que muchos estudiantes asignan significados significados
a la
fracción, de un modo que rompe con las elaboraciones semánticas
convencionales.
I.a. I.a Uno de estos casos es el que corresponde a la interpretación ordinal de la
fracción en presencia del todo discreto (Valdemoros
( Valdemoros, , Orendain, Orendain,
Campa y
Hernández, 1996b), lo cual se presenta en el Cuadro 2.
En un parque hay doce fuentes de agua. El encargado de mantenimiento mantenimiento
debe limpiar la
tercera parte de éstas, cada semana. Ayúdalo a organizar su trabajo, trabajo,
colocando una cruz
junto a las fuentes que limpiará en una semana:
Cuadro 2. Solución a un problema donde se manifiesta la interpretación ordinal ordinal
de la
fracción, en la que incurrieron 7 estudiantes de un grupo con 29 alumnos.

En el Cuadro 2 puede observarse que, en cada una de las
líneas horizontales de esta configuración es señalado el tercer
objeto (tras un conteo de izquierda a derecha hasta agotar la
colección). De conjunto, la solución propuesta es correcta,
aunque en ella subyace el falso supuesto de que la posición de
los objetos (de acuerdo con el modo de realización del conteo)
sería determinante para reconocer la parte; es decir, estos
estudiantes están convencidos de que sólo esos objetos
cumplen con la condición de configurar “la tercera parte” del
conjunto de fuentes, conforme al conteo efectuado. Hubo
también otras respuestas en las que se manifestó la
interpretación ordinal de un modo más insatisfactorio porque
se abrió paso el error: señalando un solo objeto, el tercero de
la colección (en un conteo horizontal de izquierda a derecha,
o bien, desde arriba hacia abajo).

I.b. I.b.
Otro significado distorsionado de la fracción es el que emerge emerge
cuando
el estudiante evidencia un centramiento en el numerador de la fracción
(Valdemoros
Valdemoros, , 1993). Véase el Cuadro 3.
Dibuja una colección de objetos y representa un séptimo de la colección. colección.
Cuadro 3. Respuesta a un problema, en la que se evidencia que el estudiante
tan sólo toma en cuenta al numerador de la fracción indicada.

Como lo acabamos de ilustrar (Cuadro 3), esta consideración
restringida de la fracción supone una desarticulación, un
desmembramiento de la misma, en el que el numerador es tratado
como un número natural. En estudios previos (Figueras ( Figueras, , Filloy y
Valdemoros, Valdemoros,
1986a, 1986b, 1987a, 1987b, 1987c y Figueras, Figueras,
1988) este
problema fue designado como el predominio de la cardinalidad de
la parte.
I.c. I.c.
Igualmente relevante es la distorsión semántica que se produce produce
cuando el sujeto manifiesta un centramiento en el denominador de
la fracción (Valdemoros
( Valdemoros, , 1993). Es una interpretación de naturaleza
similar a la anterior, aunque el que recibe tratamiento de número número
natural es el denominador, el que aparece como central en la
consideración del estudiante. Al respecto, el Cuadro 4 exhibe un
ejemplo de tal planteamiento. En la investigación precedente
(Figueras Figueras, , Filloy y Valdemoros, Valdemoros,
1986a, 1986b, 1987a, 1987b, 1987c y
Figueras, Figueras,
1988) este fenómeno fue identificado como el predominio
de la cardinalidad del todo.

Dibuja una colección de objetos y representa un séptimo de la
colección.
Cuadro 4. En la resolución de este problema, el estudiante
únicamente toma en consideración al denominador de la
fracción dada.

