Normalfordelingen - matematikfysik

© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 9
Definition 6 (Varians af stokastisk variabel)
Variansen for en diskret stokastisk variabel X er givet ved følgende udtryk:
(9)
∑
2
i i
Var( X ) = ( x −μ ) P( X = x )
i
hvor der summeres over de mulige værdier x1, x2, …,
som X kan antage, og hvor μ
angiver middelværdien af den stokastiske variabel. I tilfældet med en kontinuert stokastisk
variabel X ser udtrykket for variansen således ud:
(10)
∞
∫
Var( X ) = ( x−μ) ⋅ f( x) dx
−∞
hvor f er tæthedsfunktionen. (10) er under forudsætning af, at integralet eksisterer.
Man kan definere nye stokastiske variable ud fra allerede eksisterende. Specielt interessant
er lineære transformationer Y = aX + b.
Her gælder følgende sætning:
Sætning 7
Lad X være en stokastisk variabel, og lad Y = aX + b.
Da er Y en stokastisk variabel
med følgende middelværdi og varians:
(11) EY ( ) = a⋅ E( X) + b
(12)
Var( Y) = a ⋅Var(
X)
Bevis: Vi vil kun bevise (11), og kun i tilfældet med en diskret stokastisk variabel. For
et bevis i tilfældet med en kontinuert stokastisk variabel: se opgave 3.1.
∑ ∑
EY ( ) = y⋅ PY ( = y) = ( ax+ b) ⋅ PX ( = x)
i i i i
i i
= ( ax1+ b) ⋅ P( X = x1) + ( ax2 + b) ⋅ P( X = x2)
+ …
=
=
ax1⋅ P( X = x1) + b⋅ P( X = x1) + ax2⋅ P( X = x2) + b⋅ P( X = x2)
+ …
a⋅( x1⋅ PX ( = x1) + x2⋅ PX ( = x2) + …) + b⋅ ( PX ( = x1) + PX ( = x2)
+ …)
= a⋅ x⋅ PX ( = x) + b⋅ PX ( = x)
∑ ∑
i i i
i i
= a⋅ E( X) + b
I tredje lighedstegn er der blevet ganget ind i parenteser, i fjerde lighedstegn har vi sat a
og b udenfor parentes. I sidste lighedstegn har vi udnyttet, at sandsynlighederne tilsammen
giver 1: PX ( = x)
= 1.
Dette beviser (11).
∑
i
i
2
2