httpswww.0et1.comacceuilattachmentsarticle52c120p1_comlexe 4

د العقدية
Les nombres complexes
-I تمهيد :
. S = { −3}
x + 3=
0
:
:
حل في
لدينا
المعادلة
x = −3∉
.
S =∅
:
إذن :
وفي
حل هذه المعادلة هو
-1
2x − 1=
0
:
1
x = ∉
2
حل في
لدينا
المعادلة
:
-2
S =∅
إذن :
⎧1
⎫
S = ⎨ ⎬
⎩2⎭
2
x − 2=
0
:
:
وفي
حل في
الحل هو
المعادلة
-3
x =
2
x = −
2
لدينا :
أو
S = { − 2, 2}
2
x + =
1 0
:
:
S =∅
إذن :
وفي
حل في
الحل هو
المعادلة
-4
2
x =−1
لدينا :
S =∅
إذن :
.i
2
x + =
Euler
1 0
:
{ 1, −1}
S = − −
في البداية آتب حل المعادلة
على شكل :
ولتفادي هذه التناقضات وضع الرياضي
الرمز
2
.i = −1
:
S = −i,
i
للتعبير عن العدد غير الحقيقي الذي يحقق
فأصبح في الحل هو
{ }
:
Gauchy
وبعده جاء العالمان الرياضيان Gauss
و
لوضع الشكل الحالي للأعداد العقدية.‏
x
3
= 15x+
‎5‎‏-حل في المعادلة 4
عادي
عموميات
تعريف
في البداية وضع الرياضي بومبلي العدد الغير
وبدلك بين أن 4 حل لهده المعادلة بين ذلك ؟
.
.b∈
2− − 121+ 2+ − 121 = 4
:
:
3 3
توجد مجموعة تتضمن وتحقق ما يلي
المجموعة تحتوي على عنصر غير حقيقي ويحقق
آل عنصر من يكتب على شكل وحيد حيث و
المجموعة مزودة بعمليتي الجمع والضرب تمددان نفس العمليتين في
ولهما نفس الخاصيات.‏
2
i =−1
a ∈
i
a+
ib
:
:
-1
-2
-3
-II
-1

ن
.
= a+ ib / a∈ ; b∈
تعاريف ومصطلحات :
مجموعة الأعداد العقدية هي المجموعة
حيث
{ }
:
-1
-2
2- الشكل الجبري لعدد عقدي :
. z
b ∈
;
a ∈
ليكن z
الكتابة
عددا عقديا.‏
حيث
تسمى
الشكل الجبري للعدد العقدي
z = a+
ib
:
الجزء الحقيقي –
الجزء التخيلي
-3
a ∈
،
b ∈ ،
. z
a =R
z = a+
ib
z
a
عددا عقديا حيث
ليكن للعدد العقدي
يسمى الجزء الحقيقي العدد ونكتب رمزه آالتالي
e( z)
:
والعدد يسمى الجزء التخيلي للعدد العقدي . z
ونرمز له ب
( )
b=
Im z
:
( ) ( )
∀z ∈ ; z = R e z + i Im z
b
استنتاج
z1
= a+
ib
z2
= c+
id
:
. z 2
تساوي عددين عقديي
z 1
نعتبر العددين
حيث
و
و
2
( ab , ) ∈
2
( cd , ) ∈
:
و
و
z = z ⇔ a= c
1 2
b=
d
استنتاج
و
-4
z
= z ⇔
1 2
( 1) = R ( 2)
( z ) = ( z )
⎧⎪ R e z e z
⎨
⎪⎩ Im
1
Im
2
:
∀ z , z ∈ z + z = z + z
( )
2
1 2 + 1 2 2 1
. 0
:
:
العمليات في
الجمع
عملية الجمع في
تبادلية
عملية
:
تجميعية
لكل عنصر مقابل.‏
العنصر المحايد هو
.
-a
-5
:
الضرب :
عملية الضرب في عملية
تبادلية
تجميعية
لكل عنصر مقابل.‏
العنصر المحايد هو‎1‎
.
:
.
-b

