download as PDF [9.4MB] - Niels Bohr Institutet - Københavns ...

KØBENHAVNS UNIVERSITET
Afd. for FYSISK OCEANOGRAFI
Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N.K. Højerslev

KØBENHAVNS UNIVERSITET
INSTITUT FOR FYSISK OCEANOGRAFI
Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N. K. Højerslev

Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N. K. Højerslev

FORORD
Den første udgave af kompendiet Vandbevægelser i kystnære områder (Systemet
Østersøen-Nordsøen) blev udgivet i 1978. Den foreliggende andenudgave er
forbedret på nogle enkelte punkter og er vel omtrentlig fri for fejl efter 10
års kritisk studenterlæsning.
Forfatteren vil mene, at kompendiet egner sig til et selvstudium, hvis man har
matematiske kundskaber på studenterniveau og almindeligt godt kendskab til
sædvanlige lineære differentialligninger såsom bølgeligningen, telegrafligningen
og Laplace's ligning.
Kompendiet må formodes at have en vis aktualitet i dag på grund af den
igangværende ambitiøse Havplan-90, der foruden undersøgelser af iltsvind og
ukontrolleret planktonvækst i danske farvande også fokuserer stærkt på,
hvorledes systemet Østersøen-Nordsøen fungerer dynamisk.
Niels Kristian Højerslev.

DET GRÆSKE ALFABET
A a
B ß
r ?
A Ô
E c
Z <
H 7Î
9 G (T3)
I i
K K
A A
M M
N i>
O o
n n
P p
Z c-
T T
T v
X *
alfa
beta
gamma
delta
epsiIon
zêta
eta
teta
Iota
kappa
lambda
my
ny
ksi
omikron
Pi
ro
sigma
tau
ypsilon
fi
ki
psi
omega

Forord
Symboler
Kapitel 1. Introduktion
Indholdsfo rtegnelse
1.1. Systemet Østersøen-Nordsøens topografi, hydro­
grafi og almene strømningsmønster
1.2. Ligningssystemer, standardapproximationer og
Kapitel 2. Østersøen
randb et ingelser
2.1. Oxygen og fosfat
2.2. Vindstuvening
2.3. Inertibevægelse
2.4« Overfladebølger
Kapitel 3. Sundet og Bælthavet
3.1. Knudsens hydrografiske teorem
3.2. Geostrofisk ligevægt
3.3. Bernoulli's teorem
Kapitel 4. Kattegat
4.1. Interne bølger
4*2. Interne bølgers instabilitet
Kapitel 5« Skagerrak
5.1. Skagerrak-hvi rvlen
5.2. Partikel- og fluorescensmålinger
Kapitel 6. Nordsøen
6.1. Tidevand
6.2. Tidevandsbølger
Kapitel 7» Optiske parametre
7-1. Definitioner
7.2. St rålingsligningen
7.3» Måling af radians
7.4. Måling af irradians
7.5« Immers ionseffekt
7.6. Bølgelængde-integre rende i rradi ans-mål ere
7.7« Absorptionsmåler
7.8. Spredningsmålere

Kapitel 8. Appendix
8.1. Vektoranalytiske begreber
8.2. Massetransport
8.3. Stoftransport
8.4» Knudsens hydrografiske teorem
8.5» Navier-Stokes ligning
8.6. Lagrange'sk og Buler'sk beskrivelse
8.7« Randbetingelser
8.8. Bølger
Kapitel 9» Afsluttende bemærkninger
Stikordsregister

Symboler
massefylde (masse pr. rumfangsenhed)
standard—oceanets konstante massefylde
salinitet, temperatur (masse pr. masseenhed » C)
salinitet og temperatur for standard-oceanet (f.eks. 35 >, 0 C)
koordinater, positive mod øst, nord og radialt udad
hastighedskomponenter i i, y, z-retningen
fasehastigheden for en bølge
gruppehastigheden for en bølgegruppe
bølgelængde
tryk (kraft pr. fladeenhed)
turbulente blandingskoefficienter for bevægelsesmængde i henholds­
vis horisontal og vertikal retning (fladeenhed pr, tidsenhed)
turbulente blandingskoefficienter for varme- eller stofmængde i
henholdsvis horisontal og vertikal retning (fladeenhed pr. tids­
enhed)
kinematisk molekylær gnidningskoefficient for vand
en vilkårlig egenskab på et givet tidspunkt og sted (kan både
være en skal ar og en vektor)
middelværdien af størrelsen q (f.eks, salinitet eller hastighed)
fluktuationen af størrelsen q
Reynolds tal
Richardsons tal
von Karmans konstant = 0,4
tyngde accélérât ionen = 9S1 m/sek.
hastighedspotentialet, breddegraden
-5 -1
jordrotationen = 7»29 • 10 sek. eller vinkelhastighed
Coriol is accélérât ionen = 2 u> sin (breddegraden)
dybden af Ekmanlaget ved havoverfladen
dybden af Ekmanlaget ved havbunden
vanddybden regnet fra middelvandstand til bund
7

Kapitel 1
Introduktion.
1.1. Systemet Østersøen - Nordsøens topografi, hydrografi og almene
strømningsmønster.
På få undtagelser nær er havdybderne overalt i systemet Østersøen - Nord­
søen mindre end 200 nu Den vigtigste undtagelse er Norske Rende, som er en grav-
sænkning i Skagerrak og Nordsøen med en maximal dybde på caJ^'O© m. Et område
med dybder mindre end 200 m benævnes enten fladsø, epikontinental hav, over-
skylningshav eller transgressionshav.
Østersøen er et såkaldt intra-kontinentalt hav med et areal på ca 3^0.000
km og en gennemsnit s dybde på 60 m.Dét har forbindelse med Nordsøen gennem
Øresund og Bælthavet, hvor tærskel dybderne er henholdsvis 7 - 8 m og 17 - 18 m.
Østersøen er opdelt i et antal bækkener, som er adskilt ved tærskler eller ud­
strakte områder med grundt vand.
Nordsøen er et randhav til det nordlige Atlanterhav med et areal på ca.
2
58O.OOO km og en gennemsnit s dybde på 75 nu Den østlige og sydlige del af Nordsøen
er karakteriseret af dybder mindre end 50 ni, medens vi i nordvestlig retning
ud mod Atlanterhavet træffer på stigende dybder op til ca. 220 m. Bundtopografien
er generelt jævn i den centrale Nordsø. Vigtigste undtagelse herfra
er Dogger Banke. Det skal iøvrigt bemærkes, at vi her ikke har bækkener som i
Østersøen.
Bælthavet og Kattegat har generelt havdybder mindre end 50 m. Den vigtigste
undtagelse herfra er Dybe Rende, som løber nordover fra Kullen langs Sveriges
vestkyst op til Norske Rendes østlige del.
Østersøen er karakteriseret ved en stor netto ferskvandstilførsel samt en
stærk kontinental klimatisk påvirkning. Vandudvekslingen mellem Østersøen og
Kattegat er kendetegnet ved en stærk udadgående brak o verf lade strøm samt en
svag og saltholdig mod Østersøen gående bundstrøm. Dette strømningsmønster, som
undertiden giver anledning til anoxide tilstande på bunden af Østersøens bækkener,
er foruden den store ferskvandstilførsel præget af tærsklernes tilstedeværelse
i Sundet og Bælthavet.
Hydrografien i Nordsøen præges derimod af den åbne og dybe forbindelse
samt den kraftige vandudveksling mellem Nordsøen og Atlanterhavet, Nordsøen er
iøvxigt ikke så stærkt klimatisk påvirket af kontinenterne som Østersøen. Dette
gælder mest udpræget for Nordsøens centrale og nordlige del.
Kattegat og Bælthavet er et typisk overgangsområde mellem Østersøen og
Nordsøen. De hydrografiske forhold bestemmes her i høj grad af atmosfæriske
9

10
forhold -samt strøm både i og uden for overgangsområdet, fordi disse parametre
især er bestemmende for opblandingen mellem Østersø- og Nordsø vandmas s erne.
.,, Fig... 1
Temperaturforskellen mellem
overfladen' og bunden i en
ä omme r situation. .

Fig. 1 og 2 viser en sommers itu at ion for systemet. Vi har præsenteret
differenserne mellem overflade- og bundværdierne for henholdsvis temperatur T
og salinitet S. Pig. 1 viser tydeligt, hvorledes kontinent al påvirkningen foranlediger
store temperatur-differenser. Dog bemærkes to undtagelser i Nordsøen
i) ved Den engelske Kanal er differensen lille, fordi vi har en stærk strøm -
og dermed opblanding - i området, samt ii) ved Dogger Banke er differensen ca.
1 C, fordi dybden her er ca. 20 m. I Fig. 2 bemærker vi især de store salinitetsdifferenser
i Bælthavet og Kattegat samt de små differenser i Den botniske
Bugt og Nordsøen. Særlig lave differenser observeres i Nordsøens nordlige og
vestlige del.
Fig. 3 og 4 viser en variation af T og S i overfladen taget på årsbasis.
Fig. 3 viser tydeligt kontinenternes indvirkning på overfladetemperaturdiffe-
renserne, idet disse øges mod øst. I Fig. 4 er alle salinitetsdifferenser over
•^ promille at finde i Bælthavet, Kattegat, Skagerrak samt ud for Norges vest­
kyst. Dette hænger sammen med, at alle ovennævnte områder er blandingsområder,
11

12
&- *pp^
iff •

som rummer variable mængder af Østersø / Nordsø - vandmasser. I Kattegat skyldes
den årlige sal initets variât ion skiftende meteorologiske forhold. I Skagerrak og
den østlige Nordsø skyldes variationen i overfladesaliniteten hydrografisk "be­
tingede ændringer i Den norske Kyststrøna - en brak overflade strøm, som fra Øster­
søen løber ud i Kattegats østlige del, og dernæst parallelt med Dybe Rende og
den norske kyst.
Jsopteihm EintriHszellen der Extreme
5S^S3Ss Timperaiur -•••- Temperatur
Salzgehalt -•• Salzgehelt
Fig. 5> Iten vertikale fordeling af temperatur og salinitet i
løbet af et typisk år i :
a) Centrale Nordsø
b) Engelske Kanal
c) Kattegat
d) Østersøen ved Bornholm
I Fig. 5 er aet muligt at se hvorledes T og S varierer med dybden og års­
tiden i systemet Østersøen - Nordsøen. Vi bemærker især udviklingen af sommer-
termoklinen for Østersøen, Kattegat og Nordsøen. For Den engelske Kanal ser vi
derimod, at T og S kun varierer lidt med dybden året igennem - d.v.s. ingen
sommertermoklin eller haloklin kan iagttages. Disse forhold skyldes som før nævnt
den stærke tidevands strøm i området.
13

14
Pig. 6. Klassifikation af hydrografiske regioner i systemet Østersøen
- Nordsøen.
På "baggrund af de tidligere omtalte hydrografiske forhold i systemet Østersøen
- Nordsøen, kan vi inddele området i hydrografiske regioner. Dette er foretaget
i Fig. 6, hvor vi bemærker, at de 2 hovedklasser A og B sondrer mellem
fraværet eller tilstedeværelsen af en haloklin. En sådan hydrografisk klassifikation
giver et i mange henseender godt overblik, men rummer naturligvis få
detaljer. F.eks, optræder klassen B i både Østersøen og Hordsøen (samt i det
østlige Atlanterhav) selv om salinitetsforholdene i disse 2 områder er vidt
forskellige.
Vandudvekslingen mellem Østersøen og Nordsøen er foruden den store fersk­
vands tilførsel til Østersøen domineret af atmosfæriske forhold såsom vind og
barometerstand, hvor det ikke alene er den lokale vejrsituation, som foranlediger
bestemte strømforhold i Østersøen, Sundet og Bælthavet og Kattegat.
Den lokale vinds indflydelse på havstrømme mindskes i lukkede bassiner,
hvad Østersøen i mange tilfælde kan regnes for at være. Imidlertid øges vindens
indflydelse med det såkaldte fetch (d.v.s. den længde regnet langs havoverfladen
over hvilken vinden kan blæse). Dette betyder i Østersøens tilfælde, at kun

lokale nordlige eller sydlige vinde kan påvirke strømmønstret. I dette tilfælde
bør Østersøen ikke regnes for et lukket bassin. Når f.eks, vinden er nordlig,
strømmer store mængder brakvand ind i Kattegat hvorved saltfronten ved havover­
fladen rykker nordpå ud i Kattegat - se Fig. 7 og 8. For alle andre vindretnin­
ger end den nord- og sydlige opfører Østersøen sig som et lukket bassin hvad
Fig. 7» Overflade strøm unde r østen- Fig
vind styrke 6. På grund af vin
ningen presses vandmasserne
stersøen nordpå gennem Øres-
Bælterne og Kattegat.
1 . 8. Overflade saltholdighed efdstuve-
ter^længere tids nordgående strøm.
fra 0- Fronten mellem Østersøens og Katte -
and, gats vandmasser findes nu i det nordlige
Storebælt og nord for Øresunds
udløb.
angår vindens påvirkning af cirkulationsmønstret, der generelt er cyklonisk.
Den lokale vejrsituation kan næppe influere kendeligt på havstrømmene i
Sundet og Bælthavet, fordi disse farvande er forholdsvis små og snævre, hvorved
vindens fetch bliver lille. Desuden kan strømpassager ikke overalt foregå uhindret.
Kattegat udgør på en måde et mellemliggende tilfælde til de 2 førnævnte
områder. Det er næsten lukket mod syd men forholdsvis åbent mod nord, hvor vandudveksling
uhindret kan finde sted på grund af tilstedeværelsen af Norske Rende.
Vindens fetch er - uden at være stor - størst i nord-sydgående retning. Den
lokale vinds påvirkning af strømforholdene overskygges derfor i høj grad af
vindforholdene over enten Østersøen som tidligere set eller over Nordsøen.
Det generelle cirkulationsmønster for Nordsøen er angivet i Fig. 10. I
dette komplicerede mønster bemærker vi, at Den jyske Kyststrøm i middel transporterer
vand ind i Kattegat. Denne transport finder ikke sted, som vi har set
15

16
"SV, ,' * ; . vz~
Fig, 9« Overflade st rømme i Østersøen, Pilenes længde angiver
strømhastigheden i knob, Puldt optrukne pile viser strømme med
et sikkert beregningsgrundlag, medens de stiplede pile henviser
til vurderede strømme.

^Yî^T* T l,"^NORGE T\
ENGLAND ))J '/ )\J
4//Ä
Fig. 10. Den gennemsnitlige overflade strøm i Nordsøen. I den
sydlige Nordsø findes Kanal strømmen, der øst for Dover modtager
store ferskvandstil skud fra Themsen, Khinen og de store tyske floder.
Strømmen ændres herved til en kyst strøm med en salinitet under
34 °/oo. Kyststrømmen fortsætter mod nord langs Hollands, Tysklands
og Jyllands Nordsøkyster. En gren af indstrømningen til den nordlige
Nordsø løber mod syd ud for Storbritanniens østkyst, til den syd
for Dogger Banke slutter sig til Kanalstrømmen. En anden gren af den
nordlige indstrømning bøjer mod øst, nord for Dogger Banke, og forener
sig i det sydlige Skagerrak med den nordgående kyststrøm langs
Jyllands vestkyst. Afløbet fra Nordsøen sker gennem den Norske Strøm,
der ud for Norges vestkyst fører vandmasserne fra Nordsøen ud i Norskehavet
.
17

18
det i Fig. J» ved nordlig vind. Ved vestenvind over Nordsøen, som er hyppigst
forekommende, presses derimod store mængder vand ind i Kattegat som vist i
Fig. 11 uafhængig af det lokale vindfelt over Kattegat. Dette skyldes blandt
mange forhold, at vindens fetch over Nordsøen er stort, tilstedeværelsen af
Norske Rende samt, at Nordsøen er et randhav med åbne forbindelser til oceanet.
Fig. 11. Overfladestrømmen i Kattegat
og Bælthavet under vestenvind
styrke 6. Vinden presser Nordsøens
vandmasser ind i Skagerrak og.blæser
overfladevandet bort fra den vestlige
Østersø. Derved opstår et fald i
vandspejlet fra Skagerrak til Østersøen,
og sydgående strøm bliver
fremherskende gennem Kattegat og
Bælterne.
Fig. 12. Overfladesaliniteten
efter længere tids sydgående strøm.
Fronten mellem det ret salte Kattegatvand
(s alinit et over 18}
og det ferskere Østersøvand (salinitet
mindre end 10) findes i
den sydligste del af Øresund og
øst for Gedser Rev.
Samtidig med at nordsøvandet presses ind i Kattegat og videre ind i Østersøens
bækkener, hvorved vandet i disse fornyes, rykker saltfronten .mod syd -
helt frem til tærsklerne ved Drogden og Darsser. Men vi må omvendt konstatere
at overflades al initeten for Kattegat samtidig er faldet - se Fig. 8 og Fig. 12.
Fig. 14 og 15 viser middelværdierne af overfladetemperaturen i Nordsøen
for henholdsvis en sommer- og vintersituation. Vi skal specielt notere tilstedeværelsen
af områder med temperaturfronter. Den permanente front i den østlige/
sydlige Nordsø er kontinentalt betinget. En lignende front ved Englands østkyst
— beliggende mellem "Scottish coastal" og "North Atlantic", Fig. 13 -
iagttages derimod kun for sommersituationen. Der skal i den forbindelse erindres
om at indtrængende nordatlantisk vand er relativt koldt om sommeren men varmt

Fig. 13. Nordsøens vandmasser i en sommersituation.
19

20
Fig. 14. Middelværdi af overfladetemperaturen
i Nordsøen for august. De højeste
temperaturer findes på denne årstid
i den sydøstlige del af Nordsøen,
hvor der om vinteren findes de laveste
temperaturer.
Pig. 15. Middelværdi af overfladetemperaturen
i Nordsøen for februar. De
højeste temperaturer findes i de områder,
hvor indstrømningen af Atlanterhavsvand
finder sted.

om vinteren. Tilstedeværelsen af indtrængende varmt nordatlantisk vand i Nord­
søen om vinteren demonstreres klart af Fig. 15, hvor vi ser et tungelignende
forløb af f.eks. 6 -isotermen. I Fig. 16 observeres denne tunge af nordatlan­
tisk vand igen tydeligt - se f.eks. 35 isohalinen.
Fig. 16. Overfladesaliniteten for
Nordsøen i juni måned. Atlanterhavsvand
med høj salinitet trænger ind
i Nordsøen både gennem Den engelske
Kanal og gennem farvandet nord for
Skotland.
I Fig. 17 er givet et eksempel på et hydrografisk vertikal snit i en som­
me rsituat ion for Nordsøen. Her ses at være en sommertermoklin, helt i overens­
stemmelse med hvad tidligere er sagt herom. I et andet vertikal snit lagt paral­
lelt med førstnævnte, observerer vi igen en sommertermoklin omkring 10°C. Par­
tikelmålinger i dette snit viser, at den maximale koncentration, når undtages
bundværdierne ved Austern Grund, opnås i og omkring 10 -isotermen - se Fig. 18.
Dette skyldes at turbulent udveksling af stof hæmmes ved en stabil lagdeling.
Desuden vil den levende plankton, som udgør hovedparten af det suspenderede ma­
teriale, have vanskeligt ved at synke ned i de underliggende, tungere vandmasser.
21

22
RI
SO
too
100-
Fig. 17. Havtemperaturen for august i et vertikalsnit tvære
over Fordsøen fra England til Blåvands Huk.
f^u^SK^s^yyyyiAfiAÆ^
'WËÊÊÊÊ
J V_ nf\ /s i
L >^.IRad«v. /Ground
w
7Ling Bank
^w^btFiieh« Bank.
K|^ 41111
W Aui'tirn Ground
• '0J5
0. nautlmil«. 50
Pig. 18. Vertikal snit gennem Fordsøen, som viser fordelingen af partikulært
materiale. Snittet er lagt mellem den norske og den skotske
kyst.

1.2. Ligningssystemer, standardapproximat ioner og randbetingelser.
Bevægelsesligninger har følgende formelle udseende :
~+ 2u> x v = grad p+?+D-îcg ( 1 • 1 )
dt p
Kontinuitetsligningen for massens bevarelse kan udtrykkes som
|f + div(p v) - 0 ' (1.2)
og havvandets tilstandsligning lyder formelt
hvor
p = p(S,T,p) (1.3)
|p = (lydhastigheden ~ 1500 m sek~ 1 )~ 2 (1.4)
Diffusionsligningeme for både salinitet og varme (temperatur) kan angives på
formen
ff = V(KV q) + P (1-5)
hvor q - S,T og P er et kildefelt, (1.1) - (1.5) giver i alt 7 ligninger med
7 ubekendte, som er : hastigheden v=iu + jv + kw (d.v.s. her er 3 ubekendte
u, v, w), trykket p, massefylden p, temperaturen T og saliniteten S.
ÜJ er jordens rotations vektor, F alle på en væskedel udefra virkende kræfter(tyngdekraften,
trykgradientkraf ten og Corioliskraften dog undtaget)0g Ï) alle de kræfter,
som udelukkende modvirker F. (1.1) - (1.5) er behandlet mere detaljeret i
Appendix.
For at kunne behandle (1.1) - (1*5) beskriver vi hyppigt disse ligninger
i et treretvinklet kartesisk koordinatsystem (x, y, 2), hvor x-aksen løber mod
øst, y-aksen mod nord og z-aksen radiært væk fra centrum Î
23

24
I et sådant koordinatsystem kan (1.1) - (1.5) skrives :
bu
bt T "" bx " * by ' " bz
up + V|H + W ^ _ 2tü(v sin ep- w cos ep) = - JL j£ + F + D (1.6)
p bx
bt bx by bz Y P by y y
t>t bac by &z Y pöz B B Z V '
bo b(o u) i b(p v) , b(p w) „ 0 (1#9)
bt bx • by bz
bS bS bS bS b /„ bSv b/_ bS\ b/«. bS\ /., in\
bt + u bx- + v b7 + w bi = bx< K s,x 5î) + b7 (K sl3T b? + b^ K s,z bV < 1 - 10 >
bT bT bT , bT
bt bx by bz
bT,
bx^,x bx J + by^T,y by ; bz v ; + r (1.11)
N\z bz

Ønsker vi at beskrive (1.6) - (1.11) i et andet koordinatsystem gøres dette ved
sædvanlig koordinattransformation som beskrevet i afsnit 8.5.
Vi vil herefter foretage visse standardapproximationer, som vil være gene­
relt anvendelige i meso-skala bevægelser på forholdsvise små vanddybder t
Da v sin ep » w cos ep på mellembredder sættes Corioliskraften i (1.6) lig
med - 2«) sin ep * v = - f v. For meso-skala bevægelser varierer leddet sin ep
ikke meget d.v.s. bf/by = ß ~ °* Vi vil med andre ord antage at Coriolispara-
meteren f er konstant. Coriolisleddet i (1.8) har samme størrelsesorden som i
(1.6), men da forholdet g/2co cos ep • u typisk er større end 10 , vil vi ignore­
re dette led.
Dybderne i kystnære farvande er som regel mindre end 200 m, d.v.s. hav­
vandets massefylde vil ikke ændres stort som følge af trykket, hvorfor tilstands­
ligningen for havvandets massefylde kan skrives
P = p(S,T) (1.12)
For mange praktiske formål gælder at p findes ved temperaturen T givet
0 r max max
ved sammenhængen
T = 4 - 0.216 . S C.* C 3 (1.13)
max . »- #-
og havvandets frysepunkt ved
T frys. =-°*°54 -S t° 6 l C-H)
For meso-skala bevægelser er længdeskalaerne X, Y meget større end dybdeskalaen
Z. Desuden er de horisontale hastigheder u, v også meget større end vertikal-
hastigheden w.
Molekylær gnidning ignoreres fuldstændigt, når turbulent gnidning op­
træder. Vi ansætter, at de turbulente gnidningskoefficienter er uafhængige af
sted og tid, hvilket er en betænkelig men oftest en nødvendig antagelße at skul­
le foretage. Det skal bemærkes, at de turbulente gnidningskoefficienter meget
vel kan være forskellige, men at vi sætter de horisontale størrelser lige store.
Molekylær diffusion af varme og salt ignoreres tilsvarende, når vi har den
turbulente diffusion. De turbulente diffusionskoefficienter behandles analogt
til hvad ovenfor er anført angående de turbulente gnidningskoefficienter.
Endelig skal vi for en ordens skyld nævne at tyngdeaccelerationen g an­
tages konstant uafhængig af stedet (x, y, 2).
Vi vil ofte løse vore ligninger (1.6) - (1.11) i 2 dimensioner og under
25

26
yderligere forenkl tage r end de ovenfor nævnte. Hvilke, det drejer sig om, vil
altid fremgå i hvert enkelt tilfælde.
Til sidst skal vi se på nogle generelle randbetingelser gennemgået detal­
jeret i afsnit 8.7s
For et frit vandspejl z = Tl(x, y, t) gælder :
medens for en fast rand z = f(x, y)
w = u|£ + v ^ (1.16)
bx by­
der udtrykker, at normalhastigheden ved en fast rand altid er lig med 0. I en
væske hvori gnidning forekommer vil tangentialhastigheden i grænselaget mellem
2 medier være den samme. Dette behøver ikke at være således i en gnidningsfri
(ideal) væske. Ovennævnte kaldes de kinematiske grænsebetingelser.
De dynamiske grænsebetingelser for en væske udsiger blot, at trykket på
hver side af en bevægelig flade skal være det samme, hvis kapillarkræfter kan
ignoreres - se afsnit 8.7»
Vindkraften pr. fladeenhed T (vind-spænding) ved havoverfladen kan skri­
ves på formen
Z OZ Z 02
og sal tf luxen m (x, y, t) ved havoverfladen som
m(xf y, t) = S(E - P) - p K^ || (1.18)
hvor E er fordampning og P nedbør i masseenheder pr. tids- og fladeenhed. Ved
en fast rand har vi derimod ingen saltflux eller flux af en lignende konserva­
tiv stofegenskab q (d.v.s. en egenskab, der ikke kan opstå eller forsvinde).
Vi har altså
m(x, y, t) = PKS)Z||=0 (1.19)
hvor n er rettet vinkelret væk fra randen.

2.1. Oxygen og fosfat.
Kapitel 2
Østersøen
I det åbne hav vil der næsten altid findes opløst oxygen i hele vandsøj­
len. Dette er derimod ikke altid tilfældet i delvis lukkede havområder af ty­
pen intrakontinentale have, bugter og fjorde. I sådanne områder kan en stor
planktonproduktion ved havoverfladen senere på året falde til bunden, hvor
oxygenforbrugende forrådnelsesprocesser kan fjerne oxygen fra bundvandlaget.
Denne planktonproduktion kan blive yderligere stimuleret ved udi edel se af stærkt
næringsholdigt spildevand. Vi taler da om, at havområdet (recipienten) er ble­
vet entrofieret; den form for efterfølgende forurening vi oplever ved hav­
bunden kaldes sekundær, fordi den først optræder ved det andet led, forrådnel­
sen.
Delvis lukkede bassiner har desuden en træg vandudveksling, hvilket na­
turligvis også influerer på oxygenforholdene. Det er en kendsgerning, at stag­
nant vand ofte er råddent. Endelig kan stabilitetsforholdene i vandsøjlen spil­
le en stor rolle for den vertikale vandudveksling og dermed for oxygenforhold­
ene ved bunden, idet der skal præsteres et vist arbejde for at løfte bundvandet
opad. Derved skal kinetisk energi i form af havstrømme konverteres til poten­
tiel energi. Hvis bundtopografien virker hæmmende på havstrømmene, hvilket f.eks,
vil være tilfældet bag tærskler, i bunden af bækkener o.l., kan å.erms naturlig­
vis også betinge anoxide forhold i bundvand!aget.
I Østersøen gør samtlige førnævnte faktorer for dannelsen af et anoxidt
miljø i bundvandlaget sig gældende, d.v.s. den menneskeskabte forurening er
langtfra eneansvarlig for den manglende oxygen i bækkenerne. Bundsedimenter
viser klart, at vi i det såkaldte varvige 1er (efter svensk : varv = omgang),
kan finde mørke lagserier, som fortæller om fortidige anoxide forhold. I disse
sedimenter tillader komstørrelsesfordelingen nemlig en fastlæggelse af sedi-
mentations-årstidspunktet og dermed en fastlæggelse af sedimentations-kronolo­
gien. Sedimentationen fandt sted for 5-6000 år siden; d.v.s. længe før Øster­
søens kyster var nævneværdigt beboet (De indledende studier af disse forhold
fandt sted på den tyske Pommerania - ekspedition i 1871, men pågår stadigvæk
den dag i dag). Dette betyder naturligvis ikke, at den sekundære forurenings
betydning for de anoxide forhold kan ignoreres. Måske tværtimod, fordi Øster­
søen i forvejen er besværet med andre for oxygenkoncentrationen så hæmmende
naturlige faktorer.
27

28
Østersøens område inddeling er vist i Fig. 19« Vi bemærker de mange bække­
ner og dyb som findes. Ydermere ser vi i Pig. 20 detaljerne i bundtopografien.
Det fremgår klart, at vandudvekslingen i vort Østersø - Nordsøsystem er hæmmet
på grund af højtliggende tærsklers beliggenhed i Sundet og Bælthavet.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bottenviken
N Bottenhavet
S Bottenhavet
Alandshav
Skargårdshavet
Finska viken
Rigabukten
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
N Centralbäckenet
Faröbäckenet
Gotland s jupet
Danaigbackenet
Landsorts djupet
V Gotland s bücke net
Bornholms bàckenet
15.
16.
17.
16.
19.
Fig. 19. Østersøens område inddeling
Arkonabäckenet
Öresund
BSlthavet
V Kattegat
Ö Kattegat
De hydrografiske forhold i Østersøen er givet i Fig. 21. Vi har både en
såkaldt primær og en sekundær haloklin (efter græsk : halo=salt, klin=hældning)
samt en sommertermoklin, der omtrentlig "falder sammen med den primære haloklin.
De øvre vandlag har følgelig en lille turbulent udveksling med de nedre - især
om sommeren. Indenfor dette øvre vandlag haves planktonproduktionen.
Fotosyntesen (planktonproduktionen) er en fotokemisk proces, hvor C0_ og
E-O omdannes til organiske stoffer under udvikling af frit 0_.Bruttoreaktionen,
der fører til glucose, kan formuleres :
6 G02 + 6 HpO + 674OOO cal
C 6 H 12°6 + 6 °2
assimilation
respiration
(2.1)

Fig. 20. Bundtopografien i Kattegat, Bælthavet og Østersøen,
ledelinier for 10m, 25m, 50m og siden for hver
50. m er indtegnet.
29

30
Overflade
Primær
haloklin
Dybvand
Sekundær
haloklin
Bundvand
t°C
Vinter
S-
11 - 13
/ / / / / ; / / / / / / / '/ / /
SUMMER
Sea surface
Warm surface taver
WINTER
Low salinity Surface water
Temp, up to above 20*C Cold
Salinity 6-7 ' Low salinity
_ _7 e £ m 5 c J.' ne _1~30 m (Winterwater) ~
i
temperature 0-3*C
salinity 6
Primary halocline 60-70 m
Peep water
Warmer than the winlerwater
Higher salinity
Temperature 4-5 *C
Salinity 8-12
Secondary halocline 70-400 m
Bottom water;
The highest salinfty
Somewhat higher lemp. than the deep water
Température 4-5*C
Salinity tl-13
Sea bottom
/J/s/ / u n n n ) n ) n )?}j
Pig. 21. De forskellige termokliner og halokliner i den centrale
del af Østersøen.
t°C
Sommer

Ved forsøg med isotopmærket CO« kan det vises, at alt det udviklede oxygen stam­
mer fra vandet. Oxygen kan altså tilføres overfladelaget gennem fotosyntese men
desuden også gennem diffusion af gasser fra den overliggende atmosfære.
Tabel 1. Atmosfæriske gasser i ferskvand ( S=0^ , målt ved 760 mm Hg
ml/l
i/o
0°C
30°C
0°C
30°C
oxygen
10.31
5.6O
35.00
35.20
nitrogen
18,11
10.74
61.50
63.8O
argon
O.54
0,30
1.80
I.80
kuldioxyd
0.51
0.20
1.70
1.20
total
29.47
16.84
100,00
100,00
Tabel 1 viser maximal mætningen af gasser i vandet når stationær tilstand er
indtruffet for en naturlig situation. Ved lave belysninger, under ca. 1 fo af
det indkommende dagslys, balancerer assimilationen med respirationen. Derved
bliver oxygenproduktionen lig med nul ifølge (2,1 ). Dette indtræffer i Øster­
søen over 25 meters dybde, hvilket fremgår af Fig. 22.
Fig. 22. Farveindeks og dybden af 10 $- og 1 ^-niveauet for dagsbelysningen i
den grønne del af spektret. 100 ^-niveauet er identisk med havoverfladen.
31

32
I det samme vertikalsnit har vi undersøgt part ikel fordel ingen. Store kon­
centrationer forekommer igen over 25 meters dybde og indikerer tilstedeværelsen
af levende stofproducerende plankton. De store koncentrationer af partikulært
materiale ved bunden skyldes forekomsten af stagnant vand som følge af bund­
topografien. Betingelsen for udvikling af anozide forhold er hér klart tilstede.
STATION 1 2 3 4 5 6 7 B 9 10 11 12 13 V. 15 16 17 »8
Fig. 23* Vertikalfordelingen af dæmpningskoefficienten cv-- m~ i
snittet S2 - S8 (se Pig. 22).
5

January 1969
O, ml/l
Gotland Deep
Fig. 24. Længdesnit gennem Østersøen fra Arkona Bassinet
til mundingen af Den finske Bugt, som viser vertikalfordelingen
af oxygen og hydrogensulfid i januar 1969.
January 1970
Gotland Deep
Fig. 25. Samme snit som i Fig. 24 visende oxygenfordelingen
i januar 1970. Bemærk at hydrogensulfiden er forsvundet
fra området.
33

34
leve eller have sine gydepladser.
Pig. 26. De svovlbrint e-bel äste de dybtliggende områder i farvandene omkring
Gotland for oktober 1972. I de mørke områder er koncentrationen større end
2 ml pr. liter og mellem disse og de ydre isolinier er den 0 - 2 ml pr. liter.
Forrådnelsesprocesser er ledsaget af et stort oxygenforbrug. Har vi så­
ledes en stor planktonproduktion, som ikke konsumeres fuldstændigt i højere
trofiske niveauer, vil overskudsproduktionen falde til bunden. Indholdet i det­
te materiale (detritus) af fosfor, nitrogen og carbon kan gennemsnitlig angives
ved atom-forholdet :
C : N : P = 106 : 16 : 1 (2.2)
Den kemiske sammensætning af detritus kan vi formelt skrive som
(CH2O)106 (BH3)16 H3P04 (2.3)
Nedbrydningen tager sin begyndelse i en hydrolytisk frigørelse af ammo­
niumioner HH. og fosfat-ioner POT"" samtidig med en biokemisk oxidation af
glucose. Processerne kan eksemplificeres ved de kemiske reaktionslignixiger :

(CH2O)106 (lffi3)l6 H3P04
106 CH„0 + 16 HH, + H,P0„
2 3 3 4
106 CH20 + 106 02
» 106 C02 + 106 HgO
16 HH' + 32 02 •* 16 MO + 16 H20
hvor HH + H20 ( ' HH* + OH"
Adderes (2.4) - (2.6) fås
(CH2O)106 (NH3)16H3P04+138 02
106 C0„ + 122 H„0 + 16 H¥0, + H^KK
2 2 3 3 4
Herved ser vi, at en fuldstændig oxidation af organisk stof indeholdende ét
35
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
gram-atom fosfat fordrer 276 gram-atomer oxygen d.v.s. 4,4 kg luftformig oxygen,
c g
Dette svarer til den mængde opløst oxygen, der findes i mellem 10 og 10 liter
oxygenrigt overfladevand, hvilket indses ved at benytte tabel 1 og Avogadro's
lov. led disse oplysninger in mente er det naturligt at betragte den organiske
partikulære mængde fosfat som en vigtig parameter for oxygenkoncentrationerne
i Østersøen.
Der er korrelation mellem det partikulære fosfat og den uorganiske opløs­
te fosfat, som findes i Østersøen. Koncentrationen af det opløste uorganiske
ae
0.7
06
5 04
05 -
"O*
f 0.3 J-
Centrala Ösiersjön
fosfat-fosfor 0 10 m
1950-1970
1
Al i i
fiili 60 65 70
Fig. lOS.Fosfathaltens variationer i Östersjöns ytvatten frân J9S0 till 1970.
Fig. 27. Fosfatindholdet i Østersøens overfladevand i tiden 1950 til 1970.
Bemærk de store variationer.

