Normalfordelingen - matematikfysik

More documents

Recommendations

Info

38 Appendiks A © Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk Bevis for sætning 10c: Ifølge definition 5 har vi for standardnormalfordelingen: ∞ ∞ ∞ 1 1 2 1 2 − ⋅x 1 − ⋅x 2 2 E( X) = x f ( x) dx x e dx ⎡ e ⎤ ∫ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − = 0 2π ∫ 2π ⎢⎣ ⎥⎦−∞ 0,1 −∞ −∞ Hvilket man i øvrigt straks kunne have sagt, da integranden er en ulige funktion! Variansen for standardnormalfordelingen findes af definition 6: ∞ ∞ 2 1 2 ∫ 0,1 −∞ 2 ∫ π −∞ Var( X ) = ( x −μ) ⋅ f ( x) dx = ⋅ ( x −0) ⋅edx 1 2 2 − ⋅x ( ) ∞ ∞ 2 − ⋅ − ⋅ 1 1 2 1 2 x 1 x 2 2 = ⋅ x e dx x x e dx 2 ∫ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ π 2 ∫ π −∞ −∞ ∞ ∞ 1 2 ∞ 1 1 1 2 1 1 2 ⎡ − ⋅x x 2 2 2 xe ⎤ − ⋅ − ⋅x = − ⋅ + ⋅ 1⋅ e dx= ⋅ e dx= 1 2 ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ π −∞ 2π 2π −∞ −∞ hvor vi i fjerde lighedstegn har omskrevet integralet med henblik på at udføre partiel 1 2 2 integration med de to funktioner x og x 1 2 − ⋅ 2 −xe ⋅ . Sidstnævnte har x − ⋅ e som stamfunktion. Det sidste integrale giver 1. Det er overordentligt kompliceret at vise dette, hvorfor vi undlader det. Lad os blot nævne, at da integralet er hele arealet under grafen for tæthedsfunktionen, skal integralet give 1. Vi skal vise det ønskede for enhver normalfordeling Ifølge sætning10a) kan en normalfordelt stokastisk variabel med parametre μ og σ, skrives på formen X =σ Z +μ, hvor Z er en standardnormalfordelt stokastisk variabel. Ifølge sætning 7 fås nu: EX ( ) = E( σ Z+μ ) = σ⋅ EZ ( ) +μ = σ⋅ 0+μ = μ 2 2 Var( X) = Var( σ Z +μ ) = σ ⋅ Var( Z) = σ ⋅ 1 = 2 σ
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 39 Opgaver Nedenstående opgaver er nummereret, så tallet foran punktummet angiver det afsnit, som opgaven hører til. Således er opgave 3.2 opgave 2 i afsnit 3. Opgave 2.0 Betragt følgende eksperiment: Et kast med to terninger, en grøn og en rød. Antal øjne betragtes. Lad den stokastiske variabel X angive forskellen på øjnene af de to terninger. Benyt idéerne i eksempel 1 til at løse følgende opgaver: a) Bestem PX= ( 3) . b) Hvilke værdier kan X antage? Bestem sandsynlighedsfordelingen for X. c) Bestem sandsynligheden for at terningernes differens højst er 2, dvs. PX≤ ( 2) . Opgave 2.1 Eksperimentet er et kast med tre mønter. Man interesserer sig for, om en mønt viser plat eller krone. Det er en pædagogisk hjælp at tænke på, at mønterne er nummererede. Lad for eksempel ( k, p, k) betyde, at mønt 1 viser krone, mønt 2 viser plat og mønt 3 krone. a) Opskriv de 8 mulige udfald. Overvej hvorfor de er lige mulige? I det følgende lader vi X være den stokastiske variabel, som angivet antallet af plat ved det pågældende kast med tre mønter. b) Angiv de mulige værdier for X og bestem sandsynlighedsfordelingen for X. Opgave 2.2 Husk Maxwell-Boltzmann fordeling for molekylers fart i en gas, omtalt i eksempel 2. Det er et eksempel på en kontinuert fordeling. Vi skal undersøge molekylernes fart i en −26 Argon-40 gas ved stuetemperatur. Argon-40 har m = 39,9624u = 6,6359⋅10 kg som atommasse og T = 293K . a) Tegn grafen for fordelingens tæthedsfunktion på din grafregner. Benyt som vindue x ∈ [ 0;1000] og y ∈ [ 0;0,004] . Beskriv kurvens form med ord. b) Bestem sandsynligheden for at et molekyles fart er mindre end 300 m/s. c) Bestem sandsynligheden for at farten af et molekyle er over 500 m/s. d) Hvad er sandsynligheden for, at farten af et molekyle er imellem 100 og 400 m/s? e) Hvad er den mest sandsynlige fart for et molekyle i gassen? Opgave 2.3 Bestem sandsynligheden for en sum på mindst 4 og højst 6 ved ét kast med to terninger?
Page 1 and 2: Normalfordelingen © Erik Vestergaa
Page 3 and 4: © Erik Vestergaard - www.matematik
Page 37: © Erik Vestergaard - www.matematik
Page 53: © Erik Vestergaard - www.matematik

Normalfordelingen - matematikfysik

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?