Pythagoræernes sidste dage i Kroton

36
processen kan altså fortsættes i det uendelige. Tilfældet hvor A og B er diagonalen
og siden i et pentagram, er det tilfælde hvor antanairesis lader sig udføre
med simplest mulige geometriske overvejelser (opgave 9). Det er derfor
sandsynligt at inkommensurabiliteten af disse liniestykker er opdaget ved
udregning af deres forhold ved antanairesis. Muligvis har Theodoros brugt antanairesis
i sine beviser for at √n for visse n er irrationalt (han ville da have
bemærket en gentagelsesstruktur i talrækken k 1 , k 2 , k 3 , ..., jvf. Hippias's kæ-
debrøker, dette skyldes at tallet er "kvadratisk").
Kædebrøken ovenfor noteres [k 1 , k 2 , k 3 , ..., k n ], ki er naturlige tal, k 1 kan dog
være 0.
Enhver kædebrøk - endelig [k 1 , k 2 , k 3 , ..., k n ] eller uendelig [k 1 , k 2 , k 3 , ...] - be-
stemmer et positivt reelt tal x. Tallet x er rationalt hvis og kun hvis kædebrøken
er endelig.
Hvis kædebrøken er endelig findes x således: sæt x=kn, og gør følgende fra i
= n-1 ned til i = 1: "udregn k i +1/x og kald dette tal x".
Hvis kædebrøken er uendelig, er talfølgen a n = [k 1 , k 2 , k 3 , ..., k n ] (n = 1, 2,
3, ...) en fundamentalfølge (hvis nemlig a n = p n /q n (uforkortelig) vil q n -erne
vokse mod uendelig og |a m - a n | < 2/q 2 , hvor q er det mindste af tallene
q m og q n ), den bestemmer derfor et reelt tal x, og x kan ikke være rationalt
(a n -erne nærmer sig nemlig til x således:
a 1 < a 3 < a 5 < ... < x < ... < a 6 < a 4 < a 2 ,
og enhver brøk i intervallet ]a n , a n+1 [ har nævner større end q n ).
Eks.: Lad os udregne [1, 2 ,2, 2, 2], altså
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))).
Vi får følgende x-er: 2+1/2 = 5/2, 2+1/(5/2) = 12/5, 2+1/(12/5) = 29/12 og
1+1/(29/12) = 41/29. Hvis vi kvadrerer dette tal får vi 1.99881.... Den uendelige
kædebrøk [1, 2, 2, 2, ...] fremstiller altså nok √2. Hvis vi kalder kædebrøkens
tal x, ser vi at x+1 = 2+1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+...)))). Men da tallet i den
yderste parentes er lig hele tallet på højre side, som igen er lig x+1, ser vi at