مقلوب عدد عقدي غير منعدم :
⎧⎪ z ≠ 0 ; z = a+
ib
⎨
:
2
⎪⎩ ( ab , ) ∈
ليكن
-c
1 1
=
z a−
ib
=
=
a
+
ib
( a− ib) ( a+
ib)
a
a
2
−
−
ib
( ib) 2
لدينا :
=
a
a
− ib
+ b
2 2
a
−b
= + i
a + b a + b
:
( 1+ 2 i) ( 3−
i)
( ) ( )
1+
2i
=
3+ i 3 + i 3−i
=
=
( 2 −i) ( 1−2i)
2 2 2 2
مثال :
أآتب على الشكل الجبري الأعداد العقدية التالية
3 + 6 i − i − 2i
2
9 − i
5 + 5i
10
2
1+
2i
3+
i
= 1 1
2 + 2 i
2 − i
-2
1+
2i
2 − i 2 − 2 − 4 i − i
= = = −i
1 + 2i
1 + 4 5
2 − i 2 − i 2 − i 1 i
= = = = = −i
+ i − i + i i − i i −
( )
2
1 2 2 2 1
ط : 1
ط : 2
-1
Affixe d’un point
. Oe , , e
( )
1 2
التمثيل الهندسي لعدد عقدي :
صورة عدد عقدي لحق نقطة
المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
نعتبر التطبيق :
-1
-3

ة
f
:
→
P
( , )
z = a+ ib → M a b
. P
التطبيق f
تقابل من
نحو
. M ( ab , )
.
z = a+
ib
M ( ab , )
تعريف :
النقطة
والعدد العقدي
تسمى
صورة العدد العقدي
2
حيث ( ab , ) ∈
يسمى
لحق النقطة
z = a+
ib
ويكتب aff ( M ) = z
2- لحق متجه :
.V 2
نعتبر تطبيق g
المعرف من من
نحو المستوى المتجهي
g
:
→ V2
z = a+ ib → u a b
( , )
.V 2
g
لدينا :
تقابل من
نحو
.
u
،
z = a+
ib
u( a,
b)
تعريف :
المتجهة
والعدد العقدي
تسمى
صورة العدد العقدي
2
حيث ( ab , ) ∈
يسمى
لحق المتجهة
z = a+
ib
aff u = z
( )
ونكتب :
-a
. v c d
( , )
( )
( )
،
:
u( a,
b)
aff u = a + ib
aff v = c + id
لحق مجموع متجهتين
نعتبر المتجهتين
لدينا :
و :
-b
aff u v a c b d
( + ) = ( + ) + ( + )
= ( a+ ib) + ( c+
id)
= aff u
+
( ) aff ( v )
لدينا :
وبالتالي :

aff u v aff u aff v
( + ) = ( ) + ( )
( )
:
. λ ∈
( λa,
λb)
.
aff
λu = λa + i λb
لحق جداء المتجهة في عدد حقيقي
u( a,
نعتبر المتجهة (b
لدينا
إحداثيتي
هما
و
( a ib)
aff ( u )
= λ +
=
λ
aff u aff u
( λ ) = λ ( )
λu
:
:
إذن :
وبالتالي
-c
aff ( A) = x A
+ i y A
aff ( B) = x B
+ i y B
aff AB aff OA OB
( ) = ( − + )
= aff − OA + aff OB
( ) ( )
= − aff OA +
( ) aff ( OB)
= − xA + iyA + xB + iyB
( x x ) i ( y y )
= − + −
B A B A
:
AB
aff AB aff B aff A
( ) = ( ) − ( )
لحق المتجهة
:
:
:
لتكن
و :
لدينا
وبالتالي
-d
.
z B
z A
لحق منتصف قطعة :
B
لتكن A
و
و
منتصف القطعة
نقطتان لحقاهما
لحقها
و
على التوالي
z I
[ AB]
.
AI = IB
aff AI = aff IB
( ) ( )
zI − zA = zB −zI
:
:
:
I
لدينا
إذن
إذن
-e
2 z I
= z A
+ z B
ومنه :
z
I
=
z
A
+
2
z
B