36
90 tf
3 o
V2-0
56 57 M 5ä S3
£3 63 6- 55 Ê5 67 6? ?rHr b3 t
Fig- 28. Fosfatindholdet i Østersøens dybvand (middeltal af fosfatværdierne
fra Landsortdybet på 100, 200, 300 og 400 m dybde) fra perioden 1954 til
197O. En enkelt værdi fra 1938 er medtaget.
fosfat i Østersøen påvirkes af den mængde fosfat, som forekommer i husspilde­
vandet - se Tabel 2. Vi ser, hvorledes der er en tendens til stigende fosfat­
koncentrationer. Dette understøttes af undersøgelser over fosfattransporter i
Tabel 2. Beregnet udledning af fosfor i ton pr. år til Kattegat, Bælthavet o{
Østersøen.
Område Direkt Indirekt Totalt
Bottenviken
Bottenhavet
Finska viken
Egent liga Os ters jön
Summa
Bält havet
Oresund
Katt egalt
Totalt
290
780
5 050
3 880
10 000
1240
1960
890
14 090
220
600
870
2 370
4 060
2 800
350
400
7 610
510
! 380
5 920
6 25»
14 06O
4 040
2310
1290
21700
Område Finland Sovjet Sverige Üvriga
Bottenviken
Bottenhavet
Finska viken
Egenlliga Östersjün
Totalt
280
800
1470
2 550
4 550
1 840
6 390
230
580
2 700
3 510
Kattegat i et snit mellem Frederikshavn og Göteborg. Ved "benyttelse af strøm­
målinger og fosfatbestemmelser, er det muligt at "beregne netto-fosfattrans-
1700
1700

porten ud i Skagerrak til 25575 "tons total fosfat (opløst + partikulært) pr, år.
.Pig. 29. Målestationernes "beliggenhed til bestemmelse af vand - og materialetransporten
gennem Kattegats nordlige del.
Current, cm/s, towards 162' degrees
7i 08 27
Pig, 30. Middelstrømforholdene for snittet angivet i Pig. 29-
37

38
^^^^rKr^fJ^^
* — ( 1 — ^
I "
^^v^/H^^^A^^^/KA-v^
-f-*—4
r^^^s^^^Hyw^y^M/W^
1 Feb 1 Mor 1975
Fig. 31. Den totale fosfatmængdes variation med tiden og dybden på snittet
angivet i Fig. 29»
Corrected transports of Tot.P Itons/yeor)
74 08 27
IN 87 8i0
OUT 113 415
DIFF -25 575
Fig. 32. Den totale fosfatmængde transporteret gennem snittet angivet i Fig.
29 i løbet af et år.
O m
20 m
Gflttborg

Oxygenkonsentrâtionen er taget som helhed for Østersøen faldet i løbet af
dette århundrede. Dét kan der være flere årsager til, hvoraf den ene - den øgede
tilførsel af spildevand til Østersøen - allerede er nævnt, nedgangen i oxygen
"hænger også intimt sammen med ændringen i de hydrografiske forhold. Således er
både gennemsnits-saliniteten - og temperaturen steget i løbet af det sidste år­
hundrede. Øgningen i salinitet leder til øgede stabilitetsforhold, som for­
ringer mulighederne for udveksling af oxygen mellem overfladelag og dybere lig­
gende vandmasser - se Fig. 33« Øgningen i temperatur forringer generelt taget
Fig« 33 • Vertikal fordel ingen af temperatur, salinitet og ilt på en station,
hvor dybden til bunden er stor. Stationen ligger i den nordlige del af
Østersøen, og målingerne hér er foretaget i tiden :
(a) maj 1906, (b) Juli 1939 °g (c) juni 1967.
stabilitetsforholdene - og trækker dermed i modsat retning af saliniteten. Imidlertid
skal det bemærkes, at overfladetemperaturen ikke er omfattet af den generelle
temperatur-stigning. Stabiliteten omkring den primære haloklin er med
andre ord øget jævnt over de sidste 100 år, d.v.s. oxygentransporten gennem denne
må være gået ned. I de nedre lag hvor både salinitet og temperatur er gået
op, er det vanskeligt at sige, hvilken indflydelse stigningen har haft på stabiliteten.
Vi kan derimod anføre, at den generelle temperaturstigning er ledsaget
af en afdunstning af oxygen, fordi 0„-opløseligheden i vand falder med
stigende temperatur.
39

40
3.0
Landsortsdjupei F 76 Fig. 93. Syrenedgången i Lands-
0 mt/[
300 m 1890 -1970
ortsdjupets d)up vatten från 1890
till 1970.
s: v."
j i ' J L
V.
1890 1900 10 20 30 40 50 60 70
» Ar
Pig. 34. Iltkoncentrationens tidslige variation på 300 m dybde i Landsortdybet,
hvis maximal dybde er 475 m.
6.0
5.0 l-
1*4 .
30
Landsortdjupet
F 78
T*C
200-«9 m
* * i *
.s fi Ä
Su ' v *• *
1 '
1870 80 90 1900 10 20 30 40 50 60 70
»• År
Pig. 35. Temperaturens tidslige variation i vandlaget 200 m - 459 m i Landsortdybet.
Temperaturen er i gennemsnit øget med 1 grad i løbet af et sekel.

14,0
T)5
'V
^ "
'•£
— ** f" ;
".-.
Gotlandsdjupet
S
1 under 200 m
• .* v
il - 1 -, , 1 —
I960 1965
Pig. 36. Sal ini tetens tidslige variation i Gotlandsdybet under 200 m. Pilen,
ud for hvilken der står et ettal, viser det store saltvandsindbrud til Østersøen
i december 195^j som først nåede Gotlandsdybet medio 1952.
fl>.
6s
• • *
t .
Ålands hav
F 64
S
1898-1966
250-300 m
• .. . * /
• /
:./.r •
y •
-./ •
6o ...
' 1900
„ ii
10
1 i , —..I
30 40
-. År
i L
Pig. 37- Salinitetens tidslige variation for Ålandshavet i vandlaget 250-300 m.
41

42
Vi har hidtil kun "behandlet den sekundære forurening, ikke alene fordi
den oceanografisk set er mest interessant, men også for at demonstrere at pres­
se-anskrigene omkring de undertiden foruroligende lave oxygen-koncentrationer i
Østersøen kan være et udslag af naturens luner. For ikke at give indtryk af den
rene idyl er Fig. 38 imidlertid medtaget. De konsekvent høje DDT værdier skyl­
der udelukkende deres oprindelse fra Østblok-staterne. Forurening af miljøet
er givetvis et generelt fænomen, der ikke "begrænser sig til en bestemt sam­
fundsform. Således hævder f.eks, også U-landene deres ret til at forurene mil­
jøet i lighed med, hvad I-landene tidligere har gjort - og fortsat gør. Argu­
mentet går på, at øget velstand kun opnås gennem øget produktion til lavere
priser. En måde til nedbringelse af produktionsprisen ligger i at benytte ud-
gangsprodukter, som først og fremmest udmærker sig ved deres prisbillighed
uden skelnen til deres indflydelse på miljøet; en anden måde kan gå ud på at
lade urenset industrispildevand direkte ud i recipienterne. Eksemplernes antal
er in-legio og deres løsning har vi desværre gjort til rene politiske anliggen­
der. Afslutningsvis skal vi give teorien for udveksling af en stofegenskab -
f.eks, oxygen - i et område som Østersøen. Hertil vil det være nødvendigt at
Fig. 38. Koncentration af DDT substancer og PBC
i marine organismer udtrykt i mg pr. kg fedtvæv.
PCB DDT
behandle grundlaget for den turbulente blandingsteori.

Turbulens kan betragtes som en tilfældig bevægelse, der er uregelmæssig
og præget af hvirvler af forskellig størrelse - ofte superponeret på en ordnet
bevægelse. I en turbulent strømning varierer således hastigheden,trykket etc.
stokastisk i tid og rum. Der findes ingen entydig definition på begrebet tur­
bulens, fordi den optræder forskelligartet afhængig af de ydre forhold. Tur­
bulens i nærheden af en fast rand har f.eks, således andre egenskaber end den
såkaldte frie turbulens, som forekommer fjernt fra faste rande. Det er ikke
muligt at give en deterministisk beskrivelse af den turbulente strøm - et for­
hold som heller ikke er ukendt i anden moderne fysik. Imidlertid kan turbulen­
sen beskrives statistisk, idet middelværdi og statistiske fordelinger af de
for turbulensen bestemmende fysiske størrelser er veldefinerede.
Den -turbulente bevægelse kan matematisk udtrykkes som
v = < v > + v' (2.8)
-»
hvor < v > er defineret ved
< v> =- v dt (2.9)
Jo
der er hastighedsfeltets middelværdi taget over en tilstrækkelig stor tidsskala
T, således at bidrag fra de turbulente fluktuationer kan ignoreres, v' er altså
en stokastisk fluktuerende hastighed, der udtrykker turbulensen. For vægturbu-
lens er v'« < v > , medens det modsatte forhold ofte gør sig gældende for den
fri turbulens. I følge sin natur er det især den fri turbulens, der er af inter­
esse inden for den fysiske oceanografi. Det er værd at erindre sig, at når vi
beskæftiger os med stationære strømninger (d.v.s, middelbevægelser) i havet,
behandles kun en lille del af den samlede strømning. F.eks, kan verdenhavets
saralede kinetiske energi til et vist tidspunkt udtrykkes som
kin
= I |p v . v dY ~ |p I v • ? dV (2.10)
1V J-w
Antager vi, at denne totale Kinetiske energi er invariant i tiden fås
E kin = ?f T f *P^*^ d V -*e[ ( 2 + (vt) 2 ) dV (2.11)
JQ ^V JV
-> 2 2 -* 9
På det åbne ocean er < v > typisk 2 størrelsesordener (10 ) mindre end (v) ,
men denne størrelsesforskel mindskes når vi nærmer os lavvandede områder (shel-
fen) og snævre farvande, hvor turbulensen kan komme til at minde om vægturbulens,
Hvis bølger er tilstede, kan vi ikke ved hjælp af (2.8) adskille bølge-
43

44
bevægelse fra turbulens, men bølgebevægelsen kan derimod fjernes ret effektivt
ved benyttelse af (2.9) over en lang tidsperiode. Ovennævnte er uheldigt i de-
finitionen for turbulensen, fordi det hér blev sagt, at v' kun skulle rumme de
stokastiske bevægelser. Endelig skal det bemærkes, at v' er afhængig af stør­
relsen af det område i hvilket den turbulente strømning undersøges. Vælger vi
at studere den store anticykloniske cirkulationscelle i Atlanterhavet hvis
vestlige del udgøres af Golfstrømmen, er længdeskalaerne dermed fastlagt ud
fra cellens dimensioner. Alle bevægelser på mindre skala behandles herefter
som turbulente - og så fremdeles ned til mikroskopisk skala. Sagt mere poetisk
af Richardson :
"Big whirls have little whirls that feed upon their velocity -
and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity."
Det er i oceanografien en velkendt erfaring, at alle molekylære dissipa­
tions - og dispersionsied kan ignoreres i forhold til de modsvarende turbulen­
te led, når længdeskalaen overstiger molekylære dimensioner, hvilket i praksis
altid vil være tilfældet.
Vi vil herefter betragte bevægelsesligningen for en turbulent strømmende
homogen væske, hvor de ydre kræfter F kan ignoreresj desuden kontinuitetslig­
ningen for en inkompressibel væske samt den turbulente diffusionsligning for
en stofegenskab q ;
Kontinuitetsligningen :
V . v = 0 (2.12)
Benyttes (2.9) i (2.12) bliver
V . < v> =0 (2.13)
v . v» = 0 (2.14)
fordi = V*=0.
Bevægelsesligningen :
^L-^p-Sæiv-Sg + S (2.15)
dt p

Betragter vi middelværdier "bliver (2.15)
mk^>+ .v + (2.16)
Idet v* = i u' + j v' + k w 1 kan sidste led i (2.16) skrives
< v* * V v 1 > = < v< • v i u ! > + < v 1 • V j v' > +
+ < v' • V k w' > (2.17)
Ved brug af (-2.12) - (2.14) kan (2.17) skrives
< v' . v v 1 > = V - < v'(i) u» + v'CJ) v« + v'(ïc) w 1 > (2.18)
hvor f.eks, første led bliver
V - < v'(i) u» > = ( ^ < u'u' > + Ê- < v'u' > + jj- < w'u' >) t
For de øvrige led i (2.15) gælder
=2U)X (2.19)
< " p V p > = "p V < P > (2.20)
da p = < p > er en konstant med vore antagelser. Bevægelsesligningen for den
turbulente væske kan skrives som den sædvanlige Navier - Stokes ligning gælden­
de for middelbevægelsen plus det ekstra led som kaldes de Reynoldske spændin­
ger angivet i (2.18)
d _ 1 - - ^ « -> .. ^ -» ^ • r*
v < p > - 2u)X-kg +
dt p
+ V-( ^V-< v'u' > t - < v'v' > "J - < v'w' > ît) (2.21)
hvor T^/p og T| henholdsvis er vandets kinematiske og molekylære gnidningskoef-
/ -2 2 - 1
ficient* Typ =v~ 2*10 cm sek. . I alle praktiske sammenhænge ignoreres
leddet v - ( v v < v > ).
Diffusionsligningen (uden kilder og dræn) :
3t + v * (i v) = V- k Vq (2.22)
45

46
hvor q er en turbulent stofegenskab lig med < q > + q'. Benyttes inkompressibi-
litetsbetingeisen sammen med (2.22) fås
b 5, 3 > +(-v) = V . (k V < q > - < v'q' >) (2.23)
hvor k er den molekylære diffusionskonstant for det pågældende stof q. Analogt
til før kan leddet V • (kv) ignoreres. For at kunne løse (2.21) og
(2.23) med tilstrækkelige randbetingelser for de afhængige variable, er det
nødvendigt at konstruere en model for de Reynoldske spændinger samt for det
turbulente diffusionsied < v'q 1 >. Her skal ikke gås i detaljer med disse for­
skellige modeller men blot nævnes, at den velnok enkleste model for de Reynolds-
ke spændinger beskriver proportionalitet mellem disse og < v >. Denne model er
benytte i afsnit 2.3.
En hyppigt anvendt model antager analogi mellem kinetisk gasteori og tur­
bulente bevægelser. Vi overtager således begreberne "fri gennemsnits vejlængde
for et gasmolekyle" etc. og overfører disse til turbulensteorien. Det har nem­
lig vist sig, at vandet danner makroskopiske væskedele, der går på tværs af
strømlinierne. Om disse væskedele kan vi antage, at de beholder deres identitet
(fysiske karakteristika) over en vis længde 1 , førend denne identitet går
tabt gennem udveksling med omgivelserne.
Benyttes analogien fra den kinetiske gasteori på (2.23) gældende for
turbulent blanding indses det straks, at hvis vi definerer 3 funktioner K ,
K og K ved hjælp af ligningerne
y 2

Det er en eksperimentel kendsgerning, at små turbulente "bevægelser nærmest er
isotrope, når der er labilitet, d.v.s. öp/öz s 0 medfører u' ~ v' ~ w'. Derved
"bliver den turbulente horisontale og vertikale længdeskala også af samme stør­
relsesorden, hvilket indses ved at lave skala-analyse på kontinuitetsligningen.
Yi har altså
|< u» >| ~ |< v 1 >| ~ |< w» >| (2.28)
X ~ Y ~ Z (2.29)
Hvis —-T er positiv, giver den væskedel, der "bevæger sig opad med hastig­
heden w 1 , et -u* "bidrag til de nye omgivelser - og vice versa. Vi siger, at
korrelationen for x-komponenten af de Reynoldske spændinger er negativ. Følge­
lig bliver < u*w' > = k |< u» > j | < w' >J , hvor k er korrelationskoefficien­
ten regnet med fortegn :
og
k _ d < v. > / 1 d < u > f . v
!k|~~ dz / J dz . - Kt-M)
I det følgende betragtes en horisont al strømning hvor
v=ui+vj+wk
u = < u(z) > + u'(x, z, t)
v = 0
w = w'(x, z, t)
Tangential spændingen T kan i følge (2.18), (2.27), (2.28) og (2.30) her­
efter udtrykkes ved
X _ - ...... - _ i 2 d. < u > | d < u >
p dz l dz l v
2
hvor k er medtaget i 1 , der herved bliver en funktion af turbulensens karakter
og derved også af stedet. Den turbulente gnidningskoefficient bliver herefter,
for nu at få analogien til den kinematiske gasteori frem
47

A = 12|a^Ji>| (2.32)
- se endvidere sidste led i (2.21 ). Den turbulente gnidningskoefficient A bliver
med andre ord bestemt af hastighedsfeltet. Størrelsen A/p varierer i havet typ
pisk fra 1 - 100 cm sek., hvilket retfærdiggør bortkasteisen af den kinematis-
ke gnidningsko efficient v i (2.21). Med (2.32) kan vi gøre antagelser om A's
variation med dybden udfra kendskabet til middelstrømmen, der enten kan bereg­
nes ud fra hydrografiske data eller kan bestemmes konventionelt ved direkte
strømmålinger. Det skal indskærpes, at ovennævnte teori er udledt for kun de
tilfælde, hvor strømmen varierer med dybden.
For at kunne beregne hastighedsprofilen < u(z) > i et grænselag med gnid­
ning, kan vi forsøge at antage 1 proportional med højden z over bunden, d.v.s,
1 = H 2 •••• (2.33)
o
samt antage, at spændingen T er konstant i grænselaget. Herved kan (2.31)
skrives
T 2 2 | d < u > d < u >
o o dz \ dz
For positiv hastighedsgradient, hvilket vi f.eks, finder ved strømninger over
en plan bund, fås for gradienten at
(2.34)
d < u > m VT^O_ (2#35)
dZ H Z
o
Middelstrømmen kan herefter let beregnes ved integration af (2.35)
= -\P-lnz (2.36)
K0Vp
Den logaritmiske profil giver < u > = - °° for z = 0. Imidlertid findes der
tæt ved den faste rand et tyndt lag, hvor den molekylære gnidning er domine­
rende. Hér haves en laminar ikke-turbulent strømning, hvor spændingen T be­
skrives ved
T = T] A ^ 2 U > (2.37)
"• S ff—. vokser omtrentlig lineært med z umiddelbart over den plane bund og
dz

da T\ , den molekylære gnidningskoefficient, er en fysisk konstant, bliver T
også konstant for dette lag og
< u(z) > - konstant * z (2.38)
Da vi betragter tilfælde med gnidning skal < u(z) > være en kontinuert funktion
for alle z > 0. Det blev overfor sagt at grænselaget ved randen er tyndt og af
molekylære dimensionen d.v.s. vi kan antage, at < u(z) > = 0 ved lagets øvers­
te grænse z - z istedet for < u(z) > = 0 for z - 0. Derved bliver antagelsen
for 1 i (2.33)
1 «= K (z + z ) (2.39)
o v o'
= l JÏ m(^-£) (2.40)
o * P o
T = p
O
^ Z '
o
49
2 ?
£i (2.41)
Dette udtryk viser bl.a., at vindspændingen kan gives ved luftens massefylde,
en empirisk konstant [ ] og middelvindhastighedens kvadrat i en vis højde over
det fri vandspejl. Dette vil blive benyttet i afsnit 2.2.
Vi skal se nærmere på H , som kaldes von Karmans konstant, fordi den næs­
ten er en universal konstant ~ 0,4 for alle tilfælde, hvor turbulensen er lo­
kalt produceret. Vi ønsker at beregne 1=1 (z) udtrykt i kendte turbulente egen­
skaber. For at kunne gøre dette antages, at de turbulente fluktuationer er
ligedannede for alle punkter i feltet. Fluktuationerne varierer kun i ampli­
tude og periode på en sådan måde, at når tidsskala og længdeskala er kendte
størrelser, da er turbulensspektret fastlagt. Som længdeskala vælges 1 og
tidsskalaen, får vi ved at indføre den såkaldte friktionshastighed u givet
ved definitionsligningen
Ifølge (2.42) bliver tidsskalaen givet ved t = l/u .
-* s * -» -^
For et hastighedsfelt < u(z) > 1 og en turbulent hastighed v f = u* i +
w' k bliver bevægelsesligningen, nar eneste ydre virkende kræfter er trykket:

50
bv 1 , / / \ -^ , ,( \\ bv 1 , ,/ \ / & < u(z) > -* , Qv' N
TT + (< u(z) > + UM zH r— + w'( z) ( r ••*•' J -~ i + T—) =
- -v p (2.43)
p
Ved sædvanlig rækkeudvikling af < u(z) > omkring et nabopunkt zn fås
< u(z) > = < u(zn) > + (z - zn) — -^-^
J o' ' ' v " "o 7 dz
( z - z ) j2^, ^
^ o' d < u >
dz
z=z
z=z o
+
+ ... (2.44)
Det antages herefter at den turbulente bevægelse v> er stationær i et koordi­
nat system, som translateres med hastigheden < u(z ) >. Dette betyder, at de
turbulente fluktuationer kan observeres i et fast punkt enten ved at lade et
til tiden t fastholdt turbul ens spektrum passere gennem punktet med hastigheden
< u(z ) > eller ved langs x-akBen at tage funktionsværdieme fra et øjebliks­
billede af det turbulente spektrum. Matematisk kan hypotesen formuleres enten
som
v'(x, z, t) = v»(x - < u(zQ) > t, z, 0) (2.45)
eller analogt hermed som
Vore antagelser er særdeles vel opfyldt, når forholdet v' /< u(z ) > er
lille, hvilket netop er tilfældet for turbulens ved faste rande.
Medtages kun nul'te og første ordens led i (2.44) og benyttes (2.46) på
(2.43) bliver bevægelsesligningen for sekundærbevægelsen v 1 ;
z=z bx x ' ?>x
o
w '< z) ( -di - 1 + bz* } - - 1 V p ( 2 ' 47 >
Vi udfører nu en skala—analyse Î
v 1 = u_ - v !
X = 1

z = 1
2 A
p = p \ p
Idet vi udvikler — ~ — omkring z kan (2.47) udtrykkes som en funktion
dz
af de dimensionsløse variable ( ) ovenfor.
. 2
* £ A d < u > /A A v bv ! ,
S. A 5v» , A, • d < U >
+ T— U 1 ~- + U W 1 [ ' • - '
1 * m dz
ox
{z - Z J +
Z=Z v O' .A
o bx
U A
-* _s by'
i + * uv • \
1 x*
i f A * N d < u >
(2.4S)
l(z - z ^
dz
bz
Hér er V < p > ~ —h ' • " ~ konstant i grænselaget, medens 7 p' er det turbulen­
te tryk, som også må opfylde ligedannethedskravet i vor hypotese. Omordnes
(2.48) fås
A A
- V p - ( — fl
* u dz
i +
\ /A A . dV f ,
) { z - z ; — +
z=z * x o' ,A
o dx
, A i ov / 1 d < u > \ A, -#
+ u' — + ( - —5 } w* i +
XA * u dz z=z '
bx 3E O
2 2
/ 1 d < u >
+ ( - —j
3E dZ
Z=Z
\ /A A v A , - ^ A bV
1 (z - z ) w ! i + w' —
* V O' . A
bz
Sekundærbevægeiserne er ligedannede i vertikal retning, når de dimensionsløse
grupper {) er uafhængige af z. Dette fordrer, at
samt
_ —S _ konstant
u_ dz
51
(2.49)
(2.50)
1 2 d 2
Û ^ 2 = konstant (2.51)
æ dz
Ved eliminering af u bliver
d < u >
1 » R
o dz
d < u >
dz 2
Det ses at 1, vor længdeskala, er "bestemt for hele laget med den såkaldte
(2.52)

52
empiriske von Karman konstant H ~ 0,4. (2.52) kan herefter indsættes overalt i
stedet for det mere uhåndterlige 1. Indsættes (2.39) i (2.52) fører dette også
til en logaritmisk hastighedsprofil nær en fast rand. Den ubestemte konstant z
i løsningen tolkes herefter som en såkaldt ruhedsparameter så < u > = 0 under
ujævnhederne med højden z .
Til sidst skal vi se på visse forhold omkring turbulent energi. Energi­
tæthed og energiflux udtrykkes ved den mekaniske energiligning, som fremkommer
ved at multiplicere bevægelsesligningen skal art med den vektorielle hastighed :
+Jjl = _ 1 3 . y p _ 2 "v - (t x v) - v . $ g + v(v - v V)v (2.53)
Da v . v = 0, og p = < p > + p' er uafhængig af dybden for de områder vi be­
handler reduceres (2.53) "til
f- tø p 3 . v) = - v . V p - v . t p g + tl(v v 2 v) (2.54)
Subtraheres energiligningen for den stationære bevægelse < v> fra (2.54) får
vi den turbulente energiligning
^-|< p X v» - v*> = - < v' p' > k* g - < v'V p' > -
ot
-< v'(v . v) v > - < (V + < v >) * v < p > —> +
+ Tl< v« . V 2 v' > (2.55)
Venstre side af (2.55) er d-© 11 lokale tidsvariation af turbulent kinetisk energi.
På højresiden står leddene henholdsvis for i) omsætning af tyngdens potentiel­
energi ii) indre arbejde iii) omsætning af såkaldt koblingsenergi med hoved­
strømmen iv) advektion af -turbulent kinetisk energi og v) advektion af turbu-
lent dissipation . Leddene < v> V p" > og < v' V ( < p > -§ v! • v') > giver
tilsammen den turbulente flux af den totale turbulente energi. For et grænselag
med et stationært turbulensfelt og en middel strømning < u(z) > i bliver den
lokale produktion af turbulens
< < p > v' - (v • v) >•< u > t = < o>< u'w 1 > ^2 U —
den eneste omsætning af energi fra hovedstrømmen til turbulens. For labil lag­
deling er dissipationen af energi og turbulent advektion af turbulent energi

fra det betragtede punkt i væsken i ligevægt med produktionen, fordi turbulens­
feltet er antaget stationært. Følgelig vil uligheden
U >
< p >< u'w' > ^ 5
— * — &£ — > 1 (2.56)
TI < V. v v« >
altid være opfyldt. Dette kriterium er et nødvendigt krav for eksistensen af
turbulens, hvor overskuddet af den turbulente energi advekteres væk fra det be­
tragtede sted gennem såkaldt selvdiffusion. Forholdet i (2.56) kan skrives para-
metrisk som et dimensionsløst tal
Re,SLEJpi (2.57)
hvor Re kaldes for Reynolds tal, < u > er opfattet som middelhastigheden uden
for grænselaget og L er grænselagets karakteristiske tykkelse; v = T|/P
53
er som
tidligere i dette afsnit den kinematiske molekylære gnidningskoefficient. Når
Re er større end en vis kritisk værdi ~ 2000 bestemt fra forsøg overgår en la­
minar strømning til at blive turbulent.
For en meget stabil lagdeling, som vi finder den i indre danske farvande,
og en middelstrøm der varierer med dybden, er omsætningen af tyngdens poten­
tialenergi og koblingsenergi de vigtigste led i (2.55). Forholdet mellem disse
2 størrelser kan udledes som følgende :
tyngdens potentialenergi øges i tidsrummet 0 og viee versa. Den gennemsnitlige potentialenergi bliver
herefter
-if g p1 w' dt = - g < pi w' > (2.58)
Analogt med (2.26) indføres et K t der beskriver den vertikale udvekslingskoefz
ficient for masse, hvorved (2.58) kan skrives
- g < p> w > = - g Kz b < z p > (2.59)
Den kinematiske energiflux dE/dt til et vandlag med tykkelsen ßz er lig med
effekten givet ved produktet af de på vandlaget virkende spændinger og hastig­
heden. Betragtes enhedsflader fås
f|-- T(Z) +
+ (T(Z) < u(z) > + ^ (T(Z) < u(z) >) Az + ... Az 2 ) (2.60)

54
Denne energiflux. til vandlaget er koblingsenergien. Vi antager nu konstant T
og benytter (2.31)» der skrives på formen
l = k L^JL> (2.61)
p z bz v '
Por at undgå accelerationer i den parallelle strømning < u(z) >, giver en lige­
vægt mellem tyngdens potent i al energi og koblings energien at
-gK & < P > = A ( & < U > f (2.62)
te zbz H z v b z
Vi indfører et andet dimensionsløst tal
g b < o >
Hi = "< P> J* (2.63)
v bz
som benævnes Richardsons tal i gradientform. Da vi ikke har medtaget dissipation
og selvdiffusion i (2.62) bliver uligheden
Ri 0,25 vil turbulensen efterhånden ophøre,medens Ri < 0,25 giver en be­
tingelse for at vandet blandes turbulent. I Østersøen er Ri > 1 i springlaget
2 - 1
og K 0,1 - 0,01 cm sek. .
z
Vi er herefter i stand til at redegøre for de specielle oxygenforhold,
der råder i Østersøen :
1) Stabil lagdeling, der medfører ringe vertikal turbulent diffusion af
oxygen fra overfladen ned i dybere liggende lag.
2) Oxygenproduktionen som følge af fotosyntesen finder sted over spring­
laget (primær haloklin).
3) Udledning af oxygenforbrugende næringssalte (sekundær forurening).
4) Øget gennemsnitstemperaturer i dyb vandet.
5) Hyppige s altvands indbrud, som øger stabiliteten. Denne øgede indstrøm­
ning af tungt oxygenrigt bundvand giver kun temporære økologiske for­
dele.

2.2. Vinds tuvening.
Den sidste virkelig store stormflodsulykke, som indtraf i Danmark, fandt
sted 12 - 14 november 1872. Dette skete ikke ved den danske vestkyst, hvorfra
vi normalt modtager de fleste stormflodsvarsler, men derimod ved Lollands kys­
ter i den sydlige del af Østersøen. I flere dage havde vinden blæst stiv kuling
eller mere fra nordvest. Herved steg vandstanden i Kattegat og vandmasser træng­
te sig ind gennem Sundet og Bælthavet frem til Østersøen. Da vinden herefter
slog orn i nordøst, blev vandet i Østersøen presset sydpå med stor kraft. De
snævre indre danske farvande og den store vandstand i Kattegat foranledigede,
at Østersø-vandet ikke frit kunne lade sig presse ud. Vi fik en vindstuvenings-
effekt på Lollands sydkyst med store oversvømmelser til følge. Ulykken rystede
det danske folk på mere end én måde. Vi skal nemlig tænke på, at krigen i 1864
havde medført visse areal indskrænkninger for Danmark. Man var derfor begyndt
at opdyrke heden samt inddæmme land for at reducere tabet af land. De danske
inddæmningsarbejder var næppe en ubetinget succes. Ofte afdækkedes sandede
områder således at flyvesand blev et problem (f.eks, vejlerne i Limfjorden);
i andre tilfælde kunne vi ikke håndtere den teknologiske side af sagen (f.eks.
Lammefjordsprojektet som i 1872 blev færdiggjort af - ironisk nok - et ham-
burgsk firma). Og så på toppen af det hele, stormfloden ved Lolland, som gik
over digekronerne og forårsagede store ødelæggelser. I en samtidig meddelelse
"Oversigt over Resultaterne af nogle Undersøgelser over de ved Vindens Kraft
fremkaldte Strømninger i Havet" til Videnskabernes Selskab skriver prof. A
Colding i 1876 :"
"Det nærværende Arbeide har nemlig sin Oprindelse derfra, at det danner
et Slags Forarbeide til en omfattende Undersøgelse over Stormen og
Stormfloden den 13de November 1872, som jeg har stillet mig til Opgave
at gjennemføre så vidt muligt, for ved Hjælp af de fra mangfoldige Steder
indhentede Kjendsgjeminger om dette i Storartethed og stærk udpræget
Characteer næsten enestaaende Naturphænomen muligviis at kunne bringe
noget Lys ud over denne Art af Naturbegivenheder, hvorom man hidindtil
næsten ingen Kundskab har havt, og imod hvilke man derfor også kun hø ist
uf uldkommende har kunnet værge sig; thi indtil nu kan man vel næppe siges
at være på det rene med, hvad der er slige Phænomeners Aarsag,og endnu mind­
re har man været istand til at danne sig en tydelig Forestilling om Stør­
relsen af de Kræfter, som Naturen formaaer at sætte i Bevægelse under en
Stormflod, som den af 13de November 1872, der hær jede en stor Deel af
Østersøens Kyster."
55

56
A. Coldings endelige resultater forelå publiceret i 1881, men ca. 50 år
skulle yderligere forløbe, førend vi fik den fulde fysiske forståelse af pro­
blemet. Vi gør følgende antagelser :
1) konstant blæsende vind
2) ingen accelerationer i havet
3) ingen tidevandskraft af betydning
4) indledningsvis ingen horisontal trykgradient
5) horisontal strømning d.v.s. w=0
6) uendeligt havområde i både horisontal og vertikal retning
7) ingen variationer i havvandets massefylde
Med disse antagelser bliver bevægelsesligningerne :
f«-4(A S 2 ) (2* 6 5)
p ÖZ V 2 Q2 y
-f v-ifc-UJg) (2.66)
p 02 Z 02
Antag desuden at den vertikale turbulente gnidningskoefficient A er konstant.
Vi eliminerer v ved at differentiere (2.66) 2 gange og indsætter i (2.65)
^=-(^f) 2 u (2.67)
dz z
Dette er en lineær differentialligning med konstante koefficienter, som kan lø­
ses efter velkendte metoder. Den har løsninger af formen :
hvor
u = e m z cos(m 2 + ß) (2.68)
m = + v/|j- (2.69)
hvilket indses ved at indsætte (2.68) i (2.67). Vi har altså 2 uafhængige løs­
ninger e m Z cos(m z + ß) og e~ cos(-m z + y) og følgelig bliver den almene
løsning til (2.67)
u = A e m z cos(m z + ß) + B e"" m Z cos(-m z + y) (2.70)
hvor A, B, ß og y er integrationskonstanter. Vi forlanger endelig værdier for
u på store dybder, så vi må kræve at B = 0,

således at
u « A e cos(m % + ß) {2-71)
Vi differentierer (2..71) 2 gange og indsætter i (2.66) hvorved
v = A e sin(m z + ß) (2.72)
\/ 2 , 2
Strømhastigheden bliver •\XL Vu + v V
, m 2
= A e . Integrationskonstanten A hl iver således
identisk med overfladehastigheden V d.v.s.
•a » Vo e m z cos(m z + ß) (2.73)
v = V e m z sin(m z + ß) (2.74)
Hastighedsvektoren 1 u + j v har altså skal arværdien V e og danner en vin­
kel 9 = m z + ß med x-aksen.
Randbetingelser :
d.v.s.
T - A ~ for z = 0 (2.75)
x z dz \.