Como puede apreciarse en el Cuadro 4, el autor de la mencionada
ejecución se limita a representar una colección de siete objetos, objetos,
circunstancia por la cual se constata que de la fracción tan sólo sólo
considera al denominador, al que vincula con la correspondiente
cantidad de objetos, sin que intervenga ninguna otra consideración
consideración
en su representación final.
I.d. I.d.
Otra distorsión semántica de gran peso está referida a la
ausencia de identificación de la unidad (Figueras ( Figueras, , Filloy y
Valdemoros, Valdemoros,
1986a, 1986b, 1987a, 1987b, 1987c y Valdemoros, Valdemoros,
1993),
entendiendo como tal a aquella situación en la cual el estudiante estudiante
no
llega a reconocer al todo, limitándose a establecer vínculos entre entre
partes o entre una parte y su complemento (como puede advertirse
en el Cuadro 5).
Tomando en consideración las aportaciones de Kieren (1983, 1984,
1985, 1988), aquí se compromete uno de los recursos fundamentales
fundamentales
para la construcción de la fracción: el poder reconocer el todo,
susceptible de ser dividido en cierto número de partes, pero
manteniendo su condición integradora original por la cual es
posible que el estudiante lo reconstruya o recomponga.

¿Qué parte de las uvas está pintada?
Respuesta Respuesta
del alumno: 5/25
Cuadro 5. El denominador expresa al complemento del numerador.
El todo no es identificado por estos estudiantes.
En particular, pudiera pensarse que esta dificultad emerge en
presencia del todo discreto, aunque nosotros (Figueras ( Figueras, , Filloy y
Valdemoros, Valdemoros,
1986a, 1986b, 1987a, 1987b, 1987c y Valdemoros, Valdemoros,
1993)
pudimos constatar que también se manifiesta ante el todo continuo. continuo.

II. En el plano sintáctico
A nivel de la combinación de distintos signos aritméticos, del
manejo de las reglas que regulan dicha articulación y de la
aplicación de diversos procedimientos algorítmicos se
manifiestan múltiples dificultades, de las que nosotros
extraemos algunos ejemplos.
II.a En presencia de las fracciones de la unidad, existe una
regla tácita según la cual se establecen dos tiempos
autónomos de conteo: uno para determinar el total de partes
que corresponden al denominador y otro, para establecer el
número de partes que corresponden al numerador. Si ambos
tiempos de conteo se funden en un solo proceso, lo que
resulta de ello es un error como el que se exhibe en el Cuadro
6 (extraído de Valdemoros, Valdemoros,
1993), en donde resulta afectado el
total de objetos que componen el todo discreto ilustrado allí.

Dibuja una colección de objetos y representa un séptimo de la
colección.
Cuadro 6. Esta respuesta transgrede la regla tácita que regula los
dos tiempos autónomos de conteo para establecer el numerador y
el denominador de la fracción, siendo ambos fusionados en un solo solo
proceso.
Como puede observarse en el Cuadro 6, dicha elaboración parece
sostenerse en un pensamiento aditivo de este tipo: “hay seis objetos objetos
más uno sombreado” (con lo cual, el objeto sombreado es contado
dos veces, en el desarrollo del mismo proceso de cuantificación). cuantificación) . O
sea que, al modificarse las reglas que configuran los conteos
respectivos, el denominador de la fracción resulta afectado.

II.b. II.b.
Frecuentemente, al sumar fracciones, muchos estudiantes separan separan
los numeradores y los denominadores, para operar con unos y otros otros
por
separado (conforme a las indagaciones efectuadas por Peralta, 1989, 1989,
y
Valdemoros, Valdemoros,
1993). Bajo estas condiciones, tanto los numeradores como
los denominadores son tratados como si fueran números naturales.
La creencia que parecen mantener estos alumnos sería la de la
existencia de una única modalidad de adición, la de los números
naturales, la cual sería desplazable hacia los números fraccionarios, con
la consiguiente desarticulación de numeradores y denominadores que que
hemos caracterizado en el párrafo previo.
II.c. II.c.
Las expresiones del tipo de “a/b de c/d” son escasamente
asociables a la multiplicación de fracciones. Peralta (1989) pudo pudo
establecer que estudiantes de 11 a 13 años de edad, frecuentemente
frecuentemente
vinculaban tales expresiones con otras operaciones y no con la
multiplicación de fracciones. El enlace lingüístico “de” constituía constituía
para
estos estudiantes un elemento imposible de descifrar adecuadamente.
adecuadamente.
De modo análogo, en otro estudio se constató que expresiones de esta
naturaleza “a/b y c/d”, usadas muy tempranamente en tareas de
reparto, eran escasamente asociadas por los niños a la suma de
fracciones (Valdemoros
( Valdemoros, , 1993).

