[BY RIKI]3as-mathematiques-as_t3-2015-4

على كل مترشح أن یختار أحد الموضوعین التالیین . 

الموضوع الأول 

نقاط)‏ 

bbab 

8 

5 

 

5 

abcca 

 

التمرین الأول:‏ ) 04 

عدد طبیعي غیر معدوم یكتب 

الأساس‎8‎‏.‏ 

بین أنَ‏ یحقق 

بین أن العدد قاسم للعدد 

فیما یلي نفرض أ ‏َن 

أ)‏ بین أن،‏ 

في نظام التعداد ذي الأساس 

ویكتب 

في نظام التعداد ذي 

I 

B, 

A 

 

. 

 

O, u, 

v 

c 

 

a 

. 309a 15c 226b 

: 

.b 3 

.b 3 : 

. 309 a 2 60 15c 

 

 

 

 

N 

N 

(1 

(2 

(3 

ثم استنتج كلا من 

ب)‏ استنتج أن العدد‎5‎ قاسم للعدد في نظام التعداد ذي الأساس‎10‎‏.‏ 

ج)‏ أكتب العدد نقاط 

التمرین الثاني و 

a 2 

( 

N 

04 ): 

في المستوي المركب المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس المباشر 

لواحقھا على الترتیب ، 

و 

نعتبر النقط 

التي و 

 

C 

 

M ' 

. zI 

i zB 

1 

i ، zA 

2 

iz i 1 

z ' : z 2 z 

z 2 

. z ' صورة العدد M ' z 

i 

z 1 

i 

. z ' 

z 2 

AB 

M 

 

 

من أجل كل عدد مركب 

حیث 

حیث 

M صورة العدد المركب 

أن أ)‏ تحقق من 

و 

نضع 

تنتمي إلى دائرة 

فان النقطة تنتمي إلى محور القطعة ب)‏ بین أنھ إذا كانت النقطة تعیین عناصرھا 

تخیلا صرفا.‏ 

من المستوي بحیث یكون مجموعة النقط ج)‏ عین طبیعة یطلب 

M ' 

. 

z ' 

 

 

 

u, IM ' u, AM 2 

 

 

 

 

4 

M z 

. z ' i 

 

1 

i 

z 2 

: 

. 

E 

IM ' AM 2 

: 

: 

أ)‏ تحقق من أنَ‏ 

ب)‏ استنتج أنَ‏ 

ج)‏ بین أنَھ إذا كانت النقطة 

إلى مجموعة یطلب تعیینھا 

وان 

M 

. 

3 3 

i 

2 2 

لتكن النقطة 

ذات اللاحقة 

تنتمي إلى الدائرة 

ذات المركزA 

ونصف القطر‎1‎ فان النقطة 

تنتمي 

. 

 

. 

zE 

 

u, AE 2 

 

. E 

3 

 

 

 

E 

أ)‏ 

بین أن النقطة 

E تنتمي إلى 

ثم بین أن 

(2 أنشئ النقطة ' E 

اختبار في مادة الریاضیات 

ب)‏ باستعمال نتائج السؤال 

الجمھوریة الجزائریة الدیمقراطیة الشعبیة 

وزارة التربیة الوطنیة ثانویة فارس بن مھل الشھبونیة 

دورة ماي 2015 

امتحان البكالوریا التجریبیة الشعبة : ریاضیات + تقني ریاضي 

المرفقة بالنقطة 

المدة : 4 ساعات ونصف 

-1 

-2 

-3 

 

 

‏~الصفحة 1 من ~ 4

2un 

u n1 

، n 

2u 1 

u 

n 

 

n 

n 

 

u 

n 

التمرین الثالث ) 05 

نعتبر المتتالیة العددیة 

نقاط)‏ 

المعرفة ب 

ومن أجل كل عدد طبیعي 

u 

n1 

u 

1 

u0 

: 

5 

1 

. u n 1 

1 

، n 2u 1 

n 

n 

1 

0 un 

 

2 

un 

1 

2un 

 

 

2u 1 

n 

، 

n 

 

n 

تحقق أنھ من أجل كل عدد طبیعي 

أ)‏ برھن أنھ من أجل كل عدد طبیعي 

ب)‏ تحقق أنھ من أجل كل عدد طبیعي ، n 

ھل ج)‏ 

متقاربة ؟ عین نھایتھا 

ثم بین أن المتتالیة 

متزایدة 

. 

 

. 

lim u 

n 

n 

u 

. 

v 

n 

q 6 

n 

2 

 

3 2 

n n 1 

. 

n 

3 un 

 

2u 1 

n 

: 

n 

 

 

u 

n 

 

n 

نضع من أجل كل عدد طبیعي 

v 

n 

 

n 

أ)‏ 

ج)‏ 

أثبت أن المتتالیة 

أحسب عبارة 

بدلالة 

ھندسیة أساسھا 

ثم استنتج أن 

أحسب ثم 

e 

g x ln e 1 

x 

e 1 

 

O,i, j 

g 

x 

x 

 

 

: 

 

n 

( 

v n 

07 ) : 

-1 

-2 

-3 

التمرین الرابع 

نعتبر الدالة العددیة 

نقاط 

المعرفة على المجموعة 

ب 

g 

 

C g 

ولیكن 

أحسب 

تمثیلھا البیاني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس 

. 

lim g x 

x 

أحسب 

 

. g' x 

 

x 

 

1 

x 

 

وفسر النتیجة ھندسیا ثم 

e 

2x 

e 1 

 

2 

، x 

x 

 

lim g x 

بین أنھ من أجل كل عدد حقیقي 

بین أنھ من أجل كل عدد حقیقي 

أ)‏ أحسب 

ثم استنتج اتجاه تغیر الدالة 

وشكل جدول تغیراتھا 

f 

. g x ln 1 e x ، x 

x 

1 

e 

. 

lim g x 

x 1 

x 

 

 

و أرسم . 