58
Vi ser af (2,8o) og (2.81), at overfladehastigheden er rettet 45° til højre for
vinden på nordlige halvkugle (f > 0). Desuden, at hastigheden aftager eksponen­
tielt med dybden samt, at hastighedsvektorens vinkel med x-aksen aftager lineært
med dybden. Hastighedsvektorens endepunkt beskriver en spiral - Ekmanspiralen -
som i horisontal projektion udarter til en logaritmisk spiral. Hår m • z = 7t er
strømretningen modsat rettet overfladestrømmens. Ved denne dybde - Ekmandybden
D - bliver hastighedens skalarværdi V_ = v V e-rc e~ „ ~ 0 0,04 Q4 y V og
D o ' o
"V7T
(2.82)
På vore breddegrader vil D være af størrelsesordenen 50 meter, så vindens
direkte indflydelse på strømfeltet er begrænset til et forholdsvis tyndt over­
fladelag. De indirekte virkninge^ som kan skyldes opstuvening af vandet mod
land (vindstuvening) med horisontale frykgradienter til følge kan nå meget dy­
bere ned.
De totale massetransporter M og M fås ved integration af højresiden i
x y
(2.65) og (2.66) istedet for en direkte benyttelse af (2.8o) og (2.8l)
M * E
fO fO „ •». >. T
j 1 1 0 / - « ÖV>
u p dz = —
M = j° v p d, - - f°£fcU, £)«•--.£ (2.84)
•* J —ta J —00
I resultatet indgår A ikke og massefylden p må gerne variere med dybden. Tidligere
satte vi for enkeltheds skyld T = 0 d.v.s.
T
Mx = -f (2.85)
M = 0 (2.86)
Nettomassetransporten går med andre ord vinkelret og til højre på vindens retning.
Vi lader herefter antagelsen om uendelig dybde falde, så randbetingelserne
ved bunden bliver istedet :
u, v = 0 for z = - d (2.87)
De generelle løsninger for u, v findes af (2.70) og (2.66). Antages som før at
vinden blæser i y-aksens retning, får vi efter omstændelige udregninger at

u = P sinh m Ç cos m %, - Q cosh m % sin m | (2.88)
v - P cosh m £ sin m % + Q sinh m | cos m g (2.89)
hvor den ny variabel f = s + d og
T D
P - y cosh m d oos m d + sinh m d sin m d , Q s
AK cosh 2 m d + cos 2 m d W-90;
z
T 1>
Q y cosh m d cos m d - smh m d sin m d /•- Q1\
H = A TU cosh 2 m d + cos 2 m d ^-y 1 ;
z
Overflade strømmens vinkel 6 med vindretningen kan beregnes ud fra
sinh 2^d-sin2^d
^ e = |=d —î F" (2.92)
s sinh 2 * d + sin 2 | d
9 ligger omkring 45 for de fleste dybder undtagen de laveste :
d/D 0,25 0,5 0J5 1,0 1,25 2,5
e 21Ï5 45° 45?5 45° 45° 45° 45°
Mas set ransport erne M og M bliver henholdsvis
x ö y
o T D
u d£ - Y A
.-. cosh 2md + cos 2md - 2 cosh md cos md r~ n-i\
9 6 p _ 2' . cosh 2md + cos 2md ^ *^ }
M =
~d 2% A
z
M =
y
•o T D 2
jir y sinh m d sin m d , nt.
p v dg - p - ^ 7 - co5h 2m d 4- cos 2m d ( 2 -94)
-d 2ÏÎ A
Hvis d = D hliver M = 0 og
y
x 2TC A ffl1 I
z
hvilket omtrent er samme resultat som for det første idealiserede Ekman-tilfælde.
Når d vokser, konvergerer værdien i parante sen i (2.95) mod 1»
Vi vil nu lade antagelsen om "ingen horisontale trykgradienter" falde.
Lad os antage at vandspejlet har en konstant hældning a, hvilken f.eks, kan
være fremkommet ved en opstuvening af vand mod en lang lige kyst. For enkeltheds
skyld lægges y-aksen i hældningens retning og x-aksen vinkelret herpå. De hy­
drodynamiske ligninger "bliver
59

60
fU„fsâ-S-!jj£ (2.96)
r öz
Da p er konstant bliver öp/öy « - g p tg a, hvilket indses ved benyttelse af
den hydrostatiske ligevægtsbetingelse
§£ - - P ë (2.98)
Vandspejlsfaid er altid små, så det er rimeligt at sætte tg a = a. Vore bevægelsesligninger
kan herefter skrives på formen analogt til tidligere
2
d v _ 2 K o a , N
—-5- 2 m u - V— (2.99)
dz z
d u _ 2 , .
—? = - 2 m v (2.IOO)
dz
Vi bemærker, at hastighedsfeltet u, v kan afhænger af dybden d.v.s. kontinuitetsligningen
er automatisk tilfredsstillet fordi p = konstant samt w = 0. Vi
eliminerer u ved at differentiere (2.99) 2 gange og indsætte fra (2.100). Herved
indses ligesom tidligere at v kan angives på formen
v = A1 e z cos(m z + ß) + B e"" 1 z cos(-m z + y) (2.101)
Indsættes (2.101) i (2.99) ses direkte, at i et udtryk for u skal leddet
(p g a)/2m A findes d.v.s.
u = u + p g a (2.102)
1 2m A z
hvor u vil have et lignende udseende som v. Uden at gå nærmere i detaljer finder
vi på helt sædvanlig måde
u = C1 e cos(-m z+ c^ + C£ e m z cos(-m z + o^) + p | g — (2.103)
2m A z
v = C1 e~ m Z sin(-m z + c1 ) - C2 e m 2 sin(-m z + c2) (2.104)
hvor randbetingelserne fastlægger integrationskonstanterne. I tilfælde af ingen

vind men hvor et vandspejlsfaid haves, d.v.s,
T = A S£ = o
x z Öz
T = A |ï = 0
y z öz
findes C1 - C2 = §C og c1 =?c2 = c.
Ved bunden z = - d er u, v=0 hvorved
61
for z = 0 (2,105)
_ cosh m d cos m d 2 g a fn*n£\
C cos c = - • ' , ?—; w , g" 1 cosh 2 m d + cos 2 m d f
12.106)
n • sinh m d sin m d 2 g a / „ „ „„ \
C s i n C = = oosh 2 m d + oos 2 m d f t 2 ' 10 ^
(2.106) og (2.107) indsættes i (2.103) og (2.104) hvorved hastighedsfeltet kan
skrives
gaf cosh p cos q + cosh q cos p "1 / ßl.
U ~ f |_cosh 2 m d + cos 2 m d ~ J ^2.100 J
v- g jx « [sinh I sinh p sin q + sinh q sin pi p
. .
f C I [ ebsh eosh 2 m d + cos 2 m d
K**2)
hvor p = m(d - z) og q = m(d + z). I (2.108) og (2.109) er m - ~t hvor
/2 A
har en lignende betydning som Ekman-dybden D, D 1 kaldes dybden af det nedre
Ekman-lag. D og D' har samme størrelsesorden. Hvis vanddybden d = D' "bliver
overfladehastigheden ifølge (2.108) og (2.109)
Uo = ^p (0,087 + 1) (2.111)
V ' = 0
o
Det bemærkes at U næsten er lig hastigheden for en geostrofisk "balanceret strøm
g a/f - se afsnit 3.2, For andre forhold af d/D' vil V fluktuere mellem posi­
tive og negative værdier. De hér nævnte forhold er ganske analoge til, hvad tid­
ligere er anført om det øvre Ekman-lag og d/D,
Mas s et ransport erne M og M fås ved integration af (2.108) og (2.109) :

62
M - p
x
H
M = p
Pi g g , _ d siaih 2 K f, + sin 2 * |,
2iïf t 2 7 t Dî v, « ÔL « 4
cosh 2 TI =:, + cos 2 je ^,
sinh 2 « i - sin 2 , Ä "•
P 1 g g / DJ pj_ x
2 n f l v o d „ d ;
cosh 2 it —, + cos 2E—,
(2.114) viser, at for d » D 1 bliver
J 1 Eg
y — f Z H I
M - PV f 2 71 f ;
Hvis vi ignorerer gnidning bliver
(2.113)
(2.114)
(2.115)
(2.116)
M x = p d u g = p E a d / f (2.117)
hvor u er den geotrofiske strømkomponent opstået ved, at vandspejlet hælder
o
vinklen a. Pet første led for M i (2.116) giver således den af en geotrofisk
balance forårsagede massetransport, medens det andet led repræsenterer M , der
er forholdsvis lille.
Vi vil nu gå over til at betragte et hav med konstant dybde d afgrænset
ved en uendelig, lang og lige kyst. Vi vil antage en konstant blæsende vind
langs kysten, hvilken-vil foranledige, at vandspejlet indstiller sig med en
vis vinkel a. y-aksen lægges vinkelret ud fra kysten og x-aksen parallelt med
denne. Vinden blæser i modsat retning af x-aksen, hvorved vindspændingen T =
- I T . Det antages videre at vanddybden er stor, d.v.s. d » P, P'. Herved
bringes vi istand til at tale om 3 strømnings regioner i havet i) øvre og nedre
Ekman-lag hvor gnidningskræfter essentielt balanceres af Co riol is-kraften samt
ii) dybvandsområdet, hvor de horisontale trykgradientkræfter er i balance med
Co riol is—kraften. Pen geostrofiske massetransport forløber parallelt med kysten
og bidrager således ikke til nogen vandopstuvening. Derimod haves på kysten
0' U
vinkelrette mass et ransport er M og M for henholdsvis det øvre og nedre Ek-

O T
Om — o ;
— i
~ 2
— 3 Upper current
— *
D —5
a) Deep current ^ ^
D' - * •
— 6
— 7
— 8
— 9
Bottom current
r 77777777777777777777777777's
Pressure
gradient fc
I
i
•
Pig, 39* Ekmans elementære strømsystem. Den tykt optrukne pil parallel med
kysten repræsenterer den geostrofiske strøm. Overflade- og bund- Ekman spiralernes
horisontale projektion er angivet ved de stiplede krumme linier.
63

64
0 U
Da vi har antaget stationær tilstand er M + M =0. Heraf .findes
y y
T
a = 2 is ~rr (2.120)
p g D'
d.v.s. kendes vindspændingen T og D 1 kan a beregnes. Hvis d er lille sammen­
lignet med D, D' skal M og M beregnes udfra de generelle udtryk (2.94) og
(2.114).
Vi har hidtil kun betragtet vindstuvening ved en lang lige kyst for det
stationære tilfælde. Vi skal nu betragte forholdene, når vandspejlsændringen
er under opbygning for iøvrigt ellers de samme betingelser som gældende for
ovennævnte stationære tilfælde :
Lad det endelige stationære vandspejls hældning være a. og vandspejlet
givet ved funktionen T| = f(y, t). Herved bliver sina = bv/'ày r " a. Lad M re­
præsentere nettovandtransporten pr. sek. mod kysten gennem en vertikal pi an med
bredden ûy = 1 og lad vandstanden stige med stykket 6 ^ = (bT/b"fc)ô" * i tiden

(2.124) er velkendt fra varmeledningsteorien. Den har følgende løsning :
T
a - a 0 1 - p up^7T
hvor funktionen P kan skrives
65
(2.126)
x
P(*)= pf
lifo
2
-oc dx
e
(2.127)
Denne funktion kaldes fejlfunktionen og skrives hyppigst som følge af angels ak-
sis dominans som erf x.
Eftersom d » D, D' ifølge vore antagelser haves fra (2.115)
D' g a
M = - _° (2.128)
O 2 71 f
P(x) »v 1,1 i for x< 0,4 således at (2.126) approximative kan skrives som
a — a / j. 2
a - 1 ' 1 V 2 ^ D' g t - \'*i

66
nettomassetransporten mellem det fri vandspejl og bund lig med nul for enhver
retning. Hvis det som før antages at d » D, D' betyder førnævnte at
0 U G f \
M + H + M - 0 (2.132)
X X X \ -> 1
0 ÏT G / \
M + M + M = 0 (2.133)
y y y v '
hvor M er massetransporten hidhørende fra den geostrofiske region, og
samt
N G
M + M - H
X X X
M * + M G = M
7 y 7
er angivet i (2.116) og (2.115)- Vi antager, at vinden blæser i y—aksens ret­
ning d.v. s.
T = 0
y
Vi ved endnu ikke, på hvilken måde vandspejlets hældning vil blive påvirket
( 2 - 1 ^4)
af, at vinden blæser med konstant styrke hen over området, d.v.s. vi ved end­
nu ikke i hvilken retning trykgradienten går. Et tre-ret vinkl et koordinatsystem
x ! , y ! , z' indføres med samme origo som vort sædvanlige x, y, 2 - koordinatsys­
tem, således at y'—aksen og trykgradientens retning falder sammen. Dette til­
fælde er beregnet fra tidligere med de samme forudsætninger så (2.115) og
(2.116) kan direkte anvendes hér :
For overskuelighedens skyld sættes
B 5 fif ogh ^(JJLâ.^ (2#137)
Derved bliver M , = b a massetransporten i den geostrofiske strøms retning og
M , = B a mas set ransporten i trykgradientens retning. Massetransporten M kan
opfattes som en vektor, der følgelig er uafhængig af det valgte koordinatsystem.

Sammenhængen mellem de 2 koordinatsystemer x, y, z og x 1 , y', z* kan udtrykkes
ved matrix-ligningen
{;!•(
"i fxt
cos q - sin q
sin q cos q j \ y
hvor q er drejningsvinklen. Vi finder tilsvarende for M at
67
(2.138)
l.My)- Vsin« cos,) l.My,J ^ 2 - 13 ^
og dermed ved udregning af (2.139)
M = b ex cos q - B a sin q (2.140)
M = b a sin q + B a cos q (2.141 )
Desuden haves at M = -r/f og M =0, hvilket kombineret med (2.132), (2.133),
(2.140) og (2.141) giver :
4 + b a cos q - B a sin q = 0 (2.142)
b a sûi q + B a cos q = 0 (2.143)
Herved bliver
cos q = 1 T (2.144)
a f (B* + tT)
B T , v
sm q = s s- (2.145)
a f (B* + IT)
-r tgq-f (2.146)
M , .
Hvis d » D' bliver r~- ~ * a » 1 og dermed b » B d.v.s. q ~ 0°.
M. , — D'
y*
Dette betyder, at opstuveningen af vand stort set finder sted i vindens ret­
ning også i dybe lukkede bassiner. Fra (2.142) fås

68
Denne simple men højst brugbare ligning kan benyttes ved stormvarslinger i luk­
kede farvande, hvor det har stormet i længere tid. Nævneren på højre side er
en konstant størrelse for et givet område og T kan beregnes ud fra meteorologis­
ke data.
Vi vender tilbage til vort lukkede bassin med horisontalt beliggende bund.
Uår det ikke blæser, er vandspejlshøjden over bunden z = d = konstant. Med
en konstant blæsende vind afhænger z af stedet; for enkeltheds skyld sættes
o
z = 2 (y). Havoverfladens afvigelse fra dybden d kan udtrykkes enkelt ved
T\ = z - d, hvorved den lokale dybde bliver z - d + T]. Idet a =-t(dz )/

2K.B.0* S km
21.812'
20.8-12*
20.80"
n.8.12"
1) strømfeltet er horisontalt, d.v.s. w = 0
2) F- og D-leddene kan alle ignoreres
Disse antagelser medfører
eller
og
£ + u ^ + v |Ü . f v . _ 1 te
öt b* 5y p bx
3£- f v
dt
_ 1 ÈE
D ÖX
dt p by
69
Fig. 40. En vandpartikels hanehevægelse
baseret på strømmålinger vest
for Gotland.
(2.151)
(2.152)
(2.153)
Trykgradienterne, som f.eks, kan være opstået som følge af en vindstuvening i
området , på højre side af ovenstående ligningssystem er nu eneste drivende
ydre kraft, fordi vi har hydrostatisk ligevægt, d.v.s.

70
ftp
bl = " p ë (2.154)
Vi gør ydreligere den antagelse, at vindstuveningen ophører, som følge
af at vinden lægger sig. Dette bevirker, at de horisontale trykgradienter kan
ignoreres. For et barotropt hav d.v.s. p = D(p) = en konstant i kystnære om­
råder kan (2.152) og (2.153) skrives
§- f v =° (2.155)
f? + f u = 0 (2.156)
(2.155) og (2.156) multipliceres med henholdsvis u og v, hvorefter disse adde­
res
1d,2 2 ^ _ i d 2 „ , ,
* dt (u + V ) =?dt C = ° (2.157)
Denne ligning udtrykker, at vandpartiklen bevæger sig med konstant hastighed.
Ifølge (2.155) og (2.156) er du/dt og dv/dt forskellige fra nul d.v.s. vand­
partiklens acceleration er forskellig fra nul. (2.155) og (2.156) multiplice­
res nu med henholdsvis v og u, hvorefter disse subtraheres
„„ du dv 2-d /Uv „ 2 .
v dt~ u dt - v dt ( v } = f c (2.158)
0 0 0
u/v = cot a , v = c sin a , hvor a er vinklen mellem x-aksen og c's retning.
Heraf følger :
eller
sin a
da „
dt = - f (2.160)
(2.160) viser, at for inerti-strømme gælder, at den bevægede vandpartikel ænd­
rer sin retning med konstant hastighed. Vi indser let, at vandpartikelbanen er
en cirkel. På nordlig halvkugle hvor ep > 0 haves følgelig dec/dt < 0 hvorfor
bevægelsen i den såkaldte inerti-cirkel går rundt med uret (cum sole eller ne­
gativt omløb)- se Fig. 40. På sydlig halvkugle hvor ep < 0 bliver bevægelsen

contra solem (positivt omløb). Kaldes inerti-cirklens radius for r, finder vi
for partiklens omløbstid
T = 2 -B. T
p c
som kaldes inerti-perioden. Coriolis-acceleration må balancere centriflftal-
acceleration, d.v.s.
c / r = f c
Heraf fås direkte
og
r = c / f (2.161)
T = 2 % I f (2.162)
p ' .
Vi ønsker herefter at tage hensyn til gnidning, d.v.s. D , D ^ 0. For
x y
enkeltheds skyld benytter vi den såkaldte Guldberg - Mohn»s antagelse :
Dx = - R u (2.163)
D - - R v (2.I64)
Herved bliver bevægelsesligningerne
g-fv=-Ru (2.165)
g + fu = -Rv (2.166)
Benytter vi samme regnemåde som før findes
c(t) = c(t = 0) e" R % (2.167)
r(t) = c(t = o) \ e" E * (2.168)
\=^ (2.169)
71

72
Vi ser altså at partikelhastighed og baneradius dæmpes eksponentielt på samme
måde. Dette "betyder, at inerti-perioden T bliver upåvirket af indflydelsen fra
gnidning. Eksperimental-værdien for T i Fig. 40 andrager ca. 14 timer, medens
den teoretiske værdi for T ifølge (2.169) bliver 14 timer 8 min. Vi ser altså
at selv med vore stærkt simplificerede andragelser om strømningen, er vi alli­
gevel istand til at redegøre for dennes væsentligste træk.
2.4« Ove rf 1 adebø Ige r.
Vi betragter indledningsvis et indelukket rektangulært bassin med en plan
horisontalt beliggende bund. Bassinets længdeakse antages meget større end dets
tværakse, som vi forudsætter infinitesimal. Lægger vi længdeaksen parallelt med
1-aksen fås dermed
X»Y (2.170)
hvor X, Y er karakteristiske horisontale dimensioner på en forstyrrelse i bassinet.
Vi vil kun behandle forstyrrelser i homogene vandmasser, hvis perioder
har en karakteristisk tidsskala T, som er lille taget i forhold til inertiperioden
T , d.v.s.
P
T p» T (2.171)
Herved bliver de karakteristiske horisontale hastigheder U ~ x/T, V ~ Y/î og
dermed
u»v (2.172)
Derved kan vi indskrænke os til at behandle forstyrrelser i den vertikale xz~
plan alene, d.v.s. v sættes overalt lig med nul i vore ligninger. Benytter vi
herefter kontinuitetsligningen, giver en skala-analyse anvendt på denne
X ~ Z ( 2 ' 1 ?3)
betingelsen for en to-dimensional forstyrrelse. Skal vi f.eks, behandle lange
stående bølger i vort bassin, bliver den karakteristiske længde-skala X givet
ved bassinets længde L og den karakteristiske dybde-skala Z givet ved bassinets
dybde h. Da L » h har vi følgelig ved benyttelse af (2.173) U » W. Den karakteristiske
forstyrrelse i vandmassen bliver herved endimensional, hvilket også
vil fremgå i det efterfølgende.

Bevægelsesligningerne kan i komponentform skrives som
bu bu bu
~r + u r— + w r—
bt bz bz
f u .-IjE + F
o by y
73
„ 1 $£ + p + D (2.174)
bw bw bw
~r + u ~ + w r—
bt bx bz p bz z z
(2.175)
(2.176)
Hér har vi på sædvanlig vis bortkastet de ikke-domine rende Coriol is-led. For
to-dimensionale forstyrrelser, hvor den karakteristiske tidsskala for horison­
tale og vertikale forstyrrelser har samme størrelsorden i følge (2.173) vil vi
normalt have
X- Z (2.177)
hvilket er en eksperimentel kendsgerning.
• Direction o*wove trovel ~» Direction of wove travel
50m 100 m
(a) (*)
Fig. 41. (a) Vandpartikelbevægeisen under en bølge som hverken kan karakteriseres
som værende "kort" eller "lang" (i det viste eksempel er bølgelængden
50 m, amplituden 2.5 m og vanddybden 10 m).
(b) Vandpartikelbevægelsen under en bølge på dybt vand, hvilken kan karakteriseres
som værende "kort".
(2.177) og (2.173) giver da
U ~ W (2.178)
room

74
Heraf kan vi slutte, at alle 4 ikke-lineære led i (2.174) og (2.176) er af
samme størrelsesorden samt at bu/bt ~ bw/bt. Vi vurderer nu ^r / u — for
1 • ' bt ' bx
bølgeforstyrrelser :
b t / u ^ ~ i
/ u ~ c f/ u>>1 (2.179)
hvor den karakteristiske længde kan sættes til bølgelængden X og T til bølgens
svingningstid, c- er bølgens fasehastighed, der som bekendt l er langt større
end væskedelenes hastigheder under bølgen. Forholdet
§ / f u ~ T / T » 1 (2.180)
ot p
Da | f uj ~ JP | , hvor F kan være gnidningskræfter, tidevandsfremkaldende
kræfter etc. (se afsnit 2.1 og 2.2 samt kapitel 6) kan bevægelsesligningerne
herefter skrives som
H = _1|!E+D (2.181)
K J
bt p bx x
f u = - - ^ + P (2.182)
P by y
S» l£E_ g + D + F (2.183)
bt p 02 Z Z
Leddene i (2.182) er alle anden-ordens led ifølge (2.180) samt fordi
| Px| - | Py| ~ | f ix | , d.v.s.
§*-0 og p = p(z, z, t) (2.184)
| Fj ~ |Fx| - | f u| , d.v.s. g » Fz i (2.183).
Dissipationsleddene D ~ D på grund af (2.177) og (2.178), og begge kan skri-
2 2
ves på formen D ~ A b u/bz. Forholdet
gi/D ~ e f x/A (2.185)
hvor x er forstyrrelsens karakteristiske bølgelængde og A en karakteristisk
turbulent gnidningskoefficient. Vi ser, at dissipationsleddet i (2.181) og
(2.183) "bor medtages for små forstyrrelser som f.eks, kapillarbølger på grund
af x-afk^gigkeä i (2.185), medens D-leddene kan ignoreres for større bølge-

længder, der iøvrigt også medfører større fasehastigheder. Vi er nu istand til
at opskrive de endelige "bevægelsesligninger for vort problem :
Kontinuitetsligningen :
ga + Jï-O (2.188)
I (2.186) og (2.187) indgår trykket kun som en gradient. Det betyder, at vi
uden tab af generalitet kan sætte atmosfæretrykket ved havoverfladen lig
med nul.
Grænsebetingelser ;
En nærmere gennemgang af disse er foretaget i afsnit 8.7 så vi vil indskrænke
os til nogle få bemærkninger :
Det fysiske indhold i den kinematiske grænsebetingelse ligger i antagel­
sen om, at en væskedel, som befinder sig på grænsefladen, vil forblive dér.
For en flade
F(x, y, z, t) = 0 (2.189)
giver den kinematiske randbetingelse generelt
df = 0 (2.19O)
Hvis z = Tl(x, y, t) er ligningen for det fri vandspejl bliver randbetingelsen
w = r? + up+ v r^ for z = TI (2.191)
bt bx by ' \ j *
Vi vurderer forholdet
g / n M ~ 0 f / u » 1 (2.192)
i lighed med (2.179) og da v ~ 0 kan (2.191) skrives som
w = || for z = TI (2.193)
75

76
Ved bunden er z = konstant så
w = 0 for z = - D (2.194)
z = Tl(x, t)
z = 0 • x
p = konstant
*//////////////j/////////////////;//
z = - D
Den dynamiske grænsebetingelse for bevægelige flader siger, at trykket på hver
side af en sådan skal være det samme under den forudsætning, at kapill ar-kræf -
ter kan ignoreres. Vi antager hér, at dette ikke er tilfældet, d.v.s.
p = - C for z = TI (2.195)
-1
hvor C er overfladespændingen, som for vand ~ 75 dyn era
ÖT\A> X er et mål på bølgens hældning tg ß idet
öi
tg ß
(2.196)
For store bølger er tg ß lille, og desuden har vi for sådanne tilfælde ingen
væsentlige kapill ar-effekter så (2.195) bliver blot
p = 0 for z = T] (2.197)
Haves kapillarbølger kan tg ß bliver ganske stor for små bølgelængder, men-
ifølge (2.185) er dissipationen også tilsvarende stor, d.v.s. de mindste bølger
har kort levetid og er dermed oceanografisk set uinteressante. Vi betragter
kapillarbølger, hvor \ er af størrelsesordenen 1 - 10 cm og tg ß < 0,3. Med
disse antagelser kan vi approximere (2.195) "til første orden

--c£-3
C *-g for z = I]
Ö3C
77
(2.198)
Den forstyrrelse vi søger antages at være periodisk. Herved kan vi Fourier-op-
løse den i komponenter af formen
"H = a cos(k x - u) t) (2.199)
fordi alle vore differentialligninger er lineære, hvorved superpositionsprin­
cippet er gyldigt.
Fig. 42. En enkel fremadskridende
harmonisk bølge til forskellige
tidspunkter (svingningstid 10 sek.
og bølgelængde 100 m).
Vi differentierer (2.186) og (2.187) med hensyn til henholdsvis x og z, adde­
rer disse ligninger og benytter (2.188). Herved bliver
V e - p = 0 (2.200)
Vi ved, at for vor vandmasse i hvile er p = - p g z, så for dette tilfælde er
(2.200) automatisk opfyldt. For en pertuberet væskeoverflade er det følgelig
rimeligt at sætte
p = - p g z + f(x, 2, t) (2.201)
Pertub at ions trykket f(x, z, t) må afhænge af forstyrrelsen uafhængig af dybden,
d.v.s.

78
f(x, z, t) = A(x, t) B(z) (2.202)
Yi forudsætter, at A(x, t) "bliver en harmonisk funktion. Indsættes (2.202) og
(2.201) i (2.200) fås
1 b 2 A , 1 d^ _ ,„ 0rt,»
ox dz
Vor antagelse om A(x, t) leder til at
2
l£-| +k 2 =0 (2.204)
öx
^^§-k 2 =0 (2.205)
dz
Disse ligninger løBes på sædvanlig måde og vi finder, at det generelle udtryk
for trykket kan skrives
P = - p g 2 H- (C1 e 1 ^ x - æ *> + C2 e" 1 ^ * - » t) ) .
- (E e k z + F e _k 2 ) (2.206)
hvor C , C-, E og F er 4 integrationskonstanter,
öw/öt = 0 for z = -D, fordi w = 0 for z = - D.
Derved "bliver
§£" - P S forz = -D (2.207)
ifølge (2.187). Benyttes denne randbetingelse på (2.206) fås E e~ k ^ = F e k D =
konstant, som vi sætter lig med i, d.v.s.
u 1 kB
E = £ e / «v
w , -M) ( 2 - 2o8 >
F = i e
Med dette kan (2.206) skrives som
, /„ i(k x - tu t) , _ -i(k x - u) t) \
p = -pgz+(C 1e v ' + C2 e ^ ' ) .
* cosh k(z + D) (2.209)

Ved overfladen antager vi, at D » % hvorved e — ^ ' + J ~ e — . Vores
øvre randbetingelse (2.198) for trykket giver da
p = C k a cos(k x - œ t)
„ /„ i(k x — «) t) „ -i(k x - iß t)\ , . _ /_ „._%
- p g TI + (C e v J + C- e ^ 'jcosh k D (2.210)
Løsning af (2.210) giver
C e^ k X - " t) + C2 e" i(k * - æ t} - '
C k t P g a cos(k x - o t) (2.211)
cosh kB v '
Herved kan trykket skrives som
2
p = * P e Z + ^oshV/ COSh (k(z + ^ COs(k x ~ « "^ (2.212)
Ifølge (2.193) og (2.187) er bw/bt = b 2 î/bt 2 = - eu 2 a cos(k x - tu t) =
- l/p * bp/bz - g. Indsættes (2.212) heri får vi
2
tu 2 = g k (1 + £-| ) tgh k D (2.213)
c f =4 Ä(£ r + k )* ehk]D (2 - 214)
k
Vi skal bet ragte 3 special-tilfælde :
1 ) X « D men større end ca. 1 cm;
d.v.ß. kE » 1 og tgh kE~1
p
C f = ~ k + k (2.215)
I dette område har vi kapillarbølger. Vi bemærker, at både små og store
2
k-vsrdier leder til store værdier for c-, som følgelig må have et minimum
for
k min . = \t*f- ~ 3,65 cm"
min V ^
eller
X . = 1,72 cm
min '
79

80
2) Kin«*«**
d.v.s. k B » 1 og tgh k D ~ 1
Desuden bliver g/k » (c/p) k for tilstrækkelige store X og dermed
t k
(2.216)
I dette område har vi de såkaldte dybvands-tyngdebølger eller korte bølger,
som de undertiden også kaldes. Det er den type bølger, vi træffer som vind­
bølger ude på det åbne hav.
3) X » D,
d.v.s. k D « 1 og tgh kB ~ kD
4 = g D (2.217)
I dette område har vi de lange bølger. Eksempler på sådanne bølger er givet
i slutningen af dette afsnit samt i kapitel 6.
12
H 10
-
i 8
i:
o
i«
^^^^^n^2bm
A'oo^^
sS 0 *^ ,
^ — ' A*10m
s^^"^
j^^~~ ' ' A = 5m
/^~ A-lm
20 40 60 80
Wavelength L (meters)
100
Fig. 43- Fasehastigheden som funktion
af bølgelængden og vanddybden.
Tabel 3. Oversigt over relationerne mellem bølgelængde, fasehastighed, svingningstid,
vinkelhastighed, bølgetal og gruppehastighed for korte bølger.
Størrelserne i skemaets øverste vandrette kolonne kan udtrykkes ved størrelserne
i skemaets venstre søjle.
L
C,
T
to
k
Cç
L
L
2«C\lg
g-r-iiz
2xgj

De lange bølgers gruppehastighed er lig med deres fasehastighed, d.v.s. energi­
transporten foregår med hastigheden c„ = ygD . Tænker vi os en oprindelig
ujævn kyst opbygget af det samme materiale, vil vi ved de fremspringende kyst­
konturer få kraftige bølgeslagspåvirkninger, hvis havbunden skråner jævnt udad.
Slutresultatet bliver en udjævningskyst, som vi finder den mange steder i Dan­
mark, hvor der er bølgepåvirkning på grundt vand (f.eks. Jyllands vestkyst
samt Nord- og Nordvestsjællands kyster).
Fig. 44. Bølgefraktionsdiagram, der viser hvorledes bølgeenergien koncentreres
ved den fremspringende pynt medens den spredes i bunden af bugten. Dette
favoriserer dannelse af den såkaldte udligningskyst f.eks. Den jyske Vestkyst.
81

82
På samme måde vil det kunne bemærkes, at bølger, som løber skråt ind mod en
kystlinie, vil have en tendens til at rette sig op, så bølgekammene helt inde
under land forløber næsten parallelt med kystlinien. Bette kan let forklares
ved at benytte (2.21J).
Vi vil herefter betragte væskedelenes bevægelse under bølgerne givet i
specialtilfældene 2) og 3) :
Kombination af vore bevægelsesligninger (2.186) og (2.187) med det beregnede
tryk i (2.212) hvor C ^ 0 tillader en beregning af u, w.
Vi finder
It = cosh fk B) C0Sh (k(z + L » a k Sin(k X W t}
*
u = oosh^k^B) cosh (k(z + D)) °°s(k x - » t) + f(x)û U) (2.218)
t? • cosh fk B) s ^( k (^ + D )) a k cos(k 1 - « t)
W = cosh k (k B) S ^W Z - + D » ßill ( k x - » t) + FW (2.219)
w = 0 for 2 = - B medfører Ff*0-&(ï? DJ ~ O,
&en*r*lt f *t#*P» « é "Jtøé fif « SQfjGXZt 1 * O-
Kvadrering af (2.218) og (2.219) giver ved en efterfølgende addition og
omordning af leddene
u (cosh k B) + w (cosh k D) = J] ,g 22Q,
( ^) 2 (cosh(k(Z + B))) 2 (^k) 2 (sinh(k(Z + B))) 2 "
2 2
idet cos (k x - u) t) + sin (kx-u)t) = 1.
d.v.s. de mulige værdier af u, w falder på en ellipse i u, w-planen.
Bet kan let vises at :
1) for korte bølger udarter strømellipsen til en cirkel, hvis radius aftager
eksponentielt med dybden samt
2) for lange bølger udarter ellipsen til en meget flad ellipse (en ret linie)
idet lilleaksen/storaksen = tgh(k(z + B)) ~ k(z + B) ~ 0.

I Østersøen haves intet tidevand af betydning, d.v.s. ingen astronomisk
"bestemte vandstandsforskydninger. Vandstandsændringerne hér har følgelig sin
årsag i meteorologiske forhold (ændringer i strømmønstret foranlediger også
vandstandsændringer, men vi har tidligere set, hvorledes samme strømmønster er
stærkt meteorologisk betinget). Vi betragter en vandstandsændring betinget af
enten en vis ændring i barometerstanden eller af vindstuvening. Disse udgangs-
betingelser kan under visse omstændigheder genere en såkaldt uni-nodal seiche
i Østersøen, hvilket vil sige, at vi får en stående bølge med ét knudepunkt -
se Fig. 45 og 46. En sådan observeredes mellem 10. og 15» december 1932. Fi­
gurerne viser de ekstraordinære udsving i vandstanden, som blev målt af adskil­
lige vandstandsmålere (mareografer) i perioden 11. - 12. december : En sænkning
af havoverfladen på 100 cm i Kronstadt Bugt og en stigning på mere end 50 cm i
den vestlige Østersø. Nodal-linien er beliggende mellem Litau og Stockholm.
%
&
"*i fl • *t; f' 1 J A. PJV .urt ~W * -*-\
' - x ', .|JAf r .5q Tp " ,nn "
Fig. 45• Isolinier for samme bølgeamplitude til et givet tidspunkt (co-range
linier) omkring 11. december 1932. De fuldt optrukne linier angiver en vandstand
over middelniveau og de stiplede en vandstand under. Tallene giver
vandstandsændringen i cm.
92
83

84
Fig. 46. Isolinier for samme bølgeamplitude omkring
12. december 1932.
1 det følgende gives teorien for en stående lang bølge i et indelukket
rektangulært bassin med den konstante dybde h :
2 lange bølger med samme amplitude og frekvens men med modsat forplant-
ningsretning interfererer på en sådan måde, at der opstår en stående bølge.
t-o
t- 3.75 sec
Fig. 47« Stående bølge til forskellige
tidspunkter (svingningstid 10 sek.).

For bølgen, som forplanter sig i x-aksens positive retning, gælder
Uj = I cos(k x - m t) = | cos k(x - cf t) (2.221)
C f
^ = — U, (2.222)
hvor c» = ^g h.
For bølgen, som forplanter sig i modsat retning, får vi analoge udtryk til
(2.221) og (2.222) ved blot at erstatte cf i disse ligninger med - c_, d.v.s.
T]2 = •£ cos(k x + æ t) = -| cos k(x + cf t) (2.223)
" c f
V -2 B "1T"\ (2.224)
Ved bølgeinterferens gælder
H - U, + \ (2.225)
u = u^ + u2
Herefter kan vi give analytiske udtryk for henholdsvis 1\ og u :
85
(2.226)
T] = a cos k x cos u> t (2.227)
C f
u = 7- a sin k x sin w t (2.228)
For et lukket rektangulært bassin med lodrette v^gge kræver de kinematis-
ke grænsebetingelser, at normalhastigheden hér skal være lig med nul. (2.228)
viser, at dette er opfyldt for x = 0. Skal kravet også opfyldes for x = L, hvor
L er bassinets længde, får vi betingelsen
eller
k L « n TI hvor n = 1, 2, 3 ... (2.229)
k
- — (2.230)
Da w = 2 TC/T = k o = k )}g h , bliver den stående bølges svingningstid T

86
T = 2 n m 2 g
k c ~ n % i—r
Ved en mindre omregning når vi frem til Merians formel
T. =
2 L
n n \fg h ~ n
Indsætter vi (2.230) i (2.227) findes
T| = a cos n — x cos u) t
Knudepunkterne x = 3^, hvor i) = o for alle t, er givet ved
hvorved fås
cos n Î *k = °
*k = Fn" (2 q ~ 1 ) hvor ? = % 2, 3 ...
(2.231)
(2.232)
(2.233)
L ^ * - / ^ 2 % ^
Eftersom ^ < LT må j^- •• ,, d.v.s. q < n + £. Et heltalligt q kan derfor kun
løbe fra 1 op til n. Antallet af knudepunkter bliver følgelig n. Hvis n = 1 har
vi den førnævnte uni-nodal seiche.
/-o
», - .„ - - I
l )
^^///,y/////////^^/^y.^w//MM//^y////M
Pig. 48. Eksempler på vandstandsændringer som følge af en stående bølge med
et knudepunkt i et lukket bassin (en s.k. seiche).
(2.234)
(2.235)

Vi kan na vende tilbage til vort seiche-eksempel. Hvis vi ansætter, at
Østersøen er et rektangulært bassin, at middel dybden = 55 ni og at længden af
bassinet = 1450 km, kan svingningstiden T for seichen beregnes. Vi har nemlig
T = -^- , hvor c„ - «/g I) m/sek og X « 2-1450 - 10 m
Af disse tal finder vi T. = 34)5 time. Den observerede svingningstid blev fun­
det at være 27,3 time. Forskellen i svingningstid ligger bl.a. i, at vi har
antaget konstant dybde til bund, hvilket langt fra er tilfældet. Topografien
spiller en stor rolle, fordi c« = cf(D) fremstiller en parabel, men andre for­
hold gør sig også gældende Ï
Vi har i udledelsen af Merians formel antaget, at de ikke-lineære led i bevægel­
sesligningen samt gnidning kan ignoreres. Vi skal undersøge disse forhold nær­
mere hver for sig. Kår de ikke-lineære led medtages i bevægelsesligningen for
en ideal væske, kan denne skrives på formen (se afsnit 3.3 og Appendix) :
rr + v(| v . v) + (v x v) x v = vp- v(g z)
ot p
87
(2.236)
Antages en rotationsfri bevægelse, d.v.s. V x v = 0, kan vi sætte v E V ep. Her­
efter kan (2.236) skrives som
fcu 2 + fcw 2 + *+g Z = f(t) (2.237)
fordi v = i u + k w. Se også afsnit 3.3.
2 = 0
z » - h
n u / / n /Uffnnuntrf/n
Vi skal anvende denne Bernoulli's ligning på overfladen, når vi studerer bølgen
i et henføringssystem, der bevæger sig med hastigheden 1 c-. Bølgen bliver sta­
tionær i dette koordinatsystem. (2.237) anvendes for et bestemt tidspunkt t=t

88
i tværsnittet A samt i et tværsnit B som endnu ikke er påvirket af bølgen, der
iøvrigt kaldes en sol it ær-bølge eller en kanalbølge. Ti får da
Ku - cf) 2 + i w 2 + £ + g TI = £(- cf) 2 + £ (2.238)
Bølgeoverfladen er stillestående i vort henførings syst em, så der sker ingen
transport gennem fladen, hvilket kan skrives
v • n = ((u - cf) i + w k) - n = 0 (2.239)
hvor n er fladens normal. Retningen for normalen til en flade F(x, z) = 0 er
givet ved v F. Bølgefladen kan i henførings systemet skrives som z - T|(x) = 0,
saledes at n's retning bliver
v(z- T[(x)) «-.g?+ 2 ^ * . ' :' (2.240)
Benyttes (2.240) sammen med (2.-239) fås
w = (u - cf) || for z = TI (2.241)
- og vi har i forvejen w = 0 for z = - h.
Hvis bølgehældningen er lille bliver forholdet
lader sig approximere til
u - cf
lille, hvorved (2.238)
i(u - cf) 2 + g TI = | c 2 (2.242)
Kontinuitetsligningen kræver samme volumentransport gennem tværsnittene A og
B for vor homogene vandmasse, d.v.s.
hvorved
(u - cf) (h + T[) = (- cf) h . (2.243)
u= ïrfri c f (2.244)
Benyttes (2.244) på (2.242) finder vi
2 . (1 + Ti/h) 2
c =gh-> V-U 2.245
1 + V2 h

