Normalfordelingen - matematikfysik
Normalfordelingen - matematikfysik
Normalfordelingen - matematikfysik
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
40<br />
Opgave 2.4 (Poissonfordelingen)<br />
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk<br />
Den såkaldte Poissonfordeling er en diskret fordeling med følgende sandsynlighedsfordeling:<br />
−λ k<br />
e ⋅λ<br />
PX ( = k) = ; k=<br />
0,1,2,3, …<br />
k!<br />
Hvor k ! = 1⋅2⋅3⋅…⋅k og λ er en parameter. I Texas 89’ "-menu kan man frembringe<br />
udråbstegnet med kombinationen ¥e¸.<br />
Den store franske matematiker Simeon Denis<br />
Poisson (1781 – 1840) lægger navn til fordelingen,<br />
fordi han var den første, der fandt frem<br />
til den som en approksimation til binomialfordelingen<br />
(afsnit 7) for λ= n⋅p, hvor p er lille<br />
og n er stor. Vi skal ikke gå i detaljer hermed,<br />
blot nævne, at en tysk professor, Ladislaus von<br />
Bortkiewicz, i 1898 skrev en artikel, som hurtigt<br />
transformerede Poissons grænseformel til<br />
en helt ny sandsynlighedsfordeling. Bortkiewicz<br />
studerede blandt andet data for antallet af<br />
preussiske kavalerisoldater, som blev sparket<br />
til døde af deres heste. Ved at analysere disse<br />
data, var han i stand til at vise, at ovenstående<br />
formel er en brugbar sandsynlighedsmodel, helt uden reference til binomialfordelingen.<br />
Andre forskere fulgte hurtigt trop, og der viste sig en hel sværm af anvendelser af fordelingen.<br />
I dag betragtes fordelingen som værende blandt de 3-4 mest betydende fordelinger<br />
i sandsynlighedsregningen og statistikken.<br />
Man kan vise, at middelværdien og variansen af en Poissonfordelt stokastisk variabel<br />
begge er lig med parameteren λ : EX ( ) = λ ,Var( X)<br />
=λ.<br />
I det følgende skal vi se på en vigtig anvendelse af Poissonfordelingen. I kernefysikken<br />
er det en velkendt sag, at man ikke kan forudsige, hvornår en given radioaktiv partikel<br />
henfalder, blot angive en sandsynlighed derfor. Dermed vil det være forskelligt, hvor<br />
mange kerner, der henfalder i forskellige tidsintervaller af samme tidslængde. Vi antager<br />
i det følgende, at den radioaktive kilde har en så stor halveringstid, at vi kan betragte<br />
kildens styrke som værende konstant. Lad os sige, at vi har givet en α-radioaktiv<br />
Thorium-kilde, som i gennemsnit henfalder med en hastighed af 3,4 kerner pr. minut.<br />
Lad os sige, at man betragter tidsrum af en længde på 2 minutter. Dermed vil der pr.<br />
tidsrum i gennemsnit henfalde 6,8 kerner. Ifølge formlen for middelværdien haves derfor<br />
λ= 6,8 .<br />
a) Benyt formlen ovenfor til at bestemme sandsynligheden for, at der forekommer<br />
netop 4 henfald i løbet af 2 minutter.
Change language