ثم فسر النتیجة ھندسیا 

. 

x 

x 

 

f x e ln e 1 

x 

 

C g 

 

gxعندما یتغیر 

 

 

استنتج اشارة 

الدالة العددیة المعرفة على المجموعة 

في المجموعة 

ب : 

 

 

. lim f x 

x 

x 

f ' x e g x 

 

 

lim f x 1 

x 

f 

برھن أن 

ثم 

بیَن أنَھ من أجل كل عدد حقیقي 

أحسب 

ثمَ‏ استنتج اتجاه تغیر الدالة 

وشكل جدول تغیراتھا 

0 1 

. ln 3 x dx 

 

e 1 

: 

x 

1 e 

 

x 

x 

x 

e 1 1 

e 

، x 

تحقق أنَھ من أجل كل عدد حقیقي 

ثم أحسب 

0 

 

أحسب ln 3 f x dx 

(1 

(2 

(3 

(4 

(5 

(6 

(1 

(2 

(3 

(4 

.I 

.II 

 

 


Cالتي 

2 

 

. z 3 1 

i 

B,A 

 

 

 

. 

2 

z1 

r sin icos 

 

 

 

. 

0; 

 

0 

التمرین الأول ) 04 نقاط ( 

 

r 

عدد حقیقي موجب تماما و 

نعتبر الأعداد المركبة 

أكتب كلا من الأعداد 

عدد حقیقي حیث 

و 

. 

 

O,u,v 

z 

 

z 

0 

1 

 

 

 

n 

. z 

 

، z r cos isin 

z 2 

و 

على الشكل المثلثي 

z 

1 0 

: 

z 

1,z0 

و r 

 

: 

أ)‏ عین العددین الحقیقیین 

ب)‏ عيِ◌ِ‏ ◌َ ن عندئذ قیم العدد الطبیعي 

بحیث یكون 

بحیث یكون العدد 

حقیقیا 

 

n 

 

. 

3 

و نفرض r 1 

في المستوي المركب المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس المباشر 

لواحقھا 

و 

نعتبر النقط 

و 

 

A;2 , B;2 , C, 1 

. 

 

2MA 2MB MC 3 

.3 

 

z 2 على الترتیب . 

G 

z 

1,z0 

z G 

: 

عین أ)‏ 

لاحقة النقطة 

مجموعة النقط M 

مرجح الجملة المثقلة 

من المستوي حیث ، 

E :5x 6y 

3 

x 

 

E 

 

: 

 

ب)‏ عیَن طبیعة 

التمرین الثاني نقاط)‏ 

نعتبر في المجموعة 

المعادلة 

2 

(,x ‏)حلا للمعادلة 

y 

04 ): 

 

أ)‏ أثبت أنھ إذا كانت الثنائیة 

ب)‏ 

استنتج حلا خاصا للمعادلة 

ثم حل في 

الموضوع الثاني 

فإن 

المعادلة 

مضاعف للعدد 

. 

 

E 

 

2 

 

 

E 

 

(1 

(2 

(3 

 

-1 

 

 

 

x 1 6 

 

x 4 5 

: 

: 

S 

استنتج حلول الجملة 

b 

ج)‏ 

و 

a عددان طبیعیان حیث 

-2 

.5 

 

B 6;1;5 ,A 3; 2;2 

b 0 

في النظام ذو الأساس 3 

و 

في النظام ذو الأساس 

. 

 

E 

 

( a;) 

b 

a 1 0 

00 

 

و عین 

حتى تكون الثنائیة 

حلا للمعادلة 

التمرین الثالث نقاط)‏ 

في الفضاء المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس O,i, j,k نعتبر النقط 

و 

. A 

. 

 

. A 

 

 

 

P : x y z 3 0 

ABC قائم . 

AB 

P 

 

 

04 ) 

و المستوي 

برھن أن المثلث 

برھن أن المستوي عمودي على المستقیم 

ویمر من النقطة 

 

P' 

 

 

 

 

 

C 6; 2; 1 

(1 

(2 

أكتب معادلة دیكارتیة للمستوي 

المستوي العمودي على 

و المار من النقطة 

ABC 

. 

 

P' 

 

P 

AC 

 

أكتب تمثیلا وسیطیا للمستقیم 

مستقیم تقاطع كلا من المستویین 

و 

 

AD 

 

. D 0;4; 1 

. ABCD 

 

 

(3 

(4 

أ)‏ نعتبر النقطة 

ب)‏ أحسب حجم رباعي الوجوه 

بین أن المستقیم 

عمودي على المستوي 

(5 

 


. 

 

 

BDC 

 

A 

 

. rad 

4 

BDC 

ج)‏ 

بین أنَ‏ قیس الزاویة 

ھو 

د)‏ أحسب مساحة المثلث ثم استنتج المسافة بین النقطة 

التمرین الرابع نقاط)‏ 

نعتبر الدالة العددیة المعرفة على المجموعة 

و المستوي 

 

f x x x 1 e 

 

O,i, j 

 

2 x 1 

ب : 

f 

BDC 

08 ): 

f 

 

C f 

 

.I 

نسمي 

أ)‏ أحسب 

المنحني الممثل للدالة 

وبیَن أنَ‏ 

في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد و المتجانس 

 

C f 

lim f x 

x 

2 x 1 

 

 

: 

x 

lim f x 

x 

ب)‏ بین أنَھ من أجل كل عدد حقیقي 

ج)‏ استنتج اتجاه تغیر الدالة وشكل جدول تغیراتھا 

بین أن المستقیم ذي المعادلة مقارب مائل للمنحني 

عند ثم أدرس الوضع النسبي للمنحني 

: 

 

C f 

 

.1 

f ' x 1 x 1 e 

 

. 1.8 1.9 

. 

حیث ، 

، 

y x 

f 

. 

 

 

 

 

f x 0 

بالنسبة إلى 

C f 

 

بیَن أن المعادلة 

أكتب معادلة دیكارتیة للمماس 

تقبل حلا وحیدا 

C f 

x 1 

f '' x x 1x 3e 

للمنحني 

عند النقطة ذات الفاصلة 

 

T 

 

بیَن أنھ من أجل كل عدد حقیقي 

انعطاف یطلب تعیینھما 

ثم أرسم 

ناقش بیانیا وحسب قیم الوسیط الحقیقي m 

ثم استنتج أنَ‏ 

یقبل نقطتي 

: 

و 

عدد وإشارة حلول المعادلة ذات المجھول الحقیقي x التالیة 

. 

. 

 

1 

n x1 

In 

x e dx 

0 

C f 

 

، n 

x 1 

 

 

T 

 

، 

، x 

 

 

 

. 