Da f|/h « 1 kan vi med helt sædvanlige approximationer finde
c f =

90
For ß = O er vi tilbage til de kendte løsninger for lange bølger. Vi ser fra
(2.253)i at væskedelenes resulterende bevægelse er rettet fremad i vandet sam­
tidig med at deres bevægelse dæmpes på grund af faktoren e~ p '
De progressive lange bølger har en fasehastighed, der kan findes på en
tilsvarende måde som tidligere
°f = ^\r---f— < 2 - 254)
Ï 4 k g h
Ved interferens mellem 2 modgående lange bølger med en fasehastighed som givet
i (2.254) finder vi som i (2.231) og (2.232) !
eller
f n||g h \/l - ß /4k g h
2
T = T (i - 1 )"* (2.256)
n 4 & g h
hvor T er givet ved (2.232).
Til sidst skal det nævnes, at bi-nodale svingninger (n=2) og højere harmoniske
n > 2 kun med vanskelighed kan observeres i Østersøen. Derfor kan det
alligevel være interessant at angive en korrektion for multi-nodale stående
bølger (n stor ) i et rektangulært bassin. Af (2.230) følger \ = 2L/n, som viser,
at bølgelængden bliver mindre, når n vokser. Begrebet lange bølger vil efterhånden
så ikke gælde for tilstrækkelige store n-værdier. Vi må da erstatte
c- - ygh med det mere generelle udtryk
c f = J g tgh k h (2.257)
som fås fra (2.214) ved at sætte C = 0 og D = h. Benyttes (2.257) sammen med
(2.231) og (2.232) bliver
eller
T: p=— , *** (2.258)
» V^k
tgh k h
Vk
T = Tn^ k h coth k h (2.259)
Vi antager nu, at k h er så lille, at vi i rækkeudviklingen af coth k h kan
ignorere led af fjerde og højere orden. Efter en del besvær finder vi omsider

* - T n ( 1 + s < n % z ) )
91
(2.260)
hvor vi har benyttet (2.230). Korrektionsleddet vokser med n . For vor uni-nodale
seiche i Østersøen, hvor n *= 1, = 55 ni og L = 1450 km bliver
T
-9,
- T1 (1 + 2,4 • 10~ y )
Afslutningsvis vil vi behandle det tilfælde, hvor en lang fremadskridende
bølge påvirkes af, at vanddybden pludselig ændre sig som skitseret nedenfor
^=F
-»c.
O) P 1 u,
S////////')//////////////////»/
i
x=0
(2) P, u2
lTTTTrnTrrrrrT77Tn77777T7777777777777r
i • - h„
For enkeltheds skyld antager vi, at havbunden overalt ligger horisontalt, samt
at vanddybden på ét bestemt sted ændrer sig diskontinuert. Endelig forudsættes
massefylden at være den samme overalt. Herved har vi defineret 2 havområder ka­
rakteriseret gennem deres dybder alene.
For en lang progressiv bølge gående i x-aksens retning er w = 0 og de sæd­
vanlige ligninger kan skrives
ÊA--ffS3
bt ox
S_(h u) „ _ MJ
bx v J at
(2.261)
(2.262)
hvor h er vanddybden under det horisontale vandspejl og T] afvigel sen fra samme*
Yi har 2 variable u og T| og 2 ligninger. Der vil være visse fordele forbundet
med at beskrive problemet ved hjælp af % bl.a. fordi T] er direkte observerbar
gennem vandstandsmålinger. Vi søger altså at eliminere u i (2.261) og (2.262)
ved sædvanlig krydsdifferentiation :

92
Addition af (2.263) og (2.264) samt omordning af leddene giver
^i-X^i = 0 (2.265)
bx bt
hvor X = (gh) er en konstant for hver af de 2 havområder. (2,265) er en hyber-
bolsk differentialligning, der har oscillerende funktioner såsom cos og sin til
løsninger, forudsat \ er positiv og reel. Begge dele ses at være opfyldt.
Vi antager, at en løsning til (2.265) kan skrives på formen
•O = I(x) T(t) (2.266)
Separationsvilkåret giver, hvis vi indsætter (2.266) i (2.265):
I \f- = 0 (2.267)
Skal dette være opfyldt for alle x, t vil
!^---p 2 (2.268)
x f = -p 2 (2.269)
hvor p er en reel konstant.
Vi lader nu en lang bølge på dybden h nærme sig området med dybden h .
Da bølgelignijtigen (2.265) er tilfredsstillet i begge havområder (1) og (2),
må der ved diskontinuiteten x = 0 gælde
U, (0,t) = Tl2 (0,t) eller (2.270)
•n± (o,t) + Tir (o,t) =

(2.27 1 ) kan også skrives som
\ (0,t).Cl = Tlr (0,t).Cl + ^ (0,t)*c2
hvor c1 = lfgh1 og c2 =~^gh2 .
Udtrykket F ( x , w ) e~ beskriver en harmonisk "bølge i tiden med
amplitude F og vinkelhastighed u> Tid- og ramkoordinaten er hér adskilt som i
(2.266). En mulig løsning til f| kunne være
10 = T2T f-*> F ^ X ' "^ e_X(i)t du) (2.272)
Bet eneste som er indeholdt i (2.272) er en summation af harmoniske funktioner
af formen F ( x , u> ) e over alle u>. Denne summation vil også være løsning
til (2.265), fordi denne er en lineær 2. ordens differentialligning. Ti har
som tidligere ignoreret Co riol is-kraftens indvirkning, d.v.s. vi kan konklude­
re CD >f. Dette krav vil med vore antagelser medføre at F( x, u>)"*0 for OD-* f.
Ifølge sædvanlig Fourier teori kan enhver analytisk funktion skrives som
et Fourier integral, således at den løsning vi har valgt for j\ er helt generel.
Vi indfører nu nogle størrelser:
h = 7T~=~ ° e F = F i f o r x 0 (2.274)
Benyttes (2.273) og (2.274) sammen med (2.268) og (2.269) fås:
FJji + kJ F1 = 0 for x< 0 (2.275)
F?' + kj F2 = 0 for x > 0 (2.276)
hvor k1 = »/c1 og k2 = UJ/C2 . Løsningen til (2.275) og (2.276) bliver
hvorved
F1 = A e lk 1 X + B e _ i V (2.277)
F = C e
2
ik 2 X + D e~ ik 2 X (2.278)
*1 = m /C Aeikl± + Be " iklX ) «^"**«»-% + TW (2-279)
\ " ?fe f (C elk 2 X + D e" ik 2 X ) e" iu)t du, = ^ (2.280)
93

94
Vi har således en forstyrrelse langt fra diskontinuiteten i x - aksens
positive retning, som bevæger sig mod diskontinuiteten. Dette er en fy­
sisk umulighed, fordi der i dette område ikke findes hindringer af no-
gen art, som som kan foranledige forstyrrelsen, D*e 2 »e .
Disse overvejelser leder os til at sætte D lig med nul så
\ == Wif ° e ik 2 X e- iü,l! do> (2.281)
Randbetingelserne (2.270) og (2.Zfl)gxvev 2 ligninger til bestemmelse af
de 3 konstanter A, B og C. Vi vælger derfor at udtrykke B og C ved At der vil
fremstå som en parameter givet ved den indkommende lange bølges^ amplitude. Ef­
tersom randbetingelserne gælder for alle værdier af t, må dette også være op­
fyldt for funktionen
F(x,» ) -Js- r 7l(x,t)e iu3t dt
2n
fordi T) er differentiabel for x = 0 og analytisk for x * 0. Herigennem kan rand­
betingelserne omformuleres til
Pn ( 0, CD)= F2( O.cu) =^(0, æ)+Pr(0,u)) (2.232)
^(0, U))c1 = Fr(0, H))CI + Pt( 0,o,)c2 (2.283)
Vi indsætter betingelsen x = 0 i henholdsvis (2.277) og (2.278) hvorved
d.v.s.
A + B = C (2.284)
Cj| (A - B) = c2 C (2.285)
C
— C
B = C 1 4- O 2 A ^) ( 2 ' 286 )
c 1 + C 2
hvor B er den reflekterede bølges amplitude og
2c
c = T7r A W (2.287)
C 1 + °2
hvor G er den transmitterede bølges amplitude. A, den indkommende bølges ampli­
tude, er sædvanligvis en funktion af tu-
Vi kan k2 også - k skrive (2.286; og ^2.287) som henholdsvis
B = - AU) (2.288)
k7+k2

2k
C=r-TV AU) (2.289)
Amplituden F bliver således
K =AU) ( e i(lD/c i )x +-^-i e- i(aj / C 1 )z ) ; forx kp optræder intet faseskift. Dette er helt analogt til,
hvad der gør sig gældende for tilsvarende optiske og akustiske hændelser, der
går gennem medier med forskellige "tætheder".
Antag herefter at h -» 0. Herved vil c? -> 0 og dermed xi+ "* 0* Resultatet
bliver en total reflektion, hvor
nr= ni (2.295)
Dette svarer naturligvis til en bølges reflektion ved en fast lodret rand. Be­
tingelsen i (2.295) er også gyldig for korte harmoniske bølger.
95

96
Forholdet mellem den indfaldne og reflekterede bølges amplitude samt
forholdet mellem den indfaldende og transmitterede bølges ampiltude kan herefter
angives ved benyttelse af (2.292) - (2.294). Den reflekterede og transmitterede
bølge modificeres i forhold til den indfaldende bølge med henholdsvis størrelser­
ne (c - c )/(c + c ) og (20^/(0 + c1). For en tidevandsbølge der kommer ude
fra det åbne ocean ind mod shelfen er
c„ ~ Ifg * 4000 m sek.
1
c ~Yg~* 200 m sekT
Shelfen virker med andre ord som en bølgeforstærker, idet den transmitterede
bølges amplitude bliver forholdsvis stor. Dette forhold forklarer ikke det
ringe tidevand i Østersøen, og i indre danske farvande, der i stedet-"skyldes
flere fra Atlanterhavet indkommende tidevandsbølgers interferensforhold, i
Skagerrak.

3.1. Knudsens hydrografiske teorem.
Kapitel 3
Sundet og Bælthavet
Knudsens hydrografiske teorem omhandler en anvendelse af 2 kontinuitets-
sætninger for henholdsvis vandvolumen og salinitet. Der antages stationær
tilstand samt at masseflux * l(Vvolumenflux, hvilket er en rimelig approxima­
tion inden for 2 %% ' Salinitetsfluxen til det betragtede område
tænkes alene at foregå i havet. Dette er næppe helt tilfældet, fordi vi kan have,
at små koncentrationer af salt kan forlade et vandvolumen gennem fordampning
ved havoverfladen. Således udviser luftens indhold og fordeling af hygrosko­
piske saltpartikler over hav og land forskelligheder. Saltfluxen gennem havover­
fladen er imidlertid lille sammenlignet med fluxen gennem vandet. Den sidste
vigtige, men hyppigt oversete antagelse, som Knudsen foretog, omtaler, at netto
-salinitetsfluxen over ethvert tværsnit i det betragtede område er lig nul,
dvs.
JA
v - p • S dA = 0 (3.1)
Idet p«*£*w*ßcan denne antagelse skærpes, således at
i v r,o»i • S • dA = 0 (3.2)
j, normal
De yderligere detaljer, som gemmer sig i Knudsens hydrografiske teorem er at
finde i afsnit 8.3 og S.k,
Vi vil benytte Knudsens hydrografiske teorem på en såkaldt to-lags model,
der skematisk er vist i Pig. U

98
Fig. 50. Temperatur, salinitet, sigma-t som funktion af dybden i Øresund.
Vi ser i Fig. 50 et eksempel på en måling i Øresund af temperaturen T og
saliniteten S, hvorfra sigma-t, ö er beregnet
G, = p - 100© Wg m -3
Vi bemærker den stærke lagdeling, som retfærdiggør antagelsen om en to-lags
13.3)
model; desuden at at varierer mellem 8 og 25 kg m , hvorfor p**{9Nft\-vajiåsctjlen,
De hydrografiske forhold i Bælthavet er analoge til forholdene i Øresund.
andrager:
hvor f.eks.
Vi ser herefter på volumenfluxen væk fra området angivet i Fig. J+9, som
h n i + W - Q • F (3.10
A„u, = u.
11 j
dA = A±
Q er den samlede effekt af nedbørsmængden, fordampningsmængden og ferskvands-
tilførslen regnet med fortegn pr. flade- og tidsenhed. F er lig arealet af den
samlede havoverflade, som vi betragter.

Volumenfluxen ind i området bliver tilsvarende
W + A 2 U 2 (3-5)
Da vi har antaget stationær tilstand, haves
A l u l + W " Q " F = W + A 2 U 2 (3-6)
Vi må på tilsvarende måde forlange, at salinitetsfluxen ind i området
skal balancere salinitetsfluxen ud, dvs.
LL«1B1 + W S Y = VV S i + A 2 U 2 S 2 (3.T)
Det er denne ligning, vi forenkler ved hjælp af (3.2), hvorved vi opnår to
ligninger i stedet for (3.7):
s iVi = WV
S2A2u2 = S2»A2'u2'
99
(3.8)
(3.9)
Kombinationen af (3.6), (3.8) og (3.9) leder os frem til Knudsens hydrografiske
teorem:
i-(Sl/s')
1 - (B2/S2')
Aiu1 — Q F =
V2
(3-10)
Knudsen benyttede resultatet på middelforholdene i danske farvande. Snit 2 blev
lagt i den vestlige Østersø, hvor Sp = 8.7 og Sp'= IT. 1 *» Snit 1 lagdes
i den Sydlige del af Kattegat, hvor S- = 20, O og S.' = 33.0 #. Det område,
som betragtes, har omtrentlig samme nedbør som fordampning, og ferskvandstil-
førsien fra land er ringe, dvs. Q F kan ignoreres. Vi finder da fra (3.10)
ApU = 0.8 A_u , dvs. middel volumenf luxen fra Kattegat til Skagerak er 25 %
større end volumenf luxen fra Østersøen. Dette kan forklares gennem at antage,
at vand ført fra Skagerak til Kattegat af understrømmen forlader Kattegat igen
med overfladestrømmen. Betragter vi forholdene i Østersøen, som er et bassin
med kun en åbning, har vi følgelig kun snit 2, dvs. (3.10) reduceres til
Q F =—A2u2 (1 - (S^ 1 )) (3.11)

100
Vi finder nu Apup = 2A'u2 l s dvs. den totale udadgående volumenflux fra
Østersøen er dobbelt så stor som den indadgående volumenflux ved bunden.
Eftersom sApUp numerisk er lig Q F, ser vi , at ferskvandstilførslen (nedbør +
flodtilførsel *• fordampning) er positiv.
Knudsens hydrografiske teorem er på mange måder problematisk i praktisk
anvendelse på grund af kravet om stationaritet. Knudsen siger selv, at det ikke
er tilladeligt at betragte saltmsengden i Østersøen som konstant i et så kort
tidsrum som 3 måneder. Andre undersøgelser viser, at saliniteten i gennemsnit
for hele Østersøen i f.eks. 1951 blev forøget med 0.1 /oo. Ser vi omvendt på
de store tidsskalaer 1900 - 1950, synes saliniteten i gennemsnit at være øget
med ca. 0.5 /oo* Knudsens hydrografiske teorem kan med andre ord ikke benyttes
til et nøjere studium af volumen- og salinitetsfluxer i de indre danske farvande.
En anden begrænsning i anvendelsen af (3.10) eller (3-11) ligger i bestem­
melsen af nettoferskvandstilførslen Q
Q = P + L - E • (3.12)
hvor F, H, L henholdsvis står for nedbør, fordampning og flodtilløb i f.eks,
mm pr. år. Vi har forholdsvis kun få vanskeligheder med at bestemme P, fordi de
talrige meteorologiske stationer rutinemæssigt måler nedbør 2 gange dagligt.
Det skal bemærkes, at den årlige nedbør er næsten konstant nemlig 600 mm for
hele Østersøen - se Fig. 51.

Fig. 51. Årlig nedbør (mm/år) for perioden I931-I960.
Flodtilførslen L er lidt dårligere bestemt end nedbøren. Målestationer­
nes antal er ikke sammenligneligt med de meteorologiske . Alligevel er der en
rimelig god s tat ions dækning, som det fremgår af Fig. 52 og Tabel 4. Vi kan altså
konkludere, at L f.eks, på årsbasis er tilfredsstillende godt bestemt, men
at de nødvendige målinger involverer meget arbejde. Det er derfor nærliggende
at stille sig spørgsmålet, om det er muligt at finde L på en anden måde. Vi
kender afvandingsområdet for Østersøen samt nedbøren over samme område - se
Figs. 51 og 53.
101

102
Fig. 52. Målestationernes "beliggenhed til bestemmelse af vandafløbet til
Østersøen.

Tabel k. Antal floder og deres totale afvandingsomrade omkring Østersøen.
Delbassin Flodområder Afvandet areal
2
Totalt Undersøgte km Undersøgt {%)
1. Botniske Bugt
Finland 26
Sverige 27
2. Bottenhavet
Finland 18
Sverige 33
3. Finske Bugt
Finland 13
5. Centrale Østersø
Sverige 29
Totalt 1, 2, 3, 5 lU6
11
7
7
10
1U2000
125000
UlOOO
180000
89
85
71*
88
1+7000 89
9 79000 70
50 61U000 1 ' 8U
1) Det totale afvandingsomrade = 37 % af Østersøens totale afvandingsomrade.
103

104
Fig. 53. Afvandingsområdet for Østersøen.
Kan fordampningen over afvandingsområdet "bestemmess vil flodtilførslen kunne
beregnes udfra nedbøren, hvis stationær tilstand haves som f.eks, ved årlige
middelværdier. Desværre, som det også vil fremgå senere, ligger vanskeligheden
i en bestemmelse af fordampningen E, så den foreslåede metode'må skrinlægges.
Den eksperimentelt bestemte flodtilførsel L er angivet i îlg. 5^.

Fig. ^k. Årligt vandafljzfo (mm/år) for perioden 1931-19Ö0.
Det er vanskeligere at bestemme fordampningsleddet. Måler vi P, L, A~s
Ug, S2 og Sg 1 , kan E beregnes udfra (3.11) og (3.12). Denne metode er klart
utilfredsstillende, fordi kravet om stationaritet i Knudsens hydrografiske
teorem var problematisk. Alligevel har metoden været benyttet.
En direkte bestemmelse af fordampningen er eksperimentelt vanskelig. Vi
kan måle den potentielle fordampning, der er fordampningen fra en vandmasse,
der befinder sig i et kar. Disse målinger, som undertiden også ses foretaget
ved små sjzJer, giver urealistiske resultater.
I en anden mere raffineret fordampningsmåling placeres et vandkar fyldt
med isotop-mærket vand i en vindtunnel. Den overliggende lufts hastighed kan
sammen med dens temperatur varieres inden for de i naturen forekommende
105

106
grænser. Fordampningen er ledsaget af en isotopfraktionering, således at den
overliggende lufts isotopsammensætning giver et mål på E. Metoden er en for­
bedring, men stadig dårlig, fordi den ikke er brugbar ved de vindhastig­
heder, hvor skumsprøjt giver store bidrag til E.
Fordampningen til et bestemt sted og tidspunktet afhænger af de meteoro­
logiske parametre: Tryk p, temperatur T, vindhastighed u og leddet e - e, hvor
e er den mættede vanddamps tryk ved T, og e luftens vanddamptryk. Formelt kan
s
dette skrives som
E = fx(p) * f2(T) • f3(u) • (es - e) (3.13)
Ifølge Eaoults lov er E strengt taget afhængig af saliniteten S, men da S i
Østersøen er lidet variabel og lille, ignoreres damptryksformindskelsen.
(3-13) er trods det generelle udseende en approximation, fordi vi er gået ud
fra, at en separation i de variable er tilladelig. Vi vil yderligere gøre den
antagelse, at f. (p) = const, samt f^fF) 52 const. Herved bliver E stadig en
funktion af T på grund af leddet e - e. Det skal erindres om, at kold tør
luft mættes hurtigt, mens varm fugtig luft kan tilføres meget vand , før mætning
indtræffer. Vi har altså
E = f(u) (es - e) (3.1*0
Herefter benyttes den grænselagsteori, som er beskrevet i afsnit 2.1. Vand­
damps transport en ud i luftens grænselag bliver
E = -A§ (3.15)
hvor q er den specifikke luftfugtighed, som aftager opad, og A den turbulente
diffusionskoefficient. Det er velkendt , at
dvs.
0.623 . n 0.623 ,, .,,/
q = p - e • e ^ —-— p • e (3.16)
0.623 „de . ,
E - A T - (3.17)
p dz
A * p,« (z - O / £ (3.18)
1
hvor p er luftens massefylde. (3.18) kan også skrives som

A « pH zu (3.19)
Dette resultat nåede vi frem til i afsnit 2.1.
Indføres (3.19) i (3-17), fås
Idet z — s — ôe = rr , kan (3.20) skrives som
dz 6z oln z
0.623 . te 6 " e z0^ . f 3 2 l l
E - _— p H y—u_ u (3.21)
P 1 O _ ,0 , \ *
* ln( /zø)
For u > 6.5 m sek bliver z 'v 0.6 cm. Indsætter vi talværdier for udtrykkene
o
i (3.21), og benytter vi, at
bliver
u = HU. lu (6/z ) (3.22)
* o o o
E = - 8.7 • 10~ U u6 (e6 - ez ) (3.23)
E er angivet i cm vand pr. time, n^ er middelvindhastigheden i m pr. sek. i
6 m's højde, og e er i mb. For lavere vindhastigheder falder E med ca. 30 %•
e^ og e er luftens damptryk i henholdsvis højderne 6 m og ZQ over havover­
fladen.
107

108
70 N
30E
^- 60 N
Fig. 55. Målestationernes beliggenhed til bestemmelse af
fordampningen over Østersøen.

Fig. 56 Årlig fordampning (mm/år) for perioden 1931
I960.
109

110
Pig. 55 viser beliggenheden af de målestationer, som skal udføre inten­
sive vandfordampnings-undersøgelser. Vi bemærker, at nettet især udgøres af
kyststationer, samt at det er relativt åbent. Fig. 56 viser, at E ^ 1+50 mm/år i
gennemsnit for Østersøen - altså en anelse under den gennemsnitlige årlige ned­
bør P.
Hidtil har vi kun beskæftiget os med årlige middelværdier for Q, P, L og
E. I Fig. 57 er deres månedlige variation indtegnet. Vi ser her den store
vandføring i floderne i april - maj, som skyldes snesmeltning i flodernes af-
vandingsområder. Nedbøren udviser kun ringe variation året igennem, og fordamp­
ningen har maximum i vintermånederne. Dette maximum skylder sin oprindelse fra
et kontinentalt præget klima med kolde og kraftige vinde over en forholdsvis
varm Østersø.
so
so
T i i i i i 1 1 1 1 — r
Fig. 57' FerskvandstilfØrslen til Østersøen (efter Brogmus).
Fig. 58 viser vandomsætningen i Østersøen i detaljer. Det skal erindres
om, at Knudsens hydrografiske teorem ikke alene kan anvendes i Sundet og Bælt­
havet, men naturligvis også ved f.eks, mundingen af Finske Bugt.

Fig. 58.
111
Som et kuriosum skal det nævnes, at de store mængder flodvand, der løber
ud i Østersøen, transporterer meget organisk opløst materiale. Dette har fælles­
betegnelsen gulstof og "består især af humussyrer. Ved saliniteter på over 6 /oo
fælder en del af disse ud. Dette sker i den centrale del af Østersøen - se også
Pig. 59- Den resterende mængde gulstof er imidlertid stabil og kan i mange
tilfælde benyttes som et naturligt sporstof. Et eksempel herpå er givet i
Pig. 59» som visers hvorledes Østersøvandets blandingsgrad med Nordsøvandet kan
angives ved en gulstof-kone entr at i on. Et andet eksempel på anvendelsen af gul­
stof som naturligt sporstof finder vi i kapitel 5-

112
20 25 30%. 35
Fig. 59- Relationen mellem salinitet og koncentrationen af gulstof (gulligt-
farvede opløste organiske stoffer) i Østersøen.
3.2. Geostrofisk ligevægt.
Hvis en bevægelse opretholdes uden acceleration, gnidningskraft og
tidevandskraft, men gennem en balance mellem tyngdekraft, trykkraft og Coriolis-
kraft, kaldes denne en geostrofisk strøm. Balancen, den såkaldte geostrofiske
ligevægt, skal bruges med en vis forsigtighed og kun på middelbevægelser.
Bevægelser med hurtige tidslige variationer har nemlig en betydelig accelera­
tion i modstrid med én af de ovennævnte antagelser. Da vi har negligeret gnid­
ning helt, kan en geostrofisk balance karakteriseres ved et lille Rossby-tal
defineret som U/fL. U og L er henholdsvis en karakteristisk horisontal
hastighed og længdeskala.
Bevægelsesligningerne får herefter følgende udseende
f v =
f u =
g
i iE
p 8x
P 9y
_1 3p_
p 3z
Dette medfører, at vi for en for bevægelsen karakteristisk tidsskala har, at
Tf » 1
Vi antager nu, at p er konstant. Fra (3-2U) - (3-26) findes
(3-2*0
(3.25)
(3.26)
!3.27)
3u 3v
Sz 3z = 0 (3.28)
hvilket betyder, at de horisontale hastigheder u, v er uafhængige af dybden.
Denne bevægelsestype kaldes barotrop bevægelse, fordi vi blandt andet antog
P - p(p) = konstant. For vore meso-skala bevægelser har vi allerede valgt at

ehandle f som en konstant. Herved "bliver
|ü + |Z = o (3.29)
3x 3y
efter differentiation og summation af (3.2*0 og (3.25). Benyttes dette sammen
med kontinuitetsligningen
haves
|^ + £*!*=0 (3.30)
3x 9y 9z
113
|^=0 (3.31)
3z
dvs. vertikalhastigheden v er uafhængig af dybden. Som følge af vore antagelser
om stationaritet er w - 0 ved overfladen z = 0, og derved er v= 0 inden for
hele vandsøjlen. Bruger vi dette resultat på vertikalhastigheden w, ved en fast
bund z = h(x, y), får vi fra (1.16)
dvs.
W b^f + T t = °
(3 - 32)
v.grad h = 0 (3.33)
Denne ligning fortæller, at væsken bevæger sig parallelt med bundkonturerne.
Hvis P varierer med stedet, hvorved trykflader og massefyldeflader ikke
er sammenfaldende under påvirkning af forstyrrelser, kalder vi bevægelsen for
baroklin. Herved får vi variationer i de horisontale hastigheder med dybden
foruden interne tyngdebølgebevægelse.
Den hydrostatiske antagelse (3.26) ser bort fra de vertikale accelera­
tioner i forbindelse med tyngdekraften og den vertikale trykgradientkraft. Vi
har tidligere i afsnit 1.2 vist, at tyngdekraften fuldstændig dominerer den
vertikale Coriolis-acceleration.
ligning
Vi forsøger nu at lave en skala-analyse på den vertikale bevægelses­
dt p 3z g U-J4J
Det fri vandspejls højde over bunden z = ri(x, y, t) kan omtrentlig sættes lig

114
med ri , som er en konstant. (3.3*0 vertikalintegreres , hvorved
p = - pg(z - n) + J M dt
* IT
Benyttes (3-35) på (3.24), fås
dz (3.35)
^sf + !-"of] (3.36)
Leddene ti i (3.35) og (3.36) betegner afvigelserne fra den rene geostrofiske
antagelse. Ved at benytte sædvanlig skala-analyse på kontinuitetsligningen
finder vi
ijï^EU^a 0.37)
Ut L y C
Her er ¥ en karakteristisk vertikalhastighed, og n den gennemsnitlige vand­
dybde det pågældende sted. Vi betragter nu forholdet
2
i • \ f]/t -1V)'
-6
Dette forhold har størrelsesordenen 10 i systemet Østersøen-Nordsøen.Vi kan
med andre ord ignorere leddet [ ] i (3-36), fordi Coriolis-accelerationen
fv » -TT-. Vi har hermed også vist, at den hydrostatiske ligevægtsbetingelse
Cl w
er en god approximation.
Cori olis-par arne ter en f - 2o) sincp satte vi konstant. Rækkeudvikles denne
omkring en bestemt breddegrad ep , får vi :
f = 2w sincpo + 2u cos(cp0) (

115
fvp =|^ (3.1*0)
0 = J* (3.1.1)
Vi har alment, at p = p(x, y, z, t), hvilket imidlertid på grund af stationari-
teten medfører p = p(x, y, a). (3.^1) leder til at p = p(x, z). Differentierer
vi (3.1+0) og (3.**2) partielt med hensyn til henholdsvis z og x og elimineres
herefter leddet
får vi:
s 2
_3_JL
9x3z
3z pf 3x p 8z ^-^J
g ^ 10 ' m sek , f ^ 10 sek , p ^|.0 fcfc:m , v ^0,1 - 1.© .m sek . Volumen-
fluxen gennem et rumfangselement beliggende helt under vand bliver for statio­
nær tilstand
Heraf følger, at "I E /f^ * W/U.
dvs.
Vi fandt tidligere, at
W^üo^10-3
U L
f£-10 3 f (3.45)
Heraf findes, at første led i (3.^3) er 10 - 100 gange større end andet led,
hvorfor vi sætter
3z pf 3x (3 ^ 6)
Hvis v aftager med dybden, er -jp > 0, dvs. -jp- < 0. Dette betyder, at
tungere vand findes på strømmens venstre side, når vi ser i dennes retning. Det
omvendte er tilfældet, hvis -r— < 0.
dz

116
Vi vil nu behandle vandstandsmålinger foretaget på begge sider af Store
Bælt kombineret med simultane strømmålinger i området. En vandstandsmåler
består i princippet af et næsten lukket rør» der kan sættes ned i havet.
mmmmtt-
Pig. 60. Princippet i en vandstandsmåler (mareograf)
En lille åbning ved rørets nedre del sikrer mod, at voldsomme bevægelser i det
fri. ydre vandspejl forplanter sig til det indre. En flyder på det indre vand­
spejl overfører via et trisse- og lodsystem information om vandstanden til en
lodretstående9 langsomt drejende papirtromle.
I tabel 1 vises formelen til bestemmelse af normalvande ved 10 udvalgte
stationer for et givet år i forhold til DNN. Videre vises
stigningskonstant og i sidste kolonne normalvandstand for 1988C^wrO
København
Hornbæk
Korsør
Slipshavn
Fredericia
Århus
Fr.havn
Hirtshals
1890 - 1988 HA = 3,16 + 0,0233 (A - 1939) 4,30
1890 - 1988 HA = 1,32 - 0,0014 (A - 1939) 1,24
1890 - 1988 HA = 5,19 + 0,0566 (A - 1939) 7,96
1890 - 1988 HA = 2,95 + 0,0777 (A - 1939) 6,76
1890 - 1988 HA = 3,14 + 0,0946 (A - 1939) 7,77
1890 - 1988 HA = 0,19 + 0,0446 (A - 1939) 2,37
1894 - 1988 HA =-3,09 + 0,0100 (A - 1941) -2,58
1892 - 1988 HA =-5,20 - 0,0312 (A - 1940) -6,70

——Average relotion
• • tJ-Current
-•WO
cm/sec.
* x >
Åh
JA

118
Vi antager, at trykket i A er lig trykket i B, dvs. sanmie barometerstand i de
to punkter. Derefter "beregner vi trykket i C ved hjælp af (3.Vf) og (3.U8).
Heraf findes
p(c) = po + -^ Ax = pfv A x + po
p(C) = p„ + -sJ (- Az) = pg A z + p
(3.^9)
(3.50)
(3.51)
I eksemplet i Fig. 6l målte vi Az og v. Vi omformer (3-51) til Az = f/g Ax • v
og ser direkte, at vandstandsdifferencen er proportional med hastigheden, idet
f/g regnes for konstant i området. Ax er naturligvis afstanden mellem de to
vandstandsmålere.
Bælthavet udviser tilsvarende hydrografiske forhold som Øresund - se
Fig. 58. Vi kan altså he tragte vandmasserne i Store Bælt som he ståen de af et
homogent overfladelag med massefylde p., hvorunder en anden homogen vandmasse
med massefylde p_ "befinder sig. Følgelig haves en veldefineret flade, som ad­
skiller de to områder.
Fig. 62. I s oharfladernes hældning samt en front mellem to homogene vandmasser,
som bevæger sig på nordlige halvkugle som vist på figuren.
Vi betragter kun strømme i nord/syd retning som før, d.v.s. de ligninger,
vi benytter, bliver analoge til (3.^7) og (3.U8)
tg ß1 - (f/g) v1
tg ß2 = (f/g) v 2
(3.52)
(3.53)

Til sidst vil vi søge at finde vinklen y mellem grænseflade og horisont­
plan. Hertil benyttes den dynamiske grænsebetingelse, idet vi bemærker, at
p ~ p(x, z). Trykket i A og B kaldes henholdsvis p(A) og p{B). Vi beregner nu
trykændingen ved at gå fra A til B gennem henholdsvis vandmasse (1) og (2).
For (1) gælder:
Fig. 63
p(B) - p(A) «-(|*> Ax + (|E) C- Az) :3.5M
og tilsvarende for (2} gælder:
p(B) - P(A) = (ff) (- Az) + (|£) Ax
Vi eliminerer nu p(B) - p(A) i (3.5*0 og (3-55) og får
__ Az - ** 1 9X 2
^ Ax " (iE) - (iE)
3z 3z'
1 2
Benyttes (3.Vf) og (3-W3) på (3.56), får vi den såkaldte Margules ligning
f t
SY = -
p l T l " P 2 V 2
g P, - Pr
Hvis vi sætter vp = 0, bliver
tgY=- ÏT^X t86 i
119
(3.55)
(3.56)
(3-57)
(3.58)

120
— —3 — 3
p - p > 0 og er ofte meget lille i havet ~ 10 g cm , dvs.p- ^ p 'vp^l.
2 1 2 1
Herved bliver en karakteristisk relation for y og ß
tgy * 1000 tg81 ^ 1000 f^ (3.59)
Benyttes (3.57) og (3.58) på de infinitesimale størrelser p - p og v - v ,
kan det generelle udtryk for (3.58) skrives som
tgy = - |^ (p tg&) (3.60)
Til sidst skal vi på en enkel måde udlede Heiland-Hansens ligning, som
giver strømfeltet relativt (eller hvad der er det samme: udtrykker strømmens
ændring med dybden absolut), når de hydrografiske parametre S, T er kendte,
og geostrofisk ligevægt forudsat. Vi benytter (3.^6) og erindrer om, at u af
bekvemmelighedsgrunde er sat lig nul. Vi betragter en tæthedsflade (isopykn),
som danner vinklen a med horisont al pi anen. på grund af vore antagelser om
strømfeltet, har vort arbitrært valgte flade formen p = p(x, z) - const. Vi
anvender samme fremgangsmåde, som da vi behandlede trykvariationen i henholds­
vis x- og 2-retning i (3.^7) — (3-51) og finder
(3.61) indsættes i (3.^6)
9Z = _ £_ _9p_ t
Vertikalintegration af (3-62) over et dybdeinterval = z - z leder til
Heiland-Hansens ligning
i
Z l
|?dz = v(z ) - v(z ) *
dz 1 o
, g j
o (3.63)
f ~è» ^^ " p(z l }) '
:p>
hvor er middelmassefylden inden for dybdeintervallet, og er middel­
hældningen af isopyknen. (3.63) og (3.6l) viser, at kender vi S, T og bredde­
graden, er højre side bestemt. Dette giver os hastighedsdifferensen i dybde­
intervallet . Måler vi med en strømmåler v( z.), bliver strømfeltet fastlagt.

