Normalfordelingen - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 13
Som allerede illustreret i eksempel 2, kan sandsynligheden Pa ( ≤ X≤ b)
bestemmes
ved at finde arealet under grafen for tæthedsfunktionen fra a til b. Har man imidlertid
fordelingsfunktionen til rådighed, er det meget nemmere idet:
(17)
Pa ( ≤ X≤ b) = Fb ( ) − Fa ( )
Der er én af normalfordelingerne, som har en særlig status, og det er den med μ= 0 og
σ= 1.
Den har fået navnet standardnormalfordelingen, og dens fordelingsfunktion får
sit eget specielle symbol Φ :
(18)
1
1 2
− ⋅x
2
Φ () t = F0,1() t = ⋅∫e
dx
2π
I dag kan grafregnere og softwareprogrammer såsom Microsoft Excel med numeriske
metoder bestemme sandsynligheder for normalfordelingen. En del bøger med sandsynlighedsregning
og statistik indeholder dog kun en tabel for standardnormalfordelingen.
Heldigvis er der dog en forbindelse mellem en generel normalfordeling og standardnormalfordelingen,
som vi skal se i det følgende.
I det følgende vil vi med notationen X ∼ N( μ, σ ) mene, at X er en normalfordelt stokastisk
variabel med parametre μ og σ . Vi har en meget vigtig sætning:
Sætning 10
Lad X og Z være stokastiske variable med X = σ Z +μ dvs.
a)
Z ∼ N(0,1) ⇔ X ∼ N(
μσ , )
⎛t−μ⎞ b) PX ( ≤ t)
= Φ⎜ ⎟
⎝ σ ⎠
2
2
t
−∞
X − μ
Z = . Da gælder:
σ
c) Parametrene μ og σ i en normalfordeling angiver henholdsvis middelværdien og
spredningen for fordelingen.