أحسب 

f 3 ,f 0 

 

E : f x x m 

نضع من أجل كل عدد طبیعي غیر معدوم 

x 1 

. x xe 

G x x 1 e : ب G 

. I 1 

. n 

I n 1 

1 n 1In 

: 

ب ( 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

-7 

.II 

أ)‏ بیَن أنَ‏ الدالة 

ب)‏ أحسب 

المعرفة على 

أ)‏ باستعمال المكاملة بالتجزئة بین أنَ‏ 

أحسب 

ھي دالة أصلیة للدالة 

لكل عدد طبیعي غیر معدوم 

. I 2 

أحسب بcm²‎ مساحة الحیز المستوي المحدد بالمنحني 

و المستقیم 

والمستقیمین الذین معادلتیھما 

 

 

 

C f 

 

. 

x و 1 x 0 

-1 

-2 

-3 

 

مع تمنیاتنا لكم بالتوفیق والنجاح في البكالوریا جوان 2015 


الإجابة 

الموضوع الأول 

التمرين الأول 

العلامة 

01 

04 

0. 

25 

0. 

75 

2 

0. 

75 

0. 

5 

N bbab لدینا : abcca N 

309a 15c 226b 

N یحقق : 

(1 4 3 2 0 

N a 5 b 5 c 5 c 5 a 5 625a 125b 25c 5c a : لدینا 

N 626a 125b 30c 

3 2 0 

N b 8 b 8 a 8 b 8 512b 64b 8a b : ولدینا 

N 577b 8a 

626a 125b 30c 577b 8a 

إذن : 

309a 15c 226b 

618a 30c 452b 

:b 

(2 

3103a 5c 

226b 

لدینا : 

3 / b 3 226 1 

3 / 226b 

لدینا : 

- .b 3 (3 

309 a 2 60 15c 

8 

تبیان أنَ‏ 

و 

أي 

5 

أي 

اي 

تبیان أن العدد 

نفرض 

أ)‏ تبیان أن : 

‎3‎قاسم للعدد 

و 

ومنھ 

ومنھ 

ومنھ 

حسب مبرھنة غوص . 

309a 

15c 

678 

 

5 / a 2 

 

 

 

 

3 103a 5c 226b 

 

لدینا : 

309a 

618 60 15c 

ولدینا : 

309 a 2 60 15c 

 

: a 2 5 

309 a 2 5 12 3c 

ومنھ 

 

 

ب)‏ استنتاج أن العدد 

یقسم العدد 

 

 

و 5 309 1 

ومنھ 


15c 678 618 

لدینا : 

5 / 309 a 2 

: a 

a 2 5k k 

 

/ a 2 5 فان : 

ولدینا : 5 . a 2 a 

:c 

309 2 15c 

لدینا : 678 

c 4 

:10 

N 577 3 8 2 1747 

 

استنتاج قیمة 

بما أن 

أي أنَ‏ : 

استنتاج قیمة العدد 

أي 

ج)‏ كتابة العدد N في نظام التعداد 

من أجل 

ومنھ 

التمرين الثاني 

‎04‎نقاط 

0. 

25 

 

 

iz i 1 

لدینا : z 2 z' 

z 2 

i 

z 1 

i 

z' 

z 2 

i 1 

i z 

iz i 1 

 

i i i 

z 1 

i 

z' 

 

لدینا : 

z 2 z 2 z 2 

 

 

 

 

 

أ)‏ التحقق من أنَ‏ : 

الشعبة : ریاضیات + تقني ریاضي 

2015 

 

-1 

1

0. 

5 

0. 

5 

0. 

25 

0. 

25 

0. 

5 

0. 

5 

R 1 

: 

 

C 

 

M ' 

 

 

AB 

i z 1 

i 1 

AB 

ب)‏ تبیان أنھ إذا كانت M 

تنتمي إلى محور القطعة 

تنتمي إلى محور القطعة 

معناه 

فان 

تنتمي الى دائرة 

OM ' 

AM 

BM 

AM 

 

O 0; 

0 

 

BM 

أي 1 

 

z' 

C 

 

 

i z i 

 

z 2 z 2 

M ' 

M 

OM ' 1 

لدینا : 


إذن 

ومنھ 

تنتمي إلى دائرة 

مركزھا 

ونصف قطرھا 

z 1 

i 

Arg i 

Arg k 

z 2 2 

z 1 

i 

Arg k 

z 2 

z' i 

1 

i 

z 2 

1 

. B و A 

z' E 

 

Arg z' k 

z' 

2 

i 

z 1 

i 

 

Arg k 

z 2 2 

z 1 

i 

Arg k 

معناه : 

2 z 2 2 

 

AM ;BM k 

 

 

 

 

 

ج)‏ تعیین طبیعة المجموعة 

ومنھ 

أي 

تخیلي صرف معناه 

بحیث یكون 

تخیلیا صرفا : 

أي 

ومنھ 

 

AB 

 

 

E 

E AB A,B 

 

المجموعة 

ھي المستقیم 

ماعدا النقطتین 

1 i 

z' i 

z 2 

iz i 1 iz i 1 iz 2i 1 

i 

لدینا : z' i i 

z 2 z 2 z 2 

 

: IM ' AM 2 

1 

i 

1 

i 

1 

i 

z' i z' i 

لدینا : z' i 

z 2 

z 2 

z 2 

 

 

 

أ)‏ التحقق من أنَ‏ : 

ب)‏ استنتاج أنَ‏ : 

استنتاج 

ومنھ 

ومنھ 

أي 

أي 

2 

وبالتالي : IM ' AM 2 IM ' 

AM 

 

u,IM ' u,AM 

2 

أنَ‏ : 

4 

1 i 

1 

i 

Arg z' i 

لدینا : Arg z' i 

z 2 

z 2 

Arg z' i Arg 1 i Arg z 2 

A 

أي 

ومنھ 

ومنھ 

 

Arg z' i Arg z 2 2 

 

4 

 

u,IM ' u,AM 

2 

اي 

4 

 

 

 

M 

ج)‏ تبیان أنھ إذا كانت النقطة تنتمي إلى الدائرة 

تنتمي إلى مجموعة یطلب تعیینھا : 

تنتمي إلى الدائرة ذات المركز 

ذات المركز 

ونصف القطر 

فان النقطة 

R 

AM 1 

2 

ونصف القطر 

1 معناه 

A 

 

 

 

IM ' AM 

IM ' 

M 

2 

2 

لدینا : 


أي 

ومنھ 

تنتمي إلى دائرة مركزھا 

I ونصف قطرھا 

M ' 

 

 

-2 

M ' 

 

 

2

0. 