ة
ة
خاصي :
.
z
I
=
z
A
+
2
z
B
لحق منتصف قطعة AB] [
هو
.
z C
z B
z A
استقامية ثلاث نقط
لتكن و ثلاث نقط من المستوى العقدي ألحاقها على التوالي
لدينا و ثلاث نقط مستقيمية.‏
: و و
C B و A
C B و A :
⇔ ( ∃α∈ ) / AC = α AB
⇔ ∃α∈ / aff AC = α aff AB
( ) ( ) ( )
zC − zA
⇔ ( ∃α
∈ ) / = α
zB
− zA
zC
− zA
⇔
∈
z − z
B
A
. z
A
≠ z
B
z C
z B
z A
C
خلاصة وخاصي :
لتكن A و B
تكون النقط
و
ثلاث نقط ألحاقها
و و
مستقيمية إذا وفق إذا آان العدد
على التوالي
حيث
حقيقيا.‏
z
z
C
B
− z
− z
A
A
C ، B ، A
تطبيقات :
zB
= 3+
2i
،
zA
= 1+
i
:
D
C ، B
ABCD
،
أنشئ النقط A
و
التي ألحاقها على التوالي
zC
z
= 2 − i،
و −2i =
تحقق أن الرباعي
متوازي الأضلاع.‏
.
D
-1
y
aff DC z z
( ) = C
− D
= 2 − i + 2i
aff AB z z
( ) = B
− A
= 3+ 2 i − 1−i
aff AB = aff DC
( ) ( )
:
:
لدينا
و :
إذن

AB
=
DC
إذن :
.
. iz +1
C B ،
z
A
وبالتالي الرباعي متوازي الأضلاع
لتكن و ثلاث نقط ألحاقها على التوالي هي
حدد مجموعة النقط من المستوى بحيث تكون النقط
و
و
مستقيمية
،
1
:
.
ABCD
C
B z
( )
B و A
E
:
-2
الجواب
A = B
الحالة 1
A = B ⇔ z =
1
A∈
E
A = C
إذن :
الحالة 2
iz + 1 = 1
iz = 0
z = 0
O∈
E
B = C
:
:
:
لدينا
إذن
إذن
الحالة 3
z = iz + 1
1 − i z = 1
( )
z
=
1
1 − i
:
:
لدينا
إذن
إذن :
z
=
1
+
2
i
إذن :
⎛
B⎜
⎝
1 1
,
2 2
⎞
⎟ ∈
⎠
E
ومنه :
الحالة 4
⇔
z
z
B
C
−
−
z
z
A
A
∈
C
C
B
B ،
، A
A :
النقط
لدينا
و
و
مختلفة مثنى مثنى.‏
مستقيمية.‏
⇔
z −
iz
1
∈
⇔
iz −
− z
i
∈
⇔
i
− i z
z
∈
z = x + i y
نضع :
⇔
( )
i − i x + iy
x
+
i y
∈

⇔
( 1 )
y + i − x
x + i y
∈
⇔
⇔
( y + i ( 1 − x)
) ( x − i y)
x
+
y
2 2
∈
2 2
( xy + ( 1 − x)
y) + i ( x − x − y )
x
+
y
2 2
∈
x x y
2 2
− − =
0
إذن :
2 1
2
x − 2 x + y
2
= 0
2 1 1 1 2
x − 2 x + − + y
2 4 4
= 0
⎛
⎜x
⎝
2
⎞ 2
− + y =
1 1
⎟
2⎠
4
d,c,b,a
d −a b−c
× ∈
b−a d −c
d=1-3i
c
E
⎛ ⎛1 ⎞ 1⎞
= ⎜ Ω ⎜ , 0 ⎟ ;
2 2 ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
إذن :
النقط المتداورة
خاصية
في المستوى العقدي نعتبر النقط D,C,B,Aالتي ألحاقها على التوالي هي
d −a d −c
× ∈
b−a b−c
تكون النقط D,C,B,A متداورة اذا وفقط اذا آان
أو
أو
ملاحظة و تدآير
اذا آانت هي الدائرة المحيطة بالمثلثABCوDنقطة من المستوى العقدي فان
=
M ∈
⇔ AB AD = CB CD
-1+i
( ) (
, , )
a
l
AB, AD + CB,
CD = π
( ) ( )
مثال
أثبث أن النقطD,C,B,A التي ألحاقها على التوالي‎2‎‏-‏ =
مرافق عدد عقدي
تعريف
وb=2‎ و
و
متداورة
2
( ab , ) ∈
z = a+
ib
M ∈
⇔ BAD + BCD = π
z = a−ib
z
a + i b = a − i b
:
:
مرافق العدد العقدي
هو العدد العقدي الذي يرمز له ب
أي
والمعرف ب
حيث
:
-1
-III
ملاحظات :
. z
=
z
;
1) من لكل z
z = a+
ib
zz
2
= a
2
+ b
M z M z
( )
إذا آانت
فإن
النقطتان
و
) )' متماثلتان بالنسبة لمحور الأفاصيل.‏
:
(2
(3

