Pythagoræernes sidste dage i Kroton

30
figuren der er A = D og B = S, vis at B er indeholdt een gang i A og A'/B' = B/
(A-B) = A/B, altså er B' indeholdt een gang i A' og A'/B' = A/B => (A'-B')/B'
= (A-B)/B => B''/A'' = B/A => A''/B'' = A/B, altså er B'' indeholdt een gang i
A'' og A''/B'' = A/B => B'''/A''' = A/B, osv.). Bemærk at kædebrøken også
følger af at g = 1+1/g.
10 Vis at forholdet mellem tilsvarende liniestykker (f.eks. sider) i på hinanden
følgende pentagrammer (side 16) er 1/g 2 .
Vis at den korteste vej fra et hjørne til centrum i pentagonsalen langs (uendelig
mange) linier i pentagrammerne netop er længden af en væg (benyt at 1 +
k + k 2 + ... = 1/(l-k) for |k| < 1 med k = 1/g 2 , eller argumentér geometrisk).
11 Vis at
2 2
f f = f + (-1)
n-1 n+1 n
2
for n = 2, 3, 4, ... (sæt H = f f - f og vis at H2 = 1 og at H = -H , du
n n-1 n+1 n
n+1 n
har da vist at formlen er korrekt for n = 2 og at den er korrekt for n+1 hvis
den er korrekt for n).
12 Vis at f n+1 /f n < g for n ulige og g < f n+1 /f n for n lige, og at
|f n+1 /f n - f n /f n-1 | = 1/f n-1 f n
(benyt opgave 11). Vis at talfølgen f n+1 /f n (n = 1, 2, 3, ...) er en fundamental-
følge. Den har derfor en entydigt bestemt grænseværdi, den har vi kaldt g.
Vis at
|f n - f n-1 g| < 1/f n
og at Pythagoras påstand på side 19 er korrekt.
13 Vis at ∑ f i (f 2n+1 /f 2n - f i+1 /f i ) (sum over i ulige < 2n) = 1 (i ligningen
f 2n f 2n+1 = f 2n+1 f 2n indsættes sumudtrykket for f 2n og f 2n+1 (opgave 3) i henh.
venstre og højre side). Argumentér for at