Simulering af musklers strækrefleks 1 Introduktion

More documents

Recommendations

Info

0 , t < 0 E(t) = 1 , t > 0 Det inhomogene led i ligning (8) kan skrives qinh(t) = k f (t) J . (9) I ethvert interval, hvor qinh(t) er kontinuert, ved vi fra eksistens- og entydighedsætningen 2 for differentialligninger, at løsningen ω(t) er kontinuert og har kontinuerte afledede af 2. orden. Hvis f (t) = E(t) , bliver qinh(t) stykvis kontinuert, hvilket betyder, at nogle af de afledede for ω(t) ikke behøver at være kontinuerte for t = 0 . Vi antager, at der eksisterer en løsning ω(t) til differentialligningen (8) i hele intervallet −∞ < t < +∞ . For at undersøge kontinuitets- og differentiabilitetsforholdene for t = 0 , ser vi på løsningerne i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0 ved at sætte ω(t) = ω−(t) , t < 0 ω+(t) , t > 0 Vi skal så bagefter stykke de to løsninger ω−(t) og ω+(t) sammen for t = 0 . Hvad sker der med løsningen ω+(t) for t = 0 ? For at besvare dette spørgsmål, integrerer vi differentialligningen (8) i et lille interval omkring t = 0 . 5. Vis, at for f (t) = E(t) gælder følgende betingelser for ω−(t) og ω+(t) ω+(0) = ω−(0) , ˙ω+(0) = ˙ω−(0) ved at integrere differentialligningen (9) et passende antal gange i intervallet [−ε,+ε] , ε > 0 , omkring t = 0 , og dernæst lade ε → 0 . Hvad bliver værdien af ¨ω+(0) − ¨ω−(0) ? 6. Find for f (t) = E(t) løsningen (stepresponset) til den inhomogene ligning (8) , når systemet er i hvile for t < 0 , og når talværdierne fra spørgsmål 4 benyttes. Plot løsningen ved hjælp af MAPLE. I virkeligheden kendes kun værdien J = 0.1 for inertimomentet, medens værdierne af størrelserne k og B er ubekendte. Disse størrelser må derfor måles. I fig. 11 på næste side er vist det målte steprespons for ω(t) , svarende til f (t) = E(t) . 7. Benyt det målte steprespon fra fig. 11 til at estimere værdier for dæmpningen B og elasticitet k , når det antages, at inertimomentet. Vink: Udled et udtryk for værdien af stepresponset i maksimum og det tilhørende tidspunkt udtrykt ved k og B . 2 Helge Elbrønd Jensen, Matematisk Analyse 1, DTU 2000, sætning 5.1, p.5.2 Mat1 04/05 side 8 .
8. Check (evt. ved brug af MAPLE), at de estimerede parameterværdier for B og k giver det målte steprespons. 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 4 Analyse af spindelmodel 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figur 11: Måling af steprespons fra muskel I det følgende vil vi alene betragte spindelen. De grundlæggende ligninger (4 - 6) i spindelmodellen er givet i afsnit 2.4.3 . Ved at eliminere størrelserne Ms(t) og θ2(t) af ligningerne kan man opnå følgende ligningen i M0(t) hvor τ og η er konstanter defineret ved ˙M0(t) + 1 τ M0(t) = β ητ θ(t) + β ˙θ(t) + β τ = Bs kss + ksp 9. Udled differentialligningen givet i (10) . , η = kss + ksp ksp Bs Γ0 , (10) . (11) 10. Argumentér for, at man i studiet af en muskelrefleks kan se bort fra leddet med det efferente input Γ0 til spindlen. Spindelen tænkes nu påvirket til tiden t = 0 med en ydre påvirkning, idet θ(t) pludselig springer med værdien 1 , således at θ(t) = E(t) , hvor E(t) er stepfunktionen givet i (9). Det inhomogene led qinh(t) i ligning (10) er givet ved Mat1 04/05 side 9
Page 1 and 2: Indhold 1. Introduktion 2. Teori 3.
Page 3 and 4: 2.2 Muskel signalets oprindelse 2.2
Page 5 and 6: Indføres hjælpevariablen θ1(t) ,
Page 7: Polarregionerne modelleres, se fig.
Page 11 and 12: 5 Simulering af strækrefleksen Vi
Page 13: Litteratur [1] JF Soechting and F L

Simulering af musklers strækrefleks 1 Introduktion

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?