25 

0. 

5 

 

E 

 

: 

 

 

 

zE 

3 3 

i 

2 2 

E 

لدینا : 

أ)‏ 

تبیان أن النقطة 

تنتمي إلى المجموعة 

ومنھ 

 

2 

3 3 1 3 

AE zE 

zA 

i 2 1 

لدینا : 

2 2 2 2 

 

: u,AE 2 

 

3 

1 3 

z وبالتالي : 

لدینا : i 

AE 

2 2 

 

1 3 

2 u,AE arg z 

Arg i 2k 

AE 

3 

2 2 3 

: E 

E' 

 

u,IE' 

2 

لدینا : 2 EE' ولدینا : 

3 4 

7 

 

u,IE' 

2 

u,IE' 

2 

 

12 

3 4 

u,AE 

2 

تبیان أن : 

أي 

 

 

ب)‏ انشاء النقطة 

المرفقة بالنقطة 

ومنھ 

أي 

-3 

0. 

5 

 

 

 

ومن أجل كل عدد طبیعي n، 

التمرين الثالث 

‎05‎نقاط 

0. 

25 

2un 

u n1 

2un 

1 

1 

u n 1 

1 

2 u 1 

n 

u 

0 

1 

5 

التحقق أنھ من أجل كل عدد طبیعي n، 

لدینا : 

-1 

 

3

0. 

75 

0. 

25 

0. 

5 

1 

u n 1 

1 

2 u 1 

n 

ومنھ : 

0 

u 

2un 

2un 

11 1 

1 

2un 1 2un 1 2un 

1 

1 

، n 

2 

n1 

u n 

لدینا : 

أ)‏ البرھان على أنھ من أجل كل عدد طبیعي 

نسمي Pn 

من أجل 

اذن 

ھذه الخاصیة . 

P n صحیحة من أجل 

نفرض صحة 

وبالتالي 

ومنھ 

أي نفرض أنَ‏ : 

و 

أي 

أي 

ونبرھن صحة 

أي نبرھن 

1 1 1 

1 

0 u0 

0 u0 

: لدینا n 0 -1 

2 5 2 

5 

. n 0 

 

1 

Pn 1 

0 u n 

 

2 

Pn 

-2 

1 

. 0 un 

1 

أنَ‏ : 

2 

1 

1 

2u n 

1 

2 0 2u n 

1 

0 u n 

لدینا : 

2 

1 1 1 1 

1 1 

2u n 

1 2 2 2u n 

1 

1 

1 1 

Pn 1 صحیحة . 

0 un 

1 

0 1 

وأخیرا : 

2 

2 1 2 

. n 

إذن 

أي 

ومنھ 

u n 

حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع فان 

Pn صحیحة من أجل كل عدد طبیعي 

u 

u 

u 

 

 

1 

2u 

 

، 

n 

-3 

- 

-2 

ب)‏ التحقق انھ من أجل كل عدد طبیعي 

n n 

n1 

n 

2un 

1 

2 2 

2un 2un 2un un un 2u 

u 

n n 

n1 

 

n 

 

n 

 

un un un un 

1 

2un 

. u u u 

2 1 2 1 2 1 2 1 

u متزایدة : 

0 1 

2 1 

u 

0 

n 

 

u n 

 

u 

n1 

u 

u 

 

n 

u 

 

n 

 

- 

لدینا : 

تبیان أن المتتالیة 

ندرس اشارة الفرق : 

n1 

n 

un 

1 

2un 

 

n 

 

- لدینا : 

2un 

1 

1 

1 2u n 

0 0 u n 

ولدینا : 

2 

1 

0 un 

1 2un 

وبالتالي : 

2 

1 1 

1 


2 2 1 

ومنھ 

ومنھ 

أي 

1 

2un 

1 

 

2u 

1 2 

n 

 

u 

n 

 

n 

u n 

u 

n 1 

u 

n 

أي 0 

وبالتالي المتتالیة 

متزایدة.‏ 

- 

- 

 

 

0. 

5 

1 

. 

2 

: 

 

u 

n 

 

n 

ج)‏ دراسة تقارب المتتالیة 

متزایدة ومحدودة من الأعلى بالعدد 

فھي متقاربة وتتقارب من العدد 

1 

2 

lim u 

n 

n 

 

1 

2 

: 

 

u 

n 

 

n 

 

u 

n 

 

n 

تعیین نھایة المتتالیة 

4

0. 

75 

q 6 

 

v 

n 

 

n 

v 

n1 

v 

n 

n 

3 un 

: n 

2un 

1 

ھندسیة : 

لدینا من أجل كل عدد طبیعي 

 

v 

n 

v 

 

n 

-3 

أ)‏ 

اثبات أن المتتالیة 

أي 

ومنھ 

ھندسیة أساسھا 

n1 

3 un 

1 

 

2u 

1 

n1 

n1 

n 

n 2un 6 

3 un 

3 

3 

n1 

3 un 

1 

2un 1 2un 

1 

لدینا : 

 

2u 

2 4 2 1 

1 

1 un un u 

n 

 

 

n 

 

2 

1 

2u 

1 2u 

1 

u n 

n 

3 n un 

vn 

1 

6 

2 u 1 n 

 

n 

3 un 

6 6vn 

2 1 

2u 

1 2u 

1 

v 

0 

1 1 

0 1 

3 u0 

5 5 1 

 

2u 

1 3 

0 

1 2 1 

 

3 

5 5 

n 

n 

n 

وحدھا الأول 

 

0. 

5 

0. 

75 

0. 