Kan vi finde en dybde i oceanet3 hvor v(z ) =0, kan strømfeltet også angives
absolut.
3.3. Bernoulli's teorem.
Vi skal udlede Bernoulli's teorem for ideale væsker, hvori ingen varme-
ledning forekommer, og hvor Cori oli s-kraft en kan ignoreres. Bevægelsesligningen
for dette tilfælde kaldes Eulers ligning og har udseendet
121
— = - - grad p + g (3.6*0
Indføres et tyngdepotentiale, har vi, at
g = - grad x (3-65)
Endelig betragtes funktionen P givet ved
F = J^ (3.66)
f E = jiI? dn gælder at
'
•fa = p ta = n ' grad P = i n ad P
^
hvor n er en enhedsvektor. (3.66) implicerer
grad P = - grad p (3-6?)
Ved benyttelse af (3.65) og (3.67) kan Eulers ligning skrives som
dv
3t
+ grad (x + P + 5V'v)=vx rot v (3.68)
gennem benyttelse af (8.12) i Appendix.
-»•-»-_ 2 . .
I ået følgende sættes v * v = c .Vi indfører nu feltlimer for de 2
vektorfelter v (strømlinier) og rot v (hvirvellinier) og antager stationær
tilstand. Herved fås
grad (x+P+ic)-vx rot v (3.69)
Multipliceres (3.69) på begge sider skalart med v, bliver
v - grad (x + P + l c 2 ) = 0 (3.70)

122
2
dvs. x + p + § c er konstant langs enhver strømlinie, samtidig med at størrelsen,
kaldet Bernoulli-funkt ionen, kan variere fra én strømlinie til en anden.
For stationære strømninger er strømlinierne og væskedelenes banekurver sammenfaldende
.
->-
Multipliceres (3.69) på begge sider skalart med rot T, finder vi som
o
før, at x + P + i c er konstant langs en hvirvellinie, samtidig med at Bernoulli-funktionen
kan variere fra én hvirvellinie til en anden.
Er væsken- usammentlykkelig, bliver (3.69)
gz + ^ + § c - konstant langs en strømlinie (3.71)
Hvis hastighedsfeltet kan beskrives ved et potentialfelt v = gradcp , vil
rot v være identisk lig nul, og (3.68) kunne skrives
|f+X + P+5C 2 = f(t) (3.72)
(3-72)gælder over hele væsken til ethvert tidspunkt. Hvis vi ønsker det, kan
f(t) inkluderes i første led på venstre side af (3.72) fordi subtraktionen af
f(t) dt fra m ikke vil ændre pa v = gradcp •
Antages endelig en stationær potentialstrømning i en usammentrykkelig
væske, får vi
gz + -^ + i c = konstant (3.73)
Dette gælder overalt i væsken til alle tidspunkter.
Til sidst skal vi se nærmere på (3-72), hvor p antages konstant. Be­
nyttes v - grad tp, og g = - grad x» fås
f •?•-•» 2 * ^ * 't > 2
Kontinuitetsligningen bliver
4+4+4^ = 0
- f(t)
(3-7M
(3.75)
3x 3y 3z
for - h < z < n(x s y> "t)s hvor
Randbetingelserne bliver
bunden antages plan og horisontalt beliggende.
3t + g "n + i
for z = n(x, y, t).
2 2 2
3x' ^3y' v y
3z = f(t) (3-76)
(#) + (I E *) + (1^)

Den kinematiske grænsebetingelse giver
Sep _ 3n 9cp 3TI 3CP 3T)
dz ~ 3t 3x 3x 3y 3y
for z = n(x, y, t) og
3z
for z = -h
(3.75)er Laplace's ligning, som kan løses efter velkendte principper. Rand­
123
(3.77)
(3.78)
betingelserne i (3.76) og (3.77) giver derimod problemer, fordi vi skal angive
ep ved den ukendte overflade z = n(x, y, t). Vi søger i stedet at angive ep ved
z = 0S som er overfladen i det uforstyrrede tilfælde. Uden at gå i detaljer
omkring dette spørgsmål gøres det med en sædvanlig pertubationsteknik.
Vi ser nu på strømforholdene ved f.eks. Øresund. Vi har tidligere set,
at saltholdigt vand strømmer ind (sydpå) ved bunden og brakvand ud (nordpå)
for en middelsituation. På skitsen er strømsituationen vist. CD og AB er hori­
sontalflader; EB er springlaget, og CF den fri havoverflade. Vi antager, at
FD = h^
EA = K
DB = h
FB befinder sig ved Drogden, hvor kun en ringe mængde af det saltholdige bund­
vand passerer. Skal vi have presset bundvand over ved Drogden, må vi for det
stationære tilfælde have et større tryk ved A end ved B, dvs.
gp1(h - h2) + gp2hg = p(A) > p(B) = gp1(h + h )
Heraf findes uligheden

124
h„ >
2 P2 - Px 1
Px ^ i© i P2 " Px ^ ' 10' » dvs. h2 > hx • 10*
Vi benytter nu (3.T3) til at undersøge forholdene omkring en to-lags-
strømning, som vi f.eks, finder i Sundet, Bælthavet eller ved flodudløb. Vi
går ud fra, at området består af to homogene vandmasser med henholdsvis et
(3.79)
a, S, og p , S„ adskilt af et springlag, som angivet i Fig. 64. Vi regner med,
at bunden er plan, samt at overgangs området er lille.
z = D
7//////^////////y////y/y;///;///?w//;//y;/W/yy///y/y/')
Fig. 64. Skematiserede oceanografiske forhold ved strømning i snævre farvande.
Trykdifferensen på hver side af skillefladen i overgangsområdet beregnet ved
B og C i dybden z andrager
gpx^ D - y) + sp2(y - z) - ÊP-JD - z) « g(p2 - P-I_) (y - z )
Massetransporten ud er lig
L(zl D
= j | P^ dy dz
Q l =
o y
hvor bassinets bredde almindeligvis afhænger af dybden. Antager vi, at tvær­
snittet er rektangulært med bredden 1, får vi
Qx =
D
(3.80)
(3.81)
p-j^ dz (3.82)

Tilsvarende får vi for massetransporten ind
X
125
Q2 = P2u2 dz (3.83)
o
som i øvrigt også kaldes reaktionstransporten.
Knudsens hydrografiske teorem giver
Q1 - Q2 = Q0
(3.8U)
S ^ - S2Q2 = 0 (3.85)
hvor Q er ferskvandstilførslen til området (l) regnet med fortegn. Hvis
ferskvandstilførslen Q bliver tilstrækkelig stor, får vi ingen reaktions-
transport Qp i overgangs området. Den kritiske værdi Q fås ved at sætte y = 0
og Q = Q. Ved benyttelsen af Knudsens hydrografiske teorem fås
samt
Q2 = 0
D
Q0 = ^ = Q = p u dz
"o o
Vi anvender nu Bernoulli's ligning i punkterne B og C
Ap2 = l u2 p2
Behyttes (3.80) og approximationen p_ 'v C«*»$^ .
(3.86)
(3.87)
u2 = /2g(p2 - p1)(y - z) z < y (3.88)
Det bemærkes, at trykgradientcraften er lig med nul i skillefladen, der ligger
uforandret på samme sted, fordi vi har stationær tilstand.
Vi benytter trykdifferenserne på samme enkle måde i det øvrige strømningsområde,
dvs.
hvorved
2 2
AP-L - l P±\ = l nx (3.89)
Ap o = * p o U o 2 * l u o 2 (3.90)

126
\'ps(pz - p^D-f) z > Y (3.91)
u0=^2g(p2- po) (D- z)
Vi kan nu heregne Q , Q og Q.s som bliver
Q0=f\/2g(P2-P0) f?
Q1 =|^2g(p2 - Pl) ^(D - Y)'
Q2=f(/2g(p2-Pl) f?
Følgende relationer mellem Q , Q, og Q_ kan herefter opnås ved benyttelse af
(3.8U) og (3.85)
Q, = Q.
1 S^ — S- o
Q 2 = S2 : Sx Q 0
Resultatet er angivet i Fig. 65, som viser, hvorledes fladetransporten Q^ og
(3.92)
(3.93)
(3.9U)
(3.95)
(3-96)
(3.97)
re aktionstransporten Qp afhænger af ferskvandstilførsien Q . Q, og Q er alle
normaliserede i forhold til den kritiske værdi for Q = Q. Vi ser straks, at
Q„ = Q, =1 medfører Q„ = 0, samt at Qn * 0 medfører Q, = Q„. Disse resul-
O X d. O J. d.
tater følger naturligvis direkte af Knudsens hydrografiske teorem. Vi ser end­
videre, at Q„ har et maximum, men ville snarere forvente, at Qp og Q var
negativt korrelerede for alle 0 < Q< 1. Q og Q er positivt korrelerede,
hvilket vi også på forhånd ville forvente. Ovenstående praktiske anvendelse af
Bernoulli's ligning kan med fordel anvendes i Kattegat-Østersø-systemet.
0.5* + 0.5
Fig. 65

4.1 Interne bølger.
Kapitel 4
Kattegat
Kattegat er et udpræget blandingsområde, idet Østersøvand mødes og bland­
es delvist med Nordsø - Skagerrakvand. Denne blanding er imidlertid ikke fuld­
stændig, hvorfor området udviser en meget stabil lagdeling, som det fremgår af
Pig. 66 og 67.
Isotermer og isohaliner løber parallelt med hinanden, hvorved gradienten
i massefylden bliver stor. Den maximale gradient finder vi om sommeren, fordi
på denne årstid er forskellen mellem overfladetemperaturen og bundtemperaturen
størst - se Pig. 68. De 2 maxima i temperaturgangen for henholdsvis overfladen
og bunden indtræffer med en faseforskydning på godt 1 måned, hvilket kan for­
klares ud fra en eendimensional tidsafhængig varme diffus ionsligning.
! ,ig \ 66 ;j. TemP v raturenS ver *ikalfordeling i et snit fra Øresund op gennem Kat
tegat efter observationer fra havundersøgelsesskibet «W^mkrLg Xl9?7*
Størst variation med dybden findes i Sundet og det sydlige Kattegat. * 7
127

128
Fig. 67. Salinitetens vertikal fordeling i et snit op gennem det østlige Kattegat.
I Øresund og det sydlige Kattegat findes ofte en meget brat overgang
mellem det forholdsvis ferske overfladelag og bundlaget med høj s alinit et.
I det nordlige Kattegat er overgangen mere gradvis.
11 m "iv""'*'"xi vu viii iv x xi xii
Fig. 68. Vandtemperaturens årstidsvariation ved Anholt Uord Fyrskib.
Den optrukne linie viser variationen i overfladen, og den stiplede
linie variationen ved bunden (28 m).
På grund af den stabile lagdeling kan interne bølger optræde. De kan observeres
ved at fremskaffe tidsserier på strøm , salinitet og/eller temperatur,
neutralt balancerede undervandskuglers vertikalbevægelse eller ved at måle den
maximale partikel-koncentrations vertikalbevægelse. De interne bølger kan ud-

vikles ved et skibs passage, forudsat at pyknoklinen ligger højt (dødvande),
ved vekslende barometerstand, ved at 2 eller flere overfladebølger med forskel­
lige bølgetalsvektorer mødes eller endelig som følge af topografiske årsager
(ujævn bund etc.).
Sea surface
Trajectories
s urface
Fig. 63» Fremadskridende intern balge samt en illustration af fænomenet "dødvande"
.
I det følgende vil indledningsvis nogle enkle udledninger for interne bølgers
fasehastigheder blive givet. Senere vil disse eksempler blive behandlet mere
generaliseret.
Først tænker vi os, at det tunge Nordsø - Skagerrakvand og det baltiske
vand har de konstante massefylder p og p_ adskilt af en ideal flade. Vi for­
udsætter, at de sædvanlige bølge approximationer er opfyldt, d.v.s. gnidning,
ikke-lineære led, tidevandskræfter etc. kan ignoreres. Interne bølgers sving­
ningstid T er stor sammenlignet med korte overfladebølgers svingningstid -
se afsnit 2.4» De interne bølgers T ligger typisk mellem 15 min. op til ca.
et døgn. Hvis T ~ et døgn, skal vi medtage Coriolis - accelerationen i vore
beregninger. Da T imidlertid bliver mindre med større stabilitet er det rime­
ligt for Kattegat at sætte
£Z /
bt /
129
2 ID X V » 1 (4.1)
I det følgende undersøges blot bølgebevægelser i xz - vertikal pi anen.
B
h-, (0
h2
(2)
—
A ATI » 0
Ah = Ti
C
h„ + Ah
d — v

130
Vi antager overfladen i hvile for alle t d.v.s. AT| = 0,
p(C) - p(D) = g Ah(p2 - P1) (4.2)
Bevægelsesl igningen udtrykker
bu 1 bp
bt p_ bx
(4.2) og (4-3) giver
bu . bh
bt bx
P2 " Pi
hvor g 1 = g ———— kaldes den reducerede tyngdekraft. Kontinuitetsligningen
p 2
giver
(4.3)
(4.4)
bt ^bx (4.5)
Vi gætter på løsningen
ûh = 11= a cos(k x - tu t) (4.6)
Fasehastigheden for denne interne tyngdebølge bliver da
= y g' h (4.7)
Vi tillader herefter, at det fri vandspejl må udføre svingninger. Situationen
bliver som antydet i nedenstående hjælpefigur.
— •
n-, (i) pn
_ — — — — " '
h2 (2) p2
fix
k *
A ^ = Ah1 + Ah2
Ah2= Tig
C
h + Ah 1 y
kp + Ah

Trykforskellen mellem IB og CD ;
131
P(A) - P(B) = g Pl V g p^A^ + Ah2) (4.8)
P(C) - P(D) = g Pl ^ + g p2 Ah2 (4-9)
Vi benytter nu bevægelsesligningerne analogt til før
öu^ 1 Öp1 öh1 bh2 oli,
öT" s ~71öx" = '" g ^öäT + bx") = " g ööT (4.10)
bu2 ^ bp2 p^ bh^ bhg ^ fl ^ÜX 5 ^
bt~ = ~ 72 bx" " " g (p2 bx + 5x ) = "" s p2 bx " gf bx
Da vi endvidere skal benytte en kontinuitetsligning, tager vi
(4.11)
^ + ^-=0 (4.12)
bx bz
som udgangspunkt.
(4.12) multipliceres med dz og vertikal integreres fra bund til overflade
|| dz + w(ll) - w(-D) = 0 (4.13)
Antager vi en plan horisontal bund haves w(-D) - 0 samt
fordi ~ / u r—' ~ c„/U » 1 , hvilket kommer til at fremgå af de senere udreg­
ninger. Idet vi vælger D » T| , bliver (4.13) med god tilnærmelse
Dg~g (4.15)
Vi benytter nu (4*15) og husker, at vi nu har en lagdelt væske. Det betyder, at
vi skal arbejde med to kontinuitetsligninger - én for hver vandmasse :
bu. bh A
bu„ bh h

132
Fra (4.10) og (4.16) fås
bt bt bx
ved at differentiere (4-10) og (4.16) med henholdsvis x og t og derefter elimi­
nere
b u1
btbx
Tilsvarende fås fra (4-11) og (4.17)
—^= g h -1—1+ g' h —f (4.19)
M p 2 bx ^ bx
Vi sætter nu
T| = a cos(k x - ü) t) (4.20).
T|2 = "b cos(k x - tu t) - h1
fordi (4.18) og (4.19) angiver, at vi skal finde samme k, m i de 2 lag. Fra
(4.18) finder vi herefter
(4.21)
- m 2 a + ID 2 b = - g h1 k 2 a (4-22)
og fra (4.19)
- u) 2 b —g h -1 k 2 a - g' h k 2 b (4.23)
*- Po
Benyttes (4.22) og (4-23) finder vi
2 ti) 2 - g' h k 2
2 p2
2
(4.24) fører til en andengradsligning for u) af formen
å 2
Aæ+Bu) + C = 0

Vi gjorde tidligere den bemærkning, at interne bølgers svingningstid er stor
d.v.s. (B ~ 0. Følgelig haves for (4.24)
CD 2 g h2 ~ k 2 = g g» ^ h2 k 4 - «) 2 (g h1 + g« h2) k 2 (4.25)
Heraf findes fasehastigheden
_ +\/ . h 1 h
c, J - 5 -J.V ë «• T-'T«- (4-2«)
f ~ k "—V K + h
som er gyldig for lange interne bølger.
Hvis derimod h« » h haves korte interne bølger med fasehastighed
c. = tfg» ^ (4.27)
Omvendt, hvis h. ?5> h - d.v.s. springlaget ligger dybt - fås igen den interne
tyngdebølge med fasehastighed
c. = \/g» h analogt til (4-7) og (4.27)
Dette betyder, at intern bølge aktivitet på store dybder er ikke ledsaget af
forstyrrelser ved det fri vandspejl.
Forholdet mellem det fri vandspejls amplitude og den indre skilleflades
findes af (4.24) :
1) h. stor (-» eo) medfører at a^ 0 uafhængig af hp.
P? " Pi
2) h0 stor (-» ») medfører at a ~ b uafhængig af h , når blot h ikke
er alt for stor.
P2 - P-i
3) Hvis h ~ h og begge store fås at a^ ' b
Det foregående kan udledes mere elegant ved at benytte den lineariserede
Bernoulli ligning givet på formen
-|t + ez + ?
133
=0 (4,28)
hvor v = - grad ep samt kontinuitetsligningen
^f + ^=0 (4.29)
öz^ bz

134
Nedenstående hjælpefigur viser situationen. Vi bemærker i særdeleshed, hvor­
ledes de 2 koordinatsystemer (x, z) og (x', z') = (Zj 2,) er ±nälagi .
Z 4v 2'
(4«28) giver for område (i)
P 1 * "Pi ê z ' + Pi ~ (4.30)
eller idet z 1 + h,, =
P1
öcp
~ = _ g 2 + g h i + _ (4.31)
Tilsvarende bliver
eller
P2
bcpo
= P-, g *-, - p2 g s + p2 _ (4.32)
2 P1 S ^ öcp2
- « _ g z + + __£
Pn Ot (4.33)
Vi benytter herefter resultaterne fra afsnit 2.4 og afsnit 8.8 i Appen­
dix. Overfladebølgen og den interne bølge kan enten være i fase eller i modfase
med hinanden. Vi vælger til at begynde med den første mulighed og sætter

135
TL = a cos(k x - ID t) + h. (4-34)
Tl2 = b cos(k x - © t) (4.35)
Løsningerne for ep og ep- skal naturligvis tilfredsstille (4.29). Vi gætter
på løsninger af følgende generelle form

136
ligningssystemets determinant lig med nul d.v.s.
(D) (B) (B) (A) (b) (a)
1 1
- e" k h 2 e k h 2
- 1
" P 2
P1 p1 P-i"P2
0
0
- 1
-k h.
- e 1
-k h„
e 1
" p 2
0
0
1
k h„
e 1
k h„
e 1
Efter flere mulige fejlberegninger finder vi omsider den såJcaldte Stoke's
ligning :
m (p2 coth k h2 coth k h + p ) - œ g k(p2(coth k h + coth k h )) +
+ (p2 - P-j) S * =0
2 9
(4.44) er kvadratisk i ID , hvorfor der eksisterer'2 løsninger for w .
Vi har nu efter nogle udregninger
TL = a cos(k x - mi) + h.
TL = b cos(k x - ti) t)
P2*
0
k
U)
k
0
0
u
0
0
0
CD
k
= o
tp1 = - a( ^ cosh k(z - h^) + jj- sinh k(z - h )) sin(k x - ui t)
*2
b o)
k
cosh k(z - h„)
sinh k h„
b = afcosh k h - %—T sinh k h )
sin(k x - eu t)
(4.44)
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
Kender vi overfladeforstyrrelsen d.v.s. a, k og CD, er hele 2-lags modellens be­
vægelsesmønster fastlagt for et givet pararaetersæt p , p , h., h„.
Hvis h^ og h_ begge er store bliver (4.44) approximative
4 2 2 2
tu (p^j + p2) - 2 CD g k p2 + (p - p ) g k = 0 (4.5O)

fordi coth kh, ~ coth k h_ ~ 1, Løsningen til (4.50) bliver
137
2 g k ^2±Pj) (A _
æ = (4.51)
P2 + P1
vælges plus-tegnet bliver
æ 2 = g k (4.52)
hvorved (4.49) medfører
b = e~ k h 1 a~ 0 (4-53)
Overfladebølgen og den interne bølge er i fase, mens den interne bølgeamplitude
dæmpes exponentielt med skillefladens dybde. De 2 potent i al funkt ioner
tp og ep kan i dette tilfælde skrives som
tp1 = -^f e k(2 " V süi(k x - w t) (4.54)
cp2 = -^e k t 2 - h l) sin(kx-ü) t) (4.55)
(4.54) og (4.55) viser, at for en dybt beliggende skilleflade vil tilstedeværelsen
af en diskontinuitet i massefylden ikke påvirke bølgeforstyrrelserne
i nærheden af skillefladen.
Vælges derimod minus-tegnet i (4.51) fås
2 Po - P
Svingningstiden bliver for dette tilfælde meget større end for (4.52). Vi finder
på samme måde som tidligere at
b = ^ e k h 1 - a (4.57)
P2 - P-i
hvorved b 5€> a. Desuden viser (4.57) at a og b har modsat fortegn d.v.s. overfladebølgen
er faseforskudt 180 fra den interne bølge. De 2 potent i al funkt ioner
tp og ep« kan vises at blive
», = — - £-£ e" k 2 sin(k x - u> t) (4.58)

138
'2 " - T^T; V ek z Bi * (k x -• *>
Potentialfunktionen ep aftager, når afstanden til det fri vandspejl af­
tager, således at i nærheden af dette er forstyrrelsen fra den interne bølge
negligibel. På tilsvarende måde aftager ep med dybden under skillefladen for
at blive lig med nul på store dybder. Ydermere har ep og tpp modsat fortegn.
Derved bliver vertikalhastighederne på hver side af skillefladen lige store,
hvorimod horisontalhastighederne bliver modsat rettede. Det giver anledning
til store hastighedsgradienter hen over skillefladen, hvilket er teoretisk
muligt, fordi vi har forudsat en ideal væske, I reale væsker kan vi ikke have
modsat rettede strømme ved skillefladen, selv om vi dog også her finder store
hastighedsændringer omkring skillefladen.
Til sidst antages k h£ stor og k h lille. Med disse betingelser bliver
Stoke's ligning :
oo (p2 coth kh. + p. )-iu gk p«(l + coth k h ) +
(4 - 59)
+ (p2 - Pi) S* fc2 - ° (4.60)
Som før kan vi angive 2 løsninger til (4.60). Den første af disse giver
2
u> = g k (4.61)
—k h
b = (oosh k h - sinh k h ) a « e 2 * a (4.62)
*1 = *2 = - " e * (Z " hl) Bin(k X - » *) < 4 * 63 )
Her er overfladebølgen og den interne bølge i fase og potentialet er en kon­
tinuert funktion ved skillefladen, da ep. = ep,,. '
Vælger vi den anden løsning til (4.60) haves :
« •g k q toothkh 1 + Pl (4.64)
9i = b( P2 p 1 e~ k h l) (* cosh k(Z - hn) +
+ Î (pg ooth 2 k hl 1 + P1) sirül k(z - V> (4.65)
(p2 ~.-Pi) S
c °sh k(z + h2)
ep0 = - b """Tu" i—v , ' . ',—r sinfk x - LU t) (4.66)
T x
2 p coth k h. + p sinh k h_ ' \i-wj

=-LÜ-e kh i . a (4.6?)
P2- Pi
Her er overfladebølgen og den interne bølge i modfase, potentialet er en
diskontinuert funktion nærved skillefladen og endelig er b » a.
Til sidst vil vi søge at beskrive interne bølger under mere generaliserede
forhold. Vi vil antage, at massefylden p varierer med dybden samt at den interne
bølges svingningstid bliver sammenlignelig med inerti-perioden, hvorved beting­
elsen i (4.1) bortfalder. Vi vil som tidligere kun betragte de lineariserede
bevægelsesligninger for en ideal væske.
En vandmasse med konstant salinitet og entropi antages at være i hvile i
forhold til jorden. Derved bliver vandmassens temperatur og dermed den poten­
tielle massefylde konstant. For dette tilfælde får vi
bp
ar + pr * - ° < 4 - 68)
hvor index r henviser til den i ro værende, ideale og isentropiske vandmasse.
For en sådan gælder
dpr = h 2 dpr ' (4.69)
—1
hvor h ~ 1500 m sek er lydens hastighed i havvand. Integreres (4.69) får vi
ved at benytte (4-68)
p„(*) « P0 «P(- g I ^f) (4.70)
o
J
o h
Virkelige vandmasser er ikke isentropiske, idet entropien af en væskedel
varierer som følge af molekylær diffusion og strålingsprocesser ved havover­
fladen. Ser vi imidlertid bort fra disse effekter, bliver kontinuitetsligningen
.%..„ v^.-ijg -£g«, (4.71)
dt h* or h*
fordi den hydrostatiske approximation
dp~ - p g dz (4.72)
gælder med god nøjagtighed i havet.
Leddet
£~f w « 1 d.v.s. (4.71) bliver
li
139

140
§E + |Z + ^ = o
bx by bz
Heraf følger
dt bt bz
Heri ligger naturligvis at p = p(z, t).
Sidste led i henholdsvis (4-71 ) og (4.73) varderes mod hinanden :
(4.73)
(4.74)
/ —*
P S, w / £H ~ Ci In.. 2, hvor Z er en karakteristisk dybdeskala i meter.
h 2 / bZ
ÖW n o» w
For kystnære farvande bliver r~ » - tL -|— .
Det er en erfaring at overalt i havet er
dette på (4«70) sammen med Z ~ 100 m fås
p ~p '^p' N / K r = p„,
r— o— — m
- se nedenstående hjælpefigur :
z=0
z = -h_
~
^
k±
P - P,
z=T|
p(z)
wiïrmmïïïmmïïfïïiïïïïïïmmm/
Vor lineariserede bevægelsesligning lyder
bv „ -> -» 1 „ -»
rr+ 2(MXV = - - V p + g
bt p
- V p w - 7 p på grund af (4.75).
P " Pm
Heraf kan vi opnå de 2 horisontale bevægelsesligninger
« 1 d.v.s. p ~ p . Benyttes
(4.75)
(4.76)

t p bx \4"((J
m
hvor Co riol is-accel erat ionen er approximeret på sædvanlig vis og iøvrigt antag­
et konstant. Vi betragter nu den vertikale bevægelsesligning : Den resulterende
kraft på en væskedel er omtrentlig lig med
dw bw hw /
dt A V * p m - bt A Y " p m ' A Y * p m bt = 0 P drift minus tyngdekraft (4-79)
hvor opdriften '-'-T- t ûzAA = -vAV
bz bz
og tyngdekraften = g AV*p. (4.79) kan herefter skrives som
bt pm bz pm g t4 * 00 '
r r
m m
De ligninger, vi skal benytte i det følgende, er (4.73), (4.74), (4.77), (4.78)
og (4.80) d.v.s. 5 ligninger med de 5 ubekendte u, v, w, p og p. Vi bemærker,
at ved fra starten at antage en inkompreBsibel væske kunne (4.73) og (4.74)
nedskrives direkte.
Kombination af (4-77) og (4.78) giver
(SL. + f2)u = _ 1_ öliL _ £ ö£ , 8 ,
\ +2 + ;U pm bxbt pm by t4 ' 01 ^
o t r m r m
141
bt 2 Pmöyöt Pinbx ^ '
(4.81) og (4.82) differentieres henholdsvis med hensyn til x og y, hvorefter
de adderes
(ÊL + f 2 ) (ÖE + Ê2) = _ 1 v 2 &• (A 83)
\. 2 J ^bx by' p H bt U.03;
bt
r m
Da r— + r— = - r— kan (4*83) reduceres til
bx by bz
(öL+ f 2 ) & =I ?2b£. , g,
^öt2 ; bz tø H bt (.4.Ö4J
hvor VH = t *^ + j r- . Benytter vi (4.8O). og (4-74) bliver

142
hvor

således at
v2
2
~~2
bt
" "
(4.94) indsættes i (4.87)
143
(4-94)
^-|-4^4^ w = 0 C4.95)
bz u) - f
Vore tidligere grænsebetingelser bliver samlet :
|f + -£*-£ v| w• - 0 for * = 0 (4.96)
w = 0 for 2 = - h (4.97)
Vi antager, at w kan separeres
w = W(x, y, tH(z) (4-98)
(4.98) giver 'inasat i (4-95) til (4.97) at
2 2
*" + K "J" * = 0 (4-99)
v
^ = 0 for 2 - - h (4.IOO)
ft - £- f « o for z « 0 (4.101)
v
Funktionen W(x, y, t) i (4*98) angiver variationen i horisontale retninger.
Den må være løsning til
2 2
vi: w + w ~ f w » o (4.102)
h v^
Antager vi nu en plan harmonisk bølge som løsning til (4« 102), har vi
O O O O O
V„ = - k analogt til b /bt = - tu og dermed
k2=i£zjf (4

144
ty = A sin H(Z + h) (4.104)
2 2
2 IT — u>
hvor K = • — . Grænse"betingeisen w = 0 for z ~ - h er opfyldt i (4.104),
v
(4.101) giver anvendt på (4.104)
H cos K h - £* sin n h = 0 (4.105)
2
v
hvilket medfører
2 2
tg K h . n S_=_g_ (4.106)
2 -5 -2
I havet er gennemsnitsværdien for E" omkring 10 sek . Hvis vi kræver,
2 2
at N - u> > 0, skal vi indskrænke os til at behandle bølger med perioder over
ca. -g time. Vindfrembragte bølger er deraied udelukket i denne sammenhæng. For
disse bølger gælder iøvrigt, at Coriolis-accelerationen kan ignoreres -. se- af­
snit 2.4.
(4.IO6) løses grafisk. For realistiske værdier af h, N, w vil højreleddet
i (4.106) ligge meget tæt på n h-aksen. Det første skæringspunkt indtræffer for
K h « 1, så benytter vi en første-ordens approximation for tg H h fås
K h - y h
S
2
(4.IO7)
De efterfølgende skæringspunkter ligger alle meget tæt på K h-aksen så­
ledes at (4.106) approximative kan skrives
hvorved
tg H h « 0 (4.IO8)
nh = nit i n = 1, 2, 3r ... (4.109)
Vi har i det foregående kun betragtet én løsning til (4«99)j roen vi kan angive
uendelig mange løsninger, der både tilfredsstiller (4-99) samt de tilhørende
grænsebetingelser. Disse løsninger kaldes egenfunktioner og til hver egen-
funktion er en parameter vn tilknyttet. Den fuldstændige løsning til (4.95)
skal derfor indeholde en sum af de ovennævnte egenfunktioner, d.v.s.
æ
w = S W (x, y, t)+ (a) (4.110)
n=o

% = A o (z + h >
vo = g h
\|r 's størsteværdi findes følgelig i overfladen.
i|f T = A sin n %
n n
*T 2 2
2 Is - tu
V —
/n TC\2
(z + h)
iji • s størsteværdi optræder i intervallet
h < z < 0 for alle n > 1.
Fedenfor er de 3 første egenfunktioner i|i , ty og i|i skitseret,
2=0*
z= -il* 777777 iinunininuiuiiiMniiiiiimnniiiiiNtiwmiwwminmiw}}
Vi antager herefter en plan bølgeløsning for (4.102) så (4.110) bliver
00
145
(4-111)
(4.112)
(4.113)
(4.114)
w " S A n ^ 1 ^ cos ( k 1 n x + k 2 n y " w "^ (4.115)
n=o
hvor de 2 horisontale bølgetal
1 2 , ! 2
1,n 2,n
2 _2
ü) - f
(4.116)

146
Vi kan vælge at beskrive (4-115) ved hjælp af det vektorielle bølgetal k eller,
hvad der principielt pr:
er det samme, sætte k~ =0. Herved reduceres (4.115) °g
(4.116) til
(4.82)
w = S A n *n^ z ^ cos ( k n * - o> t) (4.117)
n=o
v n
Den horisontale plane bølges fasehastigheder bliver
tu \ / 2 ^2
c f,n = k "V^ + — (4.119)
' n V k
n
De tilhørende løsninger for p, u og v kan findes af (4.84), (4.B1) og
2
1 æ V
^ . P = 2 A 4'(z) (- -2-) sin(k 1 - B, t) (4.120)

4.2 Interne bølgers instabilitet.
Yi vil for enkeltheds skyld kun undersøge betingelsen for instabilitet for
en intern tyngdebølge i den vertikale xz-plan. Vi antager en to-lags model, hvor
de 2 vandmasser strømmer med de horisontale konstante grundhastigheder U. og U~.
Denne grundtilstand superponeres med en infinitesimal harmonisk bølge på skil­
lefladen, der forplanter sig i x-aksens retning. Idet vi antager tilstedeværel-
sen af et hastighedspotential, bliver pertubationshastigheden v = - Vto. hvor
k = 1 eller k = 2 givet udfra, om vi betragter henholdsvis øvre eller nedre lag.
Den totale hastighed v. bliver følgelig
t-tu. - T \
Det er i følge afsnit 4.1 naturligt at sætte
V
H7
k = 1, 2 (4.124)
s i(k x - U3 t)
z) e ^ (4.125)
Denne skrivemåde giver store udledningsmæssige fordele fremfor en benyttelse af
den reelle form ca = A, cos(k x - u) t). Vores koordinatsystems x-akse lægges
i den uforstyrrede skilleflade - se nedenstående hjælpefigur :
z=0
z /fc
z = h.
z = — h.
'* »
Bevægelsesligningen for det pertuberede tilfælde bliver med sædvanlige
bø1ge approximat ioner
A
dt
- - - vpj^ - Vg z
Pk
(1)
(2)
(4.126)

14ß
hvor
är- — + ^ \ + \ ^ \ -tr-\tr (4.127)
fordi Uk » | vk|. (4.126) kan ved benyttelse af (4.124) og (4.12?) skrives som
Pk %t + U k & % - p k - Pk e z = ^ ^ t ^ (4.128)
Pra kontinuitetsligningen V • 1?, = 0 får vi V • v, = 0 og dermed
2 2
Ö ^ *> \
—2- + —g--o (4.129)
öx Öz
Indsættes (4*125) i (4.129) fås
d \ 2
—T" k \ = ° (4.130)
dz
der har den generelle løsning
\ - \ ° * * + \°~ k * - (4.131)
»k - - £r - *C\ ** ' - Ofc ^ *> ° i(k " - " *> (4.132)
Ved de faste rande er w. = 0 d.v.s. w, = 0 for z = H. , hvor IL = h. og
H2 = - hg. Anvendes disse betingelser for w, på (4.132) fås
^ e k \ = Ck e" k H k = j£ hvorved
Aj. = HL, cosh k(z - ILj (4.133)
På skillefladen 2 = T| anvendes den dynamiske betingelse p. = p . Herved bliver
(4.128) for z = TI :
P 2 ( !t + U 2 bx> ^ - P2.S TI - P^St + ^ {L) 91- P1 g T, (4.134)
Yi indfører nu q> og tp fra (4-125) og (4.133) i (4.134). Desuden indsættes
ifk x' — tu t)
•11 - \ e og fasehastigheden cf = u>/k i (4.134). Efter en del ud­
regninger kan (4.134) skrives som

(p2 - p.,) § \ - i P1 M1(cf - 1^) cosh k h1 +
+ i p2 M2(cf - U2) cosh k h2 - 0 (4.135)
Vi har her benyttet at cosh k(l] - H.) ~ c °sh k IL .
Den kinematiske grænsebetingelse
w k"tt + U kS! for2 = T]~0 (4.136)
giver 2 ligninger
i(cf - U^T^ + M., sinh k h1 = 0 (4-137)
i(cf - U2)T^ - M2 sinh kh2 = 0 (4-138)
(4.135), (4-137) og (4-138) udgør et homogent ligningssystem med de 3 ubekendte
TI » M og M„. Systemets determinant lig med nul giver betingelsen for løsning.
Efter en rum tid finder vi
cf
Plßl U 1 + P2ß2 U 2± VÊWl + PS^XPZ-PIW^VV 2 f A ^
p1 P1 + p2 ß2
hvor ß S coth £k h.) og ß2 = coth{ k h„J ,
149
(4.139)
Hvis radikanden i (4-139) er positiv bliver fasehastigheden c_ reel - og
realdelen af de søgte løsninger bliver f.eks. T| = TI cos(k x - u> t); skille­
fladen vil da svinge med konstant amplitude. Er radikanden derimod negativ,
bliver c- komplex d.v.s. c_ = c + i c. Herved findes
TI = T^ e k C i ^ cos k(x - cr t) (4-140)
Svingningens amplitude givet i (4«14o) vil altså vokse eksponentielt med tiden,
hvorved vi får instabilitet. Betingelsen for instabilitet bliver følgelig :
9 p1 ß- + pP ß?
(°2-°l) 2 > Plp2ßlp'f(^-^1) (4.141)
Instabilitet kan vi opnå ved store hastighedsforskelle og/eller ved små for­
skelle i massefylden. Store bølgetal k eller små bølgelængder favoriserer in­
stabiliteten.

150
(4.141) kan også skrives som
„ h tghlçh h tgh k h
Funktionen -*--— er monotont aftagende når x > 0 og den har sin største værdi
lig med 1 for x = 0. Hvis derfor den statiske stabilitet er så lille at
(U -U ) 2 >( — + -p ) g(p2- pj (4.143)
^ • P1 ^2
vil uligheden (4.142) være opfyldt for alle værdier af k, hvorfor alle bølger
vil vokse. Hvis k er stor (-» ») vil uligheden (4.142) altid være opfyldt uafhængig
af forskellen i massefylder, når blot U / U?. D.v.s. for en klasse af
bølger hvor k > k , har vi altid instabilitet ; k er et kritisk bølgetal, som
adskiller de bølger, der leder til instabilitet, fra de, som ikke gør det. Antager
vi at k » l/H, d.v.s. tgh H, k ~ 1 giver (4".142)
hvor k = 2rcA
P-,/p2
i-ip/pg)
( U 2"V 2
Uår det blæser over ét hav, har vi netop et system af to væsker med forskellige
massefylder og hastigheder. Bet er derfor nærliggende at antage, at
havbølger opstår som følge af instabilitet. I så fald skulle \ være den længste
bølgelængde, der kan dannes. Yi indsætter U_ = 0, p? = 1 g/cm , p ~ 1,2*10 g/
cm"
og får følgende sammenhæng mellem \ og U (vindhastigheden) ;
U1 1 5 10 15 20 m sek. -1
Xc 0,08 2 8 18 32 cm
Efter dette skulle selv en stiv kuling ikke kunne fremkalde længere bølger
end 32 cm, medens de i vore farvande forekommende er 2 størrelsesordener større.
Vi må derfor konkludere, at vinddrevne bølger ikke skyldes instabilitet men
andre og mere komplekse mekanismer, hvor luftbevægelsens turbulente natur spiller
en væsentlig rolle. Mekanismerne kan endnu ikke siges at være klarlagt i
detaljer.

5.1 Skage rrakh vi rvl en.
Kapitel 5
Skagerrak
151
I Skagerrak kan vi gennem strømmålinger observere en cyklonisk bevægelse,
der har et strømmønster som angivet i Fig. 70.
Fig* 70. Strømkort over Kattegat og Skagerrak.
Undersøger vi isotermernes vertikale fordeling i tværsnittet mellem Jylland og
Sydnorge som vist i Fig. 71* ser vi at disse hvælver sig op i midten af ver­
tikalsnittet. Det bemærkes i tilgift at det dybere liggende vand er koldt og
næsten isotermt. Her haves det oceaniske vand fra Atlanterhavet. Overgangen
mellem dette vand og de øvre kystvandmasser er forholdsvis brat. Vi vil i prak­
sis kunne regne med at have en to-lags model, fordi det i høj grad er tempera­
turen, der bestemmer massefylden p. Fig. 73 viser koncentrationen af det sus-

152
pende rede materiale. De Btørste partikelkoncentrat ioner haves midtvejs mellem
Jylland og Sydnorge, Partikelkoncentrationen udviser med andre ord analoge træk
til temperaturfordelingen. Man kan herefter stille spørgsmålet, om hvilke kræf­
ter der kan være ansvarlige for den ret permanente Skagerrakhvirvel.
Jutland Norway -
79 71 77 76 7$ 71 73 72 77
•Pig. 71- Den vertikale temperaturfordeling i Skagerrak
i det område hvor cyklonisk bevægelse træffes. Snittes
placering er vist på den lille underfigur, som desuden
demonstrerer strømfeltet i området.
Vi vil i det følgende opstille teorien for en rotationBsymmetrisk stationær
hvirvel i et hav med 2 homogene vandmasser. Disse har de konstante
massefylder p og p? og tænkes adskilt af en flade, hvorved springlaget bliver
uendelig tyndt. Vi antager hydrostatisk ligevægt,' ignorerer tidevandskræfter,
fordi tidevandet spiller en ringe rolle hér og ser bort fra gnidning. Bevægelsesligningerne
for hver af de 2 homogene vandmasser lyder med disse antagelser
i kartesiske koordinater :
tu bu -
bx ty
bv bv j>
u^- + v^— + fu
bx by
* p bz
1 Ö£
p bx
P öy
(5.1)
(5.2)
(5.3)
Hvirvelfænomener lader sig fordelagtig beskrive i cylinder-koordinater (r,8,z),
hvor z-aksen sammenfalder med z—aksen i det kartesiske koordinatsystem. Herved
bliver

x = r cos 8, y = r sin 6 og z = z
Koordinattransformationer er beskrevet i Appendix, afsnit 8.5 og vil af samme
grund blive forbigået hér. (5.1) og (5*2) bliver i cylinderkoordinater
oc oc cD . x
2
153
C r br + C e r 06 r X °6 p br °' 4 ;
bcQ bc c c . x
c _e + c .

