43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

1 ◦ Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X og Y er henholdsvis
og
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
samt at X og Y er stokastisk uafhængige.
2 ◦ Beregn
3
2 x2 hvis x ∈ [−1, 1]
0 ellers,
⎧
⎨ 1
hvis y ∈ [−1, 1]
fY (y) = 2
⎩
0 ellers,
P ((X, Y ) ∈] − 1
2
, 1
2
1 1
]×] − ,
2 2 ]).
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen af X og Y er henholdsvis
E X = 0, E Y = 0, V ar X = 3
1
, og V ar Y =
5 3 .
4 ◦ Beregn middelværdien af s˚avel X − Y som XY .
Opgave 41 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1)
Lad der være givet tre kugler med numrene 1, 2 og 3 samt tre kasser med numrene 1, 2 og 3.
I hver kasse kan der kun være én kugle. Kuglerne fordeles tilfældigt i kasserne, og der noteres
et sammenfald, hvis en kugle falder i en kasse med samme nummer.
Lad X1 betegne antallet af sammenfald efter den første kugle er anbragt.
1 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X1 er
og beregn E X1 og V ar X1.
X1 0 1
fX1(x1)
Lad dernæst X2 betegne antallet af sammenfald efter at to kugler er anbragt.
2 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X2 er
og beregn E X2 og V ar X2.
2
3
1
3
X2 0 1 2
fX2(x2)
1
2
Lad endelig X3 betegne antallet af sammenfald efter at alle tre kugler er anbragt.
1
3
1
6
15