خاصيات :
z
2
( ab , ) ∈
z = a+
إذا آانت ib
فإن
حيث
z + z = 2 a
z − z = 2 i b
∀ z ∈
z + z = 2 Re( z)
z − z = 2 i Im( z)
z = z ⇔ z ∈
+ z = 0 ⇔
:
:
استنتاج
ليكن z
عددا عقديا.‏
z تخيلي صرف
-1
-2
z 2
z 1
و ليكن
عددان عقديان.‏
-3
z1 + z2 = z1 + z2
z1 × z2 = z1 × z2
⎛ z ⎞
1
z1
⎜ ⎟ = z2
≠
z2 z2
⎝
α z
⎠
.
=
/ 0
من لكل z
ولكل α من
α z
n
z
=
.
( z) n
n
من ولكل من لكل z
-4
∀ z1 , z2
, ... z n
∈
-5
z ⋅ z ⋅ ....... z = z ⋅ z ⋅ ........ z
1 2 n 1 2
n
n
π
z
=
k
k= 1 k=
1
n
π z
k
تطبيق :
( E )
1
z + 2 i
: = 3 i
iz − 1
:
حل في
1- المعادلة

{ / 1 0}
D = z∈ i z − ≠
iz
− 1 ≠ 0 ⇔ z ≠
⇔
⇔
z
z
1
i
≠ −i
≠
i
{ / }
D = z∈ z ≠ i
∀ z ∈
( ) ⇔ + = ( − )
E1 z 2 i i z 1 3 i
⇔ z + 2 i = −3 z − 3 i
⇔ z + 3 z − 5 i = 0
( ) ( ) ( )
E1 ⇔ x + i y + 3 x − i y + 5 i = 0
( x x) i ( y y )
⇔ + 3 + − 3 + 5 = 0
( )
⇔ 4 x + i 5 − 2 y = 0
⇔ 4 x = 5 − 2 y = 0
z = x+
iy
:
:
:
:
إذن
لدينا
نضع
إذن
⇔ x =
= y و 0
5
2
z
=
5
2
i
ومنه :
S
⎧5
⎫
= ⎨ i⎬
⎩2
⎭
وعليه :
( )
2
E2 : z + 4 z − 5 = 0
( E ) ( x i y) 2
( x i y)
2
⇔ + + 4 − − 5 = 0
:
حل في
نضع
المعادلة
z = x+
iy
:
لدينا :
-2
2 2
⇔ x + i x y − y + x − i y − =
2 4 4 5 0
( x 2 y 2 x ) i ( x y y)
⇔ − + 4 − 5 + 2 − 4 = 0
⇔
2 2
⎧x − y + x − =
⎪ 4 5 0
⎨
⎪⎩ 2 y ( x − 2 ) = 0
2 2
⎧x − y + x − =
⎪ 4 5 0
⇔ ⎨
⎪⎩ y أو = 0 x = 2
y = 0
إذا آانت :
x
2
+ 4 x − 5 = 0
فإن :

ف
∆ = ⇒ = −
2
6 x1
x و 5
2
= 1
S
1
= { −5 ; 1}
:
إذن :
ومنه
2
4 − y + 4× 2 − 5 = 0
x = 2
إذا آانت :
: فإن
⇔ − + − =
2
4 y 8 5 0
2
⇔ − y = −
7
2
⇔ y =
7
y أو = 7 y = − 7
{ }
S = 2 − i 7 ; 2 + i 7
2
:
وبالتالي : 7 S = −5 ; 1 ; 2 − i 7 ; 2 + i
{ }
ومنه
Module d’un nombre complexe معيار عدد عقدي -IV
( )
2
z = a + ib / a , b ∈
z = a − i b
2 2
z ⋅ z = a + b ≥ 0
∀z∈
; z z ≥ 0
:
ليكن z
لدينا
إذن
إذن
عددا عقديا حيث
:
:
:
-1 تعري :
. z
zz
. z
العدد الحقيقي
ونرمز له ب
يسمى معيار العدد العقدي
( )
2
z = a + ib / a , b ∈
2 2
z = z z = a + b
2 − i = 4 + 1 = 5
أمثال :
3 + 2 i = 9 + 4 = 13
2 − 3 i = 4 + 9 = 13
∀z∈ ; z = − z = z
ملاحظة :
.
( Oe , , e)
1 2
التمثيل الهندسي لمعيار عدد عقدي :
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
. z = a+
ib
لتكن ) , ab M (
صورة العدد العقدي
-2