154
noget derunder. Det er altså helt "berettiget at tage hensyn til centrifugal­
kraften i dette tilfælde.
Vi vil nu løse (5.9) sammen med (5>3). Hertil benyttes samme teknik som
ved udi edelsen af Margules ligning - se afsnit 3*2.
dp = 0 på skillefladen mellem de 2 vandmasser (5-11). Dette er den dyna­
miske grænsebetingelse. (5.11) kan skrives ud på en mere anvendelig måde :
2
dp = -g dr + gg d9 + |£ dz - p(f c + | )dr - p g dz = 0 (5.12)
gennem benyttelse af (5*3) og (5*9)•
Den fri vandoverflades hældning gives ved udtrykket
f —j s tg ß = — c +
x dr'p=o & K g r g
r -» æ medfører tg ß = — c , hvilket netop er (3.50
Tilsvarende finder vi for skillefladens hældning
t g Y = - : ; — (5.13)
(SE) _ (AE)
Indsætter vi (5-12) eller (5.3) og (5.9) i (5.13) fås
f ( P2 °2 - P1 °1 , 1 f °2 C 2 - P1 A ,
t g y ~g { p 2- P l J + rg< o2_Pl ) (5.14)
Vinklerne ß og y er vist på Fig. 72.
Hvis r -»• c» fås
ts Y • 5 ( P2-P1 5 (5-15)
hvilket netop er (3.57)

cib ®
5.2. Partikel- og fluorésoensmâlinger.
155
Pig. 72. Isobarfladernes forløb for
to homogene vandmasser på nordlig
halvkugle, for hvilke det gælder, at
den øverste roterer hurtigere end
den nederste. a)Anti-cyklonisk rotation,
b)Cyklonisk rotation. Den punkterede
linie viser skillelinien mellem
de to vandmasser ( springlag/front),
De optiske målinger præsenteret i Fig. 73 - 75 blev udført under stærk
østenvind, d.v.s. de omtrentlige overfladestrømforhold var som vist i Fig. 10.
Vi ser da også på Fig. 74, hvorledes partikelrigt kystvand presses norden om
Skagen ind i Skagerrak. Desuden bemærker vi den tunge af partikelfattigt Nordsøvand
("continental coastal" - se Fig. 13) som trænger nordøst - og nordover.
På Fig. 73-75 bemærker vi i samtlige tilfælde partikelrigt og stærkt
fluorescerende vand nær den norske kyst. Dette er en god indikation på Den
norske Kyststrøm, der er karakteriseret ved et forholdsvis lavt salinitetsindhold
~ 30 /oo samt et stort indhold af gulstof og suspenderet materiale.
Dette skyldes, at vandet i kyststrømmen oprindelig kommer fra Østersøen, som
siden er blevet opblandet med Kattegat- og Skagerrakvand. Kyst strømmen kan spores
helt op til Lofoten ved hjælp af TS-diagrammer og muligvis også med optiske
metoder, der minder om de førstnævnte.
Fig. 75 viser isolinier for vandets fluorésceringsevne efter belysning
med ultraviolet lys. Da målingerne er foretaget på 100 m dybde, er den jyske
kystlinie rykket betragteligt mod nord. Figuren viser tydeligt en tunge af
fluorescensfattigt vand, som trænger dybt ind i Skagerrak gennem Den norske
Rende. Dette vand er af atlantisk (oceanisk) oprindelse.
Partikel- og fluorescensmålingerne blev udført med en såkaldt Tyndalimåler.
Denne består af et lampehus og et linsesystem, som sikrer en kollimeret

156
7
\s
^
^
v
J*V\
^
/H
^
4>
^3 v
VA
'/: 'h
//A
^
1
0
c
\. \v\
^Zu?
^
%
\A'
N
?/ y / /"/
X i
/ \ få
\ \m
K'//J7 /
X -V '• r /ZrK s\
^-'"J^ff///
rt^m/m
Fig. 73. Partikelkoncentrationens fordeling på
50 m dybde.
'//y
'ÎO0

Fig. 75. Koncentrationen af naturligt fluorescerende
opløste stoffer på 100 m dybde.
stråle, der sendes ind i et kammer, hvor vandprøven befinder sig.-Vi måler lysspredningen
i 45 væk fra den indkommende stråle. Dette kan gøres i flere farver.
Fluorescensen måles tilsvarende, dog således at vi ved lampehuset har et
ultraviolet farvefilter, medens modtagersiden har et grønt farvefilter. Det må
således konkluderes, at optiske målinger er særdeles nyttige for studium af
forskellige vandmassers udbredelsesmønster.
157

158
6.1. Tidevand.
Kapitel 6
Nordsøen
Det vil være rimeligt at omtale tidevand i forbindelse med Nordsøen, thi
kun hér finder vi tidevand af betydning i vort system Østersøen - Nordsøen.
Tidevandsamplituden er størst ved Englands østkyst samt i den sydlige del af
Nordsøen ved Belgiens kyst. Springflod indtræffer, hvis de tidevandsproduceren­
de kræfter virker optimalt, d.v.s. når sol, jord og måne befinder sig på linie.
Pig. 76. Forskellen mellem højvande og
lavvande under springflod. De største
tidevandsvariationer findes langs Englands
sydøstkyst.
Dette indebærer, at månen og solen kan være på s amme side af jorden såvel som
på hver sin side af denne.
Høj- og lavvande i Nordsøen forekommer 2 gange daglig. Det er det halv­
daglige månetidevand M„, som er dominerende. Vi bemærker, hvorledes f.eks,
højvande indtræffer på forskellige tidspunkter afhængig af stedet. Tidspunktet
fra månens meridian-passage ved Greenwich til tidspunktet for højvande kan ikke
redegøre for tidsforskellene i højvande fra sted til sted. Faseforskydningen
for højvandes indtræf fen er med andre ord ikke alene astronomisk bestemt. Vi
vil i det følgende søge at forklare ovennævnte observationer. Hertil udledes

først tidevandspotentialet for to-legeme problemet jord - måne. Dette potentiale
kan uden videre generaliseres til også at gælde for jord - sol systemet.
Pig. 77« Kortet viser, hvor mange timer
der forløber fra månens kulmination
i Greenwich (London) til højvandes indtræden
i forskellige områder af Nordsøen.
Tidevandspotentialet som følge af månen og solen bliver
159
ep - cp(måne) + cp(sol) (6.1)
og de resulterende tidevandskræfter kan på sædvanlig måde findes fra
k = v ep (6.2)
Forholdet mellem de tidevandsproducerende kræfter hidhørende frà henholdsvis
måne og sol er 9:4 i tilfælde af springflod.
Vi vil indledningsvis betragte jord - måne systemet skitseret på efterfølgende
hjslpefigur.

160
f W 2' P V f f fif* " r W i» Ü" 2" t' i" 8° E HS"
Fig. 78. Tidevand og tidevands strømme i Nordsøen hidrørende fra det halvdaglige
måne-tidevand. A og B viser isolinier for vandstanden regnet i m for henholdsvis
det tilfælde, hvor månen passerer Greenwich meridianen samt 3 timer 6 min.
senere (måne-højvande og måne-lawande). Pilene viser tidevandsstrømmene. C
viser isolinier for den totale variation i tidevand regnet im (stiplede linier)
samt fuldt optrukne isolinier, som angiver det tidspunkt i timer, fra månen passerer
ved Greenwich meridianen, til højvande indtræffer. D viser de såkaldte tidevandsellipser,
hvis stor- og lilleakse giver henholdsvis den maximale og minimale
tidevandsstrømvektor.

OA = r = afstanden mellem de to himmellegemers tyngde punkter.
OP = R = jordens radiusj FA = r = afstanden mellem det betragtede punkt på
jordoverfladen og månens tyngdepunkt; månens masse = M, jordens masse = J.
Gravitationskonstanten benævnes y.
Vi betragter en massedel ved P. Fra vore bevægelsesligninger ved vi fra
tidligere, at naturkræfter virkende på partiklen var af typen Ï
Jordens tiltrækning, trykkræfter, gnidningskræfter o.s.v. Som følge af jordens
rotation måtte vi for en beskrivelse af partiklens bevægelse i vort jordkoordi­
natsystem endvidere indføre fiktive kræfter som centrifugalkraft og Coriolis-
kraft. De tidevandsfremkaidende kræfter bliver nu desuden medtaget :
Månen påvirker jorden med tiltrækningskraften y-M/r , d.v.s. jordens tyngde­
punkt samt dermed alle punkter på jordens accelereres mod månen med accelera-
tionen y M/r . En fysisk beskrivelse i dette jordkoordinatsystem kan let gen­
nemføres ved at betragte jorden som en Einsteinkasse, d.v.s. at vi for alle
punkter på jorden må regne med, at de har en acceleration E = y M /r parallelt
med OA og rettet væk fra månen. Accelerationen = kraften på vor enhedsmasse
ved P bliver som følge af månens tiltrækning F « y M /rn rettet mod månen.
Ved P har vi følgelig en ukompenseret tidevandsf remkai dende kraft. I jordens
161

162
tyngdepunkt har vi fuldstændig kraftkompensation, d.v.s. kraftsummen af de ti­
de vandsf remkai dende kræfter lig nul. Vi har altså
E-*-§ (6.3)
r
F = 4 (6.4)
1
Den tide vandsf remkai dende krafts vertikale komponent bliver nu
V = F cos 9 - E cos 6 = F? - BL. (6-5)
og den horisontale komponent
H = E sin 6 - P sin 6. = ÏU - Ffî
hvor 6, 6. og E, F findes af den ovenstående figur.
Cosinusrelationen for en plan trekant giver
(6,6)
r 2 = R 2 + r 2 - 2r R cos 6 (6.7)
Figuren giver direkte
r, sin 0. = r sin
1 1
r. cos 8„ = r cos 0 - R
1 1
(6.8) indsættes i (6.4) og vi finder
(6.8)
FY = Y M(r cos 6 - R)(^ ) 3 (6.9)
F = Y M r sin 6(- ) 3 (6.10)
il ^
Vi approximerer r~ og benytter udtrykket for r. i (6.7)
(£) 3 ~(£) 3 0 +f cos e) (6.11)
(6.11) indsættes i (6.9) og (6.10) og vi ignorerer faktoren indeholdende (R/r) ,
F v = ^ (cos 0 + |£cos 2 0-f) (6.12)
r

163
P = :L« (i + i£ cos e) sin e (6.13)
H 2 r
r
Vi finder nu Y, H i (6.5) og (6.6) direkte ved at indsætte IL, F„ :
v . ixi! (ooB2 e i) (6#14)
3
r
3
H = .illl si„29 (6.15)
2 r J
Disse ligninger kan gøres mere- anvendelige. En enhedsmasse på jordens overflade
er påvirket af tyngdekraften 1-g ~ y —'-= , d.v.s. Y = gfà/j. Dette resultat
"benyttes i de foregående ligninger
V - 3 g (§) -3 < R > 2 (cos 2 6 - i) (6.16)
r
H = -|g (§) \'< R> 2 sin 29 (6.17)
r
Følgende skal bemærkes :
1
„ cos 6 - -r see 8 B
sin 6
,0
d.v.s. på mellembredder er V ~ H. For 9 = 54,7 gælder specielt at V = 0 og
H / 0.
(6.18)
V/g ~ 10*" d.v.s. V kan ignoreres i den vertikale bevægelsesligning. Coriolis-
ae'celerationen f u ~ f v d.v.s.
f u / H ~ 1 0 u / 10""^ g^uom sek. -1
Heraf ser vi ved at benytte Fig. 78D at Coriolis-accelerationen og den hori­
sontale tidevandskraft har samme eller en mindre størelsesorden. Vi indfører
nu måne-potentialet cp(måne) ved at gå ud fra (6.2), (6.16) og (6.17) og for­
udsætter, at dette er lig med nul i jordens centrum :
cptmåne) = | g (|) £ (cos 2 6 - 1) . < R > 2 + ... (6.19)
r
„ ocp(måne) „ ocp(måne)
hvor V = -ÄJJ i og H - Pbe •
Solens potentiale cp(sol) bliver helt analog til (6.19) blot med den for­
skel at leddet (M/j) udskiftes med (s/j). Vi skal så blot huske, at r herefter

164
står for jordens middel afstand fra solen.
Lad os nu antage en fuldstændig vanddækket jord, hvis vandmasse er i
hvile og hvis massefylde er konstant. Vandmassen er i ligevægt under påvirk­
ning af de ydre kræfter tyngdekraft og tidevandskraft. Bevægelsesligningen
bliver da
0 = - i v p - VX + V ep (6.20)
hvor tyngdepotentialet X sættes lig et konstant g multipliceret med z. (6.20)
udtrykker at
- — p-x + t P = konstant (6.21)
P
overalt i havet. Antager vi nu, at p er konstant ved havoverfladen z = T] fås
-X + tp = konstant for z = T| (6.22)
X er approximative lig - ^— + konstant.
a
Sætter vi R = < E > + T|, hvor T] som sædvanlig er det fri vandspejls afvigelse
fra middel vandstand, bliver
x 1 +
- " ^ " ) konstant = - ^ R > + g T[ + konstant
(6.22) og (6.23) giver
(6.23)
1
T] = — ep + konstant (6.24)
Middel vandstanden for hele den vanddækkede jord
< T\ > ="lf TliA = 0 (6.25)
Denne betingelse medfører at
71 = \åne + \ol = i * = g^" 1 ^ 0 ) +

TI-«! = 24»6 (cos 2 egol -^) cm
'sol
Her er følgende talværdier anvendt
y - 0,0123 î § - 3,33 - 10 5
< ***** > = 60 R ; < r . > = 2,35 * 10 4 R
mane sol
hvor R = 6,37 • 10 m-
Forholdet mellem solens og månens tidevand bliver 0,46 i følge ligevægtsteo­
rien uafhængig af stedet. Dette gælder ikke i virkeligheden - se Fig. 79 og
Tahel 5.
Imminghom; sfmi diu mol tyet
pwwwpilltøw
Son Franctst>:mi«d,domrnont «mi diurnal typ«
Mani lo : mite d, dominant full diurnal type
yjøt'-'Vøm^tM
Do San: full diurnal type
2 4 « • _' K> ' e M 16 i« » ! ! ! • « » »
Fig. 79. Tidevand ved Immingham (Østengland), San Fransisco, Manila (Phillipine
rhe) og Do San (Vietnam). Tiden i dage for marts 1936 er givet på nederste
akse sammen med månens forskellige faser. N viser den maximale nordlige deklination
for månen, S den maximale sydlige deklination og Q tidspunktet, hvor
månen krydser ækvatorplanen.
ft
165
(6.28)

166
Tabel 5« Tidevandsampl ituder hidhørende fra måne og sol på fire lokaliteter.
Location
Latitude
Longitude
Component
A/a
S,
A'..
A'o
tf,
o,
^i
255.55
273.55
245.65
275.55
165.55
145.55
163,55
Immingham,
England
53"38'N
O'il'W
Phase Amplitude,
cm
161"
210''
14I 1
212'
279°
120*
257"
223.2
78.8
44.9
18.3
14.6
16.4
6.4
San Francisco,
California
37 J 48'N
122°27'W
Phase Amplitude,
cm
330"
334*
303*
328°
106°
89°
104*
54.2
12.3
11.5
3.7
37.0
23.0
11.5
Manila,
Philippines
I4'36'N
I20 J 57'E
Phase Amplitude,
cm
305"
338"
291"
325"
320"
279°
317 1
20.3
6.8
3.8
2.1
29.7
28.3
9.3
Do San,
Vietnam
2043'N
106 48'E
Phase Amplitude,
cm
Den bredde afhængighed som ligevægtsmodellen giver, finder vi heller ikke og
endelig giver modellen for små amplitudeværdier for f.eks, springflod eller
M2 tidevandet i Nordsøen - se f.eks. Fig. 76 og 78. Disse afvigelser må i det
væsentlige skyldes i) at der ikke er ligevægt, men forstyrrelser (tidevands-
bølger) og ii) at jorden ikke er helt vanddækket så vandopstuvening som følge
af topografiske effekter ignoreres i modellen.
Vinklen 9 i potentialet (6.19) er ikke velegnet som argument. Indfører
vi istedet punktet P's terres^Lske koordinater (længde X, bredde ep) samt månens
astronomiske koordinater (timevinkel X , deklination cp1) kan 9 udtrykkeB gen­
nem disse ved at benytte cosinus-relationen for en sfærisk trekant :
cos 9 = sin ep sin ep + cos ep cos ep cos(X - \ )
113°
140''
99-
140=
Dette kan vises ved at betragte de 2 enhedsvektorers skalarprodukt
R(X, ep) t{\v ep,,)
IÎI
Benyttes (6.29) på (6.19) fås formelt
2 1
cos 9--r = A + B+C hvor
A 3 / . 2 1 W . 2 1»
A=-(sm ep --j) (sin ^ - -p
B = -T sin 2ep sin 2ep1 cos(X - \)
1 2 2
C = -T cos ep cos *P. cos 2(X - X )
9r
35°
91°
4.4
3.0
0.8
1.0
72.0
70.0
24.0
(6.29)
(6.30)
(6.31)
(6.32)
(6.33)

De astronomiske koordinater \ , ep. samt leddet R / r er alle afhængige af
tiden d.v. s. at for et bestemt sted på jorden varierer både A, B og C med ti­
den. I det følgende skal vi se hvorledes :
Vi tænker os, at jordaksen ligger fast i forhold til fiksstjernerne og
betragter månens og solens tilsyneladende bane mellem disse. Solen bevæger sig
da i løbet af et år i en bane som kaldes ekliptika. I praksis ligger banen fast
i forhold til ækvatorplanen (vrider sig én omgang i løbet af 20940 år) og dan-
ner en vinkel pa 23 -g med denne. Solens deklination har følgelig en periode
på 1 år. Solens omløbstid mellem fiksstjernerne bliver 0,041 grader pr. time
( /h). Jorden drejer sig i forhold til fiksstjernerne med den absolutte vin­
kelhastighed ÜÜ /h. Vort klokkeslet er defineret således at når (X - V«) i
har ændret sig 360 er der gået 24 timer. På én time har vinkelbenet BC drejet
vinklen tu grader mens CA har drejet 0,041 grader, (X - \. ) , har ændret sig
med (tu - 0,041) grader. I løbet af 24 timer har vi nu (o) - 0,041) 24° = 360
hvorved
167
u) = 15,041 % (6.34)
fordi vinkelhastigheden for (\ - \ ) . pr. definition er 15 /h.
j o rdo ve rf 1 aden
solens bane
°A.
0,041 °/h
sol"
For solens tidevandspotentiale finder vi i følge (6.19), (6.32) og (6.33), at
C har en halvdaglig periode på 12 timer og B en heldaglig på 24 timer.
Månebanen danner en planvinkel med ekliptika på 5 • Dens bane er noget
kompliceret, så vi indskrænker os til at betragte dens vigtigste træk. Månen
har en absolut vinkelhastighed på 0,549 Ai d.v.s. den brager 27,32 dage (en
tropisk måned) til sit omløb. Vi betragter analogt til før vinklen (X - X.) mane

168
I følge det foregående drejer vinkelbenet CA 15,04*1 /b, medens månen bevæger
sig med 0,549 /h i samme retning. På én time bliver (X - \.) e = 15,041 -
- 0,549 grader. 1 månedag lig med tiden mellem 2 efterfølgende kulminationer
"bliver på
360"
14,492
timer = 24,84 timer
For månens tidevandspotentiale finder vi i følge (6.19), (6.32) og (6.33), at
C har en halvdaglig periode på 12,42 timer og B en daglig på 24,84 timer.
Både månens og solens deklinationer og afstand til jorden r varierer om-
end langsomt med tiden sammenlignet med tidsskalaer på omkring 1 dag. ep (måne)
og 9.(sol) 's perioder for variationen i r er henholdsvis en tropisk måned og
et kalenderår. Derimod har leddene A, B og C en periodisk langtidsvariation
på henholdsvis en halv tropisk måned og et halvt år på grund af at leddene
sin ep. - 1/3 - •§ - -|cos 2cp - 1/3, sin 29 og cos 9 = \ + -|cos 2cp , i hen­
holdsvis (6.31), (6.32) og (6.33).
6.2. Tidevandsbølger.
Indledningsvis vil vi betragte det halvdaglige M?-tidevandsforløb i en
bugt. Højvande indtræffer 2 gange daglig forskudt 12,42 timer og ind imellem
optræder lavvande med den samme periode uu. Vi antager, at tidevandet uden
for bugten kan beskrives ved en enkel harmonisk funktion
TI «= Bg cos u^ t for x = L. (6.35)
fe—Lfj
\
Deep water j f-Q
6
Deep water ^
(a)
Mean wotef level
(c)
lir
uj-2
_
W^r^HT
y////////////////////////////////////, - ~ - Å
Deep water ^ t - —
p
Deep water y/y
Ib)
t •- _6*_
(Dr4
Fig. 80. Tidevand i en bugt eller fjord, hvor der er tidevandsresonans.
Pilene angiver vandpartikelhastigheden skematisk.
fZZ?.

I "bunden af "bugten x = O har vi som grænsebetingeise, at den horisontale has-
tighedskomponent rettet vinkelret på kysten er lig med nul. En stående "bølge
af formen
169
TI = A cos k*x cos (U_, t (6.36)
opfylder denne "betingelse, hvorved det implicit er forudsat, at tidevands-
amplituden på tværs af fjorden er den samme. Tidevandsbølgens bølgelængde er
stor i forhold til vanddybden, så der gælder
k.-^-.S (6.37)
VFT c f
hvor h er middelvanddybden i bugten. (6.35) og (6.36) giver
a = A cos k LB
Herved kan (6.36) skrives som
(6.38)
oos( • x)
•n- 8 *—^tf— e08u * t * (6 - 39)
cos(-—• . LB)
Da nævneren i (6.39) altid må være mindre end eller lig med 1, vil højvande
i bunden af bugten normalt overstige højvande uden for denne - og tilsvarende
med lavvande. Hvis k L» ^ n — får vi resonans, hvorved amplituden i principis
— £
pet skulle blive uendelig stor. Dette hænder naturligvis ikke, fordi gnidning,
som er ignoreret ved udledelsen af (6.39) j ville hindre, at situationen kunne
opstå.
Væskedelenes hastighed i bugten bliver
U = frycos k LB sin k x sin c^ t (6.40)
^ C f
k(z + h) cos k x sin ID t (6.41)
h cos k L- v T
(6.40) og (6.41) fås direkte ved at benytte resultaterne fra afsnit 2.4 samt
følgende faktum : 2 enkle progressive harmoniske bølger, der bevæger sig mod
hinanden med samme bølgelængde og fasehastighed, giver anledning til en

170
stående bølge
T^if t) » •£ cos(k x - m t) + ^ cos(k x + CD t) = A cos k x cos

h(^ + ^) =„B (6.45)
bx by bt s '
Med vore antagelser er u, v uafhængige af vanddybden, fordi tidevandsbølgen
er en lang bølge#
De ikke-lineære led, som implicit optræder i (6,43)
er af samme størrelsesorden fordi
1~| (6.tf)
som følge af (6,45)» hvor U, V og X, Y henholdsvis er karakteristiske hastigheder
og længder. Vi kan indskrænke os til at vurdere forholdet
bu
bt
171
^ u ^ c / ü ^ p / u » ! (6.47)
d.v.s. at alle ikke-lineære led i (6.43) kan ignoreres. Tilsvarende kan vises
at gælde for (6.44) hvorved begge ligninger kan skrives på lineariseret form
Vi har i afsnit 2.4 vist at størrelsesordenen for bu/bt kan udtrykkes ved
~~gT]k~27tgTl/.Tcfc?2TCgT]/T ^g-j „ 2ft.10-8 /6-3600 V10-100 ~
~ 10 m sek."" . T er her tiden mellem høj- og lavvande (ca. 6 timer),
hvis variation er sat til de maximale 8 meter, som kan indtræffe i Nordsøen.
Endelig er h for Wordsøen sat til 100 m,
Coriolis-leddet f*u kan på tilsvarende måde vurderes
fu~fgTlk/(D«fgT]/c f~ 10" 4 -10-8 / 30 ~ 3-10 -4 m sek. -2
Trykgradient-leddet g-T - ' bliver
gP~10.8/ 100 * 10 3 ~ 8-10" 4 m sek."" 2
0 bx '
For Nordsøen erU~ V og ~ r*^ så vi kan samlet konkludere, at alle 3 led i

172
henholdsvis (6.48) og (6.49) liar omtrentlig samme størrelsesorden.
De løsninger vi søger til vort idealiserede tilfælde, skal være progres­
sive bølger i kanalens længderetning, d.v.s. løsninger af formen :
u = U(y) cos(ti) t - k x) (6.50)
v = V(y) Bin(o> t - k x) (6.51)
TI = Z(y) COS(Ü) t - k x) (6.52)
Problemet er nu at bestemme formen på amplitudefunktionerne U, V, Z således
at differentialligningerne og grænsebetingelserne
er opfyldt.
v = 0 for y = + a samt alle x, t (6.53)
Vi indsætter (6.50) - (6.52) i (6.45), (6.48) og (6.49) og får
som giver
-0)U = fV-kgZ (6.54)
(«v = -f ü-gz 1 (6.55)
khU + hV'=u>Z (6.56)
(k 2 g h - tu 2 ) U - m f V - g h k V (6.57)
(k 2 g h - tu 2 ) Z = k h f V - a> h V» (6.58)
(6.57) og (6.58) indsættes i (6.55)
2 2
V.. -(k 2 +i-^S-) T (6.59)
Er parentesen i sidste ligning positiv bliver løsningen en såkaldt Kelvinbølge.
Har vi derimod en negativ parentes fås en Poincaré-bølge. Hvis parentesen
endelig er lig nul haves V" =0, d.v.s. ? = i y + B, hvor A, B er arbitrære
konstanter. Grænsebetingelsen V(+a) = V(-a) = 0 giver aA + B = 0 d.v.s.
A = B = 0 d.v.s. V = 0.

Kelvin-bølger :
(6.59) skrives på formen
173
V" = a 2 V (6.60)
som har den generelle løsning V = A e y + B e~" y
V(+ a) m, 0 medfører A e tt a + B e~ a a = 0 = A e~ a a + B e a a , d.v.s. A > B - 0
d.v.s. V(y) = 0 i hele kanalen.
Vi ser nu på (6.57) og (6.58) hvor V = 0 medfører, at enten er U, Z = 0 eller
2 2
også erk gh-uj =0. For at undgå en triviel nulløsning vælger vi
2 2
k g h - u> = 0 eller
c 2 =(£) 2 =gh (6.61)
hvor c er Kelvin-bølgens fasehastighed, som vi ser er lig fasehastigheden
for sædvanlige lange bølger.
(6.54) - (6.56) forenkles til
tu U = k g Z (6.62)
f U « - g Z» (6.63)
k h U = u)Z (6.64)
(6.62) er identisk med (6.64) på grund af (6.61). Vi eliminerer nu U fra (6.62)
og (6.63)
Vi har altså
Z» = - - Z altså
c f
Z = Zo e-< f /°f> y (6.65)
Tl(x, y, t) = Z e"^ f /°f) y cos(u) t - k x) (6.66)
u(x, y, t) = Ä Z e"( f /V y cos(to t - k x)
of "o - ' ( 6 - 6 î)

174
v(x, y, t) = O (6.68)
Direction of propagation
Pig. 81. Havoverfladens topografi
når en Kelvin-bølge udbreder sig
mod højre på figuren i en bred k-anal
med konstant dybde'på den nordlige
halvkugle.
Vi ser direkte, at for 1, 't = 1 , t bliver |T|| og |u| størst på kanalens højre
side set i strømretningen. For Nordsøen gælder omtrentligt :
f ~ 10~ 4 sek." 1 , g~ 10 m / sek. 2
h ~ 10 m d.v.s. faktoren f/c = 3-10"" m~ 1
f
yTh
3 f
a~ 300-10 m d.v.s. — y kan variere mellem + 1.
Vi har tidligere nævnt at tidevandsamplituden' var størst' ved Englands
østkyst. Dette kan forklares ved at antage, at tidevandsbølgen er en Kelvinbølge,
der nordfra breder sig ind i Nordsøen. Derved bliver en tidevandsbølge
en lang bølge,hvis fasehastighed afhænger af vanddybden alene og hvor væskedelenes
orbitaler er rette linier, som løber parallelt med det uforstyrrede
vandspejl.
I Fig. 82 gives et eksempel på tidevand fra Nordsøen, som klart viser,
at man gennem optiske partikelmålinger kan observere tidevandsfænomener. Den
lille nedre figur viser resultatet af simultane strømmålinger. Skalaen fra
0 - 60 udtrykker hastigheden i om/sek. og pilene står for den retning strøm-

men løber imod - f.eks, betyder f at strømmen løber mod nord.
Poincaré-bølger :
(6.59) skrives på formen
Partiel*
eonctntratiort
D-11-2 2-3 3-t i-S
LU tud S mm E3
EB E23 E383 ES3 MÉ
06" 1S.15Ï t2 00" 16,3 06"
Pig. 82. Periodisk løftning og
sænkning af partikler i Nordsøen
forårsaget af tidevandsstrømme*
v"--ß v (6#69)
2 2
2 ti) — f* ?
hvor ß = — k > 0. Den generelle løsning til (6.69) er
V = V cos(ß y + y)
hvor Vo, Y e r integrationskonstanter. V(+ a) = 0 medfører, at vi kan sætte
Y = TI og ß = •=- n, hvor n er et ulige tal. Derved bliver
2a
V » - V cos _ TI n
o 2a
(6.71) indsættes i (6.58) Ï
2 2
(k gh-ti))Z = khfVocosßy-u)hßV sin ßy
175
(6.70)
(6.71)
(6.72)

176
Benyttes
eu 2 - k 2 g h . f 2 + ß 2 g h (6.73)
på (6.72) fås
Z = k h | V (cos ß y + gl sin ß y) (6.74)
f* + ß^ g h °
K x
Hvis vi for overskuelighedens skyld erstatter første led i (6.74) med A d.v.s.
finder vi
Z = A (cos ß y + £-| sin ß y) (6.75)
2
v = - A FE (1 + ^-f-^) cos ß y (6.76)
U = A (jSL cos ß y + £-Ê sin ß y) (6.77)
Fasehastigheden findes af (6.73)
og-(g) Z .«h + f2 +g 2 " h >«h (6.78)
k
Poincaré-bølger har altså en større forplantningshastighed end Kelvin-bølger.
(6.73) kan skrives som
u) 2 = f 2 + g h ß 2 + g h k 2 (6.79)
Heraf fås 2 uligheder w > f og u> > ß \Jg -h som udtrykker, at der ikke kan
eksistere Poincaré-bølger med en frekvens mindre end inerti-frekvensen og
heller ikke med en frekvens mindre end ß \/g h = (n TC/ 2a) \jg h. Der er for
realistiske værdier af a, h kun en ringe sandsynlighed for, at der kan eksi­
stere Poincaré-bølger med tidevandsperiode. Følgelig konkluderer vi, at det
resulterende tidevand for det idealiserede kanal-tilfælde fås ved at superpo-
nere samtlige Kelvin-bølger med hver deres astronomisk bestemte frekvens.
En Kelvin-bølge, som bevæger sig ind i Nordsøen, vil. på et eller andet
tidspunkt ramme kysten hvorfra en del af bølgen vil reflekteres tilbage. Der­
ved får vi en overlejring af to Kelvin-bølger. Vi kan tænke os en lukket kanal,
som en mulig model for Nordsøen, fordi den eneste sydlige passage som findes

er Den engelske Kanal, der er snæver på Nordsø-siden. Resultatet er for denne
model gengivet i Pig. 83. Det skal bemærkes, at beregningerne, som danner grund­
laget for Pig. 83, er baseret på numeriske metoder. Dette kan være utilfreds­
stillende, så derfor vil vi istedet opstille en tidevandsmodel for Nordsøen,
hvor vi har den åbne kanal fra tidligere i hvilken 2 Kelvin-bølger med samme
amplitude og frekvens løber mod hinanden.
I I It l
/ \ i
8 e s
.0 0 Ô
ØOO
000
ÖGGGQ
Pig. 83. Kelvin-bølgers reflektion i en kanal med konstant dybde, som er åben i
den ene ende. Bølgeperioden er 12 timer, og kanalen befinder sig på nordlige
halvkugle. Til venstre, co-tidal lines (isolinier, for hvilke ekstreme tidevands
amplituder forekommer til samme tidspunkt) samt isolinier for tidevandsamplituder
(punkterede linier). Til højre, vandpartiklernes baner.
For Kelvin-bølgen som går i x-aksens retning gælder :
U, = \ e~( f / c f ) 7 cos(m t - k x) (6.80)
177

178
u,, - TI e~^ f / c f^ y cos(u) t - k x) (6.81)
og for Kelvin-bølgen som går modsat x-aksens retning gælder analogt :
\ = ~ \ e ^ f ^ y c o s ^ * + k x ) (6.82)
un = u e^ f /°f ^ y cos(æ t + k x) (6.83)
2 o
Superposition af de 2 bølger giver
TI = U, + \ (6.84)
u =• ^ + u2
(6.85)
Uår x = 0 og y - 0 "bliver "Q = 0 for alle t. Dette gælder også, når x = n n og
y = 0. For ethvert punkt på y-aksen er T| = - 2TL sinh (f/c„) y cos u) t, d.v.s.
for alle punkter på den negative y-akse får vi højvande for tu t = 0, medens
dette indtræffer på den positive y-akse, når tu t = 71. Følgelig er den negative
y-akse "co-tidal line" for tu t = 0 og den positive y—akse "co-tidal line" for
ID t = Tt.
For alle punkter på x-aksen er T| = 2TI sin k x*sin œ t. Ser vi alene på
intervallet - n/2 < k x < K/2 , får vi højvande for ethvert punkt på den po­
sitive x-akse, når u) t = n/2 og for ethvert punkt på den negative x-akse, når
UD t = 3ît/2. Disse liniestykker hl iver da "co-tidal lines" for henholdsvis
uj t = TI/2 og tu t = 3K/2. Linien k x = %/2 bliver også en "co-tidal line" for
m t = Ti/2. Vi har nu fundet "co-tidal lines" til tiderne u> t = 0, 7t/2, % og
3Tt/2. Yi ønsker herefter at kunne finde "co-tidal lines" til andre tidspunkter
og skriver til dette formål T] på formen :
f
T| = 2T| cosh — y sin k x-sin ti) t -
o C—
- 2T| sinh — y cos k x*cos m t (6,86)
f
Yi indfører nu 2 funktioner
H cos ep = 2T| cosh — y sin k x (6.87)
H sin ep = 2TL sinh — y cos k x (6.88)

Derved bliver
I] = H sin(t» t - cp(x, y)) (6.89)
H 2 = 4T^(cosh 2 |- y - eos 2 k x) (6.90)
.p
tg ep = tgh — y' cot k z (6.91)
C f
Det ses at H ^ 0, når y ^ 0. H kan kun "blive lig med nul, når y = 0 og x = 0
eller x = k %. Højvande indtræffer, når IU t - ep = n/2. Dette tidspunkt kalder
vi t , hvorved
o'
cpCx, y) - » to - f (6.92)
bliver ligningen for den kurve ("co-tidal line"), som forbinder punkter med
højvande. Vi har
eller
tg uj t m tg(cp + |) = - cot tp (6.93)
tg kx coth — y + tg CD t = 0 (6.94)
cf
ved benyttelse af (6.91) og (6.93). Vore "co-tidal lines" kan herefter tegnes
op. til forskellige tidspunkter.
Vi vil betragte forløbet af disse "co-tidal lines" i nærheden af det am-
fidromiske punkt (O, O) defineret ved T| = 0 for alle t. Vore "co-tidal lines"
må alle gå gennem sådanne, punkter, fordi de ikke må skære hinanden. Vi betrag­
ter altså små værdier af x, y og kan derfor approximere udtrykket i (6.94) s
f °f 1
tg kx ~ k x, coth (— y) ~ y — d.v.s.
Vore "co-tidal lines" kan altså inde ved det amfidromiske punkt tilnærmes ved
rette linier med hældningskoefficienten
179

180
Liniernes drejning med tiden fås ved at differentiere (6.96) med hensyn til
tiden
Fig. 84. Roterende bølge (amphidromisk bølge) i et kvadratisk bassin med konstant
dybde. Bølgen er fremkommet ved superposition af to stående bølger, begge
med en periode på 12 timer men med forskellig fase, der løber vinkelret ind mod
bassinets endevægge (d.v.s. de to bølgers bølgevektorer er ortogonale).
Havoverfladens topografi er givet i de fire blokdiagrammer t.v. De tilhørende
strømme er vist i de fire midterfigurer og en vandpartikels banebevægelse (sporlinie)
er givet i (f) under forudsætning af (e), der viser en strømellipse for
et enkelt punkt.
(g) Fordelingen af strømellipser i bassinets nordøstlige kvadrant,
(h) Tidevands amplituder i cm for en svingningsperiode (fuldt optrukne linier)
samt co-tidal linier (stiplede linier).

