Offentlige foredrag i naturvidenskab - Aarhus Universitet
Offentlige foredrag i naturvidenskab - Aarhus Universitet
Offentlige foredrag i naturvidenskab - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
<strong>Offentlige</strong> <strong>foredrag</strong> i <strong>naturvidenskab</strong><br />
nat.au.dk/<strong>foredrag</strong><br />
Det Naturvidenskabelige Fakultet, <strong>Aarhus</strong> <strong>Universitet</strong><br />
Folkeuniversitetet i Århus<br />
Symmetrier og mønstre
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Symmetrier og Mønstre<br />
Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi<br />
Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens Olesen, Biologi<br />
Symmetri, partikelfysik og kosmologi, Jeffrey S,. Hangst, Fysik<br />
Symmetri og matematik i natur og forståelse, Johan P. Hansen, Matematik og Søren Ryge, Danmarks Radio<br />
Krystalsymmetri og et røntgenblik på livets molekyler, Poul Nissen, Molekylærbiologi
Johan P. Hansen<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Ph.D. fra Brown University, RI, USA og cand. scient. fra <strong>Aarhus</strong> universitet<br />
Institutleder ved Institut for Matematiske Fag, Det Naturvidenskabelige Fakultet, <strong>Aarhus</strong> <strong>Universitet</strong><br />
Forskningsområde: Algebraisk geometri og anvendelser i Kodningsteori, Kryptografi<br />
Lærebogsforfatter
M. C. Escher<br />
(1898-1972)<br />
lavede 137<br />
tegninger med<br />
regulær opdeling af<br />
planen.<br />
www.mcescher.com<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller
Historie<br />
M.C. Escher blev<br />
facineret af den<br />
regulære opdeling<br />
af planen, da han<br />
første gang i 1922<br />
besøgte Alhambra<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller
Historie<br />
Alhambra - et slot<br />
bygget af Maurerne<br />
i Granada i Spanien<br />
i det 14. århundrede<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller
Definition<br />
En symmetri af et<br />
objekt er en<br />
afbildning, der fører<br />
objektet i sig selv -<br />
objektet er invariant<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Eksempel<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
En ligesidet 3-kant har 6 symmetrier<br />
3 spejlinger: s1, s2, s3<br />
2 rotationer: r, r ◦ r<br />
identiteten: e<br />
s3<br />
s1<br />
s2<br />
r
Komposition<br />
Symmetrier kan<br />
sættes sammen -<br />
først anvendes den<br />
ene, derpå den<br />
næste. Skrives f ◦ g.<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Symmetrigruppe<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Alle symmetrierne under et (med den<br />
beskrevne komposition) kaldes<br />
symmetrigruppen og skrives (G, ◦).<br />
I eksemplet med den ligesidede 3-kant er<br />
G = {e, r, r 2 = r ◦ r, s1, s2, s3}<br />
og kompositionstabellen er:<br />
◦ e r r 2<br />
s1 s2 s3 e e r r 2<br />
s1 s2 s3 r r r 2<br />
e s2s3 s1 r 2<br />
e r r s3 s1 s2 s1 s1 s3 s2 e r 2<br />
r<br />
s2 s2 s1 s3 r e r 2<br />
s3 s3 s2 s1 r 2<br />
r e
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Symmetrigruppen for en terning<br />
En terning har 24 rotations symmetrier<br />
8 rotationer om diagonalerne - 2 om hver<br />
af de 4 diagonaler<br />
9 rotationer omkring akser gennem<br />
modstående sider - 3 om hver af de 3<br />
akser<br />
6 rotationer omkring akser gennem<br />
modstående kanter -1 om hver af de 6<br />
akser<br />
identiteten<br />
samt 24 spejlingssymmetrier.<br />
Symmetrigruppen for en terning har altså 48<br />
elementer.