2 2
z = a + b
2 2
OM = a + b
z = OM
لدينا :
:
:
ولدينا
إذن
.u
M
z OM u
خاصية :
z
:
ليكن
لدينا
عددا عقديا صورته
وصورته المتجهية
.
z B
= =
3- مسافة نقطتين في المستوى العقدي :
z A
B
لتكن A
لدينا
و
نقطتان لحقاهما
و
على التوالي
aff
AB z z
AB =
AB = z − z
z B
( ) = B
− A
z A
.
AB = AB = z − z
B
A
B
A
:
:
إذن :
خاصية
و لتكن
نقطتان لحقاهما
و
B
A
تطبيقات :
zB
= − 3 + 2i
zA
= 1 +
i
:
AB
B
A
و نقطتان حيث
أحسب المسافة
و
:
AB = z − z
B
= − 3+ 2 i − 1−i
A
= − 4 + i = 16 + 1 = 17
لدينا :

-4 خاصيات :
∀z∈ ; z = 0 ⇔ z = 0
-1
Re( z)
Im ( z)
:
≤ z
≤ z
2- من لكل z
:
z 2
z 1
من و لكل
-3
z1 + z2 ≤ z1 + z2
:
z 2
z 1
من و لكل
-4
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
n
z
:
*
=
n
من ولكل من لكل z
z
n
-5
:
*
z 2
z 1
من ولكل من لكل
-6
z
z
1
=
z
z
1
2 2
:
1 1
=
z z
*
7- من لكل z
:
z
M ( z)
تطبيق :
حدد مجموعة النقط
التي لحقها
يحقق ما يلي
. i
z = z − i ⇔ OM = AM
.[ OA]
z = z − i
z = 2 z − i
A
:
:
-1
-2
ط-‏‎1‎
الجواب
لتكن
إذن
إذن
النقطة ذات اللحق
مجموعة النقط M
هي واسط القطعة
:
-1
:
z = x+
iy
:
ط-‏‎2‎ :
نضع
( ) 2
2 1
z = z − i ⇔ x + i y = x + i y−
إذن :
( 1) 2
2 2 2
⇔ x + y = x + y−
2 2
⇔ y = y − y +
2 1
⇔ 2 y = 1

⇔ y =
1
2
2
( ( ) )
2 2 2
x y x y
+ = 2 + −1
2
( ( ) )
2 2 2
x y x y
+ = 4 + −1
z = 2 z − i
2 2 2 2
4 x + 4 y − 8 y + 4 − x − y = 0
2 2
3 x + 3 y − 8 y + 4 = 0
2 2 8 4
x + y − y + =
3 3
2 2 4 16 16 4
x + y −2 ⋅ y + − + = 0
3 9 9 3
2 ⎛ 4⎞
4
x + ⎜y
− ⎟ =
⎝ 3⎠
9
2
0
z = x+
iy
:
:
:
:
لدينا
نضع
إذن
إذن
-2
2
. r =
3
⎛ 4 ⎞
Ω ⎜ 0 , ⎟
⎝ 3 ⎠
وبالتالي مجموعة النقط M
هي الدائرة التي مرآزها
وشعاعها
عمدة عدد عقدي غير منعدم.‏
L’argument d’un nombre complexe non nul.
-V
-1 تعريف :
. arg ( z)
( 1 ) e
, OM
. z
لتكن M
عمدة العدد العقدي
صورة العدد العقدي غير المنعدم
هو آل قياس الزاوية الموجهة
، ونرمز له ب
z
ملاحظة :
k∈ / θ + 2kπ
إذا آان هو عمدة العقدي z
عمدة العدد العقدي
، فإن آل عدد يكتب على شكل
هو أيضا
. z
θ
-1