7.1. Definitioner.
Kapitel 7
Optiske parametre
En lyskilde har et emissionsspektrum e(x, t), som afhænger af tiden t
og "bølgelængden X.
Watt/m pr .nm
Pig. 85
p, X nm
I vores tilfælde, hvor solen er den aktuelle lyskilde, antager vi for de fles­
te praktiske tilfælde, at strålingsfeltet er konstant i tiden indenfor en "be­
stemt måleperiode. Et sådant tilfælde vil vi have, når solen står højt på
himlen (stor solhøjde), eller når måleperioden er kortvarig.
Vi indfører nu en vigtig definition :
Mængden af lysenergi (radiant energi målt i Joule) i bølgelængdeintervallet
(X, X + dX) ~ H(X + îjfdx)dX ~ H(x) dX som transporteres over et arealelement då
gennem en vis tid dt samt "befinder sig indenfor et vist nimvinkel element dua
orienteret i en "bestemt retning - se Fig. 86 - kan udtrykkes således :
d H(\) dX - L(x) COS 9 dX dA dæ dt (7.1)
Fig. 86
n_ldA
181

182
Størrelsen L kaldes radiansen (lystætheden) for det udgående felt (rettet efter
nj ved bølgelængden \, elementet dA og tiden t. I det almene tilfælde haves
for radiansen :
L = L(x, y, z, ef qj, \, t)
hvor (x, y, z) er de 3 kartesiske rumkoordinater - 6, ep polarvinkel og azimuth.
I havet varierer L kun langsomt i horisontal retning - d.v.s. (x, y ^af­
hængigheden er ubetydelig. I alle praktiske målesituationer kan vi endvidere
se bort fra den tidslige afhængighed. Dette bevirker, at L = L(z, 6, ep, x) re­
lativt let kan måles. L's afhængighed af bølgelængden finder vi naturligvis
ved at benytte os af farvefiltre - f.eks, dobbelte interferensfiltre«.
I det følgende vil vi ikke betragte ^-afhængigheden, da denne i .sammen­
hængen er interesseløs. Af samme grund omskrives (7.1)
d^H = L cos 6 då åm dt (7.2)
Vi indfører nu begrebet radiant energiflux F (Watt), som undertiden blot be­
nævnes "flux" !
|^ = d 2 ? = L cos 6 dA ik (7.3)
samt begrebet irradiance E (Watt/m ) - også kaldet belysning
d2
rjj- 5 dE » L cos 6 dd) (7.4)
samt endelig begrebet intensitet I (Watt/steradian)
fi = dl - L cos 9 dA (7.5)
Det er nødvendigt at indføre yderligere nogle parametre, som spiller en stor
rolle i den optiske oceanografi :
E d =
K/2 |*2TT
o
L cos e sin 6 dø dep (7-6)
hvilket er den nedadrettede belysning (downwelling irradiance) på den horisontale
plan.

u h/2
r2lT
L | cos 8 J sin 6 d9 dtp
hvilket tilsvarende er den opadrettede belysning (upwelling irradiance) på
den horisontale plan.
E = E^ - E =
d u
rit f2ir
L cos 6 du)
som benævnes den vektorielle belysning (vector irradiance).
E =
o
L du)
denne størrelse benævnes med den skalare belysning (scalar irradiance).
E = (samlet flux på en kugle)/4it r , hvor r er kuglens radius, kalder vi
sfærisk belysning (spherical irradiance).
E od
t-n/2 f2ir
183
(7.8)
(7.9)
(7.10)
L dm (7.11)
benævnes den nedadrettede skalare belysning (downwelling scalar irradiance).
E =
ou
rir
TT/2
2TT
L du) (7.12)
benævnes den opadrettede skalare belysning (upwelling scalar irradiance).
Parametrene (7*6) - (7«10) er af størst interesse. Desværre findes kun få mål­
inger af E , fordi sådanne målinger er vanskelige at udføre i praksis.
Vi har brug for at indføre parametre, som udtrykker lysfeltets svækkelse
med dybden z - altså dets ændring i vertikal retning. Antag at lysfeltet er
beskrevet ved parameteren E.. Vi definerer da den vertikale dæmpningskoeffi~
cient (vertical attenuation coefficient) for E. ved :
öE l
i
E. bz i v ' J
1
K. = - c- ~-i - K. (z, t)
i
hvor index "i" f.eks, kan være "od". Dette ville da betyde at
K 1_ od
od E dE
od
dz
Tilsvarende finder vi for L og beslægtede parametre uden index
\"Z^'\^ 6 ' * *>
(7.13)
(7.14)
(7.15)

184
7.2. Strål ingsl igningen.
z=0
havoverflade
Pig. 87
Vi betragter upolariseret monokromatisk lys kommende fra en bestemt retning
(9, ep).
Pluxen på dA = d F(r) « L(ø, ep, r) då diu.
Vi undersøger først ly s spredningen væk fra volumenelementet då 6r
Definition :
a i(e) - p(e) SE av = p(e) A(r)
dA
dA gr = ß(e) a P(r) gr (7.16)
Total spredt flux væk fra volumenelementet fås ved at integrere over alle ret­
ninger — se (7.5)
d 2 !^) diu = ß(9) d 2 F(r) 6r duo . d 2 F 6r f ß(e) du> =
dT = L(e, ep, r) âA 6r diu-b (7.17)
-1hvor
størrelsen b benævnes spredningskoefficienten (m~ ).
Volumenelementet absorberer også radiant energi givet ved Lambert-Beers lov :
6(d 2 P(r)) « - a d 2 F(r) or.
—1
Størrelsen abenævnes absorptionsko efficient en (m"~ ).
Indtil videre er det samlede tab af radiant energi fra volumenelementet dV
(a + b) L(e, ep, r) dA ôr du>

hvor a + b =s c, som benævnes dæmpningskoefficienten (attenuation coefficient).
Imidlertid finder en tre die proces sted, da omgivelserne bidrager med en flux
ind mod volumenelementet dV (kommende fra alle retninger), hvoraf en del af
denne spredes i retningen (8, ep). Dette mindsker tabet af radiant energi, som
forårsagedes af sprednings- og absorptionsprocesserae. Yi betragter intensite­
ten kommende fra retningen (6 1 , ep 1 ) som spredes i retningen (6, ep) :
d^l(9, ep) - p(a) dE dV -
ß(a)
ds
dV =
P(B) L(9'T q>t r) du)' ds
^ ' ds T
normalen til ds går i retningen (6', cp T ) :
6,9
Pig. 88 de
Det samlede bidrag i retningen (8, ep) fås ved integration over alle rumvinkler:
dl (e, ep) - f p(a) L ( e 't ?S r ) *»' Æs dY -
dV
J ktt
L(6S ep', r) ß(o) du)'
UTT
Cosinus-relationen for en sfærisk trekant giver
cos a = cos 6 cos 8' + sin 8 sin 9' cos (ep - ep')
d^ = dl(8, ep) dtu = da) dV
kit
L(e', ep'* *0 ß(°0 âu)!
Jlux-^ændringen hidrørende fra volumenelementet dY kan nu udtrykkes :
d^r + fir) - d 2 F(r) ~ ^ d F t r )) 6r =
— { r
fiL ^ e .gr tp '
I '' ) dl 6r du> - - c L(6, ep, r) dA Ôr drc +
+ dtu dV L(6', ep', r) ß(cc) dto'.
e>'
185
(7.18)
(7.19)
(7.20)
Efter division med du) dY får vi udtrykket for den klassiske strålingsligning :
^ V * r) - - o L + f L(e', ep-, r) ß(«) *•>' (7.21)

186
Antager vi horisontal stratifikation d.v.s.
Sil = Êk . o samt z = r cos 6 (7.22)
ox oy
får ligningen følgende udseende :
cos g oL(6T ep, z) m _ c L^Qj ^ ^ + J L(Q,^ ^ r)ß(a) d(Bt (7-23)
hvor sidste led for nemheds skyld ofte skrives som L (9, ep, z). Denne funktion
kalder man vej-funktionen (path, function).
Strål ingsligningen er vanskelig at behandle i det generelle tilfælde, for­
di den er på integro-differential form. Hedenfor vil nogle enkelte eksempler
på dens anvendelighed blive givet. Strål ingsligningen giver umiddelbart at for
6 = n/2 :
L (n/2, ep, z)
c , * • -. (7.24)
L (TI/2, tp, z) .
for alle (z, -

c-KL cos 9B (7.27)
Ovennævnte type c-målinger er ikke almindelige. Sædvanligvis anvender vi et
c-meter (transmissionsmeter) til at mâle dæmpningsko efficient en. Dette instru­
ment måler en tynd lysstråles svækkelse, efter at denne har gået over en fast
afstand. Ved hjælp af indskudte bl ænderanordninger i strålegangen og ved for­
trinsvis at måle om natten haves
l ^ c L + L^-oL-» L(r) = L(0) e" C r (7.28)
Integrerer vi strålingsligningen over alle retninger fås :
|- I cos 9 L dci) • - c L du) + ] L(9', q>', z) d»' ß(cc) åsa =
JUTT 'kil
J kir Jkir Jkir
$E « - c E +bE = -aE (7.29)
bz o o o M •/
ifølge (7.9) og (7.IO).
Denne vigtige ligning kaldes Gershuns ligning. Den tillader beregning af absorp-
tionskoefficienten, hvis man kender E (z) og bE/bz, hvilket i praksis vil sige
E(z). Hvis vi kender L(8, ep, z), kan a. naturligvis også beregnes ved benyttel­
se af (7.9), (7.IO) og (7.29).
Differentierer vi (7.29) m.h.t. z fås
d ln(K_,/a)
187
dz -ht-*o (7.30)
ved at benytte (7.13).
Måles K_ og K (hvor E(z) og E (z) kan være angivet i enten relative eller ab-
£j O O
solutte enheder) kan absorptionens relative variation med dybden beregnes. Des­
uden finder vi fra (7.29)
E / L cos 6 du>
a = Kg g = Kg =£ : = Kg < cos 6 > (7-31)
o fA% L du>
Da L(8 ,0 z) y> L(e, «>» 2) for alle (9, ep) og små dybder vil < cos 8 > ~ cos 8
således at
a - Kg cos 8s
(7.32)

188
Vi kender nu a's absolutværdi for z = 0 foruden a(z)*s relative variation,
hvilket medfører, at a(z) kan beregnes. Metoden har aldrig været anvendt, men
er fuldt brugbar. Den har den fordel, at ukalibrerede instrumenter er tilstræk­
kelige for måling af absorptionen (se endvidere afsnit 7-7)»
7.3 Måling af radians.
Fig. 89
Radiansrøret er som vist på figuren konstrueret således, at alle stråler, hvis
retning ligger indenfor ( 8 - •§ d6 | 9 + § de) og (ep - |\ sin 6 dep | ep + \ sin Ö
brydes af linsen således, at de kan fortsætte videre gennem blændehullet - der
ligger i en brænd vidde s afstand fra linsen - til sensoren. For stråler uden­
for disse retninger vil gælde, at disse p.g.a. blænde systemet ikke modtages
af sensoren. Vi benævner d6 som instrumentets åbningsvinkel. Er denne lille,
siger vi, at L er den samme over hele du). Benyttes Fig. 89 og (7*3) ses, at

den af radianB-fcuben modtagne flux = L(ø, ep, z) dA dm. Siden dA og dtu er instru­
mentkonstanter uafhængige af (6, ep), vil det såkaldte radiansrør måle en stør­
relse = konstant - L(6, ep, z), hvor denne konstant kan findes ved kalibrering.
Radiansen måles i praksis på følgende måde : Radians røret udstyres med et be­
stemt farvefilter, orienteres i polarvinkel retningen 6 og sænkes ned til dyb­
den z. Derefter roteres radiansrøret - f.eks, v.h.a. en propel - omkring ver­
tikalen. Kender vi azimut al vinkelhastigheden, har vi bestemt L(z, ep) for fast­
holdt Ö. Radiansrøret rettes herefter mod en anden polarvinkel retning - og man
gentager rotation omkring vertikalen. Som det direkte fremgår, er denne type
målinger sene. Dette er da også grunden til, at vi i høj grad benytter os af
andre former for dagslys-målinger, hvor dette er muligt.
Måletidens varighed gør det tvivlsomt, om strålingsfeltet kan anses for
værende tidsuafhængigt. Korrektioner for disse variationer kan udføres ved at
vi måler dagslyset på skibsdækket (dæk—fotometer målinger).
Orienteringen af radiansrøret i havet kan volde praktiske problemer. Især
azimuth vinkl en er vanskelig at bestemme, når det gælder den mest almindelige
type L-metre. Disse problemer er løst i mere specielle L-meter udgaver, men
omtale af disse fører for vidt og er desuden ikke af principiel interesse.
7.4. Måling af irradians.
Kender vi L(9, ep, z) kan vi ved numerisk integration finde E , idet der
ifølge (7*6) gælder
E d-
189
rrc/2r2ît
Jo
L cos 6 diu
Jo
(7.33)
Denne integration kan imidlertid også udføres instrumentalt v.h.a. en plan,
ideel opal - en såkaldt cosinus-collector eller n-collector - anbragt foran
en lysfølsom sensor.
E,-meter
a
Fig. 90
farvefilter
sensor

190
En ideel collector har den egenskab, at intensiteten dl kommende fra retnin­
gen 6 registreres af sensoren med en værdi proportional med cos 0. Det af opa­
len transmitterede lys følger Lamberts lov, d.v.s. : dl(6) = dl(0) cos 0.
Fig. 91
Fluxen ûrF fra dA med radiansen L(0, ep, z) på opalen med arealet = ds er iføl­
ge (7.3)
opal
,2„ T , «-, T n -, ,n ds cos 0
dP = L ds cos 0 dti) = L r sin 6 dtp r dø ? =
L sin 0 d6 dep cos 0 ds (îTBJ L er den fra dA udsendte radians fra retnin­
gen (0, ep)).
Belysningen på ds hidhørende fra fluxen kommende fra då bliver ifølge (7.4)
ih
ds
= L cos 6 dtu.
Summerer vi nu bidragene fra alle då-e me fås :
Samlet belysning på opalen =
[%/2 r2x
o Jo
L cos 6 dtu = E.
(7.34)
Dette resultat kan også fås på en anden aåde ved at betragte Fig. 92, hvor flux­
en på opalen fra retningen.(0, ep) = d J? = L(6, ep, z) dm ds cos 0. (ITB I L er
den af opalen modtagne radians fra retningen (9, ep)). Den samlede flux bliver
følgelig =
dF = ds L L cos 0 dtu og belysningen bliver følgelig =
dF
CUT _ r
ds ~ 2TI L cos 0 du) r E. (7.35)

Er opalen ikke ideel, vil der registreres et E givet ved
f-n/2 r2ir
L f(e) dtu
hvor cos 8 > f(6) for alle 9.
f(e) vil desuden være afhængig af bølgelængden, hvilket må vises eksperimentelt.
Fifr ?3
f(9, X) findes eksperimentelt på følgende måde :
E.,-meteren anbringes i vand og en kollimeret lysstråle med intensiteten I og
d
bølgelængden \ rettes vinkelret mod opalen, hvorved man får et vist signal
S(e = 0) ud. Derefter drejes E -meteren vinkelen 8 på en sådan måde, at opa­
lens lodrette diameter er drejningsaksen. Herved fås et signal 3(8). Dette
gøres for diskrete 6-værdier og vi finder da
« e '*>=!W
Undertiden ønsker vi at måle den skalare belysning, hvilket gøres med et såkaldt
E -meter. Et E -meter består af en opaliseret sfære. I bunden af denne
o o
er anbragt en lille flad modtager-opal, som transmitterer lyset videre gen­
nem et farvefilter til en lysfølsom sensor. Kuglens radius bør ikke være for
191
(7.36)
stor, fordi radiansens dybdeafhængighed da vil få betydning - se (7*37) neden­
for. Desuden kan kuglen, hvis den er for stor, skygge for sig selv.

192
Fig. 94
Fluxen på opalkuglen med radius = r kommende fra retningen (6, ep) er givet ved:
dF « L(e, ¥, z) du % x c (7.37)
Den totale flux fås ved integration over alle vinkler
2 2
dF =F =
L(G, ep, z) dui TI r = E % v
k-n UTT
Heraf fås direkte Ï
(7.38)
E
s = 2 - 4 o
(7.39)
4u r ^
Den på kuglen indfaldende totale flux F forårsager en vis radiansfordeling på
samme. Antag, at vi ved fladeelementet ds - se Fig. 94 - har radiansen L(9',

faktisk varierer L' henover kuglen, men det ses v.h.a. (7-40), at vi ligeså
godt kan regne med en middel radians, hvorom det gælder :
< L > 411 r - L« ds.
UTT
Følgelig "bliver "belysningen ved ds
r—
dF
E ds
ds
= konst. r « konst. • n E
o
JUir 4r 2
- altså en belysning proportional med E .
193
(7.41)
Ved tilsvarende regnemetoder kan det vises, at E måles med et opal-arrangement
som vist på Fig. 95' De^ skraverede område er i princippet en horisontal uende­
lig opak plan.
rnnmmuititïi nui/nu sensor
Fig. 95
E måles ved at vende E ..-meteren 180 .
ou od
Yderligere "beregninger vil godtgøre, at arrangementet som vist nedenfor
i Fig. 96 måler en størrelse proportional med (E + E) samt at samme vendt 180
nedad (E - E). Disse forhold bevirker, at de to meget vigtige parametre E, E
kan beregnes direkte. Se iøvrigt en mere detaljeret behandling i afsnit 7«6.
Fig. 96
(E x + E) 7 - meter
o
Nedre halvkugle er sort, undtagen, naturligvis,den lille flade modtage-opal.
Andre lignende collector-typer kan udvikles, hvilket dog for sammenhængen her

194
vil være interesseløst.
7.5« Immersionseffekt.
Uår lys falder på en opal, vil det inde i denne spredes i alle retninger.
Af den del, som spredes tilbage, vil en vis del totalreflekteres frem mod sen­
soren igen, medens en anden del vil forlade opalen. Den kritiske vinkel, for
hvilken tot al refleks ion indtræffer, er afhængig af mediets "brydnings index umid­
delbart udenfor opalen. Totalrefleksion indtræffer for større vinkler, når opa­
len befinder sig i vand (ca. 63 ) end i luft (ca. 41 ) - d.v.s. opalen trans­
mitterer mindre lys i vand end i luft. Fænomenet kaldes immersions effekt. Det
skal nævnes, at hvis pågældende opal er stærkt absorberende i et vist bølge­
længdeinterval, vil immersionseffekten her være lille, fordi den del af det
transmitterede lys, som hidrører fra tot al refleks ion, har gået så lang en mid­
delvejlængde, at det næsten er helt absorberet.
Immersionseffekten for en given opal er ofte bølgelængdeafhængig, hvil­
ket kan vises eksperimentelt. Da de fleste dagslys-målere calibreres i luft,
er det nødvendigt, at bestemme deres immersionseffekt.
Måling af E udføres som ved måling af E, - blot med den forskel at
E-meteren vendes nedad. Det skal nævnes, at opalens mangelfuldheder ofte er
mærkbare her, fordi det opadrettede lys ikke er udpræget retningsbestemt. Col-
lector-fejl på ca. 20 fo er almindelige.
Måling af E udføres som to separate målinger af E, og E , hvorefter vær­
dierne subtraheres.
"J.6. Bølgelængde-integrerende irradians-målere.
Den bølgelængde-integrerende lysmålers detektor antages at have en energiføl
somhedskurve S(x). Dets transmis s ionskurve i luft - for transmissionen
gennem opal, vindue o.l. - kaldes T(x) og instrumentets immersionseffekt angives
ved l(x). Det resulterende signal i bølgelængdeintervallet (\ l \ ) bliver
da i vand :
R = '( 2 T(x) S(\) l(x) E(\) d\ (7.42)
hvor E(x) er irradiansen ved instrumentets opal. Sædvanligvis undersøger vi
ved calibreringen i luft den samlede effekt fra T(\) og S(x) - altså funktio­
nen T(x) S(x) = S (\). Herved fås

f 2 R = So(x) I(X) E(\) dX (7.43)
A l
Vi udvælger - hvor dette er muligt - opal-materiale som forårsager en bølge­
længdeuafhængig immersionseffekt. Dette bevirker, at instrumentets virkemåde
i vand er som i luft - sagt anderledes : At instrumentets spektrale egenskaber
bibeholdes i henholdsvis vand og luft. Immersionseffekten er sjældent helt u-
afhængig af bølgelsengden, hvilket der bør tages hensyn til.
Hvis vi nu tænker os, at funktionen S (\) l(\) er gjort uafhængig af bøl­
gelængden i intervallet (x- I \„), hvilket kan gøres ved instrumentelle tilpas­
ninger, bliver signalet ifølge (7.43)
R = So I J 2 E(x) di (7.44)
X l
d.v.s. instrumentet integrerer irradiansen fra X1 til X„. Denne instrumenttype
kaldes et integrerende E -meter, og det måler energien pr. tids- og fladeenhed.
Vil vi istedet for energien måle antallet af lyskvanter, som erfarings­
mæssigt er bestemmende for fotosyntesen i havet, kan dette også gøres instru­
mentalt med et såkaldt q-meter. Vi har nemlig :
E(x) = antal lyskvanter • kvanteenergien ved pågældende X medfører at
E(x) =*r(x) h v-irU) h (c/x)
da \ v = c, h er Plancks konstant, v er frekvensen og c er lyshastigheden i
vacuum. Instrument signal et bliver ved benyttelse af (7.43)
E . h o f 2 S (X) I(x) N(x) x 1 iX (7.45)
Vores valgte opal antages at have en bølgelængde-uafhængig immersionseffekt.
Vælger vi desuden S (x) = konst. * X, hvilket kan opnås ved at "prøve sig frem",
fås direkte :
/*
R = h c*konst. . [
1X,
2 3J(x) dx (7.46)
Jx l
som netop giver antallet af lyskvanter mellem x1 °g ^o* Der ^an ikke gives no­
gen faste regler for på hvilken måde, vi opnår egenskaberne angivet ved (7.44)
og (7.46). Her er i høj grad tale om erfaringssager.
195

196
7.7« Absorptionsmåler.
Gershuns ligning udsiger :
SjgSl-- a(z)Eo(z) (7.47)
U.V.s. kender vi E(z) og E (z) kan a(z) "beregnes. Måling af E(z) og E (z) kan
udføres på forskellige måder. Den mest direkte er at måle E,, E og E med tre
d' u ° o
forskellige E-metre. Man kan også benytte en opaliseret halvkugle, som er orienteret
opad, idet denne vil måle |r(E + E) - vendt nedad -|(E - E). Vi forestiller
os nu, at målinger er udført trinvis på de ækvidistante dybder z., z?,
z-, .... z „, z , hvor z - z , sædvanligvis = 5 meter. Vi har :
3' n-1' n' n n-1 ö
eller
—/ n KL,(z) dz
- < Kp > (z, - z _)
E(zn) =E(zn_2) e * » n " 2 (7.49)
hvor < Kp > er middelværdien i det pågældende dybde interval.
1
E ( z n-2>
= Z -, .**sèr
n n-2 v n'
(7.47) og (7.48) medfører
heraf fås
0^ n—v
Calibre ring af absorpt ionsmåle ren (a-meter) udføres på følgende måde :
(7 - 50)
E -, E,- og E -metrene udstyres med deres respektive filtre og sensorer. Der­
næst placeres de tre instrumenter i hver sit rør (Gershun rør) hvori der er
indskudt blændere, således at deres åbningsvinkel er den samme. Rørene rettes
nu mod samme punkt på himlen (bedst mod solen), og signalerne i luft fra de
tre instrumenter aflæses.

197
Hg (X0) = Sg (x0) \ (X ) / & L cos 6 to (7.53)
d d d
Da lyset falder vinkelret ind mod opalen, haves
Hg. (X0) - Sfe (Xo) TE (x ) L Au) (7.54)
d -.ad. d
Tilsvarende findes for E -signalet
^ (X o> - ^ (X o> ^E ( V L Aü) (7.55)
u u u
samt for E -signalet
*E (\) » ^ > L Aa) (7.56)
O 0 0
Funktionerne S og T har samme betydning som i afsnit 7.7. Udtrykkene (7.54) -
(7.56) gælder som sagt for målinger i luft, men eftersom a-meteret skal måle
i havet, skal vi tage hensyn til de tre E-metres immersionseffekter, som følgelig
skal bestemmes ved forskellige bølgelængder.
Rp, = 1 p.g.a. normalisering
o
s Ed

198
7.8. Spredningsmåle re.
Der findes i princippet to typer. Den ene måler det integrerede sprednings-
bidrag b = 2JI / ß(8) sin 6 d6, medens den anden måler ß(6). Princippet i et
såkaldt ß-meter er blot en stabil lyskilde kombineret med et linsesystem, som
sikrer en parallel strålegang. Desuden en modtager med lille åbningsvinkel (ra-
dianstube). Begge ligger i samme plan. De kan drejes i bestemte vinkler i for­
hold til hinanden. Der gælder :
dl(e) - ß(G) B dV (7.61)
dV = det rumfang,som fremkommer hvor modtagerens åbningsvinkel skærer lysstrålen.
Udfra apparatdimensionerne bestemmes dV's størrelse geometrisk som en funktion
af 0. Da E er den samme for alle 6, og dl(6) bestemmes gennem måling, kan vi
finde ß(6).
Målinger ved små (< 1 ) og store (> 1/0 ) vinkler er vanskelige eller
endog umulige, fordi instrumentet har begrænsninger sat af optikken samt in­
strumentets egen udstrækning. Dertil kommer, at dV er usikkert bestemt ved
disse vinkler.
Den integrerende spredningsmåler (b-meter) består af et lampehus, foran
hvilket en flad opal (cos-collector) er anbragt. Vinkelret på dette beliggende
i samme plan sidder et radiansrør således anbragt og konstrueret, at lys, kom­
mende direkte fra opalen, ikke vil nå frem til radiansrørets photomultiplikator.
sensor —
Pig. 91

Yi regner med at h, opalen og åbnings vinkl en er lille, samt f luxen fra lampe­
huset er konstant. Desuden at opalen er en ideel Lambert diffuser d.v.s. :
199
i(e) = 1(0) cos e (7.62)
En opal kan aldrig eksakt opfylde (7*62). På den anden side kan man via tek­
niske anordninger komme nær idealet angivet ved (7.62).
Intensiteten, som udgår fra opalens overflade i retningen 6 (se Pig. 97),
er givet ved I - l(0) sin 9. Intensiteten ved dV bliver da *=
1(0) sin e e-( h /sin- e ) c (7.63)
hvor c er vandets dæmpningskoeff icient ved den pågældende bølgelængde. Fluxen
på dV = I(x) dti) = E(x) dA.
da) - TIT- 2
(7.64)
^sin 6'
dA er et are alelement beliggende indenfor dV, hvis normal danner vinklen 6 med
radianstubens "synsretning". Vi finder nu :
B(x) = 1(0) f*h e- « Wsin 6 (?>65)
h
Intensiteten spredt af dV ind i detektoren er :
dl = E(x) p(6) dV

200
b-meteret er konstrueret således, at r » h, d.v.s. vi kan i praksis integrere
fra 8 = Otil 8 = TI. Vi undersøger nu størrelsen
-i
- c h (—:—T - cot 8)
L sin 6
- se Fig. 98.
t 1 '
." c h (-^Tfi - cot 8) /
Pig. 98
1 / c h (*^Tft "
cot 9)
- c h( . 1 . - cot 8)
Vi ser, at e ~ î f° r de 6-værdier, hvor spredningen er af­
gørende. Derfor sættes uden videre denne funktion = 1, og vi får da :
T _ 1102 - c r
L - e ß(8) sin 6 d6 -#£)£e- ° r
K / 2 % h (7-69)
— C X 1
Vi kender h, r. Leddet e kender vi under alle omstændigheder omtrentligt,
men i mange tilfælde også helt nøje udfra simultane o-målinger. L findes ved
måling og kendes l(0) fra callbrering - kan h "beregnes. Er lampen, photomulti-
plikator, opal o.s.v. uforanderlige i tiden er l(o) en apparatkonstant, som
kun vil være afhængig af "bølgelængden. Desværre er dette ikke tilfældet, hvorfor
gentagne calibreringer er nødvendige.
Instrumenterne nævnt under spredning benyttes bedst om natten, da de er
meget følsomme over for endog små mængder lysenergi. For at mindske en evt.
dagslyseffekt bruger man ofte røde farvefiltre foran photomultiplikatoren.
Dette kan gøres med fordel, fordi partikel spredningen ofte viser sig at være
bølgelængdeuafhængig og fordi vandets egenspredning er meget lille i rødt.

8.1. Vektoranalytiske begreber.
Kapitel 8
Appendix
Et vektor felt er et rum, i hvilket der til ethvert punkt svarer en vek­
tor. Et eksempel herpå er hastighedsfeltet af en væske i bevægelse, hvor der i
ethvert punkt er en vis hastighed v - v(x, y, z, tj.
Et skalarfelt er et rum, i hvilket der til ethvert punkt svarer en
skalar. Trykket p=p(x, y, z, t) i en væske danner et skalarfelt, og tyngde­
potentialet, tidevandspotentiålet, hastighedspotentialet etc. gør det også.
Gradienten af ep (gradcp el, Vcp}, hvor ep er en skalar, er en vektor, som
går i den retning, hvor ep vokser stærkest, og hvis størrelse er lig med m's
tilvækst pr. længdeenhed i denne retning, ep forudsættes at være en funktion af
ruinkoordinaterne og kan være en funktion af tiden, tp = c, hvor c er en konstant,
er derfor ligningen for en flade {en ækvipotentialflade, hvis ep er en potential­
funktion) .
Gradienten i et punkt P i denne flade går i normalens retning, forudsat
grad cp ^ 0 i P, og kun én flade går gennem P. I kartesiske koordinater kan
grad ep skrives
gradcp = tf =î|L + ^ | ) L + ir|£. (8.D
hvor V skal opfattes som en differentialoperator, der kan skrives
'-*£•*!?•*&
201
(8 - 2)
Divergensen af A (div A el. V * A), hvor A er en vektor, er en skalar, som
som i kartesiske koordinater defineres ved
hvor
3A SA 3A
A « i A +ÎA + k A (8.it)
x y z

202
- * •
Divergensen af en vektor A kan opfattes som det antal feltlimer
(A-linier), der udgår fra en rumfangsenhed.
Rotationen af A (rot A, curl A el. 7 x A)» er en vektor , som i kar­
te si ske koordinater defineres ved
rot A = curl A = V x A =
9A 3A _ SA 3A aA 3A ^ 8 " 5)
x ( ^T 3z } + ° { H dx } + k ( 3x 3y }
_>.
(*) Bemærkning: En vektor A har den egenskab at være uafhængig af det valgte
koordinatsystem. Dette er ikke tilfældet for rotationen af en vektor. Her er
orienteringen af akserne af betydning, fordi vi betragter krydsproduktet mel-
lem to vektorer V og A. Dette forhold far kun betydning, nar vi foretager trans­
formationer fra venstre- (højre-)drejede koordinatsystemer til højre- (venstre-)
drejede.
Af definitionerne på grad, div og rot følger identiteterne
div rot A = 0 ' (8.6)
rot grad ep = 0 (8.7)
Den første viser, at hvirvellinier ikke kan ende i strømfeltet. De må løbe
tilbage i sig selv eller begynde og ende i strømfeltets grænser. Den anden
viser, at et gradientfelt (potentialfelt) er hvirvelfrit.
der
Idet ep og ip er vilkårlige skalarer, og A og B vilkårlige vektorer, gæl­
grad (W) «

(A • V)B er en vektor, der kan opfattes som den vektortilvækst S* får, når vi
flytter os et stykke lig vektoren A fra det betragtede punkt i B*-felt et. Ud­
skrevet i komponentform fås :
(i
• Î
+ k
dB 3B 3B
V)B = t A —— + A —— + A ——
x 3x y 3y z 3z
3B 3B 3B
j^ —i- 4. j^ -1- tf. 4. A ti.
x 3x y 3y z 3z
1 3B 3B 3B
W —5. + ^ —2 + A —z
] x 3x y 3y z 3z
rot (A x B) = (B • V)A - (A • V)B + A div B - B div A
2 2 2
div grad = V = A = —r + —p + —p
3x 3y 3z*
hvor A er Laplace-opérâtoren udskrevet her i kartesiske koordinater
203
(8.13)
(8.1U)
(8.15)
A(cfty) = VW+ + 2 grad ep • grad ty (8.16)
Vi betragter herefter en vilkårlig funktion f(x, y» z, t) og bemærker,
at er rumkoordinaterne fastlagt som en funktion af tiden t, er— defineret og
givet ved
dt 3t dt 3x dt 3y dt 3 z
Er tidsafhængigheden fastlagt i ethvert punkt til ethvert tidspunkt ved et
(8.16)
hastighedsfelt v = v{x, y, z, t), er — dermed bestemt som en funktion af sted
og tid. Er v specielt hastighedsfeltet for en væskedels bevægelse, kaldes
differentiationen substantiel, fordi — da er ændringen af f pr. tidsenhed
bedømt af en iagttager, som følger med væskedelen. For dette tilfælde bliver
(8.16)
eller
df 3* 3f 3f A 3f
(8.17)
df 3f ^ ,-•
+ (v V)f
dt - at
(8.17)
•*••*• •+ :*• 1 \ , dx , dy , dz-,
hvor v = 1 u + j v + k w, og (u, v, w) = {— ^f ~)
'dt dt dt J

204
Analogt med udviklingen ovenfor vil vi for en vilkårlig vektor størrelse
A, der er knyttet til den "bevægelige væskedel, have
| = f +

205
te = & = te (6.23)
U V W
Gennem hver fladeenhed lagt vinkelret på hastigheden trækkes et antal strøm­
linier, som er proportionale med hastighedens størrelse. Strømlinier kan ikke
skære hinanden, thi derved vil hastighedsfeltet ikke være entydigt givet. Ved
et strømrør forstås en lukket cylinderflade ud igennem hvilken ingen væske
strømmer i infinitesimale tidsrum - for stationære tilfælde kan vi udelade
"bemærkningen om tidsrum.
Vi antager først en divergensfri horisontal bevægelse, dvs.
£•£-0 (8.*)
Da u og v ikke er uafhængige af hinanden, indfører vi den såkaldte strømfunk­
tion ifj , givet ved
u = |^ . v = -|| (8.25)
Med denne definition bliver (8.2U) opfyldt. Isolinier for tø = constant i planen
kaldes for strømlinier. Vi har nemlig, at tø = constant medfører at
atø=^dx + |^dy=0 (8.26)
y 3x 3y *
som ved benyttelse af (8.25) giver
dx _ dy
som er et specialtilfælde af (8.23). Hældningen på isolinierne tø - constant er
lig tga, hvor a er vinklen mellem x-aksen og disse, mentga er også lig v/u,
altså
tga=^ (8.27)
Antager vi nu yderligere potentialbevægelse, fås endnu et bånd på hastighedsfeltet,
der bliver hvirvelfrit
|2-fi=0 (8.28)
3x 3y
Analogt med tidligere kan (8.28) udtrykkes

206
«••£ • T -& (8 - 29)
hvorved (8.28) Oliver opfyldt, ep er naturligvis hastighedspotentialet beskre­
vet tidligere. De to funktioner ty og ep har visse fordelagtige egenskaber:
J5L= 9i IÊ.- i* ' (8.30)
3x 3y * 3y 9x
som kaldes Cauehy-Riemanns differentialligninger. Vi ser, at en bestemmelse af
den ene af de to funktioner ty, tp, giver den anden. Multiplicerer vi ligninger­
ne i (8.30) med hinanden, bliver
&£. 3!k + % BU o (8 31)
Om nu ß betegner hældningen for isolinien, der har samme hastighedspotentiale,
dvs. dep = 0 (på tilsvarende måde som a gør det for hældningen for isolinien
dty = 0),
*---$|-i < 8 - 33 >
dvs. a =90 + ß. Dette betyder, at isolinier for henholdsvis ty og ep overalt i
væsken står vinkelret på hinanden. Benyttes (8.2U), (8.28) samt definitionerne,
finder vi, at
Aip = 0 (8.3*0
Atp= 0 (8.35)
Desværre kan de fleste oceaniske bevægelser ikke blive behandlet som divergensfri
og/eller hvirvelfri.
8.2. Massetransport.
Massetransporten mellem bund z = -h og overflade z = TI er defineret som
M = pv„dz (8.36)
J-h
H
Kontinuitetsligningen
|f + v • (pS) = o

integrerer vi mellem z = -h og z = Ti:
m
-h
at dz +
-h
207
v « * (POdz + d(pw) = 0 (8.37)
For differentation af et integral med variable grænser gælder
b b
f dz = Df dz + f(b)Db - f(a)Da (8.38)
hvor D er en differentialoperator. Beviset herfor gennemfører vi kun for til­
fældet
D = Ix • f = f ^ X ' y ' Zt tJ • ' a = a(x) °S b = h ^
Definitionen for integralet lyder;
b
f dz * (x - a) f. + (x- - x-)f0 + (b - x ):
± ± d ± ei n n+1
hvor
hvorved
lim (x - x .. ) = 0 for aile m
m m - 1
m •+• »
f s f(x ) * f{x .)
m m »• m-1
Differentieres ovennævnte integrals højreside med hensyn til x, bliver denne
dvs.
3f
Z(x - x J -s-S- f.$â + f . 5b -
m m-1 3x löx n+1 öx
M
8x I
f dz =
Af (8.36) og (8.38) følger direkte
3f
Öb oa
£ 9x * + r

208
Indsætter vi (8.39) i (8.3?) fås
-h
If dz + V_M
ot ti -Kl
V
z = n
- Kl, = .„ v-»>- [«-1..11 - [ p-U- h - °
Den kinematiske grænsebetingelse for overfladen giver
tt - °
_ la VH 11= 0
Vi multiplicerer med p _ og omordner ligningen, hvorved
z - D
pw
i. iz =
z = n
P
-»Z ä=
V Hi "H
z - n
(Q.kO)
(8.Ul)
(8.U2)
^ = PZ = TI fe

Specialtilfælde:
a) Homogent hava p = konstant = p
V„ - M + p |J « 0
H
p o 3t
Hvis overfladen er i hvile, reduceres (Q.kj) til
ldh =ldå
h dt A dt
209
(8.1*7)
VH • S = 0 (8^8)
h) Massefylden konstant i tiden medfører
V H-Ä+p |Ç - 0 (8.^9)
z = n
Hvis overfladen i tilgift er i hvile, får vi som før
VH - M = 0 (8.50)
Kontinuitetsligningen kan skrives som
|û = - p div v (8.51)
Væskedelen ændrer ikke sin masse m = pV under sin bevægelse, dvs.
dm dV , -r do _ .
d£ = e dT +Y ^t ° ( 8 *52)
Antages en inkompressibel væske9 bliver
eller
£-°
(8.53)
hvor A og h henholdsvis er et volumenelements horisontale grundflade og verti­
kale højde. Vi betragter herefter et horisontalt hastighedsfelt. Herved fås
IL dA _ _3u jhr
A dt = 3x + +
9y "^" (8.5*0
ved benyttelse af (8.1*7) og (8.53)- (8.5*0 udsiger, at den horisontale diver-

210
gens i et lille fladeelement A er lig fladeelementets relative ændring pr. tids­
enhed. (8.5U) kan gives på en form, hvori strømlinierne for bevægelsen indgår.
Vi betragter nedenstående hjælpefigur:
An' = An + ^ dl
c = c + |£ di
Ol
Idet C og C betegner to nabo-strømlinier, og A = An dl bliver
eller
1 dA _ 1
A dt An dl
An' - C • An
3u . 3v _ . £« liii + M Så*
31 An 31
gennem benyttelse af (8.5*0, (8.55) og (8.56). Hvis hastigheden er konstant
langs en strømlinie, vil den horisontale divergens udelukkende bestemmes af
(8.55)
(8.56)
(8.57)
den variable bredde mellem to nabo-strømlinier. For parallelstrømning vil det
derimod være ]v]'s variation langs en strømlinie, som vil forårsage en horison­
tal divergens.
8.3. Stoftransport.
Koncentrationen af opløst stof q. angives som massen af stof pr. masse af
havvand. En vandpartikel med volumen dV og massefylde p har massen 6m = pdV.