Symmetri-gruppen<br />
for en Escher<br />
tegning<br />
3-folds rotationssymmetrier<br />
translationer<br />
langs gitteret<br />
∞ symmetri-gruppe.<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller
Opsummering<br />
Til ethvert objekt<br />
knytter vi dets<br />
symmetri-gruppe,<br />
nemlig alle de<br />
afbildninger, der<br />
holder objektet<br />
invariant<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Objekt → Symmetri-gruppe (Felix Klein)<br />
s3<br />
s1<br />
r<br />
s2<br />
↦→ gruppe med 6 elementer<br />
↦→ gruppe med 48 elementer<br />
↦→<br />
Rotationer af gitre<br />
∞ gruppe<br />
med et translations gitter<br />
Hvilke rotationer af plane eller rumlige<br />
translations gitre er mulige?
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Theorem (Det krystallografiske kriterium)<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
En rotation af et plant eller rumligt gitter har orden 1, 2, 3, 4<br />
eller 6 - altså er en rotation på 1, 1<br />
2<br />
, 1<br />
3<br />
, 1<br />
4<br />
eller 1<br />
6 omgang.
Bevis opstart 1.del<br />
Lad v være en<br />
korteste translation<br />
af gitteret. Lad f<br />
være en rotation<br />
gennem 2π<br />
N omkring<br />
et punkt (en akse).<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
N ≤ 6<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Vektoren f (v) − v er en translation af gitteret.<br />
Den kan ikke kan være kortere end v, hvorfor<br />
og dermed er N ≤ 6.<br />
2π<br />
N<br />
≥ 2π<br />
6<br />
2π 6<br />
f(v)<br />
2π N<br />
v<br />
f(v) − v
Bevis opstart 2. del<br />
Lad v være en<br />
korteste translation<br />
af gitteret. Lad f<br />
være en rotation<br />
gennem 2π<br />
5 omkring<br />
et punkt (en akse).<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
N = 5<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Vektoren v + f 2 (v) er en translation af gitteret,<br />
der er kortere end v, hvorfor vi har en modstrid.<br />
f 2 (v)<br />
f 2 (v)+v<br />
f(v)<br />
2π 5 = 72 ◦<br />
v
Klassifikation<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Alle uendelige grupper af afbildninger af planen (eller rummet)<br />
med et translationsgitter:<br />
Der er 17 grupper i det plane tilfælde<br />
Der er 230 grupper i det rumlige tilfælde (1891) - Fedorov<br />
og Schoenflies<br />
Beviset beror i høj grad på det krystalliske kriterium.
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
M. C. Escher og Alhambra<br />
Symmetrigrupper<br />
Det krystallografiske kriterium<br />
Klassifikation af plane og rumlige grupper - krystaller<br />
Definition Matematisk krystallografi indtil 1984<br />
i slutningen af det 18. århundrede<br />
etableredes opfattelse af krystaller som<br />
gitre med translationssymmetri - et<br />
paradigme var skabt<br />
Matematik: I naturen er der højst 230<br />
forskellige krystalformer - rotationer af<br />
krystaller har orden 1, 2, 3, 4 eller 6<br />
siden 1912 er krystaller studeret ved<br />
røntgen-, elektron- og<br />
neutrondiffraktionsmønstre
Artikel 1984<br />
Shechtman, Blech,<br />
Gratias, Cahn:<br />
Metallic phase with<br />
long-range<br />
orientational order<br />
and no translation<br />
symmetry<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />
Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />
Røntgenbillede med ulovlig 10-folds rotation -<br />
overskrifts videnskab<br />
En legering af aluminium og mangesium<br />
dannet ved hurtig afkøling
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Paradigmet om krystallers struktur falder<br />
1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />
Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />
Det krystallografiske kriterium: 1-, 2- , 3- , 4- og 6-folds<br />
rotationer er de eneste lovlige symmetrier af rumgitre<br />
Paradigmet: Gitteret er den geometriske grundstruktur for<br />
et krystal er for snævert
Roger Penrose<br />
Konstruerede ved<br />
hjælp af 2 sæt<br />
rhomber en<br />
udfyldning af planen<br />
uden translationssymmetri.<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />
Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />
Aperiodiske fliselægning
Rhomberne<br />
Rhomberne har<br />
samme sidelængde,<br />
de røde rhomber<br />
har vinklerne 36 og<br />
144 og de blå<br />
vinklerne 72 og 108<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />
Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />
Statistisk rotationssymmetri<br />
hver rød rhombe forekommer i netop 10<br />
forskellige orienteringer (ligesom hver af<br />
de blå)<br />
hver at de 10 orienteringer forekommer<br />
lige hyppigt<br />
frekvensen er altså invariant under<br />
10-folds rotation<br />
forholdet mellem antal røde og antal blå<br />
rhomber er det gyldne forhold<br />
= 1.618 . . .<br />
Φ= 1+√ 5<br />
2
Diffraktion<br />
Optiske mønstre fås<br />
ved at gennemlyse<br />
en plade med huller<br />
- analogt til<br />
Røntgenbilleder<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />
Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />
Røntgenbillede” af fliselægning<br />
Placeres hullerne i hjørnerne af Penrose<br />
eksemplet fås et billede (som ved<br />
Røntgenbilledet af et quasi-krystal til højre)<br />
med 10-folds rotationssymmetri.
Quasiart<br />
Vibeka Andersen<br />
John Stephensen<br />
www.quasiart.dk<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
1984 - krystalparadigmet smuldrer<br />
Aperiodiske fliselægninger - Penrose<br />
Egå Gymnasium - The Wall - Skulptur
Phyllotaxi<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Bladstilling, vækst og form i<br />
biologi<br />
Observation<br />
En matematisk model<br />
En matematisk beskrivelse<br />
Blomkål
Generativ spiral<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Hofmeister (1868) hypotese:<br />
Vælg position, hvor der er<br />
bedst plads<br />
1 et punkt på hver cirkel<br />
2 ens divergensvinkel d<br />
mellem succesive<br />
punkter<br />
3 ens forhold mellem<br />
succesive radier<br />
Observation<br />
En matematisk model<br />
En matematisk beskrivelse<br />
Model
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Parastichities<br />
I spiralgitre synes øjet<br />
åbenbart at forbinde<br />
nærmest naboer til<br />
spiraler - de såkaldte<br />
parastichies<br />
Vi ser 8 røde<br />
parastichities og 13 grå<br />
Observation<br />
En matematisk model<br />
En matematisk beskrivelse<br />
Model
Fibonacci tal<br />
Tallene 8 og 13 indgår i<br />
Fibonacci følgen:<br />
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .<br />
Et tal er summen af de 2<br />
foregående.<br />
Observation<br />
En matematisk model<br />
En matematisk beskrivelse<br />
Det gyldne forhold<br />
Hvis F n+1<br />
Fn<br />
Fn+1 = Fn + Fn−1<br />
Fn+1<br />
Fn<br />
= 1 + Fn−1<br />
Fn<br />
→ x, så vil<br />
x = 1 + 1<br />
x ⇒ x 2 − x − 1 = 0<br />
x = 1 + √ 5<br />
2<br />
d = 360 ◦ − 360◦<br />
Φ<br />
=Φ= 1, 618 . . .<br />
= 137, 50◦
Symmetri og matematik<br />
Quasi-krystaller<br />
Phyllotaxi<br />
Matematik er en smuk videnskab<br />
Einstein<br />
Hvad skyldes det, at<br />
matematik, der trods alt er<br />
tankevirksomhed løsrevet fra<br />
erfaring, er så<br />
beundringsværdigt tilpasset<br />
virkelighedens genstande?.<br />
Observation<br />
En matematisk model<br />
En matematisk beskrivelse<br />
En rose
Change language