ة
( ) θ π
arg ( z) = θ [ 2π
]
arg z = + 2 k / k∈
ونكتب :
0
أو :
العدد
أمثل
له.‏ لا عمدة
:
-2
zE
= 2 + 2 i
،
zD
= −2
i
،
zC
=
3 i
،
z
B
:
= − 3
أنشئ النقط التي ألحاقها
zF
،
z =
A
= − 2 + 2 i
4
و
( ) = 0 [ 2 ]
Arg z π
A
( ) = [ 2 ]
Arg z π π
B
:
-
-
استنتاج
. z
E
Arg z C
Arg z D
zE
Arg z E
Arg z F
π
2
( ) = [ 2π
]
−π
2
( ) = [ 2π
]
π
4
( ) = [ 2π
]
3π
4
( ) = [ 2π
]
= 2 + 2 i
الشكل المثلثي لعدد عقدي غير منعدم.‏
⎛ 2 2 ⎞
= 8 × ⎜
+ i
2 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ π π ⎞
= 2 2 ⎜cos + i sin ⎟
⎝ 4 4⎠
= 2 + 2 i
-
-
-
-
تمهيد :
لدينا :
-2
هذه الكتابة تسمى
الشكل المثلثي
للعدد العقدي

( cos sin )
z = z θ + θ
z
z
تعريف وخاصية :
آل عدد عقدي غير منعدم
حيث
يكتب بكيفية وحيدة على الشكل
r
. z
=
θ =
( z) [ π ]
arg 2
وتسمى هذه الكتابة بالشكل المثلثي للعدد العقدي
ونكتب آذلك
z
[ , ]
z = r θ
θ ≡
⎡ −π ⎤ ⎛ ⎛−π ⎞ ⎛−π
⎞⎞
=
⎢
3 , 3 cos i sin
6 ⎥
= ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
6 6
⎟
⎣ ⎦ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
⎛ π π ⎞
z = 3 ⎜cos + i sin ⎟
⎝ 6 6 ⎠
⎡ π ⎤
= ⎢
3 ,
⎣ 6 ⎥
⎦
⎛ π π ⎞
= 3 ⎜cos − i sin ⎟
⎝ 6 6 ⎠
z
( z) [ π ]
arg 2
:
:
:
مثال
حيث
لدينا
و
. 1
= 1 , θ = cos θ + i sinθ
z
[ ]
= cos θ − i
sinθ
( θ ) i ( θ )
= cos − + sin −
= [ 1 , −θ
]
:
:
z
:
ليكن
حيث
عددا عقديا معياره يساوي
:
2
( , )
تحديد الشكل المثلثي لعدد عقدي غير منعدم
ليكن ab ∈ ↔ z = a + ib
-3
2 2
z = a + b
لدينا :
⎛
2 2
z = a + b ⎜
+ i
2 2 2 2
⎝
a
b
a + b a + b
⎞
⎟
⎠
. ] −π , π ]
إذن :
ليكن θ من

ق
cos θ =
sin θ =
a
a
a
+
b
2 2
b
+
b
2 2
( cos θ sinθ
)
z = r + i
حيث :
θ ≡
z = 1 + 3 = 2
:
r
=
arg z 2
z
[ π ]
:
تطبي
حيث
أآتب على الشكل المثلثي الأعداد التالية
z1 = 1 + i 3
لدينا :
:
-1
⎛1 3⎞
z = 2 × ⎜
+ i
2 2 ⎟
⎝ ⎠
⎛ π π ⎞
= 2 ⎜cos + i sin ⎟
⎝ 3 3⎠
⎡
z 2 , π ⎤
1
= ⎢
⎣ 3 ⎥
⎦
إذن :
z
2
⎛ 3 1⎞
= 2
⎜
− i
2 2⎟
⎝ ⎠
z
= −
2
3
i
-2
⎛ ⎛−π
⎞ ⎛−π
⎞⎞
= 2 ⎜cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟
6 6
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
⎡ −π ⎤
= ⎢
2 ;
⎣ 6 ⎥
⎦
z
3
= 8 = 2 2
z3 = 2 + 2 i
لدينا :
-3
z
3
⎛ 2 2 ⎞
= 2 2
⎜
+ i
2 2 ⎟
⎝
⎠
إذن :
⎛ π π ⎞
= 2 2 ⎜cos + i sin ⎟
⎝ 4 4⎠
⎡ π ⎤
= ⎢
2 2 ;
⎣ 4 ⎥
⎦
z = − − i
4
3
-4

