Pythagoræernes sidste dage i Kroton

24
derfor symmetrien omkring linien x = y.
Vælg nu et tilfældigt (hvidt) felt. Hvilke felter kan man komme til ved hver af
de tre typer af tilladte træk? At føre stillingen ind i spillets række svarer til at
komme fra et hvidt felt til et sort. Overbevis dig om at dette altid kan lade sig
gøre. Det kan endda ofte gøres på mere end een måde - dog højst tre. Farv de
felter hvor det kan gøres på henholdsvis to og tre måder. Når du har farvet
nogle få felter vil du se et mønster så du nemt kan farve resten. Du kan nøjes
med felterne over diagonalen.
Overbevis dig om at hvis du er i spillets række, vil et træk altid føre dig ud af
spillets række.
Bevis at stillingen i spillet altid kan føres ind i rækken af talpar ved blot eet
træk, hvis den ikke er der i forvejen, og at et træk i så fald vil føre stillingen
ud af rækken (benyt: 1. ethvert naturligt tal forekommer præcist een gang i
rækken af talpar, 2. ethvert naturligt tal n forekommer præcist een gang som
differens mellem tallene i et talpar (a, b) (altså n = b-a, n er talparrets nummer),
3. hvis m < n er a m < a n (disse egenskaber bevises i opgave 7)).
Spillets række blev fundet af Wythoff i 1907, han indså at den skulle have disse
egenskaber og konstruerede den på samme måde som Hippias i hans første
konstruktion uden brug af "den gyldne allé" (side 10), først bagefter opdagede
Wythoff at den kan konstrueres ved hjælp af det gyldne snit (opgave 7).
*[Studér dette computerprogram:
label 0, 1, 2, 3;
const g = (1+sqrt(5))/2; {sqrt(x)=√x}
var h, i, j, k, m, n, n1: integer;
begin
read(m); {antal mønter i den ene bunke}
read(n); {antal mønter i den anden bunke}
if m > n then
begin
n1 := n;
n := m; {byt om på m og n}
m := n1;
end;
k := 1;
0:i := trunc(k*g);
j := i + k; {trunc(x) = den hele del af x}
if m = j then