II.d. II.d.
Tanto a nivel de la adición como de la multiplicación de
fracciones, Peralta (1989) constató que muchos estudiantes tendían tendían
a generar “nuevos algoritmos”, combinando a su propio criterio
partes de distintos algoritmos canónicos, con lo cuales pretendían pretendían
operar.
Estos fenómenos suelen generarse a partir del olvido, la falta de de
comprensión del sentido básico del procedimiento algorítmico o la la
emergencia de creencias muy arraigadas en los sujetos que los
alejan de la sujeción a las convenciones imperantes.

III. En el plano de traducción
Incluimos en este tópico elaboraciones que ponen el énfasis en las las
dificultades
experimentadas por los estudiantes en el pasaje o salto desde un ámbito simbólico a otro
diferente, ya sea de un lenguaje a otro lenguaje o a otro sistema sistema
de representaciones.
Como ya lo hemos anticipado, a este nivel se acentúan las inconsistencias inconsistencias
resultantes del
uso simultáneo de diversos lenguajes y sistemas simbólicos, en particular, particular,
en lo que a la
preservación del sentido se refiere.
III.a. III.a.
Ante los problemas en los que los estudiantes escogían el numeral numeral
con el que
procuraban cuantificar la situación planteada (Valdemoros
( Valdemoros, , 1993), se evidenció una fuerte
tendencia a expresar números naturales. Al respecto, véase el ejemplo ejemplo
contenido en el
Cuadro 7.
Cuatro niños van a comer tres galletas. Ayúdalos a repartírselas, repartírselas,
de modo que a todos ellos
les correspondan partes iguales. Indica en las siguientes figuras figuras
cómo harán el reparto.
Escribe el nombre de cada niño junto a las partes que tú le asignas. asignas.
De esa manera, cada niño recibirá ….3…. de las tres galletas.
Cuadro 7. Al escoger el numeral, muchos niños seleccionaron un número natural, natural,
como
ocurre en el caso que aquí ilustramos.
En el ejemplo dado en el Cuadro 7, el sujeto reúne una partición y un número
natural, omitiendo escribir “3 partes” como hicieron otros.

III.b. III.b También, se ha podido detectar en este tránsito o pasaje de un
ámbito simbólico a otro, algunas respuestas cuya composición asoció asoció
estrechamente a componentes de diferentes lenguajes.
Cuatro niños van a comer tres galletas. Ayúdalos a repartírselas, repartírselas,
de modo
que a todos ellos les correspondan partes iguales. Indica en las siguientes
figuras cómo harán el reparto.
Escribe el nombre de cada niño junto a las partes que tú le asignas. asignas.
De esa manera, cada niño recibirá ….1/4 y 1/2…. de las tres galletas. galletas.
Cuadro 8. En esta elaboración, el reconocimiento de numerales liga
íntimamente signos de distinta naturaleza.
Puede advertirse en el ejemplo del Cuadro 8 que la expresión de
cuantificación identificada por este sujeto surge de la reunión de signos
aritméticos y de un enlace lingüístico (específicamente, la conjunción conjunción
“y”,
la cual no sabemos si el niño la asocia a la suma de fracciones). fracciones) . Esta
última circunstancia es la que confiere cierta ambigüedad al referido referido
“uso
mixto de distintos lenguajes”, en el caso que estamos señalando en este
apartado.

IV. En el plano de la escritura
El espacio de la escritura es muy importante ya que es el que
permite guardar la memoria de las transformaciones generadas
sobre las expresiones numéricas usadas. A pesar de que la escritura escritura
matemática es bastante concisa y económica, es notable cómo la
instrumentación de determinadas notaciones por parte del sujeto
nos puede proporcionar información acerca de la naturaleza del
pensamiento que las respaldó.
A continuación exponemos algunas situaciones relevantes, en las
que se distinguen las elaboraciones notacionales de distintos
estudiantes.
IV.a. IV.a.
En el terreno de identificación de la fracción, hay sujetos que
requieren identificar la fracción unitaria correspondiente, para
proceder luego a realizar una composición aditiva del numeral a ser
identificado. Un ejemplo de lo expuesto se incluye en el Cuadro 9.