Indhold af stof i partiklen bliver
ôm = qôm = pqdV
Uden diffusion gælder, at
dvs.
j Ja
q — (Om) + 6m— (q) = 0 (8.59)
for en konservativ stofegenskab. Kontinuitetsligningen medfører — (
p * * tvfe (dv) + fe (p( ^ -° (8.61)
Imidlertid er ~ — (dV) = V • v, dvs.
hvorved
PI? ' v + — (pq) = o (8.62)
•jj£ (p • CL) + V - (pejy) = 0 (8.63)
Stoftransporten kan defineres analogt med massetransporten
Q = I pqvHdz (8.64)
Går vi frem som ved udledelsen af (8.46), dvs. integrerer (8.63) mellem
overflade og bund, fås

212
V H * Q + 3t
-h
pqdz - O (8.65)
o.k. Knudsens hydrografiske teorem.
Knudsens hydrografiske teorem hygger på udsagnet om, at saltholdigheden
er en konservativ parameter, hvilket betyder, at saltmængden i et givet volumen
er uforanderlig. Dette er næppe helt korrekt, fordi man kan tænke sig, at små
koncentrationer af salt vil forsvinde på grund af fordampning fra havoverfladen.
Det er velkendt, at atmosfærens indhold af hygroskopiske saltpartikler er større
over hav end over land, resulterende i forskelligartede nedbørsdannelser. Fordampnings
effekt en er dog under alle omstændigheder lille og kan ignoreres.
Diffusionsligningen for en vilkårlig stofegenskab har følgende udseende
|^ + v-grad q. + ^ dW V
= f- (K I*) + |- (K ik) .+ |- CK I 2 -) + P (8.66)
3x x 9x 3y y 9y 9z z 3z
hvor q. er stofkoncentrationen i masse pr. volumenenhed. Por en konservativ
egenskab er produktionsleddet P = 0.
Stofudvekslingen tænkes at foregå ved advektion alene til og fra det
betragtede rumfang, der antages konstant, dvs.
|£=0 (8.67)
at
Princippet om massens bevarelse kan formuleres som
|g = - p div v (8.68)
dt
Saltholdigheden S er defineret som antal gram indeholdte salte pr. kg. havvand,
—3 3 o
dvs. q. = p • S • 10 gram salt/cm , saledes at
10 3 § = 4JBSI = o (8.69)
(8.62) og (8.63) giver
hvor
^£i= p||- pS div v= 0 (8.T0)
P = ps div ; + âifiSl . -%ål + div (ps -) (8.T1)
dS
dt K- —' * • d t 3t

Antagelsen om ingen diffusion medfører, at
213
g - o (8.72)
Antages yderligerer stationær tilstand, reduceres (8.71) til
div (pS v) = 0 (8.73)
som udtrykker, at nettosaltfluxen ind i det betragtede volumen er lig nul,
hvilket i matematisk formulering bliver
[ pS v - dl = 0 (8.7*0
J A
hvor er fladeintegralet over voluminets begrænsningsflade. Antages til sidst
inkompressibilitet , haves
•*•
div v = 0
dvs. nettovolumenfluxen ind i det betragtede volumen er lig nul. Anta­
gelsen om inkompressibilitet medfører for alle vedkommende problemer ikke nogen
begrænsning. Som før kan (8.73) også formuleres som
A
v * dA = 0 (8,75)
Kontinuitetsligningerne (8.7U) og (8.63) udgør grundlaget for Knudsens hydro­
grafiske teorem.
8.5. Eavier-Stokes ligning.
Navier-Stokes ligning beskriver en væskedels acceleration under påvirk­
ning af naturkræfter alene. Væskedelens bevægelsesmønster fastlægges ud fra et
initial-koordinatsystem. Vi ser heraf, at Navier-Stokes ligning blot er et an­
vendt eksempel på Newtons 2. lov, der siger: Kraftsummen af alle ydre på en
massedel {væskedel) virkende naturkræfter er lig med massedelens acceleration
multipliceret med dens masse i et initial-koordinatsystem. Navier-Stokes
fortjeneste ligger med andre ord i påvisningen af de på en væskedel ydre vir­
kende naturkræfter. Disse kan inddeles i 2 hovedklasser:
fladekræfter (vindspænding, gnidningskræfter etc.)
volumenkræfter (tryk, tyngdekraft etc).

214
Et initial-koordinatsystem er upraktisk for de fleste oceanografiske
formål. Derfor indfører vi en type af koordinatsystemer, som ligger fast i
forhold til jorden. Herved tvinges vi til at medtage fiktive kræfter i Ke-wtons
2. lov. Fiktive kræfter er altid volumenkræfter.
Følgende relation gælder mellem den absolutte og den relative accelera­
tion i et jord-koordinatsystem:
(~) - (|r) + t. + 2w x t + « x ( ^ E ) (8.76)
dt abs dt rel J rel
Her er 0) jordens vinkelfrekvens, E radiusvektor fra jordens centrum (tyngde-
punkt i første tilnærmelse) og a. er den absolutte acceleration af jordens
o
centrum. Denne acceleration skyldes tiltrækningen fra himmellegemerne, af
hvilke kun solen og månen har nævneværdig indflydelse.
Det er naturligvis v . , som vi er interesserede i at "bestemme. Vore
bevægelsesligninger bliver følgelig skrevet på formen:
4 v -+2æxv = ZK + -kg-a. (8.TT)
dt natur j
hvor v , = v, tyngdekraften - kg er opnået gennem sammensmeltning af centrirel
^ _ # ^
fugalkraften o> X (OJ X R) og den almindelige massetiltrækningskraft. Leddet a.
J
har især betydning i tidevandsstudier.
Det koordinatsystem, vi oftest benytter, er trevinklet kartesisk koor­
dinatsystem, hvor x-aksen er orienteret mod øst, y-aksen mod nord og z-aksen
opad.xy-planen er tangentplan til et betragtet punkt på jorden. Bevægelses­
ligningen (8.TT) bliver på komponentform i ovennævnte system:
f + -t + V # + W f - 2a>(v sincp - v cos

Undertiden er det ikke hensigtsmæssigt at give (8.77) i kartesiske
koordinater. Vi skal derfor vise, hvorledes bevægelsesligningerne {8.78) -
(8.80) transformeres til andre koordinatsystemer, som alle antages for hjzfjre-
drejede. Dette betyder, at pseudovektoren 2w * v transformeres som en sædvanlig
vektor.For at forenkle udregningerne skrives (8.78) - (8.80) på formen
U+^|2 .1 (8.81)
dt p 9x
U + i|£ =ï (8.82)
dt p 3y
4£ + ^|E -Z (8.83)
dt p dz
Vi indfører de nye variable på Lagrange 1 sk fo rm
y = y(qlS q.2» q.3> *)
2 = z(

216
Den samlede kinetiske energi "bliver
i/.2 .2 .2. (8.87)
T = IU + y + z )p
Differentierer vi T med hensyn til henholdsvis x, y og z, fås
§ - *P. If - yp. § = *P < 8 - 88 >
Vi antager herefter, at kræfterne X, Y, Z på højresiden af (8.8l) - (8.83) kan
udledes af et potentiale V» hvorved
Y _ M T _ bV _ ÖV ,fi . ,
X Y Z (8 89)
-"b^' --bJ' -"b^
"
Bevægelsesligningerne (8.8l) - (8.83) kan nu skrives som
I

217
dt vo 3q. ; dt
•i » 9£ 3q il (8.96)
£ dt V 3^ L 3n dt ^q^
J an dt l gqi ; £ 9n 9q. W J 3qi
(8.97)
Resultaterne fra (8.95) - (8.97) "bevirker, at det første led i (8.9*0 kan skrives
som
dt ^ 3^ 3%
der, indsat i (8.9^)a giver
p at 3q£ p 3qi p gqi 9qi
hvor i = 1, 2, 3-
(8.98)
Ønsker vi at beskrive "bevægelsesligningen (8.77) i sfæriske koordinater,
indsættes (q , q^ q ) = (r,qj, e) i (8.98), hvor
x = r coscp sinQ
y = r sinq> sinø
z - T cosø
dr
v = -TT = r
r dt
v = r -r? = r 9
Q¥t = r costp 6
v = r cosi_ ,.
e * dt
Den kinetiske energi "bliver
I 2 2
T = I v + v + (va + cur costp)'
I r ep '6
H
dT 2 .
— dep = r ep = r v^p
d
dv
dt l 3$' p ^dt ep dt ;
dv
s< P^ ( dt } * r + Vr h
(8.99)
(8.100)

218
3T '
- -jr- = (v + 0)r coscp) r (8 + Ü>) sincp =
= (v + «r coscp) tgcp =
2 2 2
= tv« tgcp + 2mr sincp vfl + tu r sincp coscp)
Coriolis-led centrifugal-led
Bevægelsesligningens ep-komponent kan herefter skrives som:
dv
r _JE + T T^ + T^ tgtp + 2uir sincp vQ +
^ 2 2 . 1 ftp bV
+ u r sincp coscp + — :p> ^ 3

- f(ïo, t) (8.103)
•*• •*• •
hvor r = f(r , t ). Væskedelens hastighed "bliver
o o o
-»• 3r
Fra (8.103) og
r - r s
0
_ g r
2
3ir
2) den Euler'ske:
(8.10U) ses
t
O
dt
Og væskedelens acceleration
3v
" 3t
219
(8.1010
(8.105)
(8.106)
Her studerer vi ikke væskedelens "bevægelse, men rummet, som hele væsken
udfylder. I samtlige punkter af rummet undersøger vi, hvorledes de forskellige
parametre ændrer sig med tiden. Desuden "betragter vi ændringen i førnævnte
parametre fra et punkt i rummet til et andet. Vi foretager med andre ord en
feltanalyse, hvorved hastigheden "bliver en funktion af sted og tid:
v = ?(r, t) (8.107)
Hastighedsændringen ôv kan sammenstykkes af tq led. Det ene af disse hidhører
fra, at væskedelen flyttes et infinitesimalt stykke 6r fra et punkt, hvor hastig-
hedsfeltet har værdien v til et nabopunkt med værdien v' = v + ôr * Vv. Hvis vi
har stationær strømning (dvs. hvis v ikke varierer eksplicit med tiden), vil
yi - v -

220
Den samlede acceleration er altså summen af ændringen i hastigheds feltet med
tiden samt dettes rumlige ændring.
Bevægelsesligningen i en Lagrange'sk beskrivelse bliver på formen
l_£ =_i V p + £ (8.110)
d
3t
P
Her er x, y, z, t afhængige variable på ligningens venstre side, medens de
variable på højresiden er uafhængige.
formen
Bevægelsesligningen i en Euler'sk beskrivelse har som tidligere vist
|| + v-Vv = -^Vp + F (8.111)
dt P
hvor x, y,- z, t er de uafhængige variable.
8.7. Randbetingelser.
Vi har to typer af randbetingelser:
1) Den kinematiske randbetingelse:
En fast rand såvel som en væskegrænseflade antager vi sammensat af
materielle partikler, for hvilke det gælder, at befinder de sig in gang i græn­
sefladen, vil de forblive dér. Desuden antager vi, at normalhastigheden skal
være en kontinuert funktion over grænsefladen. Et tilsvarende kontinuitetskrav
for tangentialhast i gneden skal kun være opfyldt for viskøse medier.
En grænseflade tænkes alment givet ved funktionen
F(x, y, z, t) = 0 (8.112)
En vandpartikel, som til tiden t befinder sig i punktet (x, y, z), vil öt sek.
senere omtrentlig have stedkoordinaterne (x + dx, y + dy, z + dz) =(x + u3t,
v + v3t, z + zdt).
Siden vi kræver, at partiklen stadig skal være i grænsefladen, gælder
F(x + u3t, y + v3t, z + w3t, t + 3t) • 0 (8.113)
Rækkeudvikling af (8.113) med efterfølgende subtraktion af (8.112) giver
eller
U 3t + |£ u3t + |f v3t + |£ v3t
ot dx dy dz

H + U 3ÏÏ +V 1F + W 3l ^"°
(8.11U) anvendes nu på et frit vandspejl, hvis analytiske udtryk er:
z = n(x, y, t)
F = O = z - n(x, y, t)
dF dz dn
TT = O = -TT- - -r— medfører, at vertikalhastigheden bliver
dt dt at
221
(8 ' 11U)
(8.11U) anvendt på en fast rand z = f(x, y) (f.eks, en havbund) giver tilsva­
rende
v - u g + r g (8.116)
I specialtilfældet, hvor bunden er plan og horisontalt beliggende, dvs.
z = D = konst. s, får vi
•w = normalhastigheden = 0 (8.117)
(8.II7) kan generaliseres, således at normalhastigheden til en vilkårligt ori­
enteret materiel flade er lig nul.
2) Den dynamiske randbetingelse:
Her antages, at trykket skal være en kontinuert funktion over en bevæ­
gelig materiel flade. Det skal imidlertid tilføjes,, at den dynamiske grænse­
betingelse, som den er formuleret hér, kun er gyldig, hvis vi kan ignorere
kapillar- kræfter som følge af overfladekrumninger. Vi vil i det følgende se
nærmere på indvirkningen fra kapillar-kræfterne for at finde trykket under små
krumme overflader:
Til dette formål benyttes nedenstående hjælpefigur, der forestiller en
omdrejningscylinder med højden s, knyttet til vinklen a gennem a = •§— .
E1

222
Overfladespændingen G (dyn/cm) "bidrager til at de 2 viste frembringe re s, der
løber parallelt med cylinderaksen, påvirkes af en kraft lig med C«s. Den resul­
terende kraft er rettet ind mod centrum og andrager 2-C*s cos(90 - a/2) ~ os /R
Trykket p på fladen bliver følgelig lig med C/R . Vælger vi den anden hovedkrum­
ning langs med cylinderaksen får vi tilsvarende, at trykket på fladen bliver lig
med C/R , Samlet fås for kapillartrykket
P - crå +1 ) (8.118)
Ä 1 2
Konkave krumninger involverer negative værdier for de 2 hovedkrumningsradier R
og R„, medens konvekse krumninger medfører positive værdier. I et tyndt stigrør
f.eks, har vi R , R_ < 0 d.v.s. trykket vokser diskontinuert» når vi går ud gen­
nem væsken til luften.
Krumningen H er defineret som
H = l i m ^ • . .(8.119)
As-KD
Her gælder at -— = — 7- = rr /TT i hvor t er en vilkårlig parameter. Vi be-
ÛS ZJC AS Û"C At
tragter nu en 2 gange differentiabel kurve givet ved r = r(t). Herved bliver
d|tl x £(*+ At) A j ( t ) x$(t + ùt) „1^)11^ + At)| sina =
9 - r(t + At) = [ r(t) r(t + At)] (8.120)
hvor[] er det såkaldte planprodukt, der har følgende egenskaber :
[îf] -lïxfl -A- ï-
A B J
A B
y y
Højresiden af (8.120) kan rækkeudvikles til
(8.121)
[ t(t) r(t)] At +[r(t) t] At (8.122)
(8.122) og (8.120) giver
... sin q .. oc Lr(t) r(t)J /0 ^„v
lim —— = lim -TT = , I '—~s*- (8.123)
At"»0 ^ At-*0 A± | r(t) | 2
Indfører vi as/at -| *(*) | og (8,119) i (8.123) fås
B. K(t) = tlüiJüi (8.124)
l r(t)

Yi sætter herefter r(t) = i x(t) + j y(t)
H =
± y
• * * * *
(i 2 + y 2 ) 3/2
Om x(t) = x(x) og y(t) = F(t) bliver (8.125)
(1 + (F'(x)) 2 ) 3/2
223
(8.125)
Har vi en krum materiel flade z = T|(x, y, t) bliver kapillar-trykket p til et
givet tidspunkt
8.8. Bølger.
P • ° ' ?2 \ ,/2 (8.127)
(1 + (v 11) 2 ) 3/2
En enkel progressiv harmonisk bølge, som går i x-aksens retning, kan an­
gives på en af formerne
T) = A cos(k x - tu t) (8.128)
T) = B sin(k x - u) t) (8.129)
T| = C e i t kX - tü ' t) (8.130)
o
Her er TI højdeændringen i forhold til det uforstyrrede tilfælde, k bølgetallet
og CD vinkel frekvensen.
Fasehastigheden for en sådan bølge er den hastighed hvormed et punkt med
en given fase (f.eks, bølgetoppen) udbreder sig. Denne hastighed o- har nødven­
digvis ingen forbindelse med væskedelenes bevægelse under bølgen. Fasehastighe­
den findes ved følgende betragtning. I et givet tidsrum 6t har ethvert punkt
på bølgen i (8.128) bevæget sig stykket c • fit i x-aksens positive retning.
Dette betyder at
d.v.s.
An cos(k x - 0) t) = An cos(k (x + cf ôt) - tu(t +

224
w (8.132)
hvor X og v henholdsvis er bølgelængde og frekvens.
Gruppehastigheden, der kun kan defineres for mindst 2 bølger, er den has­
tighed, hvormed en gruppe bølger bevæger sig. Vi betragter for enkelheds skyld
2 harmoniske bølger på formen (8.128) med nærtliggende bølgetal k og k . Den
resulterende bølge bliver ifølge superpositionsprincippet
T) = | A cos^x - c^t) + £ AQ cos(k2* - u^t) (8.133)
som ved sædvanlig trigonometrisk omordning også kan skrives
k - k. u)„ - tu, k + k„ CD, + u>„
Ti = Ao cos( 2 g 1 x - 2 g 1 t) cos( 1 2 2 x - 1 g 2 t) (8.134)
Da k0 - k, og u)„ — cu, begge er små led henholdsvis lig med • /
Vi vil atter se på bølgen med formen angivet i (8.128). For alle tyngdebølger
uden påvirkning af kapillar-kræfter, der udbreder sig i en væske med frit vand-

spejl, gælder :
Ti « — A sinh k h cosfk x - u> t )
1 o) x '
hvor h er vanddybden, når vandspejl og væske er i hvile. Vi bemærker- at A =
k °
— A sinh k h. Væskedelenes hastigheder bliver :
225
(8.138)
u - k A cosh k(z + h) cos(k x - CD t) (8.139)
w = k A sinh k(z + h) sin(k i- mt) (8.140)
•*• + g z = ID A cosh k( 2 + h) cos(k x - w t)
c. = ( f tgh k h }2
Vi vil herefter undersøge en tyngdebølges potentielle energi E . I et
(8.141)
(8.142)
volumenelement dV er den potentielle energi lig med dE = p g z dV. Den samlede
potentielle energi indenfor voluminet V bliver følgelig :
E =
P
p g a dV =
For en homogen væske får vi da :
ItT]
p g z dx dy dz
oJ-h
E = | p g f f di - ^ p g h 2 X (8.143)
Leddet - | p g h X er væskens potentielle energi, når den er i hvile (T] = 0).
Leddet er negativt, fordi E er regnet relativt til niveauet 2 = 0, der falder
sammen med den hvilende væskeoverflade. Da vi kun er interesserede i den del af
den potentielle energi, som hidhører fra bølgen (forstyrrelsen), ignorerer vi
o
leddet - | p g h \. Benytter vi (8.143) og (8.138) fås til tiden t « t :
Ep = § p g (|) 2 (A sinh k h) 2
Da k/ü) « l/c_ kan vi benytte (8.142) på (8.144)
E = - P A 2 sinh 2 k h
P 4
cos (k x - u) t ) dx (8.144)
ved anvendelse af den lille integraloversigt bagest i dette afsnit.
(8.145)

226
Vi vil herefter på lignende måde undersøge en tyngdebølges kinetiske ener-
2 2
gi ÏL . I et volumenelement dV er den kinetiske energi lig med dE. = -gp(u +w )&V.
Den samlede kinetiske energi indenfor voluminet V bliver følgelig :
\ = i p (u 2 + w 2 )dV « f j f | p (u 2 + w 2 ) dx dy åz
V o o -h
For en homogen væske får vi da :
E, =| p u dx dz + | p • J w dx dz (8.146)
•U-h -U-h
-h
Benytter vi (8.139) og (8.140) fås til tiden t = t :
o
n .2
E^. = j p A^ sinh 2 k h (8.147)
ved anvendelse af den lille integral overs igt bagest i dette afsnit. Yi bemærker,
at den potentielle energi som følge af bølgen alene har samme størrelse som den
kinetiske energi. Den samlede energi Indenfor voluminet V bliver derfor E = E +
+ E, » 2E. d.v.s.
E = I p A 2 sinh 2 k h (8.148)
Heri ligger, som følge af ligningen E = E + Ej. at vi implicit har ignoreret
gnidning.
kan skrives
V er lig X h 1 = X h. Den gennemsnitlige samlede energi pr. volumenenhed
= ^E (8.149)
Indsætter vi fra tidligere fås
< E> = -^ p A 2 sinh 2 k h (8.150)
Energitransporten i én periode T som følge af en tyngdebølge, der udbre­
der sig i x-aksens positive retning, er lig med det arbejde, som væsken til ven­
stre for en plan x = x udfører på væsken til højre for denne plan. På et flade­
element dE = dy dz virker kraften p dP, som udfører arbejdet dW = p dP dx =
p u dy dz dt. Det samlede udførte arbejde i tidsforløbet T bliver

lrll rT
W = p u dy dz dt (8,151)
J o J -h J o
Benytter vi (8.139)» (8.141 ) samt den lille integraloversigt, får vi for x = x
W = \ p A 2 T k sinh 2 k h • & cf ( 1 + ^ h g k h ) (8.152)
Den gennemsnitlige energitransport pr. flade- og tidsenhed < W > kan herefter
beregnes. Arealet af en plan vinkelret på x-aksen er lig F = 1-(h + Tj) ~ ^ d.v.s.
= ^~W (8.153)
Indsætter vi (8.152) og (8.150) i (8,153) fås
227
-ic f (1 + B 2 ^ h 2 k h) (8.154)
Benytter vi (8,135), (8.142) og (8.150) fås
c - £ c- ( 1 + 2 \ h 0 . . ) (8.155)
g 2 f v sinh 2 k h
Herved kan vi udtrykke (8.154) som
J s
= c (8.156)
S
der i ord beskriver, at energien i en bølge forplanter sig med gruppehastigheden.
For korte bølger har vi at
C -P =\/f f c „ = Ï « i < B > c.
f
medens for lange bølger
c» - ||gb , c = cf og = c.

228
for:
De gennemgående "benyttede integraler i dette afsnit er angivet neden-
2 f 2
sin (kx - tot)dx - cos (kx - tøt) = i A
o 'o
T ri
sin(kx - urt)dt = cos(kx - ut)dt = 0
J 1*1
f 1 2 r 2
sin (kx - wt)dt - cos (kx - æt)at = sT
sinh 2 k(z + h)dz = -g(n + h) + ^- sinh 2k(n + h)
« - ih + -rt- sinh 2kh
cosh k(z + h)dz = i(n + h) + pr sinh 2k(n + h)
-h
- sh + Tj- sinh 2kh
z cosh k(z + h)åz ~ -r * H sinh k(Tj + h) -
-h
- ^ cosh (I] + h)k - 1 =
k
L J
= — • n sinh kh + k T| cosh kh + -
- -^P cosh kh + k n sinh kh + + —$ * -77 (l - cosh kh)
k k
hvorved vi har ignoreret led af orden H og højere.
(8.157)
(8.158)
(8.159)
(8.160)
(8.161)

Kapitel 9
Afsluttende bemærkninger.
Livet er for kort og forstanden for begrænset til, at ét menneske kan nå
alting. Man må lære at tage fra andre og at bruge hinanden. Sådanne evner
udvikles bl.a. gennem noteskrivning.
Uden det gamle instituts tre gratier, som udgjordes af fr. E. Halldén, A.
Sibbesen og J. Møller, var de geofysikstuderende aldrig blevet udsat for
forfatterens noter. Fr. A. Guldager har i årene herefter med både ildhu og
omhu forberedt udgivelsen af dette andet oplag i et fortrinligt samarbejde med
HCØ-tryk. Kommende årgange af geofysikstuderende bør sammen med forfatteren
glæde sig over resultatet af samarbejdet. Endelig skal der også rettes en tak
til nedenstående forfattere af oceanografisk litteratur, fordi de har været
leverandører til notesættets tekst og figurer.
Dietrich, G., 1950. Die natürlichen Regionen von Nord- und Ostsee auf
hydrografi scher Grundlage. Kiel er Meeresforschungen, Band VII, Heft 2, pp
35-69.
Dietrich, G., 1963. General Oceanography. John Wiley and Sons. 588 pp.
Fonselius, S.H., 1970. On the stagnation and recent turnover of the water in
the Baltic. Tellus 22, 3, pp. 533-543.
Fonselius, S.H., 1974. Oceanografi. Generalstabens litografiska anstalts
Förlag: 248 pp.
Hermann, F., 1968. Hydrografiske forhold i danske farvande. Danmarks Natur,
bd. 3, Havet, pp. 30-47. Politikens Forlag.
Neumann, G., W.J. Pierson Jr., 1966. Principles of physical oceanography.
Prentice-Hall, Inc., 545 pp.
Tak til mine skandinaviske kolleger L. Djuurfelt, A. Foldvik, M. Mork samt
0. Sælen som vederlagsfrit og uden at vide det har leveret både ideer og stof
til notesættet, hvorved jeg har sparet både hjernevindinger og tid.
En særlig tak vil jeg rette til li c,scient. Erik Buch, der med stort tålmod
og sans for detaljen har luget manuskriptet for både de værste fejl og de
mindre slemme.
N.K. Højerslev
229

230
Stikordsregister
til
Vandbevægelser i kystnære områder
af
U.K. Højerslev
Absorptionskoefficient 184,188 Bølgeenergi 81,225-227
Absorptionsmåler 196,197 i transport af 226-227
Amfidromisk punkt 179,180 Dølger, superposition af 224
Amplitudefunktion 172 Bølge refleksion 91-96
Anoxide forhold 27,32,33 Bølgerefraktion 81
Astronomiske koordinater 166,167 Bølgetalsvektor 224
Atmosfæriske gasser 31
b-meter 198
Baroklin bevægelse 113
Barotropt hav 70
Barotrop bevægelse 112
Belysning(irradians) 182
Bernoulli-funktion 122
Bernoullis ligning 87,125
Bernoullis teorem 121
Bevægelsesligning 23,24,44,56,214
, cylinder-koordinater 153
, sfæriske koordinater 217-218
Brunt-Väisälä frekvens 142
Brydningsindex 186,194
Bælthavet 9»97-100
Bølge, intern 127-146
, instabilitet 147-150
Bølge, kanal 88
, kapillar 76,79
, kort 81,82
, lang 81,82,89
, overflade 72
, solitær 88-89
, stående 84-87
, tidevand 168-180
c-meter 1°7
Colding,A 55
Co-oscillerende tidevand 170
Corioliskraft 23,24,112,153
Cosinuskollektor 189
» Co-tidal" linie 177,178,179
Cirkulationscelle, anticyklonal 44
Cykloniske bevægelser 151-152
Cylinderkoordinater 152,153
Damptryk 106-107
Deklination 166,177
Detritus 34
Diffusionskoefficient,molekylær 46
, turbulent 106
Diffus ionsligning 23,45 » 212
Divergens 201
Dogger Banke 9»11
Dybe Rende 9
Dæmpningsko eff i c ient 18 5,187
Dødvande 129
Egenfunktion 144
Einsteinkasse 161
Ekman-dybde 58,61

Ekman-lag 61,62
-spiral 58
Ekmans elementarsystem 63
Ekliptika 167
Emissionsspektrum 181
Energiflux 52,53,182
Energi, turbulent 52,53
Energiligning, mekanisk 52
, turbulent 52
Energitransport (i bølger) 226,227
Engelske Kanal 11,13,177
Eulers ligning 121
Eulersk "beskrivelse 219
Eutrofiere 27
Farve index 31
Fasehastighed 74,79,80,89,
130,133,223
Fejlfunktion 65
Ferskvandstilførsel 100,110
Flodtilførsel 100-105
Fluorescerende stoffer 157
Fluo re s censraål inge r 155
Flux (radiant) 182
Fo rdampning 104-110
Forrådnelsesprocesser 34
Fosfat 27,35,36
Fotosyntese 28
Fri turbulens 43
Friktionshast ighed 49
Frysepunkt 25
Gauss' sætning 204
Geostrofisk ligevægt 112-120
mas s et rans port 62
strømkomponent 61,62,63,68
strøm 112
Gershuns ligning 187,196
Gnidningskoefficient, kinematisk 45
231
Gnidningskoefficient, turbulent 56,74
, molekylær 45,49
Golfstrøm 44
Gradient 201
Gruppehastighed 81,224
Grænsebetingelse 26,75
, dynamisk 26,76
, kinematisk 26,75,85
Grænselag 48,51,52,53
Guldberg-Mohns antagelse 71,89
Gulstof 111,112,155
Haloklin 13,28,30
Hastighedspotentiale 206
Hav barotropt 70
Hav, epikontinentalt 9
, intra-kontinentalt 9
Heiland-Hansens ligning 120
Hvirvellinie 121
Hydrogensulfid 33
Immersionseffekt 194,195
Inerti-bevægelse 68-72
-cirkel 71
-periode 71,72
-strøm 70
Ins tab il it et ( af interne bølger) 147-150
Intensitet 182,199
Intern bølge 127-146
Intrakontinent alt hav 9
Irradians, 182
,nedadrettet 182
,opadrettet 183
, sfærisk 183
,skalar 183
,vektoriel 183
,måling af 189-193
Isolinier 205,206
Isopykn 120

2 32
Kanalbølge
Kapillarbølger
Kapill areff ekter
Kapillarkræft e r
Kapill artryk
Karmans konstant
Kattegat
, fosfatkoncentration 38
, salinitetsforhold 11,12,15)
18,128
,strøraforhold 15,18,37
, t empe raturf o rhol d 10,12,
127,128
Kelvinbølger 172,173-175)17^-180
Kinematisk gnidningskoefficient 45,48
Kinematisk grænsebetingelse 208
Kinetisk energi 43»216,217
, turbulent 52
Kinetisk gasteori 46
Knudsens hydrografiske teorem 97-100
125,212-213
KoblingBenergi 52,53)54
Kollektor 189
Koncentration,af fluorescerende
material 157
,af opløst stof 210
,af partikler 152,156
,af suspenderet
88
76,79
materiale 152,156
Konservativ parameter 212
Kontinuitetsiigning 23,44,218
Koordinattransformation 215-218
Korrelationskoefficient 47
Kritisk bølgetal 150
Krumning 222
Lagrange'sk beskrivelse 218,220
Lambert-Beers lov 184
Ligevægtsteori I64-I65
76
76,221
222
49,52
127-129
Lolland
Lysspredning
Margules ligning
Massefylde
Masseflux
Massetransport
, maximal
55
184
119
23
25
97
,geostrofisk 62
Mekanisk energiligning 52
Merians formel 86
Månetidevand 158
Navier-Stokes ligning 213
Hedbør 100,101
Nordsøen 9,158-180
, partikelkoncentrat ion 22
, salinitetsforhold 11,12,13,21
,strømforhold 17
, temperaturforhold 10,12
13,20,22
,vandmasser 19
Norske Kyststrøm 13,155
Norske Rende 9
Opal
Oxygen
Overfladebølger
Ove rf1ade spænding
Overf 1 ade sal initet
0verf1adestrøm
Overf1adetemperatur
189,190
27,33,39,40,42,54
72
76,222
11-13,15,18,21
..15-18,21
11-13,21
Partikelfordeling 32
Partikelkoncentration 152,156
,måling af 155,175
Perturbationstryk 77
Poincaré-bølger 173,175-176
Polarvinkel 188
Potentialbevægelse 204-206

Potentialet rømning 122
Primær haloklin 28,30
Pyknoklin 129
q-meter 195
Radians 181,182
Radiansrør 186,188,189
Radians, måling af 188,194
Randbetingelser, 23,26,220,221
,kinematiske 220-221
»dynamiske 221-223
Raoults lov 106
Re aktionstransport 125
Reduceret tyngdekraft 129
Refleksion (af bølger) 91-96
Refraktion (af bølger) 81
Reynoldsk spænding 45»46
Reynolds tal 53
Richardsons tal 54
Rossbyt s tal 112
.Rotation 202
Ruhedsparameter 52
Sal tf lux 26,97,213
Saltfront 15,18
S altvands indb rud 41,5 4
Sekundær haloklin 28,30
Selvdiffusion 53
Seiche 83,87
Seiche, uninodal 83-84
Sfærisk irradians (belysning) 183
Skagerrak 151-157
, fluorescerende stoffer 157
, partikelkoncentration 156
, salinitetsforhold 11,12,21
, strømforhold 151
, temperaturforhold 10,12,152
Skagerrakhvirvlen 151-154 Tilstandsligning 23
233
Skalar irradians(belysning) 183
Skala - analyse 47,50,113,114,153
Snell's lov 186
Solitær bølge 88
Sommertermoklin 13,30
Specifik luftfugtighed 106
Spredningskoefficient 184
Spredningsmålere 198-200
Springflod 158
Springlag 123,124,152
Standardapproximat ioner 23,25
Stationær hvirvel 152
Stoftransport 210-211
Stokes sætning 204
Store Bælt 116,117,118
Stormflod 55
Strømfunktion 205
Strømlinier 121,205
Strøm, geostrofisk 61,63,112
Strømning, stationær 43
, turbulent 43
St rålingsligning 184-187
Stående bølger 84 ff
Sundet, se Øresund
Superposition (af bølger) 224
Tangential spænding 47
Temperaturfront 18
Termoklin 13,28,30
Tidevand 158*168
, co-oscillerende 170
Tidevandsamplitude 158,160,166
Tidevandsbølger 168~180
Tidevandsellipse 160,180
Tidevandsfremkaldende kraft 159,162
Tidevandspotentiale 159,163
Tidevandsresonans 169
Tidevandsstrøm 11,13,160,180

Z34
Time vinkel
Transmissionsmåler
Tropisk måned
Turbulens
Turbulent bevarelse
Tærskler
blanding
blandingskoefficient
diffus ionskoeff i c ient
energi
fluktuation
Tyngdepotent iale
Tyndallmåler
gnidningskoefficient
166
I87
167
43-54
43,46
46
46
106
52
43
47,48,
56,74
9
121
155
Udvekslingskoefficient for masse 53
Vandmasse 19
V and st andsmål er 116
Vandstandsmålinger, Storebælt 116-117
Vejfunktion 186
V ind-spænding 26,49
Vind-stuvening 55 ff,72
, langs kyst 62
, i lukket bassin 65
Vektoriel irradians (belysning) 183
Vertikal dæmpningskoefficient 183
Volumenflux 97,213
Vægturbulens 43
Øresund 9,97-100
, strømforhold 123
Østersøen 27-42,54,68,83,84,87,99
,bundtopografi 29
,farveindex 31
,ferskvandstilførsel 100
, flodtilførsel 100-105
,fordampning 104-110
Østersøen, fosfat
Abningsvinkel
, halokliner
, hydrogensulfid
, nedbør
, oxygen 27,33,39
, områdeinddeling
, partikelfordeling
, salinitetsforhold
t s altvands indbrud
, strømforhold
T temperaturforhold
, termoklin
27,35,36
28,30
33
100,101
40,42,54
28
32
39,41
41,54
16
39,40
28,30
188

HCØ TRYK • KØBENHAVN