5 

: n 

v n 

ب)‏ 

حساب عبارة الحد العام 

استنتاج أنَ‏ : 

ومنھ 

بدلالة 

n 1 

0 6 

n 

vn 

لدینا : v q 

3 

n 

2 

un 

 

n1 

3 2 

n 

3 un 

2u 3 n 2 3 n 

nvn un vn 

unvn vn un 

vn 

- لدینا : 

2un 

1 

vn 

u 

2 3 n 

n 

: وبالتالي vn un vn 

- 

n 

2vn 

3 

1 6 

n 

 

n 

3 

6 

إذن : un 

 

n n 

1 n n 2 6 3 3 

2 

6 3 

3 

n 

n 

n n n 

2 2 

6 2 3 

n 

u n 

 

2 6 n 

3 3 n 

 

n 1 n 1 

2 3 3 2 

23 n 

2 n 

33 

n 

n 

n 

2 2 1 1 

lim un 

lim lim : lim u 

1 

n 

n 

 

n 

2 3 

n 3 

2 n 

2 2 1 

 

n 2 3 

2 

 

2 

ومنھ 

أي 

أي 

ومنھ 

u 

 

n n n 

حساب 

 

 

 

07 

التمرين الرابع 

نقاط 

5 

e 

x 

e 1 

x 

x 

lne 

1 

g x 

: 

x 

.I لدینا : 

حساب النھایات : 

حساب 

lim g x 

(1

0. 

25 

0. 

25 

0. 

25 

0. 

5 

0. 

25 

0. 

5 

x 

e 

lim 

x 

e 

x 

 

x 

lim e 

x 

 

lim lne 

x 

 

 

0 

1 

0 

x 

 

1 0 

 

C g 

لانَ‏ 

 

x 

e 

x 

lim g x lim lne 

1 

0 

x 

x 

x 

 

e 1 

 

y 0 

التفسیر الھندسي : 

مستقیم مقارب أفقي للمنحني 

بجوار 

x 

x 

e e 

lim lim 

x 

x 

x 

e 1 

x 

e 

x 

lim e 

x 

 

x 

lim lne 

1 

 

x 

 

x 

2x 

e 

g' x 

 

x 

g' x 

 

g x 

 

g' x 

 

 

0 

 

1 

: 

x 

 

lim g x 

- 

حساب 

لأنَ‏ 

x 

e 

x 

lim g x lim lne 

1 

x 

 

 

x 

x 

e 1 

 

 

g' x 

 

1 

x 

2 x 

2 

1 1 

x 

e e e 

1 

 

e 

e 

x 

2x 

 

1 

e e e e e e e e e e 

 

x x x x x 2x x 2x 2x x 

 

 

 

 

 

 

: g 

 

g' x 

 

 

e 

e 

x 

2 

2x 

 

1 


لدینا : 

2 

أي 

استنتاج اتجاه تغیر الدالة 

جدول التغیرات : 

 

 

 

 

(2 

0. 

5 

1 

x 

g x ln1 

e x : x 

x 

1 

e 

x 

e x 1 

g x ومنھ : 

لدینا : 1 ln e 

x 

x 1 

 

 

 

e 

 

e 1 

 

x 

e 

1 

x 

1 

x 

x 

g x ln1 

e x g x lne ln1 

e 

x 

x 

 

1 

e 

1 

e 

تبیان أنَھ من أجل كل عدد حقیقي 

أي 

 

(3 

6

0. 

5 

0. 

25 

. 

 

: lim g x x 

1 

(4 

x 

 

 

1 

x 

lim g x x 1 lim ln1 e x x 1 : لدینا 

x 

 

x 

x 

1 

e 

 

 

1 

 

lim 1 

x 

x 

1 

e 

lim g x x 

1 

0 

x 

 

 

x 

lim ln1 e 0 

x 

C g 

y x 

1 

 

(5 الرسم : 

أ)‏ حساب 

ومنھ 

تفسیر النتیجة : المستقیم ذي المعادلة 

لانَ‏ 

مقارب مائل للمنحني 

عند 

0. 

75 

0. 

25 

0. 

25 

0. 

25 

x 

g x 

 

 

 

 

: 

g x 

x 

x 

1 

 

f x e ln e 

lim f 

x 

x 1 

استنتاج اشارة 

لدینا : 

البرھان أنَ‏ : 

x 

t 0 : فانَ‏ x 

e t 

x 

lne 

1 x 

x 

lnt 

1 

lim f x lim e ln1 e lim lim 1 

x x x x 

e 

t0 

t 

lim f x 

 

نضع 

إذن 

أي 

وبالتالي عندما 

x 

ln e 1 

x 

x 

lim f x lim e ln1 e lim 0 

x x x 

x 

e 

 

x 

: lim f 

x 

1 

حساب x 

(1 

(6 

.II 

 

 

0. 

5 

: 

 

 

x 

f ' x e g x 

تبیان أنھ من أجل كل عدد حقیقي ، x 

x 

x 

x x x e 

x e 

x 

f ' x e lne 1 e e lne 

1 

لدینا : 

x 

x 

 

e 1 e 1 

 

x 

f ' x e g x 

 

أي 

(2 

 

7

0. 

25 

x 

g x 

f ' x 

 

 

 

 

: f 

g x 


اشارة من إشارة 

: f 

f ' x 

جدول تغیرات الدالة 

 

 

0. 

5 

0. 

25 

0. 

5 

0. 

5 

x 

f ' x 

f 

x 

1 

 

 

 

 

0 

x 

1 e 

: x 

x 

x 

e 1 1 

e 

x 

1 1 e 

 

x 

e 1 x 1 1 

e 

e 1 

x 

e 

0 0 

ln3 x 

ln3 

التحقق من أنھ من أجل كل عدد حقیقي 

x 

x لدینا : 

: 

من أجل كل عدد حقیقي 

1 

0 

ln3 

x 

e 

0 

dx 

1 

حساب 

x 

1 

e 

dx dx ln e ln ln e 

x 

e 1 

1 

e ln3 

0 1 

dx ln2 ln4 ln2 2ln2 ln2 

ln3 

x 

e 1 

(3 

x 

ln3 

1 

2 1 

 

0 

: f xdx 

ln3 

x x 

1 

(4 

 

 

أي 

حساب 

بالمكاملة بالتجزئة 

 

0 0 

f x dx e ln e dx 

ln3 ln3 

x 

e 

 

u x ومنھ 

u' x 

 

x 

e 

نضع : 

x 

e 

v' x 

 

x 

e 1 

x 

v x lne 

1 

إذن : 

f x dx e ln e dx 

 

e ln e 

 

e x 

e 

dx 

x 

e 1 

0 0 

ln3 ln3 

1 

f xdx ln2 e lne 1 

dx 

ln3 

ln3 

x 

e 1 

4 

0 

1 4 

f xdx 3ln 

f xdx ln2 3ln 1 ln2 3ln 

ln3 

 

ln3 

3 

3 3 

و 

ومنھ 

1 1 

0 

 

0 0 x x x x 0 x 

ln3 ln3 ln3 

ln3 

 

0 

 

أي 

إذن 

8

تصحيح البكالوريا التجريبي ماي 2015 

الشعبة : ریاضیات + تقني ریاضي 

الموضوع الثاني 

04 

3 

0. 