⎛−
3 1
2
2 2 i ⎞
= ⎜
−
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎛−5π
⎞ ⎛−5π
⎞⎞
= 2 ⎜cos ⎜ ⎟ + i sin⎜ ⎟
6 6
⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
∀z∈
, arg ≡ −arg z 2
z
* 1
1 1
=
z cos θ + i sinθ
=
cos θ − i sinθ
1
z
=
( θ ) i ( θ )
= cos − + sin −
= [ 1 , −θ
]
⎡ −5π
⎤
= ⎢
2 ,
⎣ 6 ⎥
⎦
[ π ]
[ 1 , θ ]
خاصيات :
نضع :
-1
1 2
∀z∈
, arg ≡ −arg z 2
z
:
* 1
1 2 1 2
( cos θ sin θ ) ( cos α sin α )
z ⋅ z = + i + i
[ ]
arg z ⋅z ≡ arg z + arg z 2 π
[ θ ]
[ α ]
z1 = 1 ,
z2 = 1 ,
[ π ]
( cos θ cos α sin θ sin α) i ( cos θ sin α sin θ cosα)
= − + +
( θ α) i ( θ α)
= cos + + sin +
= [ 1 , θ + α ]
1 2 1 2
[ ]
arg z ⋅z ≡ arg z + arg z 2 π
*
z 2
:
z 1
إذن
لكل
برهان
و
نضع
من
:
:
:
لدينا
إذن
:
-2-
z
1
arg ≡ arg z1 − arg z2
2
z2
:
*
[ π ]
z 2
z 1
‎3‎‏-لكل
برهان
من و
:
arg
z
z
=
⎛
arg z ×
⎝
1 ⎞
⎟
⎠
1
⎜ 1
2
z2
1
= arg z1
+ arg 2
z
2
[ π ]
لدينا :

z
1
arg ≡ arg z1 − arg z2
2
z2
*
[ π ]
إذن :
z n
n
arg z = n arg z 2 π
من ولكل من لكل
( ) [ ]
-4
Z
=
1
+
1 + i 3
1 ⎡ 1 ⎤
=
⎢ , −θ
⎣ R ⎥
⎦
[ R , θ ]
[ R , θ ] ⋅ [ r , α] = [ R× r ; θ + α]
[ R , θ ]
[ r , α ]
[ θ ]
i
n
⎡ R ⎤
=
⎢
; θ −α
⎣ r ⎥
⎦
.
برهان
البرهان بالترجع
خلاصة
n
R , = ⎡ ⎣ R ; n α ⎤ ⎦
تطبيق :
أآتب على الشكل المثلثي وعلى الشكل الجبري العدد :
π
sin 12
π
cos 12
:
:
ثم استنتج قيمتي
و
Z
Z
⎡ π ⎤
2 ,
1 + i ⎢ 4 ⎥ ⎡ 2 −π
⎤
= =
⎣ ⎦
= ⎢ , ⎥
1 + i 3 ⎡ π ⎤ 2 12
2 , ⎣ ⎦
⎢
⎣ 3 ⎥
⎦
1 + i
= =
1 + i 3
( 1 + i) ( 1 − i 3 )
4
الجواب :
لدينا :
=
1 + 3 + i − i 3
4
1 + 3 1 − 3
= + i
4 4
2 ⎛ −π
− π ⎞ 1 + 3 1 − 3
⎜cos
+ i sin ⎟ = + i
2 ⎝ 12 12 ⎠ 4 4
إذن :
cos
π 2 6 2 6
− i sin
π = + + i
−
12 12 4 4
أي :
π 2 + 6
cos = 12 4
π
=
2 − 6
إذن :
sin 12 4 و
زاوية متجهتين وعمدة عدد عقدي :
1- عمدة لحق المتجهة AB
-4
.
z B
z A
P
لتكن A و B
نقطتين من المستوى العقدي
و لحقاهما
على التوالي

