Simulering af musklers strækrefleks 1 Introduktion

Polarregionerne modelleres, se fig. 10 , med en kraftgenerator med værdien Γ0 siddende parallelt
med en viskøs dæmper med dæmpningskoefficienten Bs , der repræsenterer friktionen,
samt en fjeder med stivheden ksp, der repræsentere elasticiteten. Disse elementer er serieforbundet
med en fjeder med stivheden kss , der repræsenterer elasticiteten i equatorialregionen,
se fig. 10 .
Disse sammenhænge kan udtrykkes ved ligningerne
og
3 Analyse af muskel model
Ms(t) = kss (θ(t) − θ2(t)) (5)
Ms(t) = Γ0 + Bs ˙θ2(t) + ksp θ2(t) , (6)
Den matematiske model, som vi skal arbjede med i de følgende afsnit, er nærmere behandlet
i et afsnit i en lærebog om kontrolteori af Michael C.K.Khoo [2] . De grundlæggende
ligninger (1 - 3) i muskelmodellen er givet på side 2 og på side 5 .
1. Udled en differentialligning i albueleddets drejningsvinkel θ(t) udtrykt ved funktionerne
Mx(t) og M0(t).
Vi indfører nu vinkelhastigheden ω(t) ved ligningen
derved får differentialligningen fra spørgsmål 1 formen
¨ω(t) + k
B
ω(t) = ˙θ(t) , (7)
k k
˙ω(t) + ω(t) =
J J
hvor f (t) er en funktion, der afhænger af funktionerne Mx(t) og M0(t) .
f (t) , (8)
2. Indfør vinkelhastigheden ω(t) i differentialligningen fra spørgsmål 1 , og bring denne
på formen givet ved ligning (8) . Bestem derved f (t) udtrykt ved Mx(t) og M0(t) .
3. Opskriv karakterligningen for differentialligningen (8) og find rødderne.
4. Find den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning hørende til ligning
(8) , når følgende talværdier er givet: J = 1/10 , k = 80 og B = 2 .
Bestem dernæst den partikulære løsning, der opfylder (ω(0), omega(0) ˙ = 0) = (1,0) ,
og plot løsningen ved hjælp af MAPLE.
Systemet tænkes nu påvirket til tiden t = 0 med en ydre påvirkning, således at f (t) = E(t) ,
hvor E(t) er en stepfunktion (Heavisides enhedsspring) givet ved
Mat1 04/05 side 7