5 

0. 

75 

 

z2 3 1 

i 

و 

1 

 

z r² sin 

icos 

 

0 

 

 

، z r cos 

i sin 

 

 

0; 

r 

 

لدینا : 

حیث 

كتابة الأعداد 

و 

و 

z 2 على الشكل المثلثي : 

z 

1,z0 

z r cos i sin 

0 

 

 

 

 

z1 

r² cos 

i sin 

 

2 2 

 

 

 

z2 3 2 cos i sin 

6 cos i sin 

 

 

4 4 4 4 

z z 

r 

1 0 

 

(1 

لدینا : 

أ)‏ تعیین العددین الحقیقیین 

و بحیث یكون : 

0 

 

 

z r cos i sin 

معناه 

 

z 

(2 

لدینا : 

z 

1 0 

 

r² cos i sin r cos i sin 

 

2 2 

 

 

r² r 

 

ومنھ : 

2k 

k 

 

2 

r² r 0 

 

 

2 2k 

k 

 

2 

r 

1 

r 

0 r 1 

 

 

3 

3 

وبالتالي : 

 

k 

k 0; 

1 

2 

2k 

k 

 

4 

2 

3 

( 0; 

: نجد k 0 

4 

3 

) مرفوض)‏ 

k 1 

4 

r 

1 

 

3 

z1 z0 

 

 

4 

من أجل 

من أجل 

نجد 

معناه 

) مقبول لأنَ‏ 

أي 

إذن 

 

 

 

 

- 

1

0. 

25 

0. 

25 

0. 

5 

z 

z 

0 

1 

n 

z 

0 

حقیقیا : 

z1 

 

3 

3 

 

1 cos i sin 

z 

 

 

 

0 

4 4 

 

 

 

 

 

لدینا : 

z1 

2 3 3 

 

1 cos i sin 

2 4 2 4 

 

 

3 3 3 3 

cos 

i sin 

 

cos i sin 

4 2 4 4 2 4 2 2 

n 

k 

2 

3 1 

z1 

sin 

icos i 

3 3 2 2 

A; 2 , B; 2 , C;1 

 

z 

G 

 

2zA 2zB zC 

1 

i 

 

 

2 2 1 

R 1 

 

ب)‏ تعیین قیم العدد الطبیعي n 

اي 

بحیث یكون العدد 

، 

n 

 

0 

cos 

z n n 

 

i sin 

z1 2 2 

n 

sin 

2 

0 

n 

z 

0 

 

z1 

 


إذن 

حقیقي معناه 

أي 

 

n 2k k 

 

(3 لدینا : 1 r و 

3 

1 3 

z0 

cos 

إذن : i i sin 

3 3 2 2 

G 

 

z G 

تعیین أ)‏ 

لاحقة النقطة 

مرجح الجملة المثقلة 

3 

 

3MG 3 

3 i 3 i 3 1 1 

3 3 3 i 

: 

 

ب)‏ تعیین طبیعة المجموعة 

معناه 

لدینا : 

 

 

لدینا : 3 2MA 2MB MC 

3MG 3 

 

ومنھ 


أي 

ھي دائرة مركزھا النقطة 

G ونصف قطرھا 

MG 1 

 

 

 

 

 

 

 

0. 

75 

2

04 نقاط 

0. 

25 

0. 

5 

 

3 

E 

:3 

x 

 

E 

 

 

x; y 

 

E : 5x 

6y 

3 

أ)‏ اثبات أنھ إذا كانت الثنائیة 

تكافئ 

حل للمعادلة 

فإن 


x 

5x 

3 6y 

3 / x 

: E 

5x 

6y 

3 

5x 

3 1 

2y 

 

 

3 / 5x 

لدینا : 

(1 

لدینا : 

أي 

و فإن 

ب)‏ تعیین حل خاص للمعادلة 

حسب مبرھنة غوص أي 


 

 

3; 

2 

 

 

5 

3 3 12 

y 2 

6 6 

 

3 5 1 

x 3 وبالتالي : 

لدینا : 

نفرض 

أي الثنائیة 


 

 

 

0. 

5 

0. 

75 

0. 

75 

0. 

75 

5x 

5 3 6y 

6 

5x یكافئ 2 

6y 

5 3 6 

2 

6 / x 3 

x 6k 3k 

 

k y : نجد 

y 5k 2k 

 

S 6k 3; 5k 2,k 

 

x 16 

S : 

x 45 

حل المعادلة : E لدینا : 

: 5 x 3 6 y 2 

6 5 1 

6 / 5 

x 3 

لدینا : 

x 3 6k k 

 

أي 

أي 

من أجل 

و 

فإن 


نعوض في المعادلة 


5 6 3 3 6 2 

x 6k 

3 

y 2 5k k 

 

ومنھ 

مجموعة حلول المعادلة : 

أي 

 

 

ج)‏ استنتاج حلول الجملة : 

 

x 

6m 

1 

 

x 1 6 

 

x 

5n 

4 x 4 5 

5n 

6m 

3 6m 

1 5n 

4 

x 5 6k 3 4 30k 11 

k 

n 6k 

ومنھ : 3 

 

: 

 

E 

 

5 

أي 

تكافئ 

ومنھ 


و 

b 0 

a 1 0 

00 

a;b 

 

 

3 

-2 لدینا : 

; 

 

 

 

 

 

تعیین 

بحیث تكون 


5 4 2 

a 1 3 3 3 243 81 9 243 90 

لدینا : 

3 2 0 

b 5 5 5 125 25 126 25 


4 2 

5a 

6b 

3 E 

a;b 

مع 

الثنائیة 

و 


 

ومنھ 

اي 

بعد تقسیم الطرفین على العدد3‎ 

معناه 

5 243 90 6 126 25 3 

306 

150 

1212 

1215 450 756 150 

3 

نجد : 

; 2; 

4 

102 

50 

404 


ومنھ 


 

 

 

 

- 

 

 

- 

 

3

04 نقاط 

0. 