IV.a. IV.a.
En el terreno de identificación de la fracción, hay sujetos que
requieren identificar la fracción unitaria correspondiente, para proceder
luego a realizar una composición aditiva del numeral a ser identificado. identificado.
Un
ejemplo de lo expuesto se incluye en el Cuadro 9.
¿Qué parte de las uvas está pintada?
Respuesta del alumno: 1/30 + 1/30 + 1/30 + 1/30 + 1/30 = 5/30
Cuadro 9. Las notaciones le permiten al estudiante guardar la memoria memoria
de la
composición aditiva de la fracción a identificar.
La elaboración presentada en el Cuadro 9 evidencia que la
dificultad experimentada por el citado estudiante para la
identificación de la fracción “5/30”, se resuelve satisfactoriamente
satisfactoriamente
mediante una suma de fracciones unitarias, proceso en el cual la
respectiva notación funge como el instrumento por el cual se
preserva la memoria de dicha composición. A nosotros, la
notación nos permite inteligir por cuál camino llegó el sujeto a la

IV.b. IV.b.
Hemos podido constatar (Valdemoros
( Valdemoros, , 1993) que la
notación convencional de la fracción puede ser notablemente
modificada por algunos estudiantes, quienes mediante la
yuxtaposición del numerador y el denominador, omiten la
barra horizontal que los liga (conforme a las convenciones
establecidas a nivel de la escritura) y generan una expresión
desarticulada, cuyo sentido es ambiguo.
Un ejemplo es la notación “2 6 sextos” para la fracción 2/6.
Interpretamos este fenómeno como manifestación de que
para tales estudiantes la fracción es la mera reunión de dos
números naturales que tienden a ser identificados juntos, sin
que pueda dilucidarse el significado de tal asociación de
numerales.
IV.c. IV.c.
Igualmente llamativa resulta la invención de notaciones
por parte del estudiante, incluyendo grafismos para nada
convencionales, como los que ilustramos en el Cuadro 10.

¿Qué parte de las uvas está pintada?
Cuadro 10. La notación de este alumno es una producción personal a la que
podríamos designar como “grafismo inventado”, ya que se sitúa más más
allá de las
convenciones existentes.
La escritura que acabamos de exhibir presenta a ambos lados de la la
fracción
reconocida por el niño, los numerales que corresponden respectivamente respectivamente
a la
parte (del lado izquierdo) y al todo (del lado derecho). La configuración
configuración
global de esta notación nos hace pensar que para identificar al numerador y
al denominador de la fracción, realizó dos procesos autónomos de conteo y
en un recuadro indicó cada uno de esos resultados (Valdemoros
( Valdemoros, , 1993).
Resta agregar que el sentido de elaboraciones notacionales no-
convencionales será siempre singular y específico. Lo realmente importante
en dichas situaciones será el tipo de pensamiento del que sean portadoras portadoras
las
mencionadas “notaciones o grafismos inventados”.

V. En el plano de lectura
Entendemos que a través de la lectura se cumple un rol general de de
atribución de sentido, con respecto a los signos y símbolos expresados expresados
gráficamente. En particular, en Valdemoros (1993) pudimos detectar algunos
procesos relevantes de lectura, tanto de textos como de pictogramas.
pictogramas.
A continuación, ilustramos lo que hemos comentado en el párrafo previo,
atendiendo a que las dificultades de lectura tienen un peso considerable considerable
en
la producción de los estudiantes y resultan difíciles de identificar, identificar,
si
efectuamos una comparación con los otros planos simbólicos expuestos expuestos
en
las páginas precedentes.
V.a. V.a.
A nivel de la lectura de pictogramas, aquí nos concentramos en el
fenómeno al que hemos designado como lectura parcial, la cual ha sido
ejemplificada a través del caso expuesto en el Cuadro 11.
Como puede observarse en la figura correspondiente, el todo ha sido sido
subdividido en nueve cuadrados y, a su vez, cada uno de éstos ha sido
partido en dos triángulos. Para poder dar adecuada solución al problema problema
planteado y determinar el tamaño de la parte sombreada, el estudiante estudiante
debe
realizar una lectura conjunta de cuadrados y triángulos.

