43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

samt at sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af U er
u −1 1
P (U = u) 2π(1 − π) π 2 + (1 − π) 2
4 ◦ Vis endelig, at hvis π = 0.5, s˚a er X og U stokastisk uafhængige og U har samme
fordeling som X.
Opgave 37 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion
2 3x hvis x ∈ ]0, 1[
fX(x) =
0 ellers.
1 ◦ Vis, at
P (X ∈ ] 1 3 13
, [ ) =
4 4 32 .
2◦ Vis, at middelværdien og variansen af X er henholdsvis
E X = 3
4
og V ar X = 3
80 .
3 ◦ Lad Z betegne en stokastisk variabel, som er uafhængig af X og som har samme fordeling
som X. Beregn middelværdien og variansen af X − 2Z.
4 ◦ Lad Y = −3 ln X og vis, at Y er eksponentialfordelt med parameter λ = 1, det vil sige,
at tæthedsfunktionen for Y er
fY (y) =
e −y hvis y ∈ ] 0, ∞ [
0 ellers.
Opgave 38 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)
En diskret stokastisk variabel B har sandsynlighedsfunktion:
B −1 0 1
P (B = ·)
1 ◦ Find middelværdien og variansen af B.
3
10
En anden diskret stokastisk variabel A antager kun værdierne −1 og 1 med positiv sandsyn-
lighed. Fordelingen af A er indirekte givet ved de betingede sandsynligheder af A = 1 givet B
som angivet i følgende tabel:
2
10
5
10
B −1 0 1
P (A = 1 | B = ·)
2
3
1
2
3
5
13