5 

P : x y z 3 0 

 

و 

والمستوي 

 

 

AC 3 ² 0 ² 3 ² 3 2 

. 

A 

6 1 5 3 2 2 

C 6; 2; 

1 

B ; ; ,A ; ; 

 

 

ABC قائم : 

 

BC 0; 3; 

6 

AC 3; 0;3 

، AB 3; 3; 

3 

 

لدینا : 

(1 

- لدینا : 

البرھان على أنَ‏ المثلث 

و 

و 

 

 

 

AB 3 ² 3 ² 3 ² 3 3 


BC 0 ² 3 ² 6 ² 3 5 

ABC 

BC² AB² AC² 

و 

ومنھ المثلث 

قائم في النقطة 

إذن : 

0. 

5 

0. 

5 

0. 

5 

0. 

5 

: A 

: A 

A 

 

AB 

 

 

P 

البرھان على أنَ‏ المستوي 

شعاع ناظمي للمستوي 

عمودي على المستقیم 


AB P 

 

P 

A 

 

 

AB n 

 

 

P 

 

AB 3n 

 

n 1; 1; 

1 

 

 

3 3 3 

3 

1 1 1 

لدینا : 

إذن 

نعوض بإحداثیات النقطة 

ومنھ 

في معادلة 

أي 


3 2 2 3 0 أي 

 

AB 

 

نجد : 

P 

 

 

P 

A 

المستوي 

عمودي على المستقیم 


 

AC 

 


كتابة معادلة دیكارتیة للمستوي 

العمودي على المستقیم 

والمار من النقطة 

وبالتالي معادلة للمستوي ‏'‏Pمن 

x z 1 0 

: 

 

P' 

 

P' 

 

P' 

شعاع ناظمي للمستوي 

A نجد : 

d 3 

3x 

3z 

3 0 

 

AC 3; 0;3 

لدینا : 

الشكل 0: 3x 3z d 

d 

3 3 3 2 d 0 

تعیین قیمة 

نعوض بإحداثیات النقطة 

ومنھ 

: 

 

P' 

 

 

 

وبالتالي معادلة للمستوي 

كتابة تمثیل وسیطي ل 

مستقیم تقاطع المستویین 

أي 

و 

P 

 

x y z 3 0 

 

x 

z 1 

x 

z 1 

 

y 2z 

2 

أي 


 

AD AB 

 

AD AC 

 

x 

t 1 

 

 

 

z 

t 

: y 2t 2 ; t 

 

 

 

 

 

x y z 3 0 

لدینا : 

x 

z 1 0 

z 1 y z 3 0 

إذن : 

x 

z 1 

 

نضع : t z وبالتالي : 

أ)‏ تبیان أن المستقیم 



ومنھ 

ABC 

AD 

 

6; 3; AD إذن : 

3 

D 0; 4;1 

لدینا : 

 

AD.AB 33 63 33 

18 18 0 

 

ومنھ 

 

AD.AC 33 60 33 

9 9 0 

 

AD 

ABC 

وبالتالي المستقیم 


(2 

 

- 

- 

(3 

- 

(4 

 

- 

(5 

 

- 

- 

- 

4

0. 

5 

ب)‏ حساب حجم رباعي الوجوه 

و 

: ABCD 

1 

vABCD 

S 

ABC 

AD 

3 

AB AC 3 3 3 2 9 6 

SABC 

لدینا : 

2 2 2 

AD 3 ² 6 ² 3 ² 54 3 6 

 

- 

0. 

5 

0. 

5 

1 9 6 

27uv 

vABCD 

3 6 27 uv 

3 2 

 

: 

BDC 

4 rad 

 

DC 6; 6; 

0 

DB 6; 3; 

6 

لدینا : 

 

DB.DC 6 6 36 

وبالتالي : 54 6 0 36 18 

DB.DC DB DC cos 

DB,DC 

 

ولدینا : 

 

 

DB.DC 81 72 cos DB,DC 

vABCD 

أي 

ج)‏ 

تبیان أنَ‏ قیس الزاویة 

و 

ھو 

أي 

54 1 2 

BDC 45 

 

cosDB,DC 

9 

6 2 2 2 

: BDC 

1 1 2 

SBDC 

DB DC sin BDC 9 6 2 27us 

- 

2 2 2 

: BDC A 

- 

د)‏ حساب مساحة المثلث 

استنتاج المسافة بین النقطة 

والمستوي 

ومنھ 

 

 

v 1 1 27 

27 

ABDC 

SBDC 

لدینا : d A, BCD d A, BCD 

3 3 

27 

d A, BDC 3 d A, BDC 

3 

1 

27 

3 

 

ومنھ 

 

- 

- 

- 

08 نقاط 

0. 

25 

0. 

25 

x1 

lim e 

x 

 

 

 

lim x 

x 

x1 

lim x² 1 

e 

x 

: 

x 

x 1 

1 : lim f x 

f x x x² e 

x 

أ)‏ حساب 

لانَ‏ 

x 1 

1 

x 

I 

(1 

lim f x lim x x² e 

 

: lim f 

x 

x 

 

x1 x² 1 

1 

lim f x lim x x² e lim x 

e 

e 

x x x 

x 

تبیان أنَ‏ : 

 

 

 

لدینا : 

- 

 

5

0. 

5 

2 

x 

lim 0 

x 

x 

e 

 

1 

lim 0 

x 

e 

x 

 

: 

2 

x 1 1 1 

lim f x 

lim x 

x 

x 

x 

x 

e e e e 

أي 

ب)‏ تبیان أنھ من أجل كل عدد حقیقي 

لأن 

2 x 1 

1 

1 

f ' x x e 

1 2 1 

1 2 1 

f ' x 

 

xe x² e 

 

x x² e 

: 

x 

x1 x1 x1 

1 2 1 x 

1 1 2 

f ' x x² x e x e 

1 x1 

لدینا : 


 

0. 