¿Qué fracción está sombreada?
Respuesta del alumno: 1/9
Cuadro 11. El sujeto tan sólo “lee” una parte de la región sombreada en la
figura dada, por eso designamos a este fenómeno como “lectura parcial parcial
del
pictograma”.
Sin embargo, este alumno se limitó a considerar el cuadrado sombreado, sombreado,
desestimando los cuatro triángulos iluminados que la figura contiene contiene
(con
los que podría haber compuesto mentalmente dos cuadrados iluminados iluminados
más, identificando a partir de ello otra fracción). Suponemos que que
dicha
lectura parcial se dio porque los cuatro triángulos iluminados no no
estaban
en situación de contigüidad, condición que parecía ser relevante para la
lectura del mencionado sujeto.

V.b. V.b.
En este apartado damos cuenta de la lectura parcial de un
texto, como puede reconocerse en el Cuadro 12. Algunos niños
que resolvieron este problema, desplazaron el sentido del
mismo desde la unidad semántica fundamental (“la tercera parte
de doce fuentes”) hacia una unidad semántica subordinada
(“cada semana”); con ello, la fracción no fue tomada en cuenta y
estos estudiantes se dedicaron a seleccionar siete fuentes,
correspondiendo éstas a cada día de la semana.
La inclusión de la expresión “cada semana”, en el diseño del
texto contenido en el Cuadro 12, se ajustó a la necesidad de
establecer un componente temporal que respaldase la
equipartición del conjunto dado. La desviación de sentido
comentada en el párrafo anterior, consistió en transformar en
autónoma a tal expresión y desestimar la fracción contenida en
el mencionado texto, por parte del estudiante.

En un parque hay doce fuentes de agua. El encargado de mantenimiento
mantenimiento
debe limpiar la tercera parte de éstas, cada semana. Ayúdalo a organizar organizar
su trabajo, colocando una cruz junto a las fuentes que limpiará en una
semana:
Cuadro 12. En esta solución al problema dado, se desestima la fracción involucrada involucrada
en el texto y se toma como fundamental la expresión “cada semana”, semana”,
a partir de la
cual el alumno marca siete fuentes (una por cada día de la semana). semana).
Por las razones ya aducidas, consideramos que se trata de una lectura lectura
parcial
del texto, en torno a la cual se modifican sustancialmente los componentes
componentes
implicados en la respuesta final de estos sujetos.

En síntesis
Globalizando todo lo expuesto hasta aquí, enfatizamos que las
fracciones (como cualquier otro objeto matemático) se hallan inmersas inmersas
en un mundo simbólico en el que todo lo que se expresa se encuentra encuentra
asociado a representaciones integradas al lenguaje (natural o
matemático), o bien, a otros sistemas simbólicos (primordialmente,
(primordialmente,
dibujos, tablas o gráficas, todos ellos recursos de amplio uso en en
la
educación matemática).
La simbolización realizada a nivel del lenguaje o de otros sistemas sistemas
simbólicos, “triangula” el objeto denotado, la representación y la
significación. Con ello, la representación se revela como el instrumento
instrumento
simbólico más general, común tanto al lenguaje como a diversos
sistemas simbólicos.
El lenguaje de las fracciones presenta una configuración específica, específica,
a la
que hay que tomar en cuenta a nivel de la enseñanza, para prever y
encauzar adecuadamente las dificultades simbólicas que experimenten
experimenten
los estudiantes en proceso de formación básica, a nivel de los planos planos
semántico, sintáctico, de traducción a otros lenguajes o sistemas sistemas
simbólicos, de escritura y de lectura.

En síntesis
La extensa exposición de dificultades simbólicas identificadas desde desde
la
investigación previa se efectúa en el presente escrito para exhibir exhibir
algunos ejemplos de las rutas críticas que deben ser consideradas
consideradas
desde la instrucción, para facilitarles a los estudiantes la superación superación
de
obstáculos que pudieran llegar a presentarse en sus respectivos
aprendizajes. No se pretende con esta presentación de dificultades dificultades
simbólicas efectuar un reconocimiento exhaustivo de las mismas, el
cual resultaría imposible de realizar ya que sus fronteras se encuentran encuentran
siempre abiertas a nuevas manifestaciones.