Normalfordelingen - matematikfysik

6
Eksempel 2
Det er velkendt, at jo højere temperaturen i en gas er, jo
hurtigere bevæger gasmolekylerne sig. Her burde man
egentligt sige: jo højere temperatur jo højere er gennemsnitsfarten,
for molekylerne i en gas med en given temperatur
har nemlig meget forskellig fart. Vi kan også i
dette tilfælde betragte et eksperiment, et udfaldsrum og
en stokastisk variabel:
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
Eksperiment: Et tilfældig molekyle udtages fra gassen.
Udfaldsrum: Mængden af alle molekyler i gassen med den faste temperatur T.
Stokastisk variabel: X angiver farten af det udtrukne molekyle.
Det viser sig, at de mulige værdier for X kan være alle tal fra 0 til uendelig, altså et helt
interval. Da X antager værdier i et helt interval, har det ikke mening at forsøge at bestemme
sandsynligheden for, at X er lig med en given værdi, fx 23,762 m/s. Hvis man
skulle gøre det, måtte svaret være, at sandsynligheden er uendelig lille for, at X er eksakt
lig 23,762 m/s, selv om det i princippet er muligt at molekylet netop har denne fart. I
stedet tillader man kun at stille spørgsmål om hvad sandsynligheden er i visse fart-intervaller.
Det viser sig, at vi kan beskrive sandsynlighedsfordelingen for X via en såkaldt
tæthedsfunktion, som er defineret på et helt interval – i dette tilfælde defineret for alle
hastigheder fra 0 til ∞ . Hvis man er meget godt inde i den fysiske disciplin termodynamik,
kan man vise, at gasmolekylernes fart v er beskrevet ved Maxwell-Boltzmann-fordelingen
med følgende tæthedsfunktion:
(1)
32
2
mv
−
2 2kT
⎛ m ⎞
f( v) = 4 π⋅⎜ ⎟ ⋅v
e (Maxwell-Boltzmann-fordelingen)
⎝2πkT ⎠
Grafen for tæthedsfunktionen for gassen Ne-20 ved 353 K
T = er afbildet på næste side.
I forrige terningeeksempel var summen af sandsynlighederne i sandsynlighedsfordelingen
for X lig med 1. I dette tilfælde er det arealet under grafen for tæthedsfunktionen,
som er lig med 1. Det vil vi dog ikke vise her.