25 

x 

2 x 1 

x 1 

e 

f ' x 

 

 

 

 

: 

f 

ج)‏ 


0. 

5 

0. 

25 

0. 

5 

x 

f ' x 

f 

 

x 

: 

 

 

 

 

 

 

C f 

 

y x 

 

 

 

جدول التغیرات : 

تبیان أنَ‏ المستقیم 

ذي المعادلة 

مقارب مائل ل 

عند 

لدینا : 

x 1 ² x1 x1 

lim 

f x x 

lim x x² 1e x lim x e e 0 

x x x 

C f 

x 

: 

 

 

 

 

 

 

 

C f 

1 1 

1 x 

x 

1 

 

f x x 0 

ومنھ 

مستقیم مقارب مائل للمنحني 

دراسة الوضعیة النسبیة للمنحني 

عند 

بالنسبة إلى المستقیم 

f x x x x² e x x² e 

 

C f 

 

لدینا : 

إذن 

ومنھ 

یقع تحت المستقیم 

من أجل كل عدد حقیقي 

 

(2 

 

 

0. 

5 

 

 

: 1. 8 1. 

9 

f 1. 8 f 1. 

9 0 

. 1. 8 1. 

9 

f x 0 

1. 8; 1. 

9 

1. 

8 1 

 

 

1. 

9 1 

 

f x 0 

لدینا 

تبیان أن المعادلة 

مستمرة ورتیبة تماما على المجال 

تقبل حلا وحیدا حیث 

f 1. 8 1. 8 1. 8 ² 1 e 0. 

11 

f 

ولدینا 

0. f 1. 9 1. 9 1. 9 ² 1 e وبالتالي 

03 

(3 

حسب مبرھنة ال قیم المتوسطة المعادلة 

تقبل حلا وحیدا حیث 

 

6

0. 

5 

:1 

 

C f 

 

 

T 

كتابة معادلة دیكارتیة للمماس 

للمنحني 

أي 

عند النقطة ذات الفاصلة 

T : y x 2 

1 1 1 

 

y f ' x f 

y 1 x 1 1 x 2 

(4 

: 

x 1 

1 3 

f '' x x x e 

لدینا 


x 1 2 x 2 1 1 1 x 

1 1 

2 1 

f '' x x e x e x e x 

x 1 

1 3 

. f '' x x x e 

: 

أي 

(5 

 

01 

x 

f '' x 

 

 

 

1 

0 

 

 

C f 

استنتاج أنَ‏ 

جدول إشارة 

یقبل نقطتي انعطاف : 

3 

0 

 

: f '' x 

 

 

- 

x 3 

x 1 

المشتقة الثانیة 

النقطتین 

تنعدم من أجل القیمتین 

و 

نقطتي انعطاف للمنحني 

مغیرة إشارتھا إذن 

 

C f 

 

f '' x 

3 3 1 1 

B ; f ,A ; f 

 

 

 

 

f e . , f e . 

2 

3 3 9 1 65 0 2 71 

: 

f 

 

حساب 

3 , f 0 

الرسم : 

(6 

01 

7

0. 

5 

0. 

5 

0. 

25 

0. 

5 

0. 

25 

0. 

5 

y x m 

 

f x x m 

المناقشة البیانیة لحلول المعادلة : 

 

C f 

 

و 

ھي فواصل نقط تقاطع المنحني 

مع المستقیم ذي المعادلة 

الموازي لكل من 

1 

n x1 

In 

x e dx 

0 

 

. 

 

 

m ; e 

 

 

 

T 

 

إذا كان 

إذا كان 

إذا كان 

المعادلة تقبل حلا وحیدا سالبا . 

المعادلة تقبل حلا وحیدا 

المعادلة تقبل حلا وحیدا موجبا . 

معدوما . 

نضع : 

x 1 

1 

G x x e 

m e 

m e;0 

 

 

m 0; 

 

 

إذا كان 

المعادلة لیس لھا حلا . 

n 

ب : 

من أجل كل عدد طبیعي غیر معدوم 

 

أ)‏ تبیان أنَ‏ الدالة G 

المعرفة على 

على المجموعة 

ھي دالة أصلیة للدالة 

: 

1 

xe x 

g x حیث g 

لدینا : 

x1 x1 x1 x1 x1 x1 

G' x 

e x 1e 

e xe e xe g x 

. g 

G 

: I 1 

ب)‏ حساب 

 

 

 

 

ومنھ 

دالة أصلیة للدالة 

على 

1 x1 x1 1 0 

I1 

xe dx x 1 e 2e e e 2 : لدینا 

0 

0 

I 1 

1 n n 

1 

In 

-2 

1 

n 1 x 1 

I 

n1 

x e dx : لدینا 

0 

u' x n 1 x 

n u x x n 

نضع : 

 

1 

e x 

v x 

1 

 

1 

e x 

أ)‏ تبیان أنَ‏ 

ومنھ 

v' x ومنھ 

1 n 1 x 1 n 1 x 1 

1 1 

n x 

1 

In 1 

x e dx 

x e 

n x e dx 

0 0 0 

1 

n 

n 1 0 

 

 

 

1 

x1 

 

I 1 n 

1 x e dx 1 n 1 I 

2 1 

 

: I 2 

ونضع : 


n 

ب)‏ حساب 

I 1 11 I 1 2 e 2 2e 

5 

 

C f 

 

ومنھ : 

حساب المساحة للحیز المستوي المحدد بالمنحني 

معادلتیھما 

والمستقیم 

والمستقیمین الذین 

: x 1,x 

0 

 

1 x 

1 

1 1 1 

1 x1 

 

S 

y f x dx x x x² e dx x² e dx 

0 0 0 

1 

1 

2 x 1 x 1 x 1 

S x e dx e dx I 

2 

e 

 

0 

0 0 

 

S 2e 5 1 e us 3e 6 cm² 2. 15cm² 

أي 

(7 

.II 

 

 

 

 

 

-1 

 

-3 

و اح bac 2015 أذ ادة 

8

[BY RIKI]3as-mathematiques-as_t3-2015-4

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?