43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

⎧
⎨
fy(y) =
⎩
E Y = 1
3
1
2 √ y
hvis y ∈]0, 1[
0 ellers,
og V ar Y = 4
45 .
Opgave 29 Lad X betegne den stokastiske variable i Opgave 21, det vil sige X har tætheden
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈]0, 1[.
Find tæthedsfunktionen for Y = √ X [fY (y) = 4y(1 − y 2 ), y ∈]0, 1[] og beregn middel-
værdien af Y [8/15].
Opgave 30 En to-dimensional kontinuert stokastisk vektor (X1, X2) har tæthedsfunktion
f(X1,X2)(x1, x2) = x1 + x2, hvis (x1, x2) ∈]0, 1[×]0, 1[.
a) Vis, at tæthedsfunktionen for X1 er
samt beregn E X1 [7/12] og V ar X1 [11/144].
Lad (Y1, Y2) = (X1, X1 + X2).
b) Vis, at tæthedfunktionen for (Y1, Y2) er
fX1(x1) = x1 + 1
2 , hvis x1 ∈]0, 1[,
f(Y1,Y2)(y1, y2) = y2, hvis y1 ∈]0, 1[ og y1 < y2 < 1 + y1.
Opgave 31 Eksempler p˚a beregning af fordelingen af summen af uafhængige stokastiske vari-
able.
Antag, at X1 og X2 er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable og lad X· =
X1 + X2.
a) Vis ved hjælp af formel (8.2) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er diskret
med sandsynlighedsfunktion
x 0 1 2
fX(x) 0.4 0.5 0.1
s˚a er X· en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion
x· 0 1 2 3 4
fX·(x·) 0.16 0.40 0.33 0.10 0.01
9