ن
ة
.
. OM = AB
z C
:
ولتكن M
نقطة من المستوى حيث
( ,
e1 AB) = ( e ,
1
OM)
( ,
e1 AB) ≡ arg z −z [ 2 ]
B A
π
( ,
e1 OA) ≡ arg z [ 2 π ]
A
( ,
e1 OM) ≡ arg z [ 2 π ]
M
،
z B
،
z A
:
إذن :
حالة خاصة
زاوية متجهتين وعمدة خارج لحقيهما
C
لتكن A و B
لدينا
و
ثلاث نقط ألحاقها
على التوالي
( AB , AC) = ( ,
AB e1) + ( e ,
1
AC)
( ,
= − e1 AB) + ( e ,
1
AC)
( z z ) ( z z )
= −arg − + arg −
B A C A
:
-2
=
zC
arg
z
B
−
−
z
z
A
A
خاصي :
z C
،
z B
،
z A
C
B
،
لتكن A
و
ثلاث نقط مختلفة مثنى مثنى من المستوى العقدي ، ألحاقها
z − z
( , ) arg C A
AB AC ≡
[ 2 π ]
z
B
−
z
A
z − z
( , ) arg D C
AB CD ≡
[ 2 π ]
z
B
−
z
A
:
على التوالي .
استنتاج
b
e
= −4 − 2 i
1 5
= + i
2 2
،
a
c
= 2 − 2 i :
= + 4 + 2 i
لدينا تمري 7
c
a
−
−
e
e
=
1 5
4 + 2 i − −
2 2
1 5
2 − 2 i − −
2 2
i
i
إذن :
7 1
− i
2 2 7 − i
= =
3 9
− i
3 − 9 i
2 2

a
b
−
−
e
e
=
=
=
( 7 − i) ( 3 + 9 i)
9 + 81
( )
21 + 9 + i 63 − 3
90
= 1 2
3 + 3 i
1 5
2 − 2 i − − i
2 2
ولدينا :
1 5
−4 − 2 i − − i
2 2
3 9
− i
= 2 2
− 9 9
− i
2 2
3 − 9 i 1 − 3 i
= =
−9 − 9 i −3 − 3 i
=
=
− 1 + 3 i
3 + 3 i
( − 1 + 3 i) ( 3 − 3 i)
18
− 3 + 3 i + 9 i + 9 6 + 12 i
= =
18 18
c − e a − e
=
a − e b − e
( EA ; EC) ≡ ( EB ; EA) [ 2 π ]
= 1 2
3 + 3 i
إذن :
إذن :
ملاحظة مهمة :
C
B
،
A
z C
،
z B
،
z A
إذا آانت
ألحاق النقط
و
على التوالي ،
z
z
C
B
− zA
⎡ ±π ⎤
= 1 ,
− z ⎢
⎣ 2 ⎥
⎦
A
⇔
ABC
فإن :
المثلث
وقائم الزاوية
متساوي الساقين
z
z
C
B
− zA
⎡ ±π ⎤
= 1 ,
− z ⎢
⎣ 3 ⎥
⎦
A
⇔
المثلث ABC
متساوي الأضلاع

z
u z 0
التمثيل العقدي للإزاحة
المستوى العقدي منسوب الى معلم م م م
نعتبر الازاحة t ذات المنجهة
( )
∈
t
( M)
= M′ ⇔ MM′
= u
u
aff MM ′ = aff u
لدينا
اذن
ومنه
خاصية
التمثيل العقدي للازاحة ذات المتجهة
u
( )
0
/ z 0
z′ − z = z 0
z′ = z+
z 0
هو
ا لتمثيل العقدي للتحاآي
المستوى العقدي منسوب الى معلم م م م
نعتبر التحاآي hالذي مرآزه Ω
k ونسبته ( z 0 )
( )
) ( ونسبته k
h M = M′ ⇔Ω M′
= kΩM
aff Ω M ′ = k.
aff ΩM
z 0
( )
z′ − z = k z−
z
0 0
لدينا
اذن
ومنه
خاصية
التمثيل العقدي للتحاآي الذي مرآزه Ω
( )
z′ − z = k z−
z
0 0
هو